การวิเคราะห์ทรานสเซียนของระบบอันดับสอง

การวิเคราะหทรานสเซียนของระบบอันดับสอง

นายวีระยุทธ บุญรอง คณะวิศวกรรมศาสตร สาขาวิศกรรมไฟฟา มศว ถนนรังสิต-นครนายก อําเภอองครักษ จังหวัดนครนายก 26120 21/07/2547 บทคัดยอ การทดลองนี้เปนการวิเคราะหหาผลตอบสนองในสภาวะขั้นบันได ของระบบควบคุมอันดับสอง(second order)แบบลูปปด (close loop) จะทํา ใหเราเขาใจคุณลักษณะตางๆ ของระบบอันดับสองในสภาวะทรานสเซียน และสามารถที่จะตรวจสอบสมรรถนะของระบบในสภาวะทรานสเซียนจาก ผลตอบสนองแบบขั้นบันได บทนํา การทดลองนี้เปนการวิเคราะหผลตอบสนองในสภาวะทรานสเซียน ของระบบควบคุมอันดับสองแบบลูบปดซึ่งเปนการคอนโทรลระบบเพื่อ นําไปประยุกตใชในระบบตางๆ ซึ่งระบบจะมีดวยกันสองอยางคือแบบ Open loop control เปนวิธีที่ไมสามารถทําใหระบบที่ Unstable มี เสถียรภาพไดอีกวิธีคือ close loop control เปนระบบที่เราสามารถที่จะทํา ใหระบบมีเสถียรภาพหรือ Stable ไดเปนการพิจารณาเอาทพุตเพื่อนําเอา ขอมูลมาชวยในการตัดสินใจปอนอินพุตเขาไปทําใหเราสารถควบคุม ระบบใหมีเสถียรภาพไดเราเรียกการการควบคุมแบบ close loop นี้วา feed back control เราเรียกการควบคุมแบบนี้วาการควบคุมแบบปอนกลับ เราจะนิยมใชบล็อกไดอะแกรมในการแสดงหรืออธิบายถึงฟงกชัน ของสวนประกอบตางๆ ของระบบบล็อกไดอะแกรมจะเปนรูปที่แสดงถึง สวนประกอบของระบบควบคุมทั้งหมด ตลอดจนแสดงทิศทางการใหล ของระบบนั้นๆ ในการทดลองนี้จะนําเอาบล็อกไดอะแกรมมาใชเพื่อใช แสดงทิศทางการไหลของสัญญาในระบบนั้นๆ และยังแสดงความสําพันธ ภายในระหวางสวนของระบบดวย บล็อกไดอะแกรมของระบบควบคุมที่มี ขนาดใหญหรือซับซอนนั้น จะประกอบไปดวยบล็อกไดอะแกรมหลายๆ บล็อก โดยที่แตละบล็อกจะประกอบดวยฟงกชันถายโอนของ สวนประกอบแตละสวนของระบบ และนําบล็อกทั้งหมดมาตอรวมกันโดย ใชลูกศรแสดงทิศทางการไหลของสัญญาณ ฟงกชันการถายโอน หรือ Transfer Function ในการศึกษาและ วิเคราะหระบบควบคุมโดยใชทฤษฎีแบบดั้งเดิมนั้นขั้นแรกจะตอง ทําการศึกษาระบบทางกายภาพกอน จากนั้นใชกฏตาง ๆ ที่เกี่ยวของทํา การสรางสมการทางคณิตศาสตร (สมการ Differential equation) ของ ระบบทางกายภาพนั้น แลวจัดใหอยูในรูปฟงกืชันถายโอน จากนั้นจึงทํา การวิเคราะหพฤติกรรมของระบบตอไป ฟงกชันถายโอนมีคุณสมบัติที่สําคัญดังนี้ 1. ใชกับระบบที่เปนเชิงเสน และไมแปรตามเวลา 2. เปนอัตราสวนระหวางเอาทพุทตออินพุทของระบบบ โดยอยูใน รูปของการปลงลาปลาซ 3. คาคงที่ที่สภาวะแรกเริ่มจะถูกสมมุติใหมีคาเทากับศูนย 4. ไมขึ้นอยูกับอินพุทที่มากระทําตอระบบ 5. เปนตัวแสดงถึงพฤติกรรมของระบบนั้น ๆ 6. ไมสามารถใหขอมูลรายละเอียดของระบบทางกายภาพได หรือ หมายความวาระบบทางกายภาพที่แตกตางกันหลายๆ ระบบ อาจจะมีฟงกชันถายโอนเหมือยกันก็ได 7. อาจจะประยุกตใชกับระบบที่มีหลายอินพุทหลายเอาทพุทได ขอมูลนั้นๆ ได โดยเฉพาะอยางยิ่งผลตอบสนองแบบ ขั้นบันไดเมื่อพิจราณารูปมาตรฐานของระบบถายโอนลูบปด ของระบบอันดับสอง

