Tema 10. Energía, Trabajo Y Potencia.pdf

IES Doñana Departamento de Física y Química

Física y Química de 1º de bachillerato Curso 2015/2016

Unidad 10: Energía, trabajo y potencia. 1. Transformación y energía. 2. Trabajo mecánico. 3. Energía cinética.

4. Energía potencial. 5. Conservación de la energía. 6. Potencia.

1. Transformación y energía. Con el desarrollo de su dinámica y con la ley de la gravitación universal, Newton fue capaz de explicar el sistema del mundo, es decir, las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos celestes. Esa fue, y sigue siendo, la cumbre de la dinámica de Newton. El estudio del movimiento basado en las leyes de Newton es dinámico, porque exige conocer las fuerzas que actúan sobre los cuerpos, incluidas la fuerza de rozamiento y las fuerzas de reacción, como la normal. 1.1. Desarrollo del concepto de energía. El filósofo alemán G. W. Leibniz (1646-1716), rival científico de Newton, propuso un enfoque alternativo del movimiento asentado en la búsqueda de propiedades que se conservan en cualquier transformación. Basándose en los trabajos de C. Huygens (1629-1695) sobre choques, Leibniz creyó encontrar esa propiedad en el producto m · v2, al que denominó vis viva, «fuerza viva», que es casi igual a la moderna energía cinética. Aunque el principio de conservación de la vis viva es incorrecto, no lo es la idea de que en las transformaciones hay magnitudes que no cambian. De esta forma, en el siglo XIX se llegó al concepto fundamental de energía, cuya importancia radica en tres aspectos decisivos:  Todo cuerpo o sistema físico necesita cierta energía para poder realizar transformaciones, bien sobre sí mismo, bien sobre otros cuerpos.  La energía se presenta de muchas formas, todas ellas interconvertibles.  En todo proceso, mecánico y no mecánico, la cantidad de energía se mantiene constante, es decir, se conserva. 1.2. Energía y trabajo. “Energía es la capacidad que un cuerpo o sistema físico tiene para producir trabajo”. Una consecuencia importante de la definición de energía es que no podemos conocer el valor absoluto de la energía que posee un cuerpo, pero sí sus variaciones, por medio del trabajo que es capaz de realizar. 1.3. Formas de energía. En el lenguaje corriente se habla de muchas clases de energía: eléctrica, eólica, solar, nuclear, limpia, renovable, etc. Pero un análisis más profundo nos muestra que la energía de un cuerpo pertenece siempre a una o varias de estas tres únicas categorías fundamentales:  Energía cinética. Como indica su nombre, está asociada al estado de movimiento del cuerpo o sistema.  Energía potencial. Se debe a la posición que el cuerpo ocupa dentro de un campo de fuerzas.  Energía interna. Es debida a la composición y al estado del cuerpo o sistema físico. Sin embargo, con frecuencia y por razones de tipo práctico, se prefiere clasificar las formas de energía atendiendo a la naturaleza de las fuerzas que se ponen en juego o a la forma en la que se almacena la energía. Así, aparecen los tipos de energía recogidos en la siguiente tabla: Tipos de energía

Naturaleza de las fuerzas implicadas o forma de almacenamiento

Mecánica

Energía cinética, asociada al movimiento de los cuerpos. Energía potencial debida a fuerzas mecánicas: gravitatoria y elástica.

Electromagnética

Energía de la corriente eléctrica y del campo electromagnético. Debida a las fuerzas eléctrica y magnética.

Luminosa o radiante

Energía transportada por la radiación electromagnética. Energía de la luz visible y no visible.

Térmica

Agitación interna de los componentes atómico-moleculares de la materia. Asociada al concepto de temperatura.

Química

Energía de los enlaces químicos. Se genera o se consume en las reacciones químicas.

Nuclear

Energía de cohesión interna de los núcleos. Se libera en las reacciones nucleares. 1

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2. Trabajo mecánico. En el lenguaje corriente, el trabajo carece de significado preciso. Puede ser esfuerzo físico o mental, también «ocuparse de alguna tarea», o un empleo laboral. Sin embargo, en Física es un concepto bien definido. Si aplicamos una fuerza constante a un punto material en reposo, este se moverá con la misma dirección y sentido que la fuerza:

Para estudiar el movimiento del cuerpo, vamos a seguir un camino alternativo al utilizado en unidades anteriores. Es un enfoque espacial, que relaciona fuerza fuerza y desplazamiento y que conduce al estudio energético de los movimientos. Para ello se introduce el concepto de trabajo: “El trabajo, W, realizado por una fuerza constante que actúa sobre un cuerpo que se mueve con su misma dirección y sentido es el producto de los módulos de la fuerza y del desplazamiento”. W =| ⃗ F | · | Δ ⃗r | = F · Δ r = F · Δ s Tanto la fuerza como el desplazamiento son magnitudes vectoriales, pero en la definición del trabajo solo intervienen sus módulos. Además, por ser el movimiento rectilíneo, coinciden Δr y Δs. La unidad de trabajo y, por tanto, de energía, en el Sistema Internacional se denomina julio (J). El nombre es un homenaje a James Prescott Joule (1818-1889): “Julio es el trabajo que realiza una fuerza constante de 1 N que actúa sobre un cuerpo que se desplaza con igual dirección y sentido a lo largo de 1 m”

