Begründung Gerberschen Gravitationspotentials

Walter Orlov

Begründung Gerberschen Gravitationspotentials

September 2009

Inhalt Anlass zum Überdenken ........................................................... 1 "Widerlegung" von Seelinger .................................................... 1 Zwei Faktoren ........................................................................... 3 Deutung des ersten Faktors ...................................................... 4 Deutung des zweiten Faktors .................................................... 4 Das Gerbersche Potential .......................................................... 6 Gerber's Berechnung der Periheldrehung ................................. 6 Literatur ..................................................................................... 17

Anlass zum Überdenken 1920 schrieb Einstein [1]: "... man beruft sich auf eine Arbeit von Gerber, der die richtige Formel für die Perihelbewegung des Merkur bereits vor mir angegeben hat. Aber die Fachleute sind nicht nur darüber einig, daß Gerbers Ableitung durch und durch unrichtig ist, sondern die Formel ist als Konsequenz der von Gerber an die Spitze gestellten Annahmen überhaupt nicht zu gewinnen. Herrn Gerbers Arbeit ist daher völlig wertlos, ein mißglückter und irreparabler theoretischer Versuch. Ich konstatiere, daß die allgemeine Relativitätstheorie die erste wirkliche Erklärung für die Perihelbewegung des Merkur geliefert hat." Lange Zeit hielte ich auch Gerber’s Arbeit [2] für einen Unfug. Zwar wunderte ich mich, dass man auch auf solch einem Irrweg ein richtiges Ergebnis kriegen kann, aber die theoretische Begründung erschien mir immer physikalisch unverständlich. Und auf einmal lese ich in [1] vor Einstein’s Zitat: "Auch Roseveare ortete inhaltliche Probleme der Theorie und weist insbesondere darauf hin, dass nach Gerber ein um den Faktor 3/2 zu hoher Wert für die Ablenkung des Lichtes im Gravitationsfeld folgt." Das muss aber auch so sein! Der gemessene Wert nah zum Sonnenrand ist in Wirklichkeit erheblich höher, als von allgemeiner Relativitätstheorie vorhergesagt wird. Ja, eine gute Übereinstimmung mit allgemeiner Relativitätstheorie bekommt man bei sehr großer Entfernungen vom Sonenrand (Blickwinkel > 47° [3]), doch wirklich nah zum Sonnenrand ist die Lichtablenkung größer. Schmeidler berechnete 1984 den mittleren Zusatz zu 1.75" von etwa 0.3" oder +17% [4]. Laut Michailov [5] brachte etwa die Beobachtung der Sonnenfinsternis im Jahr 1937 sogar 2.74" (+57%). Das macht einen allerdings nachdenklich...

"Widerlegung" von Seeliger Unter "Fachleute" meinte Einstein offensichtlich vor allem Herrn Seeliger. Zwar

1

er behauptete in seiner Arbeit [6], dass Gerbersche Rechnung ganz falsch sei. Er war der Meinung, dass das Potential von der Geschwindigkeit nicht abhängig sein darf und deshalb allgemeine Langrangesche Bewegungsgleichungen für es nicht anzuwenden sind. Um das zu beweisen, benutzte er Webersches Potential:

[ ] 2

V=

vr  1− 2 , r c

v r ist die radiale Geschwindigkeit. Angeblich soll dieses Potential die Periheldreung in richtige Richtung - nach vorn - (von etwa 14") bedingen. Die Anwendung der allgemeinen Langrange für die Beschleunigung

a=

∂V d ∂V − ∂ r dt ∂ r˙

führe jedoch zum solchen Ausdruck, dass schon die verkehrte - nach hinten Periheldrehung stattfinden sollte. Somit sei die Rechnung von Gerber grundsätzlich falsch. Wie ich aber mir Webersches Potential ansehen, bin ich der Meinung, dass es eben nur die Periheldrehung nach hinten verursachen kann. Lediglich vergleiche ich dabei Webersches Potential mit dem Einsteinischen. In üblicher Schreibweise sieht letztes folgend aus:   L2 V=  2 2 3. r m c r

Nach der Identifizierung des Drehimpulses L=m r v  bekommen wir:

[ ] 2

v  V = 1 2 , r c v  ist die Kreisgeschwindigkeit. Also, wenn das Potential allgemeiner Relativitätstheorie tatsächlich die Periheldrehung nach vorn hervorruft, sollte dann Webersches Potential wegen anderes Vorzeichnens des zweiten Gliedes eben rückläufige Periheldrehung verursachen.

2

Offensichtlich war es umgekehrt - eben die ursprüngliche Rechnung für die Webersche Kraft wurde falsch berechnet. Gerbersche Methode darf wohl aber ganz in Ordnung sein.

Zwei Faktoren Gerber sah zwei Faktoren, die aufgrund endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit (= Lichtgeschwindigkeit) der Wechselwirkung das Newtonsche Gravitationsgesetz beeinflussen können. "Erstens muss zwar im Abstände r − r der Massen, wo  r bei wachsendem r positiv, bei abnehmendem negativ ist, das Potential sich in der im umgekehrten Verhältnis zu r − r stehenden Grosse zu bilden anfangen ... Aber es gelangt nicht sogleich zur Wirkung an m , da der es bedingende Vorgang von der anziehenden Masse ausgeht und Zeit braucht, um bis zur angezogenen Masse fortzuschreiten. Selbstverständlich findet ein Fortschreiten der gedachten Art auch von der angezogenen zur anziehenden Masse statt ... Das bei dem Abstände r − r von der anziehenden Masse ausgehende Potential bethätigt sich also in m erst zu einer um  t späteren Zeit, nachdem der Abstand gleich r geworden ist." "Zweitens würde das Potential wohl bei Fernwirkung unmittelbar in seinem vollen Betrage erscheinen; sind jedoch Raum und Zeit in der vorausgesetzten Art mit im Spiel, so hat es auch eine gewisse Dauer nötig, damit es, bei m angelangt, dieser Masse sich mitteile, d. h. den ihm entsprechenden Bewegungszustand von m hervorrufe ...Wenn die Massen ruhen, geht die Bewegung des Potentials mit ihrer eigenen Geschwindigkeit an m vorüber; dann bemisst sich sein auf m übertragener Wert nach dem umgekehrten Verhältnis zum Abstände. Wenn die Massen aufeinander zueilen, verringert sich die Zeit der Übertragung, mithin der übertragene Potentialwert im Verhältnis der eigenen Geschwindigkeit des Potentials zu der aus ihr und der Geschwindigkeit der Massen bestehenden Summe, da das Potential in Bezug auf m diese Gesamtgeschwindigkeit hat." So wie ich das jetzt lese, glaube ich den Gedankengang von Gerber jedoch zu verstehen.

3

Deutung des ersten Faktors Laut Oppenheim [7] ist die Idee für den ersten Faktor auf Neumann zurückzuführen: "Die Voraussetzung, von der C. Neumann ausgeht, ist die, daß das Potential der gegenseitigen Anziehung zweier Teilchen ... einiger Zeit bedarf, um von m 1 zu m 2 zu gelangen und daher dort nicht zur Zeit t , sondern etwas später ankommt, ebenso wie das zur Zeit t in m 1 angekommene und von m2 ausgesandte Potential von dort etwas früher ausging." Um mit Neumann's Voraussetzung klar zu kommen, sollen wir lediglich annehmen, dass das Potential als geleistete Arbeit nur im Zusammenhang mit zweiter Masse existiert. Eine Masse hat überhaupt kein Potential, sie hat zwar das Gravitationsfeld, das als eine Kraft auf eine andere Masse wirken kann, aber ohne diese zweite Masse kann keine Arbeit geleistet werden und entsprechen gibt es ohne sie kein Gravitationspotential. Deswegen auch generieren die Masse bei relativer Bewegung stets dieses Potential vom neuen. Dass das Potential angeblich von den Massen ausgeht, ist deshalb eine verkehrte Vorstellung. Allerdings können wir von der Kraftwirkung sprechen, die wegen der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit etwas später die andere Masse erreicht und logischerweise darauf folgende Änderung des Potentials zum späteren Zeitpunkt stattfindet. Doch dieser Faktor allein 1 1−

vr c

könnte nur etwa drittel von beobachteter Periheldrehung des Merkurs liefern.

Deutung des zweiten Faktors Der zweite Faktor ist offensichtlich schon eine Erfindung von Gerber selbst. Anscheinend gab es sogar keine vorangehende ähnliche Hypothese. Trotzdem war er nicht allein mit seiner Idee. Im selben Jahr (1898) erschienen Lienard's 4

Potentiale bewegter Ladung (sie haben sich etwa für die Beschreibung der Synchrotronstrahlung nützlich erwiesen). Wichtigster Faktor ist die "Einwirkdauer" der Potentiale [8]. Allerdings ist das physikalische Modell von Lienard und Wiechert anders als bei Gerber. Sie gingen davon aus, dass sich elektrische und magnetische Felder in einem ruhenden Medium ausbreiten, während sich deren Quelle (Ladung) in diesem Medium bewegt. Daraus ergibt sich größere "Einwirkdauer" in Bewegungsrichtung. Obwohl Gerber selbst auch von der Existenz des Lichtäthers ausging, der den Raum zwischen der Körper füllen sollte und eine Geschwindigkeitsbegrenzung nicht nur für elektromagnetische sondern auch für gravitative Wechselwirkung bedinge, spricht seine Beschreibung in Wirklichkeit für ein anderes Modell: Die Gravitationswechselwirkung hat die konstante Geschwindigkeit nur bezüglich der Masse, von der sie ausgeht. Für besseres Verständnis schauen wir auf Abbildung 1. Wie viel Zeit braucht die Feldfront von der Masse m1 an der Masse m 2 mit dem Durchmesser d vorbei zu laufen?

Abbildung 1. Annäherung (links) und Entfernung (rechts) der Massen aus der Sicht der Masse m 1 . In Ruhe: d  t 0= . c

5

Bei Annäherung:

 t=

d . cv r

Bei Entfernung:

 t=

d . c−v r

Offensichtlich gilt dasselbe für die Feldfront der Masse m 2 . Unter der Berücksichtigung, dass die radiale Geschwindigkeit mit wachsendem Radius positiv ist, bekommen wir den Ausdruck für den zweiten Faktor: t =  t0

1 vr 1− c

.

Das Gerbersche Potential Zusammengetan ergeben die zwei Faktoren das folgende Potential:

V=



[ ]

vr r 1− c

2

.

Daraus berechnete Gerber 1898 die Periheldrehungen der Planeten, die auch mit den Beobachtungen übereinstimmen.

Gerber's Berechnung der Periheldrehung Viele meinen, dass Gerber's Herleitung der Formel für die Periheldrehung der Planetenbahnen ganz verwirrend und unverständlich ist. Deshalb versuche ich diese zu verdeut-lichen. Sein Gravitationspotential kann durch Binomische Reihe dar-gestellt werden: 6

[

  ] 2

vr vr  V= = 12 3 ... . 2 r c c vr r 1− c 

 

Weil hier außer der Abhängigkeit von 1/ r noch die Abhängi-gkeit von v r vorliegt, benutzte Gerber allgemeine Lagran-gesche Bewegungsgleichung: g=

∂ V d ∂V − . ∂r dt ∂v r

Die Ableitung nach r ist einfach:

[

 ] 2

v v  ∂V =− 2 12 r 3 r ∂r c c r

.

Jetzt berechnen wir die Ableitung nach v r :

[

vr ∂V  2 = 6 2 ∂v r r c c

]

und danach

[

]

vr  dr 2  v˙ r d ∂V =− 2 6 2  6 2 . dt ∂ v r r c r dt c c

Weil vr=

dr , dt

ergibt sich

[

2

]

vr r v˙ r  vr d ∂V =− 2 2 6 2 −6 2 . dt ∂v r c r c c

Und zusammengeführt bekommen wir die gesuchte Formel für die Beschleunigung: g =−

[ [

2

] [ ]

]

2

vr vr vr r v˙r   vr 12 3 2  2 2 6 2 −6 2 , 2 c c r c r c c 2

vr r v˙ r  g =− 2 1−3 2 6 2 . r c c

7

Allerdings sind in diesem Ausdruck die Variablen r , v r und v˙r noch unabhängig voneinander. Weil es aber nicht stimmt, werden wir sie im weiten immer enger miteinander verknüpfen. Zugeben ist der Weg lang, aber man benötigt eigentlich keine Kenntnisse der hohen Mathematik, sondern lediglich die Sorgfalt. In kartesischen Koordinaten:

[ [

] ]

