Solucionario - Guía De Ciencias Trigonometría.pdf

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

EXAMEN Nº 1 01.

S=

Para Principiantes

05. H =

27 9 + 10 c

9k =

27 9 + 10 10k

∴k=

2 ( senx ⋅ cos x + 1)

H=

1 2

1 − cos 2x

+

2 ( senx ⋅ cos x + 1) 1 + cos 2x

1 4

sen2x + 2 sen2x + 2 1 + + 1 − cos 2x 1 + cos 2x 4 2

 sen2x + 4  1  H=  =  + 2csc 2x   2sen2x  2 

πk π  1 π R= =  = 20 20  2  40

+

2

1 ≤ csc 2x ≤ −1

CLAVE : B

5 1 3 ≤ + 2csc 2x ≤ − 2 2 2

02.

9 ≤ H < +∞ 4 9 ∴ H ∈  ; +∞ 4

CLAVE : D

06.

P = 2cos3x ⋅ cos 2x ⋅ 2cos

P = 8 cos⋅

L
= 2πr 4 π = 2πr x=

5x x ⋅ cos ⋅ 2cos5x ⋅ cos x 2 2

6π 4π 5π π 10π 2π ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos 13 13 13 13  13 13  

∴r=2

− cos

1 L ⋅ 4 ⋅ cos → 8 4

x = L ⋅ cos

L 8

3π 13

π 2π 3π 4π 5π 6π P = −8 cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos 13 13 13 13 13 13 

CLAVE : C

1

26

03.

R=

∴P=−

( − cos x )( − cos x ) ( − cot x ) ( sec x )( sec x ) ( cot x )

1 8 CLAVE : A

R = − cos4 x 07.

CLAVE : C

(

)

2H = 2sen θ + 35 ⋅ cos ( θ + 5° ) 2H = sen ( 2θ + 40° ) + sen30

04.

A=

(

)

4 1 − cos2 x − 3 1 + 2cos x

1 − 4 cos2 x A= 1 + 2cos x

; →

H=

1 cos x ≠ − 2

150 ≤ θ ≤ 160

(

A = 1 − 2cos x

(

)

sen 2θ + 40 = 0

−1 ≤ 1 − 2cos x ≤ 1

∴

A =1

H=

CLAVE : D

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)

340 ≤ 2θ + 40 ≤ 360

−1 ≤ cos x ≤ 1

A = {−1,0,1,2,3}

1 1 sen ( 2π + 40° ) + 2 4

1 1 1 (0) + = 2 4 4 CLAVE : D

-1-

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08.

tan x = 2 tan y = 3 tan z = k tan x = k ;

tan x =

k ; 2

tan z =

J=

k 3

tan x ⋅ tan y + tan x ⋅ tan z + tan y ⋅ tan z = 1

J=

k2 k2 k2 + + =1 2 3 6

( ) ( )     4sen20 ⋅ sen ( 60 − 20 ) sen ( 60 + 20 )

4 cos 20 ⋅ cos 60 − 20 cos 60 + 20 

cos 60

= ctg60 =



sen60

3 3 CLAVE : A

∴ T = 3 (1) + 4 ( 2 ) + 5 ( 3 ) = 26

k =1

12.

CLAVE : D

2sen3 ( α + β ) ⋅ sen ( α − β ) = 2a 2cos3 ( α + β ) ⋅ cos ( α − β ) = 2b

09.

+ ↓ cos ( 2α + 4β ) − cos ( 4α + 2β ) = 2a − − − (I)

2π π   1 − 2  sen ⋅ sen  5 15   W= π sen 15

− ↑ cos ( 4α + 2β ) + cos ( 2α + 4β ) = 2b − − − (II) cos ( 2α + 4β ) = a + b

7π  1 1 − 2  − cos  15  2 W= π sen 15 7π π 2sen 15 = 30 W= π π π sen 2sen ⋅ cos 15 30 30 2cos

cos ( 4α + 2β ) = b − a P=

∴W =

13.

f ( θ ) = a2sen2θ + b2 cos2 θ + b2 sec 2 θ − 4 tan2 θ

(

)

f ( θ ) = a2 1 − cos2 θ + b2 cos2 θ + b2 sec 2 θ − 4 sec 2 θ − 1

sec x =

b+c a → cos x = a b+c

sec y =

a+c b → cos y = b a+c

sec z =

a+b c → cos z = c a+b

1 − cos x 1 − cos y 1 − cos z + + 1 + cos x 1 + cos y 1 + cos z

 2    f ( θ ) = a2 − cos2  a − b2  + sec 2 θ  b2 − 4 + 4         0   0 

a b c 1− 1− b+c + a+c + a+b =1 a b c 1+ 1+ 1+ b+c a+c a+b 1−

a2 = b 2 b2 = 4

∴ a2 + b2 = 8

CLAVE : A

CLAVE : D

11.

14.

 1 + sen10  1 + sen50      cos10  cos 50     J=  1 + sen70     cos 70   

k = cos2 θ + 2 (1 − cos θ ) k = cos2 θ − 2cos θ + 1 + 1 2

k = ( cos θ − 1) + 1 −1 < cos θ ≤

cos 40 cos 20 ⋅   J = sen40 sen20  cos10

2 2 2

0 ≤ ( cos θ − 1) ≤ 4

sen10

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a+b b−a CLAVE : B

10.

)

cos ( 4α + 2β )

=

1 n

CLAVE : B

(

cos ( 2α + 4β )

-2-

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2

1 ≤ ( cos θ − 1) + 1 ≤ 5 

1

k = {1,2,3,4,5}

senθ cos θ 1 − senθ ⋅ cos θ f ( θ ) = cos θ = 1 senθ 1 + senθ ⋅ cos θ + cos2 θ cos θ

18.

K

Suma =15

CLAVE : C



f ( θ) =

L=

2 − sen2θ 2 + sen2θ

N = f ( θ ) min =

 4( 9k ) − 3 (10k )   6  πrad π rad θ= =  =  ⋅   2(10k ) − 9k   11 180 330

15.

−

2



1 3

, ∧

−1 ≤ senx ≤ 1 M = f ( θ ) max = 3

∴ 3 (M + N) = 10 CLAVE : C

π ⋅ 210 = 2 330 CLAVE : A

19.

2a + b > a + 2b → a > b 2c + a < 4a − c → c < a

16.

∴ a2 = b2 + c 2 CLAVE : C

20.

( senα + cos α )2 = 2cos2 α 1 + sen2α = 1 + cos 2α α = 2230′ tan =

CLAVE : A

tan3 ⋅ tan 6 ⋅ tag9 − − − − − − tan53 ⋅ tan 60 tan57 ⋅ tan54 ⋅ tag51 − − − − tan 46 ⋅ tan 43 tan θ = tan60

∴ θ = 60 ;

φ = 30

sen2 A ctgA 1 17.

CLAVE : B

N = sen2 A ctgB 1 sen2C ctgC 1 EXAMEN Nº 2 2

2

2

N = sen A ⋅ cotB + sen B ⋅ cot C + sen C ⋅ cot A 2

2

01. Del grafico tenemos:

2

− cotB ⋅ sen C − sen A ⋅ cot C − sen B ⋅ cot A

(

)

(

N = cotB sen2 A − sen2C + cot A sen2C − sen2B

(

2

2

+ cot C sen B − sen A

α + 90 + ( −β − 90 ) = 360 ∴α = 360 + β

)

CLAVE : C

)

N = cosB ⋅ sen ( A − C ) + cos A ⋅ sen ( C − B )

02. Se plantea:

+ cosC ⋅ sen(B − A)

yg ⋅

N = sen(B + A − C) − sen(B − A + C) + sen( A + C − B) − sen( A − C + B) + sen( C + B − A ) − sen( C − B + A)

9

1 + ( 24 − x )′ ⋅ = 90 60′ 10g 9y 24 − x + = 90 10 60

N=0 CLAVE : D

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yg + ( 24 − x )′ = 90

-3-

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54y − x + 24 = 5400    T + 24 = 5400

Dato: 200 −

∴ T = 5376

10 α + 90 − α = 5 → α = 135 9

 = 135 ⋅

CLAVE : D

πrad 

180

=

3π rad 4 CLAVE : D

03. Tenemos: 07. Tenemos: 50 w = 90

( 60 + 4,25′) + ( 60 − 22,15′′) = 180 x = 6018′ = 60 → x = 6018′ = 3618′ ⋅

→ 28,125 w = 28,125 w ⋅

g

1 54′

90 50

w

= 50,625



= 50 37′30′′

∴ x = 57g

CLAVE : B

CLAVE : D 08. Sabemos: a = 9k , b = 10k ∧ a = 04. Correcto

60 ≤

Incorrecto

π rad 3

→  = 54g ⋅

c 60 = 9 10

Datos: 10k ⋅

c = 54

∴d =

π rad 200

=

→

27 π rad 100

π 1 2 k = (10k − 9k ) ⋅ → k = 2 20 π π

π 2 1 ⋅ 2 = 20 π 10π CLAVE : C

π 27π 19π − = 3 100 300

Error:

π k 20





 13π 180 13 ⋅ 180 09. α = 1a b3′1c′′ = rad ⋅ = = 1843′12′′ 125 πrad 125

CLAVE : B

→a=8 , b=4 ∧ c =2 05.

S = 9k , c = 10 y R =

N = ( 4 − 4) ⋅ 8 = 0

π k 20

CLAVE : A

Dato:

(9k)6 (10k)6 9

+

10

+

6 5  20  πk  5 5  πk   = 5 9k + 10k + ( ) ( )       11  20   20    5

10. Hacemos: x2 + 9x = c

→ S = 3a + 90 ∧ C = 8a + 72

5

   π   π   k 6  95 + 105 +    = 5k 5  95 + 105 +      20    20     k=5

∴ R=

S c = → 30a + 900 = 72a + 648 → a = 6 9 10

π 4

→ S = 108 →

s R = π 9 20

∴R=

CLAVE : C

CLAVE : C

06. Sea " α " la medida del  en el sistema sexagesimal. g 10   10  → Sα = (180 − α ) ⋅  =  200 − α 9   9

11. 1rad = 5m α → Angulo formado a las 3h y 18 min.

g

α = 9 =

Cα = ( 90 − α )



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3π 5

π 5m rad ⋅ 20 1rad

→ α=

π m 4 CLAVE : A

-4-

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16. Del grafico tenemos:

12. Sabemos: 9 = 10g → 162′′ = 500s = 5m

T=

l1 = a ⋅ α ; l2 = ( a + b ) 3α ∧ l3 ( a + 2b ) α

 x = 500k   y = 162k  z = 5k 

x y z → = = =k 500 162 5

k=

a ( α ) + ( a + 2b ) α 2(a + b)α 2 = = 3(a + b)α 3 ( a + b ) 3α

500 ( 500k − 324k − 5k ) = 171 500k

CLAVE : B

CLAVE : D 17. inicial

πk 13. Recordamos: S = 9k, C = 10k ∧ R = 20

cant = θ

→ x1 ⋅ x 2 = 10k

∧ x1 + x 2 = 9k

−2

Área =

−2

Además: ( x1 ) + ( x 2 ) = 0,01 

( x1 + x 2 )2 − 2x1 ⋅ x 2 ( x1 ⋅ x 2 )2 →

81k 2 − 20k 100k 2

=

∴ R=

cant = 2θ radio = r − 3

Radio = r

x 2 + (9k)x + 10k = 0

Datos:

final

→ 1 = 100

θ ⋅ r2 2

2θ ( r − 3 )

Área = 2

2

( 2θ )(r − 3 )2 2

1 θ ⋅ r2 ⋅ → r1 = 2 → No 2 2

=

r2 = 6 → Si CLAVE : D

1 1 → k= 100 4 π 1 π ⋅ = 20 4 80

18.

CLAVE : A 14. Recordamos: S = 9k ∧ C = 10k

100 < 30k − 18k < 120 8,3 < k < 10 K mayor entero = 9

R=

∴

π ⋅ 9 9π = 20 20 CLAVE : A

15.

C = 10k ; S = 9k ∧ R =

Dato:

k=

π k 20

2 2 xn + y ) + ( x − ny ) ( 10k − 9k = ( x + y )2 − ( x − y )2

r1 = l1

x2 + y2 2 n2 + 1  x y  n +1 =  +  4xy 4 y x 

(

)

∴R =

n2 + 1 2

(

)

1

2

θ

(

θ ⋅ a2 b

θ⋅a a2 b = 2 a − b2 a2 − b 2

)

b CLAVE : C

CLAVE : B

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a2 b

a2 − b 2 ) ( = θ⋅r = θ

l2 = l1

π  n2 + 1  π ⋅  = n2 + 1 ⋅   20  2  40

→ r2 =

a2 − b2 2

l2 = θ ⋅ r2 =

≥2

kmín =

b a = a r2

Por semejanza:

-5-

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2

19. Del gráfico:

( OC ) = 2 2 ( OA ) 3

→

( OC) = ( OA ) =

→ 3k + 4k = 7 → k = 1

3k

S2 =

(

2k 2

)

2

; S1 =

θ

(

3k

)

CLAVE : A

2

2

a + 3k = 4k → a = 1

∴

Además: AOD = EOC = θ

θ

QBR ( ALA )

PAQ ≅

2k

→

S1 3 = S2 2 02.

