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Números Reales El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero). Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número 6767 que viene a ser un entero, o también el 3434, que es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 33 y su denominador es 44. Sin embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número ππ o 2–√2 y que sirven para realizar cálculos matemáticos pero no pueden ser representados como un símbolo numérico único.

Los números reales se representa con la letra RR, y aparecen por la necesidad de realizar cálculos más complejos ya que en épocas como entre el siglo XVI y el XVII, se hacían necesarias nuevas cifras para los avances tecnológicos que ya no podían ser representados por cifras aproximadas ni por expresiones coloquiales por su inexactitud. El rigor del avance de la humanidad a partir de sus herramientas, hizo necesaria la creación de nuevas expresiones matemáticas que den mayor exactitud a los cálculos. Por lo tanto, el conjunto de los números reales se conformó a partir de otros subconjuntos de números que surgían de necesidades en las matemáticas, como los números negativos y los números fraccionarios y decimales. En Europa, cuna de la ciencia en la modernidad, los números negativos no fueron utilizados hasta ya avanzado el siglo XVII, sin embargo, ya habían sido pensados muchos siglos atrás por culturas como la china y la hindú. Incluso se llegaba a descartar las soluciones de cálculos que tenían resultado negativo, por ser considerados números irreales. Los números fraccionarios por su parte, fueron utilizados por los egipcios para la resolución de diferentes problemas. Pero es en la cultura griega de donde se extrae el actual uso de los racionales, de raciones de números, ya que los utilizaban para definir el espacio entre las notas musicales con relaciones de armonía que correspondían a divisiones en las melodías del sonido. Así se empezó a ver fracciones en otras cosas y sustancias. A partir de allí, la complejidad de los cálculos empieza a profundizarse y es hasta el teorema de Pitágoras que surgen los números irracionales de los que se hablaba, donde los decimales de la fracción son infinitos y por lo tanto no son expresables en números únicos. De aquí nace el, quizás, primer número irracional que se conoce. A partir del teorema planteado como la constante pitagórica, cuya cifra surge de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuya longitud de cada uno de sus catetos es 11, la cifra obtenida es 2–√2. Entonces, el concepto de números reales es que son los números que pueden ser expresados con decimales, incluyendo a aquellos que tienen decimales en infinita expansión. Esto se debe a que en la lógica de los números reales, no hay números exactos. Es decir, la exactitud de un resultado está marcado por la expansión infinita de los decimales de un número, cuyo mejor ejemplo es ππ, y paradójicamente, este no es un número exacto, ya que proviene de la división de la circunferencia para el diámetro de un círculo perfecto. Aclarando mejor con otro ejemplo, es la división de 10÷310÷3 cuya respuesta es 3,333333333333333...3,333333333333333...

Sistema de Números Reales El sistema de números reales se compone principalmente de dos grandes conjuntos, el de los números racionales que son aquellos que pueden ser expresados como la división de dos números enteros como 3434, 1515, incluso un número entero puede ser expresado como una fracción, ya que el número entero puede ser dividido para 11 sin cambiar su esencia, por ejemplo el

número 88 puede ser expresado en fracción así 8181; mientras que el otro gran conjunto del sistema de números reales es el de los números irracionales cuya representación decimal es expansiva, infinita y aperiódica. Los números irracionales son un conjunto en sí mismos pero, a su vez, los números racionales tienen subconjuntos que son: las fracciones no enteras con sus respectivas notaciones negativas; los números enteros; dentro de los números enteros están los negativos y los enteros positivos; estos últimos a su vez incluyen a los números naturales y al cero. Para aclarar esta conjunción, se puede graficar como en el diagrama de arriba. De otra forma, se muestra a continuación un mapa conceptual de números reales:

Representación De Números Reales En la recta numérica, la representación de números reales se puede hacer con una exactitud aproximada, sin embargo, se pueden usar técnicas para representarlos de forma exacta. Como en el siguiente ejemplo de 7–√7: Allí se puede ver que la raíz de 7 se puede descomponer para poder trazar un triángulo que cumpla con el teorema de Pitágoras. Primero se descompone 7 en suma de cuadrados: 7=22+(3–√)27=22+(3)2 Los sumandos de esta adición serán los puntos en el eje cartesiano que nos darán la ubicación del número en cada uno de los ejes del plano. La raíz de tres. Para ello primero se debe representar la raíz de 2 o 2–√2, la cual se obtiene al trazar un triángulo cuyos catetos tengan valor de uno y cuya hipotenusa será igual a 2–√2. El vértice superior luego se debe trasladar de forma circular y con pivote en cero hasta llegar a la línea horizontal o eje X: Con esta representación hecha, se procede a buscar 3–√3, ya que al descomponer este número, obtenemos que: 3=12+(2–√)23=12+(2)2 Por lo tanto, en la recta numérica se debe ubicar un punto entre estos dos sumandos, sean 11 y 2–√2 de tal modo que el gráfico, sobre el gráfico anterior quedaría de esta manera: Finalmente, ya tenemos la ubicación de 3–√3 en el eje X y de 22 en el eje Y. Ahora se procede a ubicar a 7–√7 en la recta numérica, así:

RAZONES Y PROPORCIONES RAZONES Se llama razón entre dos números reales distintos de cero, dados en un cierto orden, al cociente exacto del primer por el segundo. El primero se llama antecedente y el segundo consecuente. En los símbolos: la razón entre a y b es a/b = a : b siendo a y b números reales. Ejemplos: La razón entre 8 y 4 es 8/4 = 2 PROPORCIONES Se forma una proporción, cuando la razón entre los dos números primeros es igual a la razón entre los dos últimos. En símbolos: Dados a, b, c y d si a/b = c/d, a, b, c y d forman una proporción y se lee “a es ab como c es a d” Ejemplos: 1/0.5 = -8/4 es una proporción pues -1/0.5 = -2 y -8/4 = -2 RAZON TASA Y PROPORCIÓN! RAZÓN: es un cociente de dos números cualesquiera, en el que ninguno de los elementos del numerador está incluido en el denominador. El rango puede oscilar de 0 a infinito. Ejemplo 1: razón entre el número de casos entre inmunodeprimidos y varones sanos en una penitenciaria de tuberculosis en

un año. 8/2=4 Ejemplo 2: razón entre el número de casos de tuberculosis entre personas en régimen interno y personas normales en Jaén. 50/5=10 PROPORCIÓN: Es un tipo especial de razón en la cual los elementos del numerador están incluidos en el denominador. El rango puede oscilar de 0 a 1 ( de 0 a 100 en porcentaje).Se utiliza como estimación de la probabilidad de un evento. Ejemplo1: para un número de expuestos de 300(número de presos) 10/300=0.033 Ejemplo2:población de Jaén 650000 habitantes 55/650000=8,46e-5 TASA: Es un tipo especial de proporción o razón que incluye una medida de tiempo en el denominador. Los componentes de una tasa son el numerador, el denominador, el tiempo específico en el que el hecho ocurre y usualmente un multiplicador, potencia de 10, que convierte una fracción decimal en un nº entero. El concepto de tasa está asociado con la rapidez de un fenómeno por unidad de tiempo. Ejemplo1: número de pacientes inmunodeficientes tratados en la enfermería de la prisión en ese año: 200 8*100/200=4% Ese año enfermaron por tuberculosis 4 de cada 100 enfermos inmunodeprimidos Ejemplo2: número de pacientes tratados en la provincia de Jaén por patologías semejantes en ese año: 4000 55*100/4000=1,375% Ese año 11de cada 800 personas enfermaron de tuberculosis en Jaén (1,375*8=11) VECTORES Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Magnitudes Escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: Masa Temperatura Presión Densidad Magnitudes vectoriales

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Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección. Vector libre Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra. Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k Propiedades Conmutativa: a+b=b+a Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Elemento Neutro: a+0=a Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0 Vectores unitarios y componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

