Tema 9. Aplicaciones De Las Leyes De La Dinámica.pdf

IES Doñana Departamento de Física y Química

Física y Química de 1º de bachillerato Curso 2015/2016

Unidad 9: Aplicaciones de las leyes de la dinámica. 1. La aplicación de las leyes de Newton. 2. La fuerza gravitatoria. 3. Las fuerzas cotidianas por contacto.

4. Dinámica del m.r.u.a. 5. Dinámica del m.c.u.

1. La aplicación de las leyes de Newton. El movimiento de un cuerpo viene determinado por las fuerzas que actúan sobre él y por las condiciones iniciales, es decir, su posición y su velocidad al comenzar el estudio. Las leyes de Newton nos permiten calcular la relación entre fuerza resultante y aceleración. Conocida la aceleración del cuerpo, su posición y su velocidad iniciales, podemos determinar las leyes del movimiento y calcular la posición y la velocidad en cualquier otro instante posterior. Por ejemplo, conocidas las condiciones iniciales ( r⃗0 y v⃗0 ) con que lanzamos un cuerpo (figura de la izquierda) y considerando que la fuerza resultante que actúa sobre él es su peso (figura del centro), la v , del cuerpo en aplicación de las leyes de Newton nos permite conocer la posición, ⃗r , y la velocidad, ⃗ cualquier instante (figura de la derecha).

1.1. Las interacciones más habituales. Los objetos de nuestro entorno presentan una serie de interacciones típicas, unas se producen a distancia, y otras, solo por contacto. Cualquier interacción supone dos acciones, pero únicamente nos interesa la que actúa sobre el cuerpo en estudio. Las interacciones más habituales son: ● Por encontrarse sobre la superficie de la Tierra o cerca de esta, los objetos cotidianos interaccionan a distancia con ella, experimentando la fuerza de atracción que denominamos peso. ● Todo cuerpo, por el hecho de estar apoyado en una superficie rígida, ya sea horizontal o inclinada, interacciona con ella. Debido a la impenetrabilidad de la materia, la superficie ejerce sobre el cuerpo una fuerza denominada normal, que impide que penetre en ella. Si el cuerpo pierde el contacto con la superficie, no existe interacción, luego, no hay fuerza. ● Cuando el cuerpo se desliza sobre una superficie o intentamos que se deslice sobre ella, además de la normal, aparece una interacción que se opone al movimiento de uno respecto del otro, el rozamiento. La fuerza de rozamiento siempre está presente en cualquier deslizamiento, salvo que se considere despreciable o se pierda el contacto entre los cuerpos. ● Cuando tiramos o sujetamos el cuerpo con una cuerda, aparece una interacción entre ambos que solo se manifiesta cuando la cuerda está tensa. La fuerza que esta ejerce sobre el cuerpo se denomina tensión. ● Si el cuerpo está unido a un muelle deformado, bien estirado o bien comprimido, el muelle ejerce una fuerza denominada fuerza elástica. 1.2. Procedimiento para aplicar las leyes de Newton. (1) Analizamos las interacciones del cuerpo en estudio con el resto cuerpos de su entorno, teniendo en cuenta tanto las que se producen a distancia como las que proceden del contacto con otros cuerpos. En el cuerpo de la figura de la derecha se presentan algunas de las interacciones más comunes de los objetos de nuestro entorno. Este cuerpo interacciona a distancia con la Tierra (el peso), por contacto con la superficie sobre la que está apoyado (la normal) y sobre la que se desliza (el rozamiento) y, también por contacto, con la cuerda con que lo arrastramos (la tensión).

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(2) Sustituimos cada una de las interacciones por la correspondiente fuerza que actúa sobre el cuerpo. Aunque, según el tercer principio de la dinámica, toda interacción implica una pareja de fuerzas, solo nos interesamos por la que actúa sobre el cuerpo de estudio. (3) Dibujamos el diagrama de fuerzas que actúan sobre el cuerpo, suponiendo que todas actúan sobre su centro geométrico. Para ello, dibujamos el cuerpo solo, y sustituimos cada uno de los cuerpos con los que interacciona por la fuerza que actúa sobre el cuerpo en estudio. Así obtenemos el diagrama del cuerpo libre. (4) Utilizando el sistema de referencia más adecuado al tipo de movimiento que realice el cuerpo, calculamos las componentes de cada fuerza y las de la resultante. Si se sustituyen las fuerzas que actúan sobre el cuerpo por sus componentes, dichas fuerzas ya no se pueden tener en cuenta al calcular la resultante. Para el cuerpo de la figura, las componentes de cada fuerza son: F⃗1 = ( F 1 x , F 1 y ) ; F⃗ 2 = (0 , − F 2 ) ; F⃗3 = (− F 3 , 0) ; F⃗ 4 = (0 , F 4 ) Luego, las componentes de la fuerza resultante son:

∑

∑ F⃗ = ( F 1 x − F 3 , F 1 y + F 4 − F 2)

F x = F 1x − F3 y

∑

F y = F1y + F 4 − F2

(5) Aplicamos la segunda ley de Newton, obteniendo la relación entre las componentes de la resultante y las de la aceleración que experimenta el cuerpo:

∑

F x = m · ax

y

∑

Fy =m · ay

Las características del movimiento nos proporcionarán información sobre las componentes de la aceleración. Si el cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante, su aceleración es nula y equivale a aplicar el primer principio. 2. La fuerza gravitatoria. La interacción gravitatoria, la más débil de las interacciones fundamentales, actúa sobre todo aquello que tiene masa, y tiene las siguientes características: ● Es atractiva: las masas siempre se atraen. ● Su alcance es infinito: dos masas se atraen a cualquier distancia. ● Es tan débil que resulta difícil de apreciar entre objetos cotidianos, salvo que uno de ellos tenga una enorme masa, como, por ejemplo, la Tierra. 2.1. La ley de la gravitación universal. Las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas y los estudios de Galileo fueron la base para que Newton enunciara la ley de la gravitación universal: “La fuerza gravitatoria con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas, m 1 y m2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre ellos, d”. Fg = G ·

m1 · m2 d2

Siendo G la constante de gravitación universal, 6,67 · 10-11 N · m²/kg2. Es una ley universal, pues sirve tanto para explicar la caída de una manzana como para explicar el movimiento de la Luna. La expresión de la ley de la gravitación universal sirve para partículas o masas puntuales y para cuerpos esféricos, pues estos se comportan como si toda su masa estuviese concentrada en su centro; por tanto, la distancia entre ellos se mide desde sus centros. Así, para un cuerpo puntual de masa m situado a una distancia h de la superficie de un cuerpo esférico de masa M y radio R, como se representa en la figura de la derecha, la fuerza gravitatoria que ejerce M sobre m vale:

M ·m M ·m F⃗ g =− G · ⃗r = −G · · u⃗r = m · ⃗g 2 · u 2 (R + h) r 2

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Siendo ⃗g la fuerza sobre la unidad de masa o intensidad del campo gravitatorio producido por M en ese punto. Coincide con la aceleración de la gravedad a que se encuentra sometido el cuerpo m en ese punto. Para puntos cercanos a la superficie, h es despreciable frente a R. Por tanto, el campo gravitatorio producido por M, o aceleración de la gravedad, vale: M M g=G · 2 ≃G · 2 ( R + h) R 2.2. El peso. El peso de un cuerpo en un punto es la fuerza gravitatoria que actúa sobre él , y es igual a la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad en ese punto: ⃗ P=m · ⃗ g Para un cuerpo situado en nuestro entorno, coincide con la fuerza con que es atraído por la Tierra. Por tanto, el peso está dirigido hacia el centro de esta. Resumiendo, el peso es una fuerza, cuyas características vectoriales son: ● Su módulo vale P = m · g. Se mide en N, siendo g = 9,8 m/s2. ● Su dirección es perpendicular a la superficie de la Tierra en ese punto. ● Su sentido es hacia el centro de la Tierra, es decir, hacia abajo. ➢ Masa y peso. La masa es una propiedad intrínseca de un cuerpo y tiene el mismo valor en cualquier punto. Es una magnitud escalar y su unidad es el kilogramo. El peso es una propiedad extrínseca del cuerpo. Su valor varía según el punto donde esté situado, pues depende del valor de la aceleración de la gravedad en dicho punto, ⃗g . Como se trata de una fuerza, es una magnitud vectorial que se mide en newton, N. La masa de un astronauta vale lo mismo en la Tierra que en la Luna, pero su peso en la Luna es 1/6 de su peso en la Tierra. El sistema de referencia utilizado habitualmente en movimientos verticales y horizontales, o curvilíneos en un plano vertical, hace coincidir el semieje Y positivo con la vertical ascendente. Por tanto, en estos casos, el peso del cuerpo solo tiene una componente, y se expresa como: ⃗ P =− m · g · u⃗y

Cuando el cuerpo deslice sobre un plano inclinado, situaremos el eje X paralelo al plano inclinado y orientaremos el semieje positivo en el sentido del movimiento. El eje Y será perpendicular al anterior y el semieje positivo se orientará hacia el exterior del plano, como se muestra en las siguientes figuras. En este sistema de referencia, las componentes del peso son: P x = m · g · sen α P y = m · g · cos α Ejemplo 1. Calcula el peso que tendrá una persona de 68 kg situada a una altura de 400 km sobre la superficie terrestre. Recuerda que el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie es 9,8 m/s2 y que el radio de la Tierra es de 6 380 km. A medida que aumenta la altura sobre la superficie terrestre disminuye el valor de la aceleración de la gravedad. En efecto, si llamamos g0 al valor de la aceleración de la gravedad en el suelo y g h a su valor a la altura h sobre el suelo, se cumple: M MT g 0 = G · 2T gh = G · 2 RT (R T + h) Al dividir ambas ecuaciones, se obtiene: 2 R2T (6,38 · 10 6 m) 2 gh = g0 · = 9,8 m/ s · = 8,68 m/ s2 (R T + h)2 (6,78 · 10 6 m)2 El peso es la fuerza con que la Tierra atrae a la persona de 68 kg: P = m · g = 68 kg · 8,68 m/ s2 = 590,24 N 3

