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DISEÑO DE EJES POR RIGIDES Y CARGA DINÁMICA I.

DEFINICIONES: 1. DEFORMACION POR TORSION:

Definición: Torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. Deformación por Torsión de un Eje Circular: La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.

De esta figura se observa: 

 

La torsión ocasiona que los círculos se conserven como círculos y que cada línea longitudinal de la cuadrícula se deforme en una hélice que interseca los círculos en ángulos iguales. Las secciones transversales de los extremos a lo largo del eje seguirán siendo planas. Las líneas radiales se conservan rectas durante la deformación.

FORMULA DE LA TORSION: Cuando un par de torsión, o momento de torsión, se aplica a un elemento, tiende a deformarlo por torcimiento, lo cual causa una rotación de una parte del elemento con relación. El caso más frecuente de cortante por torsión, en el diseño de máquinas, es el de un eje redondo que transmite potencia.

 distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal de la barra:

Por semejanza de triángulos y basándonos que la variación de esfuerzo y la deformación son proporcionales. El esfuerzo cortante en cualquier radio (r) es: 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏 = 𝑐 𝑟 De donde: 𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥

𝑟 𝑐

 esfuerzo cortante τ en el radio r que actúa en el área dA :

La fórmula de la torsión que actúa en dA es: ∫ 𝑟 ∗ 𝑑𝐹 = 𝑇 Pero sabemos que: 𝜏=

𝐹 𝐴

Donde derivando obtenemos: 𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴 Y reemplazando en la formula general del torque tenemos que: 𝑇 = ∫ 𝑟(𝜏𝑑𝐴) Donde: 𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑜𝑟 𝜏 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐴 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑐 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 Deformación por Torsión de un Eje Circular:

Pero sabemos que el esfuerzo cortante es: 𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥

𝑟 𝑐

Reemplazando en la integral del torque tenemos: 𝑇 = ∫ 𝑟(𝜏𝑑𝐴) 𝑟 𝑇 = ∫ 𝑟 (𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑑𝐴) 𝑐 𝑇=

𝜏𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 𝑐

De donde la integral: 𝐽 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 La integral depende sólo de la geometría del eje. Representa el momento polar de inercia del área de la sección transversal del eje alrededor de su línea central longitudinal. Su valor se simboliza como J: Entonces el esfuerzo cortante máximo queda como: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = Donde: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑜𝑟 𝑐 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝐽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎

𝑇𝑐 𝐽

Deformación por Torsión de un Eje Sólido: El esfuerzo cortante varía linealmente al largo de cada línea radial de la sección transversal del eje. Si se aísla un elemento del material que se encuentra sobre esta sección, entonces debido a la propiedad complementaria de la fuerza cortante, deben existir también esfuerzos cortantes iguales que actúen sobre cuatro de sus caras adyacentes.

No solo el par de torsión interno T desarrolla una distribución lineal del esfuerzo cortante a lo largo de cada línea radial en el plano del área de la sección transversal, sino que también se desarrolla una distribución del esfuerzo cortante asociada a lo largo de un plano axial. Si el eje tiene una sección transversal circular sólida, el momento polar de inercia J puede determinarse usando un elemento de área en forma de un aro o anillo diferencial que tienen un grosor dp y una circunferencia 2 πp: 𝐽 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 𝐽 = ∫ 𝑟 2 (2𝜋𝑟𝑑𝑟) 𝐽 = 2𝜋 ∫ 𝑟 3 𝑑𝑟 𝐽=

𝜋 4 𝑟 2

J es una propiedad geométrica del área circular y que siempre es positiva. Las unidades que se utilizan más a menudo para su medición son mm4 o in4.

Deformación por Torsión de un Eje Tubular Si un eje tiene una sección transversal tubular, con radio interior r1 y radio exterior r2, entonces su memento polar de inercia J puede determinarse con base a: 𝐽=

𝜋 4 (𝑟 − 𝑟14 ) 2 2

1. TRANSMISION DE POTENCIA: Con frecuencia, los ejes y tubos con secciones circulares se utilizan para transmitir la potencia desarrollada por una máquina. Cuando se utilizan con este fin, se les somete a un par de torsiones que depende de la potencia generada por la máquina y de la velocidad angular del eje. La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo. El trabajo transmitido por un eje giratorio es igual al par aplicado por el ángulo de rotación. 𝑷=

𝑻𝒅𝜽 𝒅𝒕

Pero sabemos que la velocidad angular del eje es: 𝒅𝜽 =𝝎 𝒅𝒕 Entonces reemplazando nos queda: 𝑷 = 𝑻 ∗ 𝝎 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 𝑷 = 𝑻 ∗ 𝟐𝝅𝒇 Cuando se conoce la potencia transmitida por un eje y su frecuencia de rotación, el par de torsión que se desarrolla en el eje puede determinarse a partir de: 𝑻=

𝑷 𝟐𝝅𝒇

Al conocer T y el esfuerzo cortante permisible para el material τ perm, es posible determinar el tamaño de la sección transversal del eje empleando la fórmula de la torsión, siempre y cuando el comportamiento del material sea elástico lineal. 𝑱 𝑻 = 𝑪 𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎 Y el momento polar de inercia de un eje solido es: 𝑱=

𝝅 𝟒 𝒓 𝟐

Y el momento polar de inercia de un eje hueco es: 𝑱=

𝝅 𝟐 (𝒓 − 𝒓𝟐𝟏 ) 𝟐 𝟐

Donde: 𝜏𝑝𝑒𝑟𝑚 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑜𝑟 𝑐 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝐽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑃 = 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

2. Angulo de Giro:

Deformación angular: 𝛿𝑠 = 𝐷𝐸 𝛿𝑠 = 𝑟𝜃 La distorsion: 𝛾=

𝛿𝑠 𝑟𝜃 = 𝐿 𝐿

Y por la ley de Hooke tenemos que: 𝜏 = 𝐺𝛾

Reemplazando tenemos: 𝜏 = 𝐺(

𝑟𝜃 ) 𝐿

Esta última ecuación se le conoce como ecuación de compatibilidad. Donde: 𝐺 = 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝜃 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Angulo de deformación:

∑ 𝑇 = 0 𝑇 = 𝑇𝑐 = ∫ 𝑟𝑑𝐹 Recordando que: 𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴 Tenemos que: 𝑇 = ∫ 𝑟(𝜏𝑑𝐴) Reemplazando la ecuación de compatibilidad: 𝑇 = ∫ 𝑟(𝐺( 𝑇= Recordando que:

𝑟𝜃 )𝑑𝐴) 𝐿

𝐺𝜃 ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 𝐿

𝐽 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 Entonces: 𝑇=

𝐺𝜃 𝐽 𝐿

Por lo tanto: 𝜃=

𝑇𝐿 𝐽𝐺

Torsión en tubos cerrados de pared delgada En un método general para tubos cerrados de pared delgada, de casi cualquier forma, se manejan las ecuaciones, con métodos especiales para evaluar K y Q. La siguiente figura muestra uno de esos tubos, que tiene un espesor de pared constante. Los valores de K y Q son

El esfuerzo cortante calculado con este método es el esfuerzo promedio en la pared del tubo. Para diseñar un miembro que solo resista torsión, o torsión y flexión combinadas, se aconseja seleccionar tubos huecos. Tienen buena eficiencia, tanto en la deflexión como en la torsión.