1 J = 1 N · 1 m = 1 kg · m 2 · s−2 2.1. Trabajo de una fuerza constante. Si el cuerpo sobre el que actúa la fuerza tiene movimiento inicial, o si actúan simultáneamente otras fuerzas, la dirección y el sentido de la fuerza estudiada y el desplazamiento del cuerpo no tienen por qué coincidir. En tal caso, el trabajo se debe solo a la componente de la fuerza que actúa en l dirección del desplazamiento: “El trabajo realizado por una fuerza constante sobre un cuerpo que se mueve en línea recta es el producto del módulo de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento por el módulo del desplazamiento realizado por el cuerpo”. W = F · Δ r · cos ϕ = F · Δ s · cos ϕ ⃗ y Δ ⃗r , ya que el valor donde ϕ es el ángulo que forman F de la fuerza en la dirección del movimiento es F · cos ϕ. La componente normal, F · sen ϕ, no contribuye al trabajo.

La componente de la fuerza en la dirección del movimiento es la proyección del vector fuerza sobre la recta que define la dirección del desplazamiento.

2.2. Trabajo como producto escalar. El concepto de producto escalar permite dar una definición resumida del trabajo: “El trabajo realizado por una fuerza constante que actúa sobre un cuerpo que ejecuta un movimiento rectilíneo es igual al producto escalar de la fuerza por el desplazamiento”. ⃗ · Δ ⃗r = F · Δ r · cos ϕ = F · Δ s · cos ϕ W=F A pesar de que la fuerza y el desplazamiento son magnitudes vectoriales, el trabajo es una magnitud escalar. Queda totalmente especificada por un valor numérico con su correspondiente unidad. A continuación, se resumen los posibles valores del trabajo para una fuerza constante:

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





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Trabajo positivo. Se denomina así al trabajo de una fuerza que favorece el movimiento. A veces se llama «trabajo motor». W = F · Δ r · cos ϕ > 0 → 0 º ⩽ ϕ < 90 º Cuando ϕ = 0º → cos 0º = 1 → Wmáxima = F · Δr. Trabajo negativo. Tiene lugar cuando la fuerza se opone al movimiento. También se denomina trabajo resistente. W = F · Δ r · cos ϕ < 0 → 90 º < ϕ ⩽180 º Cuando ϕ = 180º, la fuerza se opone con la máxima eficacia: W = - F · Δr. Trabajo nulo. Se produce cuando no hay fuerza, no hay desplazamiento o cuando la fuerza actúa perpendicularmente a este; en tal caso, la fuerza ni se opone ni favorece el movimiento: W = F · Δ r · cos ϕ = 0 → ϕ = 90º

Ejemplo 1. Calcula el trabajo que realiza el rozamiento cuando un bloque de 500 kg se arrastra 2 m sobre una superficie horizontal con μ = 0,2. El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento es un ejemplo típico de trabajo negativo, es decir, de fuerza que se opone al movimiento.

Como vemos en la figura, la fuerza de rozamiento forma un ángulo de 180º con el vector desplazamiento. Por tanto, será: W = F⃗R · Δ ⃗ r = F R · Δ r · cos180 º =−F R · Δ r En una superficie horizontal,FR = μ · N = μ · P = μ · m · g. Por tanto, sustituyendo datos en unidades del S.I., queda para el trabajo: W =− μ · m · g · Δ r =−0,2 · 500 kg · 9,8 m/ s2 · 2 m =−1 960 J

2.3. Trabajo total recibido por un cuerpo. Para obtener el trabajo total que recibe un cuerpo bajo la acción de todas las fuerzas que actúan sobre él, podemos seguir dos estrategias. En la primera de ellas, calculamos el trabajo parcial realizado por cada fuerza. La suma de los trabajos parciales da el trabajo total: W total = F⃗ 1 · Δ ⃗r + F⃗2 · Δ ⃗ r + ... + F⃗n · Δ ⃗r = W 1 + W 2 + ... +W n Pero también podemos comenzar sumando vectorialmente todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo para obtener, en primer lugar, la fuerza resultante, y luego calcular el trabajo:

( ) n

∑ F⃗

n

· Δ ⃗r = W total

i=1

“El trabajo de la fuerza resultante es igual al trabajo total obtenido como suma de los trabajos parciales realizados por cada una de las fuerzas”.

