Reconstruccion De Señales..docx

Práctica 1. Reconstrucción de señales. Vázquez Guzmán Miguel I. Introducción Muchas de las señales de interés practico proceden de fenómenos físicos que son continuos y generan señales analógicas. Para procesar de forma digital estas señales es necesario convertir la señal al dominio digital, realizar el procesado y posiblemente volver a transformar la señal al dominio continuo.

La transformada de Fourier de una señal continúa multiplicada por un tren de deltas 𝑝(𝑡) es

El sistema debe realizar una conversión de una señal digital a una señal de tiempo continuo, posteriormente es necesario realizar una interpolación de la señal para aproximar el valor a los instantes de tiempo entre muestras consecutivas.

𝑥𝑟 (𝑡) = 𝑥𝑝 (𝑡) ∗ ℎ(𝑡)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(5)

Teóricamente, existe un proceso de interpolación óptima, denominada como interpolación ideal, que permite recuperar la señal analógica original, de la cual proviene la secuencia de entrada al conversor. Este proceso de recuperación o de construcción se produce de forma exacta, siempre que la señal esté limitada en banda y se haya muestreado con una frecuencia de muestreo suficientemente alta. En la práctica este método resulta excesivamente complejo y se suelen utilizar otros métodos de interpolación: interpolación de orden cero o de orden uno.

𝑥𝑝 (𝑡) = ⁡𝑥(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(3) ∞

1 𝑋(𝑓) = ⁡ ⁡ ∑ 𝑋(𝑓 − 𝑛𝑓𝑜 )⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(4) 𝑇𝑠 𝑛=−∞

Donde la función de reconstrucción queda de la siguiente manera: ∞

𝑥𝑟 (𝑡) = ⁡ ∑ 𝑥(𝑛𝑇𝑠 )𝛱(𝑓𝑠 (𝑡⁡ − ⁡𝑛𝑇𝑠 ))⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(6) 𝑛=−∞

Interpolador de primer orden: La respuesta al impulso ℎ(𝑡) ahora es un pulso triangular de la forma: 𝑡

ℎ(𝑡) = ⁡𝛬 (𝑇 ) 𝑠

(7)

Usando (3), obtenemos la nueva ecuación para la reconstrucción de una señal con interpolador de primer orden y queda: ∞

Interpolador de orden 0:

𝑥𝑟 (𝑡) = ⁡ ∑ 𝑥(𝑛𝑇𝑠 )𝛬(𝑓𝑠 (𝑡⁡ − ⁡𝑛𝑇𝑠 ))⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(8)

Es un filtro cuya respuesta al impulso ℎ(𝑡) es un pulso cuadrado, que genera una señal de salida en forma de “escalera” 𝑥𝑎 (𝑡) . Podemos ver la señal de salida en escalera 𝑥𝑎 (𝑡) generada por 𝑥(𝑡) = sin⁡(𝜃⁡𝑡) muestreado con un tren de deltas

𝑛=−∞

Interpolador Ideal o modelo Whittaker-Shannon: Siguiendo los pasos de los anteriores interpoladores, definimos su respuesta al impulso como: 𝑡 𝑇𝑠

𝑝(𝑡) = ⁡ ∑∞ 𝑘=−∞ 𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇𝑠 )⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1) y luego pasado a través de un filtro cuya respuesta al impulso es: 𝐵⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠í⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑡⁡ ≤ ⁡ 𝑇𝑠 ℎ(𝑡) = {

(2a) 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐸𝑛⁡𝑜𝑡𝑟𝑜⁡𝑐𝑎𝑠𝑜

ℎ(𝑡) = ⁡𝑠𝑖𝑛𝑐 ( )

(9)

Su formula de interpolación se deriva del teorema de Nyquist, que señala que también se puede expresar como la convolución de un tren de impulsos infinitos con una función sinc, partiendo de las ecuaciones (3) y (5), dando como resultado: ∞

𝑡 𝑇𝑠

ℎ(𝑡) = ⁡𝛱 ( )

(2b)

𝑥𝑟 (𝑡) = ⁡ ∑ 𝑥(𝑛𝑇𝑠 )𝑆𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑠 (𝑡⁡ − ⁡𝑛𝑇𝑠 ))⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(10) 𝑛=−∞

Debemos destacar que este filtro no es realizable.

II.

Resultados

Figura 2.1 Señal reconstruida con interpolador de orden 0.

Figura 2.4Espectro de señal reconstruida con interpolador de primer orden.

Figura 2.2 Espectro de señal reconstruida con interpolador de orden 0.

Figura 2.5 Señal reconstruida con interpolador ideal.

Figura 2.3 Señal reconstruida con interpolador de primer orden.

Figura 2.6 Espectro de señal reconstruida con interpolador ideal.