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Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac)

UNIVERSIDADAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL SEMINARIO DE ESTUDIO APLICACION DE POGRAMACION LINEAL EN LA ELABORACION DE NECTAR DE (MANZANA, AGUAYMANTO Y YACÓN). ESTUDIANTES:    

Miriam Yoni Velásquez Meza Yeny Diana Quispe Sullca Bernardino Vargas Aguilar William Edison Quispe Caballero

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2018 - II

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Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac)

ÍNDICE

1.- INTRODUCCIÓN

2.- OBJETIVOS

3.- RESEÑA HISTÓRICA

4.- APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

5.-NORMAS TECNICAS PERUANAS PARA NECTARES Y CALCULOS

6.- PROBLEMA LINEAL: PRODUCCIÓN DE NECTARES (Manzana, Aguaymanto y Yacón)

7.-CONCLUSIONES

8.- REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac)

1.- INTRODUCCIÓN La programación lineal es una técnica matemática, desarrollada al comienzo de la segunda mitad del siglo XX. Su impacto desde 1950 ha sido extraordinario y en la actualidad es una herramienta de uso habitual en los países industrializados del mundo.

Un problema de programación lineal es un problema de optimización con restricciones en el que tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales de las variables de decisión. Desde un punto de vista técnico, hay cinco supuestos que debe cumplir todo problema de programación lineal:

 Divisibilidad: todas las variables tienen carácter continuo por lo que pueden tomar cualquier valor real.  Condición de no negatividad: todas las variables siempre tomaran valores iguales o superiores al cero.  Proporcionalidad: la contribución de cada variable es individual y proporcional a su valor.  Aditividad: la contribución total de las variables es la suma de las contribuciones individuales de cada una de ellas.  Certidumbre: todos los parámetros del modelo son conocidos.

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Si en un modelo lineal, las variables de decisión deben tomar valores enteros, puede utilizarse la Programación Lineal Entera. Si los parámetros del problema lineal no son conocidos, puede realizarse un análisis de sensibilidad o usarse la Programación Lineal Estocástica

La formulación general de un problema de programación lineal es:

Max c1x1  c2 x2  ....  cn xn s.a. a11x1  a12x2  ....  a1n xn  b1a21x1  a22x2  ....  a2n xn  b2

am1x1  am2 x2  ....  amn xn  bm x1, x2 ,...., xn  0

A la hora de resolver un problema de Programación Lineal, nos podemos encontrar con cualquiera de las siguientes situaciones:

 Solución única: En este caso, la solución óptima es un punto extremo de la región factible.  Soluciones Múltiples: Un problema de Programación Lineal puede tener más de una solución óptima (infinitas). En el caso de dos variables, las soluciones óptimas se corresponden con el segmento que une dos puntos extremos (solución de arista) o bien la semirrecta que parte de un punto extremo (solución de arista infinita).

siendo

x j , j  1,..., n

independientes de las

las variables de decisión, restricciones,

bi , i  1,...,m

aij , i  1,...,m, j  1,...,n

los términos 4

los

coeficientes

Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac)  Solución no acotada: En ocasiones, podemos encontrarnos con problemas que no tienen solución finita. Esta situación sólo se puede dar en el caso de que la región factible no esté acotada.  No Factibilidad: Esta situación se da cuando ningún punto del plano (o, en general, del espacio real n-dimensional) cumple simultáneamente todas las restricciones del problema, es decir, la región factible es un conjunto vacío.

2.- OBJETIVOS  Realizar mediante la programación lineal (solver) el beneficio máximo de los 3 tipos de néctar (Manzana, Aguaymanto y Yacón).  Analizar el precio sombra de los 3 tipos de néctar.

3.- RESEÑA HISTÓRICA

Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se considera al matemático y economista ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch como uno de sus creadores, aunque no fue el único. A continuación exponemos, cronológicamente, los autores que pueden considerarse como los creadores de la programación lineal así como sus aportaciones.

1939- L. Kantorovitch publica: “Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción”. En esta obra se engloba una serie de problemas de producción y distribución con una teoría matemática precisa y bien definida. Esta obra no se dio a conocer hasta 20 años después.

