Cálculo - Máximos Y Mínimos De Las Funciones.docx

PREPARATORIA FEDERAL POR COOPERACIÓN ¨MELCHOR OCAMPO¨

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES Profesor: ING. JOSÉ ANTONIO HERNÁNDEZ ANGUIANO Grupo: 502-2 Materia: CÁLCULO DIFERENCIAL

*INTEGRANTES -Omar Alejandro Linares Escobar -Eliezer Ramírez García -David Ramírez Yáñez -Paola Alessandra Morfín Gil

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INTRODUCCIÓN Este documento fue realizado con la finalidad de conocer más acerca del cálculo, ampliar nuestro conocimiento sobre la parte teórica de la materia y resolver dudas surgidas durante la investigación. En el siguiente documento se presentarán temas acerca de los criterios para la primera y segunda derivada, tratando de explicar cuál es la importancia de cada una y mostrando ejemplos que permitan comprender mejor el tema del que se esté hablando. Pensamos que es importante que las personas entiendan lo que está atrás de “sólo números”, pues el cálculo es algo más que sólo hacer operaciones robóticamente, es saber el fundamento de el por qué se realiza ese procedimiento y a qué resultado nos va a conducir. Esperemos que el lector pueda entender más del tema; esto contestando a las preguntas que nos fueron apareciendo conforme realizábamos el trabajo, contemplando ejemplos y relacionando la información de este documento con ideas y conceptos que el lector ha aprendido en otras ocasiones con su profesor o a través de cualquier otro medio. Entre las fuentes que utilizamos para poder completar nuestro documento, nos dimos cuenta de ciertas reglas que siempre aparecen al hacer una primera derivada y de ciertos comportamientos que hace una función al tener su segunda derivada. Creemos que al finalizar de leer el trabajo, se despertará la curiosidad en quien lo haya leído y que pueda hacer sus propias investigaciones para que más y más personas le den la importancia que se merece a estos temas del cálculo y a los fundamentos de las derivadas. Sin más que decir, ¡que disfruten de la lectura!

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MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LAS FUNCIONES Se refiere a la forma de obtener los puntos máximos y mínimos de una función, lo cual tiene aplicaciones muy importantes. Supóngase que la gráfica de cualquier función es la curva mostrada en la función y=f(x) (figura 11.6). En ella, los puntos A y E se llaman máximos; los puntos C y G se llaman mínimos; y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexión. No se puede definir un máximo como el punto más alto de la curva, pues obsérvese en la figura 11.6 que el punto H está más alto que los puntos máximos A y E. Por la misma razón, no se puede definir un mínimo como el punto más bajo de la curva, pues véase que el punto F está más abajo que el punto mínimo C.

Como definir un punto máximo y un punto mínimo con todo rigor ha sido motivo de controversias entre los matemáticos, aquí se va a dar una definición simplemente “convincente”. En la figura 11.7, el punto M es máximo con coordenadas (x, y), es decir, para una abscisa x le corresponde la ordenada y. Entonces, se tiene un máximo en dicho punto si para cualquier abscisa alrededor de M le corresponde una ordenada ym menor que la de M. Efectivamente, en la figura 11.7, para la abscisa x1 le corresponde una ordenada y1 que es menor que y; y para la abscisa x2 le corresponde una ordenada y2 también menor que y.

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Por similitud, un punto N de coordenadas (x, y) es mínimo si para cualquier abscisa (x) alrededor de N le corresponde una ordenada yn mayor que la de N. O sea que para una abscisa x1 le corresponda una ordenada y1 mayor que y; y para una abscisa x2 le corresponda una ordenada y2 también mayor que y, con x1 < x < x2. Un punto de inflexión es aquel en donde cambia el sentido de la curvatura. Una característica importantísima de los puntos máximos y mínimos es que allí la tangente es horizontal, es decir, con pendiente cero. Entonces para localizar dichos puntos debe seguirse un procedimiento en el que solamente haría falta investigar cuál punto es máximo y cuál es mínimo. En la figura 11.8 se tiene la tangente T1 con punto de tangencia en x1 < x, la cual tiene pendiente positiva. Y se tiene otra tangente T2 con punto de tangencia en x < x2, la cual tiene pendiente negativa. x1 < x < x2 La pendiente de la tangente T1 es positiva mientras que la pendiente de la tangente T2 es negativa. Como la pendiente de la recta tangente es la derivada, se puede afirmar que cuando se toma un valor de la abscisa (de la x), respecto del punto M, primero menor y luego mayor, si la derivada pasa de positiva a negativa, ese punto M es un máximo. Lo inverso, pero bajo el mismo análisis, se puede deducir para un mínimo: Cuando se toma un valor de la abscisa (de la x), respecto del punto M, primero menor y luego mayor, si la derivada pasa de negativa a positiva, ese punto M es un mínimo.

