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Diseño de Maquinas I Parte I: Repaso de Mecánica de Solidos

Prof. Habib Zambrano, PhD. Departamento de Ingeniería mecánica Universidad del Norte

Objetivos •

Afianzar los conocimientos sobre análisis de esfuerzos y deformaciones.

•

Aprender y afianzar los conocimientos sobre cálculo de los esfuerzos y cortantes principales

•

Aprender y afianzar los conocimientos sobre cálculo de deformaciones principales

•

Aprender como construir el circulo de Mohr.

Esfuerzo axial F s= A

F

ò dF = ò s × dA

F

A

Sección circular: A = πr2 σ = F / πr2

Sección rectangular: A = bh σ = F / bh h b

Esfuerzo axial σ > 0 ; Tensión +

σ < 0 ; Compresión -

Unidades: Sistema Inglés: lb/in2 = psi kip/in2 = ksi

Sistema internacional: N/m2 = Pa (Pascal) kN/m2 = kPa N/mm2 = mPa

Torsión en secciones circulares t máx

tmáx

T ×c t m áx = J

tmáx

tmáx

tmáx : esfuerzo cortante máximo J : Momento polar de inercia del área de la sección transversal T : par de torsión interno resultante que actúa en la sección transversal

Torsión en secciones circulares T ×c t m áx = J

Sección circular:

Sección tubular:

r=c

co

ci

c=co

J=

pD 32

4

=

p 2

4

c

J=

p

c ( 2

4 o

-c

4 i

)

Torsión en secciones circulares Sección circular:

Sección tubular:

t m áx =

T ×c J

Torsión en secciones no circulares A

T B

B A

T t m áx = Q

Tl q= KG

t B

máx : esfuerzo cortante máximo T : par de torsión interno resultante que actúa en la sección transversal Q ∧ K : son función de la geometría de la sección transversal G : modulo (de rigidez) en cortante Fuente: RL. Norton., Diseño de máquinas. Prentice Hall. 1998.

A B

A

Torsión en secciones no circulares Sección transversal

Q

K

A B

t B

B

3

2a

a Q= 0.6

K = 2.25a

Q = 2t ( a- t )

2t ( a- t ) K= 2 2at - 2t

4

A A B

2a

2

A Fuente: RL. Norton., Diseño de máquinas. Prentice Hall. 1998.

2

4

Torsión en secciones no circulares Sección transversal

Q

K

A 2 2

2b A

8a b Q= 3a+1.8b

é16 bæ b4 öù K = ab ê - 3.36 ç14 ÷ú a è 12a øû ë3

Q = 2t ( a- t ) ( b- t )

2t ( a- t ) ( b- t ) K= at + bt - 2t 2

3

2a A

t

A

b

2

a Fuente: RL. Norton., Diseño de máquinas. Prentice Hall. 1998.

2

2

Esfuerzo de flexión y cortante trasversal F

A

y

x

h

B

L

M×y sx = I

V ×Q t xy = It

M ×c s m áx = I Q=

ò

c y1

y × dA

b

Esfuerzo de flexión M ×c s m áx = I Sección circular:

Sección tubular:

r=c

ci

Sección rectangular: c=h/2

co

h

c=co

I=

pD 64

4

=

pc

4

4

I=

p

c ( 4

4 o

-c

4 i

)

I : Momento de inercia de la sección transversal calculado respecto al eje neutro

b 3

bh I= 12

Esfuerzo cortante trasversal

V ×Q t xy = It

Q=

ò

A'

y × dA'=y'A'

Esfuerzo cortante trasversal Sección circular:

r=c

Sección rectangular: c=h/2 h

b

4V t m áx = 3A

3V t m áx = 2A

Esfuerzo cortante trasversal Sección tubular:

ci

Valida para espesores de pared delgado, tal que:

co c=co

2V t m áx = A

1 t < ci 10

Ejercicio en clase 1 Hallar los esfuerzos de flexión y cortantes máximos generados por las cargas aplicadas en la viga rectangular de la figura 1, donde L = 80 mm, P = 1 kN, h = 20 mm y b = 10 mm. P