2

vr r v˙r x g x =− 3 1−3 2 6 2 , r c c g y =−

2

vr r v˙r y 1−3 2 6 2 . 3 r c c

Noch haben wir von rechter Seite zwei Koordinatensysteme: x , y sind der Bestandsteil des orthogonalen Systems und v r gehört zu den Polarkoordinaten. Weil die Bewegungsglei-chung eines um die Sonne rotierenden Planeten einfacher in den Polarkoordinaten darzustellen, setzen wir x =cos  , r

y =sin  r

und außerdem 2

d 2 x d dx g x= 2 = , dt dt dt

d y d dy g y= 2 = . dt dt dt

So bekommt man

[ [

] ]

2

vr r v˙r  dx d =− 2 1−3 2 6 2 cos  dt , dt r c c d

2

vr r v˙r  dy =− 2 1−3 2 6 2 sin  dt . dt r c c

Und außerdem L=m r 2

d dt

⇒

dt =

m r2 d . L

Daher d

[

2

]

vr r v˙r m dx =− 1−3 2 6 2 cos  d  , dt L c c

8

d

[

]

2

vr r v˙r m dy =− 1−3 2 6 2 sin  d  . dt L c c

Die Integration liefert die Geschwindigkeiten:

[

] ] ] ]

2

vr r v˙r m dx v x = =−∫ 1−3 2 6 2 cos  d  = dt L c c

[

2

vr r v˙r m m sin  3 2 −6 2 cos  d C 1 , = − ∫ L L c c v y=

=

[

2

vr r v˙r m dy =−∫ 1−3 2 6 2 sin  d  = dt L c c

[

2

vr r v˙ r m m cos  3 2 −6 2 sin  d C 2 . ∫ L L c c

C 1 und

C 2 sind die Integrationskonstanten.

Es gilt L=m∣r ×v∣=m  x v y − y v x  =m r  v y cos −v x sin   .

So bekommen wir r=

L /m . v y cos −v x sin 

Um den Platz zu sparen setzen wir 2

F =3

vr c

2

−6

r v˙r c

2

und gelangen zu 2

r=

L 2 m 1∫ F sin  d C 2  cos −∫ F cos  d C 1 sin 

.

Weil sich die Bahnen der Planeten die Ellipsen sind, darf es bei letzter Gleichung auch um eine Ellipse handeln. Nun haben wir jetzt die Aufgabe, F durch die Parameter dieser Ellipse aus-zudrucken. Abbildung 2 zeigt die Bezeichnungen, welche Paul Gerber benutzte.

9

Abbildung 2. Elliptische Planetenbahn. Hier fallen die Halbachsen der Ellipse mit den Achsen des Koordinatensystems nicht zusammen. Auch wenn sie dies an-fangs taten, käme es doch bald wegen der Periheldrehung zur Verschiebung. Deshalb führte Gerber gleich den Winkel  ein, dessen Änderung er gerade ermitteln wollte. Entsprechend ist dann der Winkel zwischen Halbachse a und Vektor r , der zum momentanen Aufenthaltsort des Planeten gezogen wird, =− . In allgemeiner Form sieht die Bahngleichung folgend aus: r=

p . 1 cos 

Der Vergleich mit der vorigen Formel hilft uns sie aufzulösen. 2

p=

L 2 m

Mit der Berücksichtigung p=

b2 a

bekommen wir den Ausdruck für den Drehimpuls, den wir später bei der Berechnung der radialen Geschwindigkeit und Beschleunigung verwenden werden: L=m b



 . a

Ferner cos =cos − =cos  cos sin  sin  .

Entsprechend 10

cos  cos sin  sin  =

=

∫ F sin  d C  cos −∫ F cos  d C  sin  , 2

1

Daher gilt für erstes Glied:

∫ F sin  d C  cos = cos  cos  , 2

∫ F sin  d C 2= cos  ; und für das zweite: −∫ F cos  d C 1 sin = sin sin  ,

∫ F cos  d C 1=−sin . Nun differenzieren wir diese Gleichungen nach  : F sin =cos 