ฟงกชันถายโอนของลูป คือ

ωn2 C ( s) G ( s) = = R( s ) s ( s + 2ξωn ) โดยที่

ξ และ ωn

เปนคาจริง และมีคาคงที่และฟงกชันถายโอนของลูป

ปดคือ

ωn2 C (s) = 2 R( s ) s + 2ξωn s + ωn2 สมการคุณลักษณะของลูปปด คือ

∆( s ) = s 2 + 2ξωn s + ωn 2 = 0

ξ คือ Damping Ratio ω n คือ Undamping Natural Frequency

โดยที่

พฤติกรรมทางพลศาสตรของระบบอันดับสองสามารถอธิบายไดใน เทอมของพารามิเตอรสองตัวคือ

ξ

และ

ω

n โดยพิจารณาไดเปน 5

กรณีคือ

1. กรณี Undamped ( ξ =0 )กรณีนี้รากของสมการคุณลักษณะ (

หรือ pole ของลูปปด) จะอยู บนแกน Imaginary ในระนาบ s ซึ่งเอาทพุทของระบบจะเกิดการแกวง (Oscillate) อยางตอเนื่องไป 2.กรณี Underdamped ( 0 < ξ

< 1 )กรณีนี้ รากของสมการคุณ

ลักษณะ จะเปนปริมาณเชิงซอน (Complex Conjugate) และอยูทาง ครึ่งซายในระนาบ s และระบบจะเปนแบบ Underdamped วึ่ง ผลตอบสนองชั่วครูของระบบเกิดการแกวงภายใตการหนวง

3. กรณี Critical Damped ( ξ

= 1)

กรณีนี้ รากของสมการคุณลักษณะจะมีคาเทากันและอยูบน แกน Real ทางครึ่งซายของระนาบ s ซึ่งผลตอบสนองตอเวลาของ ระบบจะเหมือนหรือคลายกับผลตอบสนองของระบบอันดับหนึ่ง และไมมีการแกวง

4. กรณี Overdamped ( ξ

> 1)

กรณีนี้รากของสมการคุณลักษณะจะมีคาไมเทากันแตจะบน แกน Real ทางครึ่งซายในระนาบ s ทั้งหมด และผลตอบสนองตอ เวลาของระบบจะเหมือนหรือคลายกับผลตอบสนองของระบบ อันดับหนึ่ง และไมการแกวง 5. กรณี Negative Damped ( ξ

> 1)

กรณีนี้รากของสมการคุณลักษณะจะอยูบนแกน Real ทางครึ่งขวา ในระนาบ s และระนาบจะไมมีเสถียรภาพ ทฤษฎีที่เกี่ยวของ ระบบอันดับสอง หรือ Second Order Systems พิจารณาระบบอันดับ สองในรูปขางลางนี้ โดยที่การปอนกลับจะเปนแบบ Unity Feedback H(s)=1 +

E(s)

C(s)

ω -

2 n

s ( s + 2ξ ω n )

ผลตอบสนองตออินพุตที่เปนแบบ Unit Step (Unit Step Response)

กรณี Undamped ( ξ =0 )

จากสมการทั่วไปของฟงกชันถายโอนของลูปปดคือ คือ

ωn2 C (s) = 2 R( s ) s + 2ξωn s + ωn2

เมื่อ ( ξ =0 ) จะไดวา

จะเห็นวาผลตอบสนองของระบบจะเกิดการแกวงชั่วครูดวยความถี่

ω2 C ( s) = 2 n 2 R ( s ) s + ωn

และแปรคาไปตามอัตราความหนวง

คาความคลาดเคลื่อนจะหาไดจาก

สมการคุณลักษณะของลูปปดคือ

e(t ) = r (t ) − c(t )

