Fundamentos De Planificación

CT-7611

PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS DE POTENCIA

CT-7611 QUE ES PLANIFICAR ? “Predecir a mínimo costo, requerimientos futuros del sistema ante las exigencias que se estiman colocarle al mismo, de tal manera que:”. c) Se mantengan estándares adecuados para el intercambio energético en la red. d) Se garantice la seguridad e integridad del sistema y del personal. e) El costo de producción sea mínimo (Generación). f) Se puedan efectuar extensiones (refuerzos, economía de escala) al sistema sin poner en riesgo sus estándares.

CT-7611 QUE ES PLANIFICAR ? REFORZAR EL SISTEMA ELÉCTRICO, IDENTIFICANDO

•DONDE •CUANDO •QUE Y •COMO

Reforzar el sistema.

CT-7611 SISTEMA DE POTENCIA A PLANIFICAR PLANIFICACIÓN INTEGRAL

G

ΔT

T

ΔT

D

D

MW

ΔT

PLANIFICACIÓN POR BLOQUES, JUSTIFICADO SOBREMANERA POR DIFERENCIAS EN TIEMPO DE CONTRUCCIÓN Y COSTOS

CT-7611 PLANIFICACIÓN POR BLOQUE A. GENERACIÓN-DEMANDA : FORMA CONVENCIONAL DE PLANIFICAR GENERACIÓN.

CONFIABILIDAD G

D MÍNIMOS COSTOS DE OPERACIÓN

MW

CT-7611 PLANIFICACIÓN POR BLOQUE B. GENERACIÓN-TRANSMISIÓN-DEMANDA

CONFIABILIDAD G

MW T

COSTOS

DEMANDA AGREGADA

CT-7611 B. GENERACIÓN-TRANSMISIÓN-DEMANDA G

G

S/E

S/E

G S/E

S/E

S/E

CT-7611 C. TRANSMISIÓN-DISTRIBUCIÓN-DEMANDA CONFIABILIDAD T

S/E

S/E

S/E

SEGURIDAD COSTOS

D

CT-7611 Definición de las alternativas a largo plazo en la evolución año tras año. 20 año horizonte ? 10 Largo plazo 5 4

1

rto Co

2

pl az o

3

Mediano plazo

Estudios técnicos, económicos, financieros y ambientales

Costo final a un año horizonte, relativamente alto.

CT-7611 Definición de las alternativas en el año horizonte

20 año horizonte ? 10 Largo plazo 5

Mediano plazo

4

1

Costo final a un año horizonte,

rto Co

2

pl az o

3

Estudios técnicos, económicos, financieros y ambientales

Definición de los planes intermedios

moderada y relativamente bajo. Flujo de carga, cortocircuito, estabilidad, ajuste nivel de V, estructuras.. ……….

CT-7611 TÉCNICAS COMUNES PARA ELTRATAMIENTO DEL PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS DE POTENCIA ELÉCTRICA Pérdida de carga esperada ( Generación) Energía no servida (Generación) Programación Lineal Programación Mixta Programación Dinámica Programación Cuadrática Programación no-lineal Métodos heurísticos (métodos de búsqueda) Métodos Meta-heurísticos

CT-7611 PROPIEDADES BÁSICAS DE ALGUNOS MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN MËTODO

Modelación del comportamiento del sistema Mediante ecuaciones y/o inecuaciones

Características de las restricciones Deben ser lineales

Características de la función objetivo

Restricción en las variables .

Debe ser lineal

Mediante ecuaciones y/o inecuaciones

Deben ser lineales

Debe ser lineal

Proceso físico debe ser Markoviano. Sistema representado en etapas, estados y estrategias, descrito por cualquier conjunto de ecuaciones Mediante ecuaciones y/o disponibles. inecuaciones

Ninguna

Puede utilizarse cualquier formulación para definir costos en los estados del sistema

Deben ser continuas y nonegativas Deben ser nonegativas Continuas y/o enteras Ninguna

Deben ser lineales

Programación no-lineal. Métodos del gradiente.

Mediante ecuaciones y/o inecuaciones incluidas como términos de penalización en la función objetivo.

Métodos Heurísticos y

Logística del proceso puede utilizarse para

En la mayoría de los métodos deben ser diferenciables en el rango Ninguna considerado

Debe ser función convexa para minimización o cóncava para maximización En la mayoría de los métodos debe ser diferenciable en el rango considerado

LP: Programación Lineal PM: Programación entera Programación dinámica

Programación cuadrática

Deben ser nonegativas Dependiendo del punto de arranque puede encontrar solo valores extremos locales.

CT-7611 UBICACIÓN DE LA PLANIFICACIÓN EN ELTIEMPO Tiempo

Segundos

Acción o proceso

Control automático de generación. Protecciones

Minutos

Horas

Flujo de carga óptimo. Despacho económico Asignación de unidades. Despacho Hidrotérmico

Días y/o semanas

Despacho Hidrotérmico ( Unit Commitment). Coordinación de intercambio energético entre áreas.

Meses

Programación de mantenimiento. Coordinación de intercambio. Políticas gerenciales sobre combustibles y embalses basados en cargas futuras, agua disponible y Programación del mantenimiento. costodel desistema combustible. Planificación a largo plazo.

