Capitulo Iii Portafolios De Inversión Bajo Un Entorno De Riesgo.pdf

MODELOS PRACTICOS DE ADMINISTRACION

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CAPITULO 3 PORTAFOLIOS DE INVERSION BAJO UN ENTORNO DE RIESGO 3.1. Modelo de Markowitz El modelo de Markowitz plantea que al momento de tener dos o más títulos se puede formar una cartera o portafolio de inversión; si se combinan, el resultado a obtener será una disminución en el nivel de riesgo y una optimización del rendimiento a obtener, lo cual no podría obtenerse si se dedicaran los recursos a invertir los títulos de manera independiente; en otras palabras, no sería eficiente tener todos recursos financieros en un solo instrumento financiero, por el contrario, Markowitz sugiere diversificar dichos instrumentos para reducir, en la medida de lo posible, la exposición al riesgo y maximizar el rendimiento de los mismos. El modelo de portafolio de inversión también se le conoce dentro del campo de las finanzas como MODELO DE VARIANZA MINIMA y como se verá más adelante, la varianza y la covarianza jugarán un papel preponderante para la formación del portafolio de inversión en cuestión. 3.1.1. Construcción de un portafolio de inversión con dos instrumentos financieros Para entender la metodología referente a la construcción de un portafolio de inversión, partiremos del caso más simple, es decir, a partir de dos títulos, los cuales generalmente se refieren a acciones. Para formar un portafolio de inversión, se deben seleccionar los precios de las dos emisoras que integrarán el portafolio de inversión, posteriormente se deberá obtener el rendimiento de ambos títulos, mismo que se obtiene a través de la siguiente fórmula:

π

=

Pt Pt-1

−1

* 100 (Fórmula 3.1)

EDICIONES FISCALES ISEF

40 Donde:

Pt = Precio actual Pt-1 = Precio anterior Una vez obtenido el rendimiento de cada título, se procede a calcular el promedio, la varianza y la desviación estándar, cuyas fórmulas se revisaron en el capítulo 2. Para ejemplificar lo anterior, se tomará el precio de las acciones de “C” y “B” del período de enero 2014 a febrero 2015, cuyos rendimientos se muestran en el cuadro siguiente: Cuadro 3.1. Rendimiento de las acciones PERIODO

PRECIOS “D”

“B”

ENE 2014

35.530

47.07

FEB 2014

34.750

MAR 2014

RENDIMIENTO “D”

“B”

46.19

-0.02195

-0.01870

35.240

47.79

0.01410

0.03464

ABR 2014

36.140

47.99

0.02554

0.00418

MAY 2014

37.200

55.81

0.02933

0.16295

JUN 2014

38.070

57.99

0.02339

0.03906

JUL 2014

40.610

58.56

0.06672

0.00983

AGO 2014

41.160

62.53

0.01354

0.06779

SEP 2014

38.940

66.91

-0.05394

0.07005

OCT 2014

39.390

68.50

0.01156

0.02376

NOV 2014

39.110

65.00

-0.00711

-0.05109

DIC 2014

40.700

61.94

0.04065

-0.04708

ENE 2015

38.140

61.15

-0.06290

-0.01275

FEB 2015

42.220

63.68

0.10697

0.04137

MATRIZ VARIANZA - COVARIANZA 0.001912484

0.000293308

0.000293308

0.002956512

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Con esta información se procederá a calcular el rendimiento promedio, la varianza y la desviación estándar de cada título, lo cual se muestra en el cuadro siguiente: Cuadro 3.2. Rendimiento y riesgo de “D” y “B” ACCION

E(P)

VAR(P)

DST(P)

“D”

1.43%

0.19%

4.37%

“B”

2.49%

0.30%

5.44%

Donde: E(P) = Rendimiento promedio del título VAR(P) = Varianza del título DST(P) = Desviación estándar del título (representa el riesgo) Para poder observar la relación existente entre el riesgo y el rendimiento, en la siguiente gráfica se muestran los resultados antes obtenidos: Gráfico 3.1. Relación Riesgo – Rendimiento R E N D I M I E N T O

2.60% 2.40% 2.20% 2.00% 1.80% 1.60% 1.40% 1.20% 1.00% 4.00%

4.50%

5.00%

RIESGO

5.50%

6.00%

EDICIONES FISCALES ISEF

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Este gráfico prueba el teorema que afirma que a mayor nivel de riesgo de un instrumento financiero, le corresponde un mayor nivel de rendimiento. Los resultados antes obtenidos se refieren al riesgo y rendimiento que de manera individual obtendrían las acciones de “D” y “B”. Siguiendo la metodología de Markowitz, lo que se buscará ahora será el rendimiento esperado o promedio del portafolio bajo el planteamiento de la combinación de los dos títulos. En este sentido, para obtener el rendimiento esperado del portafolio combinado, se plantea la siguiente fórmula:

E(P) =

w * E(D)

+ (1 - w)

* E(B)