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APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Existen muchos problemas del mundo real cuyas diferentes posibles soluciones van primero creciendo y luego decreciendo o a la inversa, lo que implica que tienen un valor máximo o un valor mínimo, los cuales no pueden encontrados por métodos algebraicos, sino solamente con la aplicación del Cálculo Diferencial. La parte medular de la solución de estos problemas consiste en saber construir una función que describa el comportamiento del fenómeno enunciado. Una vez construida dicha función, simplemente se le aplica el procedimiento de encontrarle sus máximos y/o mínimos. Ejemplo 1: Un problema clásico es el de la cajita. Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadrangular, a partir de una lámina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadrados de sus esquinas y doblando las pestañas sobrantes para que sean su altura. Calcular las dimensiones de la caja de mayor volumen. Solución: La figura 11.10 muestra la idea. La lámina entera está a la izquierda con los dobleces que se le han de hacer y los cuadritos en las esquinas que deben eliminarse. A la derecha aparece la cajita ya construida. Sea x la longitud del cuadrito a eliminarse, por lo tanto la longitud restante que será realmente lo largo y ancho de la cajita es de 60 - 2x. Antes de resolver el problema conviene hacer una pequeña tabla para mostrar que con diferentes valores del cuadrito a eliminar de lado x , que es lo mismo que la altura de la caja, se obtienen volúmenes diferentes. O sea, si la altura de la caja es, por ejemplo, x = 1, las otras dimensiones son de 58 × 58 y su volumen es de V = 1 * 58 * 58 = 3364.

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Puede verse en la tabla que el volumen va aumentando hasta cierto valor y luego comienza a descender, lo que significa que hay algún volumen que es más grande que los demás, o sea que es máximo. No puede afirmarse a la ligera que el volumen máximo es V = 15 884 correspondiente a las dimensiones 11 × 38 × 38 simplemente porque ese es el que se ve en la tabla, pues bien podría ser que antes de x = 11 y después de x = 9 se haya logrado el máximo y que al pasar por x = 11 ya venga en descenso. O también podría ser posible que después de x = 11 siga creciendo el volumen y luego al descender (entre x = 11 y x = 15) se llegó a V = 13 500 cuando x = 15, según la tabla. Tampoco tendría validez completar la tabla con los valores de; x = 10, x = 12, x = 13 y x = 14 para analizar la tabla y sacar una conclusión, pues de entrada nada garantiza que el máximo se obtenga para un valor entero de x, sino para un valor decimal. La única manera certera de obtener el valor de x para el cual el volumen es máximo es aplicando el procedimiento de máximos y/o mínimos del Cálculo Diferencial. El volumen de la cajita es: V = x (60 - 2x)(60 - 2x) = x (3600 - 240x + 4x2) = 360 0x - 240x2 + 4x 3 Esta es la función que describe el comportamiento del enunciado, por lo tanto es la que debe derivarse y aplicarle todo el procedimiento de máximos y/o mínimos:

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¿Cuál de ambos valores es máximo y cuál es mínimo? Para investigarlo se puede recurrir al proceso general, es decir, dar un valor un poco menor, luego un valor un poco mayor, etc., pero a veces, como en este ejemplo, se puede deducir por lógica. Recordando que x representa la altura de la cajita, es decir, la longitud del cuadrito a eliminarse, si ésta mide 30, al quitar por cada esquina cuadritos de 30, ¿cuánta lámina queda para hacer la cajita? ¡Nada! Significa que en x = 30 hay un mínimo. Por lo tanto, en x = 10 hay un máximo. De hecho, conviene siempre que se va a resolver un problemas de máximos y/o mínimos localizar los valores frontera de la variable independiente. En este caso, los valores frontera de x son, por un extremo x = 0, ya que así la caja carece de altura y su volumen es cero; el otro es x = 30 porque así se elimina toda la lámina y no queda nada para construir la caja, por lo tanto su volumen es cero. Como no puede haber dos mínimos seguidos sin que haya al menos un máximo en medio, el valor crítico obtenido de x = 10 debe ser máximo. Las dimensiones de la cajita han de ser 10 × 40 × 40 y el volumen máximo que se puede obtener es de: V = 10 × 40 × 40 V = 16 000 Ejemplo 2: Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por tres de sus lados, ya que el cuarto lado estará limitado por el cauce de un río. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada? Solución: A pesar de la irregularidad del bordo del río, se considerará como si fuera una línea recta para que el terreno tome una forma rectangular perfecta. Sea x la altura del rectángulo (ver figura 11.11); por lo tanto, la base será 875 - 2x y la superficie del terreno será: S = x (875 - 2x) S = 875x - 2x 2

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Esta es la función a la que debe aplicarse el procedimiento de máximos y/o mínimos. Entonces derivándola:

Este es el valor crítico. Por lógica se deduce que cuando x = 0 o bien cuando x = 437.5 se obtiene la superficie mínima (son los valores frontera de la variable x), que es cero, porque en realidad se construye una línea recta doble. Por lo tanto, con x = 218.75 se obtiene el máximo. Las dimensiones del terreno deben ser:

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CRITERIO DE LA PRIMER DERIVADA Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico C.

PRUEBA DE LA PRIMER DERIVADA Funciones Creciente y Decreciente

Una función que siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que es monótona en ese intervalo.

TEOREMA

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•En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema: "Prueba de la primera derivada".

En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para xc (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f '(x)<0 para x0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo).

PROCEDIMIENTO Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de la siguiente manera: 1. Se halla la derivada de la función: f '(x). 2. Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los cuales f '(x)=0 o para los cuales f ' no existe. 3. Se aplica el criterio de la primera derivada.

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EJEMPLOS

x

f (x) 5

f ' (x)  0 

Conclusión f decrece f tiene un mínimo relativo f crece

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x

f (x)



f ' (x)  0  0 

Conclusión f crece f tiene un máximo relativo f decrece f tiene un mínimo relativo f crece

x

y

   5/27 0 0 1 2

x

f (x)

f ' (x) 

4 

 0 0

 2

Conclusión f crece f decrece f tiene un máximo relativo f tiene un mínimo relativo

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CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Derivada segunda: Se llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de dicha función. Notación: f''(x). Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función. El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba debe de tener un mínimo relativo. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo debe de tener un máximo relativo de. La segunda derivada se escribe como la doble prima de f (

)

El criterio de la segunda derivada proporciona la concavidad de una curva de la siguiente manera. a) Puntos críticos. b) Valores máximos y mínimos. c) Punto de inflexión. d) La gráfica de la función. f(x) = 3x^2 + 5x - 2 a) Puntos críticos: f'(x)6x + 5 = 0 x = -5/6 x = -0.83

- Para obtener el punto crítico se debe de despejar la "x" en la primera derivada. - Para obtener la segunda derivada se debe de sacar la segunda derivada y despejar la "x" si es el caso.

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- La concavidad se puede deducir dependiendo del resultado de la segunda derivada. Si es positivo la concavidad estará feliz. Si es negativo la concavidad estará triste. - El resultado también depende de la segunda derivada, si aumenta dependiendo del punto crítico, es mínimo, si disminuye dependiendo del punto crítico entonces será máximo. a) PUNTO DE INFLEXIÓN: - Igualar la segunda derivada con cero (0). (En este caso no hay punto de inflexión)

b) GRÁFICA: - Sustituyes en la función original el punto crítico.(hay casos en que son dos puntos críticos) - Sustituyes en la función original el punto de inflexión. - Gráficas.

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos Sea

una función tal que

y cuya segunda derivada existe en un

intervalo abierto que contiene a c. 

Si

, entonces

es un mínimo relativo.



