المعادلات التفاضلية 2 Bac المعادلات التفاضلية

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺳﻠﻚ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫‪ -I‬ﺗﻘﺪﻳﻢ‬

‫‪ -1‬ﺗﺆدي دراﺳﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﻈﻮاهﺮ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ و اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ و اﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ و ﻏﻴﺮهﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﺠﻬﻮل داﻟﺔ وﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ أو ﻣﺸﺘﻘﺎت هﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ‪.‬‬

‫هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ) y‬وﻗﺪ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺄي ﺣﺮف ﺁﺧﺮ ﻣﺜﻞ ‪(............. u , z , f‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎد ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺪوال ‪ y‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ هﺪﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ,‬و ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ هﺪﻩ اﻟﺪوال‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ هﺪﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ,‬آﻞ ﺣﻞ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ آﺬﻟﻚ ﺗﻜﺎﻣﻼ‪.‬‬ ‫‪ -2‬أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫أ(‬ ‫‪ y ' = 0‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫ﺑـ ‪ y ( x ) = 1‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ y‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ هﻲ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. y ' = 0‬‬ ‫‪ y ' = x 2 − 1‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ ) y‬ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻜﺘﺐ ‪( y ' ( x ) = x − 1‬‬ ‫ب(‬ ‫‪2‬‬

‫ﺣﻠﻮل هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ x → x 2 − 1‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪.‬‬

‫أي اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪1 2‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪x − x + k‬‬ ‫‪3‬‬

‫→‪x‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ k‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ ‪.‬‬ ‫‪ – II‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´+ay=0‬‬ ‫‪ -1‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y '+ ay = 0‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻷوﻟﻰ ) ﻷﻧﻬﺎ ﻻ ﺗﺘﻀﻤﻦ إﻻ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﻤﺠﻬﻮل ‪ ( y‬ذات اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ‪.‬‬ ‫* اذا آﺎن ‪ a = 0‬ﻓﺎن ‪ y ' = 0‬أي أن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫* اذا آﺎن ‪a ≠ 0‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬

‫‪−ax‬‬

‫‪(e ) ' = −ae‬‬ ‫‪−ax‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ادن‬

‫‪−ax‬‬

‫‪ x → e‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y '+ ay = 0‬‬

‫ﻧﻀﻊ ‪y ( x ) = z ( x )e −ax‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y‬ﺣﻼ اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y '+ ay = 0‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪y ' ( x ) = z ' ( x )e −ax − az ( x )e −ax‬‬ ‫أي‬

‫)‬

‫‪y ' ( x ) = z ' ( x )e − ax − ay ( x‬‬

‫و ﻣﻨﻪ ‪ z ' ( x ) = 0‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪z ( x ) = λ‬‬

‫اذن ‪y ( x ) = λe −ax‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪= 0‬‬

‫‪) = z ' ( x )e − ax‬‬

‫‪y ' ( x ) + ay ( x‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a = 0‬هﻲ ﺿﻤﻦ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﺑـ ‪x → λe −ax‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y '+ ay = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‪.‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫) ‪−a ( x − x 0‬‬ ‫‪x → y 0e‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y '+ ay = 0‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط ‪ y ( x0 ) = y0‬و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺸﺮط ‪ y ( x0 ) = y0‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ‬ ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫‪ -1‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y '+ 2 y = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪− y '+ y = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪y'+ay²=0‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪( E ) : y '+ 3 y 2 = 0‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬

‫‪1‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺮف ﻋﻠﻰ [∞‪ [1; +‬ﺣﻴﺚ‬ ‫‪4‬‬

‫; ‪y (1) = 2‬‬

‫= ) ‪ y ( 2‬و ﻻ ﻳﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ‬

‫[∞‪[1; +‬‬

‫'‬

‫‪1‬‬ ‫' ‪−y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫⇔‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫⇔‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪k‬‬ ‫∈‬ ‫⇔‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3x + k‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[∞‪∀x ∈ [1; +‬‬ ‫= ) ‪y (x‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن = ) ‪ y ( 2‬ﻓﺎن ‪ k = −2‬ادن‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3x − 2‬‬

‫⇔ ‪y '+ 3 y 2 = 0‬‬ ‫)‪− 2 ≠ 0‬‬

‫‪( 3x‬‬

‫‪ -III‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y"+ay'+by=0‬‬ ‫‪ -1‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y"+ay'+by=0‬ﺣﻴﺚ ∈ )‪ (a,b‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ذات اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫‪ -2‬ﺑﻌﺾ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ a = b = 0‬ﻓﺎن ‪y '' = 0‬‬ ‫∈ ‪y " = 0 ⇔ ∃k‬‬ ‫' ‪y ' ( x ) = k ⇔ ∃ ( k ; k ' ) ∈ 2 y ( x ) = kx + k‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y '' = 0‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال ' ‪ x → kx + k‬ﺑﺤﻴﺚ‬

‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ b = 0‬ﻓﺎن ‪y ''+ ay ' = 0‬‬ ‫‪y "+ ay ' = 0 ⇔ ( y ') '+ ay ' = 0‬‬ ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫‪−ax‬‬

‫‪2‬‬

‫∈ )' ‪( k ; k‬‬

‫وﻣﻨﻪ ' ‪ y‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪z '+ az = 0‬‬

‫‪ y ' ( x ) = λe‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫اذن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y ''+ ay ' = 0‬هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ ‪x → λe − ax‬‬ ‫‪− λ − ax‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪+µ‬‬ ‫أي اﻟﺪوال‬ ‫→ ‪(λ ; µ ) ∈ 2 x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ – 3‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪; E : y "+ ay '+ by = 0‬‬

‫‪ -(a‬ﺗﺬآﻴﺮ‬

‫) ‪( a; b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬و ‪ g‬ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺘﻴﻦ ادا و ﻓﻘﻂ ادا آﺎن‬ ‫) ‪g ( x ) = kf ( x‬‬

‫‪ (b‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ y1‬و ‪ y2‬ﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬و ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪(α ; β‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن ‪ α y1 + β y2‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫اذا آﺎن ‪ y 1‬و ‪ y 2‬ﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y "+ ay '+ by = 0‬‬

‫‪∀x ∈ I‬‬

‫∈ ‪∃k‬‬

‫‪ E :‬و آﺎن‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪ (α ; β‬ﻓﺎن ‪α y 1 + β y 2‬‬

‫ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. E‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫آﻞ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E : y "+ ay '+ by = 0‬هﻮ ﺗﺄﻟﻴﻔﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻟﺤﻠﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. E‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻻﻳﺠﺎد ﺣﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E : y "+ ay '+ by = 0‬ﻳﻜﻔﻲ أن ﻧﺠﺪ ﺣﻠﻴﻦ ﺧﺎﺻﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﻴﻦ‬

‫‪ –(d‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪; E : y "+ ay '+ by = 0‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻠﻮل ﻣﻦ ﻧﻮع‬

‫‪y : x → e rx‬‬

‫;‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪( a; b‬‬

‫∈‪r‬‬

‫‪ y‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪r 2 + ar + b = 0 ⇔ r 2e x + are x + be x = 0 ⇔ E‬‬ ‫‪rx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اذن اذا آﺎن ‪ r‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ r + ar + b = 0‬ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → e‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ r + ar + b = 0‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬

‫∈ ) ‪( a ;b‬‬

‫‪2‬‬

‫‪; E : y "+ ay '+ by = 0‬‬

‫ﻣﻤﻴﺰ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻮ ‪a 2 − 4b‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ 1‬اذا آﺎن ‪ a 2 − 4b 0‬ﻓﺎن ‪ r 2 + ar + b = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ‪ r1‬و ‪. r2‬‬ ‫‪r2 x‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺘﺎن ‪; x → e r1x‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أن ‪; x → e r1x‬‬

‫‪ x → e‬ﺣﻼن ﺧﺎﺻﺎن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪E‬‬

‫‪r2 x‬‬

‫‪ x → e‬ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﻴﻦ‬

‫اذن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال‬

‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ 2‬اذا آﺎن ‪ a 2 − 4b = 0‬ﻓﺎن ‪= 0‬‬ ‫‪rx‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → e‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺘﺎن ‪ x → e rx‬و ‪x → xe rx‬‬ ‫اذن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال‬

‫‪x → α e r1x + β e r2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ r + ar + b‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻣﺰدوج ‪. r‬‬ ‫‪rx‬‬ ‫‪ .‬ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ x → xe‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. E‬‬ ‫‪e rx‬‬ ‫ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺘﻴﻦ ﻷن ‪ x → x rx‬ﻏﻴﺮ ﺛﺎﺑﺘﺔ‪.‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪rx‬‬ ‫‪ x → (α + β x )e‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‪.‬‬

‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ 3‬اذا آﺎن ‪ a 2 − 4b ≺ 0‬ﻓﺎن ‪ r 2 + ar + b = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺟﺬرﻳﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ ‪ r1 = p + iq‬و ‪r2 = p − iq‬‬

‫)‪( q ≠ 0‬‬

‫‪e r1x = e px ( cos qx + i sin qx ) = e px cos qx + ie px sin qx‬‬ ‫ﻧﺒﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪; x → e px sin x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪cos x‬‬

‫‪px‬‬

‫‪ x → e‬ﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪.E‬‬

‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪4b − a 2‬‬ ‫=‪; q‬‬ ‫‪p =−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫و ﺑﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪; x → e px sin x‬‬