(Fórmula 3.2) Donde: E(P) = Rendimiento esperado del portafolio combinado w = ponderador E(D) = Valor esperado de “D” E(B) = Valor esperado de “B” 0<w<1 El ponderador es un parámetro que puede tomar un valor entre cero u uno, lo cual significa que se pueden esperar diversas combinaciones que generarán a su vez una gama de posibilidades para establecer la relación riesgo-rendimiento. Para ejemplificar lo anterior, se utilizarán los resultados de los cuadros 3.1 y 3.2 y para calcular el rendimiento esperado del portafolio combinado se tomará como ponderador un valor del 50%, es decir, que se invertirá la mitad de los recursos en cada título. E(P) = (0.5) * (0.0143) + (1 - 0.5) * (2.49) = 0.0196 * 100 = 1.96% Continuando, ahora se procederá a realizar el cálculo del riesgo del portafolio combinado, cuya fórmula es la siguiente:

σ2(P) =w2 * σ2(X) + 2w * (1 - w) * COVXY + (1 - w)2 * σ2(Y) (Fórmula 3.3)

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Donde:

σ2(P) = Varianza del portafolio combinado σ2(X) = Varianza del título “X” (Para el ejemplo sería “D”) σ2(Y) = Varianza del título “Y” (Para el ejemplo sería “B”) σ2(P) = (0.5)2 * (0.0019) + 2(0.5) * (1 - 0.5) * (0.000293308) + (1 – 0.5)2 * (0.003) = 0.0014 Para obtener el riesgo del portafolio combinado, sólo hay que extraer la raíz cuadrada de la varianza, lo cual queda así:

σ(P)

= √σ2 = √0.0014 = 0.037 * 100 = 3.7%

En el siguiente gráfico se resumen los resultados obtenidos. Gráfico 3.2. Portafolio combinado R E N D I M I E N T O

2.60%

B

2.40% 2.20% 2.00%

PORTAFOLIO COMBINADO

1.80% 1.60% 1.40%

D

1.20% 1.00% 3.00%

3.50%

4.00%

4.50%

5.00%

5.50%

6.00%

RIESGO Lo anterior significa que al canalizar el 50% de los recursos del portafolio en cada título, se reduce el riesgo y se optimiza el rendimiento esperado.

EDICIONES FISCALES ISEF

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A continuación se presenta un ejercicio con varias combinaciones de los dos títulos que forman el portafolio de inversión, cuyo objetivo fundamental es abrir un abanico de posibilidades para el inversionista, lo cual depende del grado de aversión al riesgo, más adelante se expondrán alternativas que permitan obtener una combinación de instrumentos financieros que permita precisamente optimizar el portafolio que se esté analizando. Cuadro 3.3. Combinaciones riesgo-rendimiento. PONDERACION “D” “B” 0.0 1.0

RENDIMIENTO

RIESGO

2.49%

5.44%

0.1

0.9

2.39%

4.97%

0.2

0.8

2.28%

4.54%

0.3

0.7

2.17%

4.18%

0.4

0.6

2.07%

3.89%

0.5

0.5

1.96%

3.69%

0.6

0.4

1.86%

3.61%

0.7

0.3

1.75%

3.64%

0.8

0.2

1.64%

3.79%

0.9

0.1

1.54%

4.04%

0.0

1.0

1.43%

4.37%

Gráfico 3.3. Combinaciones riesgo-rendimiento R E N D I M I E N T O

2.60% 2.40% 2.20% 2.00% 1.80% 1.60% 1.40% 1.20% 1.00% 3.00%

3.50% 4.00% 4.50% 5.00% 5.50% 6.00%

RIESGO

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3.1.2. Construcción de un portafolio de inversión con tres instrumentos financieros Hasta este momento se ha trabajado con el caso más simple para formar un portafolio de inversión, pero en el mundo real de las inversiones financieras es bien conocido que para optimizar dicho portafolio se requiere utilizar más de dos instrumentos financieros para reducir la exposición al riesgo y maximizar el rendimiento. En este sentido, se utilizará un modelo de Markowitz con tres instrumentos financieros y posteriormente se hará un ejercicio para formar un portafolio de inversión mayor a tres títulos. Para hacer más eficiente la aplicación del modelo, se trabajará directamente con la matriz VARIANZA-COVARIANZA, esto permitirá calcular de manera más rápida los elementos de dicha matriz. Retomaremos nuevamente los precios y rendimientos de “D” y “B”, pero se adicionará una acción más, que en este caso sería “L”. Cuadro 3.4. Precios y rendimientos de “D”, “B” y “L” PERIODO

PRECIOS

RENDIMIENTO

“D”

“B”

“L”

“D”

“B”

“L”