Años

Función Minimizar errores en las áreas o lazos de control sujetos a restricciones dinámicas de las máquinas y del sistema. Resguardar el sistema de los efectos de las fallas. Minimizar costos instantáneos de operación y otros índices, polución por ejemplo Minimizar costos esperados en la operación y otros índices, bote de carga por ejemplo. Estimar cuales plantas deben estar en línea y su nivel promedio de operación para cada intervalo de tiempo. Minimizar costos de operación con restricciones mínimas de seguridad y confiabilidad. Minimizar futuras posibles inversiones y los costos operativos asociados a niveles

CT-7611 UBICACIÓN DE LA PLANIFICACIÓN EN ELTIEMPO

Un ejemplo de programación lineal. Método Simplex

CT-7611 Programación Lineal Suponga que usted tiene una fábrica de vasos y sólo tiene dos moldes. Con el molde 1 puede producir 1 caja de vasos1 en 6 horas. Con el molde 2 puede producir 1 caja de vasos2 en 5 horas. Usted tiene un almacén donde coloca su producción semanal. La caja de vasos1 requiere 10 pie3 de almacenamiento. La caja de vasos2 requiere 20 pie3 de almacenamiento. Usted dispone de 60 horas por semana para la producción. El depósito para su producción tiene una capacidad de 150 pie3. Precio de venta de caja de vasos1 = 500 U., y la de vasos2 = 450 U. El mercado no le permite colocar mas de 8 cajas de vasos1 por semana. ¿COMO PUEDE USTED ORDENAR LA PRODUCCION PARA QUE EL

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal Variables de decisión : X1= # de cajas de vasos1 producidas por semana. X2= # de cajas de vasos2 producidas por semana. Objetivo: Maximizar la venta de cajas de vasos = Maximizar sus ingresos Función Objetivo:

Maximizar : 500X1 + 450X2

Restricciones: # horas de producción/semana ≤ 60 Capacidad del almacén: ≤ 150 Demanda de X1 ≤ 8

6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 150 X1 ≤ 8

Variables de decisión deben ser no-negativas: X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal RESÚMEN DEL MODELO

Maximizar Z = 500X1 + 450X2 Note que las variables X1 y X2 en la función Z, están acompañadas de sus

6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 150

respectivos coeficientes de costo.

X1 ≤ 8

En las restricciones, estas variables

X1 ≥ 0

están acompañadas de coeficientes técnicos. Cada restricción está acotada por las denominadas constantes de limitación de recursos o (RHS)

X1 ≥ 0

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal

X2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

6X1 + 5X2 = 60 X1 = 8

12 10

Vértices

Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 60

8● o

10X1 + 20X2 ≤ 150

6

X1 ≤ 8

4

X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

10X1 + 20X2 = 150

o ● o ●

2

Zona factible

o

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal Solución óptima REPRESENTACIÓN GRÁFICA X2

Maximizar Z = 500X1 + 450X2

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

12

6X1 + 5X2 ≤ 60

10

10X1 + 20X2 ≤ 150

8

X1 ≥ 0

●o 6

X2 ≥ 0

4

X1 ≤ 8

X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

o ● ●o

2 Nótese que la solución óptima ocurre en

●o

X1=8, x2=0, Z = 4000

Zona factible

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

uno de los vértices de la región factible; esta es una propiedad de la programación lineal.

Función Objetivo

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal X2

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

12 METODO SIMPLEX El método Simplex, utilizado para resolver problemas de programación lineal, explota la propiedad de que la solución se encuentra en un vértice. El método inicia la búsqueda de la solución en un vértice y se desplaza de vértice a

X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

10 8o ● 6

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

●

4

o ●

2 ●o

X1=8, x2=0, Z = 4000

Zona factible

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

vértice, mejorando en cada movimiento, el valor de la función objetivo, hasta alcanzar el mejor valor ( el óptimo).

Función Objetivo

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal X2

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

12 X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

10 METODO SIMPLEX En este particular problema, el punto óptimo se encuentra en el vértice donde se interceptan las rectas:

6X1+ 5X2 = 60 (Capacidad de producción)

8● o

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

6 ●o

4 2 ●o

X1=8, x2=0, Z = 4000

o ●

Zona factible

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

y 10X1+ 20X2 = 150 (Capacidad de almacén)

Función Objetivo

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal METODO SIMPLEX Se dice en ese caso que las restricciones 6X1+ 5X2 = 60 (Capacidad de producción) 10X1+ 20X2 = 150 (Capacidad de almacén) están activas. En cambio la restricción X1 ≤ 8 no lo está, de hecho, en el punto óptimo, X1 vale 6.43. Por tanto la ecuación X1 ≤ 8 tiene una holgura de 1.57= ( 8 - 6.43), es decir si se redujera la producción de X2, se pudiera

X2

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

12 X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

10 8●o 6

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

o ●

4 2

X1=8, x2=0, Z = 4000

o ●

Zona factible

o ●

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

entonces incrementar la producción de X1 hasta 1.57 unidades, pero por supuesto eso alteraría el óptimo.

Función Objetivo

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal X2

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

12 X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

10 METODO SIMPLEX

8● o

Para cada inecuación no activa existirá

6

una holgura en la solución, cuyo valor se

4

le asigna a una variable denominada

2

variable de holgura.

●o

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

o ●

X1=8, x2=0, Z = 4000

o ●

Zona factible

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

Función Objetivo

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal VALORES MARGINALES, VARIABLES DUALES O PRECIOS DE SOMBRA.