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3. Las fuerzas cotidianas por contacto. 3.1. La reacción normal. Cuando un cuerpo está apoyado en una superficie rígida, ambos interaccionan de forma que esta impide que el cuerpo penetre en ella. La fuerza que hace la superficie de apoyo sobre el cuerpo se denomina reacción normal o simplemente normal, N. Las características de la normal son: ● Su módulo es el necesario para que el cuerpo no se hunda en la superficie en la que está apoyado. Si el cuerpo se separa de la superficie de apoyo, al no existir contacto, no habrá fuerza normal. ● Su dirección es perpendicular a la superficie de apoyo. ● Su sentido es hacia fuera, para impedir que el cuerpo se hunda en ella. No existe una expresión general que defina el valor de la normal, como ocurre con el peso. Pero como el cuerpo no se hunde ni se eleva sobre la superficie, no existirá movimiento en la dirección perpendicular a ella. Por tanto, la componente de la resultante en la dirección de la normal tiene que ser nula. De esta condición deducimos el valor de la fuerza normal, que para el cuerpo de la figura de la derecha sería: Fy + N – m · g = 0 → N = m · g – Fy Si aumenta Fy, el valor de N disminuye y puede llegar a ser nulo. Pero si Fy es mayor que m · g, el cuerpo se eleva y se separa del plano, por lo que no existe ya la normal. Un valor negativo de N no tiene sentido físico. 3.2. La tensión de cuerdas y cables. Una de las formas más sencillas de elevar o arrastrar un cuerpo es tirar de él mediante una cuerda (o un cable). Si tiramos de un extremo cuando una cuerda cuerda está tensa, la cuerda tira del cuerpo unido al otro extremo. En la figura de la derecha, la mano, M, tira de la cuerda, c, con la fuerza F ⃗M ,c . La reacción, F ⃗c , M , actúa sobre la mano. La cuerda tira del bloque de masa m con la fuerza F⃗c ,m , y su reacción es F⃗m, c , que actúa sobre la cuerda. Además, sobre la cuerda actúa su peso, P⃗ c = mc · ⃗ g . Aplicando la segunda ley de Newton a la cuerda, tenemos: F ⃗M ,c + P⃗c + F⃗m ,c = m c · a⃗c → FM,c – mc · g – Fm,c = mc · ac En el caso de cuerdas ideales, de masa despreciable e inextensibles, tenemos que mc = 0. Entonces, FM,c = Fm,c, por lo que: FM,c = Fm,c = T Si es inextensible, no se pierde fuerza en deformar la cuerda y todos sus puntos tienen la misma velocidad. Por tanto, la tensión, T, de una cuerda: ● Es la fuerza con que tira (la tensión nunca empuja) de los cuerpos unidos a sus extremos. Tiene el mismo valor en todos los puntos de la cuerda. ● Tiene la dirección de la cuerda, que ha de estar tensa para transmitir fuerza de un extremo al otro. ● Los cuerpos unidos a sus extremos se mueven con la misma rapidez que la cuerda y, por tanto, tienen la misma aceleración tangencial. 3.3. La fuerza elástica. Cuando empujamos o tiramos del extremo de un muelle, o de un material elástico, este se deforma. Si no sobrepasamos los límites de elasticidad del cuerpo, se cumple la ley de Hooke, que dice que la fuerza aplicada es proporcional a la deformación producida: ⃗ = k · ⃗x F ⃗ la fuerza aplicada al muelle; ⃗x = (l− l 0 ) · u⃗x , la siendo F variación de longitud que experimenta el muelle, y k, la constante elástica o recuperadora del muelle. En el S.I., la constante elástica se mide en N/m. 4

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Pero en toda interacción hay dos fuerzas: la que se aplica sobre el muelle y la que ejerce el muelle, denominada fuerza elástica. Ambas son iguales en módulo y dirección, pero de sentidos opuestos.

Por tanto, podemos expresar la fuerza elástica del muelle como: F⃗ e =− k · ⃗x ● ● ●

Esta fuerza presenta las siguientes características: Su módulo es proporcional a la deformación, y vale Fe = k · x. Su dirección coincide con el eje longitudinal del muelle. Su sentido es el opuesto a la deformación.

Ejemplo 2. Un cuerpo de 60 kg permanece en reposo en un plano inclinado 30º, sujeto por un muelle de constante elástica k = 5 000 N/m. Considerando despreciable el rozamiento, calcula el valor de la normal y la elongación del muelle. El cuerpo, en reposo, interactúa con la Tierra, con el plano inclinado y con el muelle, por lo que se cumple que: ∑ F⃗ = ⃗P + N⃗ + F⃗e = 0

Del diagrama de fuerzas, deducimos las componentes de cada una: ⃗ = (−m · g · sen α ,−m · g · cos α ) ; N ⃗ = (0, N ) ; F⃗ e = (k · x ,0) P Por tanto, la elongación del muelle, x, vale: m · g · sen α 60 · 9,8 ·0,5 k · x − m · g sen α = 0 → x = = = 0,06 m ; k 5000 Y la normal: N − m · g cos α = 0 → N = m · g cosα = 60 · 9,8 ·0,86 = 505,7 N →

x = 0,06 m

N = 505,7 N

3.4. La fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento representa la interacción entre el cuerpo en estudio y la superficie sobre la que se desliza. Se presenta cuando intentamos desplazar o desplazamos un cuerpo sobre otro. Sus características son: ● Se opone al deslizamiento de un cuerpo sobre otro, debido a las microscópicas uniones electromagnéticas que se producen entre sus superficies. ● Depende de la naturaleza de los materiales de las superficies y del tratamiento que hayan recibido. Dicha dependencia viene expresada por el coeficiente de rozamiento, μ. ⃗ , que ● Depende de la «presión» que ejerce el cuerpo contra la superficie. Es decir, de la fuerza, N hace el cuerpo sobre la superficie. ● Es independiente del tamaño de la superficie sobre la que se apoya el cuerpo. Si aumenta la ⃗ se distribuye superficie, aumenta el número de uniones pero estas son más débiles, ya que N entre el número de uniones.

