Markovin Epäyhtälö.docx

Markovin epäyhtälö

P (X ≥ a) ≤ E(X) /a

Markovin epäyhtälö antaa tietoa todennäköisyysjakaumasta. Merkittävää Markovin epäyhtälössä on, että se pätee kaikille todennäköisyysjakaumille positiivisilla arvoilla välittämättä muista jakauman ominaisuuksista. Epäyhtälö antaa ylemmän rajan jakauman prosenttiosuudelle tietyn arvon yläpuolella.

Markovin epäyhtälö sanoo, että positiivisille satunnaismuuttujalle X ja mille tahansa positiiviselle reaalinumerolle a, todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X on suurempi tai yhtä suuri kuin a, on yhtä suuri tai pienempi kuin odotusarvo jaettuna arvolla a:lla.

Tilanteen havainnoimiseksi, oletetaan että meillä on jakauma ei-negatiivisilla arvoilla (esim. chi-square jakauma). Jos satunnaismuuttujalla X on odotusarvo E(X) = 3, tarkastelemme todennäköisyyksiä muutamille a:n arvoille:

a = 10, jolloin P (X ≥ 10) ≤ (3/10) = 0,3 = 30%. Toisin sanoen on 30% todennäköisyys, että X on yhtä suuri tai suurempi kuin 10.

a = 30, jolloin P (X ≥ 30) ≤ (3 / 30) = 0,1 = 10%. Toisin sanoen on 10% todennäköisyys, että X on yhtä suuri tai suurempi kuin 30.

Jos a = 3, todennäköisyydeksi saataisiin Markovin epäyhtälöstä 1, eli olisi 100% todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X olisi suurempi tai yhtä suuri kuin numero 3.

Kun arvo a kasvaa, E(X) / a, suhde pienenee. Tämä tarkoittaa sitä, että todennäköisyys on hyvin pieni että X on todella suuri.

Tehtävä 3: a) Ei-negatiivisella satunnaismuuttujalla on odotusarvo E(X) = 2. Etsi yläraja yhtälölle P (X ≥ 5). P(X≥5) ≤ (2/5) = 0,4 = 40%. Eli 40% todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X olisi suurempi tai yhtä suuri kuin a = 5. b) Exponenttijakauma (beeta) E(X) = E(Y) = 2. Todellinen todennäköisyys, että P (X > 5) = 2/5 = 0.4.

Tehtävä 4: .

Yläraja P (|X − E(X )| ≥ 10) käyttäen Chebysevin epäyhtälöä.

. P (|X − E(X )| ≥ 10) ≤

Var(X) / t^2

Jolloin yläraja on 5/10^2 = 5/100 = 1/20

Chebysevin epäyhtälöllä voidaan arvioida, kuinka paljon satunnaismuuttuja poikkeaa odotusarvosta. Arvio on karkea ja riippuu varianssin suuruudesta.

Chebysevin epäyhtälöä voidaan käyttää kaikille jakaumille. Normaalijakaumalle on yleiset pääsäännöt, kuinka data jakautuu odotusarvon ympärille (68% datasta on yhden keskihajonnan päässä odotusarvosta, 95% datasta on kahden keskihajonnan päässä odotusarvosta. Muille jakaumille tätä ei voida kuitenkaan soveltaa ja Chebysevin epäyhtälö toimii työkaluna karkeana arviona myös muille jakaumille kuinka data on jakautunut odotusarvon ympärille.