Algebra 1º.docx

1

El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros símbolos son usados para representar números desconocidos. Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a ambos lados de el signo igual (=), así: x-5=2 x-5+5=2+5 x+0=7 x = 7 (la respuesta)

Los números enteros se utilizan en la ciencia y en la vida cotidiana. Sirven para mostrar altitudes bajo el mar, variaciones de temperatura, para la elaboración del balance de una empresa, para hacer cuentas en casa, para mostrar tendencias, patrones y regularidades.

CAPACIDAD:

DESTREZAS

VALOR - ACTITUD

TAREA 01 CONTENIDOS

MÉTODOS

2

MICROACTITUDES

ÁLGEBRA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

FRACCIONES ALGEBRAICAS

ECUACIONES

MATRICES

INECUACIONES

DETERMINANTES

SISTEMA DE ECUACIONES E INECUACIONES

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-

Jwarizmi

3

Desde el primer instante en que apareció el hombre, mucho antes de que aprendiera a pensar en si mismo, a razonar o a tener siquiera el primer concepto, todo su pequeño mundo circundante le estaba hablando de Matemática: la distancia de su cueva al río, el número de plantas, la longitud y el peso de una caña, los grupos de animales que veía, la comparación de su velocidad para correr a la caza de su presa o para escapar de los peligros que le acechaban, la altura para alcanzar los frutos silvestres el lapso entre el amanecer y el anochecer, el transcurrir incesante de los días, la cantidad de frutos recogidos, el crecimiento de su tribu y en fin, todo cuanto le rodeaba no hacía sino conducirlo por un camino inevitable: calcular, contar, medir, comparar. Había nacido, pues, la Matemática junto con el hombre, no porque éste la inventara, sino porque el lenguaje de la naturaleza está dado en conceptos, relaciones y funciones matemáticas

Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán AlJwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usaba primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que se usaba primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquiriendo finalmente su sentido actual de procedimiento sistemático de cálculo. En cuánto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.

ALGEBRA

Un poco de Historia En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números.

Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y AlJwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como el padre del álgebra moderna.

1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Lider Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra. En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponenciales positivos o negativos.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos. 4

En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d'Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estilo.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día. Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.

Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la Aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi , las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk:

En 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J.W. Gibbs encontró en el Álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir: "Investigación sobre las leyes del pensamiento" (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el Álgebra moderna también llamada álgebra abstracta- ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas la ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

En 1591 el matemático francés Francois Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representa las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de Álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las Matemáticas fue el descubrimiento de la Geometría Analítica que contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones. En el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (Números complejos). En los tiempos de Gauss, el Álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de 5

REVISIÓN DE ELEMENTOS ALGEBRAICOS El Álgebra, como toda ciencia, es un conjunto de conceptos y definiciones que se relacionan mutuamente. Para su mejor comprensión es necesario conocer los conceptos básicos como: constante, variable y término algebraico; de esta manera los temas que continúan se harán mas entendibles y familiares. 1. CONSTANTE Concepto. Es todo aquello que no cambia de valor.

Recuerda Las constantes se

Ejemplo:

representan con números.

 El ancho de esta hoja.  El número de departamentos del Perú.  La cantidad de dedos de tu mano derecha.  Las vocales.

   

Cada uno de los ejemplos anteriores se pueden expresar con número. Así: El ancho de esta hoja es. Los departamentos del Perú son 24. La cantidad de dedos en tu mano derecha es 5. Las vocales son 5.

¿Sabías que?

La vocal “e” en matemáticas representa a una constante su valor es 2,7182…

Ahora tu: Escribe cuatro ejemplos de constante y expresarlos con números.  El largo de ___________________________________________  ____________________________________________________  ____________________________________________________  ____________________________________________________

Recuerda Las variables se representan con letras.

Los ejemplos anteriores se pueden expresar mediante letras así: Representación Literal  La edad de una persona  El número de campanadas que da un

Generalmente las variables se representan con las últimas letras del alfabeto.

x y

reloj en una hora cualquiera.  La cantidad de personas en el Perú.

¿Sabías que?

z

6

 El número de peces en el mar.

w

Ahora te toca a ti: Escribe cuatro ejemplos de variable con su respectiva representación literal.  ________________________________________

 ________________________________________

Generalmente las variables tienen números escritos en la parte superior derecha, estos reciben el nombre exponentes. Ejem.:

 ________________________________________

x

 ________________________________________

3

Exponente

2. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de multiplicación. Constante

7

Término Algebraico

x

Ejemplo:

7x

Multiplicamos

Variable

Observa como las constantes y variables se multiplicar para formar términos algebraicos: CONSTANTES

VARIABLES

2

x

TÉRMINO ALGEBRAICO 2x

-13

xy

-13xy

-4

x2 y

-4x2y

21

x2y3

21x2y3

7

x9y2z3

7x5y2z3

Observa El término algebraico: 1

7x = 7x y el término 2

1x = x

2

Ahora te toca a ti: En la siguiente tabla multiplica las constantes y las variables para formar términos algebraicos. CONSTANTES

VARIABLES

3

x

-2

Y

12

xw

-14

xyz

20

x2

32

X2z

TÉRMINO ALGEBRAICO

7

x3z2

-7 3.1

PARTES DE UNA TÉRMINO ALGEBRAICO Consta de 2 partes.

7 x2y3 Parte Constante

Parte Variable

Ejemplo: En la siguiente tabla identificamos la parte constante y la parte variable:

TÉRMINO ALGEBRAICO

PARTE CONSTANTE

PARTE VARIABLE

2x

2

x

-3xy

-3

xy

17xyzw

17

xyzw

-12x2y

-12

x2 y

20x3y2

20

x3y2

-10x8y5z4

-10

x8y5z4

Recuerda Los exponentes de las variables siempre deben ser números.

Ahora te toca a ti: a) Completa la siguiente tabla:

TÉRMINO ALGEBRAICO

PARTE CONSTANTE

PARTE VARIABLE

Los exponentes de las variables siempre deben ser números.

5x -4wz 14ywz -45x2w 34x3z5 -16x12y7w10 12wz3yx24 -

Recuerda

1 2 3 x yz 2 8

b) A continuación se presentan varias expresiones, escribe (SÍ) si la expresión es algebraica y (NO) si no lo es. 3

2 1/ 2

1. 2x y  8x y 3

2. 2x

4

 6x y

1 3  x 3

3xy  2mn z 2

3

y

2

6. x  x  x  ..... 7. x

5

8. 3m

3

2

 2x  1

2

9. 3x  x

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

11. 7x

4

2

5

3 2 2 3. 8a  7b  c 3 4.  4 x  y

5.