3. VELOCIDAD CRÍTICA Las velocidades que se originan de vibraciones violentas se conocen como “velocidades críticas”. Este término también se puede reducir aún más ya que existen varios tipos de velocidades críticas. Algunos ejemplos son: Velocidad critica de flexión y velocidad critica de torsión. Un eje se puede considerar un resorte elástico a flexión. Cuando se aplica una fuerza externa sobre este eje, se produce una oscilación amortiguada. A la vez, esta oscilación efectúa una fuerza centrífuga (una fuerza que aleja un objeto del centro de rotación) debido a su movimiento circular. Cuando la velocidad de esta alcanza el valor de frecuencia de la oscilación del sistema se produce una resonancia. Si la resonancia del sistema marcha de manera irregular, este oscilara más y más violento hasta llegar a su ruptura. La velocidad de esta resonancia es la cual se denomina velocidad crítica de flexión. El comportamiento dinámico del eje puede volverse peligrosamente destructivo si funciona cerca de su velocidad crítica. En la velocidad critica, el sistema entra en resonancia, continua aumentando la deflexión del eje, virtualmente sin límite y al final sea autodestruirá. Es complicado el análisis para calcular la velocidad crítica y se dispone de programas de cómputo para ayudar en los cálculos. El objetivo es determinar la frecuencia natural del eje que soporta el peso estático de elementos como los engranes, las catarinas y las poleas. También es un factor la rigidez de los cojinetes. Una ecuación fundamental de la frecuencia natural, En, es: 𝑊𝑛 = √𝑘/𝑚 Donde K es la rigidez del eje y m es su masa. Es preferible tener una velocidad critica grande mucho mayor que las velocidad de funcionamiento; entonces, la rigidez debe ser grande la masa pequeña. Las variables principales sobre las que tiene control un diseñador son el material y su módulo de elasticidad E, su densidad ρ, el diámetro del eje D y longitud L. La siguiente relación funcional puede ayudar a comprender la influencia de cada una de esas variables: 𝜔 𝛼 (𝐷/𝐿2 ) √𝐸/𝜌 Donde el símbolo “α” representa proporcionalidad entre las variables. Al emplear esta función como guía, las siguientes acciones pueden reducir los problemas potenciales por deflexión o por velocidades críticas.

Preselección de las velocidades críticas Los criterios que se han seguido para realizar la preselección de las velocidades críticas son: 1. La velocidad de rotación del eje ha de ser siempre inferior a 500min -1 para minimizar daños en caso de una posible rotura del eje. 2. Puesto que los efectos de la resonancia son perceptibles en un rango de ± 20% del valor de la velocidad crítica, debe haber un rango de velocidad comprendido entre 1,20 𝜔𝑐1 y 0,80 𝜔𝑐2 min-1 en el que realizar el cambio de rigidez sin que el eje se vea afectado por ninguna velocidad crítica. 3. El rango de velocidad para realizar el cambio ha de ser de 100 min -1. Siguiendo los criterios anteriores, se ha seleccionado que la velocidad crítica del eje cuando sus soportes sean rígidos sea: 𝜔𝑐2 = 420𝑚𝑖𝑛−1 De este modo se tendrá margen para poder superar este valor de velocidad sin llegar a girar a 500min-1. Siguiendo las restricciones impuestas, el valor de 𝜔𝑐1 ha de ser: 𝜔𝑐1 ≤

(𝜔𝑐2 ∗ 0.8) − 100 1.2

→

𝜔𝑐1 = 196.6𝑚𝑖𝑛−1

Ambos valores son a priori orientativos, ya que su valor final dependerá de la geometría del eje, y de la ubicación y rigidez de sus soportes. 4. CARGAS DINAMICAS: Las cargas dinámicas se distinguen de las estáticas por el hecho de originar modificaciones tanto en la magnitud de las tensiones como en las deformaciones a que dan lugar, afectando también la forma y límite de rotura de los materiales. En los materiales solicitados dinámicamente la deformación de rotura se reduce en forma considerable. Asimismo, las experiencias realizadas demuestran incrementos del límite de fluencia y de la tensión de rotura. Muchos materiales que frente a cargas estáticas tienen un comportamiento dúctil, en el caso de cargas dinámicas presentan un comportamiento frágil.

Las cargas dinámicas producidas por el impacto de un cuerpo en movimiento pueden originar en la estructura o en parte de ella efectos vibratorios. Si la carga dinámica se repite en forma periódica, y su frecuencia coincide con el período de vibración del elemento, éste puede entrar en resonancia. Cuando esto ocurre se originan deformaciones tan grandes que conducen al colapso de la estructura. La determinación en forma rigurosa de las tensiones que se originan como consecuencia de las cargas dinámicas resulta compleja y en cierto modo, un tanto indefinida. En el caso de solicitaciones estáticas las cargas actuantes pueden determinarse en forma mucho más cierta que en el caso de solicitaciones dinámicas, dónde ocurre una transferencia de una cierta cantidad de energía cinética, la cual en la práctica es muy difícil de cuantificar. 5. SOLICITACIONES POR FATIGA Cargas repetidas: En algunas estructuras, y especialmente en elementos de máquinas, los esfuerzos actuantes no son estáticos sino que actúan en forma dinámica, variable con el tiempo. En algunos casos particulares de piezas de máquina, si bien las cargas no varían, el movimiento de la pieza hace que las tensiones varíen a través del tiempo. Ejemplo clásico de esto último es el eje de un vagón de ferrocarril el cual por su rotación produce la inversión del signo de las tensiones internas. Consideremos el caso de un eje de dicho vagón que soporta dos cargas iguales en los extremos, según se indica en la figura 11.4. Estas cargas son transmitidas a la tierra mediante dos ruedas. Una sección como la a-a soporta un momento flector M y para un cierto instante, un punto como el A, ubicado en el borde superior de la sección, tendrá una tensión normal que será máxima:

𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈=

𝑴 𝒚 𝑰

𝑴 𝒓𝒔𝒆𝒏(𝟗𝟎 − 𝝎𝒕) = 𝝈𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟗𝟎 − 𝝎𝒕) 𝑰 𝝈 = 𝝈𝒎𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕

Donde: 𝑀 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝜎 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 La última ecuación nos muestra que la tensión en el punto A varía cíclicamente según una función cosenoidal de amplitud 𝜎𝑚𝑎𝑥 . Cuando sobre un elemento estructural actúan sistemáticamente cargas repetidas o cíclicas, en los lugares donde existen fuertes concentraciones de tensiones, cuyo origen obedece a irregularidades superficiales, a cambios bruscos de forma, a la existencia de fisuras internas microscópicas o a inclusiones también microscópicas (granos de escoria en el caso de los metales), pueden aparecer Grietas que conducen a la destrucción frágil del elemento, aun cuando el material tenga un comportamiento dúctil bajo cargas estáticas. Por ejemplo para el caso del eje de la fig. 11.4, si en función del momento actuante en la sección y las características del material dimensionáramos el eje en base a la tensión admisible correspondiente a las cargas estáticas, al someter la pieza a un ensayo veríamos que esta rompe al cabo de un cierto número de ciclos.

