La Distribución De Weibull No Surge De La.docx

La distribución de Weibull La distribución de Weibull no surge de la estadística clásica y usualmente no se incluye en los textos de estadística elemental. Es mucho más probable que sea tratada y usada en trabajos

que

involucran

con contabilidad. Es una

resultados

experimentales, particularmente

distribución cambiante y asimétrica, es ampliamente

usada en la ingeniería como modelo para la descripción del tiempo de duración de un

componente. Esta

distribución

fue

introducida

por el científico sueco del mismo nombre, quien demostró que el esfuerzo al que se someterlos materiales puede modelarse mediante el empleo de esta distribución. Sea T la variable aleatoria que denota el tiempo de duración d e u n c o m p o n e n t e d a d o y s e a f su función de densidad. Es claro que T es no negativa. Supóngase que se desea conocer la probabilidad de que el componente falle durante las próximas ∆t unidades de tiempo, dado que está funcionando correctamente hasta el tiempo t. Si F es la función de distribución d e la variable aleatoria T y si F (t) < 1, entonces,

La función (λ) se conoce como función de riesgo o tasa de falla asociada a la variable aleatoria T. La función R(t) : = 1 − F (t) s e c o n o c e c o m o función de contabilidad. L a e x p r e s i ó n anterior i n d i c a q u e s i s e c o n o c e l a f u n c i ó n d e d e n s i d a d d e l t i e m p o d e d u r a c i ó n del componente, entonces, se conoce su tasa de falla. Ahora:

Integrando a ambos lados de la ecuación anterior, se obtiene:

Esto es:

Es razonable suponer que F = 0 , e s t o e s , q u e l a p r o b a b i l i d a d d e f a l l a i n s t a n t á n e a d e l componente es cero. En tal caso se tiene que C = 0 y p o r l o t a n t o :

Lo cual permite conocer la función de distribución de la variable aleatoria T, a partir de su función

de riesgo. Si

se supone

que

la tasa

de falla

e s c o n s t a n t e e i g u a l a λ > 0 , s e v e q u e para t ≥ 0:

Esto indica que la variable aleatoria T tiene una distribución exponencial de parámetro λ. Supóngase ahora que la función de riesgo de la variable aleatoria T está dada por:

Donde δ y β son constantes positivas. En tal caso se tiene que:

Definición: la variable aleatoria T con función de densidad de probabilidad dada por:

Es una variable aleatoria de Weibull donde γ , δ y β son parámetros que definen la función: -δ e s e l p a r á metro de escala o vida característica. Este parámetro representa el tiempo(o el valor de la variable análoga usada) para el cual la probabilidad de fallo acumuladas de 63,2%. Por tanto cuando mayor sea δ, mayor será el intervalo de tiempo en que se producirán los fallos. -γ e s e l p a r á metro de translación, y se usa cuando inicialmente, durante un periodo de tiempo T, no se producen fallos y a partir de ese instante la fiabilidad del producto se puede aproximar por la distribución de Weibull (caso g > 0); o cuando hay fallos antes de empezar los ensayos (caso g < 0). - β es el parámetro de forma o perfil y determina la forma de la distribución.

La siguiente grafica muestra algunas formas que se pueden obtener con diferentes valores delos factores δ y β.

El uso de la función de distribución de Weibull en los estudios de fiabilidad de componentes s e d e b e p r i n c i p a l m e n t e a l a g r a n d i v e r s i d a d d e f o r m a s q u e e s t e m o d e l o p u e d e t o m a r , d e - pendiendo de los valores de los parámetros característicos. Esto de en qué forma

nos permite usar

un mismo

varié la tasa de fallos

modelo, independientemente del componente

estudiado,

simplificando en gran medida la tarea de anál i s i s d e l o s r e s u l t a d o s . S i n o u s aremos este modelo, cualquier análisis de los resultados obtenidos durante el ensayo