X2

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

12 X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

10

Estas son valores asociados a cada

8● o

ecuación activa del problema, en el

6

punto de solución óptima.

4

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

o ●

2 Representan el cambio que experimentaría la función objetivo debido a incrementos unitarios en los valores de las constantes de limitación de recursos (RHS), asociados a las restricciones activas.

●o

X1=8, x2=0, Z = 4000

o ●

Zona factible

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

Función Objetivo

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal

Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 150 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

En el ejemplo que se sigue, suponga que el número de horas de trabajo semanal se incrementa de 60 a 61,¿Cuál es el cambio en la función objetivo?

X2

6X1 + 5X2 = 60 X1 = 8

12 10

Vértices

8● o

10X1 + 20X2 = 150

6

o ●

4

o ●

2

Zona factible

o ●

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

CT-7611

Formulación como problema de Programación Lineal Con este nuevo elemento, el problema quedaría formulado de la siguiente manera:

Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 61 10X1 + 20X2 ≤ 150 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

CT-7611 Formulación como problema de Programación Lineal Su solución está en el siguiente vértice: X1 = 6.71; X2 = 4.14 y el valor de la función objetivo es: Z = 5221 Luego el valor marginal o la variable dual de la restricción 6X1 + 5X2 ≤ 60 es :

5221 – 5142 = 79

Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 61 10X1 + 20X2 ≤ 150

Esto indica que si se decidiese aumentar el

X1 ≤ 8

tiempo de producción en una hora

X1 ≥ 0

semanal, el ingreso se incrementaría en

X2 ≥ 0

79 unidades monetarias. Dicho de otra manera, no es rentable invertir mas de 79 unidades monetarias para incrementar el tiempo de producción en una hora.

CT-7611 Formulación como problema de Programación Lineal Si el incremento fuera en la capacidad de almacenamiento:

Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 151 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 El valor marginal de la respectiva variable dual resulta en 2.86; lo cual indica que la adición de un pié cúbico más al almacén produciría un ingreso adicional de 2.86 unidades de costo o, si usted va a rentar más espacio por que desea incrementar su producción, no debe pagar por el alquiler más de 2.86 unidades de costo por pié cúbico, de lo contrario estaría perdiendo.

CT-7611 Formulación como problema de Programación Lineal Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 151 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 La variable dual asociada a la demanda de cajas de vasos1 X1 ≤ 8

debe ser cero. No se están produciendo las cajas de vasos que demanda el mercado, de tal forma que incrementar el límite de 8 a 9 da igual para la solución; el valor de la función objetivo no se altera.

X2

6X1 + 5X2 = 60 X1 = 8

12 10

Vértices

8● o

10X1 + 20X2 = 150

6

o ●

4

o ●

2

Zona factible

o ●

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

CT-7611 Formulación como problema de Programación Lineal Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 151 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Finalmente, consideremos las variables duales asociadas a las restricciones de no-negatividad: X1 ≥ 0 y X2 ≥ 0.

Estas son comúnmente denominados costos reducidos. Usualmente se reportan separadas de las variables duales de las otras restricciones. Sin embargo, su interpretación es idéntica a la que se da a aquellas. El costo reducido de una variable = cero, si esa variable está en la solución del problema (X ≠ 0), -se dice que la variable está en la base-, de lo contrario, el costo reducido es ≠ cero.

CT-7611 Formulación como problema de Programación Lineal Maximizar Z = 500X1 + 450X2 s.a. Variable dual y1 = 79 ; Variable dual y2 = 2.86; Variable dual y3 = 0 ;

6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 151 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 Costo reducido R1 = 0 X2 ≥ 0 Costo reducido R2 = 0

En Programación Lineal todo problema principal tiene asociado un problema dual. Este planteamiento se revisará más adelante.

CT-7611 Programación Lineal: Método Simplex En términos matemáticos el problema de programación lineal se puede expresar como la maximización o minimización de una función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones lineales. Maximizar Z = C1X1 + C2X2+……….CnXn Sujeto a : a11X1 + a12X2 + …….a1nXn ≤ b1 a21X1 + a22X2 + …….a2nXn ≤ b2 . . . . . . an1X1 + an2X2 + …….annXn ≤ bn X1 ≥0; X2 ≥0;………….Xn ≥0 Donde C´s, a´s y b´s son constantes.

El objetivo puede ser minimizar. Las restricciones pueden ser tipo ≤, ≥, o = . Algunas variables pueden asumir valores positivos o negativos.

CT-7611 Programación Lineal: Método Simplex. Cualquier problema de programación lineal se puede expresar en la llamada forma estándar añadiendo variables de holgura o variables artificiales: Minimizar Z = C1X1 + C2X2+……….CnXn Sujeto a : a11X1 + a12X2 + …….a1nXn + Xh1 = b1 a21X1 + a22X2 + …….a2nXn + Xh2 = b2 . . . . . . an1X1 + an2X2 + …….annXn + Xhn = bn X1 ≥0; X2 ≥0;………….Xn, Xh1..Xhn, ≥0

Las constantes b´s deben ser no-negativas. Si alguna de ellas es negativa, la respectiva restricción se multiplica por -1.

