Guía De Matemática.docx

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Tema 2

n

1n 1 1 a n     n  n a a a

Teoría de exponentes

Ejemplo: 2

Recuerda:

3

Una potencia es el producto de factores iguales, es decir,

ii)

2

1 1 1    2  9 3 3

Base racional

a n  a  a  a  a  a  ........  a

a   b

n veces 𝑎 como factor

2   3

Producto de potencias de igual base

a n  a m  a n m 7. Ejemplo: 3  3  3 2

2.

3

23

3.

Ejemplos:

a n  b n  a  b 

a  a nm am

n

70  1

i)

n

2 x

ii) 8.

45  4 57  4  2 7 4

3

 5 x  3  1 0

Potencias de base 1

1n  1 Ejemplo:

a  b n

ó

150  1  an  bn

Ejemplo: 5  3  5  3  15  225 2

2

Potencia de exponente cero

a0  1

Potencia de un producto

2

5

35 243 3    5  32 2 2

 3  243

an : am 

45 : 47 

5

5

Cociente de potencias de igual base

Ejemplo:

n

bn b    n a a

Ejemplo:

Propiedades 1.

n

2

9.

Exponente fraccionario 𝑛

𝑎𝑚/𝑛 = √𝑎𝑚 4.

Potencia de un cociente Ejemplo n

a a n a n : b n  a : b      n b b Ejemplo: 10 : 5  10 : 5 3

5.

3

3

 10      23  8 5

5

𝑎3/5 = √𝑎5 3

𝑥 2/3 ∙ 𝑦1/4 = √𝑥 2 ∙ 4√𝑦 10. Producto de radicales homogéneos

Potencia de una potencia

a 

n m

Ejemplo:

6.

3

n

p 

3 2

 a nm

 p 32  p 6

Potencia de exponente negativo i)

Base entera

𝑛

𝑛

𝑛

√𝑎 ∙ √𝑏 = √𝑎 ∙ 𝑏

3

3

3

5

5

5

√ 𝑥 ∙ √𝑦 = √𝑥 ∙ 𝑦 √2 ∙ √𝑥 = √2𝑥

11. Cociente de radicales homogéneos 𝑛

√𝑎

𝑛

√𝑏

𝑛

= √

𝑎 𝑏

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3

√𝑥

3

√𝑦

3

=√

𝑥 𝑦

14) 15)

5

√2

5

√𝑥

5

=√

12. Potencia de un radical 𝑝

𝑛

𝑛

( √𝑎𝑚 ) = √𝑎𝑚×𝑝 3

3

3 ( √𝑥 ) = √𝑥 1∗5 = √𝑥 5

2

5

5

5

( √23 ) = √23×2 = √26 13. Radical de un radical 𝑚 𝑛

√ √𝑎 =

5 3

√ √𝑥 =

5×3

15

9 6

9×6

54

√ √2 =

y

3a 1

2

𝑚×𝑛

√𝑎

√𝑥 = √𝑥

√2 = √2

 m 3a 1   3

   : 9y   

 p 2 x 1 18)  3 2 x p

  

 k 3t  2 19)  2 3t k

   

  

 n5x n 2x 22)  3 x 1  3 n n

x2

p 1

6

3) 4)

b bx 

5)

23  2 2 

8)

 3

12) 13)



 9 3 p   2

4

20

4

4.

3 5

4

4

 3  2   2 1    26) E = 2 

271 / 6



2 8

II. a

4 

 

1) k 3  k 4

x

3x 2



 2 p  = 3mn   3x  5x   3 2

2 4

2

Resolver y marcar la respuesta correcta

a

1 6 9)       3  5

11)



5 6

x

10)



5 x 11



7)

  

4 a  3b

: 128 x 1 

4

25) E =

p   b  

6)

n

 x 2 a b  x b  2 a 21)  2a 3b  x x

27

a 5  a  a x  y  a 2 x 3 y 



   

24)

2)

3

 a 3m 1  a 2 m  2 20)  a 4 m 3 

I.

a a 



10

Ejercicios 2

1)

1

 w 3 m 17)  m  w

2 x 3

3



3

64

6

4

   

23)

Aplicar las propiedades de exponentes y reducir las siguientes expresiones:

2 2

 3y 2

 a 2x 16)  3 a

2 𝑥

5

m

3 3 2



a)

k9

b)

k 10

c)

k 11

d)

k 14

e)

k 24

2



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2) El cociente entre p2x y p3-x es equivalente a: a)

p x 1

b)

p nx

c)

x px

d)

x p 1

e)

p 3 x 3

7) El resultado de 32 + 32 + 32 es: a) b) c) d) e)

92 36 33 272 Ninguna de las anteriores

8) – 62 = 0

3)

 2 7  2 1  3x    1  x   8  a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

x2 2x x–1 2 2 – x2

9) El cuadrado de -3m3 es:

4) Si x = 5  10

3

a)

5  10 6

b)

25  10 6

c)

10  10 3

a) b) c) d) e)

, entonces x2 =

5  10

e)

25  10 6

a) -9 b) -2 c) 0

5) ¿Cuál es el valor de



4  5 0  30  30  a) b) c) d) e)

-9m6 9m6 9m3 -9m9 9m9

3 2  3 2 10)  32

1

d)



12 36 -36 -12 -1/36



12 0  5 0  30 0 4



d) -80/81 e) 1/9

4 1 -2 7 0 3

 1 6) ¿Cuál es el valor numérico de    ?  3 a) b) c) d) e)

1/27 27 -1/27 -27 Ninguna de las anteriores

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Tema 3 Notación científica Notación científica. Escritura abreviada de números en términos de potencias de 10. La forma general de un número en notación científica es: 𝑎 × 10𝑛 , donde 1 ≤ 𝑎 < 10 y 𝑛 es un entero. ¿Cuál de los siguientes números está escrito en el formato de notación científica? •

4.25 x 100.08

•

0.425 x 107

•

42.5 x 105

•

4.25 x 106

Conversión de números mayores que la unidad: 

 



Cuente el número de lugares que debe moverse de derecha a izquierda para ubicar una coma de tal manera que se forme un número comprendido entre 1 y 10. Escriba el número formado seguido del signo x y el número 10. Colóquele al valor de 10 un exponente correspondiente al número de lugares que debió recorrer en el primer punto. Como el número es mayor que la unidad el signo del exponente es positivo.

Ejemplo: 600 = 6 × 102 65 000 = 6.5 × 104 Conversión de números menores que la unidad: 

  



Cuente el número de lugares que debe moverse la coma de izquierda a derecha de tal manera que se forme un número comprendido entre 1 y 10. Escriba el número formado seguido del signo x y el número 10. Colóquele al valor de 10 un exponente correspondiente al número de lugares que debió correr la coma. Como el número es menor que la unidad, el signo del exponente es negativo.