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En la siguiente figura hemos representado tres cuerpos, A, B, y C, sobre los que es necesario aplicar ⃗ , que venza, en cada caso, la fuerza de rozamiento, F⃗R ; en A y B, por tratarse de una fuerza distinta, F materiales distintos, y en B y C, por ser distinta la normal de cada uno.

El rozamiento es tanto mayor cuanto más apretado esté el cuerpo contra el plano, es decir, cuanto ⃗ ' . En concreto, el módulo de la fuerza de rozamiento es proporcional al módulo de mayor sea la fuerza N ⃗ ' , pero como N ⃗ es la reacción de N ⃗ ' , ambas tienen el mismo módulo. Por tanto, el módulo de N ⃗ . la fuerza de rozamiento es proporcional al módulo de la normal, N Si el cuerpo permanece en reposo, el valor de la fuerza de rozamiento depende de las demás fuerzas ⃗ =0 que actúen sobre el cuerpo y viene determinado por la condición de equilibrio: ∑ F Pero cuando el cuerpo empieza a moverse o está en movimiento, la fuerza de rozamiento alcanza su máximo valor. El valor de la fuerza de rozamiento, FR, coincide con el de la fuerza F cuando el cuerpo está en reposo, y alcanza su valor máximo, μe · N, cuando empieza a moverse, decreciendo a μd · N cuando está en movimiento. El coeficiente de rozamiento estático, μe, siempre es mayor que el coeficiente de rozamiento dinámico o cinético, μd, pues las uniones entre las superficies son más intensas al iniciarse el movimiento que cuando el cuerpo ya está en movimiento. Ambos son adimensionales, al ser un cociente entre fuerzas. ●

Su módulo vale FR = μ · N, donde μ es el coeficiente de rozamiento. Cuando el cuerpo empieza a moverse, utilizamos el coeficiente de rozamiento estático, μ e, y cuando está en movimiento, el dinámico, μd. ● Su dirección es la del movimiento. ● Su sentido es el opuesto al movimiento. Aunque la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, sin ella no se producirían la mayoría de los movimientos que observamos. Así, por ejemplo, cuando caminamos empujamos el suelo hacia atrás y la reacción nos empuja hacia delante. Sin rozamiento, nuestro pie se deslizaría y no empujaría hacia atrás, por lo que no conseguiríamos avanzar.

Ejemplo 3. Tiramos de un cuerpo de 40 kg, apoyado en una superficie horizontal, con una cuerda que forma 30º con la horizontal. Calcula: a) El valor de la normal y de la fuerza de rozamiento si la tensión de la cuerda es de 100 N y el cuerpo permanece en reposo. b) El coeficiente de rozamiento estático si la tensión de la cuerda en el instante en que empieza a moverse es 148 N. c) El valor de la tensión y de la fuerza de rozamiento para que el cuerpo se mueva con velocidad constante si el coeficiente de rozamiento dinámico vale 0,3. El cuerpo interacciona con la Tierra, con la cuerda y con la superficie.

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Las componentes de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: T⃗ = (T · cos α , T · sen α ) ; ⃗ P = (0, − m · g ) ; F⃗R = (− F R , 0) ; La fuerza resultante es: ∑ F⃗ = T⃗ + ⃗P + F⃗R + N⃗ →

∑

⃗ = (0, N ) N

⃗ = (T · cos α − F R , T · sen α + N − m · g ) [1] F ⃗ = (0,0) . Igualando cada componente de [1] a a) Como el cuerpo permanece en reposo, F cero y operando, tenemos:

∑

N = m · g − T · sen α = 40 · 9,8 − 100 · sen 30 º = 342 N ;

F R = T · cosα = 100 · cos 30º = 86,6 N ;

N = 342 N

F R = 86,6 N

b) El cuerpo sigue en reposo, y las fuerzas que actúan son las mismas que en el caso anterior pero con distintos valores, ya que la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo: FR = μe · N. Por tanto: T · cos α − F R = 0 → F R = T · cos α → μ e · N = T · cosα [2] T · sen α + N − m · g = 0 → N = m · g − T · sen α Sustituyendo [2] en [3], resulta: μ e · (m · g − T · sen α ) = T ·cos α

[3]

T · cos α 148 · cos 30º = = 0,4 ; μ e = 0,4 m · g − T · sen α 40 · 9,8 − 148 · sen 30º c) Como el cuerpo se mueve con velocidad constante, podemos aplicar de nuevo la ecuación [4], pero utilizando μd en lugar de μe: μ d · m · g − μ d T · senα = T · cos α

μe =

Despejando T obtenemos el valor de la tensión: μd · m · g 0,3 · 40 · 9,8 T= = = 115,7 N ; cos α + μ d · senα cos 30 º + 0,3 · sen30 º

T = 115,7 N

Y la fuerza de rozamiento resulta:

F R = μ d · N = μ d · (m · g − T · sen α ) = 0,3 · (40 · 9,8 − 115,7 · 0,5) = 100,2 N ;

F R = 100,2 N

4. Dinámica del m.r.u.a. 4.1. La resultante de un m.r.u.a. Un cuerpo realiza un m.r.u.a. cuando el vector aceleración es constante y paralelo al vector velocidad. En este movimiento solo existe aceleración tangencial, de módulo constante, y, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza resultante tiene los mismos dirección y sentido que la aceleración. Por tanto: ● Un cuerpo realiza un m.r.u.a. si la fuerza resultante que actúa sobre él es constante en módulo, dirección y sentido, y paralela a su velocidad inicial. ● Si inicialmente el cuerpo está en reposo y la resultante que actúa sobre él es constante, realiza un m.r.u.a. en la dirección y sentido de dicha fuerza. El sistema de referencia más adecuado para estudiar estos movimientos consiste en hacer coincidir uno de los ejes con la trayectoria del cuerpo y orientar el semieje positivo en el sentido del movimiento. Por tanto: ● En el eje paralelo al movimiento o eje tangencial: ΣFt = m · at = m · a ● En el eje perpendicular al movimiento o eje normal: ΣFn = 0 4.2. Movimientos verticales. En estos movimientos, el eje tangencial coincide con el eje Y en dirección vertical y en el sentido del movimiento. Luego: ΣFy = m · a ; ΣFx = 0

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Ejemplo 4. Dos cuerpos, de masas m1 y m2, se encuentran unidos por una cuerda. Si tiramos del primero con otra cuerda, calcula la tensión en cada cuerda para subir los cuerpos con una aceleración a.

Como los cuerpos suben, tomaremos el semieje Y positivo hacia arriba. El cuerpo 1 interactúa con la cuerda 1, con la cuerda 2 y con la Tierra. Luego, la fuerza resultante sobre él vale: ∑ F⃗1 = T⃗1 + P⃗1 + T⃗2,1 Y, de acuerdo con la segunda ley de la dinámica: ∑ F⃗1 = m1 · a⃗1 → T 1 − m1 · g − T 2,1 = m1 · a1 El cuerpo 2 interactúa con la cuerda 2 y con la Tierra. La tensión en la cuerda tiene el mismo módulo en todos sus puntos, | T⃗2,2| = | T⃗2,1| = T 2 ; entonces: ∑ F⃗2 = T⃗2,2 + P⃗2 = m2 · a⃗2 → T 2 − m2 · g = m2 · a 2 Como la cuerda es inextensible, a1 = a2 = a. tenemos, entonces: T 1 − m1 · g − T 2 = m 1 · a ; T 2 − m2 · g = m2 · a Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: T 1 = (m1 + m 2 ) · (a + g ) ;

T 2 = m2 · (a + g )

4.3. Movimientos en un plano horizontal. En estos casos, el eje tangencial es horizontal, coincidente con el eje X, y con el semieje positivo en el sentido del movimiento. Luego: ● En el eje X se cumple: ΣFx = m · ax = m · a ● En el eje Y, ΣFy = 0, lo que nos permite calcular la normal del cuerpo. Ejemplo 5. Empujamos un cuerpo, A, de masa mA, con una fuerza F, dirigida hacia la derecha y hacia abajo, que forma un ángulo α con la horizontal como se muestra en la figura. Delante de A se encuentra el cuerpo B, de masa m B. Sabiendo que sus coeficientes de rozamiento son μ A y μB, respectivamente, especifica las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo y calcula la aceleración de cada uno.

El cuerpo A interactúa con la Tierra, con la superficie horizontal donde se apoya y sobre la que se ⃗ (izquierda). El cuerpo B interactúa con A, desliza, con el cuerpo B y con el agente que ejerce la fuerza F con la Tierra, y con la superficie donde se apoya y sobre la que se desliza (derecha).

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Cuerpo A

∑ F⃗

A

⃗ = m A · a⃗A = P⃗A + N⃗ A + F⃗R + F⃗B , A + F A

En el eje X tenemos: F x − F R − F B,A = mA · aA A

F · cos α − μ A · N A − F B , A = mA · a A

[1]

En el eje Y será: N A − PA − F y = 0 →

N A − m A · g − F · sen α = 0

N A = m A · g + F · sen α Sustituyendo esta última expresión en [1], obtenemos la ecuación del cuerpo A: F · cos α − μ A · (m A · g + F · senα ) − F B , A = m A · a A Cuerpo B

∑ F⃗

B

= F⃗A, B + P⃗B + N⃗B + F⃗R = mB · a⃗B B

Luego, las componente en los ejes X e Y serán: F A , B − F R = mB · a B → F A , B − μ B · N B = m B · a B B

N B − PB = 0 →

N B = mB · g

Por tanto, la ecuación de B es: F A , B − μ B · m B · g = mB · a B

[3]

Como ambos cuerpos se mueven conjuntamente, aA = aB = a. Además, FA,B = FB,A, por ser las fuerzas de acción y reacción. Sumando las ecuaciones [2] y [3], obtenemos la que nos permite calcular la aceleración si conocemos el resto de valores: F · cos α − μ A · (m A · g + F · senα ) − μ B · m B · g = (m A + m B ) · a

4.4. Movimientos en un plano inclinado. Cuando el cuerpo en estudio desliza por un plano inclinado, tomaremos el eje X paralelo al plano inclinado de modo que el movimiento se dirija hacia los valores positivos de dicho eje, es decir: ● Cuando el cuerpo sube, el semieje X positivo va hacia arriba. ● Si el cuerpo baja, el semieje X positivo va hacia abajo. El eje Y siempre es perpendicular al plano inclinado, y con sentido positivo hacia fuera de este.