(

 10

10. 3  x 2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

x 5 x

12. x  2  3 13. 2x  4y

1

x

14. 2  3 3xy 2 15.   2y z z 16. 4ab  bc  3bc 3 17.  2x    18. 10 19. –2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( (

) )

(

)

2

2

20. log 2  x  x

1/ 3

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Copia en tu cuaderno y reduce las siguientes expresiones. 16. 3x  4xz  3y  6y  3yz

1.

3x  5x  4 x

2.

b  2b  4b

3.

 x y  2x y  3x y

4.

a  8a  11a  15a  2a

2 2

3

2

2 2

3

3

3

3

2x  xy  12  3x  46  3xy  12

7.

3a  b  2b  4a  b  2a  4a  b

8.

xy  x y  2xy  3x y  x y  3xy

9.

2x  3y  2z  4  2y  3x  12  4z

2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

c

3

a

b

12. 2x  3y  4z  x  2y  3z b

b

2 2

2

2

2

2

2

15. 4xy  2x y  5x y  5xy

2

2

2 3

3 2

2 3

3 2

3 2 1 5 2 2 2 3 1 2 1 2 25.  a  ab  b  a  ab  b  b  2ab 4 2 6 3 4 6 3

3

26. 0,3a  0,4b  0,5c  0,6a  0,7b  0,9c  3a  3b  3c

c

5 2

2 5

5 2

2 5

5 2

27. 12x y  6x y  x y  3x y  10x y

a

2

2

24. p q  4p q  2p q  4p q  5p q

2

2

2

2

28.  7p  9q t  5tq  8p  3q t  4tq

14. 0,2x  0,4y  0,3z  2,1y  3,2x  4,8z 2

4

23. 3mn  m  n  4mn  2m  5n  m  2n  mn

13. x  y  4  3y  12x  12

2

2

2

11. a b  a b  ab  2a b  3a b  2ab

a

3

4

22. 9k  2r  7r  5k  r  3r  2r  5k

3

3

3

21. ab  8bc  7ac  bc  12ab  7bc  5ac  11ab

10. x  x  2xy  3x  4x  3xy 2 2

4

20. 2x  5y  6z  8x  y  13z  x  6y  z

2

b

2

19. 8a  7b  2b  a  5b  3a  10b

3

6.

a

2

18. 7x  6xy  4x  2xy  9x  5xy

y y y y y

3

2

2 2

5.

3

2

17. 14x y  8xy  7xy  8  5x y  xy  3

2

2

2

2

29. xyz  x y  6x y  4xyz  5x y  x y

2

2

2

2

30. 4x  8x  5  3x  x  2x  3x  10

9

2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

3b1

a) 3 d) 6 2.

b) 4 e) 7

8.

son

c) 5

b1

a2

Si: son a 1x ; b  2x y abx , términos semejantes, halle la suma de coeficientes. a) 11 d) 40

3.

11

Si los términos 4xy ;  7xy semejantes, calcule el valor de "b".

A

5

b) 12 e) 15

continuación

semejantes: 2x 2

se

n2

c) 28 muestran

4

9.

; 6x ;  7x

1m

. ¿Qué valor

asume: m  n ?

4.

b) 13 e) 20 3a 12

a) 4 d) –11 5.

b) 15 e) 7

2 4m1 6

a) 6 d) 64

Término Algebraico 3x x 5x3 -2x2y x3yz2

6 a  2b

; N( x; y)  2x y

c) 19

Parte Variable

3 7 n2

b) 8 e) 68

11. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) Los números son constantes. II) Las variables se representan con números. III) 5 es una variable.

c) 60

La cantidad de meses de un año. ( Los colores del semáforo. ( Días de la semana. ( Las vocales. (

) 7 ) 5 ) 12 ) 3

a) Sólo I y III d) Sólo III

b) 2 e) 5

b) Sólo II e) Ninguna

c) Sólo I

12. Luego de hallar el área de las siguientes figuras indica cual de los resultados son constantes y cuáles son variables.

¿Cuántas variables existen en la siguiente oración? Subráyalas. Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas del mar en una noche despejada de pronto Mario pregunto papá. ¿Cuál es el número de estrellas en el universo? Es una cantidad mucho más grande que el tiempo de tu vida en la Tierra. Quizás tan grande como la cantidad de granos de arena en la playa, contesto Pedro. a) 1 d) 4

Parte Constante

y ; Q( x; y)  n x y

Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante: a) b) c) d)

7.

10. Completa el siguiente cuadro:

Si: P y Q son términos semejantes, halle la suma de sus coeficientes.

P( x; y)  m x

6.

c) 15

Si M y N son términos semejantes, halle: "2a + 3b". M( x; y)  3x y

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Representa mediante términos algebraicos las siguientes proposiciones: a) La edad de una persona. b) El doble del número de personas en el mundo. c) El triple del número de pasajeros que suben a un autobús. d) Menos el doble de la altura de un árbol.

términos

2

a) 10 d) 17

Se tiene las siguientes constantes y variables: -3, x, 7, y. Determina cuántos términos algebraicos se pueden formar multiplicando solo uno de los dos números con solo una de las dos letras. Indícalos.

I)

II)

4 4 III)

c) 3

2

a) Constante: III Variable: I, II

8

b a

17. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son falsas: I) -3 es un término algebraico. II) En un término algebraico las variables pueden tener exponentes negativos. III) Un término algebraico tiene tres partes: parte constante, parte variable y exponentes.

b) Constante: I Variable: II, III c) Constante: I, III Variable: II d) Todas son constantes e) Todas son variables 13. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones.

a) I y III d) I y III

a) Dos veces el número de postulantes a la universidad. b) Cinco veces el dinero que gaste. c) Menos tres veces el número de colegios del Perú. d) Menos ocho veces el área de un cuadrado.

b) 5 e) 3

a) 4x3 d) 12y8

a) 2 d) 5

b) –xywabpq d) 5

Parte Constante

c) 10z4

b) 3 e) 6

c) 4

c) 6 20. ¿Cuántos términos algebraicos con parte variable: x2w5 existen tal que su parte constante sea un número par de una cifra. Dar por respuesta aquel término donde la suma de su parte constante con los exponentes de la parte variable sea máxima

e) –x-1

a) 15 d) 14

16. Completa la siguiente tabla: Término Algebraico 5x-9y2 4x-1wz3 -25x3y8w-4 -14x-4w5z3

b) 8w5 e) 14m7

19. Con las siguientes constantes y variables: 4, x5, z3. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se pueden obtener? Indícalos.