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Ejemplo 2. ¿Qué trabajo recibe en total un cuerpo de 50 kg cuando se desliza 1 m por un plano inclinado 30º? Considera μ = 0,1. Obtendremos el trabajo total a partir de la fuerza total. El cuerpo se desliza porque la fuerza resultante es paralela al plano. Observa en la figura que: F = P x − F R = m · g · sen α − μ · m · g · cos α

donde α es la inclinación del plano. Por tanto, resulta: F = 50 · 9,8 · sen 30 º − 0,1 · 50 · 9,8 ·cos 30º = 202,6 N De esta forma, el trabajo pedido vale: ⃗ · Δ ⃗r = F · Δ x · cos ϕ = 202,6 N · 1 m · 0 º = 202,6 J W=F 2.4. Representación gráfica del trabajo. La fuerza aplicada a un cuerpo no siempre es constante. El procedimiento general para calcular el trabajo cuando la fuerza es variable consistiría en dividir el desplazamiento en pequeños tramos, de modo que, en cada uno de ellos, se pudiera considerar que la fuerza es constante. Pero el trabajo también puede obtenerse de forma gráfica. Para ello, representamos en el eje de ordenadas cómo caría el valor numérico de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento, y en el eje de abscisas el desplazamiento del cuerpo: “En un diagrama cartesiano fuerza-desplazamiento, el trabajo es el área encerrada entre la gráfica de la fuerza y el eje de abscisas”. Si la fuerza es constante, el trabajo coincide con el área de un rectángulo, pero si la gráfica de la fuerza es curva, el área se calcula por aproximaciones sucesivas. Se divide el desplazamiento en tramos iguales y se supone que la fuerza es constante en cada tramo. Sumando el área de todos los rectángulos se obtiene, aproximadamente, el trabajo. Cuanto más fina es la división del eje X, más estrechos resultan los rectángulos y mejor es la aproximación. En el límite, la suma de rectángulos infinitamente estrechos coincide con el área bajo la curva.

Ejemplo 3. Un cuerpo está unido a un muelle horizontal cuya constante elástica es k = 5 N/cm. Si inicialmente el muelle está en la posición de equilibrio, ¿hasta dónde debemos tirar del cuerpo para que el trabajo de la fuerza aplicada sea de 0,625 J? ⃗ no es constante, tal como Fuerza y desplazamiento tienen igual dirección y sentido, pero como F indica la ley de Hooke, resolveremos el problema de forma gráfica.

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En este caso, el trabajo es el área de un triángulo cuya base es x y cuya altura es k · x (ley de Hooke): x·k· x 1 2 W= = · k ·x 2 2 Despejando los valores en unidades del S.I., obtenemos: x=

√

2·W k

→

x=

√

2 · 0,625 J 500 N / m

→

x = 0,05 m = 5 cm

3. Energía cinética. 3.1. Teorema de la energía cinética. La primera forma de energía que aparece en Física se denomina cinética, porque se debe al movimiento. Está relacionada de forma natural con el trabajo mediante el teorema de la energía cinética. Este teorema, llamado tradicionalmente de las fuerzas vivas, se refiere al trabajo que recibe un cuerpo bajo la acción de la fuerza resultante. ⃗ , es constante, y que Para simplificar su demostración, vamos a suponer que la fuerza total, F actúa sobre una masa puntual que ejecuta un m.r.u.a. de igual dirección y sentido entre las posiciones 1 y 2. Resulta así: ⃗ · Δ ⃗r = F · Δ r · cos 0 º = F · Δ r W 1→ 2 = F Pero, para un cuerpo que realiza un m.r.u.a., la relación entre la velocidad y el espacio recorrido viene dada por: v2 − v 12 v 22 = v 21 + 2 · a · Δ s → Δ s = 2 2·a Como F es la fuerza total que actúa sobre el cuerpo, se cumple que F = m · a, y, al sustituir en la expresión del trabajo, queda: v 2 − v21 v2 − v21 W 1→2 = F · Δ s = m · a · 2 =m· 2 2·a 2 que puede escribirse como: 1 1 2 2 W 1→2 = · m · v2 − · m · v 1 2 2 Esta ecuación para el trabajo total sugiere la introducción de una nueva magnitud mecánica, la energía cinética: “Se denomina energía cinética de un cuerpo, E c, a la que este posee a causa de su movimiento”. Para una masa puntual, su valor es: Ec =

1 2 · m ·v 2

Utilizando esta nueva magnitud, y sustituyendo en la ecuación del trabajo total, se obtiene la conclusión del teorema de la energía cinética: “El trabajo total que realiza el conjunto de todas las fuerzas externas aplicadas sobre un punto material se invierte íntegramente en variar su energía cinética”. W 1→2 = E c − E c = Δ E c 2

1

Si el trabajo recibido es positivo, la energía cinética aumenta (v2 > v1); pero disminuye (v2 < v1) si dicho trabajo es negativo. Si el trabajo es nulo, la velocidad no cambia de valor y la energía cinética es constante. La unidad de energía cinética coincide con la del trabajo, julio (J) en el Sistema Internacional. Energía cinética y trabajo tienen las mismas dimensiones. Aunque hemos aplicado el teorema solo al caso del m.r.u.a., se puede demostrar que su validez es completamente general, sea como sea la fuerza total y el tipo de movimiento del cuerpo. 5

