Programación_lineal_metodo_simplex_unad.docx

PROBLEMA 1: Una empresa de jugos naturales produce tres tipos de bebidas que se venden en los supermercados de cadena y que cuyas compradoras potenciales son las madres para poner en las loncheras de sus hijos (Jugo 1 de pera, Jugo 2 de manzana y Jugo 3 tropical). El jugo 1 está compuesto por 20 mililitros el componente A, 30 mililitros el componente B y 20 mililitros el componente C. El jugo 2 está compuesto por 30 mililitros el componente A, 20 mililitros el componente B y 20 mililitros vez el componente C y finalmente el jugo 3 está compuesto por 20 mililitros el componente A, 10 mililitros el componente B y 20 mililitros el componente C. Se deben gastar como minino 1500 mililitros del componente A, máximo 1700 mililitros del B y máximo 1300 mililitros del C por producción al día. La utilidad de los jugos 1, 2 y 3, es respectivamente de 600, 400 y 500 pesos. El componente A, hace relación al agua usada, el B al saborizante que incluye concentración de azúcar y el C al conservante. -

Definiendo las variables. 𝒙𝟏 → 𝑷𝒆𝒓𝒂 𝒙𝟐 → 𝑴𝒂𝒏𝒛𝒂𝒏𝒂 𝒙𝟑 → 𝑻𝒓𝒐𝒑𝒊𝒄𝒂𝒍

-

Cuadro resumen. CUADRO RESUMEN INSUMO

JUGOS

RELACION RESULTADO

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑿𝟑

AGUA

20

30

20

≥

1500

SABORIZANTE

30

20

10

≤

1700

CONSERVANTE

20

20

10

≤

1300

UTILIDAD

$600

$400

$500

MÉTODO CANONICO Función objetivo: maximizar la utilidad. 𝑍: 600𝑥1 + 400𝑥2 + 500𝑥3 RESTRICCIONES 20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 ≥ 1500 30𝑥1 + 20𝑥2 + 10𝑥3 ≤ 1700 20𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1300 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0 MÉTODO ESTANDAR Función objetivo: maximizar la utilidad. 𝑍 − 600𝑥1 − 400𝑥2 − 500𝑥3 = 0 RESTRICCIONES 20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 + 𝑠1 − 𝑠4 = 1500 30𝑥1 + 20𝑥2 + 10𝑥3 + 𝑠2 = 1700 20𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 + 𝑠3 = 1300

𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0 𝑠1 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠4 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑠2 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑒𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑙𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑠3 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑙𝑔𝑢𝑟𝑎 -

Desarrollo en software PHP simplex

¿Es un caso de maximización, o minimización?, ¿Por qué? Es un caso de maximizar, puesto que se necesita que las utilidades sean los más grande posible, manteniendo el mínimo uso de componentes para los jugos. ¿Cuál es el resultado de Z y a que corresponde?, ¿Cuál es el resultado para cada una de las variables X1, X2, X3, X4, etc. y a que corresponden? El valor de Z es de 34750 y corresponde a las ganancias o utilidades obtenidas luego de vender los jugos. Los valores de las variables son: 𝑥1 = 42.5 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑥2 = 20 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 𝑥3 = 2.5 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑔𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑜𝑝𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠

PROBLEMA 2: Construya un planteamiento de acuerdo con el siguiente problema: Función objetivo Maximizar Z = 6X1 + 7X2 + 5X3 + 3X4 Sujeto a las restricciones: 3X1 + 3X2 + 2X3 + X4 ≤ 75 3X1 + 2X2 + 3X3 + 2X4 ≤ 100 2X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 ≥ 30 2X1 + 2X2 + 1X3 + 2X4 ≤ 68 X1, X2, X3, X4 ≥ 0 SITUACIÓN PROPUESTA. En una empresa de zapatería se tiene 4 líneas de zapatos, ultima colección, que son los zapatos verano, zapatos invierno, zapatos deportivos, zapatos formales, cada uno de estos zapatos usan primordialmente cuatro materias primas (cuero, cordón, zuela y pegante), para el caso del cuero, los verano usan 3 unidades, los invierno 3, los deportivos 2 y los formales 1 y solo se tienen 75 unidades de cuero, para el cordón del zapato, los verano usan 3 unidades, los invierno 2, los deportivos 3 y los formales 4, y solo se tienen 100 unidades de cordón. Para la zuela los zapatos verano usan 2 unidades, los invierno 2, los deportivos 4 y los formales 3 y por norma de la empresa se debe usar como mínimo 30 unidades de zuela, finalmente para el pegante los zapatos verano usan 2 unidades, los invierno 2, los deportivos 1 y los formales 2 y solo se tienen 68 unidades de pegante. Si se sabe que las utilidades son de 6 dólares por los zapatos verano, 7 dólares por los zapatos invierno, 5 dólares por los deportivos y 3 dólares para los formales. -

