Benemérita Universidad Autónoma De Puebla.: Facultad De Ingeniería Química

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Facultad de Ingeniería Química. Fenómenos de Transporte Profesor: Rafael Flores García Equipo 5 Karla Andrea Vargas De La Vega Marlen Daniela Flores Martinez Guadalupe Lizbeth Daniel Gonzalez

CONDICIONES LÍMITE Conductividad térmica

Objetivo • Conocer las condiciones límites en la conductividad térmica, de tal manera que se comprenda qué son, cuáles son, su uso y poner en práctica lo visto en esta presentación.

¿Qué son? Son las determinaciones de hechos físicos para valores concretos de la variable independiente.  Las más utilizadas son:

1.

En las interfases sólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie misma; es decir, que se supone que el fluido esta adherido a la superficie sólida con la que se halla en contacto.

2.

En las interfases líquido-gas, la densidad de flujo la cantidad de movimiento prácticamente no se transfiere.

3.

En las interfases líquido-líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento como la velocidad son continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos lados de la interfase.

¿Cuáles son? 1.

La temperatura en una superficie puede ser conocida, por ejemplo: T= 𝑇𝑤

2.

La densidad de flujo de calor en una superficie puede especificarse: por ejemplo, 𝑞 = 𝑞𝑤

3.

En una interfase sólido-fluido, la densidad del flujo de calor puede relacionarse con la diferencia de la temperatura de la interfase y la del fluido mediante la relación:.𝑞 = ℎ 𝑇𝑤 − 𝑇𝑓

4.

En las interfases sólido-sólido y fluido-fluido existe continuidad en la distribución de temperaturas y de densidad de flujo de calor.

q= densidad de flujo de calor w= densidad del flujo másico. 𝑇𝑓 = Temperatura de la película 𝑇𝑤 = temperatura del flujo másico h= coeficiente de transferencia de calor

¿Para qué se usa? • Para evaluar las constantes de integración. • Las condiciones límites sirven para darle valores concretos a las variables en dependencia del sistema de flujo.

• Se usan para especificar las condiciones térmicas de las superficies que limitan al sistema. • Es por donde el sistema intercambia datos o energía con su ambiente.

¿Cómo se usa? Después de haber elegido el volumen de control se siguen los pasos siguientes:

1.

Se aplica el balance de energía en el volumen de control.

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 − + =0 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙

2. Se lleva a cabo una ecuación diferencial de primer orden que describe la variación de la temperatura en función de la posición. 3. Se introduce en esta ecuación la Ley de Fourier de la conducción de calor con lo que se obtiene una ecuación diferencial que describa la variación de la temperatura en función de la posición (es el perfil de temperatura). 4. Se evalúan las constantes de integración las condiciones límite adecuadas.

Ejemplo de problema: condiciones límite

Flujo de calor a través de una pared simple de sección rectangular Se tiene una pared rectangular de anchura L, altura H y espesor B, a través de la cual fluye calor con una densidad de flujo q. Determinar la expresión para la distribución de la temperatura a lo ancho de B. B

Como en este sistema no intervienen fluidos en movimiento, el transporte de calor es solo por conducción.

T H Perfil para k constante

T0 T1

L

Δx X Z

Si se aplica el balance de energía al volumen de control, se obtiene: 𝐿𝐻𝑞𝑥 |𝑥 − L𝐻𝑞𝑥 |

𝑥+∆𝑥

=0

Si se multiplica por (-1/LHΔx) y se aplica límite cuando Δx→0 resulta:

lim

∆𝑥→0

𝑞𝑥 |

𝑥+∆𝑥

− 𝑞𝑥 |𝑥

Δ𝑥

Al aplicar la definición de la primera derivada: 𝑑𝑞𝑥 =0 𝑑𝑥 Si se integra, se obtiene: 𝑞𝑥 = 𝐶1

=0

La constante 𝐶1 puede evaluarse mediante la condición límite: C. L. : para 𝑥 = 0: 𝑞 = 𝑞0

O también:

para 𝑥 = 𝐵:

𝑞 = 𝑞0

Si se sustituye en la ecuación 𝑞𝑥 = 𝐶1 , se obtiene: 𝑞𝑥 = 𝑞0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. El resultado de la ecuación anterior se debe a que el área de transferencia (LH) es constante.

Si se introduce la Ley de Fourier en la expresión 𝑞𝑥 = 𝑞0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, resulta: 𝑑𝑇 −𝑘 = 𝑞0 𝑑𝑥

𝑑𝑇 𝑞0 =− 𝑑𝑥 𝑘

Al integrar, se obtiene: 𝑇=−

𝑞0 𝑥 + 𝐶2 𝑘

• De esta forma: • 𝑘 = (𝑎 + 𝑏𝑇)1/2 • La ecuación 4.11 se transforma en •

𝑑𝑇 𝑑𝑥

=−

qo (𝑎+𝑏𝑇)1/2

• Cuando se integra se obtiene: • ‫ 𝑎(׬‬+ 𝑏𝑇)1/2 dT = -qo ‫𝑥𝑑 ׬‬ • Resolviendola nos queda como: •

2(𝑎+𝑏𝑇)3/2 3𝑏

= -qo x + C3

3 2

• 2(𝑎 + 𝑏𝑇)3/2 = b qo x+ C4

• La constante C4 se puede evaluarse mediante la condición limite.

• CL = Para x=0 ; T=T0· • Por tanto • C4 =(𝑎 + 𝑏𝑇0 )3/2

• Luego: • (𝑎 + 𝑏𝑇)3/2 = −

3 2

bq0 x + (𝑎 + 𝑏𝑇0 )3/2

• Si se divide por (𝑎 + 𝑏𝑇0 )3/2 , se llega a: •

𝑎+𝑏𝑇0 . 3/2 ( )^ 𝑎+𝑏𝑇0 .

=1-

3+𝑏𝑞0 𝑥 . 2(𝑎+𝑏𝑇0 3/2

)

Bibliografia • Fenomenos de Transporte /Robert Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Lightfoot/ Reverté, 1996 • Transferencia de Calor/ J.P Holman /McGraw-Hill, 1998 • Curso de termodinámica teorica / Lev Davidovich Landau , EM Lifshits / Reveerte , Editorial S.A 2002. • Condición de Frontera y Principio de Superposición/ Dr. Juan Pablo TorresPapaqui/ • Mecanica de Fluidos Merle C. Potter 3ra. Ed.