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3.2. Propiedades de la energía cinética. Para una masa puntual, la energía cinética solo puede ser de traslación, sin embargo, para un cuerpo extenso, la energía cinética se puede descomponer en dos clases, de traslación y de rotación. Estas son algunas de las características relevantes de la energía cinética:  Al igual que el trabajo, es una magnitud escalar, no vectorial. Esta es su principal diferencia con respecto al momento lineal, ⃗p = m · ⃗v .  Por tanto, para una masa puntual, el valor de Ec depende del módulo de la velocidad, pero no de la dirección ni del sentido del movimiento.  Es una magnitud siempre positiva, ya que también lo son la masa y el cuadrado de la velocidad. La ventaja de estudiar el movimiento con el teorema de la energía cinética es que las magnitudes implicadas, W y Ec, son escalares. Por el contrario, las leyes de Newton se refieren a magnitudes vectoriales. Así, por ejemplo, si el trabajo exterior es nulo, la energía cinética del cuerpo no cambia, es decir, la velocidad es constante. Esta es una forma alternativa de enfocar la ley de la inercia o primera ley de la dinámica.

Ejemplo 4. Dos masas m1 = 2 kg y m2 = 3 kg, se mueven en la misma recta, pero con sentido opuesto, a las velocidades v1 = 15 m/s y v2 = 10 m/s. Calcula el momento lineal y la energía cinética del conjunto. El momento lineal es una magnitud vectorial: ⃗p = p⃗1 + p⃗2 . Como las velocidades tienen igual dirección, pero sentido contrario, el módulo de valdrá: p = m 1 · v 1 − m2 · v2 = 2 · 15 − 3 · 10 = 0 La energía cinética es una magnitud escalar, de forma que: E c = Ec1 + Ec2; es decir, las energías cinéticas se acumulan. Sustituyendo datos: 1 1 2 2 E c = · 2 · 15 + · 3 · 10 = 375 J 2 2

Ejemplo 5. Una bala de 80 g avanza horizontalmente a 400 m/s hacia una plancha de corcho de 5 cm de espesor. Tras atravesar la plancha, la bala conserva una velocidad de 40 m/s. ¿Cuánto vale la fuerza que la plancha de corcho opone al paso de la bala? El teorema de la energía cinética, en unidades del S.I., nos da: 1 1 1 1 2 2 2 2 W = · m · v 2 − · m · v 1 = · 0,08 · 40 − · 0,08 · 400 = −6 336 J 2 2 2 2 Suponiendo que la fuerza de resistencia que hace la plancha al avance de la bala es constante a lo largo de su espesor, tendremos: W −6 336 5 W = F · Δ s · cos 180 º → F =− =− = 1,27 · 10 N Δs 0,05

4. Energía potencial. La relación entre el trabajo y la energía cinética se puede invertir, ya que la energía cinética que posee un cuerpo puede ser utilizada para que este realice trabajo sobre otro. Pero la energía cinética no es la única forma de energía mecánica, puesto que cuerpos en reposo, como la pesa de un reloj o un muelle comprimido, también son capaces de realizar trabajo, es decir, poseen energía. “Se denomina energía potencial a la que poseen los cuerpos por la posición que ocupan dentro de un campo de fuerzas”. A diferencia de la energía cinética que se manifiesta como movimiento, la energía potencial permanece latente u oculta. Sin embargo, podemos detectarla cuando se convierte en otra forma de energía o realiza trabajo. La energía potencial mecánica puede ser de dos tipos: gravitatoria y elástica.

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4.1. Energía potencial gravitatoria. Todos los cuerpos materiales son sensibles a la fuerza de la gravedad. Así, adquieren energía potencial gravitatoria, en una cantidad que depende de su masa y de la posición que ocupan. Para obtener su valor, elevamos vertical y lentamente un cuerpo desde h1 hasta h2. La fuerza que necesitamos usar debe igualar, al menos, el peso: F = P = m · g. El trabajo realizado por F para levantar el cuerpo será: ⃗ · Δ ⃗r = F · Δ h · cos 0 º = m · g · Δ h = m · g · h 2 − m · g · h1 W 1→ 2 = F que nos sugiere la definición de energía potencial gravitatoria: “Energía potencial gravitatoria, Ep, es la que posee todo cuerpo bajo la acción de la gravedad”. En las proximidades de la superficie terrestre, su valor se calcula con la expresión: Ep = m · g · h Con esta definición, queda: W 1→ 2 = m · g · h 2 − m · g · h 1 = E p − E p = Δ E p 2

1

Cuando elevamos un cuerpo, el trabajo externo recibido aumenta su energía. El cuerpo en h2 tiene una capacidad para realizar trabajo superior a la que tenía en h1. Para comprender adecuadamente el significado de la energía potencial gravitatoria, debemos tener en cuenta los aspectos siguientes:  En ausencia de gravedad, no hay energía potencial gravitatoria; sin ella, todas las posiciones de un cuerpo son equivalentes.  La energía potencial gravitatoria aumenta con la altura. Cuanto más se eleva un cuerpo, más energía potencial gravitatoria adquiere.  Como el concepto de altura es relativo, lo importante no es el valor absoluto de la energía potencial, sino su variación, ΔEp. De hecho, podemos elegir el nivel cero o de referencia que más nos convenga.  Como la gravedad, g, varía con la altura, la expresión ΔEp = m · g · Δh solo es válida para alturas pequeñas.  Para alturas grandes, como en las órbitas de los satélites artificiales, la expresión Ep = m · g · h ya no sirve. Sin embargo, la relación entre el trabajo y la energía potencial, W = ΔEp, sigue siendo correcta.