Definiendo las variables. 𝒙𝟏 → 𝒁. 𝒗𝒆𝒓𝒂𝒏𝒐 𝒙𝟐 → 𝒁. 𝒊𝒏𝒗𝒊𝒆𝒓𝒏𝒐 𝒙𝟑 → 𝒁. 𝒅𝒆𝒑𝒐𝒓𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒙𝟒 → 𝒁. 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍

-

Cuadro resumen. CUADRO RESUMEN

MATERIA

ZAPATOS

RELACION

RESULTADO

PRIMA

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑿𝟑

𝑿𝟒

CUERO

3

3

2

0

≤

75

CORDÓN

3

2

3

2

≤

100

SUELA

2

2

4

3

≥

30

PEGANTE

2

2

1

2

≤

68

UTILIDAD

6

7

5

3

MÉTODO CANONICO Función objetivo: maximizar la utilidad. 𝑍: 6𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 + 3𝑥4 RESTRICCIONES 3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 ≤ 75 3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 ≤ 100 2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 ≥ 30 2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 ≤ 68

𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ≥ 0 MÉTODO ESTANDAR Función objetivo: maximizar la utilidad. 𝑍 − 6𝑥1 − 7𝑥2 − 5𝑥3 − 3𝑥4 = 0 RESTRICCIONES 3𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 𝑠1 = 75 3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 + 𝑠2 = 100 2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑠3 + 𝑠5 = 30 2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 𝑠4 = 68 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0 𝑠1 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑙𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑠2 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑙𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑠3 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑠5 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑒𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠4 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑙𝑔𝑢𝑟𝑎 -

Desarrollo en software PHP simplex

¿Es un caso de maximización, o minimización?, ¿Por qué? Es un caso de maximizar, puesto que se necesita que las utilidades sean los más grande posible, manteniendo el mínimo uso de componentes para los zapatos. ¿Cuál es el resultado de Z y a que corresponde?, ¿Cuál es el resultado para cada una de las variables X1, X2, X3, X4, etc. y a que corresponden? El valor de Z es de 192 y corresponde a las ganancias o utilidades obtenidas luego de vender los zapatos. Los valores de las variables son: 𝑥1 = 0 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑧𝑎𝑝𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑜 𝑥2 = 8,5 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑧𝑎𝑝𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎 𝑥3 = 16 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑧𝑎𝑝𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑥4 = 17.5 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑧𝑎𝑝𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠. PROBLEMA 3: Raúl García es el heredero de un taller de carpintería que le ha dejado su padre como parte de tradición familiar. Raúl es un comerciante de vehículos importados que nunca se interesó por el negocio con el que su padre le crió y le pagó sus estudios universitarios. Ahora con la muerte de su padre Raúl debe hacerse cargo del negocio, el cual heredará algún día a uno de sus hijos. Cuando Raúl visita el taller para hacerse cargo, encuentra que el producto que mayor atención merece por ser el de mayor venta es el de escritorios tipo deko que su padre diseñó y que se fabrican según especificaciones de los clientes, tipo 1 para hogar, tipo 2 para oficinas y tipo 3 para colegios. Cada escritorio pasa por 3 procesos básicos el corte de la madera, el ensamblado y la pintura del producto terminado que se miden en horas de trabajo.

Raúl seguirá la política de contratación de personal de su padre, los turnos rotativos, por lo cual el tiempo de trabajo es variable entre una y otra semana, las horas mínimas a contratar por semana se muestran en la tabla 1. A partir de los datos siguientes que se consignan en la tabla 1, formule el problema de programación lineal y resuélvalo a partir del método simplex primal de las dos fases para ayudar a Rubén a minimizar los costos del proceso.