Ejemplo 0.03 = 3 × 10−2 0.000054 = 5.4 × 10−5 Suma: Para sumar o restar números expresados en notación científica, se requiere que sus exponentes

sean iguales, los prefijos se suman normalmente y se coloca la potencia 10 elevada al mismo exponente. Ejemplo 2.4 × 103 + 7.1 × 103 = (2.4 + 7.1) × 103 = 9.5 × 105 Observación: Si los exponentes de las cantidades de la suma no son iguales, debemos recorrer el punto decimal de alguno de los prefijos, con lo cual cambia el exponente de la base de 10. El ajuste se hace de manera que ambos exponentes queden iguales  

Cuando el punto decimal se recorre a la derecha el exponente disminuye. Cuando el punto decimal se recorre a la izquierda el exponente aumenta.

Multiplicación Cuando se multiplican potencias que tienen la misma base se suman sus exponentes Ejemplo (300 000) × (200 000 000) = (3 × 105 ) × (2 × 108 ) = 6 × 105+8 = 6 × 1013 División Para dividir números expresados en notación científica, los prefijos numéricos se dividen y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor Ejemplo 0.008 8 × 10−3 = = 2 × 10−3−2 = 2 × 10−5 400 4 × 102

Ejercicios 3 1. Exprese en notación científica los siguientes números:  69 =  0,069 =  8600 =  0,00086 =  124000 =  0,000000124 = 2. Expresar normalmente (en forma decimal) los siguientes valores que fueron obtenidos en notación científica  6.03 × 10−7 =  8 × 108 =  6,023 × 105 =  5,6 × 10−1 =  2,45 × 10−5 =  9,206 × 10−3 =  8,134 × 106 =

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USMP 3. Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en notación científica, recuerda que antes de realizar la operación debes escribir todos los números en notación científica:  0,0000035 + 1,24 × 10−4 =  8567900 ∗ 4,5 × 104 =  0,0024 / 1230 =  3,5 × 107 – 8903456 =  7,078 × 10−6 ∗ 3,21 × 10−10 =  0,0012– 0,0003 =  1/6,023 × 1023 =  1,4 × 1035 ∗ 4,7 × 10−45 =  4560000000000 + 980000000000 =

ESCUELA PROFESIONAL DE TURISMO Y HOTELERÍA 12. Escribe con todas sus cifras los siguientes números escritos en notación científica:  2,51 · 106  1,15 · 104  9,32 · 10-8  3,76 ·1012  1,01 · 10-3  9,3 · 105

4. Escribe en notación científica la distancia de la Tierra al Sol, que es de 149680000000 m.

13. Realiza las siguientes operaciones en notación científica:  (3,73 · 10-1) · (1,2 · 102)  (1,365 · 1022) : (6,5 · 1015)  13.200 · 5,4 · 105  (1,431 · 103) : (5,4 · 105)

5. Escribe en notación científica el diámetro de un átomo de hidrógeno, que es de 0,0000000002 m.

14. Calcula el término que falta en cada caso:  (2,5 · 106) · ¿? = 8,4 · 105  (3,6 · 1012) : ¿? = 2 ·1012

6. ¿Cuál es el mayor de estos números? 2,45 x 10-6, 2,45 x 10-7, 2,45 x· 10-5, -2,45 x 107

15. Sabiendo que cada persona tiene en la cabeza una media de aproximadamente, 1,5 · 106 cabellos y que en el mundo hay, aproximadamente, 5 · 109 personas, ¿cuántos pelos hay en la Tierra?

7. ¿Cuál es el mayor de estos números? 1,06 x 10-6, 1,55 x 10-6, -1,65 x 106, 1,5 x10-6

8. Resuelve la siguiente operación escribiendo previamente en notación científica los términos que intervienen en ella: 20000000 ∗ 320000 = 9. Resuelve la siguiente operación escribiendo previamente en notación científica los términos que intervienen en ella: 20000 = 4000000 10. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año, es decir, aproximadamente 9460800000000 km. Se estima que la Vía Láctea tiene un diámetro de aproximadamente 100000 años luz. ¿Cuántos kilómetros tiene la Vía Láctea de diámetro? 11. Expresa en notación científica:  25.300  9.800.000.000.000  0,000000089  1.254,96  4.376,5  96.300.000

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Tema 4

Tema 5

Descomposición de números naturales en factores primos

Polinomios

La descomposición de un número en sus factores primos es la expresión del número como producto de otros factores más pequeños y que sean números primos. Para hacer esta descomposición se realizan divisiones sucesivas del número y de los cocientes obtenidos por números primos (elegidos de menor a mayor) y se acaba con el último cociente igual a 1. Ejemplo 132 2 66 2 33 || 3 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 132 = 22 ∙ 3 ∙ 11 11 11 1 735 245 49 || 7 1

3 5 7 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 735 = 3 ∙ 4 ∙ 72 7

Ejercicios 4 Halla la descomposición factorial de estos números

Monomio. Un monomio es el producto indicado de un número (coeficiente) por una o varias letras elevadas a unos exponentes (parte literal). Cada una de las letras que componen la parte literal de un monomio se denomina variable. Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes respectivos. Se llama grado de un monomio al número que resulta de sumar los exponentes de las letras que constituyen su parte literal. Los números son monomios de grado 0, puesto que 𝑥 0 = 1. Se llama valor numérico de un monomio, para ciertos valores de las letras que intervienen, al número que se obtiene al sustituir las letras por estos valores y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo. Dados los siguientes monomios, identificar el coeficiente, la parte literal, hallar el grado y el valor numérico para los valores 𝑥 = 2, 𝑦 = −2, 𝑧 = 5     

3𝑥 2 4𝑥 2 𝑦 −5𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 𝑦3𝑧 4



36



122



81

Operaciones con monomios



54



75



125

Para sumar o restar monomios estos deben ser semejantes, ya que, si no lo son, no se puede sumar y hay que dejar la operación indicada.



70



88

Cuando los monomios son semejantes se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal



170

Ejemplo.



350



888



1024

3𝑥 2 𝑎𝑏 + 5𝑥 2 𝑎𝑏 − 2𝑥𝑎𝑏 = 8𝑥 2 𝑎𝑏 − 2𝑥𝑎𝑏 Para multiplicar o dividir monomios, se multiplican o dividen los coeficientes por una parte y las partes literales por otra, teniendo en cuenta como se multiplican y dividen potencias de la misma base

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Ejemplo. (3𝑥 2 𝑎𝑏)(5𝑥𝑎𝑐) 15 2+1−1 1+1 1−2 = 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑥𝑏 2 2 15 2 2 −1 = 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 2 Polinomio Un polinomio está formado por sumas y diferencias de dos o más monomios. Cada uno de los monomios que componen el polinomio se llama término del polinomio. Si un polinomio tiene dos términos se le llama binomio, si tiene tres, trinomio, y así sucesivamente. Al término que no tiene letras se le denomina término independiente. Se dice que un polinomio está en forma reducida cuando están efectuadas todas las sumas posibles de monomios semejantes, y que está ordenado cuando los términos que lo componen están ordenados de mayor a menor exponente de la 𝑥. Se llama grado de un polinomio al mayor exponente de la 𝑥 que aparece en la forma reducida del polinomio. El valor numérico de un polinomio 𝑃(𝑥) para 𝑥 = 𝑎, es el resultado que se obtiene al sustituir 𝑥 por 𝑎, y realizar las operaciones indicadas

3.