1942- Tjallining Koopmans trabajando como estadístico en el puerto de Washington trató de determinar los planes de embarque al mínimo coste total, conociendo de antemano la disponibilidad y demanda de cada puerto. Hoy en día, a este tipo de problema se le conoce como “Problema de Transporte”. Simultáneamente, pero de forma independiente Kantorovich trabajaba en la resolución de este tipo de problema. 5

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4.- APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Como ya se ha comentado anteriormente, la Programación Lineal es una herramienta que se utiliza habitualmente en muchas áreas, siendo la industria y la economía donde ha encontrado sus aplicaciones más importantes. Podemos incluso afirmar que esta herramienta ha tenido un gran

impacto en el estudio y desarrollo de la actividad económica. Es en este último aspecto donde nos centraremos en este apartado. Como muestra en el gráfico superior, hemos dividido el ámbito económico en 6 categorías: Marketing, Finanzas, Producción, Logística, Mezclas y Asignación de Tareas.A continuación esbozaremos la utilidad de esta herramienta en cada una de ellas.

1.-MARKETING: La Programación Lineal en este campo, se presenta como una herramienta bastante eficaz, en la elección, por ejemplo, de la combinación más efectiva de los medios de comunicación (periódicos, revistas, radio, televisión…) para promocionar productos o servicios.

El objetivo principal es conseguir la mayor audiencia posible, y usualmente las restricciones suelen ser: 

Presupuestaria, ya que no es ilimitado. 6

Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) 

Política publicitaria específica de la empresa.



Disponibilidad de cada medio.

2.-PRODUCCIÓN En este campo, esta herramienta permite determinar la producción óptima de una empresa (las cantidades a producir de cada producto) con objeto de maximizar beneficios o minimizar costes.

Las restricciones, más comunes son: 

Presupuestaria.



Disponibilidad de recursos.



Demanda del mercado.



Políticas medioambientales.



Políticas de la propia empresa.

3.-FINANZAS Normalmente directivos, bancos, etc., deben seleccionar una serie de inversiones concretas para configurar su “Cartera de Valores” entre la amplia variedad de alternativas que existen en el mercado.

Tradicionalmente el objetivo ha sido maximizar el rendimiento que genera dicha cartera o minimizar el riesgo adherente a la misma.

Las restricciones a las que se enfrentan son: 

Presupuestaria.



Nivel de riesgo permisible.



Leyes estatales.



Políticas de la compañía.

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Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) 4.-LOGISTICA Una de las aplicaciones más habituales de la Programación Lineal en este campo es el denominado “Problema de Transporte”. En este tipo de problema se desea determinar la cantidad de mercancía que se ha de transportar desde cualquier grupo de centros de suministro (Orígenes), a cualquier grupo de centros de recepción (Destinos). Habitualmente el objetivo es minimizar costes de transporte. Las restricciones son: o Oferta de cada centro de origen. o Demanda de cada centro de destino.

El problema de transporte es un caso particular de Programación Lineal, y existen algoritmos específicos para su resolución, como `por ejemplo la Regla de la Esquina Nor Oeste.

5.-MEZCLAS Una de las primeras aplicaciones de la Programación Lineal fue el denominado Problema de la Dieta, en el cual se desea determinar la combinación óptima de alimentos al menor coste posible, objetivo habitual, aunque también puede ser minimizar/maximizar calorías.

Teniendo en cuenta las siguientes restricciones:  Presupuesto.  Disponibilidad de alimentos.  Especificaciones nutritivas mínimas.

En general, los problemas de mezclas se presentan cuando se desea combinar dos o más recursos para fabricar uno o más productos. En estos casos, se desea determinar la cantidad de cada recurso a adquirir para satisfacer las especificaciones de los productos y las demandas de los mismos a un costo mínimo.

Los problemas de mezclas aparecen frecuentemente en la industria del petróleo (problemas como 8

Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) la combinación de petróleos crudos para fabricar gasolinas con octanajes diferentes), en la industria química (como mezcla de productos químicos para fabricar fertilizantes) y en la industria de los alimentos (como mezcla de ingredientes para fabricar bebidas, sopas, etc.).

5: NORMAS TECNICAS PERUANAS PARA NECTARES Y CALCULOS Nuestro grupo de optimización se dedicó a la elaboración de néctares de MANZANA, AGUAYMANTO Y YACON. Esta ampliación tiene como objetivo aplicar la programación lineal y los diferentes programas para resolver el problema planteado a partir de las restricciones utilizadas en el uso de materia prima, insumos, y las cantidades de producto final obtenido para obtener un máximo beneficio. A continuación, desarrollaremos las cantidades utilizadas de materia prima, insumos, etc para los tres tipos de néctares. 1) NECTAR DE MANZANA Este néctar tiene una presentación de 300ml está compuesto por:  Pulpa de Manzana