F=

d d −sin  , d d

cos  d  sin  d  − ; sin  d  sin  d 

und F cos =−sin 

F =−

d d − cos  , d d

sin  d  cos  d  − ; cos  d  cos  d 

oder mit der Einführung von d t F=

cos  d  dt sin  d  dt − ; sin  dt d  sin  dt d 

F =−

sin  d  dt cos  d  dt − . cos  dt d  cos  dt d 

Die beiden Ausdrucke werden gleichgesetzt: sin  d  dt cos  d  dt − d sin  dt d  cos  dt d  sin cos −cos  sin  d  = , =  dt cos  dt sin  dt cos  cos sin  sin  dt  sin  d  cos  d 

11

d d =− tan  . dt dt

Das Einsetzen dieses Resultates in eine der Gleichungen für F =−

= 



F führt zu



sin  d  dt cos  d  dt − tan  − = dt d  cos  cos  dt d 

sin sin−−cos  cos − d  dt , dt d  cos  cos − 

F =−

 d  dt . cos  dt d 

Um die Änderung von  , d.h. die Perihelverschiebung, zu finden, brauchen wir noch von linker Seite

 

2

2

3 dr 6r d r F= 2 − 2 2 c dt c dt

zu identifizieren. Zuerst wird die radiale Geschwindigkeit aufgrund der Bewegungsgleichung r=

p 1 cos 

ermittelt: 1 1 cos  = , r p d 1 d 1 cos  = , dt r dt p −

1 dr 1 d = 1 cos  , r 2 dt p dt



2 d dr r d =− cos − sin  dt p dt dt



= −





2 d d r d cos −sin   sin  . p dt dt dt

Nach dem Einsetzen des Ausdruckes für d /dt bleibt nur mittleres Glied erhalten: 2



d d d dr r =− − tan  cos  − sin  sin  dt p dt dt dt

Anderseits wissen wir 12



=

d r  sin  . p dt 2

L=m r

2

d dt

⇒

d L = . dt m r 2

Deshalb dr L =  sin  . dt m p

Berücksichtigt



2

L  p= 2 , L=m b m a

L a  =m p b

⇒

gelangen wir zu dr  a  = sin . dt b

Um die radiale Beschleunigung zu bekommen, wird die letzte Formel noch einmal differenziert:





=



=



=

d r a  d  a  sin  d   cos  d  =  sin  =  2 b dt b dt dt dt 2

=

a 

=

a 

b

b

= 

 

d d d  cos  −cos  dt dt dt



=

− tan sin 

d d d  cos  −cos  dt dt dt



d b  d  2 cos −cos  dt r a dt

a  b

= −

sin 

−tan  sin 

a  b





2



sin  d  d   cos   2 cos  , dt cos  dt r

2 d r  a  d    cos  . =− 2 b cos  dt dt r2

Also ist F=

3 a 2 2 6 r a  d  6   sin  2  − 2  cos  . 2 2 c b c b cos  dt c r

Gleichgesetzt mit 13

F =−

 d  dt , cos  dt d 

wo



dt m r 2 r 2 a = = , d L b 

ergibt sich 2

r b



3 a 2 2 6 r a  d  6  a  d  2  cos  , = − 2 2  sin − 2   cos  dt c b c b cos  dt c r

d 3  a 3 / 2 6  d  6  3/ 2 b 2 2 =− 2 2  sin  cos − 2  3 2 cos . dt dt r c b rc r c a

Das Einsetzen von b=a 1− 2 , r =

2 a  1−  b /a = . 1cos  1 cos  2

reduziert die Anzahl der unabhängigen Variablen: 2

d 3 3 / 2 1 cos  2 =− 2   sin  cos  5/ 2 2 5/ 2 dt c a  1−  −

6  1 cos  d  2 2 c a  1−  dt



6  1cos  2 cos . 2 5/ 2 5/ 2 2 c a  1− 

3/ 2

3

Machen wir den Umtausch für dt : dt=

m r2 m r2 d = d  , L L

L=m  a  1− , 2

dt =

a

3 /2

3/ 2

 1−2 

 1cos 2

d d  .