Diferencia de cuadrados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2

4.

Binomio al cubo (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3

5.

Producto de binomios con término común (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

6.

Suma y diferencia de cubos (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3 (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 − 𝑏 3

7.

Trinomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

Ejercicios 5.1 1.

Simplificar: 3x  12  3x  12 3x 2  1

2.

Si se cumple que: a2 +b2 = 3ab. Reducir: a  b 2  a  b 2 a  b 2  a  b 2

3.

Reducir:

Ejemplo. 1. Escribe en forma reducida y ordenada los siguientes polinomios. ¿Cuál es su grado?  5x + 6x2 – 8x + x3 – 6x2 + 4  4 + x + 2x4 – x2 + 5x3 + 4x4 – 3 + 4x2– 6x4  2x – 4x2+ x3 – x2 + 4x3– x – 5x3 2. Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x3 + 2x2 – x + 1 para los valores de x: 5; -1; 1/2; -2/3

8

4. Productos notables. Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen de forma directa.

2.

Binomio suma o diferencia (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 Identidades de Legendre (𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎2 + 𝑏 2 ) (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏)4 + (𝑎 − 𝑏)4 = 8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏 2 )

 3  1 3  1 3  1 4

Siendo: X  2 3  2 3

Principales productos notables 1.



Efectuar: 4

5.





25  3 52  32 54  34  38

Hallar x2 6.

Reducir “M”: M 

x

 2a 2  2x  a 2 x  a x  a   2a 2

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Efectuar: 3 2 3 2

8.

9.

Ejemplo. Factorizar. 3 2



Efectuar:

2

  2

3 1 

a) 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) b) 2𝑎(𝑚 − 2𝑛) − 𝑏(𝑚 − 2𝑛) = (𝑚 − 2𝑛)(2𝑎 − 𝑏)

3 2



2



3 1  22 3 1



3 1



   

a) 𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 + 𝑎𝑞 + 𝑏𝑞 = (𝑎 + 𝑏)(𝑝 + 𝑞) b) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑥)

8

4.

Ejemplo. Factorizar

11. Reducir: m  2m  2  9 N  m2  5

a) 𝑥 2 + 6𝑥 + 5 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 5) b) 𝑥 2 + 4𝑥 + 12 = (𝑥 + 6)(𝑥 − 2)

1 1  5 ; hallar x 3  3 x x

5.

Factorización de un trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 El trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el método del aspa

13. Si: m + n = 2; m . n = 1 Hallar m3 + n3 14. Si: n2 = n + 1 Hallar



Factorización de un trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 El trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el método del aspa

10. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1 Calcular: (x + y)2

12. Si: x 

Factor común por agrupamiento. Se trata de extraer un doble factor común

Ejemplo. Factorizar

Si se cumple que: 2y x  2 2y x

x Calcular  y

3.

Ejemplo. Factorizar







P  8 n n2 1 n4 1 n8 1 1

a) 2𝑥 2 − 11𝑥 + 5 = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 5) b) 5𝑥 2 + 11𝑥 + 2 = (5𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 6.

Factorización por diferencia de cuadrados 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

Factorización. Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.

Ejemplo. Factorizar

Principales casos de factorización

a) 9𝑥 2 − 16𝑦 2 = (3𝑥 + 4𝑦)(3𝑥 − 4𝑦) b) 4𝑥 2 − 1 = (2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)

1.

Factor común monomio. Es el factor que está presente en cada término del polinomio

Ejemplo. Factorizar a) 12𝑥 + 18𝑦 − 24𝑧 = 6(2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧) b) 5𝑎2 − 15𝑎𝑏 − 10𝑎𝑐 = 5𝑎(𝑎 − 3𝑏 − 2𝑐) c) 6𝑥 2 𝑦 − 30𝑥𝑦 2 + 12𝑥 2 𝑦 2 = 6𝑥𝑦(𝑥 − 5𝑦 + 2𝑥𝑦) 2.

7.

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒃𝒙 + 𝒃𝟐 = (𝒂𝒙 + 𝒃)𝟐 𝒂𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒃𝒙 + 𝒃𝟐 = (𝒂𝒙 − 𝒃)𝟐

Ejemplo. Factorizar c) 9𝑥 2 − 30𝑥 + 25 = (3𝑥 − 5)2 d) 𝑏 2 + 12𝑏 + 36 = (𝑏 + 6)2

Factor común polinomio. Es el término que aparece en cada término de la expresión.

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Ejercicios 5.2

Tema 6

Factorizar las siguientes expresiones 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.

6x - 12 = 24a - 12ab = 14m2n + 7mn = 8a3 - 6a2 = b4-b3 = 14a - 21b + 35 = x2( p + q ) + y2( p + q ) = ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = (a( a + b ) - b ( a + b ) = (2a + b ) + p ( 2a + b ) = ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) = a(2 + x ) - ( 2 + x ) = a2 + ab + ax + bx = ab - 2a - 5b + 10 = am - bm + an - bn = 3x2 - 3bx + xy - by = 3a - b2 + 2b2x - 6ax = ac - a - bc + b + c2 - c = ab + 3a + 2b + 6 = 2ab + 2a - b - 1 = 3x3 - 9ax2 - x + 3a = 6ab + 4a - 15b - 10 = a3 + a 2 + a + 1 = x2 + 4x + 3 = b2 + 8b + 15 = x2 + 14xy + 24y2 = x2 + 5x + 4 = a2 + 7a + 10 = x2 - x - 2 = s2 - 14s + 33 = y2 - 3y - 4 = m2 + 19m + 48 = 4x2 + 7x + 3 = 5 + 7b + 2b2 = 5c2 + 11cd + 2d2 = 6x2 + 7x - 5 = 3m2 - 7m - 20 = 2a2 - 13a + 15 = 9a2 - 25b2 = 4x2 - 1 = 36m2n2 - 25 = 169m2 - 196 n2 = 16x2 - 100 = 9p2 - 40q2 = 49x2 - 64t2 = 121 x2 - 144 k2 = b2 - 12b + 36 = m2 - 2m + 1 = 16m2 - 40mn + 25n2 = 36x2 - 84xy + 49y2 = 1 + 6ª + 9a2 = 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la forma general 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ≠ 0 Ejemplo. a) 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5 = 0 → 𝑎 = 3, 𝑏 = −2, 𝑐 = 5 b) 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 → 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, 𝑐 = −4 Solución de una ecuación cuadrática Son los valores de 𝑥 que al sustituirlos verifican la igualdad. Ejemplo. En la ecuación 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 

El valor 𝑥 = 4 no es solución porque 42 − 5(4) + 6 = 16 − 20 + 6 = 2 ≠ 0



El valor 𝑥 = 2 no es solución porque 22 − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas Si en la ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 alguno de los coeficientes 𝑏 o 𝑐 es nulo, se dice que es una ecuación incompleta y se puede resolver directamente. I.

