La Sucesión.docx

La sucesión Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión. A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta. Término general Se llama término general de una sucesión al que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe an. Hay sucesiones cuyo término general es una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n. En otras, cada término se obtiene a partir de los anteriores, se dice que están dadas en forma recurrente. Una relación de recurrencia es una expresión algebraica, que expresa el término n en función de los anteriores. Tipos de sucesiones

SUCESIONES LITERALES Las sucesiones literales como su nombre lo dice están formadas por órdenes lógicos de letras, dichos órdenes incluyen las reglas del alfabeto o abecedario, y ya que el abecedario varia en el uso de algunas letras se pueden especificar las siguientes reglas: En primer lugar verificar si el orden pertenece al abecedario si es así, entonces recordar que el abecedario tiene dos tipos, el que incluye la ch y la ll y el que no las incluye, en estos casos si dentro del ejercicio o las alternativas aparece la ch o la ll entonces se deben considerar ambas dentro del abecedario, pero si no están incluidas se debe usar el abecedario que no las contiene; Si el orden no responde al abecedario significa que dichas letras corresponden al orden de palabras o la primeras letras de un orden tal como los días de la semana (l, m, m, j, V, s, d) o los meses (e, f, m, a, m , j, j, a, s, o, n, d) Qué grupo de letras falta en la siguiente sucesión A C E H JN … a) OT b) NÑ c) LM d) OP e) ÑR Solución Para la primera letra

AB DE FG H I J K L M NÑ O P Q RS T UV W XYZ Entre cada par de letras existe una letra ( señalada en rojo) por lo que las siguiente será la Ñ y empezará el nuevo par con la OEntre las letras de cada par hay un salto de 1, 2 3 letras por lo que habrá unsalto de 4 letras para obtener la última letra T Respuesta a) OT Ejemplo 2. Qué grupo de letras faltan en la siguiente suce sión AD DG GJ ….. a) HI b) JN c) JK d) XZ e) JM Solución La primera letra es la J, para la siguiente letra A BCD EFG HIJKLM Respuesta e) JM Ejemplo 3. Qué grupo de letras falta en la siguiente sucesión A XC DXE JX0 …… a) WXY b) KLR c) LMX d) XFG e) XXX Solución No hay una relación de secuencia entre las primeras letras, tampoco entre lasúltimas letras por lo que hay que buscar otra alternativa, y ésta es que la Xsiempre está en medio, por lo que las posibles respuestas son la a) y la e). Deestas la correcta es la a), pues las letras de los extremos son diferentes. Resp uesta a ) W XY Sucesiones recurrentes

una sucesión recurrente o definida por recurrencia es aquella en la que para definir un término de la misma se emplea una fórmula en la que intervienen términos anteriores a él, en algunos casos es posible deducir la fórmula del término general a partir de la fórmula de recurrencia. Como ejemplos de sucesiones recurrentes presento dos ejercicios resueltos. Ejemplo 1 La sucesión 23, 27, 31, 35, 39, ... se puede definir por recurrencia así: A1 = 23 An = An-1 + 4 (Cada elemento es igual al anterior más cuatro) Abre el modelo recurre.ods En la primera celda de términos, la que tiene un color más brillante escribe el primer término A1 (junto al número 1) Escribe la fórmula de A2, que sería An-1 + 4. En todo este documento, cuando leas An-1 lo traduces como "la celda anterior". Escribe la fórmula en la segunda celda (sería =B7+4) y después la arrastras con el ratón hacia abajo hasta terminar la columna.