ENE 2014

35.530

47.07

146.00

FEB 2014

34.750

46.19

140.00

-0.02195

-0.01870

-0.04110

MAR 2014

35.240

ABR 2014

36.140

47.79

138.50

0.01410

0.03464

-0.01071

47.99

141.00

0.02554

0.00418

0.01805

MAY 2014 JUN 2014

37.200

55.81

149.00

0.02933

0.16295

0.05674

38.070

57.99

156.00

0.02339

0.03906

0.04698

JUL 2014

40.610

58.56

151.32

0.06672

0.00983

-0.03000

AGO 2014

41.160

62.53

153.91

0.01354

0.06779

0.01712

SEP 2014

38.940

66.91

154.00

-0.05394

0.07005

0.00058

OCT 2014

39.390

68.50

155.00

0.01156

0.02376

0.00649

NOV 2014

39.110

65.00

159.00

-0.00711

-0.05109

0.02581

DIC 2014

40.700

61.94

153.00

0.04065

-0.04708

-0.03774

ENE 2015

38.140

61.15

153.00

-0.06290

-0.01275

0.00000

FEB 2015

42.220

63.68

168.00

0.10697

0.04137

0.09804

EDICIONES FISCALES ISEF

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Con esta información se obtendrá el rendimiento, la varianza y la desviación estándar de cada acción en particular, cuyos resultados son: Cuadro 3.5. Rendimiento, varianza y desviación estándar ACCION

E(P)

VAR(P)

DST(P)

“D”

1.43%

0.19%

4.37%

“B”

2.49%

0.30%

5.44%

“L”

1.16%

0.14%

3.80%

Asimismo, a partir de la información del cuadro 3.4 se genera la matriz VARIANZA-COVARIANZA, cuyos resultados son los siguientes: Cuadro 3.6 Matriz VARIANZA-COVARIANZA MATRIZ VARIANZA - COVARIANZA 0.00191248

0.00029331

0.0006823

0.00029331

0.00295651

0.00102945

0.0006823

0.00102945

0.00144277

A partir de la matriz VARIANZA-COVARIANZA se definirá otra matriz, a la cual se denominará como matriz de PONDERACIONES, misma que se define de la siguiente manera: Cuadro 3.7. Matriz VARIANZA-COVARIANZA para tres instrumentos MATRIZ VARIANZA - COVARIANZA (COVxx)(Wx)(Wx)

(COVxy)(Wx)(Wy)

(COVxz)(Wx)(Wz)

(COVyx)(Wy)(Wx)

(COVyy)(Wy)(Wy)

(COVyz)(Wy)(Wz)

(COVzx)(Wz)(Wx)

(COVzy)(Wz)(Wy)

(COVzz)(Wz)(Wz)

Donde: (Wx), (Wy) y (Wz) son las ponderaciones de los tres títulos y las covarianzas ya fueron definidas.

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Al igual que el portafolio con dos títulos, se partirá de una posición balanceada, es decir, se combinarán las tres acciones en el portafolio en una proporción del 33.3333% para cada una y posteriormente se realizarán otras combinaciones. Esto arroja el siguiente resultado: Cuadro 3.8. Valores de la matriz de ponderaciones MATRIZ DE PONDERACIONES 0.00021207

3.2525E-05

7.5887E-05

3.2525E-05

0.00032784

0.0001145

7.5887E-05

0.0001145

0.00016095

Para obtener el rendimiento esperado del portafolio combinado se utilizará la siguiente fórmula:

E(P) = w1 * E(X) + w2 * E(Y) + ... + wn * E(Z) (Fórmula 3.4) Donde:

wn = ponderador los “n” títulos que forman el portafolio E(P) = Rendimiento esperado del portafolio combinado E(X), E(Y) y E(Z) = Rendimiento individual de cada título Con la fórmula 3.4 se obtendrá el rendimiento esperado del portafolio combinado, cuyo resultado es el siguiente: E(P) = (0.3333) * (0.143) + (0.3333) * (0.0249) + (0.3333) * (0.0116)

= 0.0169 * 100 = 1.69% Para obtener el riesgo del portafolio diversificado lo que debe hacerse es calcular la raíz cuadrada de la sumatoria de cada elemento que integra la matriz de ponderaciones, lo que da el siguiente resultado:

EDICIONES FISCALES ISEF

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σ(P) =

√

n

∑ 2 = √0.0011 = 0.0339 * 100 =3.39% i=1 σ

El paso siguiente consistirá en realizar un ejercicio similar al del portafolio con dos instrumentos financieros que permita ver las posibles combinaciones del portafolio de inversión, que en este caso quedaría de la siguiente manera: Cuadro 3.9. Riesgo y rendimiento de “D”, “B” y “L” PONDERACION

RENDIMIENTO

RIESGO

1.00

0.01%

0.04%

0.10

0.80

1.32%

3.54%

0.20

0.20

0.60

1.48%

3.39%

0.30

0.30

0.40

1.64%

3.37%

0.33

0.33

0.33

1.69%

3.39%

0.00

1.00

0.00

0.02%

0.05%

0.40

0.50

0.10

1.93%

3.65%

“D”

“B”

“L”

0.00

0.00

0.10

0.30

0.40

0.30

1.77%

3.49%

0.20

0.30

0.50

1.61%

3.44%

0.10

0.20

0.70

1.45%

3.52%

1.00

0.00

0.00

0.01%

0.04%

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Gráfico 3.4. Combinaciones riesgo-rendimiento

2.50% 2.00% 1.50% 1.00% 0.50% 0.00% 0.00%

0.50% 1.00% 1.50% 2.00% 2.50% 3.00% 3.50% 4.00%

En este cuadro se muestran 33 de las 5,456 posibles combinaciones que se podrían obtener con estos parámetros que aquí se definieron; en este sentido, resulta obvio que los factores de ponderación pueden tomar una gama mayor de valores, aunque para fines didácticos se consideraron sólo estos posibles rangos. Lo anterior surge de la conocida fórmula de las combinaciones: nCr

=

n!

r!(n − r)!