∆ ( s ) = s 2 + ωn 2 = 0 รากของสมการคุณลักษณะคือ

=

s1 , s2 = ± jωn นั่นคือ รากของสมการคุณลักษณะจะอยูบนแกน Imaginary ในระนาบ s

ωn

โดยมีคาเทากับ

และเมื่ออินพุตเปน Unit Step R(s) มีคาเทากับ 1/s จะไดวา

C ( s) =

ωn

2

s ( s + ωn 2 ) 2

c(t ) = 1 − cos ωnt นั่นคือ เมื่อ

t=0

เมื่อทําการแปลงลาปลาซ จะได

(t

ωn

<1)

∆( s ) = s 2 + 2ξωn s + ωn 2 = 0 รากของสมการคุณลักษณะคือ

s1 , s2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2 = −α ± jω โดยที่ α Damping Factor หรือ Damping Constant ω Damping Natural Frequency ดังนั้น เมื่อนําไปกําหนดจุดไวบนระนาบจะไดความสําพันธที่สําคัญคือ

ξ = damping _ ratio =

α ωn

อนึ่งคาของ

ωn 2 s ( s 2 + 2ξωn s + ωn 2 )

ทําการแปรงกลับลาปลาซจะไดวา

≥0

e −ξωnt 1− ξ

2

เสมอ

กรณี Critical Damped ( ξ =1)

และคาอินพุทเปน Unit Step จะได

C ( s) =

ωn 2 ( s + ωn ) 2 s

ทําการแปรงกลับลาปลาซจะได

c(t ) = 1 − e −ωnt (1 + ωn t ) (t ≥ 0) ซึ่งจะเห็นวา ผลตอบสนองเวลาของระบบอันดับสองนี้ไมมีการแกวง กรณี Overdamped

(ξ f 1)

กรรีนี้รากของสมการคุรลักษณะจะมีคาไมเทากันแตจะเปนคาจริงที่ เปนลบทั้งสองคา นั่นคือ

s1 = −(ξ + ξ 2 − 1)ωn s2 = −(ξ − ξ 2 − 1)ωn และเมื่อคาอินพุทเปน Unit Step จะได

C ( s) =

เมื่ออินพุทเปน Unit Step R(s) มีคาเทากับ 1/s จะไดวา

เมื่อ t

ω จะตองนอยกวา ωn

2

ξ = cos θ

C (t ) = 1 −

sin(ωn 1 − ξ 2 t + cos −1 ξ )

นั่นคือ คาความคลาดเคลื่อนของระบบจะเกิดการแกวงที่มีความหนวงและ เมื่อเขาสูสภาวะคงที่ คาความคลาดเคลื่อนจะมีคาเทากับศูนย

สมการคุณลักษณะของลูปปดคือ

C ( s) =

1− ξ

2

s1 , s2 = −ωn

≥ 0)

ตอเนื่องกันไป โดยที่ความถี่ของการแกวงคือ

ω = ωn 1 − ξ

e −ξωnt

กรณีนี้ รากของสมการคุณลักษณะจะมีคาเทากัน นั่นคือ

เอาทพุทของระบบจะเกิดการแกวงอยาง

กรณี Underdamped ( 0 < ξ

ξ

ω

sin(ωn 1 − ξ 2 t + cos −1 ξ )

ωn 2 ( s + ξωn + ωn ξ 2 − 1)( s + ξωn − ωn ξ 2 − 1) s

ทําการแปลงลาปลาซจะได

ωn

e − s1t e − s2t c(t ) = 1 + ( − ) s2 2 ζ 2 − 1 s1

(t ≥ 0)

ผลตอบสนองของระบบอันดับสองในกรณีนี้จะคลายกับผลตอบสนองของ ระบบอันดับหนึ่ง และประกอบไปดวยเทอมของExponential ที่ลดลงเร็ว (หมายถึง Time Constant ที่มีคานอย)อาจจะตัดทิ้งไดเพราะมีผลตอ ผลตอบสนองที่นอย ขอกําหนด (Specifications) ของผลตอบสนองชั่วครูของระบบอันดับสอง สมรรถนะของระบบอันดับสองจะแสดงในเทอมของปริมารตาง ๆ ใน โดเมนของเวลาโดยจะวิเคราะหสมรรถะจากผลตอบสนองชั่วครุของระบบ ตออินพุทเปน Unit Step สําหรับขอกําหนดตาง ๆ ประกอบดวย

1. Maximum Overshoot ซึง่ ในบางครั้งจะแสดงในเทอมของ percent maximum overshoot เปนคาแตกตางระหวางเอาทพุทที่มี คาสูงสุดของระบบกับเอาทพุทที่สภาวะคงที่

ωn 1 − ζ 2 t = nπ

และ

n = 0,1, 2,... nπ t= ωn 1 − ζ 2

Percent Maximum Overshoot= [M p / Css ]

tp =

จะไดวา

M p = Cmax − Css

Maximum Overshoot จะใชแสดงถึงเสถียรภาพสัมพัทธของระบบ โดยทั่วไประบบที่มี Overshoot มากนั้นจะไมเปนที่ตองการนอกจากนี้ Maximum Overshoot จะเปนขอกําหนดสําหรับการออกแบบระบบควบคุม ดวย 2.

td

Delay Time

Delay Time

td

tr

เปนชวงเวลาที่ผลตอบสนองชั่วครูของระบบมีคา

เพิ่มขึ้นจาก 10 % ไปถึง 90% ของคาที่สภาวะคงที่ ในบางครั้ง อาจจะถือไดวา Rise Time เปนชวงเวลาที่ผลตอบสนองมีคาจาก 10% - 90% หรือ 5% - 95% หรือ 0% - 100% ของคาที่สภาวะคงที่ ก็ได 4.

Settling time t s

Settling time

ts

เปนชวงเวลาที่ผลตอบสนองตอเวลาของระบบมี

คาเขาสูชวง 2% หรือ 5% ของคาที่สภาวะคงที่และมีคาอยูในชวงนี้ ตลอด หรือหมายถึงคาเวลาที่ผลตอบสนองตอเวลาเปลี่ยนสภาพ จากผลตอบสนองชั่วครูไปเปนผลตอบสนองที่สถาวะคงที่ Peak Time ( t p หรือ t max ) Peak Time เปนคาของเวลาที่ผลตอบสนองชั่วครุของระบบเกิด Maximum Overshoot

5.

ขอกําหนดตาง ๆ เหลานี้จะใชวัดคุณลักษณะของผลตอบสนองชั่วครุตอ อินพุทแบบ Unit Step เทานั่น แตไมสามารถจะนําไปใชในทุกกรณีไดเชน ระบบที่เปนแบบ Critical Damped และ overdamped นั้นจะไมมีคาของ Maximum overshoot และ peak time นอกจากนี้ ขอกําหนดเหลานี้จะ ใชไดกับระบบที่มีเสถียรภาพเทานั้นเพราะระบบที่ไมมีเสถียรภาพนั้น ผลตอบสนองของระบบจะมีขนาดใหญขึ้นเรื่อย ๆ จนไมสามารถควบคุม ได การคํานวณหาขอกําหนดตาง ๆ ของผลตอบสนองชั่วครุของระบบอันดับ สอง ในหัวขอนี้จะแสดงถึงวิธีการหาคาตาง ๆ โดยพิจารณาเอาทพุตของ ระบบอันดับสองที่มีอินพุทแบบ Unit Step

C ( s) =

ωn 1 − ζ 2

Mp โดยที่คาตาง ๆ เหลานี้จะอยูในเทอมของ

ξ และ ωn

และในที่นี้จะ

กําหนดระบบอันดับสองเปนแบบ Undedamped

tp

Peak Time

จากสมการขางตน ทําการหาคาอนุพันธอันดับหนึ่งเทียบกับเวลาและให คาอนุพันธที่หาไดมีคาเทากับศูนย

Rise Time t r

Rise Time

π

เปนชวงเวลาที่ผลตอบสนองชั่วครูของระบบมีคา

เขาสู 50% ของคาที่สภาวะคงที่ 3.

เมื่อ

ωn 2 s( s 2 + 2ξωn s + ωn 2 )

และผลตอบสนองตอเวลาคือ 2 ωn dC (t ) e −ζ ωnt sin ωn 1 − ζ 2 t ; t ≥ 0 = 2 dx 1− ζ

dC (t ) ωn e −ζωnt = [ζ sin(ωt + θ ) − 1 − ζ 2 cos(ωt + θ )] 2 dx 1− ζ ; t ≥ 0 จัดรูปใหมคือ 2 ωn dC (t ) = e −ζ ωnt sin ωn 1 − ζ 2 t ; t ≥ 0 dx 1− ζ 2

กําหนดให dc(t)/dt มีคาเทากับ 0 จะได

sin ωn 1 − ζ 2 t = 0 หรือ

ωn 1 − ζ 2 t = nπ

n = 0,1, 2,...

นั่นคือ

t=

nπ

n = 0,1, 2,...

