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AULA1 - Fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas. A fun¸c˜ ao arcsen(x). Para ”construir” a fun¸c˜ao inversa do seno, comecemos por analisar a fun¸c˜ao seno.

Se olharmos para o gr´afico de f (x) = sen(x), facilmente verificamos que, o dom´ınio de f (x) ´e Df = <, Df0 = [−1, 1], ´e uma fun¸c˜ao sempre cont´ınua, peri´odica e ´e ´ımpar(f (−x) = −f (x)). R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM)

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. -Para que uma fun¸c˜ao tenha inversa, ´e necess´ario que seja injectiva. Como se vˆe no gr´afico de sen(x), esta fun¸c˜ao n˜ao ´e injectiva em todo o seu dom´ınio. Para que se possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu dom´ınio, num subdom´ınio para o qual a fun¸c˜ao seja injectiva.

-Consideremos a fun¸c˜ao g (x) = Sen(x) restrita ao intervalo [− π2 , π2 ], e que representaremos por, g (x) = Sen(x) = sen(x), com − π2 ≤ x ≤ π2 .

-Podemos dizer que, Dg = [− π2 , π2 ], Dg0 = [−1, 1], dSen(x) > 0, ∀x ∈ Dg pelo que dx podemos dizer que a fun¸c˜ao g (x) ´e crescente em ] − π2 , π2 [, e ´e injectiva no seu dom´ınio. Uma vez que Sen(x) ´e injectiva, podemos definir a sua fun¸c˜ao inversa, que representaremos por g −1 (x) = arcsen(x).

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas.

Esta fun¸c˜ao tem como dom´ınio, Dg −1 (x) = [−1, 1] e o seu contradom´ınio ´e Dg0 −1 (x) = [− π2 , π2 ].

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. Seja y = arcsen(x), ent˜ao, x = sen(y ) e − π2 ≤ y ≤ π2 . Se derivarmos esta dy dx express˜ao em ordem a x vem, dx = cos(y ) dy dx , i.e., 1 = cos(y ) dx . Como cos(y ) ≥ 0, quando − π2 ≤ y ≤ π2 , temos, p √ cos(y ) = 1 − sen2 (x) = 1 − x 2 . Logo, darcsen(x) = dx

√ 1 . 1−x 2

A fun¸c˜ ao arccos(x) Para ”construir” a fun¸c˜ao inversa do coseno, comecemos por analisar a fun¸c˜ao coseno.

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. Se olharmos para o gr´afico de f (x) = cos(x), facilmente verificamos que, o dom´ınio de f (x) ´e Df = <, Df0 = [−1, 1], ´e uma fun¸c˜ao sempre cont´ınua, peri´odica e ´e par(f (−x) = f (x)). Para que uma fun¸c˜ao tenha inversa, ´e necess´ario que seja injectiva. Como se vˆe no gr´afico de cos(x), esta fun¸c˜ao n˜ao ´e injectiva em todo o seu dom´ınio. Para que se possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu dom´ınio, num subdom´ınio para o qual a fun¸c˜ao seja injectiva. Consideremos a fun¸c˜ao g (x) = Cos(x) restrita ao intervalo [0, π], e que representaremos por, g (x) = Cos(x) = cos(x), com 0 ≤ x ≤ π. Podemos < 0, ∀x ∈ Dg pelo que podemos dizer dizer que, Dg = [0, π], Dg0 = [−1, 1], dCos(x) dx que a fun¸c˜ao g (x) ´e decrescente em ]0, π[, e ´e injectiva no seu dom´ınio. Uma vez que Cos(x) ´e injectiva, podemos definir a sua fun¸c˜ao inversa, que representaremos por g −1 (x) = arccos(x). O gr´afico desta fun¸c˜ao e dado por,

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas.

Esta fun¸c˜ao tem como dom´ınio, Dg −1 (x) = [−1, 1] e o seu contradom´ınio ´e Dg0 −1 (x) = [0, π]. Seja y = arccos(x), ent˜ao, x = cos(y ) e 0 ≤ y ≤ π. Se derivarmos esta express˜ao dy em ordem a x vem, dx dx = −sen(y )(y ) dx , i.e.,

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. 1 = −sen(y ) dy . Como sen(y ) ≥ 0, quando 0 ≤ y ≤ π, temos, p dx √ 1 sen(y ) = 1 − cos 2 (x) = 1 − x 2 . Logo, darccos(x) = − √1−x . 2 dx A fun¸c˜ ao arctg(x). Para ”construir” a fun¸c˜ao inversa da tangente, comecemos por analisar a fun¸c˜ao tangente.