CT-7611 Programación Lineal: Método Simplex. Para la solución de un problema de programación lineal mediante el método simplex, ese debe estar expresado en la llamada “formulación canónica”. FORMULACIÓN CANÓNICA: Si un sistema tiene n variables y m ecuaciones, éste se encuentra en “forma canónica” cuando tiene m variables básicas ( variables que constituyen la solución); una por cada restricción. En cada ecuación hay una sola variable básica, su coeficiente “a” es 1 y su coeficiente de costo en la función objetivo es cero. Minimizar Z = C1X1 + C2X2+……….CnXn Sujeto a : a11X1 + a12X2 + …….a1nXn + Xh1 a21X1 + a22X2 + …….a2nXn + …….+ Xh2 . . . . . . am1X1 + am2X2 + …….amnXn + …………+Xhn X1 ≥0; X2 ≥0;………….Xn, Xh1..Xhn, ≥0

= b1 = b2 = bn

CT-7611 Programación Lineal: Método Simplex Retornemos al ejemplo: Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 150 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 + X3 = 60 10X1 + 20X2 + X4 = 150 X1 - X5 = 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

X3, X4 y X5 son variables de holgura: En este momento X3 y X4 están en la base de la solución (vértice), no así X5, debido a su signo.

CT-7611 Programación Lineal: Método Simplex Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 + X3 10X1 + 20X2 + X4 X1 - X5 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

= 60 = 150 = 8

Para colocar el problema en “forma canónica”, se añade otra variable en aquellas restricciones (ahora de igualdad) no básicas, que en este caso se denominan “variables artificiales”. Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 + X3 10X1 + 20X2 + X4 X1 - X5 + Xa1 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

= 60 = 150 = 8

CT-7611 Programación Lineal : Método Simplex. Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 + X3 10X1 + 20X2 + X4 X1 - X5 + Xa1 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

= 60 = 150 = 8

Expresado en esta forma, las variables básicas en este momento son X3, X4 y Xa1. Aquí empieza a trabajar el Método Simplex. Si el problema tiene solución, las variables artificiales deben salir de la base por lo tanto, en la solución, su valor debe ser cero, de lo contrario el problema se declara infactible; en cambio, las variables de holgura, pueden o no salir de la base, es decir, pueden aparecer en la solución final. El conjunto de variables básicas constituye un vértice del “polyhedron” .

CT-7611 Programación Lineal : Método Simplex. Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 + X3 10X1 + 20X2 + X4 X1 - X5 + Xa1 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

= 60 = 150 = 8

El método simplex procede estratégicamente modificando la base del sistema de ecuaciones, es decir, moviéndose de la mejor manera entre vértice y vértice hasta encontrar el vértice donde se obtiene la mejor solución. La mayoría de los programas concebidos para resolver este tipo de problemas emiten un reporte donde describen: 1.- Variables del problema que están en la base (solución), y su valor. 2.- Variables de holgura que están en la solución y su valor. 3.- Variables duales del problema. 4.- Costos reducidos. 5.- Otro caudal de información que pudiera ser de interés en la solución.

CT-7611 Como procede el Método Simplex ?. Ejemplo. Maximizar Z = 3X1 + X2 + 3X3 s.a. : 2X1 + X2 + X3 ≤ 2 X1 + 2X2 + 3X3 ≤ 5 2X1 + 2X2 + X3 ≤ 6 X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0, X2 ≥ 0 Z

X1

X2

X3

X4

X5

X6

RHS

Z

1

-3

‘1

-3

0

0

0

0

X4

0

2

1

1

1

0

0

2

X5

0

1

2

3

0

1

0

5

X6

0

2

2

1

0

0

1

6

Z

1

0

½

-3/2

3/2

0

0

3

X1

0

1

½

½

½

0

0

1

X5

0

0

3/2

5/2

-1/2

1

0

4

X6

0

0

1

0

-1

0

1

4

Z

1

0

7/5

0

6/5

3/5

0

27/5

X1

0

1

1/5

0

3/5

-1/5

0

1/5

X3

0

0

3/5

1

-1/5

2/5

0

8/5

X6

0

0

1

0

-1

0

1

4

CT-7611 Programación Lineal : Aplicación del programa LINGO. MAX S. a.:

Z = 16.95 * M + 24.95 * E; 30 * M + 40 * E <= 19900; 40 * M + 85 * E <= 29700; M≥0 E≥0

solution: Optimal solution found at step: 0 Objective value: 11478.50 Variable M E

Value 530.0000 100.0000

Reduced Cost 0.0000000 0.0000000

Row Slack or Surplus Value 1 11478.50 2 0.0000000 3 0.0000000

Dual Price 1.000000 0.4660526 0.7421052E-01

CT-7611 Programación Lineal: formulación de un problema de planificación de redes. Asuma que en este sistema se prevé que la carga se duplique en los próximos 5 años por lo que habrá que reforzar la generación (4). Las posibilidades que se disponen para sacar la producción de (4) son corredores 4 -1 y 4 – 3.