CLAVE : A

1  1   E = 1 +  1 +  tan α  tan θ   E=

tan α · tan θ + tan α + tan θ + 1 tan α ⋅ tan θ

E=

2 +1 tan α ⋅ tan θ

20.

Por: MA ≥ MG

→

tan α + tan θ ≥ tan α ⋅ tan θ 2

→

2 + 1 ≥ 9 tgα ⋅ tgθ m

Determinamos el ángulo " θ " que gira el centro de la rueda pequeña:

θ=

2π ( 2 ) 2πr = R+r 6

→ θ=

∴ m=9 CLAVE : E

2π = 120 3

03. Sea ABC el rombo y L su lado:

Elaborando el esquema, determinarás lo pedido reconociendo que el ∆OMN es rectángulo y pitagórico, luego;

x = 42 + 82 − 2 ⋅ 4 ⋅ 8cos60 = 16+ 64− 2 ⋅ 32⋅

1 ≥ tan α ⋅ tan θ ≥ 0 4

1 2

∴ x = 48 = 4 3 m CLAVE : E

EXAMEN Nº 3

S2 = πR2

01.

→

2R = Lsenθ 2

 2R  S1 = L2senθ → S1 =   ⋅ senθ  senθ  S1 =

4R2 senθ

→ senθ =

4S2 πS1

S  → S1 ⋅ senθ = 4  2   π   4S  ∴ θ = arcsen  2   πS1  CLAVE : E

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04. Graficando el triangulo ABC:

2 A = k 2 − k ⋅ cot1

2

A = 2 Como: 2senB = sen A

2

2

b a = c c2

→ 2bc = a2

2

(1)

2

A somb = A

= k2

A

 k 2 ⋅ cot 1  Asomb = k 2 −  k 2 −    2  

a2 = c 2 − b2 → 2bc = c 2 − b2

Pero:

(k 2 )

→ 2A somb = k 2 ⋅ cot 1

Completando cuadrados y ordenando se tendrá:

C=

(

CLAVE : D

)

2 + 1 b ∧ a = 2 + 2 2b 07.

Finalmente calculamos se sec A y cotB

sec A =

c a = 2 + 1 ∧ cot B = = 2 + 2 2 b b

Luego en el problema: E = Sec 4 A − 6 cot 2 B

=

(

)

4

(

)

2

2 +1 − 6 2 + 2 2   17 +12 2

∴E=5

12 +12 2

CLAVE : E l = ∀ ( n − tan θ ) = k ( 2π∀ ) → k = 05. Recordemos: a;b ∈ +

n − tan θ 2π CLAVE : C

K = ab + a cot θ + b tan θ + 1 − ab   ≥ 2 ab

K mín = ab + 2 ab + 1 − ab =

08.

(

)

ab + 1

2

− ab

K =1 CLAVE : D

06.

S1 = 2 ⋅ S1 + S2 = S2 + S3 =

(

senθ 2 2 cos θ 2

(

θ 2 2 cos θ 2 2θ ⋅

( 2) 2

)

) = 2senθ ⋅ cos θ = sen2θ

2

→ S2 = 4θ cos2 θ − sen2θ

2

→ S3 = Sen2θ − 2θ cos2θ CLAVE : D

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09. Tenemos: cos 3θ − sen3α → 3α + 3θ = 90

En

6 5

tan θ =

AQP:

α + θ = 30

CLAVE : C

( )

sen 3θ 1 sen 30 + +1 3 cos 3α k= = 2 = 1 2 tang ( 2θ + α ) ⋅ tan ( θ + 2α ) 



12. Dato: tan α = 2senθ +

E=90°

NA ≥ MG → 2senθ +

CLAVE : C

1 2senθ

1 ≥2 2senθ

tgα = 2 ∧ senθ =

Piden mínimo:

10.

→ sec 2 α = 5 ∧ sec 2 θ =

1 2

4 3

4 L = 5 + 3  = 9 3 CLAVE : B

13.

h = 2cos θ ; b = 2 − 2cos θ As =

4(1 − cos θ)(cos θ) 2

2 1  1  As = 2  −  cos θ −   2   4  

Para mínimo:

cos θ −

tan θ =

1 1 = 0 → cos θ = ∴ θ = 60 2 2

r n

∧

→ r 2 = mn →

CLAVE : D cot θ = 11.

n mn

tan θ =

m r

r = m⋅n

=

n m CLAVE : B

14.

-Por ser N punto medio de AB, se tiene que AN y AD están en relación de 1 a 2.

 m2 − n2   m + n  m − n  A=  ⋅ tan θ   ⋅ tan θ =   4  2  2   

-Trazamos PQ ⊥ AB para ubicar A " θ " en un triangulo rectángulo

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CLAVE : D

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15.

α α  2cos  45 −  2cos ⋅ sen45 2 2  As = 2

 1 cos α senα  = + +  = asenα + b cos α + c 2 2  2 1 1 1 3 + + = = 1,5 2 2 2 2

→ a+b+c = Del grafico: 3a + 4a = 245 → a = 35

BC = 3a + 3actg16° = 105 + 105 ⋅

CLAVE : C

24 = 465 7 18.

CLAVE : D

(

ABC B = 90

)

16.

2

→ ( a + c ) = 2 ( ab − bc + ac ) 2 2 a + c + 2ac = 2ab − 2bc + 2ac   b2

a = senθ (1 + tan2θ ⋅ tan 4θ )

→ cos 2θ = → cos 5θ =

b 2 = 2 b (a − c )

tan θ tan θ →x= α cos 2θ

1 a c = − 2 b b 

senθ (1 + tan2θ ⋅ tan 4θ ) a →y= y cos5θ

senA

→ senA − cos A =

1 2

cos A

CLAVE : C

tan θ x cos2 θ = y senθ (1 + tan 2θ ⋅ tan 4θ ) cos5θ

19. Hacemos: ED = 1 = EF

AD = cot θ = AF

x cos5θ ⋅ tan θ = y cos 2θ ⋅ senθ (1 + tan 2θ ⋅ tan 4θ ) x = sec θ ⋅ sec 2θ ⋅ cos5θ ⋅ cos 4θ y CLAVE : A

17.

Del grafico:

tan 2θ −1 cot x = tan 2θ + tan θ = tan 2θ + csc 2θ tan 2θ CLAVE : A

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-9-

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20.

x = hcot30 ⋅ tan 60 = h ⋅ 3 ⋅ 3 = 3h CLAVE : D

03. Graficando de acuerdo al enunciado se obtiene la siguiente figura:

 + BC  Piden: BC Del ∆ BOC:

BC = 2R cos θ

Luego:

 = ( π − 2θ ) ⋅ R BC

FARO(1)

→ Piden = ( π − 2θ ) R + 2R cos θ FARO(2)

π  = 2R  + cos θ − θ  2  

Barco Barco a las 8 p.m

Barco a las 8:24 p.m

CLAVE : B

Trayectoria del barco S 80° O

EXAMEN Nº 4

- como el tiempo transcurrido es 2 24min <> h y la velocidad que lleva el barco 5 km es de 65 se tendrá que el espacio h recorrido es 26km ∴ φ = 52km

01.

CLAVE : C

04.

→ x = 3cot 30 < 3 ⋅ 3 = 3m CLAVE : C

02.

CLAVE : E

05.

→ θ=

D h+R CLAVE : C

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- 10 -

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Como: 25H = 14d

06.

→ senα =

1  14  7  = 2  25  25

∴ tan α =

7 24

CLAVE : D

09.

h ⋅ sec θ = 4 cos θ →

h = cos2 θ H CLAVE : D

07. Del problema:

Linea Ecuatorial

→x=

4 70   10 +  3 50 

→h=

4 70  10 = 10 + 8 2  10 + − 3 50  50 CLAVE : D

10. Del enunciado:

Además: R +H = Rsecθ R = ( h + R ) Lθ R+H =

→

R=

hLθ 1 − senθ

hsenθ h sec θ ⋅ sec θ ∴ R + H = 1 − senθ csc θ − 1 CLAVE : B

08. Graficando de acuerdo al enunciado se tendrá la figura siguiente:

Área = R2 + R2 cos 2α → Área = 2R2 cos2 α

CLAVE : D

11. Graficando de acuerdo al enunciado se tendrá la figura siguiente:

En la figura se observa que:

dsen2α = Hcos α d ⋅ 2senα ⋅ cos α = Hcos α

→ senα =

Prof. Erick Farfán Alarcón

1H   2 d

- 11 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

(

En el triangulo formado en la primera observación se tiene que los catetos son iguales.

x = 40 sen10 + cos10 ⋅ tg25

 sen25  x = 40  sen10 + cos10 ⋅   cos 25  

En EL tramo de ascenso se observa que:

13k = 260

k = 20

→

)

x = 40sen35° ⋅ sec 25°

En el triangulo formado en la ultima observación se tiene que los catetos guardan relación 4 a 3 .

→

H − 100 4 = H − 290 3

CLAVE : E

∴ H = 860m

15.

CLAVE : C

12. Del enunciado:

x = 12 ⋅ 3 −

12 2+ 3

(

→ h = 2 ( 3 tan α + tan θ )

x = 12 ⋅ 3 − 12 2 − 3 CLAVE : D

)

x = 12 ⋅ 3 − 24 + 12 3

∴ x = 24

(

)

3 −1

13.

CLAVE : D

16.

tan 27 =

1· 5 1 = 3 2

∴

x = 5,5m CLAVE : A x ⋅ 2 + 2cos74 = 2 ⋅ x ⋅ sec θ

14.

1 + cos74 = sec θ 4

2 = sec θ 5

→

1+

27 = sec θ 25

→ tan =

7 5 CLAVE : B

Prof. Erick Farfán Alarcón

- 12 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

17.

∴ H − h = 10 CLAVE : D tan α = 0 , 125 =

→ tan x = →

125 1 = 1000 8

h 2

8h tan θ

1 8 tan2 θ

=

20.

8h tan θ h

= 8 tan θ

1 1 = tan3 θ = tan θ = 64 4

1 4 =2 1

8⋅ → tan x =

→



∴ x = 63 ,30

tan α ⋅ cot β =

x 5a ⋅ = 5 9 x CLAVE : C

CLAVE : A 18.

EXAMEN Nº 5 01.

6 − tan α ≥ 0 →

tan α ≤ 6

tan α − 6 ≥ 0 → tan α ≥ 6 ∴ tan α = 6 4 cos θ − 6 = 0 cos θ =

6 4 ∴ sec θ = 4 6

∴ sec θ ⋅ tan α =

4 6

⋅ 6=4 CLAVE : D

x = h + a tan α = 2h + b tan β a tan α − b tan β = h ∴

02.

x = 2a tan α − b tan β CLAVE : E

19.

16 < θ < 60

Prof. Erick Farfán Alarcón

- 13 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

1 24 < cos θ < 2  25

06.

1 x / 2 24 < < 2 50 25 ∴ 50 < x < 96 R2cot 2 α = 4R ⋅ 2R → cot α = 2 2

CLAVE : D

90 − α = 2θ 03.

30 < θ < 90

α = 90 − 2θ

→

cotα = tan 2θ = 2 2

1 < senθ < 1 → 1 < csc θ < 2 2

2 2 tan2 θ + 2 tan θ − 2 2 = 0 tan θ =

∴

2 < 4senθ < 4 ∴ 3 < 4senθ + csc θ < 6

1 2

N=2 2+ 2 =3 2

N ∈ 3;6

CLAVE : D

CLAVE : D 04.

07.

r =1 R=2

R =2r

tan φ =

b a−b = a+b b

→ a2 = 2b2 b =1 , a = 2

r = 4+2 2 E=

(

4+2 2

)

2

+

(

)

2 −1

2cot θ + tan θ = AB

2

E=7

∴

CLAVE : E

tan2 θ − AB tan θ + 2 = 0 AB2 − 8 ≥ 0

∴ AB ≥ 2 2

08.

senα −

ABmín = 2 2

1 1 − sen2α ≥ 0 → senα = 4 2 α = 30

2

tan θ − 2 2 tan θ + 2 = 0 tan θ = 2

− cos2 θ + 2 cos θ −

∴ sec θ = 3

1 2 ≥ 0 → cos θ = 2 2 θ = 45

CLAVE : C

M = 3 sec 2 30 + cot 2 45 + 1 05.

E=

E=

1 cos2 θ

(cos

2

+ cos2 θ − 2 −

)

θ −1

2

 2  2 M = 3  + (1) + 1 = 6 3  

2

CLAVE : C

2

2

cos θ

E = sec θ − 3 =

( cos θ − 3 )

−

( cos θ − 3 )2

09.

2senθ + −senθ = 1   

5 7 −3 = − 4 4

<0

CLAVE : E

Prof. Erick Farfán Alarcón

3senθ = 1

- 14 -

→ senθ =

1 3

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

14.

R = csc θ − cot θ − csc θ = cot θ = 2 2 CLAVE : C

10.