(Fórmula 3.5)

Donde: nCr = Combinaciones de “n” en “r” n = Número de elementos a considerar para la combinación r = Número de combinaciones deseadas. En el ejemplo que se está considerando, el número de elementos dentro de la combinación sería en este caso 33, cuyo valor de los posibles ponderadores a considerar oscila entre 0.00 y 1.00:

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

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50

Por lo tanto, el cálculo queda de la siguiente manera:

nCr =

33! 33*32*31 = = 5,456 3!(33 − 3)! 3*2*1

Como se podrá observar, las posibilidades de combinación son enormes, más adelante se verá otro modelo que hace un planteamiento de optimización del portafolio de inversión a través de las técnicas de la programación lineal, mejor conocidas como el método simplex. 3.2. Modelo de Programación Lineal para Optimizar un Portafolio de Inversión 3.2.1. El método gráfico para un portafolio de dos instrumentos financieros Un modelo alternativo para formar un portafolio de inversión es a través de la programación lineal y forma parte de las conocidas técnicas de investigación de operaciones. La investigación de operaciones es una de las ramas de las matemáticas aplicadas a los negocios que tiene un amplio uso en la economía, las finanzas y la administración en general. Para los fines que se persiguen en esta obra, se utilizará lo que se denomina método gráfico, el cual es el preámbulo del llamado METODO SIMPLEX. El método gráfico ayudará para maximizar el rendimiento y reducir la exposición al riesgo del portafolio de inversión, para ello se utilizarán los datos de “D” y “B” que se trabajaron en el punto 3.1.1. Primeramente se retomarán los datos del cuadro 3.2: ACCION

E(P)

VAR(P)

DST(P)

“D”

1.43%

0.19%

4.37%

“B”

2.49%

0.30%

5.44%

Los pasos a seguir para utilizar el método gráfico son los siguientes: 1. Plantear una función objetivo que permita maximizar el rendimiento esperado.

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51

2. Establecer restricciones para la función objetivo. 3. Las restricciones se deberán presentar como un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, que en este caso corresponden a las acciones “D” y “B”. 4. El valor obtenido de las incógnitas corresponderá a la proporción que deberá invertirse en cada título. 5. El valor de cada título se sustituirá en la función objetivo y el resultado obtenido corresponderá a la maximización del portafolio de inversión. La función objetivo se plantea de la siguiente manera:

max Z = 1.43 “D” + 2.49 “B” Las restricciones quedarían así: 1. Se deberán invertir todos los recursos en ambas acciones:

1X + 1Y = 1 (1) 2. Establecer el nivel de riesgo que se quiere asumir, el cual dependerá del perfil de riesgo del inversionista, el cual podemos clasificar como bajo, medio y alto. Este perfil de riesgo se definirá en función al rango de riesgo que registraron de manera independiente ambos títulos. En este caso, “D” tiene el perfil de riesgo más bajo y sobre esta base se podría proponer la siguiente estructura de riesgo: PERFIL DE RIESGO

RIESGO A ASUMIR

BAJO

4.5%

MEDIO

4.9%

ALTO

5.3%

Como se podrá observar, los rangos de riesgos se encuentran en una escala que no podrá ser menor al riesgo más bajo ni mayor al riesgo más alto que registraron ambos títulos:

4.37% < σ(P) < 5.44% La escala del riesgo a asumir estará en función al perfil del inversionista.

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Continuando, la segunda restricción se planteará considerando un riesgo medio que no podrá exceder el 4.9% y quedaría de la siguiente manera:

0.0437X + 0.0544Y ≤ 0.049 (2) Una vez obtenidas las dos restricciones, se plantearán como un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, mismas que se representan así:

1X + 1Y = 1 0.0437X + 0.0544Y = 0.049 Este sistema de ecuaciones simultáneas se puede resolver por cualquiera de los cuatro métodos tradicionales algebraicos conocidos, en este caso, se utilizará el método de reducción (suma y resta).