El proceso de surgimiento y desarrollo de las grietas en el material sólido, originado por las cargas cíclicas, se denomina “fatiga del material” El análisis teórico de la resistencia a la fatiga presenta grandes dificultades. La naturaleza de la destrucción por fatiga se determina por las particularidades de la estructura molecular y cristalina de la materia. Por lo tanto, el esquema de la materia

continúa que se aplicó en los temas que hasta ahora se analizaron, en este caso concreto no puede servir de base satisfactoria para la investigación. Es por esto que resulta necesario, manteniendo todas las suposiciones de la mecánica del cuerpo continuo, ir por el camino de la acumulación de datos experimentales que, permitan elaborar las reglas pertinentes para orientar los cálculos. La agrupación y sistematización de los datos experimentales constituye en la actualidad el contenido de la teoría de la resistencia a la fatiga. Tipos de tensión en la solicitación por fatiga

Donde la tensión media es: 𝜎𝑚𝑒𝑑 =

𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛 2

Y la amplitud de la tensión dinámica “a”(también conocida como tensión variable o revertida) es: 𝜎𝑎 = Coeficiente del ciclo:

𝑟=

𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚𝑎𝑥

𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 2

Resistencia a la fatiga. Curva de Wöhler Definiremos como “resistencia a la fatiga” a la máxima amplitud de la tensión dinámica que superpuesta en ambos sentidos a la tensión media puede actuar un número ilimitado de reiteraciones, sin provocar la rotura del material ni una deformación plástica superior a la admisible. Existen algunos casos particulares de resistencia a la fatiga: a) Resistencia de oscilación. Corresponde al caso de 𝜎𝑚 = 0 𝑦 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚𝑖𝑛 la designaremos 𝜎𝐴 . b) Resistencia de pulsación. En este caso una de las tensiones extremas es nula. La designaremos con 𝜎𝑈 . La determinación de la resistencia a la fatiga se efectúa experimentalmente, y resulta ser siempre inferior a la resistencia determinada en un ensayo estático. Para obtener la resistencia a la fatiga se realiza el trazado del denominado Diagrama de Wöhler. Para ello se somete una probeta del material a una carga variable de amplitud 𝜎𝑎 y tensión 𝜎𝑚 prefijadas, determinándose el número N de ciclos para el cual se produce la rotura por fatiga. El ensayo se repite para otros valores de 𝜎𝑎 Para cada caso se representa en un diagrama el valor de N que ha conducido a la rotura (en escala logarítmica) y la tensión máxima correspondiente al mismo. Se obtiene así una curva asintótica a un valor de 𝜎𝑚𝑎𝑥 que es precisamente la resistencia de fatiga.

Para N=0 el valor de la resistencia a la fatiga coincide con el valor de la resistencia estática 𝜎𝑅 Debido a que algunos materiales son capaces de resistir un número ilimitado de ciclos, se adopta una resistencia de fatiga convencional, que corresponde a la tensión para la cual el material resiste una cantidad determinada de ciclos, por ejemplo 108. Hay numerosos factores que influyen en la resistencia a la fatiga. Ya hemos visto que la influencia de los ciclos de carga es muy importante, otros factores significativos son la posibilidad de corrosión, la temperatura de trabajo, el

endurecimiento en frío, los tratamientos térmicos, la forma de las probetas que se utilizan en los ensayos, etc. Un resultado importante a tener en cuenta es el siguiente: 𝜎𝑅 ≥ 𝜎𝑈 ≥ 𝜎𝐴 6. FACTOR DE SEGURIDAD Para que un elemento de máquina tenga suficiente resistencia, el esfuerzo unitario máximo debe limitarse a algún valor menor que la resistencia a la fluencia del material o resistencia última. Para conseguir este esfuerzo se debe incluir en los cálculos un factor de seguridad, permitiendo así que el elemento soporte mayores fuerzas, las cuales pueden resultar de variaciones en el material. Fallas en los procesos de fabricación, variaciones en las cargas reales, como cuando se sobrecarga un gancho de levante, errores en los cálculos de diseño. etc. El diseñador debe estar completamente seguro de las incertidumbres que él está considerando cuando calcula el factor de seguridad o cuando basa su diseño en dicho factor. El incorrecto uso de un factor de seguridad puede resultar en un desperdicio de material o en otros casos. En fallas funcionales o físicas. Una vez se han establecido las proporciones del elemento. El esfuerzo unitario admisible puede ser trasladado a carga admisible. Generalmente el esfuerzo admisible, deberá ser relativo a la resistencia a la fluencia del material. En la mayoría de los elementos de máquinas la deformación permanente que resulta de exceder la resistencia a la fluencia puede afectar seriamente el funcionamiento del elemento. Sin embargo. Éste no siempre es el caso y si un grado de deformación permanente puede ser tolerado, un diseño basado sobre la resistencia última podrá ser hecho a menor costo. Para que un elemento de máquina tenga suficiente rigidez, la deformación admisible máxima es el factor determinante. Una vez se ha establecido la máxima deformación admisible. El correspondiente esfuerzo se puede obtener. Puesto que esfuerzo y deformación tienen una relación proporcional dentro del rango elástico. Cualquier regla del pulgar para determinar el factor de seguridad en carga estática deberá aumentarse tanto para cargas variables como para cargas de impacto. Al asignar un factor de seguridad bajo carga estática, por lo general se ignora la presencia de concentradores de tensión. Sin embargo, bajo cargas de impacto o variables, estos esfuerzos concentrados

desempeñan un papel vital en la reducción de los esfuerzos admisibles máximos. 2. DEFORMACION POR FLEXIÓN: Definicion: En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñadas para trabajar, principalmente, por tracción. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. El esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector.

Flexión pura Es la consecuencia de unos esfuerzos o momentos exteriores que nos producen en la sección cortada exclusivamente un momento de flexión. Consideramos las siguientes hipótesis de trabajo:    

La viga es originalmente recta con una sección transversal constante en la longitud de la viga. La viga posee un eje de simetría en el plano de flexión de la viga. Las proporciones de la viga son tales que falla por flexión antes que por pandeo, etc. Las secciones transversales permaneces planas después de la deformación.