Ejemplo 6. ¿Cuánto trabajo se realiza al elevar 50 m el agua contenida en un depósito de 5 m x 4 m x 2m? Dato: densidad del agua = 1 kg/L. De la definición de densidad, la masa del agua contenida en el depósito resulta: m → m = d · V = 1 000 kg / m 3 · 40 m3 = 4 · 104 kg d= V El trabajo a realizar será, como mínimo, igual al aumento de energía potencial gravitatoria del agua: W = Δ E p = m · m · Δ h = 4 · 104 kg · 9,8 m / s 2 · 50 m = 1,96 · 107 J

Ejemplo 7. Calcula el trabajo que realiza la fuerza peso cuando levantamos 2 m un cuerpo de 5 kg en los casos: a) verticalmente; b) por una rampa inclinada 60º.

a) Si el trayecto es vertical, el trabajo vale: ⃗ · Δ ⃗r = m · g · Δ h · cos 180 º = 5 · 9,8 ·2 · (−1) =−98 J Wa = P 7

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b) Cuando el cuerpo suba por la rampa: Wb = ⃗ P · Δ ⃗r = m · g · l · cos (90º + 60º ) donde el desplazamiento vale:

Δh = 2,31m sen 60 º Por tanto, el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria, en este caso, es: l=

W b = 5 · 9,8 · 2,31 · (− 0,866 ) =− 98 J Como vemos, en ambos casos el trabajo del peso es negativo, porque se opone a la elevación del cuerpo. Además, es independiente del camino seguido; solo depende de la diferencia de altura entre los puntos inicial y final. 4.2. Energía potencial elástica. Además de la gravedad, hay otra fuerza mecánica que origina energía potencial: la fuerza elástica. El caso más simple de sistema elástico es un objeto ligado a un muelle o resorte que se deforma linealmente. Cuando el objeto está colocado en la posición de equilibrio del muelle, no experimenta fuerza alguna, pero si queremos moverlo debemos deformar el muelle. Si la deformación es pequeña, la fuerza elástica o recuperadora del muelle sigue la ley de Hooke: F⃗ e =− k · ⃗x donde x es la elongación o deformación. Por tanto, la fuerza externa a aplicar tiene sentido opuesto: F⃗ext = k · ⃗x Aunque la fuerza no es constante, pues depende de x, podemos calcular el trabajo gráficamente, como vimos en el ejemplo resuelto 3: 1 1 2 W 0→ x = · k · x · x = · k · x 2 2 En general, si el desplazamiento del cuerpo tiene lugar entre dos posiciones cualesquiera del muelle, x1 y x2, obtendremos: 1 1 2 2 W 1→ 2 = · k · x 2 − · k · x1 2 2 La figura inferior nos muestra cómo W0→x es el área de un triángulo de base x y altura k · x. En el caso W1→2, tendríamos que restar el área de los dos triángulos.

La expresión del trabajo necesario par deformar un muelle permite definir la energía potencial elástica: Ep =

1 2 ·k·x 2

Como en la fórmula de la energía potencial elástica interviene el cuadrado de la deformación, el resultado numérico no depende de que el muelle se estire o se contraiga. Solo importa cuánto se deforma. De manera similar al caso de la gravedad, el trabajo realizado para deformar el muelle coincide con la variación de la energía potencial: W 1→ 2 = E p − E p = Δ E p 2

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Ejemplo 8. De un muelle de constante elástica k = 8 N/cm se cuelga una bola metálica de 250 g. Una vez alcanzado el equilibrio mecánico, calcula el trabajo que debemos efectuar para bajar 1 cm más la bola. El equilibrio se alcanza cuando el peso se iguala con la fuerza elástica: ⃗ P + F⃗ e = 0 → ⃗ P =− F⃗ e → m · g = k · x 1 Así, en el equilibrio el muelle se habrá estirado: m · g 0,25 kg · 9,8 m/ s 2 x1 = = = 0,0031 m = 0,31cm k 800 N /m Si ahora bajamos la bola 1 cm más, la energía potencial elástica de la bola aumenta, pero su energía potencial gravitatoria disminuye: 1 1 1 2 2 −2 2 −2 2 Δ E p = · k · x2 − · k x 1 = · 800 N / m · [(1,31 · 10 m) − (0,31 · 10 m) ] = 0,064 8 J 2 2 2 x