P h

L

L

L/2 b Figura 1

Solución Ej. 1 P

P

åF

y

L

L

L/2 R2

R1 F

5 å M z = 0 ;-P× L - 2P× L + 2 R2 × L = 0

M ×c s m áx = I

4 R1 = P 5

R1 - P =

-1 P 5 R1 - P - P =

M

= 0 ; R1 - P - P + R2 = 0

6M s m áx = 2 bh

-6 P 5

64P 48P

3

bh I= 12

æ ö 6 ç 64000 Nmm÷ è ø s m áx = 2 æ öæ ö ç10 mm÷ç 20 mm÷ è øè ø

s m áx = 96 N mm2 = 96 MPa

Solución Ej. 1 P

P L

L

L/2 R2

R1 F R1 =

æ6 ö ç 1000 N ÷ 3 è5 ø t m áx = 2 æ10 mmöæ 20 mmö ç ÷ç ÷ è øè ø

4 P 5

R1 - P =

-1 P 5 R1 - P - P =

M

3V t m áx = 2 bh

t m áx = 9 MPa

-6 P 5

64P 48P

Análisis de esfuerzos y deformaciones s xnx + t yxny + t zxnz = Tnx t xynx + s yny + t zynz = Tny t xznx + t yzny + s znz = Tnz é s t t zx yx ê x ê t xy s y t zy ê êë t xz t yz s z

ùé ù é úê nx ú ê Tnx úê ny ú = ê Tny úê ú ê úûêë nz úû êë Tnz

é s t t x xy xz ê [s ] = ê t xy s y t yz ê êë t xz t yz s z

ù ú ú ú úû

ù ú ú ú úû

Debido al equilibrio de momentos solo 6 de los 9 escalares son independientes

Análisis de esfuerzos y deformaciones Para los materiales que cumplen la ley de Hooke, la deformación es también un tensor de segundo orden y se puede expresar para el caso tridimensional de la forma:

Y para el caso de dos dimensiones:

é e e e x xy xz ê ê e xy e y e yz ê êë e xz e yz e z

é e e x xy ê ê e xy e y ë

ù ú ú û

ù ú ú ú úû

Análisis de esfuerzos y deformaciones Considerando que el material estudiado tiene un comportamiento: lineal, elástico, isotrópico y homogéneo. Las ecuaciones que relacionan los esfuerzos y las deformaciones son dadas por: Donde, E: modulo de Elasticidad en tracción G: modulo de elasticidad en cortante n: coeficiente de Poisson (n = 0.29 en aceros y n = 0.33 en aluminios)

Eex= s x- n (s y+ s z) Eey= s y- n (s z+ s x ) Eez= s z- n (s x + s y) Ggxy = txy Ggxz = txz Ggyz = tyz

Esfuerzos principales

é s t t x xy xz ê [s ] = ê t xy s y t yz ê êë t xz t yz s z

ù ú ú ú úû

é s ù 0 0 ê 1 ú [s ] = ê 0 s 2 0 ú ê ú êë 0 0 s 3 úû

Esfuerzos principales é s -s ùé ù t t v xy xz ê x úê x ú [s ] = ê t xy s y - s t yz úê vy ú = 0 ê úê ú t yz s z - s úûêë vz úû êë t xz Para que haya una solución el determinante de la matriz de coeficientes debe ser igual a cero

s 3 - C2s 2 - C1s - C0 = 0 C2 = s x + s y + s z 2 2 2 C1 = t xy + t yz + t xz - s xs y - s ys z - s zs x

C0 = s xs ys z + 2t xyt yzt xz - s t - s t - s t 2 x yz

2 y xz

2 z xy

Las tres raíces del polinomio de tercer orden corresponden a los esfuerzos principales: s1, s2, s3 donde s1 > s2 > s3

Esfuerzos cortantes principales t 13 =

s1 -s 3

2 s 2 - s1 t 21 = 2 s3 -s 2 t 32 = 2

Como s1 > s2 > s3

t max = t max =

s max - s min 2

s1 - s 3 2

Deformaciones principales é g xy g xz ê ex - e 2 2 ê ê g g yz xy ey - e ê 2 ê 2 ê g xz g yz ez - e ê 2 êë 2