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un término algebraico? ¿Por qué? a) 7x-2 c) 24799x2y5

c) Sólo II

18. Se busca un término algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. De los siguientes ¿cuál cumple con la condición?

14. Se quiere formar términos algebraicos multiplicando las siguientes constantes y variables: 7, x2, w. Con la condición que 7 siempre sea parte de los términos a formar. Determinar el número máximo de estos. a) 2 d) 4

b) Sólo I e) Todas

Parte Variable

b) 17 e) 18

¡Esfuérzate! Tú puedes

Exponentes

1 mn4 3 -2,8a2b5

10

c) 16

1.

Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante:

d) I y III 7.

a) El número de días del mes de Agosto. ( b) El número de estaciones del año. ( c) La cantidad de campanadas de un reloj al medio día. ( d) La cantidad de sentidos en el ser humano. ( 2.

4

) 31

III)

Según los resultados se puede afirmar que: a) El área de III es un término algebraico. b) Las áreas de I y II son términos algebraicos. c) Sólo el área de II es un término algebraico. d) Las áreas de I y III son términos algebraicos. e) Todas las áreas son términos algebraicos.

c) 1

8.

Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones.

c) 6 a) Menos cuatro veces el área de un rectángulo. b) Menos el doble del área de un triángulo. c) Menos tres veces el área de un círculo. d) El cuádruple del área de un cuadrado.

términos

9.

Se tiene los siguientes conjuntos:

A 3 -4 7

B

w2 xy3 z2y5 xw

Parte Variable Tomando un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B. ¿Cuántos términos algebraicos se pueden formar? a) 2 d) 4

¿Cuántas de las siguientes proposiciones son Falsas? I) 3 es un término algebraico. II) 3x2yw es un término algebraico. III) x es un término algebraico. a) Sólo I

x2y

3

Completa el siguiente cuadro: Parte Constante

2

3

5

El dinero de una persona. El quíntuple de la temperatura ambiental. Siete veces la distancia Tierra – Sol. Menos cuatro veces el tiempo transcurrido.

Término Algebraico -4x -x 8x5y2z 325x2wa 6.

b) 4 e) 7

Representa con ayuda de algebraicos las siguientes frases: a) b) c) d)

5.

b) 2 e) 8

II)

x

Toma solo uno de los siguientes números: 2; 5; 4 y solo una de las siguientes letras: w; z; multiplícalos. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se formaran? a) 5 d) 3

4.

)

Halla el área de las siguientes figuras: I)

En el siguiente texto subraya las variables que puedas encontrar. ¿Cuántas son? El número de días del mes febrero es un problema pues yo siempre celebro el 29 de febrero el día de mi nacimiento y depende de esto la edad que tengo. a) 3 d) 0

3.

) 12 ) 5

e) I y II

b) Sólo II

b) 5 e) 3

c) 6

10. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un término algebraico? I. -35 II. -2x-3 III. z2wx a) Sólo I d) I y III

c) Sólo III

11

b) II y III e) Todas

c) Sólo II

11. Completa la siguiente tabla: Término Algebraico 4x5y-1 -x-1 -3x-2 -xy2 5xy2z3w4

Parte Constante

Parte Variable

II) x es un término algebraico. III) El exponente de una variable en un término algebraico puede ser.

Exponentes

a) I y III d) Ninguna

b) II y III e) Todas

c) I y II

13. En cuál de los siguientes términos algebraicos: I) 15x3y1 II) 3x2w-1 III) -2xwz5 Se cumple que la suma de su parte constante con los exponentes de su parte variable es un número que se puede dividir entre cinco.

12. Señala cuál o cuales de las siguientes proposiciones no son ciertas: I) Las únicas letras que se pueden utilizar para representar a la variables son: x, y, z, w.

a) En II d) En III

b) En I c) En I y II e) En ninguna

SIGNOS DE AGRUPACIÓN Son símbolos que se utilizan para agrupar expresiones separándolas de otras. Las principales son:

(

)

Paréntesis

{

}

Llaves

[

]

Corchete

Ejemplo: 

(x + y) + 3w



[x – 2w] + z



{7x - 2z + y} + 3x



5x – (4w + z)



(3w2 + z) – [2 - w] + 4

¿Sabias Que? Existe otro signo de agrupación llamado Barra que actualmente no se utiliza. Su representación es: _______

¡Claro y es muy fácil! Si quieres enterarte sigue ¿Se pueden eliminar los

leyendo

signos de agrupación?

7w – [x + 2] + (x - 2) 1.

Si eliminamos un signo de agrupación que lleva delante un (+) entonces la expresión interna no cambia.

SUPRESIÓN DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Ejemplo:

12



+(z + 2) = z + 2



+(z – x) = z – x



2 + (x + y) = 2 + x + y



+ {2x - w} = 5 + 2x – w



3x + y + [3 + 4w] = 3x + y + 3 + 4w



-{4 + 5w} = -4 – 5w



-[5x – 3w] = -5x + 3w



2 – {3x + 5y} = 2 – 3x – 5y



2x – (4y + z - 7) = 2x – 4y – z + 7



-y –[2 – 8z + y] = -y – 2 + 8z – y

¿Sabías que? Los paréntesis, corchetes y llaves, fueron introducidos por Vieta (Matemático Francés 1840 – 1603) en

Ahora te toca a ti: En cada caso elimina los signos de agrupación y resuelve: 1)

+{2 + x} =

13)

6n   x   x  2x  n  x

2)

+(3y - 4) =

14)

3p  q  2p ´p 2p  3q  p

3)

+[2 + x + w] =

4)

+ (x – 2y) =

15)

5)

5x + [2y – w + z] =

3 5   19 1   1 a   b  a   a  b 4 6   12 2   2

6)

+{x + y} – 4 + [z + w] =

16)

2p  3  3p  4q 2q  3p  q  p

7)

7x – (2x – 3) + (3x – 4)

17)

x  2x  3  4x  2   3x  1  5  2x  3x  2

8)

 5a   a  2   a  4

18)

 2b  5a  a  a  3b  a  b 12a

9)

 x  2y    2x  y  3x 

10)

 3a  b  2a  b  5a  b

19)

2  2 2 2    3x  5y   3x  y   6  x     x  y           

11)

3x  2y  z  2x  2y  z  x  3y

20)

   x    x    y  z     z 

12)

p  3p  8p  3  p  3p  5

Algo con más dificultad: Reduce. 1)

 8y   7y  3y  7x   2y  8x  5x

2)

  3a  b   a  2a  b    a  b   3b 4a

3)

2 2 2 2 2 4x    x  xy     3y  2xy     3x  y        

4)

 x   x  y    x  y  z    x  y  y

6)

  17m   m  7  2m  (m  6)  (4  3m)

7)

3 x  y  2 x  x  ( 3y  2 x )  ( x  y )

5)

13

5xy  2xy   4xy  2  5  3xy

8)

x   2x  y    x  y  z  x  z

12)

9)

2a   3a   a  7  2a  7  

13)

    3m   m  (n  m  4  (m  n)  (2n  3)

14)

2x  x  2y  (5x  2y)  x  y





10) 13x   2x  (3x   x  y  2y)  3y 11)

1.