ωn 1 − ζ 2

คาสูงสุดคาแรกของผลตอบสนองชั่วครูของระยบบจะเกิดขึ้นเมื่อ ดังนั้น

tp =

tp

(หรือ

n=1

tmax )

π ωn 1 − ζ 2

t = tp โดยทั่วไป สําหรับคาตาง ๆ ของ n ที่เปนเลขคี่ (n=1,3,5,…) สมการ ขางตนจะแสดงถึงเวลาตาง ๆ ที่เกิด Overshoot ขึ้น และ n ที่เปนเลขคู (n=2,4,6,…) นั้นจะเปนเวลาที่เกิด Undershoot Maximum Overshoot

Mp

Maximum Overshoot จะเกิดขึ้นที่เวลา Peak Time คา

t = tp

ลงในสมการผลตอบสนองตอเวลา จะไดวา

tp

ดังนั้นแทน

3

ts =

tr =

ζωn 0 < ζ < 0.69

n=1,2,3,…. หรือ

c(t ) max or min = 1 + (−1) n −1 e − nπζ /

1−ζ 2

ซึ่งจะสอดคลองกับอัตราหนวงที่อยูในชวง

cmax − 1 = e−πζ /

ของ

1−ζ 2

1−

Percent maximum overshoot=100e −πζ /

1−ζ 2

จะเห็นวา Maximum Overshoot ของระบบอันดับสองขึ้นอยูกับอัตราการ

ζ

เทานั้น

0 < ζ < 1.0

ผลตอบสนองเวลา c(t) ใหเทากับ 0.5 แลวหาคาของ td ซึ่งเปนวิธีที่ คอนขางจะยาก วีที่งายกวาก็คือ การนําเอาคาของ

0 p ζ p 1 เสนโคงก็สามารถประมาณดวยเสนตรง นั่นคือ 1 + 0.7ζ td ≅ 0 < ζ < 1.0

ของ

ωn

ts ≅

td

ดวยสมการอันดับสอง จะได

ζωn

ζ

tr =

1 1− ζ

e−ζωnts = 1.05

2

ωn t s = −

1

ζωn

ln(0.05 1 − ζ 2 )

ts ≅

3.2

ζωn

;0

< ζ < 0.69

กรณีทั่วไป

ts = ts =

4

(2% criterion)

ζωn 3

(5% criterion)

ζωn

พีชคณิตของภาพบล็อก (Block Diagram Algebra) พีชคณิตของภาพบล็อก คือ ขบวนการที่จะจดรูปของภาพบล็อกที่ ยุงยากซับซอนใหเปนภาพบล็อกที่งาย รูปแบบของภาพบล็อกที่ลดรูปจะ ทําใหงายและสะดวกขึ้น

3.2

Rise Time t r การหารคา Rise time ในทางคณิตศาสตรนั้น การใชกรณีของการ เปลี่ยนแปลงของผลตอบสนองตอเวลา c(t) ที่เปลี่ยนแปลงจาก 0% 100% หาคาที่ภาวะคงที่ ลํากําหนดใหผลตอบสนนองตอเวลา c(t) มีคา เทากับ 1 จากนั้นหาคา Rise time ออกมา ซึ่งจะเปนวิธีที่งายที่สุดในทาง คณิตศาสตร แตวิธีที่งายกวาก็คือ การนําเอาคาของ ωntr ตอคาตาง ๆ ของ

นั้น สามารถจะใชวิธีการประมาณไดโดยใช

นั่นคือ

ωntr ตอคาตาง ๆ

มา plot ดังแสดงในสมการ ขางลาง ซึ่งจะเห็นวา ตลอดยาน

หรือทําการประมาณคาของ

0 p ζ p 0.69

จะได

การหาคาที่แนนอนของ Delay Time นั้นทําไดโดยการแทนคาของ

ζ

การหา

กรอบ (envelope) ของผลตอบสนองตอเวลามาคํานวณโดยที่กําหนดให

และ

ของ

0 < ζ < 0.69

คาของ settling time ที่แนนอนกคอนขางทําไดยากเชนกัน แตในกรณี

Maximum Overshoot จะเกิดขึ้นที่ n=1 นั่นคือ

Delay Time

ωn

Settling Time t s Settling time ของระบบอันดับสองตออินพุทแบบ Unit Step จะ สามารถวัดออกมาไดเฉพาะเมื่อ Maximum Overshoot มีคามากวา 5%

n=1,2,3,….