de

los

componentes implicar´ıa necesariamente un estudio previo de los datos, para determinar cual delos diferentes modelos existentes se asemeja m´as a los datos obtenidos. Esto conllevaría un mayor tiempo de análisis probabilidad

de

error,

debido

a

que

una

y

una

mala

mayor elección

del modelo implicaría dar un resultado erróneo. Al aplicar Weibull, el estudio previo

de los datos se reduce únicamente a una inspección visual en busca de posibles datos anómalos que distorsionen los resultados. Al aplicar Weibull se obtiene la distribución de fallos del conjunto de donde proviene la muestra, ´únicamente ajustando los parámetros del modelo al conjunto de componentes ensayados. Los parámetros característicos de la función de Weibull se pueden extraer directamente dela muestra, usando para este fin diferentes métodos. Esto permite conseguir un modelo estadístico que representa con mayor o menor exactitud la distribución de los fallos del conjunto o lote de donde provienen los componentes ensayados. Al conocer la distribución de los fallos, se puede responder a preguntas del tipo: ¿Cuantos componentes fallarán durante el primer año?, ¿cuánto tiempo de garantía tendrá que tener el componente para que ´únicamente fallen el 1% durante ese periodo?. etc. La esperanza E(t) y la varianza V(x) están dadas por:

Donde Γ representa la función g a m m a q u e t o m a l a f o r m a Γ ( n) = (n −1 ) ! p a r a n ú meros enteros positivos. La función de distribución de Weibull es un modelo estadístico que representa la probabilidad de fallo después de un tiempo t (R(t)) en función del tiempo transcurrido o de una variable anál o g a . O d i c h o d e o t r a m a n e r a , R ( t ) e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e l o s c o m p o n e n t e s d e u n conjunto sobrevivan hasta el momento t. Esta función de probabilidad de fallo o función d e fiabilidad R(t), viene dada por:

A partir de R(t) se puede definir la probabilidad de que un componente f a l l e a n t e s d e l momento t, que se indica como

F (t). Esta función e s m u y ´ útil en el estudio de fiabilidad de componentes y se puede representar como:

Método implícito: Una forma simple de ver la distribución d e l o s f a l l o s y d e e s t a f o r m a poder analizar y decidir sobre los resultados, es hallar los parámetros de la función de Weibulla partir de

la media

y de

la varianza de la muestra. Este

método permite calcular δ y β de una forma simple, pero no da una buena aproximación de los valores a menos que se hallan hecho pruebas con muchos componentes o elementos. Para hallar los parámetros de esta función se deben seguir los siguientes pasos: 1. clasificar el tiempo o ciclos de cada muestra (ti) de menor a mayor.2. Se halla el Ln de cada tiempo de vida de cada muestra, Ln (ti).Las ecuaciones de cálculo son las siguientes:

Donde:

Ejemplos 1.

Tenemos un conjunto de componentes que fallan en el siguiente núm e r o d e h o r a s : 0 . 2 2 ; 0.5; 0.88; 1; 1.32; 1.33; 1.54; 1.76; 2.5 y 3. A partir de estos valores,

calcule

la

probabilidad

de que un componente

de las mismas características dure más d e 5 h o r a s : Para resolver este problema, se adjuntan los valores de Ln(ti), ya que los necesitaremos para calcular los parámetro con el método analógico implícito.

Si aplicamos las formulasdelmétodoimplícito para el cálculo de los parámetros , se obtiene:

Por lo que los parámetros serán:

Entonces,

2. Suponga que X tiene una distribución de Weibull con β = 0,2 y δ= 100 horas. Determine la esperanza y la varianza de X.

3. E l t i e m p o d e f a l l a , e n h o r a s , d e u n r o d a m i e n t o e n u n a c a j a d e v e l o c i d a d e s s e m o d e l o satisfactoriamente como una variable aleatoria de Weibull con β =1/2 , y δ= 5000 horas.