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. Se olharmos para o gr´afico de f (x) = tg (x), facilmente verificamos que, o dom´ınio de f (x) ´e Df = {x ∈ < : x 6= (2k − 1) π2 , k ∈ Z }, Df0 = <, ´e uma fun¸c˜ao peri´ odica de per´ıodo π, e ´e ´ımpar. Para que uma fun¸c˜ao tenha inversa, ´e necess´ario que seja injectiva. Como se vˆe no gr´afico de tg (x), esta fun¸c˜ao n˜ao ´e injectiva em todo o seu dom´ınio. Para que se possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu dom´ınio, num subdom´ınio para o qual a fun¸c˜ao seja injectiva. Consideremos a fun¸c˜ao g (x) = Tg (x) restrita ao intervalo ] − π2 , π2 [, e que representaremos por, g (x) = Tg (x) = tg (x), com − π2 < x < π2 . Podemos dizer que, Dg =] − π2 , π2 [, Dg0 = <, dTgdx(x) > 0, ∀x ∈ Dg pelo que podemos dizer que a fun¸c˜ao g (x) ´e crescente em ] − π2 , π2 [, e ´e injectiva no seu dom´ınio. Uma vez que Tg (x) ´e injectiva, podemos definir a sua fun¸c˜ao inversa, que representaremos por g −1 (x) = arctg (x).

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. O gr´afico desta fun¸c˜ao e dado por,

Esta fun¸c˜ao tem como dom´ınio, Dg −1 (x) = < e o seu contradom´ınio ´e Dg0 −1 (x) =] − π2 , π2 [. Seja y = arctg (x), ent˜ao, x = tg (y ) e − π2 < y <

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π 2.

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. Se derivarmos esta express˜ao em ordem a x vem, cos 2 (y ) =

dy dx .

Como 1 + tg 2 (y ) =

1 cos 2 (y ) ,

ent˜ao,

dy dx 1 dx = cos 2 (y ) dx , i.e., darctg (x) 1 = 1+x 2. dx

A fun¸c˜ ao arccotg(x). Para ”construir” a fun¸c˜ao inversa da cotangente, comecemos por analisar a fun¸c˜ao cotangente.

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. Se olharmos para o gr´afico de f (x) = cotg (x), facilmente verificamos que, o dom´ınio de f (x) ´e Df = {x ∈ < : x 6= kπ, k ∈ Z }, Df0 = <, ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo π, e ´e ´ımpar. Para que uma fun¸c˜ao tenha inversa, ´e necess´ario que seja injectiva. Como se vˆe no gr´afico de cotg (x), esta fun¸c˜ao n˜ao ´e injectiva em todo o seu dom´ınio. Para que se possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu dom´ınio, num subdom´ınio para o qual a fun¸c˜ao seja injectiva. Consideremos a fun¸c˜ao g (x) = Cotg (x) restrita ao intervalo ]0, π[, e que representaremos por, g (x) = Cotg (x) = cotg (x), com 0 < x < π. Uma vez que Cotg (x) ´e injectiva, podemos definir a sua fun¸c˜ao inversa, que representaremos por g −1 (x) = arccotg (x). Seja y = arccotg (x), ent˜ao, x = cotg (y ) e 0 < y < π.

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Fun¸co˜es trigonom´etricas inversas. Se derivarmos esta express˜ao em ordem a x vem, sen2 (y ) =

dy dx .

Como 1 + cotg 2 (y ) =

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1 sen2 (y ) ,

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dx dx

ent˜ao,

= − sen12 (y ) dy dx , i.e., darccotg (x) dx

1 = − 1+x 2.

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EXTRA - Fun¸c˜oes hiperb´olicas. As fun¸co˜es sen(x) e cos(x) s˜ao designadas por fun¸c˜ oes circulares porque para qualquer t ∈ <, o ponto (cos(t), sen(t)) localiza-se sobre um c´ırculo de equa¸c˜ao x 2 + y 2 = 1. As fun¸c˜ oes ch(x) e sh(x) s˜ao designadas fun¸c˜oes hiperb´olicas , uma vez que qualquer t ∈ <, ponto (ch(t), sh(t)) localiza-se sobre uma hip´erbole de equa¸c˜ao x 2 − y 2 = 1, da´ı que se possa dizer ch2 (t) − sh2 (t) = 1. Fun¸c˜ ao seno hiperb´ olico ´ uma fun¸c˜ao que se define do seguinte modo, E f :< → < x −x = sh(x) x ,→ e −e 2 Tem-se que sh(0) = 0, ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, i.e. sh(−x) = −sh(x), Df = <. Para al´em disso vemos que, e x − e −x = +∞. x→+∞ x→+∞ 2 e x − e −x lim sh(x) = lim = −∞. x→−∞ x→−∞ 2 lim sh(x) = lim

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. As ass´ımptotas do gr´afico de sh(x) s˜ao dadas pelas curvas y = esbo¸co do gr´afico apresenta-se a seguir.