2 1 3

Datos de líneas Líneas

X

1 - 2

0.2

Cap. max.(MW) 100

1 - 3

0.4

80

2 - 3

0.4

100

4

Datos de barras

Datos de corredores

Barr a 1

Despacho (MW) 60

Carga (MW) 120

2

120

140

3

0

220

4

320

0

corredor

X

Cap.max

# max. de líneas

Costo U/MW

4 - 1

0.2

100 MW

250

4 - 3

0.2

100

100 MW 100

350

CT-7611 Programación Lineal: formulación de un problema de planificación de redes (DC). Se aplica modelo DC (lineal)

2

Para la red existente Pij = bij (δi – δj);

bij = 1/Xij

Los nuevos nexos se modelan como canales de potencia direccionales, simulando las posibilidades de flujo de potencia en cualquier dirección.

1 3

Min Z = 250 PD14 + 250 PD41 + 350 PD34 + 350 PD43 -7.5 δ1 + 5 δ2 + 2.5 δ3 + PG1 + PD14 - PD41 = 1.2 5 δ1 – 7.5 δ2 + 2.5 δ3 + PG2

= 1.4

2.5 δ1 + 2.55 δ2 - 5 δ3 + PG1 + PD43 – PD34 = 2.2 PG4 + PD14 - PD41 + PD34 - PD43 b12 (δ1 – δ2) b12 (δ2 – δ1) b13 (δ1 – δ3) b13 (δ3 – δ1) b23 (δ2 – δ3) b23 (δ3 – δ2)

≤ 1.0 ≤ 1.0 ≤ 0.8 ≤ 0.8 ≤ 1.0 ≤ 1.0

= 0.0

δ1≥0; δ2≥0; δ1≥0 PD14≥0; PD41≥0 PD34≥0; PD43≥0

4

CT-7611 Programación Lineal: Dualidad Cada problema de Programación lineal está íntimamente relacionado con otro denominado “problema dual”. Ambos problemas se construyen con la misma información pero si uno es de minimización, el otro es de maximización. El valor óptimo de la función objetivo, si existe, es el mismo en ambos problemas. En muchos casos la consideración simultánea de la solución para el problema “primal” y para el problema “dual”, aporta información relevante sobre el caso, en particular, en el sentido económico. Primal

Dual

Min Ct x Sujeto a: A x ≥ b x≥0

Max yt b Sujeto a: At y ≤ c y≥0

CT-7611 Programación Lineal: Dualidad Primal

Dual

Min Ct x Sujeto a: A x ≥ b x≥0

Primal Minimizar z = 60 y1 + 150 y2 s. a : 6y1 + 10y2 + y3 ≥ 500 5y1 + 20y2 ≥ 450 y1 ≥ 0 y2 ≥ 0

Max yt b Sujeto a: At y ≤ c y≥0

Dual Maximizar Z = 500X1 + 450X2 s. a : 6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 150 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

CT-7611 Programación Lineal: Dualidad Primal

Dual

Minimizar z = 60 y1 + 150 y2 + 8y3 s. a : 6y1 + 10y2 + y3 ≥ 500 5y1 + 20y2 ≥ 450 y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0

C t = [60 150 8] ; 6 A = 5

Maximizar Z = 500X1 + 450X2 s. a : 6X1 + 5X2 ≤ 60 10X1 + 20X2 ≤ 150 X1 ≤ 8 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

y t = [y1 y2 y3]

6 5  10 1   ; t  ; A = 10 20   20 0   1 0 

x t = [x1 x2]  500  b=   450  

CT-7611 Programación Mixta ( unas variables reales y otras enteras).

En Programación Lineal (LP) el espacio de decisión es continuo en el sentido de que las variables pueden tomar valores fraccionales. Hay otros problemas en los cuales algunas variables requieren tomar valores enteros. En esos casos se requiere usar métodos de programación entera. Los problemas de programación entera no son fáciles de resolver puesto que caen en el dominio del análisis combinatorio, lo que los diferencia de los LP. Se han diseñado algoritmos especiales para resolver este tipo de problemas pero aún persisten dificultades para resolver problemas de gran tamaño. El algoritmo que presenta, hasta ahora, el mejor comportamiento en la búsqueda de solución de este tipo de problemas, es el denominado “Branch and Bound” . A él nos dedicaremos en estas notas.

CT-7611 Programación Mixta ( unas variables reales y otras enteras). Decisiones como las que se indican a continuación deben modelarse mediante variables enteras binarias (0 – 1): b) Construir o no construir una planta o línea de transmisión. c) Emprender un viaje o no. d) Asignar una cuadrilla para trabajar en una ruta o no. e) Etc. Decisiones como las siguientes deben modelarse mediante variables enteras no-binarias: 9) Número máximo de líneas que se pueden construir en un corredor. 10) Número de cajas de vasos de 200 cc. 3) Número de trabajadores que deben ir en una cuadrilla. Etc.

CT-7611

Programación Mixta ( unas variables reales y otras enteras). Regresemos al problema de producción de cajas de vasos. REPRESENTACIÓN GRÁFICA X2

Maximizar Z = 500X1 + 450X2 6X1 + 5X2 ≤ 60

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

12 X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

10

10X1 + 20X2 ≤ 150 X1 ≤ 8

8● o

X1 ≥ 0

6

X2 ≥ 0

4

La solución óptima con LP resultó en

2

X1 = # cajas de vasos1 = 6.43 X2 = # cajas de vasos2 = 4.28 No luce razonable que se produzcan fracciones de cajas de vasos. Este es un problema de Programación entera.