Consideremos una viga deformada sobre la cual tomamos un elemento diferencial:

En la figura anterior se muestra una viga sobre la que actúa un momento flector positivo M. El eje Y es el eje de simetría de la viga. El eje X coincide con la fibra neutra de la viga, y el plano XZ que contiene los ejes neutros de todas las secciones (paralelos al eje Z) recibe el nombre de superficie neutra. Los elementos de la viga que estén sobre dicha superficie tendrán deformación nula. Al aplicar el momento M se produce una curvatura de la viga. Así, la sección AB (originalmente paralela a CD, puesto que la viga era recta) girará un ángulo dφ hasta la posición A’B’. Los trazos AB y A’B’ son rectos, de forma que se verifica la hipótesis de que las secciones planas permanecen así durante flexión. Si se denota ρ como radio de curvatura del eje neutro de la viga, ds la longitud de un elemento diferencial de dicho eje y dφ para el ángulo entre las rectas CD y A’B’, entonces se tiene que: 1 𝑑∅ = 𝜌 𝑑𝑠 El cambio de longitud de una fibra separada del eje neutro una distancia y es: 𝑑𝑥 = −𝑦 ∗ 𝑑∅ La deformación es igual a la variación de longitud dividida por la longitud inicial: 𝜀=

𝑑𝑥 𝑑𝑠

Y sustituyendo las expresiones 𝜀=−

𝑦 𝜌

Así, la deformación es proporcional a la distancia y desde el eje neutro. Ahora bien, como σ = E⋅ ε, se tiene que: 𝜎=−

𝐸∗𝑦 𝜌

La fuerza que actúa sobre un elemento de área dA es σ ⋅ dA, y puesto que dicho elemento está en equilibrio, la suma de fuerzas debe ser nula. Por consiguiente,

∫ 𝜎 ∗ 𝑑𝐴 = −

𝐸 ∫ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴 = 0 𝜌

La ecuación anterior determina la localización del eje neutro de la sección. Por otro lado, el equilibrio requiere que el momento flector interno originado por el esfuerzo σ sea igual al momento externo M. Esto es, 𝐸 𝐸 ∫ 𝑦 2 ∗ 𝑑𝐴 = ∗ 𝐼 𝜌 𝜌

𝑀 = ∫ 𝑦 ∗ 𝜎 ∗ 𝑑𝐴 =

I se define como el momento de inercia del área transversal con respecto al eje z: (Iz). De la ecuación anterior, 𝑀 1 = 𝐸∗𝐼 𝜌 Finalmente tenemos 𝜎=−

𝑀∗𝑦 𝐼

La ecuación anterior establece que la tensión es directamente proporcional a la distancia y desde el eje neutro y al momento flector M.

Si designamos por c la distancia máxima a la fibra neutra, 𝑤= 𝜎𝑚𝑎𝑥 = −

1 𝑐

𝑀∗𝑐 𝑀 = 𝐼 𝑤

Deflexión debido a flexión Se ha desarrollado la expresión que relaciona el momento flector M con la curvatura de la viga a flexión de: 𝑀 1 = 𝐸∗𝐼 𝜌 De estudios matemáticos se tiene que la curvatura de un plano curvo es: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2

1 = 𝜌

3 2 2

⌈1 + (

𝑑𝑦 ) ⌉ 𝑑𝑥

En esta expresión, la pendiente de la viga en cualquier punto x se expresa como: 𝜃=

𝑑𝑦 𝑑𝑥

En muchos problemas en flexión, donde la pendiente es muy pequeña, se puede considerar el denominador de la

1 𝜌

=

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2

3 𝑑𝑦 2 2 ⌈1+( ) ⌉ 𝑑𝑥

como la unidad. Entonces, dicha

expresión se reescribe como: 1 𝑑2𝑦 = 𝜌 𝑑𝑥 2 𝑀

1

1

Y sustituyendo la expresión 𝐸∗𝐼 = 𝜌 en la expresión 𝜌 =

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

, se obtiene:

𝑑2 𝑦 𝑀 = 2 𝑑𝑥 𝐸∗𝐼 Esta expresión se conoce como la ecuación de la elástica en flexión. Cuando se considera que el eje Y va en sentido de vertical negativo, la expresión anterior se reescribe como: 𝑑2𝑦 𝑀 = − 𝑑𝑥 2 𝐸∗𝐼

Flexión simple: cortadura y flexión Es una solicitación sobre una sección que combina un momento flector y un esfuerzo cortante contenido en dicha sección. Ejemplos de flexión simple son los siguientes:

Vigas cargadas con cargas repartidas variables:

Vigas cargadas con cargas repartidas constantes:

𝐿 𝑥 𝑥 𝑀 = 𝑞 − 𝑞 𝑥 = 𝑞 (𝐿 − 𝑥) 2 2 2 𝑇 = 𝑞(𝐿 − 𝑥) − 𝑞

𝐿 𝐿 = 𝑞 ( − 𝑥) 2 2

Se define la cara positiva aquella en la que el eje X sale de la cara. El convenio de

signos para momentos y esfuerzos cortantes. Existe una relación entre los esfuerzos cortantes y los momentos flectores. Puesto que la viga está en equilibrio se verifica: ∑ 𝐹𝑉 = 0 → −𝑇 + 𝑇 + 𝑑𝑇 + 𝑞 ∗ 𝑑𝑥 = 0 → ∑ 𝑀𝐴 = 0 → −(𝑀 + 𝑑𝑀) + 𝑞 ∗ 𝑑𝑥 ∗

𝑑𝑇 = −𝑞 𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑀 + 𝑀 + (𝑇 + 𝑑𝑇) ∗ 𝑑𝑥 = 0 → =𝑇 2 𝑑𝑥

Las conclusiones que se derivan de este desarrollo son:   

Si existe un esfuerzo cortante, se produce variación del momento flector. En los puntos donde q=0 se produce el valor máximo o mínimo del esfuerzo cortante T. En los puntos donde T=0 se produce el valor máximo o mínimo del momento flector M.