2senθ − 1 + 5senθ − 4 = 3 (1 − senθ ) senθ =

4 5

(

 2n n2 + 1 E = n2 − 1  2 + 2   n − 1 n − 1

(

1 − 2senθ + 4 − 5senθ = 3 (1 − senθ ) senθ =

1 2

)

E = n2 − 1 [ tan θ + sec θ]

∴ θ = 53

∴ θ = 30

)

E = − ( n + 1)

2

CLAVE : E

11.

CLAVE : D

(n − 2 ) ( 3 − n ) > 0 n∈

15.

2;3

tan2 ( α ) − 2 = 2 →

1,41 < n < 3

∴ n=2

Como α ∈ IIC : tan(α ) = −2

tan φ = 2

∴ senφ ⋅ cos φ =

2 5

⋅

1 5

=

2 5

CLAVE : C

12.

tan2 α − 2 = 2 + 2 + 2 + ...

w=

sen ( α ) + 2cos ( α ) + cot an ( α ) sen ( α ) − cos ( α )

w=

tan ( α ) + 2  1 + cot an ( α ) = 0 +  −  tan ( α ) − 1  2

w = −1/ 2

0 < A,B,C ≤ 360 1 − cos A ≥ 0

CLAVE : B

cos A = 1

cos A − 1 ≥ 0

∴ A = 360

16.

senB = −1

∴ B = 270

tan θ =

tanC − 1 = 1

sec 45 − − csc 45

(

4 − cos 60

∴ C = 180

∴ A + B + C = 810

E = tan θ + cotθ = −

CLAVE : C

13.

R=

senα + 3 ≥ 0 α = 0 = 3 = tan

π 3

3 2 2

π 2π 3π π + tan + tan + ... + tan π + tan 7 7 4 7 π 2π 3π cos + cos + cos + ... + cos π 5 5 5

π R = − tan   7

CLAVE : C

Prof. Erick Farfán Alarcón

2 −− 2 =− 2  1 4−   2

tan

cos α ≥ 1 ∴ cos α = 1

3

)

=

17.

cos α + 8 ≥ 0

3



CLAVE : D

cos α − 1 ≥ 0

E=

tan2 ( α ) = 4

CLAVE : B

- 15 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

18.

π ( senx + cos x ) + π ( senx − cos x ) =

π 2

EXAMEN Nº 6

1 senx = 4

01.

sec φ > 0 → φ ∈ IV C

A = cot 2 x + tan2 x A=

(

A=

256 15

15

)

 1  +   5

2

=3

→ sec φ = 3 ; ademas cos φ > 0

π   3π  A = tan2  + x  + cot 2  − x 2 2    

2

3( sec φ+ 3 )

3 sec φ

( sec φ )

2

2 2 P = ( − tan φ ) + sec 2 φ = tan φ + sec φ = 17

2

8

9

CLAVE : B

CLAVE : B

02. Del grafico:

19.

Por R.M.

y = 2x - 4 0 = 2a − 4

∴ a=2

2⋅y = 12 2

∴ y = 12

12 = 2x − 4 ∴ tan θ =

h = 3 ⋅ 1 → h = 3 → tan α = 3 → α = 60

→ θ = 105

(

)

(

senθ + cos θ = sen 105 + cos 105

∴ x=8

2 2

senθ + cos θ = cos15 − sen15 =

x 12 3 = = y 8 2

)

CLAVE : D CLAVE : B 03. Tenemos:

20.

α − β = 360n

12senθ − 5 cos θ = 0 → tan θ =

β 1 = → α = 7β = 420n α+β 8

Del grafico:

90 − θ − α = 180 → α = −90 − θ

7β − β = 360n → β = 60n

θ → N = sen ⋅ tan ( −90 − θ ) 2

500 < α + β < 1000

12 13 ⋅ 12 2 5

1−

500 < 480n < 1000

N=

1,04 < n < 2,8 ∴ n = 2 N=

α = 420 ( 2 ) = 840 CLAVE : D

Prof. Erick Farfán Alarcón

5 12

6 26 65 CLAVE : B

- 16 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

07. “ θ ” y “ ( 4α − β ) ” coterminales:

04. Para n = 1

M = tan α ⋅

→ θ − ( 4α − β ) = 360

sen (180 + α )

( −senα ) = tan α ⋅ = tan α cos ( 90 + α ) ( −senα )

Dato:

−315 ≤ θ + β + α ≤ 135 

Para n = 3

−315° ≤ 360° + 5α ≤ 135°

( −senα ) senα −senα ⋅ ⋅ = tan3 α M = tan α ⋅ ( −senα ) − cos α cos α → Para n

→ θ + β = 360 + 4α

−135 ≤ α ≤ −40

M = tann α CLAVE : D

05. Tenemos:

π π   A = sen ( α ) ⋅ cos ( 4680π + π − α ) ⋅ tan  466 − − α  2 2    2 → cos α ∈  −1; −  2  

= senα ⋅ ( − cos α ) ⋅ cot α = −senα ⋅ cos α ⋅ cot α

π π  π π    B = sen(124π+ π−α) ⋅ sen156 + + α⋅ tan156 − −α 2 2  2 2    B = senα ⋅ cos α ⋅ tan α →

CLAVE : C

08. Graficamos de acuerdo a las condiciones:

A −senα ⋅ cos α ⋅ cot α = = − cot 2 α B senα ⋅ cos α ⋅ tan α CLAVE : D

06. Piden: H = R sen6β

∴ tan θ = cot α CLAVE : A

09.

As = s2 =

→ sen6β =

−R2sen3β ⋅ cos 6β 2 −4s2 R2

∴

H=R

4s2 R2

= 2s

CLAVE : B

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- 17 -

( (r + 1) senα; − (r + 1) cos α )

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

Por regla práctica: 0 2

(r + 1) senα 2 (r + 1) (-cos α )

r+1 0

0 r+1

(r + 1)

(r + 1)senα

(r + 1)(-cosa)

0

r+1

0

π  H = 2sen  + 4t  + 1 6   

2

[ −1; 1] [ −2 ; 2 ]   [ −1 ; −3]  

0

2

(r + 1) (senα - cosα)

(r + 1)

2

CLAVE : D

2

→ A s = ( r + 1) [1 + cos α − senα ] CLAVE : D

13. Nos piden: H = cos2 A + cos2 B + cos2 C − 3

10.

Tenemos:

∗ tan2 A ⋅ tan2 B + tan2 A ⋅ tan2 C + C tan2 B tan2 C = 1 − 2 tan2 A ⋅ tan2 B ⋅ tan2 C ∗ tan2 A ⋅ tan2 B + tan2 A ⋅ tan2 C + tan2 B ⋅ tan2 C + 2 tan2 A ⋅ tan2 B ⋅ tan2 C = 1

(

sen(π - 1/2) = 1

)

sec 2 B

+ tan2 B ⋅ tan2 C = 1    sec 2 C−1



1 → cos θ = + 2 ↓

tan2 B sec 2 C− tan2 B

(

)

∗ tan2 B ⋅ sec 2 C tan2 A + 1 + tan2 A ⋅ tan2 C sec 2 B      

θ = 60°

sec 2 B −1

CLAVE : B

4 2 → ≤ cos x1 ≤ t t

sec 2 B

∗ sec 2 A sec 2 B sec 2 C − sec 2 A sec 2 C + tan2 A tan2 C sec 2 B = sec 2 B

∧ t<0 Todo por: cos2 A ⋅ cos2 B ⋅ cos2 C

→ 8 ≤ 4t cos x1 ≤ 16  ≈ 456

sec 2 A

= 1 + tan2 B 

6  t 2 ⋅ cos x1  cos x1 −  + 8 ≤ 0 t  4  2   cos x1 −   cos x1 −  ≤ 0 t  t 

1 − cos2 B + sen2 A ⋅ sen2C = cos2 A ⋅ cos2 C

≈912

Recorre por lo menos una vuelta

1 = cos2 B + cos2 A ⋅ cos2 C − sen2 A ⋅ sen2C

∴ −1≤ p ≤ 1

1 = cos2 B + cos ( A + C ) ⋅ cos ( A − C ) 

CLAVE : B 12.

(

sec 2 C

1  senθ  cos θ +  2   = senθ As = 2 2

11.

)

∗ tan2 A + tan2 B 1 + tan2 C + tan2 A ⋅ tan2 C 1 + tan2 B  

cos2 A −sen2C

π π 4π
(

1 = cos2 A + cos2 B − 1 − cos2 C

0 ≤ 4t ≤ 2π  

)

→ cos2 A + cos2 B + cos2 C = 2 ∴ H = −1

Barre una vuelta

CLAVE : C

Prof. Erick Farfán Alarcón

- 18 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

14.

18.

(

2

)

1 cos 2α cos2 α 1 + tan2 α − 3 tan2 α + tan4 α = 2 2

A=

(

B = 1 + cos2 α → A −B =

2

) (

+ 1 + sen2α

2

)

=5−

sen2 2α 2

cos2 2α sen2 2α 1 9 −5+ = −5 = − 2 2 2 2 CLAVE : E

15. tenemos: Del grafico: θ + ω = 180 → ω = 180 − θ

1  1    senx +  cos x +  ( tan x + cot x ) senx  cos x  

ω − α = 180 → ω = 180 + α

2

= A csc 2x + B

∧

senx cos x 1   + +  senx ⋅ cos x +  cos x senx senx ⋅ cos x   1    senx ⋅ cos x   

63a = 9a tan ω → tan ω =

→ sec α = −

1+

1 2

2

sen x ⋅ cos x

+

1 2

2

sen x cos x

=

8 sen2 2x

+1

→ cot 2θ = −

63

1 63

Piden:

 1   −12  H = 63  −  + 3  = −1 − 4 = −5 9  63   

= 8 csc 2 2x + 1 = A csc 2 2x + B → A −8 ∧ B =1

12 9 1

→ cot2ω =

63 = tan α 9

∴ A +B = 8 +1= 9

CLAVE : E

CLAVE : E 19. Nos piden: K = tan2 x + csc x

R = 2sec 2 θ − sec 4 θ − 2csc 2 θ + csc 4 θ

16.

(

=

2

) − ( sec 2 θ − 1)

= csc 2 θ + 1

2

=

1 tan4 θ

Del dato: tan x + senx = 1 → senx ( sec x + 1) = 1

− tan4 θ

→ sec x + 1 = csc x

8

1 − tan θ

csc x − sec x = 1

Ordenando:

tan4 θ

Al cuadrado:

CLAVE : D

sec 2 x + csc 2 x − 2 sec x ⋅ csc x = 1  17. Del dato: 4

4

(

2

2

)

4

sec 2 x csc 2 x − 2sec x csc x + 1 = 1 + 1

4

cot θ − tan θ = m cot θ − tan θ + csc θ − sec θ

(

)(

) (

→ cot 2 θ + csc 2 θ cot 2 θ − csc 2 θ − tan2 θ + sec 2 θ  −1 −1 

)

( tan2 θ − sec2 θ) = m (cot2θ − tan2 θ) 2 tan2 θ − 2cot 2 θ = n ( cot 2 θ − tan2 θ ) − 2 ( cot 2 θ − tan2 θ ) = m ( cot 2 θ − tan2 θ ) ∴ m = −2

→ sec x ⋅ csc x = 2 + 1 sec x +1

2

sec x + sec x = 2 + 1    tan2 x + 1 + sec x = 2 + 1  csc x

 k

∴ K = 2 +1

CLAVE : A

Prof. Erick Farfán Alarcón

( sec x ⋅ csc x − 1)2 = 2

CLAVE : D

- 19 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

20.

x ⋅ y = 12 ∧ x2 + y 2 = 52 03.

1  sen ( senx − cos x ) ⋅ 2 H= 2  1  2 cos ( senx − cos x ) 

 +    

H = 2sen  45 + 2sen ( x − 45° )   

[ −1;1 ]

    − 2; 2   

CLAVE : D

→

(

)

π π − 2 ≤ 45 + 2sen x − 45 ≤ + 2 4 4     ≈−35

≤ ≈125

≤

EXAMEN Nº 7 01.

( (

5 sen θ − 37

)) = x

(

)

2 cos 45 − θ = y

→ 4senθ − 3 cos θ = x cos θ + senθ = y

→ H = 2 [1] = 2

i ) → x ⋅ y = 4senθ ⋅ cos θ + 4sen2θ − 3cos2 θ − 3senθ ⋅ cos θ

CLAVE : E 04.