Si 𝑏 = 𝑐 = 0 entonces la ecuación queda 𝑎𝑥 2 = 0 y la única solución es 𝑥 = 0. Ejemplo. 2𝑥 2 = 0 → 𝑥 = 0

II.

Si 𝑏 = 0 entonces la ecuación queda 𝑎𝑥 2 − 𝑐 = 0 y las soluciones son: 𝑐 𝑥 = ±√ 𝑎 Ejemplo 27 3𝑥 2 − 27 = 0 → 𝑥 = ±√ = ±√9 = ±3 3

III.

Si 𝑐 = 0 entonces la ecuación queda 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 y las soluciones son: 𝑏 𝑥=0 ∨ 𝑥=− 𝑎

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Ejemplo 12 3𝑥 + 12𝑥 = 0 → 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = − = −4 3

Ejercicios 6

2

1.

Resolución de ecuaciones cuadráticas completas Las soluciones de una ecuación cuadrática completa se resuelven usando el método del aspa (si se puede factorizar) o la fórmula general (si no se puede factorizar)

Si 𝐷 > 0, la ecuación tiene dos soluciones Si 𝐷 = 0, la ecuación tiene una solución Si 𝐷 < 0, la ecuación no tiene soluciones

a)

 2x 2  3x  5  0

b)

3x 2  4 x  1

c)

1  3x 2  x  0

2  3x  4 x 2 e) 2 xx  1  2 d)

Discriminante: 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐   

Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificando los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐

2.

Decir en cada ecuación si los valores que se proponen son solución o no de la ecuación a)

x 2  7 x  10  0 ; x  0, x  2, x  3, x  5

Solución por el método del aspa 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0

b) b)

2 x 2  5x  2  0 ;

x  1, x  1 / 2, x  2, x  3

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = 0 c)

𝑥+3=0 ∨ 𝑥−1=0

2 x 2  3x  5  0 ; x  1, x  1, x  2, x  2

c)

𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 1 𝐶𝑆. = {−3, 1}

2

 5x  c  0 , una solución es 3.

2

 bx  15  0 , una solución es

3.

En la ecuación x ¿Cuánto vale c?

4.

En la ecuación x 5 ¿Cuánto vale b?

5.

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas

Solución por fórmula general 2

Si 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 entonces las soluciones son: 𝑥=

−𝑏 ± √𝐷 2𝑎

Ejemplo.

a)

3𝑥 2 − 5𝑥 + 2 = 0 → 𝑎 = 3,

𝑏 = −5,

b)

𝑐=2

c)

Discriminante: 2

d)

𝐷 = 𝑏 − 4𝑎𝑐 =

(−5)2

− 4(3)(2) = 25 − 24 = 1

e) f)

Soluciones:

g) 𝑥=

−𝑏 ± √𝐷 −(−5) ± √1 5 ± 1 = = 2𝑎 2(1) 2 5+1 6 𝑥+ = = =3 2 2 5−1 4 𝑥− = = =2 2 2 𝐶𝑆. = {2, 3}

h) 6.

x2  x  0 2x 2  0 x2  9  0 4x 2  9  0 x 2  2x  0 8x 2  16x  0 3x 2  4  28  x 2 x 2  9x  0

Resolver las siguientes ecuaciones a) b) c) d) e) f) g)

x 2  8x  15  0 2x 2  9x  1  0 4x 2  12x  9  0 x 2  8x  25  0 4 x 2  12 x  9  0 3x 2  2x  1  0 x 2  7x  3  0 MATEMÁTICA | Lic. Alexander Meza Medina

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Tema 7 Sistema de ecuaciones lineales Dos variables Ecuaciones con dos incógnitas Una ecuación con dos incógnitas (o 2 variables) es una ecuación de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 donde 𝑥, 𝑦 son las incógnitas. Solución de una ecuación con dos incógnitas Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar que, si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitas soluciones. Ejemplo.

Sistema de ecuaciones.

𝑥 = 6, 𝑦 = 1 es una solución de la ecuación 2𝑥 − 5𝑦 = 7

Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las ponemos de esta forma

Por que 2(6) − 5(1) = 12 − 5 = 7 Representación gráfica Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema

𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 { 1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común de ambas. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones a)

Método de sustitución

Ejemplo. Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.

𝑥+𝑦=5 𝑦 =5−𝑥 { →{ 2𝑥 − 𝑦 = 7 𝑦 = 2𝑥 − 7 Tabulamos cada una de las ecuaciones X

-1

0

1

2

3

4

Y

6

5

4

3

2

1

Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método: 1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

X

-1

0

1

2

3

4

2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Y

-9

-7

-5

-3

-1

1

3º. Se resuelve esta ecuación. 4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

Ubicamos los puntos en el plano cartesiano, luego unimos los puntos con una línea recta

5º. Se ha obtenido, así, la solución

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ESCUELA PROFESIONAL DE TURISMO Y HOTELERÍA 𝑦 =5−𝑥 { 𝑦 = 2𝑥 − 7

Ejemplo. 𝑥+𝑦=5 { 2𝑥 − 𝑦 = 7

Igualamos ambas ecuaciones y resolvemos

Despejamos la 𝑥 de la primera ecuación 𝑥 = 5 − 𝑦

5 − 𝑥 = 2𝑥 − 7

Reemplazamos este despeje en la segunda ecuación

5 + 7 = 2𝑥 + 𝑥

2𝑥 − 𝑦 = 7

12 = 3𝑥

2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 7

12 =𝑥 3

10 − 2𝑦 − 𝑦 = 7 10 − 3𝑦 = 7 10 − 7 = 3𝑦

𝑥=4 Reemplazamos 𝑥 en cualquiera de las ecuaciones despejadas.

3 = 3𝑦 𝑦=1 Reemplazamos 𝑦 en el despeje realizado 𝑥 = 5−𝑦 𝑥 =5−1=4 La solución es: 𝐶𝑆 = {(4,1)} b) Método de igualación Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método: 1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2º. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita. 3º. Se resuelve esta ecuación. 4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejara la otra incógnita.

𝑦=5−𝑥 =5−4=1 La solución es: 𝐶𝑆 = {(4,1)} c)

Método de reducción

Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene una ecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas). Resumamos los pasos que debemos dar: 1º. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga). 2º. Al restarlas desaparece una de las incógnitas. 3º. Se resuelve la ecuación resultante. 4º. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve. 5º. Se obtiene, así, la solución Ejemplo. 𝑥+𝑦 =5 { 2𝑥 − 𝑦 = 7 Eliminamos la variable 𝑦 sumando ambas ecuaciones

5º. Se ha obtenido así la solución. 𝑥 + 2𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 5 + 7 Ejemplo. 3𝑥 = 12 𝑥+𝑦=5 { 2𝑥 − 𝑦 = 7 Despejamos 𝑦 de ambas ecuaciones

𝑥=

12 3

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ESCUELA PROFESIONAL DE TURISMO Y HOTELERÍA 𝑥=4

igual a la edad actual de María. ¿Cuál son las edades actuales de María y Julia?

Reemplazamos 𝑥 en cualquier ecuación 𝑥+𝑦 =5

c)

4+𝑦 = 5 𝑦=5−4 𝑦=1 La solución es: 𝐶𝑆 = {(4,1)}

Por 560 pesetas se han comprado 6 kg de azúcar de la clase A y dos kg de azúcar de la clase B. Se mezcla 1 kg de azúcar de cada clase y se obtiene una mezcla que vale 75 ptas. El kg. ¿Cuánto vale el kg de azúcar de la clase A? ¿Y el de la clase B?

d) Un comerciante compra un pañuelo y una bufanda por 2000 ptas. y los vende por 2260 ptas. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del pañuelo ganó el 10 por 100 y en la venta de la bufanda ganó el 15 por 100?

Ejercicios 7 1. a)

e)

En un colegio, entre chicos y chicas, hay 300 alumnos. Del total asisten a una excursión 155 alumnos. Se sabe que a la excursión han ido el 60 por 100 de los chicos y el 40 por 100 de las chicas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay en el colegio?

f)

¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

g)

En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos conejos y cuantas gallinas hay en el corral?

Resolver y graficar los siguientes sistemas de ecuaciones 𝑥+𝑦=2 { 2𝑥 + 3𝑦 = 5

b)

𝑥+𝑦=1 { 3𝑥 + 2𝑦 = 3

c)

2𝑥 + 𝑦 = 5 { 𝑥 + 3𝑦 = 5

d)

2𝑥 − 𝑦 = 3 { 4𝑥 + 3𝑦 = 1

e)

𝑥+𝑦=1 { 3𝑥 − 4𝑦 = 7

f)

5𝑥 − 𝑦 = 7 { 2𝑥 + 3𝑦 = −4 3𝑥 − 2𝑦 = 3 { 𝑥 − 3𝑦 = −6

i)

g)

La suma de dos números es 12 y su cociente es 3. Halla estos números.

h)

5𝑥 − 𝑦 = 9 { 𝑥−𝑦=1

j)

i)

2𝑥 − 3𝑦 = 2 { 𝑥 − 2𝑦 = 0

Un padre desea repartir entre sus hijos una cantidad de 10.000 pesetas. Al hijo mayor le quiere dar 2000 pesetas más que al pequeño. ¿Cuánto corresponderá a cada hijo?

2. a)

h) La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace diez años la edad del padre era triple que la del hijo. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo?

Plantear y resolver los siguientes problemas. La Cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta de invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es dicho número?

b) La edad de María es doble que la edad de Julia. Hace diez años la suma de las edades de las dos era

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Tema 8

𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 − 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 415 𝑘𝑔 𝑓𝑢𝑟𝑔𝑜𝑛𝑒𝑡𝑎 4 𝑐𝑎𝑗𝑜𝑛𝑒𝑠

Inecuaciones lineales

875 − 4𝑥 ≥ 415

Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar la incógnita para que se cumpla la desigualdad.

875 − 415 ≥ 4𝑥 460 ≥ 4𝑥 460 ≥𝑥 4

Ejemplo1. 3𝑥 − 2 < 1

115 ≥ 𝑥

3𝑥 < 1 + 2

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, este necesariamente debe de ser mayor que cero

3𝑥 < 3 𝑥<

3 3

𝑥<1

𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = ]0; 115]

𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = 〈−∞, 1〉 Ejemplo 2.

Ejercicios 8 𝑥+1 >4 2 𝑥+1> 4∗2 𝑥+1>8 𝑥 > 8−1

1) Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real. a) 2𝑥 − 3 > 4 − 2𝑥 b) 5 + 3𝑥 ≤ 4 − 𝑥 c)

4 − 2𝑥 > 𝑥 − 5

𝑥>7 d) 𝑥 + 8 ≤ 3𝑥 + 1 e)

1

2 (𝑥 − ) > 3𝑥 2

𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = 〈7, +∞〉 Ejemplo 3.

f)

Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?

g)

Llamamos 𝑥 al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

j)

𝑥+2 4

≤

𝑥−1 3

3𝑥 − 12 ≤

5𝑥−6 4

h) 3(4 − 𝑥) > 18𝑥 + 5 i)

k) l)

𝑥 3

𝑥

𝑥

2

6

+ >5− 𝑥

5𝑥

4

3

− −4≥ 5𝑥−2 3

−

𝑥−8 4

>

−

1 6

𝑥+14 2

−2

1

1

7

3

2

4

(2 − 𝑥) (−3) + 4 (− 𝑥 + ) > 0

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Resolver los siguientes problemas:

a)

¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?

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Tema 9 Inecuaciones cuadráticas

b) ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación 𝑥 + 2 < 3𝑥 + 1?

Para resolver una desigualdad cuadrática, se factoriza la expresión como producto de factores lineales, 𝑎𝑥 + 𝑏. Se aplica el método de puntos críticos para dar solución a dicha desigualdad

c)

Ejemplo 1.

Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro?

𝑥 2 > 7𝑥 − 10

d) Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo e)

f)

Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas? Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500.Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?

𝑥 2 − 7𝑥 + 10 > 0 (𝑥 − 5)(𝑥 − 2) > 0 𝑥−5=0 ∨ 𝑥−2=0 𝑥=5 ∨ 𝑥=2

𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = 〈−∞, 2〉 ∪ 〈5, +∞〉

Ejercicios 9 Hallar el conjunto solución.

1. 𝑥 2 – 1 ≥ 0 2. 8𝑥 2 + 5𝑥 ≥ 0 3. 𝑥(𝑥 − 3) − 2𝑥(𝑥 − 2) + 3𝑥 < 0 4. 4𝑥 2 − 1 < 0 5. 3𝑥 2 − 5𝑥 < 0 6. 𝑥(𝑥 − 5) − 2𝑥(𝑥 + 3) ≤ 𝑥 2 − 11𝑥 7. 𝑥 2 − 13𝑥 + 40 < 0 8. 2𝑥 2 + 3 ≤ 7𝑥 9. 2𝑥 2 − 3𝑥 − 36 > 𝑥 2 + 2𝑥 10. 3𝑥 2 + 16𝑥 − 12 < 0 11. 4𝑥(𝑥 + 3) ≥ −5 12. 3(2𝑥 2 + 1) > 11𝑥

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Tema 10 Razones y proporciones

𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠 =

Es decir, Por cada 2 niños que tiene la familia Sánchez, la familia Guerrero tiene 1 niño.

Razón Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente. Ejemplo 1. Alejandro que está en tercer semestre de Administración de Empresas ha realizado 15 exámenes, de éstos aprobó 12. Esto nos indica lo siguiente: a) Reprobó los 3 exámenes b) Los exámenes aprobados representan 12 4 = = 0.80 = 80% 15 5 Es decir, el 80% del total de exámenes c)

Los exámenes reprobados representan 3 1 = = 0.20 = 20% 15 5 Es decir, el 20% del total de exámenes

Observamos que para estas comparaciones tomamos el número que deseamos comparar como numerador y aquél contra el que comparamos como denominador y obtuvimos el cociente, si lo multiplicamos por 100 lo convertimos a porcentaje, que nos da una idea más clara de la razón que hay entre los dos números. Ejemplo 2. Adriana en este inicio de semestre gastó S/. 600 en papelería (cuadernos, plástico para forrar, tijeras, plumas, lapiceros, etc.), mientras que Marco gastó S/. 450 por el mismo concepto. 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 =

600 = 1.33 450

Es decir, el valor que canceló Adriana es 1,33 veces mayor que el que canceló Marco. Ejemplo 3. El matrimonio Sánchez Aguilar tiene 3 hijos: 2 niños y una niña. Mientras que el matrimonio Guerrero Fuentes tiene 4 hijos: 3 niñas y 1 niño.

2 =2 1

𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 =

1 3

Es decir, Por cada 1 niña que tiene el primer matrimonio, el segundo tiene 3 (no tiene sentido realizar la división ya que estamos hablando de cantidad de personas). Ejemplo 4. En el mes de julio a la Sra. Campaña Rocha, la tarjeta de crédito Bancomer le cobró el 3.83% de intereses (tasa mensual) mientras que la tarjeta de crédito Banamex le cobró el 1.61% de intereses (tasa mensual) 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑜 =

3.83 = 2.38 1.61

Es decir, La primera tarjeta le cobró 2, 38 veces más caro que la segunda tarjeta

Ejercicios 10.1 1.

Una taza llena al ras contiene 150g de harina y tiene 240g de azúcar. a) ¿Cuál es la razón entre la cantidad de harina y azúcar que puede contener la taza? b) ¿Cuál es la razón entre la cantidad de harina y azúcar que pueden contener 2 tazas? ¿Y tres tazas?

2.

Romina compró 4 chocolates en $1200, si Julio compró 5 de los mismos chocolates a) ¿Cuánto pagó por ellos? b) ¿Qué relaciones encontraste? c) ¿Cómo resolviste el problema?

3.

La mamá de Pedro acostumbra a preparar 5 panecillos dulces con 1/2 kilo de harina El panadero del barrio pidió la receta a la mamá de Pedro para elaborar sus panecillos y ofrecerlos a su clientela. La demanda semanal por los panecillos obedeció a la siguiente tabla Día Demanda

L

M

M

J

V

S

D

10

20

25

25

30

40

55

a)

¿Qué cantidad de harina usó el panadero cada día? b) ¿Cuánta harina ocupó en la semana?

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Proporción Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos razones. Si las razones son 𝑎: 𝑏 y 𝑐: 𝑑 que forman una proporción, entonces se escribe esta proporción como 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑

𝑜

𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑

Se lee: “𝑎 es a 𝑏 como 𝑐 es a 𝑑”. A los números 𝑎 y 𝑑 se les llama extremos y a los números 𝑏 y 𝑐 se les llama medios Teorema fundamental de las proporciones En una proporción se cumple SIEMPRE que el producto de los extremos es igual al de los medios

16 𝑘𝑚 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 192 = → 16 ∙ 𝑥 = 192 ∙ 1 → 𝑥 = = 12 192 𝑘𝑚 𝑥 16

𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑

Respuesta: en un viaje de 192 kilómetros el vehículo consumirá 12 litros de bencina.

Se cumple: a) b) c)

𝑎+𝑏 𝑏 𝑎−𝑏 𝑏 𝑎+𝑏

= =

𝑐+𝑑 𝑑 𝑐−𝑑 𝑑

, ,

𝑎+𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 𝑎

= =

𝑐+𝑑

Ejemplo 2. Una bandeja de 30 huevos cuesta S/. 2 500. ¿Cuánto costará una docena?

𝑐 𝑐−𝑑 𝑐

30 2500 12 ∙ 2500 = →𝑥= = 1000 12 𝑥 30

𝑐+𝑑

𝑎−𝑏

= 𝑐−𝑑

𝑎

𝑐

Ejemplo1. Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Como estas variables se relacionan en forma directa (ya que más kilometraje implica que se gastará más bencina), entonces su cociente es constante

𝑎 𝑐 = → 𝑎∙𝑑 =𝑏∙𝑐 𝑏 𝑑 Propiedades Dada la proporción

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen.

Respuesta: Una docena de huevos cuesta S/. 1 000 d)

𝑏

𝑒

𝑥

𝑎+𝑐+𝑒+⋯+𝑥

= 𝑑 = 𝑓 = ⋯ = 𝑦 → 𝑏+𝑑+𝑓+⋯+𝑦

Proporción inversa Las proporciones inversas se caracterizan porque al disminuir una variable, la otra aumenta.

Cuando aplicamos proporciones a la solución de problemas observamos que la relación entre dos cantidades variables produce una de dos tipos de proporciones: directa o inversa Proporción directa Una relación directamente proporcional es aquella que, a mayor cantidad de una variable, mayor cantidad de la otra, lo que es equivalente a menor cantidad de una, menor la cantidad de la otra

Ejemplo. Mientras más rápido viajo, menos tiempo me demoro. Mientras menos contamino el aire, más limpio estará Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante. 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 ↔ 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑘 𝑘 se denomina la constante de proporcionalidad.

Ejemplo. Mientras más pan compro, más dinero pago por él. Mientras menos estudio, menos aprendo

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante. 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ↔

𝑥 =𝑘 𝑦

𝑘 se denomina la constante de proporcionalidad.

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Ejercicios 10.2 1)

Dos números son entre sí como 7 es a 13, si el menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el valor de los 2 números.

2)

Dos números son entre sí como 5 a 8 ; si la suma de sus cuadrados es 712 y su diferencia es 6 2 ¿Cuál es el número menor?

3)

La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación con los números 11; 3 y 560. Hallar el mayor de los números.

4)

En una proporción continua geométrica los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. si los términos de la primera razón suman 40. Hallar la suma de los consecuentes de dicha proporción.

5)

En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los 4 términos de la proporción es 2601.

6)

En una reunión social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron unos 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4¿Cuántos hombres asistieron a dicha reunión?

7)

Tenemos dos terrenos: 1 terreno rectangular y el otro en forma cuadrada. Si uno de los lados del primero es al lado del menor del segundo es como 3 es a 2 ¿En que relación están sus perímetros, si sus áreas son iguales?

8)

Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Hallar la suma de los términos de dicha proporción.

9)

Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor da 360. Hallar la suma de los 3 números.

ESCUELA PROFESIONAL DE TURISMO Y HOTELERÍA 14) Tenemos 3 números enteros A; B y C Tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11 Si la diferencia entre A y C es 36 ¿Cuál es el mayor de esos 2 números? 15) Si el valor de la Razón aritmética y geométrica de 2 números es 5 ¿Cuál es la suma de dichos números? 16) Se tiene la siguiente serie de Razones geométricas equivalentes: 𝑎 𝑏 𝑐 = = 5 7 10 Hallar la suma de los antecedentes. 17) La ciudad de Belfast está dividida en 2 bandos a raíz de la invasión anglo estadounidense a Irak, los que están a favor y los que están en contra de la reyerta, respectivamente; de manera tal que la población de los primeros y la población de los segundos están en la relación de 7 a 3. Si de uno de los bandos se pasan al otro unas 60 personas, la razón de las poblaciones que están a favor y en contra de la guerra, respectivamente se invierte ¿Cuál es la población total de la ciudad? 18) Tres números naturales A; B y C, Son tales que A es a B como 4 es a 5 y B y C están en razón de 10 a 11. Si se cumple que A – C = 36 ¿Cuál es le mayor de los números entre A y C? 19) En un club social se lleva a cabo una reunión donde asisten unas 400 personas entre Hombres y Mujeres, asistiendo por cada 3 de los primeros; 2 de los segundos. Si a cabo de 2 horas la relación entre hombres y mujeres es de 2 a 1 ¿Cuántas parejas se retiraron? 20) La media Aritmética de 2 números A y B es 12. Si se establece una proporción continua con estos números, la cual tiene razón igual a 3/5; la diferencia que se dará entre los términos extremos será

10) ¿Cuál es el número entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5? 11) Hallar la Razón de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 25 es a 24 12) En una serie de tres Razones geométricas contiguas e iguales la suma de los antecedentes es 147 y la suma de las tres Razones es 9/5. Hallar la suma de los consecuentes. 13) En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés y Belisario vencen a Carlos y Danilo por 50 metros. En la misma distancia Andrés gana a Belisario por 100 metros y Carlos a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganara Carlos a Belisario en una carrera de 1125 metros?

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Tema 11 Porcentajes

(*) Convertir 4/9 a tanto por 27: 4/9 (27) = 12  “doce por veintisiete”. (*) Convertir 95% a fracción:

El tanto por ciento viene a ser o una, o varias, de las cien partes en las cuales se divide una cierta cantidad. Por ejemplo, si decimos que el 10% de 100 es igual a 10; es porque éste se sustenta en el hecho de que al número 100 se le dividen en 100 partes regulares (perfectamente iguales), de manera tal que se consideran de dichas partes a unas diez. Las partes que se pueden considerar respecto de una determinada cantidad pueden ser tanto como fraccionarias. Notación: Si a% de b es igual a c: a a%b  c  (b)  c 100 Ejemplo: Hallar el 7 por ciento de 81: 7 7%81   . 81  5,67 100 Propiedades del Tanto Por Ciento 1) Toda cantidad representa el 100% de sí misma. N= 100% N . 2) Los porcentajes de diferentes cantidades se pueden sumar o restar de modo algebraico, es decir, solamente se pueden operar porcentajes que operen a una misma cantidad %N + %N - %N =(++)N; . Donde: ;;  Q

+

43% M + 27%M – 15%M = 55%M

Relación entre los porcentajes y las fracciones 



Las variaciones porcentuales (cambios que experimenta una determinada cantidad, con respecto de su valor original) se pueden expresar como una fracción en la cual el numerador es aquella cantidad a operar y el denominador es el número respecto al cual se le hace la repartición (en el tanto por ciento, el indicador equivale a 100, por ejemplo). Para convertir una determinada fracción a porcentaje, basta con multiplicar dicha fracción con el número al cual se ha de repartir dicha fracción

(95/100) = 19/20 (*) Convertir 3 por 10 a fracción: 3 por 10  3/10

Observación: * Tanto por Cuanto: Si en un inicio decimos que el tanto por ciento de cierta cantidad era una o más de las partes (las cien) en que se pueden dividir dicha cantidad; al tanto por cuanto se le define como una o varias partes que se toman en cuenta de un número determinado de partes en las cuales se puede dividir una determinada cantidad. Notación: Si el a por b de c es igual a d:

a (c )  d b

donde b  100. Hallar el 3 por 5 de 75:

3 (75 )  45 5

* Tanto por mil: De manera análoga a las definiciones del tanto por cuanto y del tanto por ciento, podremos concluir que el tanto por mil es cada una de las mil partes en que se divide una cantidad. Notación: Si el a por 1000 de b es igual a c: a (b)  c ; donde b  100. 1000 Hallar el tanto por mil (el 25 por mil) de 2300: 25 (2300 )  57,5 1000

* Tanto por ciento del tanto por ciento: Se denomina así al cálculo del porcentaje sobre otro porcentaje - y así, sucesivamente – de cierta cantidad. Ejemplo Hallar el 30% del 40% del 60% de 3100 (30/100)(40/100)(60/100)(3100) = 223,2

Operaciones sucesivas del tanto por ciento Ejemplo (*) Convertir 1/5 a tanto por ciento:

En asuntos relacionados con el porcentaje pueden presentarse casos que involucren un aumento o

1/5 (100) = 20%  se lee: “veinte por ciento”.

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disminución de cierta cantidad que se manifiesta por medio de un porcentaje sobre la cantidad indicada.

Ejemplo Si un individuo contaba con una cuenta de ahorros de 80 000 nuevos soles en el Banco Santander – Central Hispano (BSCH) y cuando llega a dicho banco decide extraer todos sus ahorros – los ochenta mil nuevos soles, y recibe cien mil soles en vez de los ochenta mil nuevos soles iniciales, entonces estaría recibiendo un incremento de veinte mil soles, es decir, Recibe un incremento del 25% (veinticinco por ciento) de total de su cuenta de ahorros.

Observación Las relaciones para incrementos y descuentos indicadas anteriormente solo cumplen para dos incrementos y dos descuentos sucesivos, respectivamente. Para conocer el incremento o descuento sucesivo que se establece cuando se da una serie de incrementos o descuentos sucesivos, respectivamente, se produce la relación a continuación mencionada: (100  A )(100  B)(100  C)  AU    100 % n 1 100    A; B; C = Aumento sucesivos.  n = Cantidad Total de Incrementos  Au = Incremento Único

Ejemplo Casos Particulares: 1)

Si realizo dos aumentos sucesivos del M% y del N% , el incremento único será: AU  M  N 

MxN 100

donde: Au =Aumento ó incremento Único 2)

Si realizo dos descuentos sucesivos del M% y del N% , el descuento único será:

DU  M  N .