ù ú úé v ù úê x ú úê vy ú = 0 ú úê úêë vz úû ú úû

e 3 - C2e 2 - C1e - C0 = 0 C2 = e x + e y + e z 1é 2 2 C1 = ëg xy + g yz + g zx2 ùû - e xe y - e ye z - e ze x 4 1é 2 2 ù C0 = e xe ye z + g xyg yzg zx - ëe xg yz + e yg zx2 + e zg xy û 4

Las tres raíces del polinomio de tercer orden corresponden a las deformaciones principales: e1, e2, e3 donde e1 > e2 > e3

Deformaciones cizallantes principales g13 = e1 - e3 g 21 = e 2 - e1 g 32 = e3 - e 2

Como e1 > e2 > e3

g max = e max - e min g max = e1 - e3

Estados de esfuerzos Tridimensional

Bidimensional

Unidimensional

Formulas para el estado de esfuerzos bidimensionales sa = sb =

s x +s y 2

s x +s y 2

æs x -s y ö 2 + ç + t ÷ xy è 2 ø 2

æs x -s y ö 2 - ç ÷ + t xy è 2 ø 2

sc = 0 Como s1 > s2 > s3

s 1 = max [s a, s b, s c ] s 3 = min [s a, s b, s c ]

t max =

s1 - s 3 2

Ejercicio en clase 2: Grúa para el cargue y descargue de navíos

45°

A

L1 = 40 m

C

B

L2 = 20 m

h

Fmáx = 30 tons b Sección transversal de viga A-B. Analice la viga A-B en la posición crítica y determine: Sección critica y esfuerzos principales en los puntos críticos. Considere un momento torsor de T = 20% del momento flector máximo, actuando a lo largo de la viga A-B. Datos: Fmax = 30 metric-tons. h = 1 m , b = 0.5 m

Solución Ej. 2: diagrama de cuerpo libre R2

y 45°

R2x

R1x A

L1 = 40 m

R2y C

B

x

= 0 ; R1x - R2 x = 0

R2 x =

eq.1

= 0 ; R1y + R2 y - Fmáx = 0

åM

A

eq.4

Fmáx × ( L1 + L2 ) L1 × tanq

Remplazando R2x en eq.1:

eq.2

= 0 ; R2 y × L1 - Fmáx × ( L1 + L2 ) = 0

R2 y tanq = R2 x

æ L1 + L2 ö R2 y = Fmáx × ç ÷ è L1 ø Remplazando R2y en eq.4:

Fmáx

åF

y

x

L2 = 20 m

R1y

åF

Despejando eq.3:

eq.3

R1x =

Fmáx × ( L1 + L2 ) L1 × tanq

Sustituyendo R2y en eq.2:

æ L1 + L2 ö R1y = Fmáx × ç1÷ L1 ø è

Ej. 2: diagrama de cortantes y momentos flectores R2 R1x A

45°

R2x

L1 = 40 m

R1y Fy

R2y C

B

L2 = 20 m 294.2 kN

Fmáx

Como: 1 metric- tons = 9.806 kN Entonces: Fmáx = 294.2 kN R1x = 441.27 kN ; R1y = -147.1 kN R2x = 441.27 kN ; R2y = 441.27 kN

Fx

MC = Fmáx × L2

-147.1 kN

MC = 5883.6 kNm

-441.27 kN

M

Sección critica: Sección C 5883,6 kNm

T

1176.72 kNm

T = 0.2MC = 1176.72 kNm

Solución Ej. 2: calculo de esfuerzos en puntos críticos Esfuerzo de flexión:

M ×c s m áx = I

c=h/2

3

bh I= 12

h

Datos: Fmax = 30 metric-tons. h = 1 m , b = 0.5 m

b

MC = 5883.6x106 Nmm

sx =

5883.6 ´10 6 Nmm× 500 mm 500 mm× (1000 mm) 12

s x = 70.6 N mm = 70.6 MPa 2

A

3

B

Solución Ej. 2: calculo de esfuerzos de torsión T t m áx = Q

2b2 c2 Q= 1.5b+1.8c

Donde:

c=h/2 h

T = 1176.72x106 Nmm b = 500 ; c = 500 mm

tT =

b

1176.72 ´10 Nmm 6

A

2 ( 500mm) ( 500mm) 1.5 ( 500mm) +1.8 ( 500mm) 2

t T =15.53 N mm =15.53 MPa 2

2

B

Solución Ej. 2: Calculo del esfuerzo cortante trasversal A h

B

b

3V t m áx = 2A

t V = 0.88 MPa

3 294.2 ´10 N tV = 2 ( 500mm) (1000mm) 3

Solución Ej. 2: Calculo de los esfuerzos principales punto A A

A B

B

s a, s b =

s x +s y 2

æs x -s y ö 2 ± ç + t ÷ xy è 2 ø 2

sc = 0

s x = 70.6 MPa

t T =15.53 MPa

æ 70.6 ö 70.6 2 s a, s b = ± ç ÷ + (15.5) è 2 ø 2

s a = 73.86 MPa ; s b = -3.26 MPa ; s c = 0 Como s1 > s2 > s3

s 1 = 73.86 MPa ; s 2 = 0 ; s 3 = -3.26 MPa

2

Solución Ej. 2: Calculo del máximo cortante principal punto A s 1 = 73.86 MPa ; s 2 = 0 ; s 3 = -3.26 MPa

t max =

s1 - s 3 2

73.86 - (-3.25) t max = 2

t max = 38.5 MPa

Circulo de Mohr t sx

sy

s

t13 t21

s3 s2

t T =15.53 MPa s x = 70.6 MPa t 13 =

s1 - s 3 2

; t 21 =

s 2 -s1 2

s1 t32 s3 s2 sy = 0 ; t 32 =

s3 -s2 2

s1

Análisis de esfuerzos de cilindros presurizados

Esfuerzos en cilindros presurizados de pared gruesa ri st

r0 pi ri 2 - p0 r02 - ri 2 r02 ( p0 - pi ) r 2 st = r02 - ri 2

sr sl

pi ri - p r + r r ( p0 - pi ) r sr = r02 - ri 2 2

r dr

Pi t

2 0 0

2 2 i 0

pi ri 2 - p0 r02 sl = 2 2 r0 - ri

2

Esfuerzos en cilindros presurizados de pared gruesa ri st

r0

sr sl

En el caso donde P0= 0 2ö æ ri pi r0 s t = 2 2 ç1+ 2 ÷ r0 - ri è r ø ri 2 pi æ r02 ö s r = 2 2 ç1- 2 ÷ r0 - ri è r ø 2

r dr

2

pi ri sl = 2 2 r0 - ri

Pi t

Esfuerzos en cilindros presurizados de pared delgada r st

Cilindro de pared delgada: t < r/10

sr sl

pri s t, prom = t pri sl = 2t

dr

Pi t

En la parte interna del cilindro: s = -p r

En la parte externa del cilindro: sr = 0

p( 2ri + t ) s t,Max = 2t

Ejercicio en clase 3: Calcule los esfuerzos y cortantes principales en la sección tubular de un tanque presurizado que contiene vapor de agua saturada a una temperatura de trabajo de 200 °C. Asuma: presión constante, aplique las ecuaciones de pared delgada, un diámetro externo de 5 m y un espesor de pared de 15 mm.

Solución ejercicio 3: De la tabla de propiedades termodinámicas del vapor de agua saturada tenemos que a 200 °C; Pabs = 1554.9 kPa. Pmanométrica = Pabs – Patmosférica = 1554.9 kPa – 101.325 kPa Pi = Pmanométrica = 1453.575 kPa Pi = 1.45 mPa t = 15 mm Pi = 1.45 MPa

di = 4970 mm

Solución ejercicio 3: t = 15 mm Pi = 1.45 mPa

pri s t, prom = t

pri sl = 2t

di = 4970 mm

1.45mPa× 2485mm s t, prom = 15

1.45mPa× 2485mm sl = 2 ×15mm

s t, prom = 240 mPa

s l =120 mPa

Solución ejercicio 3: s l =120 mPa

s t, prom = 240 mPa æs x -s y ö s x +s y 2 s a, s b = ± ç + t ÷ xy 2 è 2 ø 2

sc = 0

s a, s b =180 ± 60

s a = 240 mPa

æ 240 -120 ö 240 +120 s a, s b = ± ç ÷ +0 è ø 2 2 2

s b =120 mPa

Como s1 > s2 > s3 s 1 = 240 mPa

t max =

s 2 =120 mPa

s1 - s 3 2

s 3 = 0 mPa

t max =120 mPa

s c = 0 mPa