Determine el tiempo medio de falla y la probabilidad de que un r o d a m i e n t o d u r e m á s d e 6000 horas. De la expresión de la media,

Y,

Por tanto solo el 33,4% de todos los rodamientos durará al menos 6000 horas. 4. A s u m a q u e l a v i d a d e u n a l á mpara fluorescentes sigue una distribución de Weibull con parámetros β = 2 y δ = 10. 000 horas.

(a) Determine la probabilidad de que la lámpara dure al menos 8000 horas.

(b) Determine el valor esperado de la vida de la lámpara.

Donde se ha hecho uso de los valores de Γ tabulados en la siguiente tabla:

Distribución de Weibull La distribución de Weibull es una distribución versátil que se puede utilizar para modelar una amplia gama de aplicaciones en ingeniería, investigación médica, control de calidad, finanzas y climatología. Por ejemplo, la distribución se utiliza frecuentemente con análisis de fiabilidad para modelar datos de tiempo antes de falla. La distribución de Weibull también se utiliza para modelar datos asimétricos del proceso en el análisis de capacidad. La distribución de Weibull se describe según los parámetros de forma, escala y valor umbral y también se conoce como la distribución de Weibull de 3 parámetros. El caso en el que el parámetro de valor umbral es cero se conoce como la distribución de Weibull de 2 parámetros. La distribución de Weibull de 2 parámetros se define solo para variables

positivas. Una distribución de Weibull de 3 parámetros puede funcionar con ceros y datos negativos, pero todos los datos para una distribución de Weibull de 2 parámetros deben ser mayores que cero. Dependiendo de los valores de sus parámetros, la distribución de Weibull puede adoptar varias formas. Efecto del parámetro de forma El parámetro de forma describe la manera en que se distribuyen los datos. Una forma de 3 se aproxima a una curva normal. Un valor de forma bajo, por ejemplo 1, da una curva con asimetría hacia la derecha. Un valor de forma alto, por ejemplo 10, da

una

curva

con

asimetría

hacia

la

izquierda.

Efecto del parámetro de escala La escala, o vida característica, es el percentil 63.2 de los datos. La escala define la posición de la curva de Weibull respecto del valor de umbral, lo cual es similar a la manera en que la media define la posición de una curva normal. Una escala de 20, por ejemplo, indica que el 63.2% de los equipos fallará en las primeras 20 horas

después

del

tiempo

umbral.

Efecto del parámetro de valor umbral El parámetro de valor umbral describe un desplazamiento de la distribución alejándose del 0. Un valor umbral negativo desplaza la distribución hacia la izquierda, mientras que un valor umbral positivo desplaza la distribución hacia la derecha. Todos los datos deben ser mayores que el valor umbral. La distribución de Weibull de 2 parámetros es igual a la distribución de Weibull de 3 parámetros con un valor umbral de 0. Por ejemplo, la distribución de Weibull de 3 parámetros (3,100,50) tiene la misma forma y dispersión que la distribución de Weibull de 2 parámetros (3,100), pero está desplazada 50 unidades hacia la derecha.

Aplicaciones: La distribución de Weibull se utiliza en: 

Análisis de la supervivencia



En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes



Teoría de valores extremos



Meteorología



Para modelar la distribución de la velocidad del viento (frecuencia con la que se dan diferentes velocidades de viento)



En telecomunicaciones



En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida



En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas



En la hidrología, se utiliza la distribución de Weibull para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos, y además para describir épocas de sequía.5

La distribución de Poisson Esta distribución se utiliza en situaciones en las que se quiere determinar el número de eventos de un tipo concreto que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio dado. Esta distribución se debe a un matemático y físico francés del siglo XIX, Siméon-Deni Poisson, el cual publicó por primera vez sus estudios sobre la Poisson en su trabajo “Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles”

La probabilidad de nuestra variable aleatoria X viene dada por la siguiente expresión:

donde:  

Nuestra variable aleatoria discreta puede tomar los valores: donde es la media del número de sucesos en el intervalo que estemos tomando, ya sea de tiempo, distancia, volumen, etc. Es importante entender que este valor es una media en el sentido estrictamente estadístico de la palabra y como tal se calculará mediante dicha expresión y no debe calcularse nunca con una regla de proporcionalidad o regla de tres.



Se debe cumplir la condición de normalización



La desviación típica es



Cuando realizamos un experimento contando sucesos y obtenemos un valor x, su error vendrá determinado por la raíz de x.

La distribución de Poisson debe de cumplir los siguientes requisitos: 

La variable discreta

es el número de ocurrencias de un suceso durante un intervalo

(esto es la propia definición que hemos dado anteriormente). 

Las ocurrencias deben ser aleatorias y no contener ningún vicio que favorezca unas ocurrencias en favor de otras.



Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo que se emplee.

La distribución de Poisson cumple la propiedad reproductiva, es decir, podemos sumar dos distribuciones de Poisson de parámetro λ1 y λ2 respectivamente, de tal forma que obtenemos una distribución de Poisson cuyo parámetro será igual a la suma de los anteriores: λ1+ λ2.

RELACIONES

CON

OTRAS

DISTRIBUCIONES

Parte de la importancia de esta distribución se debe a la relación existente con otras distribuciones.

Podemos

vincularla

con

las

siguientes:

-Distribución binomial: Diremos que una distribución binomial de parámetros n y p, se aproxima a una distribución de Poisson de parámetro λ =np, cuando se cumpla que n>30, p<

0,1

y

np<10.

-Distribución normal: Por el Teorema Central del Límite, tenemos que una distribución de Poisson de parámetro λ, tiende a una distribución normal donde la media es λ, y la varianza es

λ.

-Distribución exponencial: Cuando el número de eventos de un fenómeno estudiado sigue una distribución de Poisson, entonces los tiempos discurridos entre dos eventos seguidos diremos que sigue una distribución exponencial. APLICACIONES Esta distribución puede ser encontrada en varias ocasiones de la vida cotidiana, sobre todo en fenómenos relacionados con la naturaleza, es decir, con los fenómenos que se dan 0, 1, 2….veces en un intervalo de tiempo o espacio. Algunos ejemplos de estos fenómenos que podemos modelar con una distribución de Poisson son: – El número de peces muertos encontrados por unidad de superficie en una determinada área. – El número de vehículos que pasan por un rádar fijo durante un intervalo de tiempo concreto. – El número de llamadas telefónicas recibidas en una central por minuto. – El número de inventos llevados a cabo por una persona a lo largo de su carrera. Y así podríamos continuar de forma infinita…. Esta es otra distribución utilizada en confiabilidad cuando uno está interesado en la ocurrencia de un número de eventos que son del mismo tipo. La ocurrencia de cada evento es denotado por un punto en la escala de tiempo, donde cada evento representa una falla. la función de distribución está definida por

Donde es la constante de falla (o razón de falla), t es el tiempo. la función de distribución acumulativa es

DISTRIBUCION DE POISSON ¿Cuándo usar esta distribución? Útil para la ocurrencia de eventos por unidad de tiempo: errores/mes, quejas/semana, defectos/día. Para su aplicación, la probabilidad de ocurrencia del evento debe ser constante en tiempo o espacio y debe haber independencia de ocurrencia de eventos. También se puede usar como una aproximación de la distribución binomial, cuando el valor de n* es menor que 5 lo que implica tener muestras grandes y valores de  pequeños. Cuando  está en función del tiempo se debe multiplicar ese valor de  por el número de unidades de tiempo, sea que se habla en este caso de =t. FORMULAS

Funcion densidad ( t ) p ( x,  t )  * e  t x! Funcion acumulada x

X

P( x, t )   p( xi , t ) i 1

Función densidad p ( x,  ) 

x

* e 

x! Función acumulada X

P ( x,  )   p ( xi ,  ) i 1

Valor esperado de la media Valor esperado de la media     t Valor esperado de la var ianza Valor esperado de la var ianza

 2  t

2 

Forma de la curva

¿Cómo usar las tablas? Para usar las tablas se sigue este procedimiento:

Asegurar que la variable sigue un comportamiento Poisson (prueba de bondad de ajuste). Se identifican los valores de n,  y x o el valor de  si este es dado. Se determina el valor de  multiplicando n por , en el caso de una aproximación a la binomial. En el caso de probabilidades puntuales, se localiza el valor de x en la

columna de la

izquierda y el valor de  o  (media de la distribución de Poisson) en la parte superior de la tabla. ¿Cómo usar las tablas? En el caso de probabilidades acumuladas, se localiza el valor de  en la columna de la izquierda y el valor de x en la parte superior de la tabla. El valor de la probabilidad es el valor que interseca al valor de x con el valor de . Esto se muestra en el siguiente segmento de la tabla. Por ejemplo si =3.2, x=7, la respuesta es 0.0278.

SOLUCION 1. dos defectos?

P(x=2) para n=80. El valor de  es (4/200)*80 = 1.6 defectos. Se usa la tabla densidad de Poisson con x=2, por lo que el resultado es: P(x=2)=p(2,1.6)=0.2584 Se puede usar también la tabla Poisson acumulada con =1.6 defectos. P(x=2)= P(x2) – P(x1) = P(2,1.6)- P(1,1.6) P(X=2)=0.783-0.525 = 0.258 La probabilidad de que haya dos defectos es 0.2584. EJEMPLO 3 Una compañía vende productos en metros y se ha caracterizado por tener una tasa promedio de 4 defectos por cada 200 metros. Si se compran 80 metros, ¿cuál es la probabilidad de que haya: 1. dos defectos? 2. más de cuatro defectos? SOLUCION También a manera de ejemplo se puede usar la fórmula correspondiente, así:

1.6 2 1.6 p(2,1.6)  * e  0.2584 2! La probabilidad de que haya dos defectos es 0.2584. SOLUCION

2. más de cuatro defectos? P(x>4) = 1- P(x4)= 1- P(4,1.6)= 1-0.976=0.024 Se usa la tabla de Poisson acumulada con =1.6 defectos. P(x4)= 0.976 La probabilidad de que haya más de cuatro defectos es 0.024. EJEMPLO 4 Una compañía de ventas por teléfono recibe llamadas a razón de 5 por segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba: 1. tres llamadas en un segundo? 2. más de cuatro llamadas en dos segundos? SOLUCION 1. El valor de  es 5 llamadas por segundo y el de x es 3 llamadas en un segundo. Se usa la tabla densidad. Así: P(x=3)=p(3,5)=0.1404 Se puede usar también la tabla Poisson acumulada de =5 llamadas por segundo. P(x=3)= P(x3) – P(x2) = 0.265-0.125 = 0.14 La probabilidad de que haya dos defectos es 0.1404. 2. El valor de  es 5*2=10 llamadas por segundo y el de x>4 llamadas por segundo. Se usa la tabla Poisson acumulada de =10 llamadas por segundo.

P(x>4)= 1- P(x4) = 1- 0.029 = 0.971 La probabilidad de que haya dos defectos es 0.971. DISTRIBUCION DENSIDAD TABLAS PARA P(X=…)

DE

POISSON

DISTRIBUCION ACUMULADA TABLAS

DE

POISSON

La distribución exponencial Esta es la distribución más ampliamente utilizada en confiabilidad en ingeniería, debido a que muchos procesos en ingeniería muestran una razón constante de riesgo durante su vida útil. Además es analíticamente manejable en el análisis de confiabilidad. la función de densidad continua está definida por

es la razón constante de falla por unidad de tiempo. Su función de distribución acumulativa es

No resulta complicado demostrar que si T es una variable aleatoria que sigue esta densidad entonces su esperanza es

Usos de la distribución exponencial para modelar datos de fiabilidad La distribución exponencial es una distribución simple con solo un parámetro y comúnmente se utiliza para modelar datos de fiabilidad. La distribución exponencial es en realidad un caso especial de la distribución de Weibull con ß = 1. La distribución exponencial ofrece un modelo adecuado para la fase de la vida útil de un producto o elemento en la que es igual de probable que falle en cualquier momento, sin importar si es totalmente nuevo o si tiene un año o varios años de antigüedad. En otras palabras, la fase previa al inicio del envejecimiento y desgaste durante su uso previsto. 

La distribución exponencial suele utilizarse para modelar componentes electrónicos que por lo general no se desgastan hasta mucho después de la vida útil esperada del producto en el

que están instalados. Entre los ejemplos están los componentes de los circuitos integrados de alta calidad, como diodos, transistores, resistencias y condensadores. 

La distribución exponencial también se considera un modelo excelente para el período largo y "plano" (relativamente constante) de bajo riesgo de falla que caracteriza a la porción media de la curva de bañera. Esta fase se corresponde con la vida útil del producto y se conoce como la porción de "falla intrínseca" de la curva.



Sin embargo, la distribución exponencial no debe utilizarse para modelar componentes mecánicos o eléctricos que se espera que muestren fatiga, corrosión o desgaste antes de que termine la vida útil del producto, como los rodamientos de esferas o ciertos láseres o filamentos. Una propiedad importante de la distribución exponencial es que no tiene memoria. La propiedad de ausencia de memoria indica que la vida útil restante de un componente no depende de su antigüedad actual. Por ejemplo, un sistema que está sujeto a uso y desgaste y, por lo tanto, tiene más probabilidades de fallar en una etapa más avanzada de su vida útil no es un sistema sin memoria. Por lo tanto, esta distribución debe utilizarse cuando la tasa de fallas sea constante durante toda la vida útil del producto. El número de fallas por unidad en el tiempo por lo general se expresa como un porcentaje de fallas por unidad de tiempo, como por ejemplo el porcentaje de fallas por cada mil horas.

Ejemplo 1: Transistores Se sabe que un componente electrónico tiene una tasa constante de fallas durante la vida útil esperada de un producto. Los ingenieros registran el tiempo para fallar del componente en condiciones normales de funcionamiento.

Ejemplo 2: Filamentos Una empresa de bombillas produce filamentos incandescentes que no se espera que se desgasten durante un período prolongado de uso normal. Desean ofrecer una garantía de 10 años de funcionamiento. Los ingenieros someten a esfuerzo las bombillas para simular un uso prolongado y registran los meses hasta la falla para cada bombilla.

Función de densidad de probabilidad y función de riesgo para la distribución exponencial

Función de densidad de probabilidad La función de densidad de probabilidad indica que los datos de fallas son asimétricos a la derecha

Función de riesgo Distribución exponencial de fallos: tasa de fallos constante La función de distribución que se utiliza más a menudo para modelar la fiabilidad es la exponencial, ya que es sencilla de tratar algebraicamente y se considera adecuada para modelar el intervalo de vida funcional del ciclo de vida del dispositivo. Se utiliza para modelar el tiempo transcurrido entre dos sucesos aleatorios no muy frecuentes cuando la tasa de ocurrencia, λ, se supone constante. En el contexto de la curva de la bañera, esta distribución representa la zona central o etapa de vida útil del dispositivo, durante la cual la tasa de fallo permanece aproximadamente constante (esta etapa suele ser la predominante en la vida de componentes electrónicos o mecánicos).

Función de densidad y de distribución de probabilidad de distribución exponencial La distribución exponencial aparece cuando la tasa de fallos es constante, es decir, λ(t)=λ. La función de fiabilidad correspondiente es entonces:

La función de distribución:

Y la función de densidad f(t):

Es decir, si la tasa de fallos se considera constante, entonces la función de distribución de los fallos es exponencial. De las propiedades de ésta se deduce que la probabilidad de que una unidad que está trabajando falle en el próximo instante es independiente de cuánto tiempo ha estado trabajando. Esto implica que la unidad no presenta síntomas de envejecimiento: es igualmente probable que falle en el instante siguiente cuando está nueva o cuando no lo está. En fiabilidad se usa para describir los tiempos de fallo de un dispositivo durante su etapa de vida útil, en la cual la tasa de fallo es aproximadamente constante. Una tasa de fallo constante significa que, para un dispositivo que no haya fallado con anterioridad, la probabilidad de fallar en el siguiente intervalo infinitesimal es independiente de la edad del dispositivo. La función de riesgo indica que el riesgo de falla es constante. Ejercicios

resueltos

de

distribución

exponencial

-#1

El tiempo de revisión del motor de un avión sigue una distribución exponencial con media 2222 minutos. a) Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor a 1010 minutos. b) ¿Cuál es el tiempo de revisión de un motor superado por el 10%10% de los tiempos de revisión? c) El costo de revisión es de 200200 unidades monetarias fijas al que se le

suma 1010unidades monetarias por el tiempo que dure la revisión. Encontrar la media y la varianza del costo.Resolución del ejercicio 1 Definamos bien la variable y su distribución.

Definición de la variable:

XX: el tiempo de revisión del motor de un avión La distribución de la variable XX es: X∼Exponencial(β=22)X∼Exponencial(β=22) Entonces podemos escribir su función de densidad de probabilidad

fexp(x)=122e–x22x≥0fexp(x)=122e–x22x≥0 Y también su función de distribución:

F(x)={0six<01–e–x22six≥0F(x)={0six<01–e–x22six≥0 La gráfica de la función de distribución es (podés moverte en la gráfica arrastrando con el cursor):

A continuación graficamos la función de densidad. Con SHIFT y botón IZQUIERDO del mouse se puede mover el gráfico para reposicionarlo. Es posible mover el punto sobre el eje horizontal y ver dinámicamente el área acumulada a la izquierda del punto:

ÍTEM A Queremos averiguar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor a 10 minutos. Y conocemos la función de distribución de la variable. Así que basta con reemplazar por x=10x=10 en la función de distribución. P(x<10)=F(10)=1–e–1022=0,3652P(x<10)=F(10)=1–e–1022=0,3652

También

se

podría

calcular

(mediante

integrales)

el

área

comprendida

entre x=0x=0 y x=10x=10. (O usando software cómo el applet que está más arriba que calcula el área acumulada a la izquierda).

ÍTEM B Buscamos aquel valor de la variable que acumula a su derecha una probabilidad de 0,10,1. Equivalentemente podemos decir que ese valor de variable acumula a su izquierda una probabilidad de 0,90,9. Podríamos llamar x0,9x0,9 a ese valor. Aplicando logaritmos logramos despejar x0,9x0,9 : ⇒F(x0,9)=1–e–x0,922=0,9⇒F(x0,9)=1–e–x0,922=0,9 ⇒e–x0,922=0,1⇒–x0,922=ln(0,1)⇒e–x0,922=0,1⇒–x0,922=ln⁡(0,1) ⇒x0,9=–22.ln(0,1)=50,65⇒x0,9=–22.ln⁡(0,1)=50,65

ÍTEM C Si simbolizamos con CC al costo de reparación y XX es el tiempo de reparación… entonces: C=200+10XC=200+10X E(C)=E(200+10X)E(C)=E(200+10X) Usando propiedades de esperanza:

E(C)=200+10E(X)E(C)=200+10E(X) Sabemos que E(X)=22E(X)=22 entonces: E(C)=200+10(22)=420E(C)=200+10(22)=420 La esperanza del costo es de 420 unidades monetarias.

V(C)=V(200+10X)V(C)=V(200+10X) Usando propiedades de la varianza:

V(C)=102.V(X)V(C)=102.V(X) V(C)=100.222=48400 Ejercicios

resueltos

de

distribución

exponencial

-#2

El tiempo de vida de una lámpara especial sigue una distribución exponencial con media 100

hs.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara dure por lo menos 30 horas? b) Si una lámpara ya lleva 50 horas de uso, ¿cuál es la probabilidad de que dure más de 80

horas?

c) Se seleccionan cinco lámparas, ¿Cuál es el número esperado de lámparas que duran por lo menos 30 hs (considerando las 5)?Resolución del ejercicio 2

ÍTEM A XX: tiempo de vida de una lámpara especial. Sabemos que la esperanza de una variable exponencial es E(X)=1/λE(X)=1/λ. Cómo la esperanza es 100, entonces λ=1/100λ=1/100. Entonces la distribución es:

X∼Exponencial(λ=1100)X∼Exponencial(λ=1100) P(X>30)=1–P(X≤30)=1–(1–e–30100)=e–30100=0,7408P(X>30)=1–P(X≤30)=1–(1–e– 30100)=e–30100=0,7408

ÍTEM B P(X>80|X>50)P(X>80|X>50) Por la propiedad de falta de memoria esta propiedad es igual a:

P(X>30)=0,7408P(X>30)=0,7408 Probabilidad que ya habíamos calculado en el ítem a.

ÍTEM C Y∼Binomial(n=5,p=0,7408)Y∼Binomial(n=5,p=0,7408) E(Y)=5.0,7408=3,704E(Y)=5.0,7408=3,704

Ejercicios

resueltos

de

distribución

exponencial

-#3

La duración de un cierto modelo de batería tiene una distribución exponencial. Se sabe que

la

media

es

de

5000

horas.

El fabricante de las baterías debe informar cual es la duración de esas baterías. ¿Qué duración debe informar si quiere que la probabilidad de que una batería concreta viva más que esa duración informada sea del 90%? Resolución del ejercicio 3 Definamos con claridad la variable de distribución exponencial:

X:X: duración en horas de una batería de cierto modelo del fabricante Recordemos que en una distribución exponencial la esperanza matemática (la media) coincide con el parámetro ββ de la distribución: E(X)=β=5000E(X)=β=5000 O si se usa el parámetro λλ se obtiene: E(X)=1λ=5000⇒λ=15000E(X)=1λ=5000⇒λ=15000 Es decir que:



Conocemos la distribución: exponencial



Conocemos el parámetro de la distribución: β=5000β=5000 o bien λ=15000λ=15000.

T∼Exp(β=5000)T∼Exp(β=5000) Entonces ya podemos escribir la función de densidad de la variable exponencial:

fexp(t)={0sit<015000e–t5000sit≥0fexp(t)={0sit<015000e–t5000sit≥0 Y también la función de distribución:

Fexp(t)={0six<01–e–t5000sit≥0Fexp(t)={0six<01–e–t5000sit≥0 La pregunta que tenemos que responder es: ¿Qué duración informar, para que la duración real supere a esa duración informada un 90% de las veces?

La

función

de

densidad

es:

Buscamos una duración “baja”, para que el área a la derecha de esa duración sea de 0,9:

Podemos llamar t0,1t0,1 a esa duración que buscamos (ya que deja 0,1 de área a izquierda).

t0,1|P(T≤t0,1)=0,1t0,1|P(T≤t0,1)=0,1 Es decir:

F(t0)=0,1F(t0)=0,1 Usando la función de distribución:

1–e–t0,15000=0,11–e–t0,15000=0,1 ⇒e–t0,15000=0,9⇒e–t0,15000=0,9 Aplicamos logaritmo natural a cada miembro:

⇒–t0,15000=ln(0,9)⇒–t0,15000=ln⁡(0,9) ⇒t0,1=–5000.ln(0,9)⇒t0,1=–5000.ln⁡(0,9) ⇒t0,1≅526,8⇒t0,1≅526,8

El fabricante debe informar que las baterias duran 526,8526,8 horas, si quiere que la probabilidad de que una batería en particular supere esa duración sea del 90%90%.