125 gr

 Azúcar

31.03 gr

 Acido cítrico

0.6 gr

 Sorbato de potasio  Carboximetilcelulosa

0.15 gr 0.3 gr

2) NECTAR DE AGUAYMANTO Este néctar tiene una presentación de 400ml está compuesto por:  Pulpa de aguaymanto 1000gr  Azúcar  Sorbato de potasio  Acido cítrico  Carboximetilcelulosa

35 gr 0.25 gr 0.8 gr 0.4 gr

3) NECTAR DE YACON Este néctar tiene una presentación de 500ml está compuesto por: 9

Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac)  Pulpa de aguaymanto

125 gr

 Azúcar  Sorbato de potasio

0.25 gr

 Ácido cítrico

0.8 gr

 Carboximetilcelulosa

0.4 gr

A continuación, detallamos el proceso de elaboración y los cálculos para determinar la materia prima y los insumos añadidos. DIAGRAMA DE FLUJO PARA NÉCTAR DE FRUTAS TROPICALES FRUTAS SELECCION

PESADO Fruta: 10 Kg. Agua: 20 Kg.

LAVADO

Fruta de fruta Fruta de rechazo Agua de lavado

PELADO Y/O TROZADO ESCALDADO EXTRACCIÓN DE LA PULPA REFINADO D E LA PULPA Benzoato de sodio Metabisulfito sodio

3 horas Fibra y semillas 85 °C X 10 minutos

FORMULACION Y MEZCLA DE INGREDIENTES PASTEURIZACION LLENADO EN CALIENTE

95 °C x 10 minutos

ENFRIAMIENTO 90 kg de pulpa

ETIQUETADO ALMACENAMIENTO

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Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) 1: SELECCIÓN DE LA MATERIA PRIMA

1. Fruta: Una vez decepcionada la fruta se procede a conocer la cantidad total de materia prima que ingresa al proceso. 2. Selección: Se seleccionan las manzanas sanas y maduras y se separan las deterioradas o que presenten algún signo de descomposición. Así se evita contaminar el néctar o alterar su sabor y color. 3. Pesado: Se pesa las frutas escogidas para conocer la cantidad exacta de materia prima que ingresa al proceso y calcular el rendimiento. A partir de 1 kg de manzana se pueden obtener 2.4 kg de néctar aproximadamente. Para otras cantidades podemos utilizar como referencia la siguiente tabla de rendimientos.

Manzana (kg)

Néctar (Kg)

5

12

10

24

20

48

30

72

2: OBTENCIÓN DE PULPA En esta etapa se realizan algunas operaciones para obtener la pulpa de manzana.

1.-Lavado: Se realiza para eliminar el polvo, suciedad, restos de insecticidas y otras sustancias extrañas que acompaña a la fruta y que pueden alterar el sabor del néctar y disminuir su calidad. Se realiza de la siguiente manera:  Se remoja las manzanas en una solución de agua clorada por 5 min.  Se remueve y frota manualmente con una escobilla sin dañarlas. Si es en mayor cantidad, remover vigorosamente la manzana en abundante agua.  Se enjuaga las manzanas con abundante agua para eliminar todo tipo de residuos.

1. Cortado: 11

Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) Se realiza el corte para facilitar la obtención de la pulpa. Conforme se corta se sumerge las mitades en una tina con agua y ácido cítrico o jugo de limón al 0.05%. esta operación se realiza para evitar q

ue durante el corte las manzanas oscurezcan o

cambien de color.

2.-Pre- cocción: Consiste en someter a las manzanas a un ligero tratamiento térmico a pre cocción, se realiza para ablandar la fruta y sobre todo para inactivar enzimas que son causantes del cambio de color u oscurecimiento de la fruta.

Se siguen los siguientes pasos:  Se coloca las manzanas en una olla o recipiente adecuado.  Se mide y se agrega el agua, la suficiente cantidad que cubra las manzanas.  Se anota la cantidad de agua incorporada.  Se espera que hierva y se deja en ebullición de 5 a 10 min hasta que la manzana este blanda.

3-.Pulpeado: Se realiza para reducir el tamaño de la fruta y obtener una masa. Se puede utilizar una licuadora, pulpeadora o molino manual.

Si se utiliza una licuadora semiindustrial se siguen los siguientes pasos.  Se colocan las manzanas pre-cocidas y el agua de pre cocción en la licuadora y se tapa.  Se activa la licuadora de 2 a 3 min hasta conseguir una masa.  Si se utiliza una pulpeadora. Se realiza los siguientes pasos:  Se verifica si el numero de malla de tamiz es el deseado ( 0.02”).  Se activa el equipo y la pulpa se agrega poco a poco.