หนวง เทานั้น

1 − 0.4167ζ + 2.917ζ 2

มา plot เชนเดียวกับกรณีของ Delay time จะไดวา

1 − 0.4167ζ + 2.917ζ

2

ωn

หรือทําการประมาณคาของ t r ดวยสมการอันดับสองจะได

การทดลอง ระบบควบคุมมอเตอรกระแสตรง เตอรตอไปนี้ตามลําดับ

และตารางคาพารามิเตอรของมอร

Gc(s) Vref e -

1 s

Ka

Gp(s) ea -

1 Ra

KT Kb

1 Js + b

ω

Ktach

Vt

1.จงหาฟงกชันถายโอนของระบบควบคุมลูปปด,

T.F.

=

Gc(s)

=

Gp(s)

=

=

=

Vteah ( s ) Vref ( s )

=

Vtach ( s ) Vraf ( s )

G c (s )G p (s )K tach 1 + G c (s )G p (s )K teah

1 ×Ka s 1 1 ×KT × Ra Js + b 1 1 1+ ×KT × ×Kb Ra Js + b

KT R a (Js + b) KK 1+ T b R a (Js + b)

Tachometer Sensitive, K tach

0.00955 V/rad/s

Motor Torque Constant, KT

0.027 Nm/A

Motor Back EMF Constant, K b

0.027 V/rad/s

Motor Armature Resistance, K a

5.3 Ohms

Motor Fricttion,b

6 ×10−6 Nms 1.57 ×10−6 Kgm 2

Motor Armature Inertia,J

=

3.จงใชคาพารามิเตอรจากตาราง คํานวณคา

=

=

K a K T K tach RaJ R a b + K T K b K a K T K tach 2 s + s+ RaJ RaJ

2.ผลตอบสนองในสภาวะอยูตัวของระบบเมื่อสัญญาณอินพุตเปนแบบ ขั้นบันได

lim v tach (t)

t→∞

=

limsVtach (s)

s→0

=

K a K T K tach RaJ 1 lims ⋅ ⋅ sin −1 θ R b K K K K K + s→0 T b s2 + a s + a T tach s RaJ Ra J

ζ

และ

ωn

เมื่อ

K n =0.5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 70 และ120 T.F. =

=

⎛ Ka ⎜ ⎝ s

K a K T K tach 2 R a Js + R a bs + K T K b s + K a K T K tach

s =0

=1

KT R a (Js + b) + K T K b

⎞ KT ⎞⎛ ⎟⎜ ⎟ ( K tach ) ⎠ ⎝ R a (Js + b) + K T K b ⎠ ∴T.F. = ⎞ K ⎛ KT 1 + ⎛⎜ a ⎞⎟ ⎜ ⎟ ( K tach ) ⎝ s ⎠ ⎝ R a (Js + b) + K T K b ⎠ K a K T K tach s(R a Js + R a b + K T K b ) = s(R a Js + R a b + K T K b ) + K a K T K tach s(R a Js + R a b + K T K b )

K a K T K tach RaJ + R b K KKK TK b s2 + a s + a T tach RaJ RaJ

Ka=0.5;

ω2n

15.4939 s + 91.4313s + 15.4939

T.F. =

2

91.4313 2 × 3.9362

T.F. =

= 8.2124

2

123.9516 s + 91.4313s + 123.9516 91.4313 ω2n = 123.9516 ωn = 11.1334 ξ = 2 ×11.1334

Ka = 4;

= 11.6142

2

61.9758 s + 91.4313s + 61.9758 91.4313 ωn = 7.8725 ξ= 2 × 7.8725

T.F. =

= 61.9758

ξ=

30.9879 s + 91.4313s + 30.9879 91.4313 ωn = 5.5667 ξ= 2 × 5.5667

T.F. =

= 30.9879

Ka = 2;

ω2n

30.9879K a s + 91.4313s + 30.9879K a 2

= 15.4939 ωn = 3.3962

Ka = 1;

ω2n

K a (0.027)(0.00955) (5.3)(1.57 ×10 −6 ) −6 (5.3)(6 ×10 ) + (0.027)(0.027) K a (0.027)(0.00955) s2 + s+ (5.3)(1.57 ×10 −6 ) (5.3)(1.57 ×10 −6 )

= 5.8070

2

= 4.1062

185.9274 s + 91.4313s + 185.9274 91.4313 ω2n = 185.9274 ωn = 13.6355 ξ = 2 ×13.6355

Ka = 6;

T.F. =

247.9032 s + 91.4313s + 247.9032 91.4313 ω2n = 247.9032 ωn = 15.7449 ξ = 2 ×15.7449