II. TEORIAS 1. Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo También conocida como teoría de Tresca o Guest. Establece que la fluencia del material se produce por el esfuerzo cortante, surgió de la observación de la estricción que se produce en una probeta cuando es sometida a un ensayo de tensión. La teoría dice: “la falla se producirá cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo cortante máximo absoluto de una probeta sometida a un ensayo de tensión en el momento que se produce la fluencia” El esfuerzo cortante máximo ocurre a 45grados El esfuerzo cortante máximo ocurre a 45grados de la superficie de tensión: Ƭ𝑚𝑎𝑥 =

𝜎 2

El esfuerzo cortante máximo en la fluencia es: Ƭ𝑚𝑎𝑥 =

𝑠𝑦 2

Para un estado de esfuerzo general:

De acuerdo a la gráfica anterior se obtienen tres esfuerzos principales de modo que: 𝜎1 ≥ 𝜎 2 ≥ 𝜎3 Ƭ12 =

( 𝜎1 − 𝜎2 ) 2

Ƭ23 =

( 𝜎2 − 𝜎3 ) 2

Ƭ13 =

( 𝜎1 − 𝜎3 ) 2

Cuando los esfuerzos se encuentran en el siguiente orden: 𝜎1 > 𝜎 2 > 𝜎3 Entonces el esfuerzo cortante máximo es: Ƭ𝑚𝑎𝑥 = Ƭ13 =

( 𝜎1 − 𝜎3 ) 2

El esfuerzo máximo produce la fluencia cuando: Ƭ𝑚𝑎𝑥 = ó

𝑠𝑦 ( 𝜎1 − 𝜎3 ) = 2 2 𝑠𝑦 = ( 𝜎1 − 𝜎3 )

Por lo tanto la resistencia a la fluencia está dada: 𝑠𝑠𝑦 = 0.5𝑠𝑦 Si incorporamos incorporamos un factor de seguridad seguridad n: Ƭ𝑚𝑎𝑥 =

𝑠𝑦 2𝑛

ó

𝑠𝑦 = ( 𝜎1 − 𝜎3 ) 𝑛 Teoría del esfuerzo cortante máximo de esfuerzo plano, donde 𝜎𝑎 𝑦 𝜎𝑏 son dos esfuerzos principales diferentes de cero.

De acuerdo a la teoría anterior se dan tres casos en los que se anula un es fuerzo ya que se está trabajando en el plano (xy). Caso 1: 𝜎 𝑎 ≥ 𝜎𝑏 ≥ 0

𝜎1 = 𝜎𝑎 𝑦 𝜎3 = 0

En este caso

Por lo tanto: 𝜎𝑎 ≥ 𝑆𝑦 Caso 2: 𝜎 𝑎 ≥ 0 ≥ 𝜎𝑏

𝜎1 = 𝜎𝑎 𝑦 𝜎3 = 𝜎𝑏

En este caso

Por lo tanto: (𝜎𝑎 − 𝜎𝑏 ) ≥ 𝑆𝑦 Caso 3: 0 ≥ 𝜎 𝑎 ≥ 𝜎𝑏

𝜎1 = 0 𝑦 𝜎3 = 𝜎𝑏

En este caso

Por lo tanto: 𝜎𝑏 ≤ 𝑆𝑦 𝑛=

𝑠𝑦 𝜏𝑚𝑎𝑥

Donde: 𝑛 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑦 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜

2. Teoría de la energía de distorsión Richard Edler Von Mises, físico que nació el 19 de abril de 1883 en el ya extinto Imperio Austro-Húngaro y que murió el 14 de julio de 1953 en Boston. Von Mises formalizó lo que hoy en día es la probabilidad tal y como la conocemos, fue profesor de la universidad de Berlín y Harvard entre otras. El criterio de falla de distorsión máxima, mejor conocido como criterio de Von Mises, refina el anterior criterio de falla llamado criterio de Tresca (Henry Tresca): Ƭ𝑚𝑎𝑥 ≥

𝜎𝑦 2

Un elemento estructural falla cuando el esfuerzo cortante máximo es mayor que la mitad del límite elástico del material Según el criterio de Von Mises, una pieza resistente falla cuando la energía de distorsión por unidad de volumen en algún punto es mayor a: 𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡

𝜎𝑦 2 ≥ 2

En términos de tensiones este criterio puede escribirse sencillamente en términos de la llamada tensión de Von Mises (proporcional a la energía de distorsión) como: 𝜎𝑉𝑀 = √

(𝜎1 − 𝜎2 )2 + (𝜎2 − 𝜎3 )2 + (𝜎3 − 𝜎1 )2 2

Siendo 𝜎1 , 𝜎2 . 𝜎3 a tensiones principales, y habiéndose obtenido la expresión a partir de la energía de distorsión en función de las tensiones principales: 𝐸𝑑𝑖𝑓,𝑑𝑖𝑠𝑡

1 (𝜎1 − 𝜎2 )2 + (𝜎2 − 𝜎3 )2 + (𝜎3 − 𝜎1 )2 = [ ] 6𝐺 2

3. TEORIA DE SINES “la resistencia a fatiga por flexion no varia por la existencia de un esfuerzo medio de torsión hasta que 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟏. 𝟓𝒔𝒔𝒚 ”

𝒏=

𝒔𝒆 𝒔𝒆 = 𝝈𝒂 𝟑𝟐𝑴 𝝅𝒅𝟑

𝟑𝟐𝒏 𝒅=[ (𝑴)] 𝝅𝒔𝒆

𝟏⁄ 𝟑

Comprobación de fluencia. Donde Se: Se=ka*kb*kc*kd*ke*S`e

S`e=0,5*Ssy

De acuerdo a la teoría de esfuerzo cortante máximo: Ssy=0,50*Sy De acuerdo a la teoría de la teoría de la energía de distorsión: Ssy=0,577*Sy El factor de seguridad estático, n, debe calcularse por n=Ssy/max , Ssy dependerá del criterio a utilizar E.C.M o V.M. 4. Método de Soderberg La figura (a) presenta un elemento de esfuerzo en la superficie de un eje macizo de sección circular, el cual gira a una velocidad  rad/seg. Ahora se supondrá que un plano PQ pasa por la esquina inferior derecha del elemento. Entonces bajo el plano PQ se tendrá un elemento en cuña, figura (b).

(a) Elemento de esfuerzo de espesor unitario, tomado en un eje de transmisión en el que en el que hay un esfuerzo cortante continuo xy y un esfuerzo alternante debido a la rotación x. (b) Elemento cortado a un ángulo. El ángulo  es el que forma el plano con uno horizontal. El objeto es encontrar el plano en que el que ocurrirá la falla, para eso se considerarán todos los valores de. Como la flexión y la torsión intervienen en el problema, es necesario decidir que teoría utilizar. De acuerdo a la teoría de esfuerzo cortante máximo: Ssy=0,50*Sy

Para falla por fatiga: Sse=0,50*Se De acuerdo a la teoría de la teoría de la energía de distorsión: Ssy=0,577*Sy Para falla por fatiga: Sse=0,577*Se Se=ka*kb*kc*kd*ke*S`e

S`e=0,5*Ssy

PROCEDIMIENTO PROPUESTO POR LA ASME. Para el caso de árboles que cumplan las condiciones dadas para el método anterior y, además, que la sección de análisis sea circular sólida y esté sometida sólo a un par de torsión y a un momento flector constantes, se puede utilizar la norma para el diseño de árboles de transmisión ANSI/ASME B106.1M-1985 (ASME: American Society of Mechanical Engineers; ANSI: American National Standards Institute). Esta norma está basada en datos experimentales, por lo que constituye un método de cálculo adecuado. Aunque este método tiene algunas restricciones más, muchos árboles las cumplen. La norma establece que el diámetro, d, en la sección de análisis puede calcularse con: 2