-0.0437X - 0.0437Y = -0.0437 0.0437X + 0.0544Y = 0.0439 Eliminando “X”, se obtiene “Y”

Y=

0.0002 = 000187 0.0107

Sustituyendo el valor de “Y” en la ecuación (1) se obtiene lo siguiente:

X = 1 − 000187 = 0.9813 La suma de ambos valores da la unidad o el 100% de los recursos que se deberán invertir en el portafolio. Sustituyendo los valores de “X” e “Y” en la función objetivo se obtendría el siguiente resultado:

max Z = 1.43 (0.9813) + 2.49 (0.00187) = 1.41% Este resultado indica que se deberán invertir el 98.13% de los recursos en acciones “D” y el 0.187% en acciones de “B” de acuerdo a este perfil de riesgo. Este problema se puede resolver mediante un software de modelos de investigación de operaciones denominado QSB que son sus siglas en inglés y significan QUANTITATIVE SYSTEM BUSINESS, mismo que se plantea de la siguiente manera:

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En este caso, se utilizará dentro de este software la opción de resolución a través del método gráfico, cuyo resultado queda así:

Mediante este software se pueden obtener otras combinaciones que permitirán obtener diferentes perfiles de riesgo. 3.2.2. El método simplex para construir portafolios de inversión con más de dos instrumentos financieros El método simplex es una herramienta muy poderosa dentro de la investigación de operaciones y sirve para resolver problemas de optimización de portafolios de inversión que involucren más de dos títulos. Este método utiliza tablas denominadas simplex así como columnas y renglones pivote y mediante iteraciones se van obteniendo los valores que optimizan a la función objetivo.

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54

La explicación del método simplex excedería y desviaría los límites de esta obra, por lo cual se le recomienda al lector que acceda al manual de referencia del software QSB, mismo que es gratuito y puede bajarse de Internet a través de TARINGA. Para aplicar el método simplex a tres títulos, se tomará el ejemplo descrito en el cuadro 3.4 para “D”, “B” y “L” . ACCION

E(P)

VAR(P)

DST(P)

“D”

1.43%

0.19%

4.37%

“B”

2.49%

0.30%

5.44%

“L”

1.16%

0.14%

3.80%

3. Planteamiento de la función objetivo:

max Z = 1.43 D + 2.49 B + 1.16 L 4. Sujeto a las siguientes restricciones:

1X + 1Y + 1Z = 1 (1) 0.0437X + 0.0544Y + 0.038Z ≤ 0.053 (2) En este caso, se está considerando un perfil de riesgo alto. Ambas restricciones se plantearán como un sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas y su representación matemática se muestra con el software QSB.

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Aplicando los valores de las variables a la función objetivo se tiene:

max Z = 1.43 (0) + 2.49 (0.9146) + 1.16 (0.0854) = 2.38% Este resultado señala que para maximizar este portafolio se deberá invertir: “B” = 91.46% “L” = 8.54% Más adelante se verán las ventajas y desventajas de los modelos de Markowitz y el de Programación Lineal. 3.3. La Frontera Eficiente 3.3.1. ¿Qué es la frontera eficiente para un portafolio de inversión? Dentro de la metodología de Markowitz, la frontera eficiente se puede definir como la curva de riesgo-rendimiento que representa el conjunto de portafolios de inversión que se consideran como óptimos, lo cual significa que se espera obtener el máximo rendimiento con un mínimo de riesgo. Para aplicar este concepto, se hará un planteamiento sobre un portafolio de inversión que contenga cuatro títulos, esto con la finalidad de aplicar la metodología de Markowitz, para lo cual se requerirá de elementos básicos de Algebra Lineal, sobre todo porque este planteamiento teórico requiere del manejo de operaciones matriciales. Como punto de arranque se tomarán los precios y los rendimientos de cuatro acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores, que en este caso serían: “D”, “B”, “L” y “T”.

EDICIONES FISCALES ISEF

56

Cuadro 3.10. Precios y rendimientos de cuatro acciones PERIODO

PRECIOS “D”

“B”

RENDIMIENTO

“L”

“T”

ENE 2014 35.530 47.07 146.00

77.82

“D”

“B”

“L”

“T”

FEB 2014 34.750 46.19 140.00

77.90 -0.02195 -0.01870 -0.04110 0.00103

MAR 2014 35.240 47.79 138.50

87.07 0.01410 0.03464 -0.01071 0.11772

ABR 2014 36.140 47.99 141.00

85.82 0.02554 0.00418 0.01805 -0.01436

MAY 2014 37.200 55.81 149.00

86.85 0.02933 0.16295 0.05674 0.01200

JUN 2014 38.070 57.99 156.00

89.01 0.02339 0.03906 0.04698 0.02487

JUL 2014 40.610 58.56 151.32

94.26 0.06672 0.00983 -0.03000 0.05898

AGO 204

41.160 62.53 153.91

97.29 0.01354 0.06779 0.01712 0.03215

SEP 2014 38.940 66.91 154.00

91.10 -0.05394 0.07005 0.00058 -0.06362

OCT 2014 39.390 68.50 155.00

97.32 0.01156 0.02376 0.00649 0.06828

NOV 2014 39.110 65.00 159.00 101.29 -0.00711 -0.05109 0.02581 0.04079 DIC 2014 40.700 61.94 153.00 100.59 0.04065 -0.04708 -0.03774 -0.00691 ENE 2015 38.140 61.15 153.00

97.56 -0.06290 -0.01275 0.00000 -0.03012

FEB 2015 42.220 63.68 168.00 101.61 0.10697 0.04137 0.09804 0.04151

Con esta información se procede a calcular los riesgos y rendimientos de cada una de las acciones, cuyos resultados son los siguientes: ACCION

E(P)