3x  x  y  2x  y

  a   a  (a  b)  a  b  c   (a)  b



¿Cuáles de los siguientes signos son de agrupación?

a) III d) I y II

b) II e) Todas

c) I

I) II) ( III) {

) }

a) Sólo II b) Sólo I c) Sólo II y III 2.

3.

ii. iii. iv. v. 4.

6.

Relaciona correctamente: Expresión por reducir reducida

d) Todos e) Ninguno

Señala lo correcto: respecto a la supresión de signos de agrupación: i.

Luego de eliminar los signos de agrupación reduce: 5x – (2x – 3x) Señala la expresión resultante: a) 2x b) 6x c) 4x d) 0 e) 3x

d) Sólo III e) Ninguna

¿Cuál de los siguientes signos no es de agrupación? I) ( ) II) { } III) [ ] a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo II y III

5.

Si (+) antecede a un signo de agrupación, la expresión interna cambia. Si (-) antecede a un signo de agrupación, la expresión interna no cambia. Si (+) precede a un signo de agrupación, este no se puede suprimir. Si (-) precede a un signo de agrupación, la expresión interna cambia de signo. Ninguna de las anteriores.

a) 2w + [3w - w]

(

)

0

b) (5w + 3y) – 3y

(

)

w

c) 4w – [2w + w]

(

)

4w

d) –{4w - w} + 3w

(

)

5w

7.

En los siguientes problemas suprime los signos de agrupación y luego simplifica:

8.

3x + {8x2 – 3x} – [-2x + 8x2] Señala la expresión que se obtiene: a) -2x d) x

9.

Elimina los signos de agrupación en cada caso: I) -(x - y) II) w + {z - y} III) -[-z + w] - y Luego indica la expresión que tiene más términos negativos.

Expresión

b) 2x e) -x

c) 0

-7x2 – (3x + w) + [7x2 + w] Indica la expresión obtenida: a) -3x d) 7x2

b) 3x e) -2w

c) -w

10. –(4x - 5) + [3x - 13] – {-5x – 8 + w} – {5x - w} Señale la parte constante del término que se obtiene:

14

a) 1 d) -1 11.

b) -2 e) 3

c) 2

a) 3 d) 7

–{5w – 7 + y} + [-3 + 4x + y] – {2 + 2w} + {14w – 2 – 4x}

b) 7 e) -3

a) –z d) –x

c) –w

b) x e) 0

c) 2 15. 4w – {-8x – [8y – 4w + (8x – 8y)]} – 9x

12. 3y – {2y – (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w} Señala la suma de las partes constantes a) -9 d) -3

c) 8

14. -3x + {5w – [5z – 3x – (-5w + 4z)]} + z

Indique la parte constante del término algebraico resultante. a) 3 d) -7

b) 5 e) 9

b) -7 e) 7

a) 0 d) 3w

b) 7x e) -7y

c) 7y

16. 3x + {9xw – {2x – 4xw – (5xy2 – 4 – 7x) + [3x + 13xw – (-3x + 4)]} + 10xy2}

c) 9

13. {(3y – 7 - w) + 4 – [-2y – 3x - 3] – 5y} + 10x Dar por respuesta la suma de las partes constantes.

a) 12x – 15xy2 b) 15x – 12xy2 c) 15x + 12xy2

d) -12x + 15xy2 e) -12x – 15xy2

TAREA DOMICILIARIA 1.

¿Cuáles de los siguientes signos son de agrupación? I) | | II) III) [

d) Todos e) Ninguno

b) Sólo II e) Todos

5.

c) Sólo III

6.

b) Solo I y III e) Solo III

b) -19 w e) 19w

c) 3w

Relaciona correctamente: Expresión por reducir reducida

Expresión

a) 2w2 – w – (2w2 - w

( )

7z

b) 3w + z – [-6z + 3w]

( )

-7w

c) –[3z – 5w] + 3w – [-5w – 3z] ( ) d) {4z – 12w} – (-5w + 4z)

a) VFV

c) Solo I y II

Luego de suprimir los signos de agrupación simplifica: - 8w – {-4w + 11w} Señala la expresión resultante: a) 0 d) -15w

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. Si suprimimos un signo de agrupación precedido por (+) la expresión interna no cambia. b. Si suprimimos un signo de agrupación precedido por (-) la expresión interna cambia de signo. c. Los principales signos de agrupación son 3: ( ) , [ ] , { }

e) FVF

Señala lo correcto: I) -(x + w) = - x – w II) +{z - w} = z – w III) -[y - z] = -y – z a) Solo I d) Solo II

¿Cuál de los siguientes signos no es de agrupación? I) { } II) ( ) III) [ ] IV) ¡ ! a) Sólo I d) Sólo IV

3.

4.

]

a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo III 2.

d) VVF

b) VVV c) VFF

15

( )

0 13w

En los siguientes problemas suprime los signos de agrupación y luego simplifica:

7.

11. -4z + {-2w + (7y – 3w) – [3y – 4z] - y} Señala la suma de las partes constantes. a) -2 b) 3 c) 4 d) -5 e) -7

-7x – {-5x2 + 7x} + (2x – 5x2) Indica la expresión que se obtiene: a) 12x b) -12x c) x d) –x e) 0

8.

7w2 + [-3y - z] – {-3y – 4z + 7w2} a) 3z b) 2z c) –x d) 3y e) 4x

9.

(3x + 2) – [9x + 4 - w] + {-7x – 5 - w} – (7w – 13x - 7)

12. {-(-4x – 2 + y) – 7 + [3x – 4w + 5] – 7x} + 12w Dar por respuesta la suma de las partes constantes. a) 4 b) 3 c) 7 d) 5 e) 2

13. -7w – {-3z – [-8y + 7w + (-3z + 11y)]} – 3y a) w b) z c) 0 d) y e) –z

Señala la parte constante del término algebraico que se obtiene: a) 8 b) 6 c) -6 d) -7 e) 7

10.

