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Pensamiento Matemático Actividades Unidad 2 Evidencia de aprendizaje: Métodos de demostración

I.

Para cada una de las siguientes proposiciones, indique qué técnica utilizarás para hacer demostraciones al comenzar la demostración y explica por qué. a) Si p y q son enteros impares, entonces la ecuación x2 + 2px +2q=0 no tiene como solución para x un número racional. b) Si f y g son funciones convexas, entonces f + g es una función convexa. c) Si a, b, c son números reales, entonces el máximo valor de ab + bc + ca sujeto a la condición de que a2 + b2 + c2 = 1, es ≤1. d) En un plano existe una y solo una recta perpendicular a una recta l dada que pasa por un punto p en l e) Si f y g son funciones continuas en el punto x, entonces la función f + g es continua también.

II.

Realiza las siguientes demostraciones

f) Demuestra que la suma de los n primeros enteros positivos es igual a n(n+1)/2: 1 + 2 + 3 + … + n =n(n+1)/2 Probaremos que    :  +  +  +  +    + 

Sea  :  +  +  +  +    + ; debemos probar que  satisface las propiedades  y  del teorema 2. (1)

(1) : 1 = 1(1 + 1) , lo cual es verdadero.

(2) Sea    , debemos probar que  →  +  es verdadero. Nótese que si

Título Subtítulo  es falsa la implicación es verdadera, de modo que hay que hacer la demostración suponiendo que  es verdadera. (Esto es lo que se llama hipótesis inductiva). Supongamos entonces que  es verdadera, es decir, que 1 +2 +3 + ... +  =  es verdadera. Como  : 1 +2 +3 + ... +      + 1   ,  debe poder formarse de  sumando  a ambos miembros de la igualdad (de la hipótesis inductiva) : 1 +2 + 3 +  + +            2 

 Hemos confirmado nuestras sospechas, lo que, en lenguaje formal, significa que hemos deducido que  es verdadera, suponiendo que  lo es. Así, hemos probado que    :  →  es verdadera. Luego,     1 +2 + 3 +  +  

1  es una fórmula correcta.

g) Prueba que √3 es un número real irracional Para probar que √3 es un número irracional se usara la contradicción Suponiendo que √3 es racional Entonces √𝟑 =

𝒂 𝒃

con la definición de los números racionales que dice que todo

número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo. 𝑎 𝒆𝒔 𝒊𝒓𝒓𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒃𝒍𝒆 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖 𝑏 3=

𝑎2 𝑏2

→ 3𝑏2 = 𝑎2 por lo tanto 𝑎2 es múltiplo de 3 ya que es múltiplo de 3𝑏2

𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑘 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝒂 = 𝟑𝒌 Sustituyendo en la primer fórmula. 3𝑏2 = (3𝑘)2 → 3𝑏2 = 9𝑘 2 → 𝑏2 = 3𝑘 2 → 𝒃 = 𝟑𝒌

UNADM | DCEIT | MAT | 00000

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Título Subtítulo Como a y b son múltiplos del mismo número entonces no es irreducible, entonces √3es racional, entonces demuestra que es falsa. h) Demuestra que x+(1/x)≥2 para todo número real positivo x

UNADM | DCEIT | MAT | 00000

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