Analyse Géométrie

Centre de gravité d’une forme ovale Par M. [email protected] Le : 06/09/2006

Le solide ci-dessus est composé de deux parties : x2 y2 z 2 A :{( x, y, z ) / 2  2  2  1, z  0} a a c 2 2 x y z2 B :{( x, y, z ) / 2  2  2  1, z  0} a a a A est l’image de B par une réflexion du plan ( xoy ) et d’un allongement linéaire de rapport

c a

0  1 0   c’est une application linéaire de matrice diag (1,1, c / a)   0 1 0  , cette application multiplie  0 0 c / a    le volume et le centre de gravité par la valeur absolue de son déterminant, c-à-d par

c , d’où le a

c c2 3 2 volume de A est VA  VB   a   ca 2 (1) , et le volume de C  A  B est a a3 3 2 VC  VA  VB   a 2 (a  c ) (2). 3 Le centre de gravité de B est tel que :

  VB OGB   OM dv B

Dans la base sphérique, on a :   OM  re r et dv  r 2 sin( )d d dr avec,  allant de  / 2 à 0,  de 0 à 2 et r de 0 à a . C-à-d :  2 0 a  VB OGB     r 3 sin( )d d drer 0  / 2 0

Ce qui donne : xGB  yGB 2

Car

0

 

    OGB  xGB i  yGB j  zGB k     er  sin( ) cos( )i  sin( )sin( ) j  cos( )k 0

a

3 2  r sin ( ) cos( )d d dr 

0  /2 0

2

VB zGB 

0

2

0

a

   r

3

sin 2 ( )sin( )d d dr  0 (symétrie)

0  /2 0

a

   r

3

sin( ) cos( )d d dr

0  /2 0

a4  4

2

0

 

s in( ) cos( )d d

0  /2

1

2



a 4 1 d 4 2 0

a 4 1 2 4 2  a4  4 

D’où : zGB  

3a (3) 8

Et : zG A 

c 3a 3c (4)  a 8 8

On sait que : VC zGc  VA zGA  VB zGB Et d’après (1) (2) (3) et (4), on a finalement : 3 c2  a2 zGc  8 ca 3 zGc  (c  a ) (5) 8

Cas particulier (c=2a), ce qui semble à un œuf (supposé homogène)

3 zGc  a 8

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