14. -3y – {-8w – [-7z + 3y – (-w – 7z)]} – 9w a) y b) z c) w d) 0 e) -w

(4w – y + 3) - (8y – 3 – 7w) + [-4 – 9w + 9y] – {-2w + 2}

Indica la parte constante del resultado: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16

17

La teoría de exponentes estudia todas las clases de exponentes que existen y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes. La operación que da origen al exponente es la potenciación.

Los polinomios son dos o más expresiones algebraicas que se obtiene mediante el uso de constantes, variables y operaciones como por ejemplo una suma o resta de monomios no semejantes Ejemplos: 

4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

En este caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con

varias letras

CAPACIDAD:

VALOR - ACTITUD

TAREA 01

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN DESTREZAS

RESPONSABILIDAD PUNTUALIDAD CONTENIDOS

MÉTODOS

18

MICROACTITUDES

TEORÍA DE EXPONENTES

POTENCIACIÓN

RADICACIÓN

LEYES DE EXPONENTES

Producto de Bases Iguales

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE RADICALES

Cociente de Bases Iguales Producto / cociente de bases diferentes e igual potencia Potencia de potencia Exponente negativo Exponente cero o nulo Raíz de una potencia Producto / cociente de radicales homogéneos Potencia de un radical Radical de radical

Si, Ethel, Las Leyes de exponentes nos ayuda a simplificar las operaciones: Por ejemplo: 9 elevado a la octava y este exponente elevado a 1/3 es 81.

19

Los dedos de las manos como el conjunto auxiliar más primitivo y cercano que tuvo el hombre a su permanente disposición, para compararlo con otros conjuntos han ejercido una influencia decisiva en su carrera hacia la posesión de los números. De la relativa abstracción que significó ya el hecho importante de comparar dos conjuntos heterogéneos (el de los dedos y el de las ovejas, por ejemplo), un destello de luz ilumina su mente para asociar una voz, un sonido a cada dedo de la mano. Pues así como lo hacen los niños ahora, así como van separando sucesivamente un dedo a la vez que van diciendo: uno, dos, tres... etc., así también el hombre primitivo, conforme iba saliendo una oveja iba separando un dedo o una piedrecita, a la vez que fue encontrando sonidos o voces especiales para cada una de esas situaciones numéricas. En esta forma, de la primitiva comparación de dos conjuntos, homogéneos primero y heterogéneos después (pero integrados siempre por entes materiales), pasa a la comparación de un conjunto integrado por entes inmateriales (voces o sonidos) con otro integrado por entes materiales (dedos de las manos). Y entonces, al haber formado el primer conjunto integrado por entes inmateriales (los sonido, o voces correspondientes a cada uno de los dedos de las manos) abrió un nuevo horizonte para su progreso y halló un instrumento eficaz para comenzar a calcular. Había salido ya de la pre-historia para ingresar gloriosamente a la iniciación histórica, legándonos los hitos de su larga, fecunda y ascendente trayectoria, que nos hablan con tanta elocuencia de sus luchas para desentrañar los secretos de la naturaleza.

POLINOMIOS 1.

TÉRMINO ALGEBRAICO Unión de constantes y variables, unidas solo mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Partes del término algebraico:

T(x, y) = -7x7 y4 parte literal

 Las bases (x, y)  Los exponentes (7 y 4)

coeficiente (parte numérica) CARACTERÍSTICAS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO: 1.

Los exponentes variables :

no

pueden

ser

2.

T(x, y, z) = 7xyz  no es T.A. T(x, y) = 8x2 y3  si es T.A

Los exponentes no pueden ser expresiones numéricas racionales : T(x, y) = 24 x

2

y3  no es T.A.

T(x, y) = 5x7/9  si es T.A.

En un término algebraico los exponentes de las variables deben ser números y no letras.

2.

MONOMIOS Término algebraico donde los exponentes de la parte literal son numéricos enteros positivos, incluido el cero.

Ejemplo:

-5x3 y5 z6 = T(x, y, z)

Donde: -5 : parte constante (coeficientes) ; x3 y5 z6 : parte literal CARACTERÍSTICAS DE UN MONOMIO: 1.

2.

Al expresar M(x, y) indicamos un monomio de 2 variables.

Ejemplo: M(x, y, z) =

Todo monomio posee 2 grados :

tiene 3 variables

a.

Grado Absoluto (G.A.)

b.

Grado Relativo (G.R.) : se refiere a una de sus variables

a. b. c. d.

20

Grado Relativo a x : Grado Relativo a y : Grado Relativo a z : Grado Absoluto :

7 7 3 2 x y z  3

GRx GRy GRz GA

= = = =

4 3 2 9

3.

POLINOMIO Suma algebraica limitada de monomios no semejantes.

Ejemplo: 

5x2 y3 + 7x2 y3 + 12x2 y3 - 24x2 y3 = P(x, y) Tiene igual parte literal  son monomios semejantes. NO ES POLINOMIO.



P(x, y) = 8x2 y7 + 32xy - 12x3 y + 18xy7

SI ES POLINOMIO (de 4 monomios)

Los términos semejantes son como los integrantes de una familia. Tienen los mismos apellidos (igual parte variable). Ejemplo:

Integrantes de una familia

Juan Torres Salas

Pedro Torres Salas Igual parte variable entonces son términos 2 5 semejantes 7x y 2 5

-2x y

CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO: 1. Al expresar P(x, y) indicamos un polinomio de 2 variables “x” e “y”.

El grado es la característica principal de un monomio de un polinomio. 3

10

5x Tiene ; 7x Tiene grado grado 10 es 3 más importante

2. Todo polinomio posee 2 grados : a. Grado Absoluto (G.A.): Dado el monomio de mayor grado.

Ejemplo:  P(x, y) = 7x2 y3 - 12x3 y8 - 24x2 y7 + 2xy

¿Cuál es mayor? 

7x2 y3 - 12x3 y8 - 24x2 y7 + 2xy 5º

11º

 P(x, y) = -5x9 y8 +

-5x9 y8 + 17º

9º

2º

13 2 7 x y + 10x12 y5 – 3x 7

13 2 7 x y + 10x12 y5 – 3x 7

9º

17º

11º es el mayor entonces G.A. : 11

¿Cuál es mayor?