4.-Filtrado: En el caso de haber utilizado licuadora se realiza el filtrado para separar la pulpa , las fibras, cascaras y otras partículas extrañas que no se incluirá en el néctar. Se puede utilizar tamices con mallas de aberturas muy finas o una refinadora. Se activa el equipo y se incorpora poco a poco la pulpa hasta terminar el lote.

5.-Pesado: 12

Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) Se realiza para conocer el peso de pulpa a procesar y servirá como base para calcular en la siguiente etapa del proceso, la cantidad de insumos.

3: ETAPA ESTANDARIZACIÓN

En esta etapa se formula, prepara e incorpora al néctar ¡as cantidades apropiadas de los insumos.

1.-Dilución La cantidad de agua que se debe incorporar, se calcula según el peso de la pulpa y

una relación

apropiada de dilución. Para el caso de la manzana se recomienda utilizar la relación 1- 3. Por 1 parte de pulpa 3 partes de agua

Por ejemplo: 6 kg de pulpa x3 = 18 kg o L de agua *Se adiciona 12 kg de agua porque en la precocción se adicionó 6 kg o litros de agua.

2.- Regulación del azúcar La cantidad de azúcar que se debe de incorporar se calcula según el peso y los grados brix de la pulpa diluida y los grados Brix final que se desee obtener. Para el caso de la manzana se recomienda obtener un valor final de 14ºBrix.

NECTAR DE MANZANA: 14ºBRIX

Este valor permite el sabor y dulzor característico de la fruta en el néctar. Para calcular la cantidad de azúcar se sigue los siguientes pasos:  Medir los ºBrix inicial de la pulpa es decir de la dilución.  Restar al valor final 1 o 2 ºBrix.  Realizar el cálculo. Azúcar requerida= pulpa diluida (brix final – brix inicial) 100-Brix final

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Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) 3.-Regulación Del PH: El ácido es el insumo encargado de dar al néctar su acidez apropiada. Acidez apropiada: 3.6 - 4

Para ello medimos el pH de la pulpa diluida. En el caso de que la pulpa diluida tiene la acidez apropiada para elaborar un buen néctar y no será necesario incorporar el ácido. 4.- Adición De Estabilizante En el siguiente cuadro se indica la cantidad de estabilizante que se requiere para los néctares de algunas frutas:

Por ejemplo: Si se aplica 0,10% de estabilizante CMC, significa que por cada kilo de dilución o néctar se aplicara 1gramo de estabilizante CMC. “Entonces para 21 kilos de néctar de granadilla se añadirán 21 gramos de CMC”. Para facilitar la disolución del CMC en el néctar, se debe mezclar previamente con el azúcar, y agregar al néctar momentos antes que llegue al punto de ebullición, para así evitar la formación de grumos.

4: ETAPAS FINALES 14

Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac)

1.-Homogenización Dorado (1969), esta operación tiene por objeto distribuir de una manera uniforme una mezcla de dos o más constituyentes de diferente naturaleza o estado físico , o de dos o más elemento de estado igual , pero inmiscibles entre sí. 2.-Pasteurización Rubio (1974), la pasteurización de la pulpa necesita solamente una temperatura y un tiempo de y tratamiento, suficiente para destruir hongos y levaduras. Las levaduras mueren por calentamiento en un tiempo relativamente corto a 60-66ºC y las esporas de hongos resistentes, requieren en la mayoría de los casos una temperatura de 80ºC durante 20 minutos. Las pulpas de mediana acidez deben esterilizarse a 80ºC. 3.-Envasado El envasado se debe de realizar en caliente, a una temperatura no menor a 85°C. El llenado del néctar es hasta el tope del contenido de la botella, evitando la formación de espuma. Inmediatamente se coloca la tapa, la cual se realiza de forma manual en el caso que se emplee las tapas denominadas “taparrosca”. En caso contrario si se va a emplear las chapas metálicas se debe hacer uso de la selladora de botellas. Si durante el proceso de envasado la temperatura del néctar disminuye por debajo de 85°C, se debe detener esta operación. Se procede a calentar el néctar hasta su temperatura de ebullición, para proseguir luego con el envasado 4.-Enfriado El producto envasado debe ser enfriado rápidamente para conservar su calidad y asegurar la formación del vacío dentro de la botella. Al enfriarse el producto, ocurrirá la contracción del néctar dentro de la botella, lo que viene a ser la formación de vacío, esto último representa el factor más importante para la conservación del producto.