Si

, entonces

es un máximo relativo.



Si derivada.

, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera

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RANGOS CRECIENTES Y DECRECIENTES Debido a que las reglas de asociación de las funciones exponenciales tienen la forma  

Su dominio son todos los números reales Su rango es: o

Los reales positivos

o

Los reales negativos

si si

.

. .

Es importante decir cuándo una función es creciente y cuándo es decreciente: 

Se dice que una función es creciente si, al aumentar el valor de la



variable , aumenta el valor de la función . Se dice que una función es decreciente si, al aumentar el valor de la variable

, disminuye el valor de la función

.

Observemos las gráficas de las funciones exponenciales

y

.

es una función creciente; su rango son los reales positivos, ya que

es

una

función decreciente; su rango son los reales positivos, ya que

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De aquí podemos concluir que una función exponencial  

Creciente si Decreciente si

(

con

es:

es el coeficiente de ). ( es el coeficiente de ).

Observemos que si las gráficas se “voltean” y el rango cambia, al igual que la condición de ser creciente y decreciente.

es

una

función decreciente; y su rango son los reales negativos, ya que .

es una función creciente; y su rango son los reales negativos, ya que .

Resumiendo tenemos que: Rango

Ahora vamos condiciones

a

ver o

qué

Creciente

sucede

cuando

Decreciente

la

base a satisface

las

.

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Tomemos como ejemplo la función . Es una función decreciente, su rango son los reales positivos

.

Tomemos ejemplo

como la

función . Es una función creciente, su rango son los reales positivos

.

Con la información proporcionada es posible identificar la gráfica y determinar el dominio y rango de una función exponencial.

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PUNTOS DE INFLEXIÓN Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b
a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c) b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.

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CONCAVIDAD Definición: Se dice que una función y ´ = f(x) tiene convexidad hacia arriba en el intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la gráfica de la ´ función en uno de sus puntos a ´ < x < b queda por debajo de la función. ´ Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que ´ la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo. ´ La concavidad nos da información acerca de la primera derivada. Una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.3 La concavidad, como característica del gráfico de una función, se refiere a la condición geométrica de la región situada bajo una curva. Se dice que una función f(x) es cóncava cuando la región bajo la curva también lo es, en caso que la función sea dos veces derivable, ésta es cóncava si y sólo si f"(x) < 0.

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Una función cóncava, también se llama cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b).

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CONCLUSIÓN Nos surgieron demasiadas dudas durante el transcurso del proyecto como ¿qué son los puntos de inflexión?, ¿cuál es la diferencia de la primera con la segunda derivada?, ¿para qué sirven?, ¿cómo se comportan?, ¿tienen usos en la vida cotidiana? Y muchas otras dudas que nuestro principal propósito fue resolverlas y plasmar las respuestas en el documento para que así cualquier persona que lea el trabajo pueda entender de la mejor manera lo que se explica en cada uno de los temas. Al principio no entendíamos bien por qué era tan importante el trabajo pero nos dimos cuenta que si no conociéramos el objetivo de la primera y la segunda derivada, sólo estaríamos haciendo cuentas a “ciegas” sin saber algún día por qué se hace así. Ahora sabemos que una primera derivada es para conocer cómo se comporta y la segunda derivada es para poder conocer sus máximos o sus mínimos dependiendo de si es cóncava hacia arriba; es decir, primero sube y luego baja (máximo) o cóncava hacia abajo; tal que, primero baja y luego sube (mínimo). No fue fácil el poder encontrar la mejor fuente de información por lo que tuvimos que indagar en algunos libros de cálculo y en docenas de páginas de internet para encontrar la información más entendible tanto para nosotros como para el lector, de la manera más concreta y mejor ejemplificada, esperemos que hayamos logrado nuestro propósito. Esperemos que el recorrido del trabajo haya sido lo más entendible, concreto y lleno de información y que hayamos aprendido cosas nuevas al leerlo, tenemos toda la seguridad de que usted va a ir por más en el Internet y aprenderá más cosas. Recomendamos que el documento sea transferido a más personas para que así, poco a poco, se promulgue el contenido y se esparza la curiosidad que todos debemos tener. “Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber” – Albert Einstein.

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