VAR(P)

DST(P)

“D”

1.43%

0.19%

4.37%

“B”

2.49%

0.30%

5.44%

“L”

1.16%

0.14%

3.80%

“T”

2.17%

0.20%

4.49%

El paso siguiente consiste en generar la matriz VARIANZA-COVARIANZA que ya se había definido previamente, la cual queda de la siguiente manera:

MODELOS PRACTICOS DE ADMINISTRACION

57

Cuadro 3.11. Matriz VARIANZA-COVARIANZA de 4 acciones MATRIZ VARIANZA-COVARIANZA ACCION

“D”

“B”

“L”

“T”

“D”

0.0019

0.0003

0.0007

0.0010

“B”

0.0003

0.0030

0.0010

0.0000

“L”

0.0007

0.0010

0.0014

0.0001

“T”

0.0010

0.0000

0.0001

0.0020

Una vez obtenida la matriz VARIANZA-COVARIANZA se procederá a obtener la matriz inversa y para ello se utilizará de manera práctica algunas fórmulas directamente de la conocida hoja de cálculo Excel. Para obtener la matriz inversa, se procede en la mencionada hoja de cálculo de la siguiente manera: 1. Añadir un renglón y una columna adicional a la matriz VARIANZA-COVARIANZA que contenga el valor numérico uno y en la última casilla el cero, que para efectos didácticos se sombrean en la matriz: ELEMENTOS PARA CALCULAR LA MATRIZ INVERSA 0.0019

0.0003

0.0007

0.0010

1.0000

0.0003

0.0030

0.0010

0.0000

1.0000

0.0007

0.0010

0.0014

0.0001

1.0000

0.0010

0.0000

0.0001

0.0020

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0.0000

2. Posteriormente, se calculará la matriz inversa mediante la siguiente función:

=MINVERSA(C9:G13) en este caso se debe anotar el rango de cinco columnas y cinco renglones directamente de la matriz VARIANZA-COVARIANZA.

Una vez generado el valor aparecerá en una casilla de la hoja de cálculo un solo valor de la matriz inversa, pero como se tienen cuatro títulos, habrá que complementar los 24 valores restantes, lo cual se realizará de la siguiente manera:

EDICIONES FISCALES ISEF

58

•• Seleccionar un rango de 5 renglones y 5 columnas a partir del valor que se obtuvo con la función de la matriz inversa, esto generará 25 posiciones en el mencionado rango y quedaría así: 842.486738

•• Una vez seleccionado el rango, se deberá presionar la tecla F2 y automáticamente Excel ubica la posición para calcular los valores restantes de la matriz inversa:

•• El paso final consiste en presionar de manera simultánea las teclas Ctrl+Shift+Enter:

•• Ya realizada esta operación, la hoja de cálculo muestra la matriz inversa de manera completa: 842.486738

46.0376898 -464.947036 -423.577392

0.10052134

46.0376898

435.061852

-417.25376 -63.8457821

0.13054305

-464.947036

-417.25376

922.362192 -40.1613967

0.42094319

-423.577392 -63.8457821 -40.1613967 0.10052134

0.13054305

0.42094319

527.584571

0.34799241

0.34799241 -0.00085297

3. La matriz inversa servirá para resolver de manera simultánea las cuatro proporciones de las acciones que forman el portafolio, que de acuerdo a la nomenclatura del Algebra Lineal se plantea a través de la siguiente fórmula:

MODELOS PRACTICOS DE ADMINISTRACION

X = C−1 B

59

(Fórmula 3.6)

Donde: X = Vector columna de incógnitas que contiene los valores a encontrar para las cuatro acciones que en este caso forman el portafolio. C-1 = Matriz inversa. B = Vector columna de los términos independientes. 4. La realización de la fórmula 3.6 se realiza a través de la función =MMULT que es una multiplicación de matrices y para complementar el vector columna de las incógnitas se procede de manera similar a lo antes expuesto en relación con la matriz inversa tal como se describió en el numeral 2. Los resultados del vector de incógnitas se muestran a continuación: 842.4867 46.0377

46.0377 -464.9470 -423.5774 435.0619 -417.2538

0.1005

0

0.10052134

-63.8458

0.1305

0

0.13054305

-464.9470 -417.2538

922.3622

-40.1614

0.4209

0

0.42094319

-423.5774

-63.8458

-40.1614

527.5846

0.3480

0

0.34799241

0.1005

0.1305

0.4209

0.3480 -0.0009

1

-0.00085297

B

X = C-1 B

C-1

Las proporciones finales se resumen de la siguiente manera: ACCION

PROPORCION

“D”

10.05%

“B”

13.05%

“L”

42.09%

“T”

34.80%

TOTAL

100.00%

Estos resultados muestran la combinación óptima que permitirá maximizar el rendimiento y minimizar el riesgo del portafolio, para lo cual se procederá a calcular ambas medidas.