Suma y resta de vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores. Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante. Suma de Vectores La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente. Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo: Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores. Antes de definir científicamente qué es un vector, intentemos conocer o identificar un vector. Veamos la siguiente figura: Esta figura nos muestra un sistema de coordenadas espaciales (y, x, z) y un vector V . Entonces, podemos decir que básicamente, un vector es una flecha, la cual nos indica una dirección . En este caso, la flecha expresa el sentido positivo del vector. También se puede afirmar que un vector representa una dirección en el espacio . Con más detalle, un vector es un segmento de recta con origen en un punto del espacio y que sirve para representar magnitudes que tienen una dirección y un sentido (por lo mismo se llaman magnitudes vectoriales ). La velocidad y la fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales. Como hablamos de magnitud, eso significa que tiene un tamaño, el cual llamaremos módulo . Entonces un vector tiene módulo (digamos que es su tamaño), dirección y sentido. En la figura, de arriba, el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo vectorial, y su dirección es la misma de la flecha. Aquí es importante destacar que con los vectores también se pueden realizar algunas operaciones como la suma y la resta de ellos o la multiplicación de un vector por un escalar. Antes de continuar, aclaremos estos dos conceptos: magnitud escalar y magnitud vectorial . MAGNITUDES FÍSICAS Las magnitudes físicas o variables se clasifican en dos grandes grupos: Magnitudes escalares: Son aquellas que quedan definidas exclusivamente por un módulo; es decir, por un número acompañado de una unidad de medida. Es el caso de masa (5 kg), tiempo (27 s), temperatura (400° C), distancia (78 km), por ejemplo. Magnitudes vectoriales: Son aquellas que quedan totalmente definidas con un módulo, una dirección y un sentido. Es el caso de la velocidad, la fuerza o el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario especificar hacia dónde se dirigen y, en algunos casos, dónde se encuentran aplicadas. Todas las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que se simbolizan a través de una flecha, como ya lo vimos. Volvamos a lo nuestro. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Los vectores, según se ha dicho, se representan geométricamente con segmentos lineales terminados en una pequeña punta de flecha y se les asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha dibujada de izquierda a derecha como se muestra en la figura siguiente, donde se nombran sus características: Analicemos estas características: Módulo: Representa el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud (número). Se denota con la letra A o |A|. Pueden ser vectores de igual módulo o vectores de distinto módulo.

Vectores con igual módulo, figura de arriba, pero distintas direcciones. Los tres vectores de la figura podrían representar, por ejemplo, una velocidad de 15 km/h, pero en distintas direcciones.

Vectores de distinto módulo, pero igual dirección y sentido. Los vectores de la figura de arriba podrían representar velocidades de 20 km/h, 5 km/h y 15 km/h, respectivamente. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos contrarios. Dirección: Corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal imaginario. También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x, y, z) como también los puntos cardinales para la dirección. Dos vectores tienen la misma dirección cuando la inclinación de la recta que los representa es la misma; es decir, cuando son paralelos. Sentido: Está indicado por la punta de la flecha (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo). Operatoria Vectorial Como ya dijimos más arriba, al igual que los números, los vectores pueden operarse entre sí, a través de la suma, la resta, la multiplicación por un escalar, o la división por un escalar. La suma y la resta de vectores se pueden realizar en forma geométrica, como veremos en seguida; pero también se pueden calcular de manera algebraica o matemática como veremos después. Suma geométrica de vectores Al sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante). Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como “regla del paralelogramo” . Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma . La siguiente imagen, ilustra la suma de vectores: Por ejemplo, si queremos sumar vectores A + B , se dibuja uno a continuación del otro, trasladándolo. El vector resultante es el que va desde el punto inicial del primer vector, hasta el término del segundo vector. Cabe destacar que la suma es conmutativa; es decir: A + B = B + A Cuando se quiere sumar más de un vector, se procede de la misma forma anterior, pero ahora se colocan uno a continuación del otro hasta el último. Luego la recta que une el inicio del primer vector con el término del último es el vector resultante, como se muestra en la figura siguiente: . Resta geométrica de vectores Para la resta se procede de la misma forma que la suma, pero el vector que resta se debe dibujar con sentido contrario; o sea, el signo negativo cambia el sentido del vector. Luego el vector resultante es el que va desde el punto inicial del primer vector, hasta el final del vector al que se le cambió el sentido. Cabe mencionar que la resta no es conmutativa: A B es distinto a B A A-B=-(B-A) La siguiente ilustración muestra la resta de dos vectores: