Números Complejos.docx

Números complejos En un inicio los pitagórico pensaban que el mundo y todos sus fenómenos podían entenderse haciendo uso solamente de números enteros y racionales, pero eso fue cambiando a medida que aparecieron los llamados números irracionales y luego los números imaginarios como instrumento para dar solución a ecuaciones en donde se requería de un número que represente la raíz cuadrada de menos uno (√−1), al cuál se lo representa con la letra “i”. Comenzó como una idea netamente abstracta, pero a medida que fue siendo estudiado cada vez se encontraban más usos para este número y actualmente pasa de lo simple imaginario para ser totalmente indispensable para entender muchos fenómenos en lo real. Operaciones con números complejos Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos, así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Suma y Resta Para hacer la suma y resta de números imaginarios los trataremos como si fuesen un binomio y sumaremos únicamente los términos semejantes. El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a √−1. Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números complejos. Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales.

Ilustración 1 Ejemplo de suma de números imaginarios Fuente: («Operaciones con Números Complejos», s. f.)

Multiplicación Multiplicar dos números imaginarios funciona del mismo modo que multiplicar variables, pero hay un paso adicional. (5i)( −3i)

=

(5)( −3)(i)(i)

=

−15i2

Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical. Por lo tanto: (i)2

=

(√−1)( √−1)

=

−1

Entonces: (5i)( −3i) = 15 En el caso de multiplicar números complejos se aplicará la regla de distribución.

Ilustración 2 Ejemplo de multiplicación de números complejos Fuente: («Operaciones con Números Complejos», s. f.)

División De igual forma consideraremos a la i como √−1 y haremos la división normalmente. Cuando el divisor es un número complejo con partes real e imaginarias distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo siempre es un número real, por lo que el denominador será un número real. Esto significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado.

Trata la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor común que tengan el numerador y el denominador, si existe. Ten cuidado de usar la propiedad distributiva, los números deben ser un factor de todos los términos.

En este caso, el denominador aún tiene el término i. Para racionalizar el denominador, multiplica por el conjugado complejo del denominador. En este caso, el conjugado complejo es (7 – 5i). (En los conjugados complejos, las partes reales son iguales y las partes imaginarias son inversos aditivos.)

Expande el numerador y el denominador. Recuerda, el denominador debe ser un número real (sin el término i) si escoges el conjugado complejo correcto y realizas la multiplicación correctamente.

Reemplaza i2 con −1 y simplifica.

El cociente puede escribirse en la forma a + bi usando fracciones para a y b.

Siempre comprueba el producto final para ver si se puede simplificar más. En este caso, ambas fracciones pueden simplificarse.

Ilustración 3 Resumen de Operaciones con números complejos Fuente: («Operaciones con Números Complejos», s. f.)

Forma polar de números complejos La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un número complejo.

Ilustración 4 Representación gráfica de la forma rectangular Fuente: («Forma polar de un número complejo», s. f.)

El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Encontramos los componentes reales y complejos en términos de r y θ donde r es la longitud del vector y θ es el ángulo hecho con el eje real.

Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento. El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|. El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

Ilustración 5 Ejemplo de forma polar de un número complejo Fuente: («Números complejos en forma polar», s. f.)

El inverso de un número complejo El inverso de un número complejo es su conjugado partido entre el cuadrado de su módulo. El sistema de los números complejos tiene la propiedad de la existencia del inverso multiplicativo o recíproco para todo número distinto de cero. La propiedad del inverso multiplicativo se refiere a que para cada número z, distinto de cero, existe un número, llamado el inverso, denotado por z−1, que cumple z⋅z−1=1. Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de z=a+bi, con a⋅b≠0, es

Ilustración 6 Demostración de z⋅z−1=1 Fuente: («Recíproco o inverso de un número complejo», s. f.)

Referencias ¿Qué son los NÚMEROS COMPLEJOS? - YouTube. (s. f.). Recuperado 14 de octubre de 2018, de https://www.youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro Forma polar de un número complejo. (s. f.). Recuperado 14 de octubre de 2018, de https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/polar-form-of-a-complexnumber Números complejos en forma polar. (s. f.). Recuperado 14 de octubre de 2018, de https://www.ditutor.com/numeros_complejos/complejos_polar.html Operaciones con Números Complejos. (s. f.). Recuperado 14 de octubre de 2018, de https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1519_RESOURCE/U16_L4_T2_text_final_es.html Recíproco o inverso de un número complejo. (s. f.). Recuperado 14 de octubre de 2018, de http://matematicatuya.com/Complejos/Inverso-multiplicativo-imaginario.html Robles, J. A. (2016). Matemática hasta el siglo XVIII.?` Qué son los números? Diánoia. Revista de Filosofía, 28(28), 155–171.