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

o ●

X1=8, x2=0, Z = 4000

o ●

Zona factible

o

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

Función Objetivo

CT-7611

Programación Mixta ( unas variables reales y otras enteras). Pudiera pensarse intuitivamente que la solución entera de este problema sería la que resulte de aproximar el valor de las X2 variables al entero más cercano. X1 = 6 12 X2 = 4. 10 La función objetivo es z = 4800U . Es esta la solución óptima? 8● o Pudiéramos redondear por arriba X1 = 7 6 X2 = 5, lo cual no es posible debido a 4 que es un punto fuera de la región 2 factible. o

Resulta que la solución óptima para este problema es X1 = 8, X2 = 2 para un valor de la función objetivo de 4900U.

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

o ●

X1=8, x2=0, Z = 4000

o ●

Zona factible

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

Función Objetivo

CT-7611

Programación Mixta: Branch and Bound Branch and Bound : Es un procedimiento básicamente de “división y conquista”. La idea es partir la región factible en subregiones mas manejables y continuar la partición hasta encontrar la mejor solución bajo la condición de variables enteras. Un problema mixto es un problema lineal que además está restringido por la condición de integralidad en algunas de sus variables. Un problema entero es un problema lineal que además está restringido por la condición de integralidad en todas sus variables.

X2

X1=0, x2=7.5, Z = 3375

12 X1=6.43, x2=4.28, Z = 5142

10 8● o

X1=8, x2=2.4, Z = 5080

6 o ●

4 2

X1=8, x2=0, Z = 4000

o ●

Zona factible

o

2

4

o ● 6 8

X1

10 12 14 16

Función Objetivo

CT-7611

Programación Mixta: Branch and Bound Branch and Bound : Considérese el siguiente problema: Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 entera X2 ≥ 0 entera

En la gráfica se muestra la solución del LP. Se dice del LP asociado al PE. Dado que un problema de programación mixta (PM) o entera (PE) es mas restringido que el correspondiente en LP, en el caso de maximización, la solución del LP es el máximo valor(“upper bound”)que puede tomar el PM o PE. De la misma manera un punto se solución en PM o PE es un “lower bound” del LP.

X2

6

Solución LP óptima

5●

x1=2.25, x2=3.75, Z =41.25

4

●

3 2

Zona factible

1 1

2

3

● 4 5 6 7 8

X1

9

CT-7611

Programación Mixta: Branch and Bound Branch and Bound : Considérese el siguiente problema: Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 entera X2 ≥ 0 entera

X2

6

Solución LP óptima

5●

x1=2.25, x2=3.75, Z =41.25

4 3

Solución del LP = 41.25 implica que

2

Solución del PE planteado es z* ≤ 41

1

x1 = 2.25 x2 = 3.73 pero ellas deben ser enteros en la solución óptima, por tanto se puede dividir la región factible para tratar de hacerlos enteros. En la solución entera x2 ≤ 3 ó x2 ≥ 4. Así que la región factible la dividiremos considerando esas dos condiciones.

●

Zona factible

1

2

3

● 4 5 6 7 8

X1

9

CT-7611

Programación Mixta: Branch and Bound Branch and Bound : Considérese el siguiente problema: Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 entera X2 ≥ 0 entera

Zona factible L1

X2

6

Solución LP óptima

5●

x1=2.25, x2=3.75, Z =41.25

4●

●

●

3● 2 Si hubiésemos escogido la variable x1, la subdivisión habría sido x1 ≤ 2 y x1 ≥ 3.

● Zona factible

1

L2

●

1

2

3

● 4 5 6 7 8

X1

9

CT-7611

Programación Mixta: Branch and Bound Branch and Bound : Considérese el siguiente problema: Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 entera X2 ≥ 0 entera

Zona factible L1

X2

6

Solución LP óptima

5●

x1=2.25, x2=3.75, Z =41.25

4●

●

●

3● 2 Si hubiésemos escogido la variable x1, la subdivisión habría sido x1 ≤ 2 y x1 ≥ 3. Así plantearíamos dos sub-problemas: uno para cada región factible resultante de la división. Se genera así, un árbol de búsqueda como se muestra a continuación.

● Zona factible

1

L2

●

1

2

3

● 4 5 6 7 8

X1

9

CT-7611 Programación Mixta: Branch and Bound L0

x2 ≥ 4

L1

Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 entera X2 ≥ 4 entera

X1 = 2.25 X2 =3.75 Z = 41.25

z* ≤ 41 x2 ≤ 3

Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

L2

Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 entera 0≤ X2 ≤ 3 entera

CT-7611 Programación Mixta: Branch and Bound

L0

x2 ≥ 4

L1 X1 = 1.8 X2 =4 Z = 41

X1 = 2.25 X2 =3.75 Z = 41.25

z* ≤

Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 41 X1 ≥ 0 entera x2 ≤ 3 X2 ≥ 0 entera

L2

X1 = 3 X2 = 3 Z = 39

(*) indica que el árbol no se subdividirá más allá de este punto por esta rama, es decir la región no necesita ser subdividida.