Ejemplo 2 Esta sucesión se llama de tipo geométrico. Intenta reproducirla en tu modelo hasta el término 50: 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... Deberás cambiar la primera celda (el 2), la fórmula de la segunda (anterior por dos) y arrastrar. Ejemplo 3 Las sucesiones recurrentes nos dan muchas sorpresas: Escribe como A1 el número positivo que quieras. Define luego que cada término es la raíz cuadrada del anterior. Comenta con otro equipo lo que ocurre en los últimos términos. ¿Cuál es el límite de esa sucesión? Ves que el límite no depende del primer número, hagas lo que hagas, la sucesión se siente atraída por ese límite, al que llamaremos coloquialmente atractor (En Matemáticas superiores tiene esa palabra un sentido más complejo) En algunas sucesiones recurrentes el límite no depende de A1. El límite es un atractor. No importa dónde comiences. Observarás que en el gráfico los puntos, independientemente del inicio, siempre se van acercando a una altura determinada, fijada por el atractor. Sucesiones aritméticas En programación, a menudo se necesita generar valores numéricos uniformemente espaciados y para ello necesitamos una fórmula que nos proporciones los valores. En matemáticas esos conjunto de valores se denominan sucesiones aritméticas y con un poco de entrenamiento, las fórmulas se pueden hacer de cabeza. En esta lección se trata la teoría y la práctica de las sucesiones aritméticas. En la página de Ejercicios Sucesiones aritméticas se puede practicar el cálculo de fórmulas. Ejemplo 1: Palillos Por ejemplo, consideremos estos dibujos hechos con palillos (un cuadrado, dos cuadrados, tres cuadrados, etc.): ... Nos planteamos la pregunta de cuántos palillos harían falta para hacer un dibujo de 18 cuadrados (o cualquier otro número). Una forma de resolver el problema sería encontrar la fórmula que relaciona el número de cuadros con el número de palillos. Si escribimos los valores en una tabla, es fácil ver que se trata de una sucesión aritmética de diferencia 3: nn

Cuadros 1

2

3

...

Palillos

7

10

... f(n)f(n)

4

La fórmula será entonces la de una sucesión aritmética: f(n)=a⋅n+bf(n)=a⋅n+b

Como en este caso la diferencia es 3, la fórmula será: f(n)=3⋅n+bf(n)=3⋅n+b Para averiguar bb, basta con sustituir cualquier pareja de valores. Por ejemplo, para n=1n=1 (un cuadrado), f(n)=4f(n)=4 (cuatro palillos), es decir: 4=3⋅1+b4=3⋅1+b Resolviendo esta ecuación, tenemos que b=4−3=1b=4-3=1, por lo que la fórmula es: f(n)=3⋅n+1f(n)=3⋅n+1 La respuesta a la pregunta inicial es que para hacer un dibujo de 18 cuadrados necesitaremos f(18)=3⋅18+1=55f(18)=3⋅18+1=55 palillos.

Ejemplo 2

Este método se puede aplicar a cualquier sucesión aritmética. Por ejemplo, queremos obtener la fórmula correspondiente a los siguientes valores: ... 17 18 19 ... nn f(n)f(n) ... 120 135 150 ... Como se trata de una sucesión aritmética, la fórmula será entonces:

f(n)=a⋅n+bf(n)=a⋅n+b Como en este caso la diferencia es 15, la fórmula será:

f(n)=15⋅n+bf(n)=15⋅n+b Para averiguar b, basta con sustituir cualquier pareja de valores. Por ejemplo, para n=17n=17, f(n)=120f(n)=120, es decir: 120=15⋅17+b120=15⋅17+b Resolviendo esta ecuación, tenemos que b=120−255=−135b=120-255=135, por lo que la fórmula buscada es: f(n)=15⋅n−135

Ejemplo 3

Un caso un poco más complicado es cuando no conocemos valores consecutivos. Por ejemplo, queremos obtener la fórmula correspondiente a los siguientes valores:

nn

...

4

9 13 ...

f(n)f(n) ... -2 13 25 ... Como se trata de una sucesión aritmética, la fórmula será entonces:

f(n)=a⋅n+bf(n)=a⋅n+b Para calcular la diferencia, habrá que tener en cuenta que los valores no son consecutivos. Tomando cualquier pareja de valores:

a=25−1313−9=124=3a=25-1313-9=124=3 o

a=13−(−2)9−4=155=3a=13-(-2)9-4=155=3 Como en este caso la diferencia es 3, la fórmula será:

f(n)=3⋅n+bf(n)=3⋅n+b Para averiguar b, basta con sustituir cualquier pareja de valores. Por ejemplo, para n=9n=9, f(n)=13f(n)=13, es decir: 13=3⋅9+b13=3⋅9+b Resolviendo esta ecuación, tenemos que b=13−27=−14b=13-27=-14, por lo que la fórmula buscada es: f(n)=3⋅n−14 Sucesiones geométricas Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que cada término an se obtiene multiplicando al término anterior an−1 a n − 1 por un número r llamado razón. La razón de una sucesióngeométrica se denota por r y debe ser constante en toda la sucesión. Ejemplo: 1)Encuentra cuales de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas : a)