MxN 100

1) Se producen dos incrementos sucesivos de 30 y 40%. Hallar el incremento Único: (100 + 30)(100 + 40) 𝐴𝑢 = [ − 100] % = 82% 1002−1 El Incremento Único: 82%

 (100  A )(100  B)(100  C)  DU    100 % n1 100    A; B; C = Descuento sucesivos  n = Cantidad Total de descuentos  Du = Descuento único

Du =Descuento Único

Ejemplo:

Ejemplo:

1) Se producen dos descuentos sucesivos del 40% y del 25%. Hallar el descuento Único: (100 − 40)(100 − 25) 𝐷𝑢 = [ − 100] % = −55% 1002−1

* Juan Carlos compro 10 Kg. de Azúcar y lo vende haciendo dos incrementos sucesivos del 30% y del 40% sobre el precio de venta. Hallar el incremento Único que se estableció en la venta del Azúcar. Sean los incrementos del 30% y del 40% AU=30+40+30.40/100= 82 (AU)

El Descuento Único : -55% (la cantidad se redujo en 55%) El Signo ( - ) es indicador del descuento (descuento)

El incremento único será del 82% * Alexander, jefe del personal de la Fabrica D’onofrio, tiene encomendado reducir el sueldo básico de sus empleados. Si llega a establecer dos descuentos del 40% y del 25%, el descuento único será: Sean M=40 ; N= 25 : DU=40+25-40. 25/100 = 55 (DU) El Descuento único será el 55%

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Ejercicios 11 1) Un agricultor del Valle del Colca compro una cierta cantidad de trigo. Vendió las dos terceras partes de este con un beneficio del 10% y la mitad del resto del trigo a precio de costo. Si cuando la venta llego a su fin, el agricultor obtuvo el equivalente a la inversión ¿Cuál fue el porcentaje total de pérdida ocurrido en la venta? 2) Para hacer unos mil lápices se requieren unos 50 kilogramos de madera, del cual se pierde un 8% en la fabricación; de un lápiz se pierde por el uso aproximadamente un 20 por ciento. Si se reuniesen las cantidades perdidas por el uso de unos mil lápices y se destinaran como materia de reciclaje ¿Cuántos lápices se llegarían a hacer? 3) En un tonel de la Taberna Queirolo que contiene una cantidad indeterminada de vino tinto, se adicionan aproximadamente unos 480 litros de agua. Después de cierto período de tiempo se extrae el 20 por ciento de dicha mezcla entre el vino y el agua y se reemplaza éste por agua; resultando luego que la cantidad de vino que se obtiene de la nueva mezcla constituye el 16 por ciento del total de la mezcla. Calcular la cantidad total de vino – inicial – que tenía el tonel. 4) Un comerciante del Campo Ferial de Mesa Redonda decide vender un objeto aumentando su precio en un 20 por ciento. Al cabo de unos días rebaja ese precio en un 10 por ciento, pero siete días después aumenta nuevamente, el nuevo precio es un 25 por ciento; mas el día siguiente decide rebajar este último precio a un 80 por ciento. Indicar si el comerciante gana o pierde e indicar cuanto es ese porcentaje. 5)

Se ha estimado que una mezcladora de concreto de la Empresa Constructora Graña y Montero S.A. sufre una depreciación de diez por ciento por cada año de uso respecto al precio que tenía al comenzar cada año. Si cuatro años después el precio de la mezcladora estuvo especificado en trece mil ciento veintidós nuevos soles, indicar el costo original de la mezcladora en cuestión.

6) En la competencia preliminar del Vigésimo Octavo Campeonato Mundial de Tiro, uno de los participantes logra convertir unos diez y siete blancos consecutivos ¿Cuántos debe fallar para que su rendimiento sea del ochenta y cinco por ciento? 7) José Ignacio vende un equipo de cocina ganando por dicha venta el veinte por ciento del precio con el cual se dio aquella venta; de ésta, entrega el veinte por ciento a Carmelo por sus Servicios prestados y, de lo restante, utilizó posteriormente el diez por ciento para pagar el transporte del equipo de cocina hacia el domicilio del nuevo propietario, obteniendo así una ganancia neta de ciento cuarenta y cuatro soles ¿Cuál fue el precio de costo del equipo de cocina?

8) Un Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Nacional del Callao compra sillas a s/.32 cada una para el centro de Producción de su Facultad. Una vez allí, anuncia la venta de dichas sillas a S soles, de modo tal que cuando realice un descuento del 20% a sus clientes potenciales, pueda ganar el 20% sobre venta Calcular el valor de “S” 9)

Doce obreros de construcción Civil – quienes poseen el mismo rendimiento se comprometen a realizar una obra para el Fondo Mi Vivienda en, aproximadamente, quince días. Cuando dichos obreros avanzaron la mitad de la obra, por disposición de la Empresa Constructora, ocho de esos obreros son bruscamente despedidos. Si la Empresa Constructora es consciente de que la segunda etapa de la obra – lo que falta por construir – requiere el doble del esfuerzo realizado para construir lo ya avanzado; Calcular el rendimiento que deben tener los cinco nuevos obreros – coincidentemente también de Construcción Civil – respecto al rendimiento de los primeros, que se han de contratar, de tal manera que la obra en ejecución se termine en el plazo establecido.

10) A Elizabeth; al comprar una blusa, deberían hacerle un descuento del 20% mientras que, a Esmeralda, al comprar un pantalón deberían haberle descontado el 10% del costo del pantalón. Él por la premura llega a equivocarse, de tal manera que Elizabeth debe pagar s/.2 más y Esmeralda, s/. 5 menos – el vendedor hace el descuento al revés – Hallar la diferencia de las cantidades que pagaron Esmeralda y Elizabeth. 11) Se le encomendó a una Empresa, por encargo del Gobierno Central, realizar el mantenimiento de una carretera en la Selva Alta del departamento de la Libertad, la cual quedo dañada por las lluvias incesantes que se producían en dicha región. Para llevar a cabo el mantenimiento de dicha carretera, se tuvo que extraer tierra cavando una zanja; luego la tierra sufrió un esponjamiento del 30% y; después; un asentamiento del 20%. Si el cavado duró unos 28 días ¿Cuánto tiempo hubiera durado el cavado si el esponjamiento fuera del 40%? 12) En la Librería Lau Chun se tiene una oferta en la venta de los libros. Cada Libro cuesta s/.3; pero si las ventas superan los s/.24, habría un descuento del 24%. Además, para ventas por encima de los 60 soles, el descuento sería del 38% y para ventas mayores a los 138 soles, el descuento sería del 85%. En la Librería Época, para venta de libros en el mismo intervalo los descuentos son, respectivamente; de 3%; 5% y del 8%. Una persona, en su primera compra obtuvo un descuento del 24%; en la segunda 38% y en la tercera 85% y observó que si su compra la hubiera realizado en la otra tienda hubiera gastado s/.143,1 más. Si el número de libros que compró es el menor posible, hallar el número total de dichos libros.

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