Ka = 8;

T.F. =

Ka = 70;

ω2n

Ka = 120;

ω2n

2169.2 s + 91.4313s + 2169.2 91.4313 ωn = 46.5747 ξ = 2 × 46.5747

R a Js 2 + (R a b + K T K b )s R Js 2 + (R a b + K T K b )s + K a K T K tach = a (5.3)(1.57 ×10 −6 )s 2 + ((5.3)(6 ×10 −6 ) + (0.027)(0.027))s −6 2 −6 = (5.3)(1.57 ×10 )s + ((5.3)(6 ×10 ) + (0.027)(0.027))s + K a (0.027)(0.00955)

= 2.9035

Ka = 2 จะไดวา

E(s) (8.3210 ×10 −6 )s 2 + (7.6080 ×10 −6 )s Vref = (8.3210 ×10 −6 )s 2 + (7.6080 ×10 −6 )s + 5.1570 ×10 −6

2

3718.5 s + 91.4313s + 3718.5 91.4313 ωn = 60.9795 ξ = 2 × 60.9795

T.F. =

= 3718.5

= 3.3527

2

T.F. =

= 2169.2

s(R a Js + R a b + K T K b ) s(R a Js + R a b + K T K b ) + K a K T K tach =

2

= 0.9816

e(t)

2

Vtach = 0.7497

4. พล็อตผลตอบสนองขั้นบันไดของสัญญาณเอาทพุต และสัญญาณ ผิดพลาด ( Vtach (t ) และ

Vteah ( s ) Vref ( s )

=

e(t ) ) เมื่อคา K a

ที่ใชในแตละกรณีดวย E(s) และ Vteah สัมพันธกันคือรวมกันไดเทากับ input (Unit step) = 1

61.9758 2 s + 91.4313s + 61.9758

5.

ความสัมพันธของสัญญาณทั้งสอง

damped และ critical damped บนกราฟเดียวกันพรอมระบุคา Ka ที่ใชใน

GTOTAL(s) Vref

E

Gc(s)

Ea

Gp(s)

จงคํ านวณค า Ka ที่ ทําให ผ ลตอบสนองของระบบเป น แบบ critical

damped และพล็อตผลตอบสนองของ vtach(t) กรณี over damped, under

ω

Ktach

Vtach

แตละกรณีดวย จากรูปมาตรฐาน T.F. =

จากรูป Vtach = Gtotal(s)E(s)

และฟงกชัน

E(s) = Vtach – Vref ∴ จะไดวา

=

=

E(s) Vref

=

1 Vref 1 + G total (s)

1 ⎞ K ⎛ KT 1 + ⎛⎜ a ⎞⎟ ⎜ ⎟ ( K tach ) ⎝ s ⎠ ⎝ R a (Js + b) + K T K b ⎠ 1 s(R a Js + R a b + K T K b ) + K a K T K tach s(R a Js + R a b + K T K b )

ω2n s 2 + 2ξωn s + ω2n

K a K T K tach RaJ R b + K T K b K a K T K tach s2 + a s+ RaJ RaJ

เทียบพจนจะไดวา ωn =

และ 2ξωn =

∴ ξ=

K a K T K tach RaJ

Ra b + KTK b RaJ

Ra b + KTK b 1 RaJ ⋅ ⋅ RaJ 2 K a K T K tach

45.7157 ⋅

=

0.0323 Ka

กรณี under damped จะเกิดขึ้นเมื่อ 0<ξ<1

45.7157 ⋅

0.0323 Ka

<1

∴Ka > 67.5046 ในการพล็อตกราฟจะใช 200 กรณี critical damped จะเกิดขึ้นเมื่อ ξ = 1 ∴Ka = 67.5046 กรณี over damped จะเกิดขึ้นเมื่อ 1 < ξ ∴0 < Ka < 67.5046

ในการพล็อตกราฟจะใช 20

6. จงพล็ อตผลตอบสนองขั้ นบั น ไดของระบบเมื่ อปรั บ ค า Ka ตามข อ 3 พรอมเขียนไฟล Matlab (M-file) เพื่อคํานวณคาสมรรถนะของระบบ (%overshoot,

tr,

tp

และ ts)