Δ E p = m · g · Δ h = 0,25 kg · 9,8 m/ s2 · (− 0,01 m) =− 0,024 5 J g

La energía potencial total de la bola aumenta; debemos realizar un trabajo externo, contra las fuerzas conservativas, igual a ese aumento: W = Δ E p = 0,064 8 J − 0,024 5 J = 0,040 3 J

4.3. Fuerzas conservativas y no conservativas. La fuerza de la gravedad y la fuerza elástica acumulan energía potencial en los cuerpos, pero esto no ocurre con todos los tipos de fuerzas. Solo las fuerzas conservativas dan origen a energía potencial. El trabajo que realiza una fuerza conservativa no depende del camino seguido por el cuerpo. Esto nos permite definir las fuerzas conservativas. “La fuerza que actúa sobre un cuerpo es conservativa cuando el trabajo que dicha fuerza realiza depende solo de las posiciones de partida y de llegada, siendo independiente del camino seguido por el cuerpo”. W 1→ 2 ( fuerza conservativa) = E p − E p =− Δ E p 1

2

Por tanto, en un ciclo, el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es nulo:

W ciclo ( fuerza conservativa ) = 0 El signo negativo que aparece en la ecuación del trabajo nos recuerda que cuando una fuerza conservativa realiza trabajo, W > 0, lo hace a costa de disminuir su energía potencial, ΔEp < 0. Por eso mismo, cuando movemos un cuerpo venciendo aun fuerza conservativa que se nos opone, el trabajo que realizamos aumenta la energía potencial del cuerpo. Ten en cuenta que otras fuerzas importantes, como la de fricción o rozamiento, no son conservativas. El trabajo realizado para mover un cuerpo bajo la acción de fuerzas no conservativas depende del camino, y, en un proceso cíclico, Wciclo ≠ 0. Estas fuerzas no dan origen a energía potencial.

5. Conservación de la energía. 5.1. Principio de conservación de la energía mecánica. La energía mecánica de un cuerpo material es la suma de la energía cinética y de la energía potencial mecánica: Em = E c + E p donde la energía potencial tiene, en general, dos contribuciones: gravitatoria y elástica. Tal como vemos en la siguiente figura, las distintas energías mecánicas se pueden intercambiar entre sí.

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La energía cinética de un cuerpo que cae (izquierda) procede de su energía potencial gravitatoria. Al soltar el muelle (derecha), la energía potencial elástica de la bola se convierte en energía cinética y potencial gravitatoria.

En los dos ejemplos mostrados en la figura, la suma de los diferentes tipos de energía mecánica se mantiene constante. Se trata de casos en los que se cumple el principio de conservación de la energía mecánica: “Cuando todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas, su energía mecánica se mantiene constante”. Para comprobarlo, tengamos en cuenta que el teorema de la energía cinética relaciona el trabajo total y la variación de la energía cinética, sean o no conservativas las fuerzas; pero, si todas las fuerzas que actúan son conservativas, el trabajo también coincide con la variación de su energía potencial cambiada de signo: Δ E c = W 1→ 2 =− Δ E p ; Δ E c + Δ E p = Δ ( E c + E p ) = 0 Por tanto, Δ(Ec + Ep) = ΔEm = 0, o sea, la energía mecánica no cambia: E m = E m = ... = cte( solo fuerzas conservativas) 1

2

Ejemplo 9. Se lanza un cuerpo hacia arriba a 40 m/s. ¿Hasta qué altura subirá? Toda la energía cinética inicial se convertirá en energía potencial gravitatoria final: 1 2 Δ E m = 0 → Δ E c = −Δ E p → 0 − · m · v 0 = −m · g · Δ h 2 Por tanto:

Δh =

2 v 20 (40 m/ s) = 2 = 81,6 m 2·g 2 · 9,8 m/ s

Ejemplo 10. Una masa colgante en reposo de 1 kg recibe el impacto horizontal de un proyectil de 80 g que se mueve a 50 m/s. Si el choque es elástico, ¿qué pasará después del impacto? En la figura se representa la situación del sistema antes del choque:

Despreciamos el efecto de la gravedad (movimiento horizontal) y planteamos la ecuación de conservación del momento lineal: 0,080 · 50 + 1 · 0 = 0,080 · v 1 ' + 1 · v 2 ' y la de conservación de la energía: 1 1 1 1 2 2 2 2 · 0,080 · 50 + · 1 · 0 = · 0,080 · v 1 ' + · 1 · v2 ' 2 2 2 2 Resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones, de donde se obtiene que: v1 ' =− 42,7 m/ s y v 2 ' = 7,4 m/ s Como vemos, la bola pequeña rebota y retrocede.