Ejemplo 6. Desde el punto más bajo de un plano inclinado 30º respecto a la horizontal, lanzamos un cuerpo de 2 kg de masa con una velocidad inicial de 5 m/s. El cuerpo sube deslizándose hasta detenerse, y vuelve, también deslizándose, hasta el punto de partida.

Si el coeficiente de rozamiento es μ = 0,35, calcula: a) La aceleración de subida. b) La altura que alcanza el cuerpo. c) La aceleración de bajada. d) Su velocidad cuando vuelve al punto inicial.

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El cuerpo, al subir y al bajar, interacciona con la Tierra y con el plano donde se apoya y sobre el cual se desliza; luego: ∑ F⃗ = P⃗ + N⃗ + F⃗R = m · ⃗a a) Al subir, el diagrama de fuerzas sobre el cuerpo es:

Analizando las componentes en los ejes X e Y: − P x − F R = − m · g · sen α − μ · N = m · a N − P y = N − m · g · cos α = 0 →

[1]

N = m · g · cos α [2]

Sustituyendo [2] en [1], obtenemos la ecuación dinámica del cuerpo; despejando en ella y operando, obtenemos la aceleración de subida: a = − g · (sen α + μ · cos α ) = − 7,87 m/ s² b) El cuerpo realiza un m.r.u.a. decelerado hasta detenerse: v² − v0 ² = 2 · a · s 0 − 5² = 2 · (− 7,87) · s →

s = 1,59 m

La altura a la que se encuentra en ese instante es: h = s · sen α = 1,59 · 0,5 = 0,80 m c) El cuerpo se para momentáneamente, pero como P x es mayor que FR, empieza a descender. En este caso:

P x − F R = m · g · sen α − μ · N = m · a ' [3] N − Py = 0

→

N = m · g · cos α

[4]

Sustituyendo [4] en [3] obtenemos la aceleración de bajada: a ' = g · (sen α − μ · cos α ) = 1,93 m/ s² d) Al bajar, realiza un m.r.u.a. sin velocidad inicial, luego: v² = 2 · a ' · s = 2 · 1,93 · 1,59 = 6,14 →

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v = 2,5 m/ s

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Ejemplo 7. Sobre un bloque de 25 kg situado en un plano inclinado 18º, cuyo coeficiente de ⃗ , horizontal y dirigida hacia fuera, de forma que baje rozamiento vale 0,5, aplicamos una fuerza F deslizándose. Calcula: ⃗ . a) La aceleración en función del valor de F ⃗ para que baje con velocidad constante. b) El valor de F c) El máximo valor de la aceleración con que puede bajar el bloque deslizándose.

a) El bloque interacciona con la Tierra, con la superficie de apoyo y deslizamiento, y con el agente ⃗ : que produce la fuerza F ∑ ⃗F = F⃗ + ⃗P + N⃗ + F⃗R = m · ⃗a

Con el semieje X positivo en el sentido del movimiento, tenemos, para los ejes X e Y: F x + P x − F R = F · cos α + m · g · sen α − μ · N = m · a [1] N + F y − P y = N + F · sen α − m · g ·cos α = 0 Luego, la normal vale: N = m · g · cos α − F · sen α [2] Sustituyendo [2] en [1], obtenemos la ecuación dinámica del bloque: F · cos α + m · g · sen α − μ · (m · g · cos α − F · sen α ) = m · a [3] ⃗ vale: Su aceleración en función del valor de F F · (cos α + μ · sen α ) + g · ( sen α − μ · cos α ) m b) Si el cuerpo baja con velocidad constante (a = 0), tenemos: m · g · (μ · cos α − sen α ) 25 · 9,8 · (0,5 · 0,95 − 0,31) → F= F= = 36,6 N cos α + μ · sen α 0,95 + 0,5 · 0,31 c) Si solo tenemos en cuenta la expresión de la aceleración, parece que, cuanto mayor sea F, mayor será la aceleración. Pero si F y fuese mayor que Py, entonces el bloque se separaría del plano y no bajaría deslizándose. Luego, el máximo valor de F para que el cuerpo baje deslizándose ha de cumplir: F y = P y → F máx · sen α = m · g · cos α a=

m · g · cos α 25 · 9,8 · 0,95 = = 750,8 N sen α 0,31 En estas condiciones, la reacción normal del plano es nula y la fuerza de rozamiento también lo es, por lo que la aceleración máxima, de acuerdo con [3], será: F máx · cos α + m · g · sen α = m · a máx F máx =

F máx · cos α + m · g · sen α m 750,8 · 0,95 + 25 · 9,8 · 0,31 a máx = = 31,6 m/ s² 25 a máx =