1º

21

17º es el mayor entonces G.A. : 17

b. Grado Relativo (G.R.): Dado por el mayor exponente de la variable referida

Ejemplo:  P(x, y) = xy + 11x2 y7 – 19xy3 + 3x – 32y9 GR1x = 1 GR1y = 1

GR2x = 2 GR2y = 7

GR3x = 1 GR3y = 7

GR4x = 1 GR4y = 0

GR5x = 0 GR5y = 9

¿Cuál es el mayor GR de x?  2 entones GRx = 2 ¿Cuál es el mayor GR de y?  9 entones GRx = 9  P(x, y) = 2x2 y3 – 24xy12 + 12x3 y4 – 7xy GR1x = 2 GR1y = 3

GR2x = 1 GR2y = 12

GR3x = 3 GR3y = 4

GR4x = 1 GR4y = 1

¿Cuál es el mayor GR de x?  3 entones GRx = 3 ¿Cuál es el mayor GR de y?  12 entones GRx = 12

1. Escribe SI o NO según corresponda en cada paréntesis Expresión Algebraica 3

¿Es un polinomio?

2

c)

 6a b

(

)

d)

8x y

(

)

e)

 xyz

(

)

63 x 3 3 3 4 2 5 n m n m 4 5

f)

2 x y z

(

)

g)

 5x y

(

)

h)

x y

1/ 3

(

)

i)

9 x y

b)

6m n  2m n  2mn

c)

ax  bx  cx  d

d)

3 a b  3a b  2b

g) h) i) j) k)

5 2

3

3

2

2 6 3

2x

x

 2p q  10

4

2



x x

2

3

1

 8x  12

2

(

3

4 x  x  7x  1 1 1   2x  5y x y 3

5x  5 y  3xy  y 6

l)

4 2

1/ 3

2q

x

2

)

6x  2x  8x  1

f)

a) 15 b) 3a

(

a)

e)

2. Calcule el grado relativo y el grado absoluto de los términos siguientes:

x x x

2

3

2

 9x  6

4

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5 6 5

3 10 3 2 4 3

a 2a m m 2m 8m

z

a1 a2 a3

j)

 5m

k)

Q(a; b; c)  3a b c

l)

F( x; y; z)  6 x

n

p

2 5 4

2 mn mn m2n

y

z

12a 3a 8a

m) H(m; n; p)  15m

n p

3. En los polinomios dados, calcule el grado relativo y el grado absoluto. a)

22

3

2

x x x

2

4

b)

5a  3a  4a  6

c)

a b  a b  ab  b

d)

x  6x y  x y  3y

e)

a  a  ab

f)

6a b  4a b  ab  5a b

g)

3

2 2

3

5

4 3

2 4

3

2

4 7

6

4

6

8

15

4 3 2

h)

3x y z  x y z  16

i)

11x

 7x

y

6

a2 a3

4

 2x

y

k)

R( x)  2x  5x  7x  12

l)

Q( x; y)  5x y  2x y  7xy

3

a3 a2

y

6

2 4

3

a) 4 d) 7

3 2

m) P( x; y)  6ax y  9axy  5x y

2

3

a) 3 d) –9

4

a)

6x  2x  4 x  5x  x  1

b)

5ax  4x  2ab  7ax  9 2 3 6 5 3 1 3 8 2 xy z  x yz  xy z  x 7 5

2

5

3

2 2

5

3x yz  2x y z  x yz  12

e)

0,3xy  6x y  0,8x y  8x y  6

f)

2xy  3x y  5x y  5 1 2 6 5 2 3 x  x  7x  x  4 x  2 5 3

g) h)

3

6

2 4

3 6

4 3

4 6

2 4

2 4

a) 7 d) 5

5

2

3

3y  5y  6y  y  2

b)

 y  8y  5y  4y  6

c)

5x y  6x y  2x  8

d)

2xy  3x y  x y  6x  3 1 2 5 2 2 3 3 6xy z  x y z  y z  6 3

e)

4

a) 8 d) 10

6

3

a) 21 d) 24

2 3

4 2

2 3

c) 10

b) 15 e) -9

c) –18

b) 10 e) 0

c) 5

b) 2 e) 5/3

c) 9

b) 6 e) 12

c) 2

b) 7 e) 4

c) 6

13. En el monomio M(x, y) = 4x n-3 y4n. Calcule GRy si GRx = 4

5

a)

5

b) 6 e) 8

12. Calcule el GRx si GRy = 12 en : M(x, y) = 12xn-2 yn+4

5. Dados los siguientes polinomios, ordénelos en forma creciente y complételos respecto a "y".

2

3 2

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6 11. Halle el coeficiente si GRx = 2; GRy = 3 en : M(x, y) = (a + b - 5)xa+1 yb-3

xy  3x y  x y  x y  y  6

4

6

10. Hallar el coeficiente si GA = 14. M(x, y) = (n + 2)xn+5 y2n

4

d)

2

3 3

9. Calcular “n” si el monomio : M(x, y) = 44 x3n y2 es de GA = 11

4. Ordene en forma decreciente respecto a la variable "x" cada polinomio siguiente:

3

4x y  5y  7x y  9y  2

8. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x, y) = 11xn y7 si sabemos que GA = 12

3 5

2

c)

h)

a) 18 d) 12

P( x)  3x  5x  x  2

3

0,6xy  0,8x y  13

7. Halle el valor del coeficiente si sabemos que el monomio es de GRx = 3. M(x, y) = -3nxn-3 y

2

j)

5

4

g)

a) 7 d) 0

11

m n  mn  mn  m  n  m

a1 a1

2

4 3

3 8

4

3 2

2 6

 6xy  5x y  3x y  6y  8

6. El siguiente monomio es de GA = 12. Hallar “n” : M(x, y) = 2xn-2 y6

3

2

4 2

4

4

f)

b) 28 e) 18

c) 3

3

14. En el siguiente polinomio: P(x) = 2xa-2 – 7xa + 12xa+4. Calcule el valor de “a” si GA = 12

23

a) 8 d) 11

b) 14 e) 10

17. Calcule la suma de coeficientes si GRx = 3. P(x) = xa+1 – axa+2 + xa+3

c) 12

a) 2 d) –3

15. En el polinomio: P(x,y) = x2a+4y – 7xay2 – 8xa-3y2. Calcular el valor de a si GRx = 8 a) 11 d) 7

b) 8 e) 4

b) 10 e) 8

c) 4

18. Halle “a” en P(x) = ax22+a – 12x2 + 27x3 si la suma de coeficientes es cero.

c) 2 a) –15 d) –27

16. Calcule el valor de “a” si GA = 14 en : P(x) = 7x2 ya+2 – 12xa+1 ya+3 + 18xa+2 a) 5 d) 6

b) 3 e) -2

b) 15 e) 18

c) 12

19. ¿Cuál es el GRx en el problema anterior? a) 15 d) 7

c) 12

b) 3 e) 5

c) 2

TAREA DOMICILIARIA Nº 3

1. En los siguientes monomios de el valor de los GR de cada variable : 5. Halle “b” si GA = 24 en : M(x, y) = 24xb+2 y2b+1 a) 5 b) 10 d) 21/2 e) -7

a. M(x, y) = 7x2 y9 b. M(x, y) = 8xy9 c. M(x, y) = -12x3 y6

c) 7

6. Calcule el coeficiente si GA = 11. M(x, y) = (a + 4)xa+2 y2a

d. M(x, y) = 24xy e. M(x, y) = -72xy6

a) 7 d) 2

2. Hallar el valor de “n” si GA = 12 en : M(x, y) = 3xn+2 yn a) 5 d) 8

b) 6 e) 4

b) 13 e) 19

c) 7

a) 22 b) 24 c) 21 d) 12 e) 9 8. En el siguiente polinomio : P(x) = 2x4 + 4x5 + 6x2 – 3. ¿Cuál es el GA?