2

32𝑁 𝑀 3 𝑇 𝑑={ [(𝑘𝑓 ) + ( ) ] 𝜋 𝑠𝑛 4 𝑆𝑦

1⁄ 2

1⁄ 3

}

De la cual podemos despejar el factor de seguridad: 2

𝜋𝑑 3 𝑀 2 3 𝑇 𝑁= [(𝑘𝑓 ) + ( ) ] 32 𝑆𝑛 4 𝑆𝑦

−1⁄ 2

Donde M y T son los pares de flexión y torsión, respectivamente, los cuales son constantes en la sección de análisis, y Kf y Sn se calculan para la carga de flexión (Kf y Sn afectan al momento flector, que es el que produce los esfuerzos variables). Las condiciones de las dos últimas ecuaciones anteriores son:  Par de torsión constante: T = Tm y Ta = 0, con lo que Sms = Tc/J y Sas = 0.  Flexión giratoria con momento constante: M = Mm y Ma = 0, pero.  Sm = 0 y Sa = Mc/I. Ver la siguiente figura.

 Material dúctil.  Sección transversal circular sólida.

 No existe fuerza axial ni otro tipo de carga diferente de torsión y flexión. A continuación se hace la deducción de la ecuación de la ASME. La figura 7.16 muestra los resultados típicos que se obtienen al someter probetas dúctiles a flexión giratoria y torsión estática combinadas (los primeros ensayos de este tipo fueron hechos en la década de 1930). Los puntos de ensayo siguen una relación elíptica En un diagrama esfuerzo medio cortante, Sms, contra esfuerzo alternativo normal, Sa.

Tendencia típica de los datos de ensayo ala fatiga de probetas dúctiles sometidas a una combinación de flexión giratoria y torsión estática. El estándar de la ASME está basado en la línea de falla mostrada en la figura anterior, la cual tiene por ecuación: 2

𝑆𝑎 2 𝑆𝑚𝑠 ( ′) + ( ) =1 𝑆𝑒 𝑆𝑦𝑠

Si introducimos el factor de seguridad y los factores que modifican la resistencia a la fatiga, se obtiene:

2

𝑁𝐾𝑓 𝑆𝑎 2 𝑁𝑆𝑚𝑠 ( ) +( ) =1 𝑆𝑛 𝑆𝑦𝑠

Los esfuerzos Sa y Sms para una sección circular sólida están dados por: 𝑆𝑚𝑠 = 𝑆𝑎 =

𝑇𝐶 16𝑇 = 𝐽 𝜋𝑑 3

𝑀𝑐 32𝑀 = 𝐼 𝜋𝑑 3

Recuérdese que a pesar de que el momento flector es constante, el giro del árbol produce un esfuerzo repetido invertido, y la componente alterna del esfuerzo se calcula con dicho par flector. Al reemplazar las tres últimas ecuaciones se obtiene: 2

32𝑀𝑁𝐾𝑓 2 16𝑇𝑁 ( ) +( 3 ) =1 3 𝜋𝑑 𝑆𝑛 𝜋𝑑 𝑆𝑦𝑠

Factorizando algunos términos y utilizando la relación de la TECO/Von Mises S ys = 0.577Sy = Sy/√3, se tiene: 2

32𝑁 2 𝑀𝐾𝑓 2 𝑇 ( 3 ) [( ) + 3( ) ]=1 𝜋𝑑 𝑆𝑛 2𝑆𝑦 PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DE EJES PARA EL DISEÑO DE EJES Con este procedimiento se quiere dar a conocer una forma rápida y sencilla para el cálculo en el diseño de ejes. El cálculo de ejes implica siempre el uso del enfoque de esfuerzos combinados y se sugiere el método de la Teoría de la Falla por Distorsión de la energía (Teoría de Von Mises). 1. Determinar la velocidad de giro (RPM) del eje. Si se conocen las características del motor que impulsara al eje y las dimensiones de los elementos (Engranajes o poleas) que van a transmitir el movimiento, hacemos uso de la ecuación siguiente: 𝑁1 ∗ 𝐷1 = 𝑁2 ∗ 𝐷2

Donde: 𝑁1 𝑦 𝑁2 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑟(𝑅𝑃𝑀) 𝐷1 𝑦 𝐷2 = 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑎𝑠 𝑜 𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑎𝑗𝑒𝑠 2. Calcular la potencia o el torque que va a transmitir el eje: Potencia del motor que hace girar al eje y el par torsor ( T ) producido: 𝑃(ℎ𝑝) =

𝐹∗𝑟∗𝑛 63000

𝑃(ℎ𝑝) =

𝑃(𝑘𝑤) =

𝑇∗𝑛 63000

𝐹∗𝑟∗𝑛 974

𝑇∗𝑛 974 De las ecuaciones, se despeja el Torque (T) y este será el torque que proporcionará el motor. Por otro lado la Potencia del motor será la potencia total que consume el eje y sus componentes. 𝑃(𝑘𝑤) =

Donde: 𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟(𝑒𝑛 ℎ𝑝: 𝐿𝑏𝑓 𝑒𝑛 𝑘𝑤: 𝐾𝑔𝑓) 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒(𝑒𝑛 ℎ𝑝: 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑘𝑤: 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠(𝑅𝑃𝑀) 𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 3. Determinar el diseño de los componentes transmisores de potencia u otros dispositivos que se pretendan instalar en el eje, especifique la ubicación de cada uno ellos y precise la ubicación de los rodamientos

Es importante siempre usar dos rodamientos y deben colocarse, de ser posible, en cualquier extremo de los elementos que transmiten potencia para proporcionar soporte estable, generar cargas balanceadas en los rodamientos y minimizar los momentos de flexión. Por otro lado la longitud del eje debe ser la menor posible para evitar deformaciones extremas. 4. Es importante especificar de que manera se mantendrán los elementos transmisores de potencia y los rodamientos en su posición axialmente y como se llevará a cabo esta transmisión.