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4.5. Movimiento de masas enlazadas. Cuando unamos varias masas mediante cuerdas y poleas, tendremos en cuenta las siguientes consideraciones, si no se indica lo contrario: ● Consideraremos la masa de las poleas despreciable, o que las cuerdas se deslizan sobre ellas sin rozamiento. En estas condiciones, el único efecto de la polea es cambiar la dirección de la tensión a cada lado de ella, pero su módulo tendrá el mismo valor en cualquier punto de la cuerda. ● Las cuerdas serán ideales, es decir, de masa despreciable e inextensibles. Por tanto, cada cuerda tiene una tensión distinta, pero la misma en todos sus puntos, y todos los cuerpos se desplazan con la misma rapidez. Los módulos de la velocidad y de la aceleración son iguales en todos los cuerpos, aunque se muevan en distintas direcciones o sentidos. ● No usaremos un sistema de referencia común, sino que cada cuerpo tendrá su propio sistema de referencia: el semieje X positivo coincidirá con la dirección y el sentido del movimiento. Los vectores aceleración tendrán el mismo módulo, aunque distinta dirección en cada cuerpo. Ejemplo 8. Calcula hacia dónde se mueven A y B, inicialmente en reposo, y su aceleración desde que los soltamos.

Supongamos que los cuerpos se desplazan hacia la derecha. Cuerpo A Aplicando la segunda ley de Newton: ∑ F⃗A = P⃗A + T⃗ + F⃗R , A + N⃗ A = m A · a⃗A

Analizando las componentes separadamente, resulta: P A , x − T − F R, A = m A · g · sen α − T − μ A · N A = m A · a A N A − P A, y = N A − m A · g · cos α = 0 →

[1]

N A = m A · g ·cos α

Sustituyendo [2] en [1] obtenemos la ecuación para A: m A · g · sen α − T − μ A · m A · g · cos α = m A · a A

[2]

[3]

Cuerpo B Aplicando la segunda ley de Newton, resulta: ∑ F⃗B = P⃗B + T⃗ ' + F⃗R ,B + N⃗B = mB · a⃗B

T ' − P B , x − F R , B = T ' − mB · g · sen β − μ B · N B = m B · a B N B − PB , y = 0 →

N B − m B · g · cos β = 0 →

N B = m B · g · cos β [5]

Sustituyendo [5] en [4[, obtenemos la ecuación para B: T ' − m B · g · sen β − μ B · m B · g · cos β = m B · a B 12

[4]

[6]

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Como T = T', y aA = aB, sumando [3] y [6], y despejando: a=

g · [ mA · (sen α − μ A · cos α ) − m B · ( sen β − μ B · cos β )] m A + mB

Análisis de los resultados a > 0 Nuestra suposición fue correcta (los cuerpos se desplazan hacia la derecha). a < 0 Debemos replantear el problema suponiendo que se mueven hacia la izquierda. Si la nueva aceleración es: - a' > 0: Esta sería la solución correcta. - a' < 0: Los cuerpos no se mueven, permanecen en reposo.

⃗ con que hemos de tirar del cuerpo A de la figura de Ejemplo 9. Calcula el valor de la fuerza F la derecha para que el cuerpo B se desplace 2 m hacia la derecha en 4 s habiendo partido del reposo. Calcula la tensión de las cuerdas 1 y 2.

Cada cuerpo realiza un m.r.u.a. en diferentes direcciones, pero el módulo de la aceleración es el mismo en todos: 1 2·s 2·2 2 2 s = · a · t → a = 2 = 2 = 0,25 m/ s 2 t 4 El diagrama de fuerzas para cada cuerpo es:

Cuerpo A

∑

⃗ = mA · a F⃗ A = P⃗ A + T⃗1 + F

Tomando el semieje X positivo en dirección vertical y hacia abajo, todas las fuerzas están en le eje X, por tanto: F + P A − T 1 = F + mA · g − T 1 = m A · a [1] Cuerpo B

∑

F⃗B = P⃗B +T⃗ ' 1 + N⃗ B + T⃗2 + F⃗R , B = mB · ⃗a

Tomando el semieje X positivo horizontal hacia la derecha: T ' 1 − F R, B − T 2 = mB · a → T ' 1 − μ B · N B − T 2 = m B · a En el eje Y: N B − PB = 0 →

N B = mB · g

Luego, la ecuación para B es: T ' 1 − μ B · m B · g − T 2 = mB · a

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[2]

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Cuerpo C

∑

F⃗C = T⃗ ' 2 + P⃗C + N⃗C + F⃗R , C = mC · ⃗ a

Si tomamos el semieje X positivo paralelo al plano inclinado y hacia arriba: T ' 2 − F R ,C − PC , x = m C · a T ' 2 − μ C · N C − mC · g · sen α = mC · a Y en el eje Y, tenemos: N C − PC , y = 0 →

N C = mC · g · cos α

Así, para C: T ' 2 − μ C · m C · g · cos α − mC · g · sen α = mC · a

[3]

Sumando las expresiones [1], [2] y [3], y teniendo en cuenta que T' 1 = T1 y T'2 = T2, obtenemos la ecuación del sistema: F + g · (m A − μ B · m B − μ C · mC · cos α − m C · sen α ) = ( mA + m B + mC ) · a F = 24,1 N La tensión de la cuerda 1 es: T 1 = F + m A · g − m A · a = 62,3 N ;