c) 23

a) 4 d) 5

4. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio : M(x, y) = 25xn yn+2 si GA = 12. a) 5 d) 8

b) 10 e) 12

c) 3

7. Calcule el coeficiente si GRx = 12 y GRy = 9. M(x, y) = (a + b + 24)xb+15 y9+a

3. Hallar el coeficiente si sabemos que el monomio tiene GRy = 13. M(x, y) = (2n + 3)x4 yn+3 a) 22 d) 20

b) 9 e) 4

b) 2 e) 0

c) 3

9. Calcule la suma de coeficientes si GRx = 2. P(x) = 2axa – axa-1 + 3xa-2 a) 6 d) 5

c) 6

24

b) 4 e) 3

c) –2

10. Calcule el valor de “a” si GA = 10 en : P(x) = -2xya + 7x2 ya – 3x2 y7 a) 7 d) –3

b) 8 e) 2

13. Del problema 11, ¿cuánto vale GRz? a) 16 d) 14

c) 10

b) 7 e) 6

c) 2

a) 10 d) 15

12. En el problema anterior halle GRy : a) 7 d) 14

b) 16 e) 13

c) 9

14. Halle el valor de “n” en : M(x, y) = 2x2 yn – 2yn+2 + 3xn-3 y; si : GA = 12

11. Calcule el valor de “a” si GRx = 11 en : P(x, y, z) = -2x2+ayz2 + 2ya+5 – 3xyza+4 a) 9 d) 1

b) 7 e) 13

b) 5 e) 12

c) 8

15. Del problema anterior, ¿cuánto vale el GRy? c) 8

a) 10 d) 12

b) 6 e) 2

c) 8

OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Para sumar o restar Monomios estos deben ser semejantes, es decir, tener la misma parte variable.

Ejemplo: 

3x + 2x

Se pueden sumar porque tienen la misma parte variable.



5x + 3x2

No se pueden sumar pues sus partes variables no son iguales.



4w – 5x

No se pueden restar porque las partes variables son diferentes.

Y… ¿Cómo se suman o restan los Monomios?

¡

Fácil

!

Para sumar o restar Monomios solo se trabaja con las partes constantes y al resultado se le agrega la parte variable común.

Ejemplo: 5x – 7x

¡Que fácil es sumar o restar monomios!

Nos olvidamos de la parte variable, así:

(5 – 7) x

25

Hallamos el resultado, así:

5 – 7 = -2 Resultado Al resultado le agregamos la parte variable común: así:

5x - 7x

=

-2x

¿Sabías que? El prefijo MONO significa UNO, es

Parte Variable Común

decir, Monomio significa un solo término.

Más ejemplos: 

3w + 7w



9w2 - 5w2 = 4w2

= 10w



-4xy + 2xy = -2xy



-7xz3 – 2xz3

= -9xz3

Ahora Te Toca a ti: 

4w + 7w

= ……………………



9zy4 – 7zy4

= ………………



5y3 - 8y3 = …………………….



-8wzx – 3wzx

= ....…………..

I. Halla el resultado en cada operación: II. Reduce en cada caso:

1.

2x + 5x =

2.

3w + (-5w) =

11. 3x2 + 4x2 + 7x2 =

3.

8z + (-4z) =

12. 4w3 + 2w3 – 8w3 =

4.

(-7y) + 3y =

13. 5z4 + 7z4 – 2z4 =

5.

(-2x) + 5x =

14. -12y5 + 3y5 + 2y5 =

6.

(-8w) + (-3w) =

15. -5x7 + 7x7 + 2x7 =

7.

2z – 7z =

16. -3w2 – 2w2 – 4w2 =

8.

5y – 3y =

17. 3z3 – 2z3 – 4z3 =

9.

(-8x) – (-5x) =

18. 10y4 – 4y4 – 3y4 =

10. (-4w) – 3w =

19. 9xw + 2xw + 4xw =

26

20. -12xy – 3xy – xy = a) III. Dados los siguientes polinomios: 3

b)

2

c)

P( x)  3x  x  4x  6 ; 3

2

3

2

d)

Q( x)  7x  10x  5 ;

e)

R( x)  x  4x  x  4  2

S( x)  8  6x  x  9x

VI. Resuelve:

3

1.

Calcule: a) b) c) d) e) f)

A  B  D B  C  D B  D  A A  B  C  D A  C  B  D

P( x)  Q( x) R( x)  S( x) P( x)  R( x) 2.

Q( x)  S( x) P( x)  R(x) S(x)

Si: ax2 + bx2 = 7x2 Hallar: a + b a) 7

b) 5

d) 2

e) 4

Si: mxn + pxn = 10x3 Hallar: m + n + p a) 10 b) 13

R( x)  P( x)  Q( x)

d) 14

IV. Efectúe las siguientes sustracciones: a)

De (2x + y) reste (2x – y)

b)

De (4a – 2b) reste (3a + b)

c)

2 2 De  2x  2xy  reste  x  xy     

3.

e) 11

Si: 3x2y – 10x2y + 5x2y = axmyn

d) 2

De (2a – 3b + c) reste (a – 2b + 2c)

e)

 3 2 2   1 2 3  De   a  a  1 reste   a  a  8  5 10  4   4 

4.

Si: -7w3z2 + mw3z2 – 2w3z2 = 3w3z2 Hallar: m a) 9

b) -9

d) 12

e) 5

4 3 3 2 Reste  2a  2a  3a  de  3a  2a     

g)

3 2 3 4 2 Reste  2x  3x  4 x  de  x  2x  3x  5     

h)

4 3 2 Reste   3ab  2a b  de  

Hallar: n + p

 2a 3 b 2  a 2 b 3  ab 4   

a) 1 d) -3

5.

6.