‫‪cos x‬‬

‫) ‪(α cos qx + β sixqx‬‬

‫‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال‬

‫‪px‬‬

‫‪px‬‬

‫‪ x → e‬ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺘﻴﻦ ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬

‫‪ x → e‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‪.‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪; E : y "+ ay '+ by = 0 :E‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪ ( a;b‬و ﻟﺘﻜﻦ ‪r + ar + b = 0‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬

‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ a − 4b‬ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻬﺎ ﺟﺪرﻳﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ‪; r1‬‬

‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال‬

‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪a 2 − 4b = 0‬‬

‫‪r2 x‬‬

‫‪+ βe‬‬

‫‪r1 x‬‬

‫‪x → αe‬‬

‫‪r2‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬

‫ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻣﺰدوج ‪. r‬‬

‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال‬

‫‪rx‬‬

‫‪ x → (α + β x )e‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬

‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ a 2 − 4b ≺ 0‬ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﺗﻘﺒﻞ ﺟﺬرﻳﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ ‪ r1 = p + iq‬و ‪r2 = p − iq‬‬ ‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال‬ ‫اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ اﻟﺬي ﻳﺤﻘﻖ ‪y ( x0 ) = y0‬‬

‫) ‪(α cos qx + β sixqx‬‬

‫‪y ' ( x0 ) = y '0‬‬

‫;‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ‬ ‫اﻟﺸﺮﻃﺎن‬

‫‪y ( x0 ) = y0‬‬

‫;‬

‫‪px‬‬

‫‪ x → e‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان‬

‫‪y ( x0 ) = y0‬‬

‫;‬

‫‪y ' ( x0 ) = y '0‬‬

‫‪ y ' ( x0 ) = y '0‬ﻳﺴﻤﻴﺎن اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ اﻟﺒﺪﺋﻴﻴﻦ ‪.‬‬

‫ﻳﻤﻜﻦ إﻋﻄﺎء ﺷﺮﻃﻴﻦ ﺑﺪﺋﻴﻴﻦ ﺁﺧﺮﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

‫‪‬‬ ‫) ‪ = k ( cos ϕ cos qx + sin ϕ sin qx ) = k cos (qx − ϕ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α cos qx + β sin qx = k  cos qx + sin qx‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫‪; k = α2 + β2‬‬

‫ﺑﻮﺿﻊ‬

‫‪β‬‬ ‫‪k‬‬

‫= ‪; sin ϕ‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪k‬‬

‫= ‪cos ϕ‬‬

‫ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اذا آﺎن ‪ a 2 − 4b ≺ 0‬ﻓﺎن ) ‪cos (qx − ϕ‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪5‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪y "+ 2 y '−‬‬

‫‪px‬‬

‫‪ x → ke‬ﺣﻴﺚ ‪ k‬و ‪ ϕ‬اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬

‫و ﺣﺪد اﻟﺤﻞ اﻟﺨﺎص ‪ y1‬ﺣﻴﺚ ‪y1 ( 0 ) = 1‬‬

‫‪ -2‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y "+ 4 y '+ 4 y = 0‬ﺣﻴﺚ ‪y ( −1) = 1‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y "+ 2 y '+ 5 y = 0‬ﺣﻴﺚ ‪y ( 0 ) = 0‬‬

‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪0‬‬

‫; ‪y1 ' ( 0 ) = −1‬‬

‫; ‪y ' ( −1) = 0‬‬ ‫; ‪y ' ( 0 ) = −1‬‬

‫‪ a‬ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y "+ ay = 0‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﻳﻠﻲ ‪ x → α cos ax + β sin ax‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬

‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ a ≺ 0‬ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y "+ ay = 0‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻳﻠﻲ‬

‫‪−ax‬‬

‫‪+ βe −‬‬

‫‪−ax‬‬

‫‪ x → α e‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪2‬‬

‫ﺑﻤﺎ‬ ‫ﺑﻤﺎ‬

‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬

‫; ‪y "− 4 y = 0‬‬

‫ﻣﺜﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ ‪y "+ 2 y = 0‬‬ ‫‪ -IV‬ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑﻄﺮف ﺛﺎن‬ ‫‪ -1‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ )‪y´+ay=f(x‬‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪ E : y '+ ay = f ( x‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻷوﻟﻰ ذات ﻣﻌﺎﻣﻼت ﺛﺎﺑﺘﺔ‬

‫و ﺑﻄﺮف ﺛﺎن‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E ' : y '+ ay = 0‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪E‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ )‪E: y´+ay=f(x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y0‬ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬و ‪ y1‬ﺣﻼ ﻋﺎﻣﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ) ‪y1 '+ ay1 = f ( x ) ; y 0 '+ ay0 = f ( x‬‬

‫ادن ‪(y1 − y0 ) '+ a( y1 − y0 ) = 0‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ y1 − y0‬هﻮ ‪ z‬اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E ' z '+ az = 0‬‬

‫اذن ‪y1 = z + y0‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y0‬ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫) ‪ E : y '+ ay = f ( x‬و ‪ z‬ﺣﻼ ﻋﺎﻣﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E ' : y '+ ay = 0‬‬ ‫اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬هﻮ ‪y = z + y 0‬‬

‫‪ -2‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ )‪y´´+ay´+by=f(x‬‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪y ''+ ay '+ by = f ( x‬‬

‫‪ E :‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ذات‬

‫ﻣﻌﺎﻣﻼت ﺛﺎﺑﺘﺔ و ﺑﻄﺮف ﺛﺎن‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪E ' : y ''+ ay '+ by = 0‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪. E‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ )‪E: y´´+ay´+by=f(x‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y0‬ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬و ‪ y1‬ﺣﻼ ﻋﺎﻣﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ) ‪y1 ''+ ay1 '+ by1 = f ( x ) ; y 0 ''+ ay0 '+ by0 = f ( x‬‬

‫ادن ‪(y1 − y0 ) ''+ a( y1 − y0 ) '+ b( y1 − y0 ) = 0‬‬ ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ y1 − y0‬هﻮ ‪ z‬اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E ' z ''+ az '+ bz = 0‬ادن ‪y1 = z + y0‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y 0‬ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪y ''+ ay '+ by = 0‬‬

‫) ‪y ''+ ay '+ by = f ( x‬‬

‫‪ E :‬و ‪ z‬ﺣﻼ ﻋﺎﻣﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪. E ':‬‬

‫اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬هﻮ ‪y = z + y 0‬‬ ‫‪ -3‬ﺗﻘﻨﻴﺎت‬ ‫‪ -*(a‬ﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪ y '+ ay = p ( x‬ﺣﻴﺚ ‪ p‬داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ‬ ‫ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪y '+ ay = p ( x‬‬

‫إذا آﺎن ‪ a ≠ 0‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺒﺤﺚ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻳﻜﻮن داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ درﺟﺘﻬﺎ ‪n‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ a = 0‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺒﺤﺚ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻳﻜﻮن داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ درﺟﺘﻬﺎ ‪n + 1‬‬

‫‬‫‬‫وﻧﻄﺒﻖ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺣﻞ ‪y '+ 2 y = x 2 − x‬‬ ‫*‪ -‬ﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪y ''+ ay '+ by = p ( x‬‬

‫‪ E :‬ﺣﻴﺚ ‪ p‬داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ درﺟﺘﻬﺎ ‪n‬‬

‫ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‬‫‬‫‬‫وﻧﻄﺒﻖ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺣﻞ ‪y ''+ 3 y '+ 2 y = x + x‬‬ ‫‪ -* (b‬ﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪y '+ ay = k cos (ω x − ϕ‬‬

‫إذا آﺎن ‪ c ≠ 0‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺒﺤﺚ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻳﻜﻮن داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ درﺟﺘﻬﺎ ‪n‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ b ≠ 0‬و ‪ c = 0‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺒﺤﺚ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻳﻜﻮن داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ درﺟﺘﻬﺎ ‪n + 1‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ c = 0‬و ‪ b = 0‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺒﺤﺚ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻳﻜﻮن داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ درﺟﺘﻬﺎ ‪n+ 2‬‬

‫ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ y '+ ay = k cos (ω x − ϕ‬ﻣﻦ ﻧﻮع ‪ x → α cos ω x + β sin ω x‬و ﻧﻄﺒﻖ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺣﻞ ‪y '+ 2 y = 3cos  3 x − ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‪ -‬ﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪y ''+ ay '+ by = k cos (ω x − ϕ‬‬

‫‪E:‬‬

‫ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬ﻣﻦ ﻧﻮع ‪ x → α cos ω x + β sin ω x‬و ﻧﻄﺒﻖ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y ''+ 6 y '+ 5 y = 3cos  4 x − ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ -*(c‬ﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y ' + a y = k e α x‬‬ ‫ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬ﻣﻦ ﻧﻮع‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﺣﻞ ‪y '+ 2 y = 4e x‬‬

‫‪αx‬‬

‫‪E :‬‬

‫‪ x → ( ax + b )e‬و ﻧﻄﺒﻖ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ‬

‫و ‪y '+ 2 y = 4e −2 x‬‬

‫*‪ -‬ﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y ''+ ay '+ by = k e α x‬‬

‫)‬

‫‪E :‬‬

‫ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ E‬ﻣﻦ ﻧﻮع ‪+ bx + c e α x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ ‪; y "− 5 y '+ 6 y = 3e 2 x‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪ x → ax‬و ﻧﻄﺒﻖ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ‬

‫‪y "− 5 y '+ 6 y = 3e 4 x‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