-

Tipo de escritorio

Corte

Ensamble

Pintura

1 2 3 Horas

2 2 3 33

3 2 1 31

2 3 1 35

Costos por producto semanales US 17 US 17 US 23

Definiendo las variables. 𝒙𝟏 → 𝑬. 𝒉𝒐𝒈𝒂𝒓 𝒙𝟐 → 𝑬. 𝒐𝒇𝒊𝒄𝒊𝒏𝒂𝒔 𝒙𝟑 → 𝑬. 𝒄𝒐𝒍𝒆𝒈𝒊𝒐𝒔

-

Cuadro resumen. CUADRO RESUMEN INSUMO

ESCRITORIOS

RELACION RESULTADO

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑿𝟑

CORTE

2

3

2

≥

33

ENSAMBLE

2

2

3

≥

31

PINTURA

3

1

1

≥

35

COSTO

17

17

23

MÉTODO CANONICO Función objetivo: Minimizar costos. 𝑍: 17𝑥1 + 17𝑥2 + 23𝑥3 RESTRICCIONES 2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 33 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≥ 31 3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≥ 35 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0 MÉTODO ESTANDAR Función objetivo mazimizar. 𝑍 − 17𝑥1 − 17𝑥2 − 23𝑥3 = 0 RESTRICCIONES

2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑠1 + 𝑠4 = 33 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 𝑠2 + 𝑠5 = 31 3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑠3 + 𝑠6 = 35 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑠4 , 𝑠5 . 𝑠6 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑒𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 -

Desarrollo en software PHP simplex

¿Es un caso de maximización, o minimización?, ¿Por qué? Es un caso de minimizar, puesto que se necesita que los costos para la elaboración de los escritorios sean mínimos. ¿Cuál es el resultado de Z y a que corresponde?, ¿Cuál es el resultado para cada una de las variables X1, X2, X3, X4, etc. y a que corresponden? El valor de Z es de 260.09 y corresponde al mínimo costo para la producción de los escritorios. Los valores de las variables son: 𝑥1 = 10.09 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑔𝑎𝑟 𝑥2 = 3.36 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑥3 = 1.36 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑜.

PROBLEMA 4: Construya un planteamiento de acuerdo con el siguiente problema: Función objetivo Minimizar Z = 720X1 + 215X2 + 120X3 + 70X4 Sujeto a las restricciones: 30X1 + 5X2 + 3X3 + 7X4 ≥ 510 17X1 + 7X2 + 3X3 + 5X4 ≥ 320 11X1 + 5X2 + 4X3 + 2X4 ≥ 280 7X1 + 6X2 + 5X3 + 1X4 ≥ 170 X1, X2, X3, X4 ≥ 0 Situación planteada. Juan, un estudiante de ingeniería mecánica vende brownies para poder costear el costo de estudio, para esto tiene 4 sabores de brownies, chocolate, vainilla, chantilly y frutos rojos, cada uno de los brownies pasan por 4 procesos, creación de la masa base, creación de la crema, congelación, distribución Tipo de brownies

masa

Crema

Refrigeración

Distribución

Chocolate Vainilla Chantilly Frutos rojos COSTO

30 17 11 7 510

5 7 5 6 320

3 3 4 5 280

7 5 2 1 170

-

Costos por producto semanales 720 215 120 70

Definiendo las variables. 𝒙𝟏 → 𝑩. 𝒄𝒉𝒐𝒄𝒐𝒍𝒂𝒕𝒆 𝒙𝟐 → 𝑩. 𝑽𝒂𝒊𝒏𝒊𝒍𝒍𝒂 𝒙𝟑 → 𝑩. 𝑪𝒉𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒍𝒚 𝒙𝟒 → 𝑩. 𝑭𝒓𝒖𝒕𝒐𝒔 𝒓𝒐𝒋𝒐𝒔