EDICIONES FISCALES ISEF

60

Utilizando la fórmula 3.4 se obtiene el rendimiento esperado del portafolio, cuyo resultado es el siguiente:

E(P) =(0.1005) * (0.0143) + (0.1305) * (0.0249) + (0.4209) * (0.0116) + (0.3480) * (0.0217) = 1.71% El riesgo del portafolio diversificado se calcula mediante la raíz cuadrada de la sumatoria de cada elemento que integra la matriz de ponderaciones, lo que da el siguiente resultado: MATRIZ DE PONDERACIONES 0.000019

0.000004

0.000029

0.000034

0.000004

0.000050

0.000057

0.000001

0.000029

0.000057

0.000256

0.000018

0.000034

0.000001

0.000018

0.000245

σ(P)

=

n

√

∑ σ2

i=1

= √ 0.000853 = 2.92%

Por lo tanto, el punto óptimo de este portafolio genera un rendimiento conjunto del 1.71% con un nivel de riesgo del 2.92%, adicionalmente, ambas coordenadas pertenecen a la llamada frontera eficiente. Para la construcción de la frontera eficiente, se utilizará nuevamente la matriz VARIANZA-COVARIANZA, a la cual se le adicionarán dos renglones y dos columnas que contengan los rendimientos de los títulos, así como el valor numérico uno y en la última casilla el cero, que para efectos didácticos se sombrean en la mencionada matriz. Cuadro 3.12. Frontera eficiente CONSTRUCCION DE LA FRONTERA EFICIENTE 0.0019

0.0003

0.0007

0.0010

0.0143

1.0000

0.0003

0.0030

0.0010

0.0000

0.0249

1.0000

0.0007

0.0010

0.0014

0.0001

0.0116

1.0000

0.0010

0.0000

0.0001

0.0020

0.0217

1.0000

0.0143

0.0249

0.0116

0.0217

0

0.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0

0.0000

MODELOS PRACTICOS DE ADMINISTRACION

61

Por un procedimiento análogo se obtiene la matriz inversa, la cual deberá multiplicarse por el vector de términos independientes para generar a su vez las incógnitas que permitirán realizar varias combinaciones a fin de poder construir la frontera eficiente. Cuadro 3.13. Matriz inversa para construir la frontera eficiente MATRIZ INVERSA PARA CONSTRUIR FRONTERA EFICIENTE 823.698791 118.247836 -563.994734 -377.951893 -13.6431426 0.33400856 0 -13.3091341 118.247836 157.527269 -36.5709447 -239.20416 52.4364529 -0.76684852 0

51.6696044

-563.994734 -36.5709447 400.195174 200.370504 -71.9249338 1.65185845 0 -70.2730753 -377.951893 -239.20416 200.370504 416.785548 33.1316234 -0.21901848 0

32.912605

-13.6431426 52.4364529 -71.9249338 33.1316234 -9.90716747 0.16955015 1 -9.73761731 0.33400856 -0.76684852 1.65185845 -0.21901848 0.16955015 -0.00375463 1

C-1

B

0.16579552

X = C-1

Para construir la frontera eficiente se utilizarán los valores del vector de incógnitas “X”, el rendimiento esperado estimado que deberá ser creciente en relación al rendimiento óptimo ya calculado y la última columna de la matriz inversa, quedando especificadas las siguientes ecuaciones para las incógnitas:

X1 = −13.3091341 * E(P) + 0.33400856 X2 = 51.6696044 * E(P) − 0.76684852 X3 = −70.2730753 * E(P) + 1.65185845 X4 = 32.912605 * E(P) − 0.21901848 El valor esperado E(P) se estimará de manera creciente tal como se había señalado a partir del 1.71% ya calculado, esto se podrá apreciar mejor en el cuadro siguiente:

EDICIONES FISCALES ISEF

62

Cuadro 3.14. Frontera eficiente para las cuatro acciones CONSTRUCCION DE LA FRONTERA EFICIENTE PORTAFOLIO

1

RENDIMIENTO 0.0171

2 0.020

3 0.025

4 0.030

5 0.035

6 0.040

7 0.050

8 0.060

PROPORCIONES DENTRO DEL PORTAFOLIO “D”

0.1005 0.0678 0.0013 -0.0653 -0.1318 -0.1984 -0.3314 -0.4645

“B”

0.1305 0.2665 0.5249 0.7832 1.0416 1.2999 1.8166 2.3333

“L”

0.4209 0.2464 -0.1050 -0.4563 -0.8077 -1.1591 -1.8618 -2.5645

“T”

0.3480 0.4392 0.6038 0.7684 0.9329 1.0975 1.4266 1.7557

SUMAS

1

1

1

1

1

1

1

1

VARIANZA

0.0009 0.0010 0.0014 0.0024 0.0039 0.0058 0.0111 0.0183

DESV. ESTANDAR

0.0292 0.0308 0.0380 0.0492 0.0622 0.0762 0.1054 0.1353

Como se podrá apreciar en el cuadro anterior, el rendimiento esperado a partir del portafolio 2 se estimó de manera creciente para que se pueda generar el gráfico de la frontera eficiente. Gráfico 3.5. Frontera eficiente de las cuatro acciones 0.07000 0.06000 0.05000 0.04000 0.03000 0.02000 0.01000