 2 2 2 3  Reste   x  y  xy  de 4   5

3

c) 3

¿Qué expresión hay que restarle a

2

3

2

3

2

a) 4x  6x  x  3

2

A  3x  2x  6x  8 ; C  7x  5x

b) 5 e) 2

igual a

 12x 3  6x  8  ?  

V. Dados los polinomios. 3

Si: 3x5zm – 7x5zn + 5xpzm = axpz3

16x 3  4x 2  9  para que sea  

2 3 2 1  x  xy  y  2 4 

2

c) -12

m +a

2 2 Reste  5b  3b  6  de  4b  11b  3     

4

c) 1

e) -2

f)

j)

c) 12

Hallar: a + m + n a) 4 b) 3

d)

i)

c) 6

B  7x  4x  11 ;

c) 4x  6x  x  3

4

 D  x  4x  1 . Halle:

27

3

2

3

2

b) 4 x  3x  6x d) 4 x  4 x  6x  1

3

Calcule "M – N".

2

e) 4 x  4 x  6x  1

7.

Al

3

2

3

2

2

6x  Nx  5x  3

restar 3

a) 4 d) 10

Mx  5x  2x  4

se

b) 6 e) 12

c) 8

de

obtiene:

2x  3x  3x  1

TAREA DOMICILIARIA 11. -4zw2 + 8zw2 – 3zw2 =

I. Simplifica cada caso: 1. 9x + 2x =

12. -8x5y3 – 3x5y3 – 4x5y3 =

2. 3w + (-8w) =

13. 4xzw + xzw – 8xzw =

3. 5z + (-3z) =

14. Si: 3xw + 8xw = axw

4. (-4y) + y =

Hallar: a

5. 8x - 10x =

a) 3 d) 7

b) 11 e) 4

c) 8

6. 12w - 3w = 15. Si: 5x2 – 3xn = mx2

7. (-7z) – (-3z) =

Hallar: m + n

8. (-3y) – 9y =

a) 2 d) 16

9. 5x2 + 10x2 + x2 =

b) 4 e) -1

c) 8

10. -2w3 - 3w3 + 4w = 2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Para sumar o restar polinomios debemos recordar que:

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión interior no cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un signo de colección la expresión interior cambia de signo. Ejemplos:  (3x + 2) + (2x + 5) =

polinomio

3x + 2

polinomio

 (8x + 4) - (5x + 2)

+

2x + 5

=

5x + 7

términos semejantes =

8x + 4 - 5x - 2

=

3x + 2

¿Sabías que? El prefijo poli significa varios, es decir, polinomio significa varios monomios.

términos semejantes

28

 (2x + 3)

-

(5x - 1)

=

 (-5xy + 3) - (5xy – 1 – x2) =

2x + 3

-

5x + 1

=

-3x + 4

-5xy + 3 - 5xy + 1 + x2 = x2 + 4

¡Ahora te toca a ti!

I.



(4x + 5) + (3x + 2) = ………………………………………..



(5x - 5) + (4x - 7) = …………………………………………



(3w - 7) – (w - 1) = …………………………………………



(x2 + 5x) – (x2 – 4x) =………………………………………



(2x + 3x3y) + (4x + 2x2 y + y3) =………………………………….



(3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) = ……………………………….

4)

(4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) =

5)

(8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) =

6)

(3x2 + 4x) – (2x2 - x) =

3) (4x2 + 2) + (5x2 + 3) =

7)

(4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) =

4) (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) =

8)

(5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) =

5) (9y3 + y) + (3y3 + y) =

9)

(9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) =

6) (3x + 2) – (x + 1) =

10) (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) =

Opera (suma o resta) los siguientes polinomios 1) (x + 2) + (2x + 1) = 2) (3w + 5) + (4w + 4) =

7) (5w + 4) – (2w + 2) =

III.

Si:

8) (8z2 + 5) – (4z2 + 2) = 9) (7y3 + 9y) – (2y3 + 4y) =

Hallar: 2A – 3B

10) (10x4 + 3x) – (5x4 + 2x) =

II.

(2x2 + 3x) + (3x2 - x) =

2)

(5x2 – 4x) + (2x2 – 3x)

3)

(3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) =

d) 5x2y – 18y3 e) 5xy – 18y3

a) 5x2y + 18y3 b) 5x2y – 18y2 c) 5xy2 – 18y3

Opera los siguientes polinomios: 1)

A = -8x2y + 3xy – 3y3 B = 4y3 – 7x2y + 2xy

IV.

Si:

(mx + n) – (-3x - 2) = 10x – 2

Hallar: m + n a) 4

29

b) 5

c) 7

d) 8

e) 3

TAREA DOMICILIARIA

I.

Opera los siguientes polinomios 15. Si:

2. (4w + 3) + (2w + 1) =

Hallar: 3A - 2B

3. (5z2 + 4) + (4z2 + 2) =

a) -8x2 - 19 b) -8x2 + 19

4. (7y4 + 3y) + (8y4 + 4y) =

c) 8x2 – 19

5. (3x + 4) – (2x + 1) =

V.

Hallar: A + B – C

8. (9y3 + 4y) – (8y3 + 2y) =

a) 6x2 – 7x - 16 d) 6x2 – 7x b) 6x2 – 7x – 15 e) 6x2 + 7x - 16 c) 6x2 – 7x + 16

9. (3x2 + 4x) + (2x2 – 2x) = 10. (5w2 – 3w) + (w2 - w) =

17. Si: 11.

z - 1) –

(2z3

A = 3x2 + x – 7 B = 8x2 – 5x – 10 C = 5x2 + 3x – 1

7. (10z2 + 3) – (5z2 + 2) =

(-3z3 +

d) 8x2 + 19 e) -8x - 19

Resuelve los siguientes problemas 16. Si:

6. (4w + 8) – (3w + 2) =

II.

A = -2x – 5 B = 4x2 – 3x + 2

1. (2x + 4) + (3x + 7) =

– 2z - 1) =

A = w3 – 8w + 4 B = 2w2 – 4w

12. (8y3 + 2y + 4) – (-7y3 – 2y) =

Hallar: A – 2B

13. (-5x4 – x2) – (2x4 – x2 + 4) =

a) w3 + 4w2 - 4 d) w3 – 4w2 – 2 3 2 3 b) w – 4w + 4 e) w + 4w2 + 4 c) w3 – 4w2 – 4

Resuelve los siguientes problemas 14. Si:

(2x + 4) + (3x - 8) = mx + n

18. Si:

Hallar: m + n a) -1 d) 5

(3x + 4) + (5x - 2) = mx + n

Hallar: m – n b) 1 e) 4

c) 0

a) 9 d) 7

30

b) 8 e) 5

c) 6

¡Estudiemos en equipos!

31