= 4sen2θ − 3 cos2 θ + senθ cos θ

H 1 5 = senθ ⋅ + ⋅ cos θ 6 6 6

ii ) → 2x 2 = 16sen2θ + 9 cos2 θ − 24senθ ⋅ cos θ = 9 + 7sen2θ − 24senθ ⋅ cos θ

→

2

iii ) → 25y = 25 (1 + 2senθ ⋅ cos θ )

6

= sen ( θ + a )

Análogamente:

= 25 + 50senθ ⋅ cos θ → 25y2 + 2x 2 − 2xy = 49

→ CLAVE : B

02. Dato: 0 < θ <

H

π 2

A = sen ( α + b ) 3

i ) Analizamos:

ii ) Analizamos

180 < θ < 270

−1 ≤ sen ( α + b ) ≤ 1

0 < a < 90

1 → tan θ + cot θ = = n ... (I) sen θ ⋅ cos θ

→ −3 ≤ 3sen ( α + b ) ≤ 3

→ 180 < θ + a < 360 ∴ − 3 ≤ A ≤ 3

A = senθ + csc θ + cos θ + sec θ

→ −1 ≤ sen ( θ + a ) < 0

1   A = ( senθ + cos θ )  1 +  sen θ cos θ      

→ 6 ≤ 6sen ( θ + a ) < 0 ∴ − 6 ≤H<0

n

Por dato (1): =

→ A=

n+2 n n+2 (1 + n ) n

→ − 6 ; 0  CLAVE : D

CLAVE : D

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- 20 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

(

05. Tenemos:

2

−k 1 − tan (θ) −2k = 2 tan(θ) tan(θ)

cos ( x + y + z ) = cos x ⋅ cos y ⋅ cos z 

En (3): z =

cosx ⋅ cosy ⋅ cosz − cosx ⋅ seny ⋅ senz

  y + x 2  −k 1 −      y − x   4kxy En (5): z = = 2 2 x+y x −y y−x

2

1 − tan (θ)

− cosy ⋅ senx ⋅ senz − cosz ⋅ senx ⋅ seny

0=

cos x ⋅ seny ⋅ senz cos y ⋅ senx ⋅ senz + senx ⋅ seny ⋅ senz seny ⋅ senx ⋅ senz +

)

cos z ⋅ senx ⋅ seny = cos x ⋅ cos y ⋅ cos z senz ⋅ senx ⋅ seny

 8x 2 y 2  Al cuadrado: z2 = ( 2k 2 )   2  x2 − y2   

(

0 = cot x + cot y + cot z

)

Con (4):

CLAVE : C

2

( 2 2)

z = x +y · 06. Tenemos:

2 2

8x y

22

( x2 − y )

2

( 2 2)

↔z x − y

2

2 2

( 2 2)

= 8x y x + y

CLAVE : D

2 tanB + 3 tanC = csc A + 2cot 2A   

cot A − tan A

2 tan A − cot

c = csc B + 2cot 2B    2 cotB − tanB

+

08. Tenemos: sen( a − ( b − c ) ) cos2c − sen( a + ( b − c ) ) cos2b = 0

1 B c 3 ( tan A + tanB + tanC ) = cot + cot + cot 2 2 2    tan A ⋅tanB⋅tanC

Reduciendo:

tana ( cos 2c − cos 2b ) cos ( b − c ) =

A B C cot ⋅cot ⋅cot ⋅ 2 2 2

sen ( b − c )( cos 2b + cos 2c )

1  B  C 1  →  tan A ⋅ tan  tanB ⋅ tan  tanC ⋅ tan  = 2  2  2 3     (sec A − 1)(sec B − 1)(sec C − 1) =

tana

cos ( b − c ) [cos2c − cos2b]

sen( b − c ) [cos2b + cos2c]

= tana ⋅ tan( b + c ) = 1 CLAVE : D

1 3

CLAVE : B

09. Dato: A + B + C = 180

→ C = 180 − ( A + B ) 07.

x y z = = senθ − cos θ senθ + cos θ tan θ − cot θ

cosC = − cos ( A + B )

x = k(senθ − cos θ) → x2 = k 2 (1 − 2senθ ⋅ cos θ)...(1)

cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 

y = k(senθ + cos θ) → y2 = k2 (1+ 2senθ ⋅ cos θ)...(2)

1 − 2cos A cosBcosC = 1

 sen2 θ − cos2 θ  −2k z = k  → z= tan(2θ)  senθ cos θ  Sumando (1) y (2):

2

2

x + y = 2k

2

→ cos A cosBcosC = 0

...(3)

Solo si el  = 90°

...(4)

→ T. Rectángulo CLAVE : C

Con:

x y senθ + cos θ y = ↔ = senθ − cos θ senθ + cos θ senθ − cos θ x Por proporciones:

tan(θ) =

Prof. Erick Farfán Alarcón

x+y y−x

10. Dato:

tan x + tan y = m (1 − tan x ⋅ tan y )

tan x + tan y = m = tan ( x + y ) ... (1) 1 − tan x ⋅ tan y

...(5)

- 21 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

Luego:

13. Dato: A + B + C = 180

1 n  1  + +n =   ⋅ tan x ⋅ tan z tan x tan z tan x ⋅ tan z  

x+z−y tan A + tanB = x  tan A = z  x+y−z  tanB + tanC = y  tanB = z  y + z−x  tan A + tanC = z  tanC = z

→ n = tan ( x + z ) ... ( 2 ) De (1) y ( 2 ) :

tan ( z − y ) = tan ( x + z ) − ( x + y )  =

n−m 1 + nm

2

→

CLAVE : B

x+z−y sec A = tan2 A + 1 =   +1 z   2

x+y−z secB =   +1 2  

11. De la ecuación:

senθ cos θ + = x y

2

2 tan θ 1 2sec θ → + = x+y x y x+y

y+z−x sec C =   +1 2  

Elevando el cuadrado y ordenando se obtiene:

→ H = sec A ⋅ secB ⋅ sec C =

y x ( 3x − y ) tan2 θ − 2 ( x + y ) tan θ + ( 3y − x ) = 0 x y

Luego: E =

E=

E=

De:

sen6θ x2 1 x

2

⋅

CLAVE : D 14. Sabemos: A + B + C = 180°

x → y

De donde: tan θ =

+

y2

3

(x + y)

+

c  A +B = 90 −   2  2 

→

cos6 θ

x3

→

1 y

2

⋅

c A B tan = cot  +  2  2 2 

y3

( x + y )3

c 2 = c sen 2 cos

1

( x + y )2

→ ksen

CLAVE : B

∴ tan 12. Si:

→ y=

x+y+z=

π 2

c A B → k cos + tan 2 2 2 A B 1 − tan ⋅ tan 2 2 tan

c 1 B = 1 − tan ⋅ tan 2 2 2

A B c ⋅ tan + ksen = 1 2 2 2 CLAVE : B

2sen2 z + 2sen2 y − 2sen2 x

15. Tenemos:

2cos2 z + 2cos2 y − 2cos2 x

 π   2  sen  x −   + vers5x   6      1−cos x

1 − ( cos 2x + cos 2y + cos 2z ) = 1 + ( cos 2y + cos 2z − cos2θ ) =

3senx −cos x

4senx ⋅ seny ⋅ senz −4senx ⋅ cos y ⋅ cos z

1 + 7sen ( x + α ) → 

[ −1;1]

∴ y = − tan y ⋅ tan z

   − 7; 7   

CLAVE : E

   − 7 +1; 7 +1

  B

Prof. Erick Farfán Alarcón

2xy x+y+z

- 22 -

A

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

α+β α −β −2sen   ⋅ sen  =n  2   2 

→ A + B = 7 + 1− 7 + 1 ∴ A + B = 2 CLAVE : E

16.

Luego:

  α + β  m2 − n2 = cos ( α − β ) −  4sen2    2  

π  π  cos  + y  ⋅ cos  − y  = cos2 y − A 6   6   cos2

  α + β  2mn = −sen ( α − β ) −  4sen2    2  

π π cos2 y − sen2 sen2 y = cos2 y − A 6 6

(

 k

)

3 1 1 cos2 y − 1 − cos2 y = cos2 − = cos2 y − A 4 4 4 1 → A= 4

2 2  2mn  m − n 1+ m  −  −m k  −k  → H= = 2 2 n  2mn m −n m+ + n    k −k  

CLAVE : B

CLAVE : B 17. Los s : a − r ; a ; a + r

→ 3a = 180 → a = 60

20.

tan ( a + r ) + tan ( a ) + tan ( a − r ) = 4 3 

x + y + z = 2π Luego tenemos: x + y + z = 120

tan60 = 3

→

→ tan ( 60 + r ) ⋅ tan ( 60 − r ) = 3 3 → senr =

1 2 3

→ tanr =

11 11

1 − tan120 ⋅ tan120 cos2 120

   1− 3  3  = n⋅2⋅2⋅2  1   4 

CLAVE : B

=

1− 3 1 4

2

→ n = −3

CLAVE : A 18.

 π 69π      156π 2π   R = 1 + tan  832 + +   1 + tan   52 52 13      13  

01. Tenemos:

senA ⋅ cosB = senα

69π  π   R =  1 + tan  1 + tan12  52  13  

senB ⋅ cos A = cos α 

69 π 12π 69π 12π R = 1 + tan + tan + tan ⋅ tan 52 13 52 13   1− tan 69

EXAMEN Nº 8

Operando: sen2 ( A + B ) = 1 + 2senα ⋅ cos α

π 12π ⋅tan 52 13

→ cos2 ( A + B ) = −2senα ⋅ cos α

R=2 Piden:

CLAVE : E

19. Por transformación tenemos:

CLAVE : B

α +β α −β 2sen   ⋅ cos  =m 2    2 

Prof. Erick Farfán Alarcón

  1  K = sen2α ⋅   cos2 ( A + B )    2senα ⋅ cos α k= = −1 −2sen + cos α

- 23 -

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(

)

(

1 − cos 90 + 2θ 1 + cos 30 + 2θ  02. H = 3  + 4  2 2   H=

H=

7π 3π 5π 6π ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos 17 17 17 17 P( x) = π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos 17 17 17 17 17 17 17 17 cos

  

 3  1 1 senθ − senθ   3 − 3 ( −sen2θ ) + 4 + 4   2  2  2  

1 4 P(x) = 2 = 24 = 16 1

1 7 + 3senθ + 2 3 cos 2θ − 2senθ  2

H  =

mín

) 

28

1 7 + sen2θ + 2 3 cos 2θ  2 

(

min=− 12 + 2 3

Hmín =

)

CLAVE : C

2

05.

1 7 − 13  2 CLAVE : E

03.

tan θ =

b b ∧ tan 2θ = 2a a

2b b   b 2 tan θ 3 a → tan 2θ = = → a =   a 1 − tan2 θ 1 b2 1− 9a2 Reduciendo: Del grafico:

b2 2

9a 

=

1 → cot 2 θ = 7 7

tan2 θ

a = cos α ⋅ sen2α ∧ x = acosα = sen2α ⋅ cos2 α

CLAVE : D

 cos 2α + 1  → x=  ⋅ sen2α 2    maximo para α=30

06.

 cos 60 + 1  3 3 3 3 → xmax =  =  ⋅ sen 60 = ⋅   2 4 2 8  

H=

sen2α sen (120 − 2α ) sen (120 + 2α ) − − senα sen (120 + α ) sen ( 60 + α )

H=2

CLAVE : B

s c sen (120 − 2α ) sc − =2 sen (120 + α ) s s

H = 2 ( cos α − cos ( 60 + α ) ) − 

04. Tenemos:

P ( x ) = sec P ( x) =

sen (120 − 2α ) sen (120 + α )

− cos(120 +θ )

π 2π 4π 8π · sec · sec · sec 17 17 17 17

 sen(120 − 2α)  H = −  cos (120 + α ) +   sen (120 + α )   

1 π 2π 4π 8π cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos 17 17 17 17

0

→H=0

Completamos:

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CLAVE : C

- 24 -

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07. Tenemos:

 cos2 2x  cos2 2x V = k tan x ⋅  + 1 +  k2  k2  

A = 2 + tan40 · tan20 = 2 + tan ( 2 ( 20 ) ) ⋅ tan20 A = 2+ →A=

2 tan 20 ⋅ tan20

V=

2

1 − tan 20 2

1 − tan2 2θ

;B =

2 1 − tan2 40

∧C=

cos 2x k

2

(cos2 2x + k2 + cos 2x )  k2 cos 2x

2 1 − tan2 80

∴ V =1 2 2 2     R=    2 2 2  1 − sen 20  1 − sen 40  1 − sen 80      cos2 20  cos2 40  cos2 80   R = 8⋅

CLAVE : D

10. Dato:

cos 2 20 cos 2 40 cos 2 80 ⋅ ⋅ cos 4 0 cos80 cos160

π  π  1 − 2sen2  + θ  cos2  + θ  8 θ     → T= π π     1 − 3sen2  θ −  cos2  θ −  8 8  

R = −8 ( cos 20 ⋅ cos 40 ⋅ cos80 ) = −1   1 8

π  2 − sen2  + 2π  4   T= 2 π  4 − 3sen2  2θ −  4  

CLAVE : A

08.

sen4θ = 0,2

x+y+z+ω=π

→ cos 2x + cos 2y + cos 2z =

π 1 π  1  sen2  + 2θ  = (1+ sen4θ) ∧ sen2  2θ −  = (1− sen4θ) 4 2 4     2

4 cos ( x + y ) ⋅ cos ( x + z ) ⋅ cos ( x + ω) Del dato:

1 (1,2 ) 2,8 2 T= = =1 1 4 − 3 ( 0,8 ) 2,8 2

2M = 2sen2 x + 2cos2 y + 2sen2 z + 2cos2 ω

2−

2M = 1 − cos 2x + cos 2y + 1 + 1 − cos 2z + cos 2ω + 1

2M = 4 + ( cos 2y + cos 2ω − cos 2α − cos 2z ) 

CLAVE : A

4sen( x + y )⋅cos( ω+ y )⋅sen( z + y )

 1 2

→ 2M = 4 + 4 ⋅

11.