T 1 = 62,3 N

Y la de la cuerda 2: T 2 = μ C · mC · g · cos α + m C · g · sen α + m C · a = 49,8 N ;

T 2 = 49,8 N

5. Dinámica del m.c.u. 5.1. La resultante en un m.c.u.; la fuerza centrípeta. Cuando un cuerpo recorre una circunferencia con rapidez constante, realiza un m.c.u. Su velocidad cambia continuamente de dirección , aunque su módulo permanece constante. Por tanto, solo tiene aceleración normal, cuyo módulo es constante: an = v2/R. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza resultante ha de tener la misma dirección y sentido que la aceleración, luego: “La fuerza resultante en un m.c.u. tiene en cada punto la dirección del radio; sentido, hacia el centro de la circunferencia, y módulo, constante”. La fuerza necesaria para mantener un m.c.u. se denomina fuerza centrípeta, pues está dirigida hacia el centro. No es una fuerza especial, sino una característica que debe cumplir la fuerza (el peso, la tensión de una cuerda, la fuerza de rozamiento o una combinación de ellas) para originar este movimiento. Para analizar este tipo de movimiento conviene utilizar el sistema de referencia intrínseco, a pesar de que su orientación sea distinta en cada punto. Tomaremos el eje normal como eje X, que tendrá la dirección del radio y su semieje positivo orientado hacia el centro de la curvatura, y el eje tangencial, perpendicular al anterior, como eje Y. Por tanto, en este sistema de referencia tendremos que:

∑

F n = ∑ F x = m · an = m ·

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v2 R

∑

Fy =0

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5.2. El m.c.u. En un plano vertical. Analicemos el movimiento de una piedra de masa m atada a una cuerda de longitud l que describe una circunferencia de radio R = l en un plano vertical con rapidez constante v. Sobre la piedra solo actúan su peso y la tensión de la cuerda, luego:

∑

⃗=⃗ F P + T⃗ = m · a⃗n

Calculemos la tensión de la cuerda en el punto más alto y en el más bajo. En los puntos A y B, las fuerzas están dirigidas en la dirección del eje normal.

En A, tomaremos el sentido positivo hacia abajo, coincidiendo con

a⃗n ; así:

v2 −m·g ∑ l Como la tensión no puede ser negativa, ya que una cuerda siempre tira, la velocidad mínima para que la piedra no caiga al pasar por A se obtendrá cuando TA = 0; luego: F = m · an →

P + T A = m · g + T A = m ·a n →

T A =m ·

v min = √ g · l En B, tomaremos el sentido positivo hacia arriba, coincidiendo con

a⃗n :

v2 +m·g l Si la máxima tensión que puede soportar la cuerda es Tmáx, entonces vmáx será:

∑

F = m · an →

T B − P = T B − m · g = m · an →

TB= m ·

T B = T máx →

v2máx T máx = m · +m·g → l

√

v máx = l ·

(

T máx −l m

5.3. Péndulo cónico. Si obligamos a la piedra del apartado anterior a describir una circunferencia en un plano horizontal con rapidez constante, de forma que la cuerda forme un ángulo ϕ con la vertical (figura de la derecha), tenemos un péndulo cónico. Sobre la piedra solo actúan su peso y la tensión de la cuerda, luego:

∑

⃗ = ⃗P + T⃗ = m · a⃗n F

➢ En el eje X:

∑

F x = m · an → T x = m · an →

T · sen ϕ = m ·

v2 R

➢ En el eje Y:

∑

Fy=0 →

Ty − m · g =0 →

T · cos ϕ = m · g

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones de cada componente, tenemos: tg ϕ =

v2 g· R

Y elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando:

(

2 2

v T =( m · g ) + m · R 2

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)

)

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5.4. Curva plana y curva peraltada. Cuando un vehículo toma una curva plana de radio R con una rapidez constante, v, describe un m.c.u. Las fuerzas que actúan sobre el vehículo son las mostradas en la figura de la derecha. Por tanto: ∑ F⃗ = ⃗P + T⃗ + F⃗R = m · a⃗n Así, tenemos para los ejes X e Y: ➢ Eje X: F R = m · a n →

μ · N = m · an

➢ Eje Y: N − m · g = 0 →

N =m · g

La velocidad máxima con que se puede tomar la curva sin derrapar se obtiene al sustituir el valor de N en la expresión del eje X: v2 → v 2 = μ · g · R → v máx =√ μ · g · R μ · m ·g = m · R Si la curva está peraltada (tiene un ángulo, α, de ⃗ cambian de inclinación respecto a la horizontal) F⃗R y N dirección, pero a⃗n sigue siendo horizontal, pues el centro de curvatura permanece en la horizontal del vehículo. Por tanto: ⃗ P = (0, − m · g ) ⃗ = ( N · sen α , N · cos α ) N F⃗R = ( μ · N · cos α , − μ · N sen α )

∑

⃗ = m · a⃗n = (m · a n , 0) F ➢ Eje X: N · sen α + μ · N · cos α = m · a n →

N · (sen α + μ · cos α ) = m ·

➢ Eje Y: m·g cosα − μ · sen α Luego, la máxima velocidad con que se puede tomar la curva peraltada es: N · cosα − μ · N · sen α − m · g = 0 →

√

v máx = g · R ·

(

N=

sen α + μ · cos α cos α − μ · sen α

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)

v2 R