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5.2. Choque, velocidad y energía. Cuando dos cuerpos chocan en ausencia de fuerzas externas, el momento lineal del conjunto debe mantenerse constante, tal como exige el principio de conservación del momento lineal. Pero, además, si todas las fuerzas con las que interaccionan los dos cuerpos son conservativas, también tiene que conservarse la energía mecánica del conjunto. Un choque de ese tipo se llama choque elástico. Para el caso de dos bolas, de masas m1 y m2, que chocan frontalmente de forma elástica en ausencia de fuerzas externas, se debe cumplir simultáneamente que: m 1 · v⃗1 + m 2 · v⃗2 = m1 · v⃗1 ' + m2 · v⃗2 '

  

1 1 1 1 2 2 2 2 · m1 · v1 + · m 2 = · m1 · v 1 ' + · m2 · v2 ' 2 2 2 2 Cuando dos bolas chocan frontalmente de forma elástica, hay varios casos particulares interesantes: Masas iguales. Si las masas de las dos bolas son iguales, m1 = m2, las bolas intercambian las velocidades tras el choque. Bola en reposo. Si, además, una de ellas no se mueve inicialmente, las bolas intercambian los estados de movimiento y reposo. Masa infinita. Si una de las bolas tiene una masa muy superior a la otra y está en reposo, la bola móvil pequeña «rebota». Es lo que sucede cuando una pelota de goma golpea elásticamente una pared.

Ejemplo 11. Las bolas de la figura se dirigen una contra otra. Tras el choque se quedan pegadas. ¿Cuánta energía mecánica se pierde en el choque?

El principio de conservación de la cantidad de movimiento exige que la velocidad final del conjunto sea nula: m 1 · v 1 + m 2 · v 2 = (m 1 + m2 ) · v → v = 0 Por tanto:

Δ Em = Δ Ec = 0 − Ec

Δ Em = 0 −

i

1 · (0,1 + 0,1) kg · ( 20 m/ s)2 =− 40 J 2

5.3. Presencia de fuerzas no conservativas. Cuando existen fuerzas no conservativas, la energía mecánica no se conserva. En este caso, el trabajo procede se dos contribuciones: W total = W conservativas + W no conservativas → Δ E c = − Δ E p + W noconservativas por tanto, cuando actúan sobre un cuerpo fuerzas mecánicas conservativas y no conservativas, la variación de la energía mecánica coincide con el trabajo de las fuerzas no conservativas: W noconservativas = Δ E c + Δ E p = Δ E m Un caso importante de fuerza mecánica no conservativa es la fuerza de rozamiento, cuya presencia siempre conduce a la pérdida de energía mecánica. Es un fuerza disipativa. Cuando en un choque intervienen fuerzas no conservativas, deja de cumplirse el principio de conservación de la energía mecánica, y parte de la energía cinética se disipa. Se trata de un choque inelástico en el cual se produce la deformación de los cuerpos que colisionan. Sin embargo, el principio de conservación del momento lineal sigue vigente.

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Ejemplo 12. Se dispara un proyectil de 100 g de masa horizontalmente contra un bloque de 20 kg que cuelga del techo. Tras el impacto, el proyectil se aloja dentro del bloque y el conjunto oscila ascendiendo 40 cm. Determina la velocidad del proyectil. El choque es inelástico y se produce pérdida de energía cinética; sin embargo, el momento lineal del conjunto debe conservarse: m1 + m2 ·v m 1 · v 1 + m 2 · 0 = (m1 + m2 ) · v → v1 = m 1

La velocidad del conjunto tras el impacto, v, se calcula aplicando el principio de conservación de la energía mecánica al movimiento del conjunto tras el choque: 1 0 = Δ E m = Δ E c + Δ E p = 0 − ·(m 1 + m 2 ) · v 2 + (m1 + m2 ) · g · Δ h 2

[

]

Al despejar el valor de v y sustituir, resulta: v =√ 2 · g · Δ h = √ 2 · 9,8 m/ s2 · 0,4 m = 2,8 m/ s Por tanto, la velocidad del proyectil en el momento del impacto era: v1 =

20 kg + 0,1 kg · 2,8 m/ s = 562,8 m/ s 0,1 kg

5.4. Principio general de conservación de la energía. Si soltamos una pelota desde una determinada altura, la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética, siendo constante la energía mecánica. Pero al llegar al suelo, tras sucesivos rebotes, la energía cinética se termina agotando con pérdida neta de la energía mecánica inicial. Por otra parte, un coche eléctrico que sube una rampa gana energía mecánica, tanto cinética como potencial gravitatoria. Si analizamos ambos procesos, vemos que la energía mecánica se ha intercambiado con otros tipos de energía no mecánica:  En el primero, se ha transformado en energía térmica o calor.  En el segundo proceso, la energía mecánica ganada se genera a partir de los procesos químicos que tienen lugar en la batería que alimenta el motor eléctrico del coche, es decir, se consume energía química. Innumerables experiencias con las diferentes formas de la energía confirman que todas ellas son intercambiables entre sí. Sin embargo, aunque la energía se puede transformar, su cantidad total no cambia. Este es el principio general de conservación de la energía: “La energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma”. Por tanto, la energía total de un sistema aislado se mantiene constante. Sin embargo, aunque la energía conserva su valor total, sufre un proceso de degradación, por lo que no todas las formas de energía son igual de útiles para producir trabajo. 5.5. Masa y energía. Al comenzar el siglo XX, estaban sólidamente instalados dos principios de conservación independientes: el de la masa y el de la energía. El primero, propuesto por Lavoisier en el siglo XVIII, permitía realizar cálculos cuantitativos en los procesos químicos, donde la materia se transforma, pero los átomos que la componen y la masa total no cambian. El segundo, desarrollado a lo largo de todo el siglo XIX, se convirtió en una herramienta fundamental de la física para explicar la interconexión entre los fenómenos mecánicos, térmicos y electromagnéticos. Sin embargo, en 1905, el joven Albert Einstein (1879-1955) propuso una nueva ecuación que relaciona la masa y la energía con c, la velocidad de la luz en el vacío:

E = m · c2 12

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Si la ecuación es correcta, la transformación de 1 kg de masa produce 9 · 10 16 J, una cantidad enorme de energía. Muchos años después se comprobó la validez de esta ecuación: las bombas y centrales nucleares son ejemplos de la enorme energía que se genera por pérdida de masa. La teoría de Einstein exige un nuevo principio de conservación de la masa y la energía en conjunto. Sin embargo, para la mayoría de los procesos cotidianos, podemos suponer que la masa y la energía se conservan por separado. 6. Potencia. El ser humano ha diseñado máquinas para realizar trabajo; su utilidad depende del ritmo al que tiene lugar el proceso. La eficacia de una fuerza en un proceso de generación de trabajo se determina con la magnitud denominada potencia: “Se define la potencia, P, como la rapidez con la que se realiza un trabajo, es decir, el cociente entre el trabajo realizado y el tiempo invertido”. P=

W t

La unidad de potencia en el sistema Internacional es el vatio, W. Su nombre rinde homenaje al ingeniero escocés James Watt (1736-1819), que impulsó decisivamente el desarrollo de las máquinas de vapor: “Vatio es la potencia de un sistema que realiza un trabajo de un julio en cada segundo”. 1 julio ; 1 W = 1 J · 1 s−1 = 1 kg · m 2 · s−3 1 vatio = 1 segundo Por razones históricas, aún siguen empleándose dos unidades antiguas de potencia; el caballo de vapor, CV, equivalente a 735,5 W, y el caballo de potencia, HP, que actualmente tiene la equivalencia de 746 W. Ejemplo 13. Una grúa levanta un bloque de 4 000 kg hasta una altura de 20 m. ¿Qué potencia necesita desarrollar para efectuar la tarea en 1 minuto? Como mínimo, la grúa debe hacer la fuerza necesaria para vencer al peso: F=P=m·g Por tanto, el trabajo realizado será: W = F · Δh · cos 0º = m · g · Δh · cos 0º; W = 4 000 kg · 9,8 m · s–2 · 20 m · 1 = 7,84 · 105 J La potencia desarrollada por la grúa será: W 7,84 · 105 J 4 P= = = 1,31 · 10 W t 60 s 6.1. Potencia motriz a velocidad constante. La potencia mecánica que impulsa a un móvil está relacionada con su velocidad de desplazamiento. En el caso más simple, si el cuerpo sigue un m.r.u., y llamamos F⃗m a la fuerza motriz en la dirección del movimiento, será: W m F⃗m · Δ ⃗r Fm · Δ s Pm = = = = Fm · v t t t En esta expresión, F⃗m no es la fuerza total que actúa sobre el móvil, sino la fuerza motriz, es decir, la que vence las fuerzas de resistencia al movimiento (en un m.r.u., la fuerza total es nula). Cuando un ciclista va por terreno llano con velocidad constante, la fuerza motriz solo tienen que vencer las fuerzas de rozamiento, pero si sube una cuesta, la fuerza motriz debe vencer, además, la componente tangencial del peso, Px.

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6.2. Velocidad de conversión de energía. El principio de conservación de la energía exige que ningún dispositivo ni máquina pueda producir trabajo sin consumir, como mínimo, una cantidad equivalente de energía. Por tanto, el concepto de potencia, además de aplicarse a los sistemas mecánicos tales como motores, máquinas y grúas, también se relaciona con la rapidez a la que se transforma la energía en un proceso: “La potencia de un proceso cualquiera es la rapidez con la que el sistema transforma energía”. La energía ni se consume ni se produce, pero se habla de potencia consumida si interesa la energía de cierto tipo gastada por unidad de tiempo. Si, por el contrario, observamos la energía producida por unidad de tiempo, hablaremos de potencia generada. Así, una bombilla consume energía eléctrica, pero genera energía luminosa. Salvo que la transformación sea perfecta, la potencia eléctrica consumida no coincidirá con la potencia luminosa generada. El resto se convierte en otros tipos de energía, sobre todo, energía térmica. La tabla siguiente muestra valores típicos de potencias generadas y consumidas en diferentes procesos. VALORES HABITUALES DE POTENCIAS GENERADAS Y CONSUMIDAS

Potencia generada

Potencia consumida

Central nuclear

1 GW

Parque eólico

50 MW

Motor de un «fórmula uno»

700 MW

Láser de He-Ne

20 mW

Lavadora

2 kW

Bombilla

100 W

Microprocesador

1W

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