(*)

Programación Mixta : Branch and Bound x2 ≥ 4

x1 ≥ 2

CT-7611 L0 X1 = 2.25 X2 =3.75 Z = 41.25

z* ≤ 41 x2 ≤ 3

Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

L1

L2

X1 = 1.8 X2 =4 Z = 41

X1 = 3 X2 = 3 Z = 39

L3 Infactible. Incumple restr. 2

(*) Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 2 entera X2 ≥ 4 entera

x1 ≤ 1

L4 X1 = 1 X2 =4.44 z = 40.56

(*)

Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 0≤ X1 ≤ 1 entera X2 ≥ 4 entera

Programación Mixta

CT-7611

: Branch and Bound x2 ≥ 4

x1 ≥ 2

L0 X1 = 2.25 X2 =3.75 Z = 41.25

z* ≤ 41 x2 ≤ 3

L1

L2

X1 = 1.8 X2 =4 Z = 41

X1 = 3 X2 = 3 Z = 39

L3 Infactible. Incumple restr. 2

Maximizar Z = 5X1 + 8X2 s. a. X1 + X2 ≤ 6 5X1 + 9X2 ≤ 45 X1 ≥ 0 entera X2 ≥ 0 entera

x1 ≤ 1

L4 x2 ≤ 4

X1 = 1 X2 =4.44 z = 40.56

x2 ≥ 5

Solución óptima : X1 = 0, X2 = 5, Z = 40

(*)

(*)

L5

L6

X1 = 1 X2 =4 Z = 37

X1 = 0 X2 = 5 Z = 40

(*)

z* ≥ 40 (*)

Programación Mixta

CT-7611

: Branch and Bound Formulación de un problema sencillo. Asumamos “I” centros de carga y “J” sitios posibles donde localizar las fuentes de energía (S/E); Cij representa el costo de alimentar el centro de carga i desde la fuente j. Se desea determinar cual es la mejor (menos costosa), ubicación de las fuentes y la conexión de los centros de cargas a estas. Definimos Variables lógicas de decisión Yj = 1 si el sitio j es seleccionado para ubicar una fuente = 0 si no lo es.. Xij = 1 si el centro de carga i se asigna a la fuente j = 0 si no se asigna a esa fuente.

Programación Mixta:

CT-7611

Branch and Bound. Formulación de un problema sencillo. Asumamos que cada centro de carga debe estar conectado a una sola fuente. J ∑Xij = 1 ;

i = 1 , 2 , 3, ………….,I.

J=1 Por supuesto no se debe asignar ningún centro de carga a una fuente que no existe. I ∑Xij ≤ Yj I;

j = 1 , 2 , 3, ………….,J.

i=1 Esta restricción dice que debido a que las variables Xij son binarias, su suma nunca excederá el valor de I, esto se cumple en esta restricción, cuando Yj = 1; si Yj = 0, implica que Xij = 0. En otras palabras, no puede haber más de I centros de carga conectados a una sola fuente j.

CT-7611 Formulación de un problema sencillo. El costo de asignar un centro de carga i a su correspondiente fuente se puede modelar como: J

∑Cij xij

Ci =

, dado que sólo un Xij será dsitinto de cero

J=1 Por supuesto no se debe asignar ningún centro de carga a una fuente que no existe. I

∑xij i=1

≤ Yj I;

j = 1 , 2 , 3, ………….,J.

CT-7611 Formulación de un problema sencillo.

Supongamos que hay un centro de carga en particular que requiere de alta disponibilidad en el servicio, por lo que se exige que sea alimentado desde dos fuentes , bien desde las fuentes 1 y 2 o desde las fuentes 3 y 4. Se define la variable “ Y “ para modelar la conexión de ese centro.

Y1 + Y2 ≥ 2 Y Y3 + Y4 ≥ 2 (1-Y)

CT-7611 Formulación de un problema sencillo. Resumen del modelo.

Min ∑ Ci =

∑Cij Xij

J S. a.

∑Xij = 1 ;

i = 1 , 2 , 3, ………….,I.

J=1 I

∑Xij

≤ Yj I;

j = 1 , 2 , 3, ………….,J.

i=1 Y1 + Y2 ≥ 2 Y Y3 + Y4 ≥ 2 (1-Y) Xij, Yj, Y, son variables binarias. i = 1 , 2 , 3, ………….,I, j = 1 , 2 , 3, ………….,J.

CT-7611

Formulación de un problema de planificación de transmisión.

 

Generación (MW)

Carga

Costo por generación

Nodo

Nomi nal

Despac ho

(MW)

Bs

1

150.0

50.0

80.0

0.01

2

0.0

0.0

240.0

0.00

3

360.0

165.0

40.0

0.01

4

0.0

0.0

160.0

0.00

5

0.0

0.0

240.0

0.00

6

600.0

545.0

0.0

0.01

CT-7611 Formulación de un problema de planificación de transmisión.

Datos de los corredores para el sistema de 6 barras (Existentes y candidatos) Corred or

Nodo

Nodo

No. de circuitos

Reacta ncia

Capacid ad

Cost o

No.

Terminal 1

Termina l2

existentes

p.u.

(MW)

Bs

1

1

2

1

0.40

100

0

2

1

4

1

0.60

80

0

3

1

5

1

0.20

100

0

4

2

3

1

0.20

100

0

5

2

4

1

0.40

100

0

6

3

5

1

0.20

100

100

7

6

2

0

0.20

100

150

8

6

4

0

0.20

100

150

9

6

5

0

0.20

100

305

CT-7611

Formulación de un problema de planificación de transmisión.