6 , 12 , 36 , 72 , 216 , 532 , ...

b) c) d) 2)Hallar los términos que se indican en las siguientes progresiones geométricas :

a)

a9 , a12 y a15

en 2, 4, 8, ...

b)

a5 , a7 y a10

en 1, 3, 9, ...

c)

a4 , a6 y a8

en

3)

Halla las sumas ilimitadas de las siguientes progresiones geométricas

: a) b) Sucesiones combinadas Este tipo de sucesiones tienen incluidas en su ley de formación operaciones tales como la suma o la resta y la multiplicación intercaladas; para su desarrollo que es muy tedioso es mejor empezar con una secuencia desde el último término de la sucesión y la operación correspondiente a este, las fórmulas para desarrollar estos ejercicios son muy variadas, por lo cual se requiere mucho más análisis. 1.- ¿Qué letra continua en la siguiente sucesión? a,i,o,e,o,u,i,u,a, ... Solución: Es una sucesión alternada de vocales, de 2 en 2. a, .... , .... , e, .... , .... , i , .... , .... , o Respuesta: o 2.- ¿Qué número sigue en la siguiente sucesión? 24; 31; 34; 45; 51; 52; 55; ... Solución: Todos los números contienen las cinco vocales en su escritura. 55; 56; 57; 58 Respuesta: 58. 3.- ¿Qué número completa la sucesión? 19; 28; 36; 42; 44; 48; ...

Solución:

Sucesiones alternas Sucesiones alternadas y oscilantes. Una sucesión esalternada cuando cada término tiene el signo contrario que el del término que le precede. Una sucesión es oscilante cuando: no es alternada y. Ejemplo 1: La sucesión a(n)=n·(-1)^n es alternada. Calculamos sus primeros

términos: Observad que los signos se alternan: negativo, positivo, negativo, positivo... Representación de la sucesión (n≤10):

La potencia (−1)^n es positiva cuando n es par y negativa cuando n es impar. Es el causante de la alternancia del signo. La sucesión no es convergente. Ejemplo 2: La sucesión a(n) = (-1)^n/n es alternada y

convergente:

Ejemplo 3: La sucesión a(n) = -1 si n es par y a(n) = 5 si n es impar es alternada.

Sucesiones alfanuméricas Estas sucesiones están conformadas por sucesiones literales y sucesiones numéricas, cada término de ambas mezclado da origen a un solo término de la sucesión alfanumérica. ¿Qué dos elementos (números o letras) continúan la serie? 7-

H , J , 5 , 7 , K , ... , ... ,

a) 12 y L

b) L y 12

c) M y 9

d) 9 y M

Rspuesta: M y 9

¿Qué letra o número ocuparía el primer lugar en esta serie? 10- , ... , 15 , Z , Z , 14 , 14 , Y , a) 15

b) Y

c ) 13

d) W

Respuesta: 15 ¿Qué letra o número no debería estar en esta serie? 13- , 2 , 22 , A , 3 , 33 , B , 4 , 5 , a) B

b)4

Respuesta: 5

c)5

d) 22

Sucesiones graficas Este método desarrollado por Havel y Hakimi será el que implementemos en el proyecto. Es gráfico y está basado en la reconstrucción del grafo, el cual obtenemos tras ir insertando vértices y aristas en sucesivas iteraciones.

Sucesiones con términos enésimos Es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Por ejemplo: 1 , 4 , 9 , 16 , … es una sucesión. ... El n-ésimo término de una sucesión es la regla que determina como se calculan los términos de la misma.