1 →M=3 2

→ R = 2sen

CLAVE : B 09. Tenemos:

R=

cos3 2x + cos2 2x + k 2 cos 2x = k 2 cos2 2x [cos 2α + 1] = k 2 (1 − cos 2α )      2cos2 x

→

tan x =

θ ∈ IVC ∧

R=

2sen2 x

cos 2x k

(

R=

)

∴ V = k tan x tan2 x + 1 + tan2 x

Prof. Erick Farfán Alarcón

1 2

θ ∈ IIC 2

θ θ 1 − cos θ 1 + cos θ + cos = 2 + 2 2 2 2

(2

1 − cos θ + 1 + cos θ

)

2

1  3 1 + cos θ + 1 − senθ    2  2  3 1 + senθ + 1 − senθ 2 CLAVE : A

- 25 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

12.

f( x ) = sen2 x + 3senx cos x + 5 cos2 x f( x ) = 1 +

M=

(1 − cos θ ) (1 − cos (120 − θ ) ) (1 − cos(120 + θ) cos(θ)cos(120 − θ)(cos(120 + θ) 

3 sen2x + 4cos2 x 2 

+ 1− 1

1 −1 cos3θ

2[cos 2x +1]

M = Ex sec(3θ) − 1

3 f( x ) = 3 + sen2x + 2cos 2x 2 →

(

CLAVE : C

2 6 f ( x ) = + sen 2x + 53 5 5 

)

15. A =

[ −1;1]



Para: n = 1

 1 11  5; 5   

A=

 1 11 → f( x ) ∈  ;  2 2 

→ fmax − fmín =

1 1 1 1 + + + ... + senx senx2x senx22 x sen2n x

1 1 1  1  + = 1 +  senx 2senx cos x senx  2cos x 

= cot 11 1 − =5 2 2

x − cot2x 2

Para: n = 2

CLAVE : C

A=

1 1 1 + + senx sen2x sen4x  x A = cot − cot 22 x 2

13. Tenemos:

( sen2x + cos 2x ) → 1 + sen4x = → sen4x =

2

 7 =  2   

2

; x ∈ 0,

→ Para n

π 8

A = cot

7 4

CLAVE : B

3 7 → cos 4x = 4 4

16. Tenemos:

N=

1 1 → csc 2x − cot 2x = − sen2x tan2x 

=

∴E=

8 − 4− 7

tan2x cos x

+

tan 4x 2

cos 2x

(

N = 2 tan2n x − tan x

4+ 7 4− 7

+

tan8x cos2 4x

+ ...

) CLAVE : D

7 −2 3

17. Homogenizamos denominadores:

CLAVE : D

tan 14. Tenemos:

3π 4π 5π 6π  π  + tan + tan + tan =  cos  ⋅ A 18 18 18 18  19 

 5π 6π   4π 5π  sen  + +  sen    18 18  +  18 18  =  cos π  ⋅ A 3π 6π 4π 5 π  9  cos cos ⋅ cos ⋅ cos 18 18 18 18

M = ( sec θ − 1) ( sec (120 − θ ) − 1) ( sec (120 + θ ) − 1) (1 − cos θ)(1− cos(120 − θ)(1 − cos(120 + θ) + 1− 1 cos θ cos(120 − θ)cos(120 + θ)

Prof. Erick Farfán Alarcón

2

N = 2( tan2x − tanx + tan4x − tan2x + tan8x − tan4x...)

E

M=

x − cot 2n x 2

2 2 π  + =  cos  A 3π 3π 5π 5π  9 2sen ⋅ cos 2sen ⋅ cos 18 18 18 18

- 26 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

5π 3π    sen 9 + sen 9  + = 2  3π 5π 5π 3π  ⋅ sen sen sen  sen  9 9 9 9   2

20.

2

sec 2 α ⋅ tan α = senα + tan α

(

)

→ tan α sec 2 α − 1 = senα

(

)

tan α tan2 α = senα

4π π ⋅ cos 9 9 = A ⋅ cos π 4π π 9 sen ⋅ sen 9 3

4sen

→A=

1  1  sen2α tan2 α = 1 →  ⋅ cos α = 1 ⋅ cos α  cos3 α  cos α

(

8 3 3

)

 8 3 π π ⋅cos = A cos 3 9 9

 1  α  → ⋅ ( cos α ) ⋅  tan  = 1 3  2   cos α 

CLAVE : D

CLAVE : A

18.

π  3π − tg  tg 3π  7 7 W = cos   7  tg 2π + tg π   7 7

 2π sen  7  3π π  ⋅ cos cos 3π  7 7 = cos  7   3π  sen     7   π π 2  cos ⋅ cos  7 7

          

EXAMEN Nº 9 01. Expresemos los ángulos en grados:   3  3  3  E = 3cos40º ⋅cos60 60    ⋅ cos80 − cos 20 + cos   + sen 10 1 2

3π 4π 2π 2π cos ⋅ sen sen ⋅ cos 3π 7 7 7 7 = W = cos ⋅ 7 sen 3π ⋅ cos 3π 3π 3π 2sen ⋅ cos 7 7 7 7 1 W= 2

1 8

  3  4E = 3 ⋅ 2cos 40 cos80    − 4 cos 20 +

cos120 +cos 40

{

csc16x csc x

−

1 2

{

+ 3sen10 − sen30

{

4E = −2 + 3 cos 40 − cos 20 + sen10 

{

4E = −2 + 3 2cos 60 ⋅ cos 20 − cos 20   

En el problema sumamos csc 2 x a ambos miembros de la igualdad: 2

2

2

2

4csc2 2x

  

∴E=−

)

1 2

4 csc2 4x

CLAVE : B

  

(

}

cos 20

2

sec x +  csc  x + 4sec 2x + 16sec 4x + 64sec 8x = 4csc x 

(

}

cos 80

Recordar: sec 2 θ + csc 2 θ = 4 csc 2 2θ

2

}

    4E = 3cos120  + 3 cos 40 − 3cos 20 + cos 60 +

CLAVE : B 19. Nos piden:

1 + 4sen3 10 2

)

16 4csc2 8x



(

)

64 4csc2 16x 2

02.

2

→ 256csc 16x = 4csc x 4 1 = = 2 256 64 csc x

5π 2π  = − tan  7 7   ángulos suplementarios 6π π tan = − tan  7 7 

tan

csc16x 1 = csc x 8

En la expresión:

CLAVE : B

Prof. Erick Farfán Alarcón

4π 5π 6π − tan − tan 7 7 7

Por reducción al primer cuadrante

csc 2 16x

∴

R = tan

- 27 -

1 2

}

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

A = tan

4π  2π   π −  − tan  −  − tan  7  7   7

R = tan

π 2π 4π + tan + tan 7 7 7

Esta

igualdad

se

cumple

solo



si:

A + B + C = 180 ; como no se da condición ,no se cumplirá la igualdad.

la

→ (III) es falsa. Finalmente:

suman π

De

π 2π 4π → R = tan ⋅ tan ⋅ tan 7 7  7 − tan

tres

proposiciones

solo

(I) es

verdadera.

CLAVE : A

3π 7

π 2π 3π R = − tan ⋅ tan ⋅ tan 7 7 7    propiedad

las

05. T = 4 cos 6 +

( 7)

T=

2sen12 + 1 sen6

∴R=− 7



1 sen6

(

)

= 2sen12 + 1 csc 6

 78

CLAVE : B T= 03. Simplificando el dato:

( ) ⋅ csc 6

sen3 39 sen39

   T = sen117   ⋅ csc 6 csc 39

4

2senθ ⋅ cos θ = mcos θ

sen63

→ 2senθ = mcos3 θ

∴ T = sen63 ⋅ csc 6 ⋅ csc 39

En la expresión pedida:

cos θ   cos 3θ E= +3  senθ   senθ

CLAVE : D

−1

06. Sean:

 4 cos3 θ −3cos θ + 3cos θ  E=    3senθ   E=

E=

senθ 3

4 cos θ

=

a = 3 cos

−1

Entonces se reduce:

2senθ

a3 + b3 + c 3 = 0 ∧ abc = −

3

8 cos θ

mcos3 θ

∴E=

8 cos3 θ

a3b3 + a3c 3 + b3c 3 = −

m 8

04.

(I) sen43





3 3 3 L=a b + b3 c 3 + a3 c + 3 ( ab + ab + ac )  



+ cos 47 = sen43 + sen13   

−

2sen28 ⋅cos15

L3 = −

sen77 −sen41

→ (II) Es falsa.

3 3 + 3L ⋅ abc abc ) −  ( 4 4 1 −

A B C ⋅ cos ⋅ cos 2 2 2

L3 = −

- 28 -

2

−

1 2

3 3 − LS... (I) 2 2

Calculemos S:

Prof. Erick Farfán Alarcón

L

1 4

  2cos59 ⋅ sen18 = 2sen18 ⋅ cos 59   

senA + senB + senC = 4 cos

3 4

2 2 c (a2b + ab2c + abc2 ) − 3 a2b

→ (I) Es verdadera.

(III)

3 4

Elevamos al cubo



(II)

1 2

Luego nos piden “ L3 ”; donde: L = ab + bc + ac

CLAVE : B



2π 4π 8π , b = 3 cos ∧ c = 3 cos 3 9 9

S = a+b+c

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

3 3 3 S3 = a + + c + 3 ( a + b + c )( ab + bc + ac ) − 3abc  b     0

S

L

−

09.

1 2

sen

Aplicando series:

3 + 3LS ... (II) 2

S3 =

 10 π   π 10π  sen  ⋅  + 2 11   ⋅ sen  11 11  = sen10A   2 senA 1 π    sen  ⋅     2 11   

Multiplicando (I) y (II) y ordenando se tendrá:

8L3 S3 + 36L2S2 + 54LS + 18 = 0

( 2LS + 3 )3 = 9 → LS =

3

π 2

9 −3 2 π   sen  10   22  = sen10A senA  π  sen   22  

Remplazando en “ I ”

3 339 −3 L =− −   2 2  2  3

∴ L3 =

3 1− 3 9 4

(

10. Factorizando adecuadamente:

 3  1  1 1 3 senx  cos y + seny  + cos y  cos x − senx  =  2    2 2   2  2

)

(

)

3 cos y + seny + cos y cos x − 3senx = 1

π 4π 2π  5π 3π H = tan  tan + tan  + tan tan 7 7 7  7 7 π 6π 5π 3π sen sen ⋅ sen 7⋅ 7 7 7 + H= π 2π 4π 5π 3π cos cos cos cos ⋅ cos 7 7 7 7 7 sen

π 3π 2π − cos ⋅ sen ⋅ sen 7 7 7 + H= π 2π 3π π 2π 3π cos ⋅ cos ⋅ cos cos ⋅ cos ⋅ cos 7 7 7 7 7 7 −sen2

3senx ⋅ cos y + senx ⋅ seny + cos x ⋅ cos y − 3senx ⋅ cos y = 1 → cos ( x − y ) = 1

π 22

CLAVE : A

07.

(

∴ A =

) CLAVE : D

senx

π 2π 3π 10π sen10A + sen + sen + ... + sen = 11 11 11 11 senA

∴ x − y = 360 k

π 7

π 2π 3π 1 Como: cos cos ⋅ cos = 7 7 7 8

CLAVE : C

H = −8sen2 08. como PQ ∧ QR son los catetos el área será:

π π 3π 2π − 8cos ⋅ sen ⋅ sen 7 7 7 7

H = −4 ⋅ 2sen2

1 1 PQ ⋅ QR = ( cosmx − cosnx ) 2 16

π π 3π 2π − 2 ⋅ 2cos ⋅ 2sen ⋅ sen 7 7  7 7   π 5π cos −cos 7 7

8sen ⋅ cos 2x ⋅ sen2x ⋅ cos x = cosmx − cosnx

2π   π 5π π  H = −4 1− cos  − 2 2cos2 − 2cos ⋅ cos  7 7 7 7    

2 ⋅ 2 ⋅ 2senx cosx ⋅ cos 2x ⋅ sen2x = cosmx − cosnx   sen2x   

H = −4 + 4cos

sen4x

2sen4xsen2x = cosmx − cosnx

2π 2π 4π 6π   − 2 1 + cos − cos − cos  7 7 7 7  

2π 4π 6π   H = −6 + 2  cos + cos + cos  7 7 7   

cos 2x − cos 6x = cosmx − cosnx → m = 2 ∧ n = −6

 1 propiedad  −   2

∴ m − n = −4 ∴ H = −7

CLAVE : B CLAVE : C

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- 29 -

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11.

cot x

y = f (x) =

sec x − tan x

; (k ∈ z )

Como: LS =

y ∈ ↔ tan x ∧ cot x ∈ ∧ sec x − tan x > 0 → tan x ∧  cot x ∈

∧  x ≠k

π 2

→ S3 =

1 − senx > 0 cos x   

9 −3 2

39 −3 3 + 3  2  2  

→ 2S3 = 33 9 − 6

pero

S=H

∴ 2H3 = 33 9 − 6

1 − senx > 0 → cos x > 0

Como:

3

CLAVE : E

→ 2kπ −

π π < x < 2kπ + 2 2

14. Calculando los periodos de cada función:

F ( x ) = cos ( cos x − senx ) π π x ∈ 2kπ − ;2kπ + 2 2

F ( x + t ) = cos cos ( x + t ) − sen ( x + t )    π

π Además: x ≠ k 2

F ( x + t ) = cos ( − cos x − ( −senx ) ) F ( x + t ) = cos  − ( cos x − senx ) 

π π ∴ Df = 2kπ − ;2kπ + − {2kπ} 2 2

F ( x + t ) = cos ( cos x − senx ) = F ( x )

CLAVE : C

12.