ในกรณี ต า งๆ โดยใช ชื่ อ ไฟล ว า

stepanalysis.m แลวพิมพ script file ดังกลาวในรายงานดวย

เนื่องจากถาวาดกราฟที่เริ่มตนที่จุดเริ่มตน (0) จะทําใหกราฟ บางเสนดูรายละเอียดไดลําบาก ผูจัดทําจึงไดใหกราฟเริ่มตนที่ 1 แทน

stepanalysis.m ka=2; num=[30.9879*ka]; den=[1 91.4313 30.9879*ka]; finalvalue=polyval(num,0)/polyval(den,0) [y,x,t]=step(num,den); [Y,k]=max(y); timetopeak=t(k) percentovershoot=100*(Y-finalvalue)/finalvalue %compute rise time n=1; while t(n)<0.1*finalvalue, n=n+1; end m=1;

while t(m)<0.9*finalvalue, m=m+1; end risetime=t(m)-t(n) %compute settling time l=length(t); while (y(l)>0.98*finalvalue)&(y(l)<1.02*finalvalue) l=l-1; end settlingtime=t(l) step(num,den) จากโปรแกรม stepanalysis.m สามารถเขียนผังงาน หรือ Flowchart ได ดังแสดง

start

คําถาม

Ka

1. จงอธิบายวาคาอัตราขยาย

Ka=2

มีผลอยางไรตอผลตอบสนอง

ของระบบในสภาวะทรานสเซียน อัตราสวนขยาย

Num =[30.9879*Ka]

Ka

คา อัตราขยาย den=[1 91.4313 30.9879*Ka]

Ka

มีผลความสัมพันธกับ ζ

มากขึ้นขึ้น จะทําให

ζ

และ

ωn

คือ เมื่อ

มีคานอยลงและคา

ωn

จะมากขึ้น จะทําใหระบบเขาสูสภาวะ steady state เร็วขึ้น

1 s

2.คา Finalvalue=poly(num ,0)/polyval(den,0)

ที่ตอ cascade ในระบบมีผลอยางไรตอผลตอบสนองของ

ระบบในสภาวะคงตัว -คา

[y,x,t]=step(num ,den)

1 s

เปนตัวบอกถึง input ที่ปอนเขาไปเปนแบบ Unit Step ทําให

ทราบคาของ input ที่ปอนใหกับระบบสามารถนําไปวิเคราะหเปน order ใด

[Y,k]=m ax(y) Tim etopeak=t(k)

Percent overshoot=100*(y-finalvalue)/finalvalue

สรุปผลการทดลอง การวิเคราะหผลตอบสนองในสภาวะทรานสเซียนของระบบควบคุม อันดับสองแบบลูปปดโดยจาย input เปนแบบ Unit step หรือขั้นบันได สามารถพิจารณารูปมาตรฐานของฟงกชันถายโอนลูปปดของระบบอันดับ สองไดดังนี้

% rise tim e

n=1

ถา

ωn2 C (s) = 2 R( s ) s + 2ξωn s + ωn2 0 < ζ < 1 ผลตอบสนองของระบบจะเปนแบบ

underdamp และ

สามารถพิจารณาสมรรถนะของระบบในสภาวะทรานสเซียนจาก

yes

t(n)<0.1*finalvalue n=n+1 no m =1

yes

H t(m)<0.9*finalval & y(1)<1.02*finalvalue

และ ωn ไดดังนี้

tr =

π − cos −1 ζ ωn 1 − ζ 2 π π = ω d ωn 1 − ζ 2

tp =

no % settling tim e

ts =

3

ζωn

,5% หรือ t s

=

4

ζωn

,2%

l=length(t)

%overshoot = yes

y(1)>0.98*finalvalue &y(1)<1.02*finalvalue

ζ

แตถา

ζ ≥1

y p − yss yss

× 100 = e

⎛ −πζ ⎜ ⎜ 1−ζ 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

× 100

ระบบจะมีผลตอบสนองเปนแบบ Criticaldamped และ

Overdamped ซึ่งในกรณีนี้จะไมสามารถกําหนดคาสมรรถนะตาง ๆ ได no l=l-1

Setting tim e=t(1)

Step(num ,den)

end

จากคา

ζ

และ

ωn

เอกสารอางอิง 1. ชกิตติ ตีรเศรษฐ, วิศวกรรมระบบควบคุมและระบบปอนกลับ, คณะ วิศวกรรมศาสตร,มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาเจาคุณ ทหารลาดกระบัง 2. Witheephanich, Kritchai, Feedback Control System Leccture Note EE330., Power Research Group Department of Electrical Engineering Srinakharinwirot University 3. Frankin, Powell, Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic System, 4th Ed., Addison Weslay, 2002.