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ex 2

−x

e y = −e2 . O

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Fun¸c˜ ao coseno hiperb´ olico ´ uma fun¸c˜ao que se define do seguinte modo, E f :< → < x −x x ,→ e +e = ch(x) 2 Tem-se que ch(0) = 1, ´e uma fun¸c˜ao par, i.e. ch(−x) = ch(x), Df = <. Para al´em disso vemos que, e x + e −x = +∞. x→+∞ 2

lim ch(x) = lim

x→+∞

e x + e −x = +∞. x→−∞ 2

lim ch(x) = lim

x→−∞

As ass´ımptotas do gr´afico de ch(x) s˜ao dadas pelas curvas y = esbo¸co do gr´afico apresenta-se a seguir.

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ex 2

ey=

e −x 2

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. O

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Fun¸co˜es hiperb´olicas.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Fun¸c˜ ao tangente hiperb´ olica ´ uma fun¸c˜ao que se define do seguinte modo, E f :< → < x −x sh(x) x ,→ ee x −e = −x +e ch(x) Tem-se que th(0) = 0, ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, i.e. th(−x) = −th(x), Df = <. Para al´em disso vemos que, e x − e −x = 1. x→+∞ e x + e −x

lim th(x) = lim

x→+∞

e x − e −x = −1. x→−∞ e x + e −x

lim th(x) = lim

x→−∞

As ass´ımptotas do gr´afico de th(x) s˜ao dadas pelas curvas y = 1 e y = −1.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. O esbo¸co do gr´afico apresenta-se a seguir.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Fun¸c˜ ao cotangente hiperb´ olica ´ uma fun¸c˜ao que se define do seguinte modo, E f : < \ {0} → < x ch(x) +e −x = x ,→ eex −e −x th(x) ´ uma fun¸c˜ao par, i.e. O dom´ınio ´e Df = {x ∈ < : e x − e −x 6= 0} = < \ {0}. E coth(−x) = coth(x). Para al´em disso vemos que, e x + e −x =1 x→+∞ e x − e −x

lim coth(x) = lim

x→+∞

e x + e −x = −1. x→−∞ e x − e −x

lim coth(x) = lim

x→−∞

lim+ coth(x) = lim+

e x + e −x = +∞ e x − e −x

lim− coth(x) = lim−

e x + e −x = −∞. e x − e −x

x→0

x→0

x→0

x→0

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. O esbo¸co do gr´afico apresenta-se a seguir.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Algumas rela¸c˜ oes importantes envolvendo fun¸c˜ oes hiperb´ olicas. A f´ormula fundamental ´e ch2 (x) − sh2 (x) = 1. Outras rela¸c˜oes se podem provar x −x facilmente a partir da substitui¸c˜ao das express˜ oes que definem sh(x) = e −e e 2 x −x e +e ch(x) = 2 . Fica como trabalho para casa, provar que, ch(x ± y ) = ch(x)ch(y ) ± ch(x)ch(y ) sh(x ± y ) = sh(x)ch(y ) ± ch(x)sh(y ) sh(2x) = 2sh(x)ch(x) ch(2x) = ch2 (x) + sh2 (x) ch2 (x) =

ch(2x)+1 2

sh2 (x) =

ch(2x)−1 2

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Fun¸c˜ oes hiperb´ olicas inversas. As fun¸co˜es sh(x), th(x) e coth(x) s˜ao fun¸c˜ oes injectivas, logo s˜ao invert´ıveis. A fun¸c˜ao ch(x) n˜ao ´e injectiva em todo o seu dom´ınio, pelo que, para definirmos a sua inversa, temos que restringir o seu dom´ınio. Inversa do seno hiperb´ olico. ´ uma fun¸c˜ao que se define do seguinte modo, E f :< → < x ,→ argsh(x) Como as fun¸c˜ oes hiperb´ olicas s˜ao definidas a partir de fun¸c˜oes exponenciais, logo, as fun¸c˜ oes hiperb´ olicas inversas v˜ao ser definidas em termos de fun¸c˜ao logaritmo. Tentemos ent˜ao calcular a inversa da fun¸c˜ao sh(x). Para tal vamos resolver em ordem a x a seguinte equa¸c˜ao, y=

e x −e −x 2

⇔

2y = e x −

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1 ex

⇔

(e x )2 − 2ye x − 1 = 0 C´ alculo

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Se considerarmos α = e x , ent˜ao temos uma equa¸c˜ao em α, α2 − 2αy − 1 = 0 que podemos resolver usando a f´ ormula resolvente, ent˜ao chegamos a, √ 2 p 2y ± 4y +4 = y ± y2 + 1 α= 2 Mas, como α = e x , ent˜ao, temos que escolher o sinal positivo, uma vez que uma fun¸c˜ao exponencial ´e sempre positiva. Daqui, p e aplicando logaritmo a ambos os lados da igualdade acima, vem, x = ln(y + y 2 + 1). Da express˜ao anterior, tamb´em facilmente se vˆe que o seu dom´ınio ´e <. Isto porque o argumento da fun¸c˜ao logaritmo ´e sempre positivo. Podemos ent˜ao caracterizar a inversa da fun¸c˜ao sh(x) da seguinte forma, f −1 : <

