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Etapa 1 – Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo

Presentado por: Deivy Faviany Vanegas Vásquez. Código: 80829122.

Curso: 243005_9.

Presentado a: Ing. Santiago Rua.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia “UNAD”. Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería. CEAD José Acevedo y Gómez. Ingeniería Electrónica. Sistemas Dinámicos. 14/03/2019.

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Tabla de contenidos Introducción .................................................................................................................................... 3 Objetivos ......................................................................................................................................... 4 1.

Desarrollo de la actividad ........................................................................................................ 5

Conclusiones ................................................................................................................................. 19 Referencias Bibliográficas ............................................................................................................ 20

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Introducción

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Objetivos

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1. Desarrollo de la actividad Etapa 1 – Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. Sistemas Eléctricos A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de alimentación 𝑉(𝑡) y como variable de salida el voltaje en la bobina L 𝑉𝐿.

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1. Circuito Mixto RLC.

Para el circuito seleccionado del Anexo 1, desarrollar las siguientes actividades teóricas para encontrar el modelo matemático del sistema en el dominio del tiempo:

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1. Hallar el modelo matemático del sistema dinámico mediante una ecuación diferencial.

Definimos las variables de estado: 𝑒𝐶 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡) De la malla 1 decimos que: 𝑒𝐶 = 𝑒𝑅1 𝑒𝐶 = Reemplazamos el valor de C

1 ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝐶

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1 𝑒𝐶 = ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 2 Como la ecuación de 𝑒𝑐 queda expresada en términos de integral, se elimina aplicando la derivada en términos de la expresión. 1 𝑑𝑒𝐶 𝑑(2 ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡) 1 = = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑒𝐶 1 = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 2 Ecuación 1: 𝑑𝑒𝐶 1 = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 2 De la malla 2 decimos que: −𝑒(𝑡) + 𝑒𝐶 + 𝑒𝑅1 + 𝑒𝑅2 = 0 𝑒(𝑡) = 𝑒𝐶 + 𝑒𝑅1 + 𝑒𝑅2 𝑒𝐿 = 𝑒𝑅2

𝑒𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑒𝐿 = 2

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

Reemplazamos el valor de L:

𝑒(𝑡) = 𝑒𝐶 + 𝑒𝑅1 + 2

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

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2

𝑑𝑖𝐿 = 𝑒(𝑡) − 𝑒𝐶 − 𝑒𝑅1 𝑑𝑡

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑒𝑅1 = − − 𝑑𝑡 2 2 2 𝑒𝑅1 = 𝑖𝑅1 ∗ 𝑅1 = 𝑖𝑅1 ∗ 2 = 2𝑖𝑅1 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 − 𝑖𝑅1 = 0 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 2𝑖𝑅1 = − − 𝑑𝑡 2 2 2 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 = − − 𝑖𝑅1 𝑑𝑡 2 2 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 = − − (𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 ) 𝑑𝑡 2 2 Reemplazamos 𝑖𝑅 =

1𝑒𝐶 3 8

: 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 1𝑒𝐶 3 = − −( + 𝑖𝐶 ) 𝑑𝑡 2 2 8

Ecuación 2: 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 1𝑒𝐶 3 = − −( + 𝑖𝐶 ) 𝑑𝑡 2 2 8 De la malla 3 decimos que: 𝑒𝐿 = 𝑒𝑅2

𝑒𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

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𝑒𝐿 = 2

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑒𝑅2 = 𝑖𝑅2 ∗ 𝑅2 = 𝑖𝑅2 ∗ 1 = 𝑖𝑅2 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 − 𝑖𝑅1 = 0 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 𝑖𝑅1 − 𝑖𝑅2 − 𝑖𝐿 = 0 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅2 + 𝑖𝐿 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 = 𝑖𝑅2 + 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 𝑑𝑖𝐿 + 𝑖𝐶 = 2 + 𝑖𝐿 8 𝑑𝑡

𝑖𝐶 = 2

𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 + 𝑖𝐿 − 𝑑𝑡 8

Ecuación 3: 𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 𝑖𝐶 = 2 + 𝑖𝐿 − 𝑑𝑡 8 Reemplazamos 𝑖𝐶 en la Ecuación 1: 𝑑𝑒𝐶 1 = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 2 𝑑𝑒𝐶 1 𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = (2 + 𝑖𝐿 − ) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 8 𝑑𝑒𝐶 2 𝑑𝑖𝐿 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 =( + − ) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 16

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𝑑𝑒𝐶 𝑑𝑖𝐿 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = + − 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 16 Ecuación 3: 𝑑𝑒𝐶 𝑑𝑖𝐿 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = + − 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 16 Reemplazamos 𝑖𝐶 en la Ecuación 2: 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 1𝑒𝐶 3 𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − −( + (2 + 𝑖𝐿 − )) 𝑑𝑡 2 2 8 𝑑𝑡 8 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 1𝑒𝐶 3 𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − − − 2 − 𝑖𝐿 + 𝑑𝑡 2 2 8 𝑑𝑡 8 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 + 2 = − − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 2

3

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 = − − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 2 2

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Ecuación 4: 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Reemplazamos ecuación 4 en 3:

𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 =( − − )+ − 𝑑𝑡 6 6 3 2 16

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𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − + − 𝑑𝑡 6 6 6 16 Ecuación 5: 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − + − 𝑑𝑡 6 6 6 16 Variables de estado sistema no lineal 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − + − 𝑑𝑡 6 6 6 16 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Linealización: La ecuación diferencial 1 tiene un elemento que la hace no lineal: 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − + − 𝑑𝑡 6 6 6 16 La función a linealizar es:

𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) = 𝑒𝐶̇ −

𝑒 𝑒𝐶 𝑖𝐿 𝑒𝐶 3 + − + 6 6 6 16

𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) = 0 𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) +

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 | (𝑒̇𝐶 − 𝑒̇𝐶 0 ) + | (𝑒𝐶 − 𝑒𝐶 0 ) + | (𝑒 − 𝑒0 ) + | (𝑖 − 𝑖𝐿 0 ) = 0 𝜕𝑒̇𝐶 0 𝜕𝑒𝐶 0 𝜕𝑒 0 𝜕𝑖𝐿 0 𝐿

𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) +

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 | (𝑒̇𝐶 − 𝑒̇𝐶 0 ) + | (𝑒𝐶 − 𝑒𝐶 0 ) + | (𝑒 − 𝑒0 ) + | (𝑖 − 𝑖𝐿 0 ) = 0 𝜕𝑒̇𝐶 0 𝜕𝑒𝐶 0 𝜕𝑒 0 𝜕𝑖𝐿 0 𝐿

Como

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𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) = 0 𝜕𝑓 𝜕𝑓 3𝑒𝐶 2 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 | = 1; | = + ; | =− ; | = 𝜕𝑒̇𝐶 0 𝜕𝑒𝐶 0 16 16 𝜕𝑒 0 6 𝜕𝑖𝐿 0 6 Variables de desviación: ∆𝑒𝐶 = 𝑒𝐶 − 𝑒𝐶 0 ∆𝑒 = 𝑒 − 𝑒0 ∆𝑖𝐿 = 𝑖𝐿 − 𝑖𝐿 0 Entonces: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 3𝑒𝐶 2 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 | = 1; | = + ; | =− ; | = 𝜕𝑒̇𝐶 0 𝜕𝑒𝐶 0 16 16 𝜕𝑒 0 6 𝜕𝑖𝐿 0 6 1𝑑∆𝑒𝐶 3𝑒𝐶 2 1 1 1 + + ∆𝑒𝐶 − ∆𝑒 − ∆𝑖𝐿 = 0 𝑑𝑡 16 16 6 6 𝑑∆𝑒𝐶 1 3𝑒𝐶 2 1 1 = ∆𝑒 − ( + ) ∆𝑒𝐶 + ∆𝑖𝐿 𝑑𝑡 6 16 16 6 𝑑∆𝑒𝐶 1 3𝑒𝐶 2 1 1 = ∆𝑒 − ( ∆𝑒𝐶 + ∆𝑒𝐶 ) + ∆𝑖𝐿 𝑑𝑡 6 16 16 6 𝑑∆𝑒𝐶 1 1 1 3𝑒𝐶 2 = ∆𝑒 − ∆𝑒𝐶 + ∆𝑖𝐿 − ∆𝑒𝐶 𝑑𝑡 6 16 6 16 evalúa 𝑒𝐶 = 0

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Ecuaciones diferenciales linealizadas 𝑑∆𝑒𝐶 1 1 1 3𝑒𝐶 2 = ∆𝑒 − ∆𝑒𝐶 + ∆𝑖𝐿 − ∆𝑒𝐶 𝑑𝑡 6 16 6 16 Ecuaciones diferenciales linealizadas 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − + 𝑑𝑡 6 6 6 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Ecuaciones diferenciales linealizadas 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − + 𝑑𝑡 6 6 6 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Ecuación de salida:

𝑌 = 𝑒𝐿 = 𝐿

𝑌 = 𝑒𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 2𝑒(𝑡) 2𝑒𝐶 2𝑖𝐿 1𝑒(𝑡) 1𝑒𝐶 2𝑖𝐿 = 2( − − )=( − − )= − − 𝑑𝑡 6 6 3 6 6 3 3 3 3

𝑌 ==

Variables de estado 𝑒𝐶 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡)

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = 2( − − ) 𝑑𝑡 6 6 3

1𝑒(𝑡) 1𝑒𝐶 2𝑖𝐿 − − 3 3 3

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Derivadas 𝑒𝐶 ′(𝑡) = 𝑋1̇ (𝑡) 𝑖𝐿 ′(𝑡) = 𝑋2̇ (𝑡) Entrada 𝑒(𝑡) = 𝑢(𝑡)

Ecuaciones de estado no linealizadas 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑋̇1(𝑡) [ ]=[ 𝑋̇2(𝑡)

][

𝑋1(𝑡) ]+[ 𝑋2(𝑡)

𝑑𝑒𝐶 (𝑡) 1 1 − − 𝑒𝐶 2 16 [ 𝑑𝑡 ] = [ 6 1 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) − 6 𝑑𝑡 𝑦 = 𝐶𝑥

𝑌=[

𝑌 = [−

][ 1 3

−

𝑋1(𝑡) ] 𝑋2(𝑡)

2 𝑒 (𝑡) ][ 𝐶 ] 𝑖𝐿 (𝑡) 3

] [𝑢(𝑡)]

1 1 𝑒 (𝑡) 6 ] [ 𝐶 ] + [6] [𝑒(𝑡)] 1 𝑖𝐿 (𝑡) 1 − 3 6

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Ecuaciones de estado no linealizadas 1 1 − − 𝑒𝐶 2 16 𝑥̇ = [ 6 1 − 6 𝑌 = [−

1 3

−

1 1 6 ] 𝑥 + [6] 𝑢 1 1 − 3 6

2 ]𝑥 3 Ecuaciones de estado linealizadas

1 1 1 − 𝑥̇ = [ 6 6 ] 𝑥 + [6] 𝑢 1 1 1 − − 6 3 6 𝑌 = [−

1 3

−

2 ]𝑥 3

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Conclusiones

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Referencias Bibliográficas