En la figura 4, la polea recibe la potencia de un motor eléctrico, esta lo transmite al eje y este a su vez la pasa al engranaje cilíndrico, el cual la transmitirá a otro engranaje. Para soportar estos componentes axialmente

se puede recurrir al método de maquinar el eje haciéndoles hombros de apoyo para cada uno de los elementos y ranuras para instalar anillos de retención. Así se forma la geometría general del eje. 5. Calcular la magnitud del torque que se ejercen en cada uno de los elementos transmisores de potencia. Elabore la gráfica de torque. 6. Calcular las fuerzas radiales y axiales actuando sobre el eje. 7. Calcular las reacciones en los rodamientos para cada uno de los planos. 8. Elaborar las gráficas de esfuerzo cortante y momento flector en los planos X-Y y X-Z. 9. Calcular las fuerzas de diseño adecuada, considerando la manera como se aplican las cargas (Suave, de choque, inversa, etc.) 10. Seleccione el material del eje para obtener valores de Esfuerzo de fluencia (Sy) y Esfuerzo Máximo (Su). 11. Analice cada uno de los puntos críticos para determinar el diámetro mínimo requerido del eje. Los puntos críticos son aquellos donde existen cambios de diámetro y discontinuidades del material como ranuras y 2 chaveteros (cuñeros), dado que en esos puntos existe un coeficiente de concentración de esfuerzos. También son críticos los puntos donde se generen torques y momentos flectores altos. 12. Especifique las dimensiones finales del eje para cada punto, teniendo en cuenta la selección de los rodamientos. Fases en el diseño de ejes de transmisión Definir las especificaciones de velocidad de giro y potencia de transmisión necesaria. 1. Seleccionar su configuración, es decir, elegir los elementos que irán montados sobre el eje para la transmisión de potencia deseada y elección del sistema de fijación de cada uno de estos elementos al eje. 2. El diseño constructivo consiste en la determinación de las longitudes y diámetros de los diferentes tramos o escalones, así como en la selección de los métodos de fijación de las piezas que se van a montar sobre el árbol. En esta etapa se deben tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos:  Fácil montaje, desmontaje y mantenimiento.  Los ejes tienen que ser compactos para reducir material tanto en longitud como en diámetro.  Permitir fácil aseguramiento de las piezas sobre el árbol o eje para evitar movimientos indeseables.  Las medidas deben ser preferiblemente normalizadas.  Evitar discontinuidades y cambios bruscos de sección.



Generalmente los árboles se construyen escalonados para el mejor posicionamiento de las piezas.  Con el fin de reducir problemas de alineamiento, los ejes se soportan sólo en dos apoyos.  Ubicar las piezas cerca de los apoyos para reducir momentos flectores. 3. Proponer la forma general para la geometría del eje a la hora del montaje de los elementos elegidos. 4. Determinar los esfuerzos sobre los distintos elementos que van montados sobre el eje. Los elementos de transmisión de potencia como las ruedas dentadas, poleas y estrellas transmiten a los árboles fuerzas radiales, axiales y tangenciales. Debido a estos tipos de carga, en el árbol se producen generalmente distintos tipos esfuerzos:  Por flexión  Torsión  Carga axial 5. Cortante Calcular las reacciones sobre los soportes. 6. Calcular las solicitaciones en cualquier sección. Siendo solicitaciones las reacciones internas que se producen en una sección de un sólido como consecuencia de las fuerzas externas aplicadas sobre el mismo. 7. Seleccionar el material del eje y de su acabado. El más utilizado es el acero y se recomienda seleccionar un acero de bajo o medio carbono, de bajo costo. Si las condiciones de resistencia son más exigentes que las de rigidez, podría optarse por aceros de mayor resistencia. 8. Seleccionar el coeficiente de seguridad adecuado, en función de la manera en que se aplica la carga 9. Localizar y analizar los puntos críticos en función de la geometría y de las solicitaciones calculadas. 10. Verificar su resistencia:– Estática –a la fatiga- a las cargas dinámicas. 11. Verificar la rigidez del árbol:– Deflexión por flexión y pendiente de la elástica – Deformación por torsión Los árboles deben tener suficiente rigidez, con el objetivo de evitar que las deformaciones excesivas perjudiquen el buen funcionamiento de las piezas que van montadas sobre éstos.Por otro lado, los cojinetes (de contacto rodante o deslizante) se pueden ver afectados si las pendientes del árbol en los sitios de los cojinetes son muy grandes. Como los aceros tienen esencialmente igual módulo de elasticidad, la rigidez de los árboles debe controlarse mediante decisiones geométricas. 12. Comprobar las deformaciones 13. Comprobar la velocidad critica 14. Determinar las dimensiones definitivas que se ajusten a las dimensiones comerciales de los elementos montados sobre el eje. Además de estas

fases, algunas recomendaciones que hay que tener en cuenta durante el diseño de ejes son:  Se intentarán evitar las concentraciones de tensiones mediante radios de acuerdo generosos en los cambios de sección.  Los ejes tienen que ser tan cortos como sea posible para evitar solicitaciones de flexión elevadas. Con la misma finalidad, los cojinetes y rodamientos de soporte se colocarán lo más cerca posible de las cargas elevadas.  Con el fin de evitar problemas de vibraciones, los árboles de giro rápido exigen un buen equilibrado dinámico, buena fijación de los soportes y una rígida configuración.  Los árboles huecos permiten mejorar el comportamiento frente a vibraciones, aunque son más caros de fabricar y de mayor diámetro.  La rigidez suele ser el factor más crítico en el diseño de los árboles y para evitarla se utilizarán aceros.

III.

APLICACIONES PARA DISEÑO

IV.

RESUMEN

Diseño para cargas estáticas Cuando las cargas son estáticas la determinación de las dimensiones de un eje es un problema mucho más simple que cuando las cargas son dinámicas. Los esfuerzos en la superficie de un eje redondo macizo de diámetro “d”, que se somete a cargas de flexión, axiales y de torsión son: Esfuerzo de flexión: Las componentes de 𝜎𝑥 puedes ser + o – según el punto escogido para el análisis: 𝜎𝑥 =

32𝑀 4𝐹 + 𝜋𝑑 3 𝜋𝑑2

(1)

Esfuerzo de torsión: 𝜏𝑥𝑦 =

16𝑇 𝜋𝑑3

(2)

Utilizando el círculo de Mohr puede demostrarse que los dos esfuerzos principales no nulos son: 1/2 𝜎𝑥 𝜎𝑥 2 2 𝜎𝐴 , 𝜎𝐵 = ± [( ) + 𝜏 𝑥𝑦 ] 2 2

(3)

Estos esfuerzos pueden combinarse para obtener el esfuerzo cortante máximo 𝜏𝑚𝑎𝑥 y el esfuerzo de Von Mises 𝜎 ′ , obteniendo: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

1/2 𝜎𝐴 − 𝜎𝐵 𝜎𝑥 2 = [( ) + 𝜏 2 𝑥𝑦 ] 2 2

(4)

1/2

𝜎 ′ = (𝜎 2𝐴 − 𝜎𝐴 𝜎𝐵 + 𝜎 2 𝐵 )1/2 = (𝜎 2 𝑥 + 3𝜏 2 𝑥𝑦 )

(5)

Remplazando (1) y (2) en (3) y (5): 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎′ =

2 [(8𝑀 + 𝐹𝑑)2 + (8𝑇)2 ]1/2 𝜋𝑑3

4 [(8𝑀 + 𝐹𝑑)2 + 48𝑇 2 ]1/2 𝜋𝑑 3

(6) (7)

Con (6) y (7) se puede hallar 𝜏𝑚𝑎𝑥 o 𝜎 ′ cuando se da el “d” o determinar “d” cuando se conoce el valor permisible de 𝜏𝑚𝑎𝑥 o 𝜎 ′ . Si el análisis o diseño se hace con base la teoría del esfuerzo cortante máximo, entonces: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

𝑆𝑠𝑦 𝑛

=

se conoce 𝑛.

