Guia Racionalización 2019 2do Medio.docx

LICEO “SAN FRANCISCO DE ASÍS” DECRETO COOPERADOR 1800/1985 RBD: 5082-2 CONDELL 520 FONO 41-2551248 Mail: [email protected] ARAUCO-REGIÓN DEL BIO BIO

Nombre: Curso:

Fecha:

Apoyo PIE: Profesora Estela Ortega Flores

Guía de Matemática Racionalización de Denominadores

INTRUDUCCIÓN Expresiones como

3 2

,

1 2 3

,

a 2x

,3

5

…, tienen en común que sus denominadores son irracionales o

2

al menos aparecen en ellos alguna raíz. La operatoria con tales expresiones no es sencilla y resulta muy práctico transformar los denominadores en expresiones racionales. En otras palabras, se trata de ‘’hacer que desaparezcan’’ las raíces que hayan en el denominador. El procedimiento a emplear consiste en amplificar por un factor adecuado. Es decir, se multiplica el numerador y el denominador por una misma cantidad, con lo cual la expresión original no cambia. I. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:

A a

¿Cómo racionalizar la fracción

2

? En los casos como éste, el factor adecuado para amplificar es la raíz

3 que aparece en el denominador, o sea

3.

2 2 3 2 3 2 3    3 3 3 3 3²

 

Ejemplo:

( se amplifica por 3 ) Se puede observar que el denominador original

3 (irracional) se ha transformado en 3 (racional).

Además, si bien la expresión inicial ha cambiado su ‘’forma’’, sigue siendo la misma, ya que al amplificar una fracción su valor no se altera.

2 Por lo tanto

3



2 3 3

Denominador

Denominador

Irracional

Racional

En general, cuando el denominador es una raíz cuadrada, ella misma es el factor de amplificación.

I. Ejercicios: Racionaliza los denominadores.

5

1.

2

1

3.

2



2.



4.

3

5. 

7

11.

3

8. 



10.

15mx 2 5m

13.

15.

17.



12 6



2ab 6a



1 2  3

3mx



2 3

3 2  2

1



3



7

21x

1

6.

2 3

9.

5



5

7.

3



12.



20a ²b 10a

14.

16.

2 3 2  5

ab ab

18.



5ax 5x





II. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:

Para racionalizar, por ejemplo, la fracción

3 3

A n

a

es necesario amplificar por

3

2

2² , por lo cual se consigue

que el radicando sea 2³

Ejemplo:

3 3  3 2² 33 4 33 4    3 2 3 2  3 2² 3 2  2² 3 2³  n

33 4 2

k

En general, si en el denominador aparece a es necesario amplificar por el índice de la raíz con el exponente del radicando. II. Ejercicios: Racionaliza los denominadores

2 x y  5 xy

3  5

2.

3a ²  2a

4.

5.

1 2  25 2

6.

2 3a  3 3a

7.

3 a  3 a

8.

10  36 2

1.

3.

3

4

9.

11.

3

a2  4 a³

10.

4ab  ab

12.

3

3  m²

5

3a  2a ²

5m  2 4 2m

n

ank

con el objeto de igualar

III. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA:

A  a b

Si el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por ejemplo, de

3  2 . La idea es formar el producto de la suma por la diferencia que es igual

3  2 se amplifica por

a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces.

3

Ejemplo

3 2





 3  2  3 3  3 2  3 2   3  2   3 ²   2 ²

3 3

III. Ejercicios: Racionaliza los denominadores 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

3 2 5 2 1



7 5 3



7 10



10  3

3 2 52 3

5 2 7 2





2 3 2 7 3 2

3 2 11  2





3 1  3 6 2 3

3 3 2 3 3 3 2   3 3 3 2 32 1

Ejercicios tipo PSU

2

1. Al racionalizar

2

se obtiene:

a) 2 2

a)

b)

5 1 b) 5  1 c) 4 5  1

 d) 4

e) 2

e)

2 2 c) 2 d) 4 2 1

3. Para racionalizar

3

2

se debe amplificar la

fracción por: a)

23

 5  1

5 1 4

2

4. Al racionalizar

se obtiene:

3

2 3 3 1 d) 3 c)

3

2 e) 4 d)

se obtiene:

3 3 b) 2 3

2 b) 4 3

5 1

a)

3

3

c)

4

2. Al racionalizar

e) Ninguna de las anteriores 5. Al racionalizar

5 5

2

resulta:

5

24 55 2 b) 2 a)

5

18  98  50  4

6. Al simplificar

2 2 b) 15  15  c) 2 d) 15  15  e) 2

2 2

, resulta:

a)

3

5 2 2 5 32 d) 2 5 5 32 e) 2 c)

7. Al racionalizar

12 3 5

el resultado es:

2 2 2 2

8. Al racionalizar

1 3 2

resulta:

a) 3  2

a) 9  3 5

b) 3  2

b) 9  3 5

3 2 7 3 2 d) 7 2 e) 7

c)

c) 9  5 3 d) 9  5 3 e) 3  5

9. Al resolver la expresión

a 3

a)

3

a2

b)

3

a2 1

c)

3

a2 1

d)

3

a 1

a

 1 resulta:

e)

3

a 1

10. Al racionalizar

a 3

a 2b

3

a) c)

3

ab 2

b)

3

ab b

d)

3

resulta:

ab 2 a a 2b b

3

e)

ab 2 b

81

3  27  11. Al resolver

3 resulta:

3

12.

a es equivalente a: b

5

5

3 34 3 d) 3 3  4 a)

b)

34 3

c)

3 34 3

e) 3 3

13. ¿Cuál es el valor de

30  15 5

?

3. II. 6  3 .



a) Solo I y III. b) Solo I y II. c) Solo II y III. d) Solo II y IV. e) Ninguna de las anteriores

15. Al racionalizar a) b) c) d) e)

2 4

3 2a

resulta:

a 9a 4 8a 3 9 4 8a 3 a 4 8a 3 9a 4 4a 3 9a

c) d) e)

a)

a

1



a) b)

a a

c)

d) a e) a 2

d) e)

19. Al racionalizar

4 5 6 6 4 56 3 2 5 3 3 4 5 6 3 2 5 3 3

3

18.

b) a a c)

d)

b2

16. Al resolver

b)

 a

a

b)

14. Al racionalizar

a)

17.

5

c)

3

4

a

ab b

5

ab a b

a2 b5 resulta:

a)

6  15 . IV. 3 2  1



5

a b b a ab a b b a b) ab a b b a c) ab ab a d) ab a b a e) ab

I.

III.

a)

5  2 6 5  2 6

a) 5  2 6

52 6 17 c) 25  2 6 b)

d) 5  2 6 e) Ninguna de las anteriores.

3 2 2 1 93 2 2 2 9 2 7 93 2 7 1

resulta:

5 10  4 resulta:  3 2

2 2 2

2 2



 a   1  1  20.   a    a     a) a a 1 b)

a 2

c) a d) a e)

a

5

e)

ab 4 b