→ F es periódica:

y = f (x) =

( sec

2

)(

2

2

G ( x + t ) = sen ( x + t ) + cos ( x + t )  

)

x + tan x sec x − tan x  

π 2

1

senx

Se sabe: 0 ≤ tan2 x < +∞

→ G es periódica:

1 ≤ 1 + 2 tan2 x < +∞ 1 ≤  1 +2 tan2 x < +∞ Rf = 1; + ∞

∴ CLAVE : E

T1 =2 T2

15. Para analizar las proposiciones recomienda graficar la función:

2π 3 4π 3 8π + cos + cos 9 9 9

y = f ( x ) = tan x + tan x

Según el problema 6:

Si:

2π 3 4π 3 8π + cos + cos =S 9 9 9

tan x ≥ 0 → tan x = tan x

Luego: y = 2 tan x Si:

3 + LS 2

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π 2

CLAVE : B

13. Nos piden: “ 2H3 ”

→ H = S ∧ S3 =

TG =

π T1 TF = = T2 TG π 2

Finalmente:

y

3 cos

π 2

G ( x + t ) = cos x + −senx = G ( x )   

→ y = f ( x ) = 1 + 2 tan2 x

Donde: H = 3 cos

TF = π

G ( x ) = senx + cos x

y = f ( x ) = sec 4 x − tan4 x 2

π

tan x < 0 → tan x = − tan x

Luego: y = 0

- 30 -

se

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Esbozamos la grafica de “F”

Simplificando la expresión:

y=tanx+|tanx|

 sen3x 2  cos3x 2  y = 2   +    senx   cos x   2 2 y = 2 ( 2cos 2x + 1) + ( 2cos 2x − 1)     

(

)

2 4 cos2 2x +1

π → y = 12 + 8 cos 4x ∧ x ≠ k 2    4x ≠ 2kπ    cos 4x ≠ 1

CLAVE : E 16. como:

2

−1 ≤ cos 4x < 1

Como:

2

π π < x2 ≤ 16 9

−8 ≤ 8 cos 4x < 8 4 ≤ 12 +8 cos 4x   < 20

π π π π π π → < x ≤ →− ≤x<− ∨ <x≤ 4 3 3 4 4 3

y

∴ Rf =  4;20

Simplificando la expresión:

(

y = ( csc 4x − cot 4x ) sen2 x − cos2 x

)

CLAVE : A 18.

y = ( tan2x )( − cos 2x ) 4  π − 3 ≤ x < − 4  → y = −sen2x  ó  π π  <x≤ 3  4

y=2.senx

Graficamos:

y=f(x)=cos(8x)

.

Calculamos las coordenadas de P

2senx = 1 → senx = → x=

1 2

π 5π ∧ x= 6 6

Se puede observar en la figura que:

1  1 ∴ Rf = −1; −  ∪  ;1] 2 2

Tf + CLAVE : C

17.

(

)

(

Pero: Tf =

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2π → B=3 B

y = f ( x ) = cos3x

)

y = 2cos2 3x sec 2 x + 2sen2 3x csc 2 x y ∈ ↔ sec x ∧ csc x ∈

1 5π 2π Tf = → Tf = 4 6 3

CLAVE : D

π → x≠k 2

- 31 -

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19. Para resolver este problema graficamos las funciones.

EXAMEN Nº 10 01. Los puntos de discontinuidad de la función se obtienen cuando el denominador de la función sea cero.

f ( x ) = senx + cos x ∧ g ( x ) = 2 − senx En el mismo plano y en el intervalo de:

→ 2sen2x + senx ⋅ cos3x = 0

[ −π;2π]

2sen2x + senx ⋅ cos x ( 2cos 2x − 1) = 0 4sen2x + sen2x ( 2cos 2x − 1) = 0 sen2x ( 2cos 2x + 3 ) = 0   ≠0

→ sen2x = 0 → 2x = kπ ∴ x=k

π k ∈ 2 CLAVE : D

02. Calculando cada uno de los periodos

∴ Hay dos intersecciones

f ( x ) = csc x + 3 sen3x  + 5 sen5x 

CLAVE : B

2π

2π 5

2π 2π   → TF = MCM  2π; +  = 2π 3 5  

20. Graficamos la función para analizar cada una de las proposiciones:

πx πx g ( x ) = cos πx + sec + cos  3  5    2π

f ( x ) = sen4 πx − cos4 πx = sen2 πx − cos2 πx → f ( x ) = − cos 2πx Tf =

2π 3

2π π 3

π

2π =1 2π

→

2π π 5

tan = MCM ( 2,6,10 ) = 30 T1 TF 2π = = T2 TG 30

Finalmente:

∴

T1 π = T2 15 CLAVE : E

03. La función cortara al eje cuando:

y = f (x) = 0 Entonces: cos x + cos 2x + cos 3x = 0

∴ VFVF

2cos 2x cos x + cos 2x = 0

CLAVE : B

cos 2x ( 2cos x + 1) = 0 cos 2x = 0 2x = ( 2n + 1)

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- 32 -

π 2

∨

cos x = −

1 2

 2π 4 π  x= ;  3 3 

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x = ( 2n + 1)

π 4

π π <x+ ≤0 4 4

→−

π π ∴ x ∈ − ;−  2 4

 π 3π 5π 7π  x= , , ,  4 4 4 4 

CLAVE : B

∴ Existen seis intersecciones CLAVE : C

06.

 x − 1 f ( x ) ∈ ↔;0 ≤ arccos  ≤ π∧  2   x − 1 − 1 ≤ arccos   ≤1  2 

04. Expresamos todo en función del arco seno.

π  f ( x ) = marcsenx + n  − arcsenx  2  → f ( x ) = ( m − n ) arcsen ( x ) + n

 x − 1 → 0 ≤ arc cos   ≤1  2 

π 2

Como: ( m − n ) es positivo; entonces:

f ( x ) es el máximo cuando arc sen ( x ) = →

fm áx

→

fmín = ( 2n − m )

  x − 1 arc sen ( 0 ) ≤ arc sen arc cos    ≤ arcsen (1)   2    

π 2

0

arc sen ( x ) = −

π 2

 π  x − 1   π 3π ≤ arcsen arccos   + ≤ 4  2  4 4    

π =m 2

f ( x ) es mínimo cuando

  x − 1 π f ( x ) = arcsen arccos   +  2  4 

f( x )

π 2

 π 3π  ∴ Rf =  ;  4 4 

π 2

CLAVE : C

∴ fmax − fmín = ( m − n ) π 07.

CLAVE : D

1 π  x arcsen  x −  = + arccos   2 6   2 → x−

05. simplificando f ( x )

π  π  f ( x ) = 2senx cos x + 2sen  − x  sen  − 2x  4 4    

θ→cos θ=

x−

π  f ( x ) = sen3x + senx + cos ( x ) − cos  − 3x  2    sen3x

x−

→ f ( x ) = senx + cos x Como: −

π 1  x  = sen  + arccos    2 6  2   

1 π π = sen csc θ + sen θ cos 2 6 6

1 1 x 3 4 − x2 = ⋅ + ⋅ 2 2 2 2 2

4x − 2 = x + 3 ⋅ 4 − x 2

π < arcsen ( f ( x ) ) ≤ 0 2

3x − 2 = 12 − 3x 2

→ − 1< f (x) ≤ 0 

Efectuando se tiene:

π  −1 < 2sen  x +  ≤ 0 4 

x=

1 33 ± Pero: x > 0 2 6

2 π  < sen  x +  ≤ 0 2 4  

x=

1 33 + 2 6

−

x 2

CLAVE : E

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- 33 -

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08. Nos piden:

tan2θ =

N = −4cos arc cot ( x ) + arccos ( z ) 

x

→ sen4θ =

1− 1− x2

→ 4θ = arcsen ( x )

π π  N = −4cos  − arctan ( x ) + − arc sen ( z )  2 2  

2tan2θ 1 + tan2 2θ

1 arcsen ( x ) 4

∴ θ=

CLAVE : A

N = −4cos  π − ( arctan ( x ) + arcsen ( z ) )   π 5

11. f ( x ) ∈ ↔ 0 ≤ x ≤ 1 y arcsen ( x ) ≥ arccos ( x ) 

π π  N = −4  − cos  = 4cos 5 5  

π −arcsen( x ) 2

0 ≤ x ≤ 1 y arcsen ( x ) ≥

 5 + 1 N = 4  4   

0 ≤ x ≤ 1 y 1≥ x ≥

∴ N = 5 +1 CLAVE : C

09.

H=

(

Sea: arctan

( 5 ) = α → tan α =

π   − arccos ( x )  − arccos ( x ) 2  f (x) =  π 2

5

→ sec α = 6 → α = arc sec

→ f ( x) = 1−

( 6)

sen3α sen5α

 2 → arccos (1) ≤ arccos ( x ) ≤ arccos     2   0

Calculando:

sen3α = 3senα − 4sen3 α = − 3

π 4

5 3 6 2

4 −1 ≤ − arccos ( x ) ≤ 0 π

5

sen5α = 5senα cos α − 10sen α cos α + sen α = − ∴ H=

4 arccos ( x ) π

2 ≤ x ≤1 2

Como:

4

2 2

Simplificando:

6

Luego nos piden: H =

π 4

2 ≤ x ≤1 2

→

( )) sen ( 5arctan 5 )

sen 3arc sec

=x

5 5

0 ≤ 1−

9 6

sen3α 3 = sen5α 5

4 arccos ( x ) ≤ 1 π

4 0 ≤ 1 − arccos ( x ) ≤ 1 π  

CLAVE : C

f ( x)

Rf = [0;1] CLAVE : B

 1+ 1− x  θ = arctan   1 + 1 + x   

10. De:

Se tiene:

 3 12. Del dato:  0 ≤ x ≤   3  

1+ 1− x tan θ = 1+ 1+ x

tan θ − 1 = 1 − x + 1 + x tan θ

arccos

Elevando al cuadrado y ordenando se obtiene:

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- 34 -

(

)

3x =

π − arccos 2

(

2x

)

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π → 3x = cos  − arccos 2

(

3x = sen arccos 3x = 1 − →x=

(

2x

)

2

(

 2x  

(

2x

)

14. Del dato:

x = 17 + 2 72 = 2   9+8

))

2+1

1

cot

5

Luego nos piden:

9+ 8

9⋅8

x = 3 + 2 2 = 2 +1 2  

cot

→ 3x 2 = 1 − 2x 2

2⋅1

x π π π = csc + cot = cot 2 4 4 8

→

F ( x ) = arcsen ( x ) + arcsen ( 2x )

x π = 2 8

∴ x=

π 4 CLAVE : D

 1   2  F ( x ) = arcsen   + arcsen    5   5   1 arctan  2

cot

 1 arc cot   2

15.