𝑆𝑦 𝑛

; Con (6) y (7) se puede determinar 𝑛 si se conoce “d” o hallar “d” si

Si el diseño se hace por la teoría de la energía de distorsión, el esfuerzo Von Mises admisible: 𝜎 ′ 𝑎𝑑𝑚 = 𝑆𝑦 /𝑛 En muchos casos la componente axial es nula o tan pequeña que se puede ser despreciada. Teoría del esfuerzo cortante máximo (T.E.C.M.) 1/3

32𝑛 2 (𝑀 + 𝑇 2 )1/2 ] 𝑑=[ 𝜋𝑆𝑦

(8), si se establece 𝑛

1 32 (𝑀2 + 𝑇 2 )1/2 = 𝑛 𝜋𝑑3 𝑆𝑦

(9), si se conoce d

Teoría de la energía de distorsión (T.E.D.D.) 1/3

16𝑛 (4𝑀2 + 3𝑇 2 )1/2 ] 𝑑=[ 𝜋𝑆𝑦

1 16 (4𝑀2 + 3𝑇 2 )1/2 = 𝑛 𝜋𝑑 3 𝑆𝑦

(10), si se asume 𝑛

(11), si se conoce d

DISEÑO POR FATIGA En cualquier eje rotatorio cargado con momentos estacionarios de flexion y torsión actuaran esfuerzos por flexion completamente invertidos, permaneciendo estable el esfuerzo torsional. Esos esfuerzos se expresan: Esfuerzo alternante: 𝜎𝑥𝑎 =

32𝑀𝑎 𝜋𝑑3

(12)

y esfuerzo medio o esfuerzo estable: 𝜏𝑥𝑦𝑚 =

16𝑇𝑚 𝜋𝑑3

(13)

Si se considera 𝑆𝑒 como el límite de resistencia a la fatiga completamente corregido y 𝑛 es el factor de seguridad: 𝑆𝑒 32𝑀𝑎 = 𝜎𝑥𝑎 = 𝑛 𝜋𝑑3

(14)

Si utilizamos el criterio de George Sines que establece que 𝜏𝑚 no afecta el límite de fatiga a la flexión: 32𝑀𝑎 𝑛 1/2 𝑑=( ) 𝜋𝑆𝑒

(15)

Estos dos componentes de esfuerzo se pueden manipular utilizando el circulo de Mohr para cada una de ellas y aplicando la teoría del esfuerzo cortante o la teoría de la energía de la distorsión con el fin de obtener valores equivalentes de 𝜎𝑎 y 𝜏𝑚 . con estos valores puede seleccionarse una de las relaciones de falla que se muestra en el diagrama de fatiga(Teorías de falla bien conocidas: Línea Soderberg, línea Goodman. Curva Gerber, Curva Elíptica del código ASME, Curva de Bagci). Con la teoría del esfuerzo cortante máximo (T.E.C.M.) se pronostica el daño y con la teoría de la energía de la distorsion (T.R.D.D.) se predice la resistencia. Si se utiliza la T.E.C.M, las componentes a usar en el diagrama son: 𝜎𝑎 = 2𝜏𝑎

𝑦

𝜎𝑚 = 2𝜏𝑚

(16)

Si se emplea la T.E.D.D, los valores son: 𝜎𝑎 = 𝜎𝑥𝑎

𝑦

𝜎𝑚 = √32𝜏𝑥𝑦𝑚

(17)

En ejes de transmisión es común que se encuentran sometido a una combinación de torsión constante y flexión alternante, se utilizan las siguientes expresiones: 𝜋𝑑3

𝑛=

(18)

𝑇 2 𝑀 2 √( ) + ( ) 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑒

16

Si se requiere diseñar “d”: 1/2 1/3

2

16𝑛 𝑇 𝑀 2 𝑑={ [( ) + ( ) ] 𝜋 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑒

}

(19)

Para la T.E.C.M. donde 𝑆𝑠𝑦 = 0.5𝑆𝑦 y 𝑆𝑠𝑒 = 0.5𝑆𝑒 1/2 1/3

2

32𝑛 𝑇 𝑀 2 𝑑={ [( ) + ( ) ] 𝜋 𝑆𝑦 𝑆𝑒

}

(20)

Si se emplea la T.E.D.D. 𝑆𝑠𝑦 = 0.577𝑆𝑦 y 𝑆𝑠𝑒 = 0.577𝑆𝑒 2

𝑑={

2

1/2 1/3

48𝑛 𝑇 𝑀 [( ) + ( ) ] 𝜋 𝑆𝑦 𝑆𝑒

}

(21)

Para el caso general en que los esfuerzos por flexión y por torsión contienen una componente constante y una variable se aplica la T.E.C.M: 2

𝑑={

1/3 2 1/2

32𝑛 𝑇𝑎 𝑇𝑚 𝑀𝑛 𝑀𝑚 [( + ) + ( + ) ] 𝜋 𝑆𝑒 𝑆𝑦 𝑆𝑒 𝑆𝑦

}

(22)

FORMULAS BASICAS DE LAS TEORIAS DE RESISTENCIA A LA FATIGA TEORIA

FORMULA BASICA

Soderberg Goodman

𝑛𝜎𝑎 𝑆𝑒 𝑛𝜎𝑎 𝑆𝑒 𝑛𝜎𝑎

Gerber

𝑆𝑒

Elíptica ASME

𝑆𝑦 𝑛𝜎𝑚 𝑆𝑢𝑡

=1

(a)

=1

(b)

2

𝑛𝜎

+ ( 𝑆 𝑚) = 1

𝑛𝜎

2

𝑛𝜎𝑚

( 𝑆 𝑎) + ( 𝑒

𝑛 𝑆𝑦

+(

𝑛𝜎𝑚

𝑆𝑦

(c)

2

) =1

(d)

4

) =1

(e)

(𝜎𝑎 + 𝜎𝑚 ) = 1

(f)

𝑆𝑒

Fluencia (Langer)

+

𝑛𝜎𝑚

𝑢𝑡

𝑛𝜎𝑎

Bagci

+

𝑆𝑦

(a)

considera la posibilidad de falla por fluencia, por tanto la Ec. (f) no requiere ser usada.

(b)

No considera fluencia plástica, por lo tanto si se emplea este enfoque se usa (b) y (f).

(c)

Cuando ha de realizarse análisis de confiabilidad, se usa (e) y (f).

(d)

Se aplica sola. Pero se acostumbra comprobar la posibilidad de fluencia en la Ec. (f).

(e)

Se aplica sola.