CT-7611

Formulación de un problema de planificación de transmisión. Modelo Minimizar: kt kt F .O. = ∑ ∑ C nskr X nsk r + ∑ ∑ C nskr X snk r + ∑ ∑ C nw X nwk + ∑ ∑ C nw X wnkt + ∑ C f G p X G p n,s kr

n,s kr

n , w kt

t

n , w kt

p

+ ∑ C v G P PG P + ∑ C f G q XGq + ∑ C v G q PGq p

q

q

Restricciones. a.- Balance de Potencia en los Nodos: La ecuación tiene dos formas dependiendo si el nodo estaba ya en la red o si el nodo es nuevo. : Para nodos existentes en la red la ecuación es la siguiente:

  −  ∑ Bsn  An + ∑ Bsn As + ∑∑ Psnkr − ∑∑ Pnsk r + s s kr s kr  s  ∑∑ Pwnkt − ∑∑ Pnwkt + PG p = PLn n

kt

n

kt

Para nodos nuevos la ecuación es la siguiente:

∑∑ P n

kt

nwk t

− ∑∑ Pwnkt + PGq = PLw n

kt

CT-7611 Formulación de un problema de planificación de transmisión. Modelo

b.- Restricción de Acople: Para los nodos existentes en la red:

PG p − G p XG P ≤ 0 Para los nodos nuevos:

PGq − Gq XGq ≤ 0

CT-7611

Formulación de un problema de planificación de transmisión. Modelo c.- Control de la transmisión por corredor Para los nodos existentes en la red:

Psnk r − Bsn Asnk r = 0 Pnskr − Bsn Anskr = 0 Psnkr − PmáxX snkr = 0 Pnskr − PmáxX nskr = 0

Para los nodos nuevos:

Pwnkt − Bwn Awnkt = 0 Pnwkt − Bwn Anwkt = 0 Pwnkt − PmáxX wnkt = 0 Pnwkt − PmáxX nwkt = 0

CT-7611

Formulación de un problema de planificación de transmisión. Modelo d.- Restricción de capacidad de transmisión en los elementos del sistema: Las líneas existentes tienen limitaciones con respecto a la cantidad de potencia que pueden transmitir. Para dirección ns:

Bsn ( An − As ) ≤ Pmáx

Para dirección sn:

Bns ( As − An ) ≤ Pmáx

CT-7611 Formulación de un problema de planificación de transmisión. Modelo e.- Control del Límite Angular por Corredor: Para los nodos existentes en la red: a

Aw − An − Awnkt + Anwkt + M * X wnkt + M * X nwkt = M

An − Aw +b Awnkt − Anwkt + M * X wnkt + M * X nwkt = M Para los nodos nuevos:

As − An − Asnk r + Ansk r + M * X snk r + M * X nsk r = M

An − As + Asnk r − Anskr + M * X snk r + M * X nsk r = M

CT-7611 •

ESTIMACIÓN DE DEMANDA Dicta en gran medida la capacidad y tiempo de establecimiento de nuevas plantas y nuevos refuerzos de transmisión en el sistema. Un plan de expansión de la generación por ejemplo, será el resultado de la combinación de:

1.- Estudios de demanda 2.- Capacidad previa instalada 3.- Costos de producción 4.- Estándares requeridos en la producción. 5.- Factores de seguridad: Mínimos técnicos, capacidad de reserva, etc.

CT-7611 •

ESTIMACIÓN DE LA DEMANDA En la estimación de la demanda se utilizan diferentes esquemas: a) Energía (MWh) y Factor de carga (MW promedio/MW Max.), que luego se convierte a MW. b) Extrapolación. Valores pasados de la demanda se ajustan, usualmente mediante mínimos cuadrados, a una función de tiempo y luego se extrapola hasta el tiempo que se desee a futuro.

CT-7611 •

ESTIMACIÓN DE LA DEMANDA c) Métodos estocásticos (ME). Cualquier método probabilístico que use un modelo estocástico. Se especifica la forma del ME; se determinan entradas aleatorias no conocidas a partir de los datos históricos y se calcula la respuesta (demanda) del modelo ME a futuro. d) Modelos de serie de tiempo. Incluye varios modelos en el tiempo, considerando siempre que consisten de dos componentes: Una verdadera (determinística) y otra falsa (ruido): esta última sigue una función probabilística con media =0.

CT-7611 CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES •

ESTIMACIÓN DE LA DEMANDA

La precisión en la estimación de la demanda es determinante en la definición de los refuerzos del sistema. Si la precisión es baja seguramente se tendrá suministro deficiente, pérdidas en venta, etc., Si la precisión es alta puede conducir a problemas financieros debido a una alta inversión y baja utilización. Una expresión bastante utilizada para estimar el crecimiento de la demanda es la exponencial. Ly = L0 (1+β) y

Esto se corresponde con una tendencia de que la demanda se duplica cada 10 años.

CT-7611 BIBLIOGRAFIA

1. BILLINTON, ROY-POWER SYSTEM RELIABILITY EVALUATION. 2. ENDRENYI, J –RELIABILITY MODELING IN ELECTRIC POWER SYSTEMS. 3. WOLLENBERG, BRUCE F. – POWER GENERATION, OPERATION AND CONTROL 4. SULLIVAN, ROBERT LEE – POWER SYSTEM PLANNING. 5. GöNEN, TURAN - ELECTRIC POWER TRANSMISSION SYSTEM ENGINEENING: ANALISIS AND DESIGN.

CT-7611

FIN PARTE I