π ∴ F(x) = 2

  1  3  sen arc tan   + arctan    2    4   A=    1   3  cos arctan    ⋅ cos arctan    2     4       α

CLAVE : C

θ

 1 3 Haciendo: α = arctan   ∧ θ = arctan   2   4 13. Ordenando convenientemente: Se tiene: tan α =

cos x ( 2cos5x cos 3x − cos8x ) > 0   cos8x +cos 2x

(

Luego nos piden:

)

2

cos x ( cos 2x ) > 0 → cos x 2cos x − 1 > 0 cos x

(

)(

2 cos x + 1

1 3 ∧ tan θ = 2 4

A=

)

2 cos x − 1 > 0

sen ( α + θ ) cos α cos θ

=

tan α tan θ + 1 3 2 4

∴ A = 1,25

CLAVE : E

2 →− < cosx < 0 2

ó

 x  3π 16. De: y = f ( x ) = arcsen   + π 2

2 < cos x ≤ 1 2

y ∈ ↔ −1 ≤

En el grafico del coseno

x ≤ 1 → −π ≤ x ≤ π π

→ Df = [ −π; π] ∀x ∈ [ −π; π] → −

π x π ≤ arcsen   ≤ 2 π 2

 x  3π → π ≤ arcsen   + ≤ 2π π 2  y

π ≤ y ≤ 2π → Rf = [ π;2π]  π ∴ x ∈ 0;  4

∪

∴ Df ∩ Rf = {π}

π 3π ; 2 4

CLAVE : C CLAVE : D

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- 35 -

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17. De: Y = A ⋅ arccos (BX + C ) + D

−1 ≤ BX + C ≤ 1 ∧ 0 ≤

20. De la inecuación:

2sen2x cos x > 1 + cos 2x

Y −D ≤π A

2 ( 2senx cos x ) cos x > 1 + ( 2cos 2x − 1)

−1 − C 1− C ≤x≤ ∧ D Aπ + D  ≤ y ≤  B B   π π 0

4

5

4

4senx cos2 x − 2cos2 x > 0 2 2cos  x ( 2senx − 1) > 0 ; cos x ≠ 0

4

∀x∈

1 π Efectuando: B = ; C = −1 ; A = 1 ; D = 2 4

( + ) → 2senx > 1 ;

x ≠ ( 2k + 1)

CLAVE : A En la C.T. 1 > senx >

π 2

1 2

18. De La ecuación:

cos 2x 1+ 2 cos2 2x 1 + 2 = → = 2 4 8 2 8 2 2cos2 2x = 1 + cos 4x =

2 2 → 1 + cos 4x = 1 + 2 2

 2 2 → 4x = 2kπ ± arccos   2  2  

4x = 2kπ ±

π 4

∴ x=k

π π ± 2 16

π 5π π x ∈ 2kπ + ;2kπ + − {2kπ +  6 6 2

CLAVE : D

CLAVE : C 19. como: 0 ≤ arccos ( x ) ≤ π EXAMEN Nº 11

→ arccos ( x ) = arccos ( x )

01. como: x < 0 → x = − x

La ecuacion planteada se transforma en : 2

En la ecuación:

2

12 ⋅ arccos ( x )  − 7π arccos ( x )  + π = 0

− x + arctan ( − x ) > 0

4arccos(x)

−π

− x > arctan ( x )

3arccos(c)

−π

Graficando se tendrá:

( 4 arccos ( x ) − π ) ( 3arccos ( x ) − π ) = 0 Igualando cada factor a cero:

arccos ( x ) =

π π 2 → x = cos = 4 4 2

arccos ( x ) =

π π 1 → x = cos = 3 3 2

∴ ∑ soluciones =

2 +1 2

∴ x ∈ −∞;0 CLAVE : B

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CLAVE : D

- 36 -

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02. De: z = 9 + 40i

↔

 40  z = 9 + 40 = 41 ∧ arg ( z ) = arctan    9  2

2

b 2

a

=

( senx + cos x − 2 ) ( senx + cos x + 2 )

 a+ b De donde: senx + cos x = 2   a − b   

→ z = 41cis ( 2kπ + arg ( z ) ) → z = 41⋅ e (

i 2kπ+ arg( z ) )

Luego el mínimo de

i( 2kπ+arg( z ) )  → In ( z ) = In ( 41) ⋅ In e     

f ( x ) se obtendrá

remplazando: senx + cos x

i( 2kπ+ arg( z ) )⋅In( e ) 

f min =

1

  40   ∴ In ( z ) = In ( 41) + i  2kπ + arctan    9  

CLAVE : B

∴ fmín

a b −  a+ b  a+ b 2  2   + 2  − 2  a− b  a− b

( =

a− b

)

2

2 2 CLAVE : A

03. Multiplicando (I) · i y lo sumamos con (II)

cos x + cos y + cos z = 0 i sen x + i sen y + i sen z = 0 ↓ ( + )

05. De las ecuaciones dadas

cis(x) + cis(y) + cis(z) = 0 →

[cis(x)]3 + [cis(y)]3 + [cis(z)]3

= 3cis(x)·cis(y)·cis(z)

cis(3x) + cis(3y) + cis(3z) = 3cis(x + y + z)

cos ( α − 3θ ) = mcos3 θ

... (I)

sen ( α − 3θ ) = mcos3 θ

... (II)

Haciendo (I) ⋅ cos3θ ∧ (II) ⋅ sen3θ

Igualando las partes imaginarias se tendrá:

cos ( α − 3θ ) cos3θ = mcos3 θ cos3θ

sen3x + sen3y + sen3z = 3sen(x + y + z) ↓ k ∴

2

sen ( α − 3θ ) sen3θ = msen3 θsen3θ Restando las expresiones:

k=3

cos α = mcos3 θ cos3θ − msen3 θsen3θ

CLAVE : C

Degradando: sen3θ ∧ cos3θ

 3cos θ + cos3θ   3senθ − sen3θ  cos α = m  cos3θ − m  sen3θ 4 4    

04. De la función:

f (x) =

a senx + cos x + 2

−

b senx + cos x − 2

cos α =

→ senx + cos x ≠ ± 2 → senx ≠ cos x Derivando f ( x ) se tendrá:

f′( x) =

−a ( cos x − senx ) 2

−

Calculamos (I) y (II) .

−b ( cos x − senx ) 2

( senx + cos x + 2 ) ( senx + cos x − 2 )

 b  f ′ = ( cosx − senx)   senx + cosx − 2 

(

  − 2 2 senx + cosx + 2   a

) (

)

“ cos 4θ ”de

las

- 37 -

ecuaciones

cos2 ( α − 3θ ) = m2 ⋅ cos6θ sen2 ( α − 3θ ) = m2 sen6 θ

↓ +

8 − 5m2  5 + 3cos 4θ  1 = m2  → cos 4θ =  8   3m2 Remplazando cos 4θ en (III) :

Como: senx ≠ cos x → f ′ ( x ) = 0

Prof. Erick Farfán Alarcón

(

m 3cos3θ cos θ + cos2 3θ − 3sen3θsenθ + sen2 3θ 4 m → cos α = ( 3 cos 4θ + 1) ... (III) 4

)

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

→ cos α =

∴ cos α =

m   8 − 5m2   3  + 1 4   3m2    

2−m m

→ f(x) = 3 + 2 2 + sen2 x cos2 x De: −

2

1 1 ≤ senx cos x ≤ 2 2

0 ≤ sen2 x cos2 x ≤

CLAVE : E

1 4

2 ≤ 2 + sen2 x cos2 x ≤ 06. expresamos cos 4x en términos del cos x

2 2 ≤ 2 2 + sen2 x cos2 x ≤ 3

2

cos 4x = 2cos2 2x − 1 = 2 2cos2 x − 1 − 1  

3 + 2 2 ≤ 3 + 2 2 + sen2 x cos2 x ≤ 6  

(

→ cos 4x = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1

8cos4 x − 8 sec 2 x + 1

2

f(x)

cos2 x 2

2 +1)

2 + 1 ≤ 3 + 2 2 + sen2 x cos2 x ≤ 6   

Luego:

f (x) =

9 4

∴

2

f (x) = 8 cos x + sec x − 8 

Rf =  2 + 1; 6  CLAVE : B

≥ 2 8cos2 x⋅sec 2 x

→ f (x) ≥ 4 2 − 8 09.

∴ f ( x ) =  4 2 − 8; + ∞ 

Efectuando:

( a + b cos t )( b + a cos t ) = ( a + bsent )(b + asent ) CLAVE : E

(a2 + b2 ) cos t + ab cos2 t = (a2 + b2 ) sent + absen2t (a2 + b2 ) (cos t − sent ) + ab (cos2 t − sen2t ) = 0

07. Ordenando convenientemente:

2sen4x + 3cos 2x = 5 − 8sen2xsen2 x

( cos t − sent ) a2 + b2 + ab ( cos t + sent )  = 0

2sen4x + 3 cos 2x = 5 − 4sen2x (1 − cos2x )

→ cos t − sent = 0 → sent = cos t

2sen4x + 3 cos 2x = 5 − 4sen2x + 2sen4x

∴t=

 1 − tan2 x   2 tan x  3  + 4 =5  1 + tan2 x   1 + tan2 x   

π 4 CLAVE : B

1 Efectuando se obtiene: tan x = 2 10. Para resolver la desigualdad:

 1 ∴ x = kπ + arctan   2

cos ( senx ) > sen ( cos x ) Graficamos las funciones

CLAVE : C

08.

Transformamos la ecuación de la función en otra mas asequible.

f(x) = 1 + sen2 x + 1 + cos2 x > 0 f(x) =

(

1 + sen2 x + 1 + cos2 x

Prof. Erick Farfán Alarcón

)

2

>0

- 38 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

H = θπ − π + arccos ( cos 4θ )

En la figura se observa que ∀x ∈

cos ( senx ) > sen ( cos x )

⇓

∴ x∈

4θ ∉ [ 0 ; π ]

CLAVE : D

H = 4θ − π + arc cos cos ( 2π − 4θ )    2π− 4θ

π  1 − 3arctan   4 5 11. De: T =  1  1  arctan   − arctan   5    239 

∴ H=π CLAVE : C

 1 Calculamos: 3 arctan   5

13. Graficando de acuerdo a los datos.

Sabemos que:

 3x − x3 3arc tan ( x ) = arc tan   1 − 3x 2 

   

 1  37  → 3 arc tan   = arc tan   5  55  Luego en “T”:

Por el teorema del coseno

 37  arc tan (1) − arc tan    55  T=  1  1  arc tan   − arc tan   5  239 

2 1

D = a2 + b2 − 2ab cos120 2

D = a2 + b2 − 2ab cos 60 2

Dividiendo:

 9  arc tan    46  T=  9  arc tan    46 

2

∴ T =1

D1

2

D2

2

→

2

a + b − ab

)

a b 2 3 + = + b a 3 2

)

∴

a 2 = b 3 CLAVE : C

θ

⇓ cos θ = x ; como :

0≤x≤

2 2

14. graficando se tendrá:

⇓ π 2 ≤θ≤ 4 2

Luego:

(

)

H = 4θ −  π − arccos 1 − 8 cos2 θ + 8 cos4 θ    ⇓

( ) H = 4θ − π + arc cos (1 − 2sen2 2θ ) H = 4θ − π + arccos 1 − 8sen2θ cos2 θ

Prof. Erick Farfán Alarcón

19 a2 + b2 + ab = 7 a2 + b2 − ab

2 2 19 + 7 2 a + b a2 + b2 13 = → = 19 − 7 2ab ab 6

12.

(

a2 + b2 + ab

(

CLAVE : D

H = 4 arccos ( x ) − arccos− 1 − 8x 2 + 8x 4 

=

- 39 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

Se puede observar:

cot θ = 2 ∧ cot φ =

cos5915′ =

3 2

∴ cos5915′ = 0,511

m = 4cot α

Además: Como:

α+θ+φ =

CLAVE : B

π 2

→ cot α + cot θ + cot φ = cot α ⋅ cot θ ⋅ cot φ cot α + 2 +

1 π 3 1  3π  + ⋅ = 0,5 +   2 240 2 2  240 

17. Del dato se tiene:

senx 1733 1   = → senx =  1 − x x 1734 1734  

3 3 = cot α ⋅ 2 ⋅ 2 2

7 7 + cot α = 3cot α → cot α = 2 4

Aproximando el “ senx ”por las series:

→ m = 4 cot α = 7

senx = x −

∴ Menor lado = 13 →

CLAVE : C

x2 1 1 = → x2 = 6 1734 289

→x=

15. Debemos transformar el primer miembro de la igualdad en otra de la forma:

 x3 1  x2   → 1−   x = x  1 − 3! 6   1734  

1 17

∴ x −1 = 17 CLAVE : D

a + b cos θ + c cos 2θ

(1 + cos θ + icos θ ) P=

4

cos2θ + isen2θ

θ θ  2θ  2cos 2 + i ⋅ 2sen 2 cos 2   = cis ( 2θ )

4

4

(

θ  3 + 4cos θ + cos 2θ  = 16   2 8   → P = 6 + 8 cos θ + 2cos 2θ

4 4   2  2   2  2  E =  + +      = 2    2  2    2   

↓ c

∴E=

CLAVE : C

Si: x → 0 cos ( θ − x ) = cos θ + xsenθ Nos piden:

)

π  π π π π = cos + cos 5915′ = cos  − sen  3 240 3  3 240   x

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( )

2 2

19. Expresando la longitud de la escalera en términos de la variable “ θ ”

16. Recuerde que:

- 40 -

) 

 2 2 ⋅    2 

CLAVE : C

a+c =1 b

(

4

 ( cos x − senx ) ( cos x + senx ) cos4 + sen4 x  E = lím  π cos x − senx x→  4

P = 24 cos4

∴

 cos8 − sen8 x  E = lím   evaluando se π  cos x − senx  x→   0 obtiene una indeterminación de la forma   0

 θ  θ  θ 24 cos4 ⋅ cis ( 2θ ) 2cos 2 ⋅ cis  2      = 2 P=  cis ( 2θ ) cis ( 2θ )

↓ ↓ a b

18.