0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600

MODELOS PRACTICOS DE ADMINISTRACION

63

3.3.2. Modelo CAPM El modelo CAPM (Capital Assets Price Model) que traducido de sus siglas en inglés significa Modelo de Precios de Activos de Capital, fue desarrollado y dado a conocer por William Sharpe en su ya tradicional obra denominada INVESTMENTS. Este modelo prueba el teorema fundamental de las finanzas que establece que a mayor nivel de riesgo de un activo financiero le corresponde un mayor nivel de rendimiento, en otras palabras, existe una relación directamente proporcional entre el riesgo y el rendimiento. Para probar lo anterior, Sharpe vinculó el rendimiento de un activo financiero con el rendimiento del mercado de valores, este último medido a través de un Indice accionario, que para el caso de México sería el Indice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores.

Pt - Pt-1 =α+ Pt-1

lt - lt-1 lt-1

(Fórmula 3.7)

Donde: Pt = Precio actual de la acción Pt-1 = Precio anterior de la acción

α = Rendimiento mínimo de la acción independiente al comportamiento del IPyC  = Riesgo de la acción que está correlacionado con el IPyC It = Indice de precios y cotizaciones actual It-1 = Indice de precios y cotizaciones anterior La ecuación (3.7) sirve para determinar el riesgo inherente a la acción en cuestión, que en este caso corresponde a la pendiente de esta ecuación, es decir, a . Es importante hacer las siguientes reflexiones respecto al parámetro:

 = 1è La acción obtendría el rendimiento del mercado accionario.  > 1è La acción estará por arriba del rendimiento del mercado accionario.

EDICIONES FISCALES ISEF

64

 < 1è La acción registrará un rendimiento menor al del mercado accionario. Una vez determinado el riesgo de la acción, Sharpe estableció una ecuación que la vincula con una tasa libre de riesgo y con el rendimiento ofrecido por el mercado accionario, cuya expresión matemática se representa de la siguiente manera:

π = Rf + (Rm – Rf) 

(Fórmula 3.8)

Donde:

π = Rendimiento esperado de la acción Rf = Tasa de interés libre de riesgo Rm = Rendimiento del mercado de valores Utilizando la misma información de las emisoras “D”, “B”, “L” y “T”, se obtendrá primeramente la ecuación CAPM, la cual servirá de base para saber el nivel de riesgo de cada acción en particular, el cálculo del CAPM se puede realizar directamente de Excel, QSB o E-Views, en este caso, se utilizará el paquete econométrico E-Views, cuyos resultados se muestran a continuación.

MODELOS PRACTICOS DE ADMINISTRACION

65

Resumiendo lo anterior, las Betas de cada acción quedarían así: Cuadro 3.15. Ecuaciones CAPM de las cuatro acciones ACCION

ALFA

BETA (Riesgo de la acción)

“D”

0.0083

0.8938

“B”

0.0203

0.6977

“L”

0.0073

0.6434

“T”

0.0171

0.6860

Como podrá observarse, “B”, “L” y “T” representan un nivel de riesgo moderado, mientras que “D” está por arriba de las tres anteriores, aun así ninguna de las cuatro acciones son altamente riesgosas y por lo tanto su rendimiento esperado se ubica por abajo del rendimiento del mercado accionario tal y como se demuestra a continuación. Cuadro 3.16. Rendimientos esperados de las cuatro acciones

ACCION

TASA RENDIMIENTO LIBRE MERCADO DE ACCIONARIO RIESGO*

“D” “B” “L” “T”

2.96%

8.10%

BETA

RENDIMIENTO ESPERADO DE LA ACCION

0.894

7.55%

0.698

6.54%

0.643

6.27%

0.686

6.48%

* CETES 28 días.

3.4. Comparación de Resultados con los Modelos de Portafolio de Inversión Después de la disertación presentada a lo largo de este capítulo, se procederá a realizar una revisión entre los modelos de Markowitz y el de Programación Lineal, para ello se utilizará un cuadro resumen en el que se muestren las ventajas y desventajas de ambos.

EDICIONES FISCALES ISEF

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Cuadro 3.17. Rendimientos esperados de las cuatro acciones MODELO MARKOWITZ

RENDIMIENTO

RIESGO

Se optimiza a través de la resolución de la matriz inversa VARIANZA-COVARIANZA y un vector de incógnitas.

PROGRAMACION Se optimiza mediante el planteaLINEAL miento de una función objetivo sujeta a ciertas restricciones.

El cálculo del nivel de riesgo se puede determinar entre el rango observado de cada título dentro del portafolio de inversión.

EFICIENCIA DEL MODELO Permite obtener las ponderaciones óptimas que deberán invertirse para minimizar el riesgo y maximizar el rendimiento. Asimismo, genera la denominada frontera eficiente del portafolio de inversión. Se puede obtener una relación riesgo-rendimiento que estará en función del nivel de aversión o aceptación de riesgo que se quiera asumir. Esto significa que hay un rango muy amplio respecto al nivel de riesgo que se quiera asumir, lo cual puede contener ciertos elementos de subjetividad.