-

Cuadro resumen. CUADRO RESUMEN PROCESOS

BROWNIES

RELACION

RESULTADO

𝑿𝟏

𝑿𝟐

𝑿𝟑

𝑿𝟒

MASA

30

5

3

7

≥

510

CREMA

17

7

3

5

≥

320

REFRIGERACIÓN

11

5

4

2

≥

280

DISTRIBUCIÓN

7

6

5

1

≥

170

COSTOS

720

215

120

70

MÉTODO CANONICO Función objetivo: minimizar el costo 𝑍: 720𝑥1 + 215𝑥2 + 120𝑥3 + 70𝑥4 RESTRICCIONES

30𝑥1 + 17𝑥1 + 11𝑥1 + 7𝑥1 +

5𝑥2 + 3𝑥3 + 7𝑥4 ≥ 510 7𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 ≥ 320 5𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥4 ≥ 280 6𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑥4 ≥ 170 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ≥ 0

MÉTODO ESTANDAR 𝑍 − 720𝑥1 − 215𝑥2 − 120𝑥3 − 70𝑥4 = 0 RESTRICCIONES 30𝑥1 + 17𝑥1 + 11𝑥1 + 7𝑥1 +

5𝑥2 + 7𝑥2 + 5𝑥2 + 6𝑥2 +

3𝑥3 3𝑥3 4𝑥3 5𝑥3

+ + + +

7𝑥4 − 𝑠1 + 𝑠5 = 510 5𝑥4 − 𝑠2 + 𝑠6 = 320 2𝑥4 − 𝑠3 + 𝑠7 = 280 𝑥4 − 𝑠4 + 𝑠8 = 170

𝑠1 , 𝑠2 , , 𝑠4 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑠5 . 𝑠6 , 𝑠7 , 𝑠8 → 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 -

Desarrollo en software PHP simplex

¿Es un caso de maximización, o minimización?, ¿Por qué? Es un caso de minimizar, puesto que se necesita que los costos para la elaboración de los brownies sean mínimos. ¿Cuál es el resultado de Z y a que corresponde?, ¿Cuál es el resultado para cada una de las variables X1, X2, X3, X4, etc. y a que corresponden? El valor de Z es de 8945 .45 y corresponde al mínimo costo para la producción de los brownies. Los valores de las variables son: 𝑥1 = 0 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑟𝑜𝑤𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒 𝑥2 = 0 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑟𝑜𝑤𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉𝑎𝑖𝑛𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑥3 = 42.72 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑟𝑜𝑤𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑙𝑦 𝑥4 = 54.54 → 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑟𝑜𝑤𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑙𝑦

Solución por EXCEL. Z S1 S2 S3

X1 -600,00 20,00 30,00 20,00

X2 -400,00 30,00 20,00 20,00

X3 -500,00 20,00 10,00 20,00

S1 0,00 1,00 0,00 0,00

S2 0,00 0,00 1,00 0,00

S3 0,00 0,00 0,00 1,00

S4 0,00 -1,00 0,00 0,00

Resultado 0,00 1500,00 1700,00 1300,00

Z S1 X1 S3

X1 0,00 0,00 1,00 0,00

X2 0,00 16,67 0,67 6,67

X3 -300,00 13,33 0,33 13,33

S1 0,00 1,00 0,00 0,00

S2 20,00 -0,67 0,03 -0,67

S3 0,00 0,00 0,00 1,00

S4 0,00 -1,00 0,00 0,00

Resultado 34000,00 366,67 56,67 166,67

Z S1 X1 X3

X1 0,00 0,00 1,00 0,00

X2 150,00 10,00 0,50 0,50

X3 0,00 0,00 0,00 1,00

S1 0,00 1,00 0,00 0,00

S2 5,00 0,00 0,05 -0,05

S3 S4 22,50 0,00 -1,00 -1,00 -0,03 0,00 0,08 0,00

Resultado 37750,00 200,00 52,50 12,50

La cantidad de cada jugo que debe fabricarse es: Jugo de Pera: 52,5 unidades Jugo de Manzana: 0 unidades Jugo Tropical: 12,5 unidades para obtener 37750 pesos de utilidad.

COMPARACIÓN DE RESULTADOS El resultado obtenido por PHP fue de 34750 de utilidades El resultado obtenido por EXCEL fue de 37750 Por tal razón fue mejor el método de EXCEL, pues produce 3000 mas de utilidades.