Die Multiplikation mit der Gleichung für d  /dt ergibt:

14

d =−

−



3 

2

a  1−  c 2

6  1 cos  2

c

a  1−

2



2

sin  cos d d 

d

6  1 cos  2 cos d d . 2 2 c a  1− 

Auf linke Seite gruppieren wir alle Glieder, die d  enthalten: d 

−

3 

2

a  1−  c 2

2

sin  cos  d 

6 1cos  d c 2 a  1− 2

6  1 cos  2 cos  d  = 2 2 c a  1− 

= −

3 

2

a  1−  c 2

2

sin  cos  d 

6  1 cos  2 cos  d  . 2 2 c a  1− 

Mit =

3

a  1

2



sieht dann die Gleichung für d  folgend aus:



−

d =

1

d =

d =

d =

 c

2

 c 2

2

2

sin  cos 2

 sin  cos 2

 c

2

 c

2



2

1 cos cos  d 

1 cos −2

 c

2

1 cos  cos 

− sin 2  cos 2 cos 2 2  cos 3  2

c 2 2 3 sin  cos 22 cos −2 cos −2 cos   2 cos2  cos 3 cos2 −1 c2 2 2 2cos 1−3 cos 2 cos −2 cos   − cos 2 cos 2 3 cos3  2

c 2 3 23 cos −2 cos −3cos  

15

d .

, 2

d,

d ,

Die Abkürzungen 2

3

=−cos 2 cos 3 cos  , =3 cos −2 cos 2 −3 cos3 

eingeführt, kommen wir zur kompakten Form: d =

 2

c 2 

d.

Um dies integrieren zu können, machen wir eine Näherung mit Hilfe von Binomischer Reihe:  2

c 2 



=

1 

2

c 2 1 2  c 2 

≈

 2

c 2 

  

1−

2

c 2 

 2

= c 2 

−



  2

c 2 

2

.

Daher ist die Perihelverschiebung  nach einer Umlauf: 2

=∫0

[

 2

c 2 

−



  2

c 2 

2

]

d .

Mit der Identifizierung der Variablen können wir die Integra-tion durchführen. 2

∫0 =

2

2 3  d =∫0 −cos 2 cos 3 cos   d  =

[

sin 2  3 −sin  −sin 3 sin  4

]

2

=2 ;

0

=−3 2 cos2 8  cos 3 4  3  2−1  cos 4  2

∫0

  d =−3  3  3  −1  − 2

2

−12 cos 5 −9 2 cos 6  ,

45 3 2 2   =    −8  8 8

und nicht vergessen =

3

a  12 

.

Endlich können wir das Resultat und zwar die Perihelverschie-bung pro Umlauf präsentieren: 16

=

27    −8  2

6 

c 2 a  1 2 6 

−

2

8 [ c a  1  6 ] 2

2

2

.

Eine konkrete Berechnung hat gezeigt, dass sich diese Formel reduzieren lässt: ≈

6 

c a  1 2

2



.

18 Jahre nach Gerber's Publikation tauchte dieselbe Formel in Allgemeiner Relativitätstheorie.

Literatur [1] Wikipedia. Paul Gerber. http://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Gerber [2] Paul Gerber, Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation. Zeitschrift für Mathematik und Physik. 43, 1898, S. 93–104 http://de.wikisource.org/wiki/Die_r%C3%A4umliche_und_zeitliche_Ausbreitung_ der_Gravitation [3] FAG: Ablenkung von Licht und schnellen Teilchen http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node74.html [4] Schmeidler, F. Interpretation of solar-limb light-deflection measurements. Astronomische Nachrichten (ISSN 0004-6337), vol. 306, no. 2, 1985, p. 77-80. In German. http://adsabs.harvard.edu/full/1985AN....306...77S [5] А. А. Михайлов. НАБЛЮДЕНИЕ ЭФФЕКТА ЭЙНШТЕЙНА ВО ВРЕМЯ СОЛНЕЧНЫХ ЗАТМЕНИЙ. УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК 7. LIX, вып. 1 1956 г. Май http://ufn.ru/ufn56/ufn56_5/Russian/r565d.pdf [6] Seeliger, H.: Bermerkungen zu P. Gerbers Aufsatz: "Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation". In: Annalen der Physik. 53, 1917, S. 31–32. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15355g/f37.chemindefer 17

[7] Oppenheim, S.: Zur Frage nach der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation. In: Annalen der Physik. 53, 1917, S. 163–168. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15355g/f168.chemindefer [8] Thomas Weis. Die Beschleunigte Ladung. Universität Dortmund. http://athene.delta.unidortmund.de/~weis/dateien/Vortr%E4ge/Vortrag_Theorie _Synchrotronstrahlung.PDF

18