áreas

Áreas de figuras planas Francisco Ferreira Paulo Hálisson Barreto Vieira Luiz Vicente Ferreira Neto

1. Triângulos 1.1. Em relação à base e à altura Considere o triângulo de base b e altura h abaixo

h

•

b

b h A  2

Demonstração Observe que dois triângulos congruentes formam um paralelogramo de base b e altura h.

Portanto, a área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo

b h A  2

1.2. Fórmula de Heron (conhecendo seus lados)

a

c

b

abc A  p(p  a)(p  b)(p  c), em que p  2 Lembrete! Considere p como sendo o semiperímetro

1.3. Para o triângulo equilátero

a

30º 30º

a

h 60º

60º •

a

A  equilátero 

a

2

4

3

Demonstração Para encontrar o valor da altura, temos que o triângulo CMB é retângulo; logo:

2

2 2 2 2 2 l l 4 l  l 3 l 3 l l 3   l 2  h2     l 2   h2  h2   h2  h h 4 4 4 4 2  2

Assim:

Aequilátero

b.h   Aequilátero 2

l 3 2 l . 3 2   Aequilátero  2 4 l.

1.4. Conhecendo-se dois lados e o ângulo formado por eles

b

h

α •

a

a b sen  A  2

Demonstração

b

h

α •

a

Tomando o ângulo , h é o cateto oposto a ele e b é a hipotenusa do triângulo retângulo à esquerda:

h sen   h  b.sen b Sendo assim, a área é determinada por:

base altura a b sen  A   A  2 2

1.5. Triângulo circunscrito a uma circunferência A área de um triângulo circunscrito a uma circunferência é determinada por:

Acircunscrito  p . r

Demonstração

AABC  ABOC  AAOC  AAOB  AABC  AABC  AABC

a.r b.r c.r    2 2 2  abc   .r 2    p.r

1.6. Triângulo inscrito a uma circunferência A área de um triângulo inscrito a uma circunferência pode ser determinada por:

AABC

a.b.c  4r

Demonstração Toma-se a idéia que a Para determinar

Assim, temos

AABC

a.ha  2

:

ha, construímos o ABE, com AE = 2r.

ha b b.c   ha  c 2r 2r

Logo, concluímos que

.

1 b.c a.b.c AABC  .a.  AABC  . 2 2r 4r

2. Héxagono regular Devemos lembrar que todo hexágono regular é decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes. a a

a

a

a

a

a

a

a

a

a A  6

2

4

3

Demonstração Considere, por exemplo, o hexágono em que l é a medida do lado e a a medida do apótema.

Como a área do hexágono é formada por seis triângulos equiláteros, essa pode ser indicada por:

Ahexágono

b.h l.a  6.  Ahexágono  6.  Ahexágono  3. l .a { 2 2 semiperímetro do polígono

Generalizando, para um polígono de n lados:

a4

a3

Apolígono Observe que

Assim,

n. l 2

l. a n. l  n.  Apolígono  .a 2 2

é o semiperímetro (p) do polígono.

Apolígono  p. a .

a8

3. Quadriláteros notáveis 3.1. Trapézio

A trapézio

(B  b) h  2

Demonstração Note que a área do trapézio é determinada pela área de dois triângulos, ambos retângulos.

 I e  II

,

b1.h b2 .h Atrapézio  AI  AII  Atrapézio   2 2 b1  b2  .h  b1.h  b2 .h  Atrapézio   Atrapézio  2 2

3.2. Paralelogramo Tome, assim, um paralelogramo de base b e altura h.

h

•

b

A Y  b h

Demonstração Observe que a área do paralelogramo é igual á área do retângulo de medidas b e h.

Assim, a área é igual á área de um quadrado, ou seja, pela representação a seguir, temos:

AY  b .h

3.3. Retângulo A área de um retângulo é o produto da medida do comprimento pela medida da largura. •

b

•

h

h

•

b

A X  b h

•

Demonstração Note que a área de um retângulo é determinada pela soma das áreas de dois triângulos retângulos e congruentes •

b

•

h

h

•

b

•

b.h b.h b.h  b.h 2 b.h AX    AX   AX   AX  b.h 2 2 2 2

3.4. Losango a

d 2 •

a d

•

a

a

D

D d A  2

Demonstração Note que a área do losango é composta da soma das áreas de dois triângulos de base  D  e altura  d  congruentes.





 2

Sendo assim, suas áreas também são congruentes.

d 2 •

D

d D D d A   2 A   2  2  A   2 2

3.5. Quadrado Sabendo-se que o quadrado é um tipo específico de retângulo cujos lados são congruentes

•

a

•

45º

45º d

a

a 45º 45º

•

a

AW  a

2

•

Demonstração Sabendo que são dois triângulos retângulos congruentes, a área do quadrado é determinada pela soma das áreas dos mesmos.

l •

•

d

l

l

•

•

l

 l.l l.l 2.l.l AW    AW   A W  l.l  A W  l2 2 2 2

4. Círculo e suas partes 4.1. Área do círculo

r

A círculo   r

2

Lembrete! Comprimento da circunferência

r

Cd  2r

Demonstração Considere o círculo de raio r.

Dividindo o círculo em partes congruente e decompondo-o, obtemos:

Verifique, então, que a área do círculo corresponde, aproximadamente, à metade da área de um retângulo de base 2 r e altura r. Assim:

Acírculo

2  r  .r  Acírculo   . r. r  Acírculo   . r 2 2

4.2. Coroa circular É a área compreendida entre dois círculos concêntricos.

R r

A coroa circular  (R  r ) 2

2

Demonstração Observe que a área da coroa circular é a diferença entre as áreas das circunferências concêntricas C1 e C2 .

Acoroa circular  AC1  AC 2  Acoroa circular   R 2   r 2  Acoroa circular    R  r 2

2



4.3. Setor circular r α

l

r

4.3.1. A partir do ângulo central

A setor

  r  o 360

4.3.2. A partir do comprimento do arco

A setor

l r  2

2

Demonstração A área de um setor circular pode ser determinada por uma simples regra de três

I. A partir do ângulo central

 360o   r 2   r 2  A setor   o 360   A  setor I. A partir do comprimento do arco

 2r   r 2 l r  A setor   2  A setor  l

4.4. Área do segmento circular

r α r

A segmento circular  A setor  A triângulo

Demonstração A do setor circular é a diferença entre as áreas do setor circular e do triângulo.

Asegmento circular  Asetor circular  A  Asegmento circular

 . . r r. r. sen   360º 2 2