 

4

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L = a csc θ + b sec θ

3 5   33 ⋅ 4 = tan θ ⋅ 55

El mínimo se obtiene derivando e igualdad a cero dicha función:

→ b⋅

cos2 θ

→ tan3 θ =

= a⋅

CLAVE : B

cos θ sen2θ 02.

a b

(

CLAVE : B

H=

y = y′ cos θ + x′senθ → y =

2 1 2

sen x

1

+

sen

( 60 − x )

)

(

2

2

x − xy + y − 6 = 0

(

)

1 1 1 ( x′ − y′ )2 − x′2 − y′2 + ( x′ + y′ )2 = 6 2 2 2

) (

2



1   4 sen3x   

2



+

)

1

2

sen

( 60 + x )

)

( 60 − x ) sen ( 60 + x ) sen2 x ⋅ sen2 ( 60 − x ) + sen2 xsen2 ( 60 − x ) sen2 ( 60 + x ) sen2 xsen2 ( 60 + x ) + sen2 xsen2 ( 60 − x ) sen2 ( 60 + x ) 2

( sen2 60 − sen2x) H=

Luego en la ecuación:

(

2

sen xsen

( x′ − y′ ) ( x′ + y′ )

1

(

2

θ = 45 se tendrá: 1

(

sen2 60 + x ⋅ sen2 60 − x

20. Como el ángulo de la rotación es

x = x′ cos θ − y′senθ → x =

)

H = csc 2 x + csc 2 60 − x + csc 2 60 + x M=

 a ∴ θ = tan−1  3   b  

2

12 = tan θ 5

∴ tan θ = 2, 4

L′ = a ( − csc θ ⋅ cot θ ) + b ( sec θ ⋅ tan θ ) senθ

→

2



(

)

(

2

1   4 sen3x   

2  3  H = 16csc2 3x  − sen2x  + sen2x ⋅ 2 sen2 60 ⋅ cos2 x + sen2x ⋅ cos2 60   4

(

)

2 x′2 + y′2 − x′2 − y′2 = 12

CLAVE : D

EXAMEN Nº 12

3 1 9 3  16 csc 2 3x  − sen2 x + sen4 x + sen2 x cos2 x + sen4 x  16 2 2 2  

Para expertos

3 sen 4x 2

01. Graficando de acuerdo a los datos se tendrá:

∴ H = 9 csc 2 3x CLAVE : C

03. como: x + y + z = xyz

(

) (

)

1 tan θ  112 + 82 − 72 + 92    4

Hacemos:

x = tan α , y = tan β , z = tan θ

Tal que:

α + β + θ = kπ

Luego en expresión:

1 33 = tan θ [185 − 130 ] 4

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

) 

9 3 1 3  16csc2 3x  − sen2 x + sen4 x + 2sen2 x  cos2 x + sen2 x   16 2 4 4   

∴ x′2 + 3y′2 = 12

S =

)

sen2 x sen2 60 + x + sen2 60 − x    +

N=

- 41 -

(1− y2 ) (1 − z2 ) + (1 − x2 ) (1 − z2 ) + (1 − x2 ) (1 − y2 ) y

z

x

z

x

y

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

1  1   1  1  1  1 N =  − y   − z  +  − x  − z  +  − x   − y  y z x z x y                         2cot 2β 2cot 2θ

2cot 2α 2cot 2θ

2cot 2α 2cot 2β

06.

H=

cos2 x + cos2 2x + cos2 3x 1 + 2cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x

Multiplicamos por 2:

β cot 2α ⋅ cot 2β + cot 2α ⋅ cot 2θ + cot 2θ ⋅ cot 2   N = 4   propiedad I 2 α+ 2 β+ 2 θ= 2k π ()  

H=

2cos2 x + 2cos2 2x + 2cos2 3x 2 (1 + 2cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x )

∴ N= 4

H=

1 + cos 2x + 1 + cos 4x + cos 6x + 1 2 (1 + 2cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x )

H=

2 + 2cos2 x + 2cos5x · cos x 2 (1 + 2cos x ⋅ cos2x ⋅ cos3x )

CLAVE : D

(

04. Nos piden: tan32230′ = tan 360 − 3730′ 

) H=



tan322 30′ = − tan37 30′

(

tan32230′ = csc 75 − cot 75

)

H=

2 + (1 + cos x · [cos5x + cos x ]) 2 (1 + 2cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x ) 1 + cos x ⋅ 2cos3x ⋅ cos x 1 + 2cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x

∴ H =1

  tan32230′ = cot 75 75     − csc   

2− 3

CLAVE : A

6− 2

∴ tan32230′ = 2 + 2 − 3 − 6

07.

CLAVE : D

H=

( sec 40 +

)(

3 csc 40 sec 80 − 3 csc 80   A

05. Calculamos AB por el teorema de Pitágoras:

B

Calculo de A

AB = 3

A=

A=

sen40 + 3 cos 40 



sen40 ⋅ cos 40 4 sen100 sen80

=

(

2sen 40 + 60

)

1 sen80 2

→A=4

Cálculo de B Calculamos los lados a y b en los triángulos ABM y BNC respectivamente aplicando el teorema del coseno.

B=

sen80 − 3 cos80 



sen80 ⋅ cos80

2

a2 = 12 + 3 − 2 · 1· 3 cos A → a= 2  3 3

B=

2

b2 = 12 + 6 − 2 · 1· 6 cosC  → b= 3

4 sen20 sen160

=

(

2sen 80 − 60

)

1 sen160 2

→B = 4

Luego: H = AB = 16

6 3

∴ H= 4

∆MBN: teorema del coseno

CLAVE : C

12 = a2 + b2 − 2abcos θ 1 = 2 + 3 − 2 6 cos θ ∴ cos θ =

(

6 3

Prof. Erick Farfán Alarcón

- 42 -

2

2

32cos6 x = 2 9 cos2 x + 6cos3x ⋅ cos x + cos2 3x

)

(

CLAVE : E

)

= 2 ( 3 cos x + cos3x )

08. 32cos6 x = 2 4 cos3 x

)

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

2 2 32cos6 x = 9 ⋅ 2cos ⋅ cosx + 2cos 3x   x + 6 ⋅ 2cos3x    1+cos 2x

cos 4x + cos 2x

1+cos 6x

11. Graficando de acuerdo a los datos se observa: θ = x − y

∴ 32cos6 x = cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10 CLAVE : A

09. Como:

tan θ =

3 4

→ θ = 37

→ tan θ = tan ( x − y )

Donde:

1   tan x = 9   tan y = 1  10

1 1 1 − 9 10 90 → tan θ = = 1 91 1+ 90 90

∴ 7cot φ = 21

∴ tan θ =

CLAVE : B

1 91

CLAVE : C

10. Colocando los datos en la figura, se observa:

12. Para que la función intersecte el eje de abscisas se debe cumplir que f ( x ) = 0

→ sen3x + cos x = 0 π  sen3x + sen  − x  = 0 2 

π π   2sen  + x  cos  2x −  = 0 4 4   π π   → sen  + x  = 0 ∨ cos  2x −  = 0 4 4     θ + ( α + β ) = 360 → cos θ = cos ( α + β ) cos θ = cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ = Luego:

x+

33 65

cos 2θ = 2cos2 θ − 1 = −

∴ tan2θ ⋅ tan θ = −

2047 4225

2x −

π π = kπ + 4 2

π 4

∨

x=

kπ 3π + 2 8

 π 3π  x = − ;  4  4

4225 −1 2047

 π 3π 7 π  x = − ; ;  8 8   8

 π  Entre  − ; π  hay cinco valores para los  2  cuales la función se anula luego intersecará al eje x en cinco oportunidades.

6272 2047 CLAVE : E

Prof. Erick Farfán Alarcón

∨

x = kπ −

Finalmente nos piden :

tan2θ ⋅ tan θ = sec 2θ − 1 = −

π = kπ 4

CLAVE : D

- 43 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

(

13. De: f ( x ) = arcsen sen4 x + cos4 x

)

15. Expresamos la ecuación en términos de senos y cosenos.

 3 + cos 4x  f ( x ) = arcsen   4   

1 − cos x + sec x − 1 = cos x − 2sen x cos x ≠ 0

sec x = 2cos x − 2senx

A

1 = 2cos2 x − 2senx ⋅ cos x

Calculemos el intervalo de A

A= →

sen2x = cos 2x

3 + cos 4x ; Como: −1 ≤ cos 4x ≤ 1 4

tan2x = 1 → 2x = kπ + arctan (1) 

1 3 + cos 4x ≤ ≤1 2  4 

π 4

A

x=k

 1 arcsen   ≤ arcsen ( A ) ≤ arcsen (1)  2     π f(x) π 6

π π + 2 8

 π 5π  → x= ;  8 8 

2

π π ∴ R (f ) =  ;  6 2

∴ ∑ sol =

3π 4 CLAVE : C

CLAVE : A 16. Ordenando la ecuación

14. Determinación del dominio:

cos3 x + cos3 3x + cos3 9x = cos x + cos3x + cos9x

f(x) ∈ ↔ −1 ≤ x ≤ 1 ∧ arccos(x) ≠ 0

Multiplicamos por 4

→ − 1 ≤ x ≤ 1 ∧ x ≠ cos0  1

4 cos3 x + 4 cos3 3x + 4cos3 9x = 4 cos x + 4cos3x + 4cos9x

→ −1≤ x ≤ 1 Dom = [ −1; 1

(3 cos x + cos3x) + (3 cos3x + cos9x) + (3cos9x + cos 27x) = 4 cos x + 4cos3x + 4cos9x

Determinación del rango:

π  2  − arc cos x   2  +1 f(x) = arc cos x

→ f(x) =

3cos x + 4 cos x + 4cos9x + cos 27x = 4cos x + 4cos3x + 4cos9x → cos 27x − cos x = 0

π −1 arc cos(x)

−2sen13xsen14x = 0

∀x ∈ [ −1; 1 → 0 < arc cos(x) ≤ π 0<

arc cos(x) ≤1 π

1≤

π < +∞ arc cos(x)

0≤

sen13x = 0

∨

sen14x = 0

13x = kπ

∨

14x = nπ

π 13

∨

x=n

x=k

∀k ∈ 

π − 1 < +∞ arc cos(x)  

x=

f(x)

Ran = [0 ; +∞

π 14

∀n ∈ 

π 13

∴ xmin =

∴ Dom = [ −1; 1 ∧ Ran = [0 ; +∞

x=

π 14

π 14 CLAVE : E

CLAVE : A

Prof. Erick Farfán Alarcón

∀k ∈ 

- 44 -

GUÍA DE CIENCIAS - TRIGONOMETRÍA

17.

3 tan θ = 2003i + 2004i + 2005i

(

Dando forma conveniente a la expresión

(

3 tan θ = eln 2003

i

i

i

) + ( eln 2004 ) + ( eln2005 )

(

) (

) (

)

1

M=

∴ M = e2 CLAVE : A

20.

π 2

θ ∈ −2π; −3

Para:

k = −2 → θ = −2π +

π 4

Las coordenadas del centro de la hipérbola serán las coordenadas del origen de un nuevo sistema luego de aplicarle una adecuada rotación y traslación.

7x 2 + 48xy − 7y2 + 20x − 110y − 100 = 0

7π 4

→ cot 2θ = CLAVE : B

18.

π π  cis  − ix  = 2cis 2 2  π  cis  − ix  2  =2 π cis 2 ⇓

e(

i −ix + 2kπ )

i( −ix + 2kπ)

e

7 − ( −7 ) 48

=

7 → θ = 37 24

Haciendo la rotación eliminamos el término xy :

sen ( ix ) + icos ( ix ) = 2i

cis ( −ix )

1  lím  cos2 x   e x →0 2

∀k ∈ 

Como:

∴ θ=−

)

 cos2 x  

1

1

3 tan θ = 3 → tan θ = 1 π → θ = kπ + 4

1

e

3 tan θ = eiln2003 + eiln2004 + eiln 2005    1

lím

1  x→0 2  2 2  tan x M = lím 1 + tan x  x →0   

x = x′ cos θ − y′senθ → x =

4x ′ − 3y ′ 5

y = y′ cos θ + x′senθ → y =

4y ′ + 3x′ 5

En la ecuación de la hipérbola:

7

=2

( 4x′ − 3y′ )2 25

+ 48

( 4x′ − 3y′ )2 ( 4y′ + 3x′ ) 25 20

=2

( 4x′ − 3y′ )2 5

−7

( 4x′ − 3y′ )2

− 110

25

( 4y′ − 3x′ )2

Efectuando queda:

=2

( x′ − 1)2 − ( y′ + 2 )2 = 1

→ x − 2kπi = ln 2

Haciendo la translación:

∴ x = 2kπi + ln ( 2 )

x′′ = x′ − h = x′ − 1 → h = 1 y′′ = y′ − k = y′ + 2 → k = −2

CLAVE : D

De donde las coordenadas del centro serán:

C ( hik ) = (1; −2 )

19. Evaluando M se obtiene una indeterminación de la forma 1∞

(

M = lím sec2 x x→∞

)

1 2 cos xcot2 x 2

Prof. Erick Farfán Alarcón

∴ ∑ coord = −1

(

= lím 1+ tan2 x x→0

)

1

1 ⋅ cos2 x tan2 x 2

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CLAVE : D

5

+

=0