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Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) El enfriado se realiza con chorros de agua fría, que a la vez nos va a permitir realizar la limpieza exterior de las botellas de algunos residuos de néctar que se hubieran impregnado.

5.-ETIQUETADO Y ALMACENADO El etiquetado constituye la etapa final del proceso de elaboración de néctares. En la etiqueta se debe incluir toda la información sobre el producto. El producto debe ser almacenado en un lugar fresco, limpio y seco; con suficiente ventilación a fin de garantizar la conservación del producto hasta el momento de su venta.

6.- PROBLEMA LINEAL: PRODUCCIÓN DE NECTARES (Manzana, Aguaymanto y Yacón)

X1 0 1.5 326.16

PRODUCTO OPTIMO COSTO Z (max)

variables X2 16.6 10

X3 45.76 3.5

RESTRICCIONES:

sujeto a: azucar Agua cmc acido critico sorbato de potasio

X1 31.03 225 0.3 0.6 0.15

X2 35 300 0.4 0.8 0.2

X3 57.4 437.5 0.5 1 0.25

3207.624 25000 29.52 59.04 14.76

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

49000 25000 1000 1500 500

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Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac)

manzana aguaymanto yacon

75 0 0

0 0 125

0 1660 5720

≤ ≤ ≤

20000 5000 24000

0 16.6 45.76

≤ ≤ ≤

266.6 50 192

0 1 0

etiquetas 0 0 1

0 16.6 45.76

≤ ≤ ≤

88.6 16.6 64

tiempo de la elaboracion 45 30

25

1642

≤

2880

manzana (300ml) aguaymanto (400ml) yacon (500ml)

manzana( 300ml) aguaymanto (400ml) yacon (500ml) t (min)

0 100 0

unidades de envase 0 0 1 0 0 1

1 0 0

1 0 0

INFORME DE CONFIDENCIALIDAD Celdas de variables

Celda $C$5

Nombre

Final

Reducido

Objetivo

Permisible

Permisible

Valor

Coste

Coeficiente

Aumentar

Reducir

PRODUCTO OPTIMO X1

0

-0.3

1.5

0.3

1E+30

$D$5 PRODUCTO OPTIMO X2

16.6

0

10

1E+30

7.6

45.76

0

3.5 11.08333333 0.583333333

$E$5

PRODUCTO OPTIMO X3

Restricciones Celda $F$12 $F$13 $F$14 $F$15 $F$16 $F$18 $F$19 $F$20 $F$23 $F$24 $F$25 $F$28

Nombre azucar Agua cmc acido critico sorbato de potasio manzana aguaymanto yacon manzana (300ml) aguaymanto (400ml) yacon (500ml) manzana( 300ml)

Final Valor 3207.624 25000 29.52 59.04 14.76 0 1660 5720 0 16.6 45.76 0

Sombra Restricción Precio Lado derecho 0 49000 0.008 25000 0 1000 0 1500 0 500 0 20000 0 5000 0 24000 0 266.6 0 50 0 192 0 88.6

Permisible Aumentar 1E+30 7980 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30

Permisible Reducir 45792.376 20020 970.48 1440.96 485.24 20000 3340 18280 266.6 33.4 146.24 88.6 17

Programación lineal. Aplicación a la producción de néctares (unsaac) $F$29 $F$30 $F$34

aguaymanto (400ml) yacon (500ml) t (min)

16.6 45.76 1642

7.6 0 0

16.6 64 2880

33.4 1E+30 1E+30

16.6 18.24 1238

7.-CONCLUSIONES  Se pudo resolver mediante solver los 3 tipos de néctar tanto para manzana, aguaymanto y yacón el cual obtuvimos un beneficio máximo de 45.76 que fue del néctar de yacón y luego 16.6 del aguaymanto y 0 de manzana y la función objetivo que tuvimos fue de 326.16.  De acuerdo a los datos obtenidos podemos decir que el precio sombra del agua (que por cada unidad de agua incrementa la ganancia en 0.008$ y esto varía entre 7980 a 20020) y para el aguaymanto (que por cada unidad de aguaymanto incrementa la ganancia en 7.6 $ y esto varia de 33.4 a 16.6) 8.- REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

 AMOS, A.J. 1969 “Manual de industria de alimentos”  CALZADA B. (1981) “ Tesis de industria alimentaria de la universidad agraria de la molina ,Lima”  ITDG (1998) “Néctares de fruta” cooperación española Perú.  PRUTHI J.S. (1963) “Regresión lineal a partir de diferentes tipos de néctar.”

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ANEXOS

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