→

x ,→ ln(x +

√

< x 2 + 1)

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. O esbo¸co do gr´afico apresenta-se a seguir.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Inversa do coseno hiperb´ olico. ’E uma fun¸c˜ao que se define do seguinte modo, f : [1, +∞[ → x ,→ argch(x)

[0, +∞[

A fun¸c˜ao ch(x) n˜ao ´e injectiva. De modo que temos que restringir o seu dom´ınio, por forma a que seja injectiva. Assim, vamos considerar, Ch(x) : [0, +∞[ x ,→ Ch(x)

→

[1, +∞[

Tentemos ent˜ao calcular a inversa da fun¸c˜ao Ch(x). Para tal vamos resolver em ordem a x a seguinte equa¸c˜ao, y=

e x +e −x 2

⇔

2y = e x +

1 ex

⇔

(e x )2 − 2ye x + 1 = 0

Se considerarmos α = e x , ent˜ao temos uma equa¸c˜ao em α, α2 − 2αy + 1 = 0 que podemos resolver usando a f´ ormula resolvente, ent˜ao chegamos a, R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM)

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. √

α=

2y ±

4y 2 −4 2

=y±

p

y2 − 1

Aplicando logaritmo a ambos os lados da igualdade acima, vem p x = ln(y ± y 2 − 1). Temos agora que escolher o sinal. Tamb´em p sabemos que x ≥ 0 a partir do dom´ınio da fun¸c˜ao ch(x). Isto significa que, y ± y 2 − 1 ≥ 1. Por √ outro lado, tamb´em vimos que y ≥ 1. Seja por exemplo y = 2. Ent˜ao temos 2 ± 3 ≥ 1. Daqui vˆe-se que n˜ao se pode escolher o sinal negativo. Podemos ent˜ao dizer que, f : [1, +∞[ →√ [0, +∞[ x ,→ ln(x + x 2 − 1)

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. O esbo¸co do gr´afico apresenta-se a seguir.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Inversa da tangente hiperb´ olica. ´ uma fun¸c˜ao que se define do seguinte modo, E f :] − 1, 1[ → x ,→ argth(x)

<

Tentemos ent˜ao calcular a inversa da fun¸c˜ao th(x). Para tal vamos resolver em ordem a x a seguinte equa¸c˜ao, e x −e −x e x +e −x

) = e x − e1x ⇔ (e x )2 (y − 1) = −y − 1 q y +1 Daqui tiramos que e x = ± 1−y , e, uma vez que uma fun¸c˜ao exponencial ´e y=

⇔

y (e x +

1 ex

1+y ). sempre positiva, temos que escolher o sinal positivo, ou seja, x = 12 ln( 1−y

O dom´ınio desta express˜ao ´e D = {y ∈ < :

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1+y 1−y

> 0} =] − 1, 1[.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Podemos ent˜ao caracterizar a inversa da fun¸c˜ao th(x) da seguinte forma, → < f −1 :] − 1, 1[ 1+x x ,→ 12 ln( 1−x ) O gr´afico desta fun¸c˜ao pode ser visto a seguir.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Inversa da cotangente hiperb´ olica. ´ uma fun¸c˜ao que se define do seguinte modo, E f :] − ∞, −1[∪]1, ∞[ x ,→ argcoth(x)

→

< \ {0}

Tentemos ent˜ao calcular a inversa da fun¸c˜ao coth(x). Para tal vamos resolver em ordem a x a seguinte equa¸c˜ao, e x +e −x e x −e −x

) = e x + e1x ⇔ (e x )2 (y − 1) = y + 1 q +1 , e, uma vez que uma fun¸c˜ao exponencial ´e Daqui tiramos que e x = ± yy −1

y=

⇔

y (e x −

1 ex

+1 sempre positiva, temos que escolher o sinal positivo, ou seja, x = 12 ln( yy −1 ).

O dom´ınio desta express˜ao ´e D = {y ∈ < :

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1+y y −1

> 0} =] − ∞, −1[∪]1, ∞[.

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Fun¸co˜es hiperb´olicas. Podemos ent˜ao caracterizar a inversa da fun¸c˜ao coth(x) da seguinte forma, f −1 :] − ∞, −1[∪]1, ∞[ 1+x x ,→ 12 ln( x−1 )

→

< \ {0}

O gr´afico desta fun¸c˜ao pode ser visto a seguir.

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