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CAPITULO 3 Relaciones Funcionales 3 . o.

INTRODUCCION

En esta secci6n se presenta uno de los conceptos fundamentales del Calculo Diferencial , el de funcion , la noci6n de funcion es fundamental para todas las ramas de las Matematicas en la busqueda de la solucion de un problema generalmente se pretende determinar una funcion para luego estudiarla y asi obtener la maxima informaci6n sobre el problema. Los valores de una cantidad variable a menudo dependen de los valores de otra cantidad que tambien puede variar , por ejemplo : EI area de un terreno cuadraao depende del tamano dellado , esto se escribe como: 5 (1) = I'

EI volumen de una esfera varian. conforme cambie su radio de acuerdo a la relacion V(r)=

i. u 3

etc.

'

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No todas las relaciones entre dos variables son funciones, esto se acla'd con la siguiente definici6n .

3.1.

Dominio y rango de una fundon

el;e~nti>~~~~f'~:iFP~!if

Xdiirevtlo$ eniollces que f esun.;fU~Cin, f'l.~

fQ ;i~tasitU,¥;i6nlliderlob\t'elT1-o5 6

eslajrnagen de

if: ,

Ejemplo Si A = B = 91 Y f ( x) = x', entonces: la imagen de x = 3 es f ( 3 ) = 27 ,Ia imagen de x = - 2 es

CO"TIII"DO~I"'I()CI. \INA "",,,cI6N .

f(- 2)=- 8.

.{>.

< ........ i t

" J6n f: A? B, Oil 'r?nj1lf)t9 . . A. .~.
( ~) ~~: fOfrn
:. D ( .,ElCop.JW'ttb

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CAPITULO 3 RELACIONES fUNCIONALES

. ill>

.

31

'.•. .•. . . . . . . . .

.·~....\.~ilu.\. A.F.·.·~rl·.·a~.• ·: ":' .. .L '~"-'. ' ~. ",~n.l : ·.·l..•.. .·"

im.· :. Iil: ~~~~~tk

' \i~

Es conveniente tener en cuenta que

Rr

C

Cr

Figura ( 3.1) Re presenlaci6n de los e lementos que fo rman una funci6 n .

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Cuando R r = C r diremos que f ( x) aplica 0 transforma Dr en R r Intuitivamente , podemos imaginar a una funcion como una maquina con una entrada y una salida ( vease la figura 3.2 ) , Dr es el conjunto de objetos introducibles ( 0 materia prima) y f ( x ) es el producto producido al haber introducido x , la condicion que debe cumplir esta maquina es que al introducir un mismo objeto, debemos obtener un mismo producto .

f(x)

Figura (3.2) R epresentad6n esquematk.a de una (unci6 n .

Frecuentemente se habla de funciones en terminos de variables, la variable independiente asume los valores del dominio ( nosotros la controlamos ) y la variable dependiente est .. compuesta por todos los valores del rango. Por ejemplo, sllpongamos que se lanza un objeto verticalmente con una velocidad de 30 m/ s, la altura h del objeto puede considerarse como una funcion t del tiempo transcurrido desde "I momento en que se solto el objeto es decir h = f ( t ) = 30t - 9.8 t 2 En este texto solo consideraremos fundone. reale. de una variable real f:A c 91-+91.

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CAPITULO 3 IELACIONES FUNCIONAlES

32

Los primeros problemas que se presentan en la teoria de funciones, es el de determinar el dominio de esta , el ran go y bosquejar la grMica correspondiente, para resolver el primero de estos es conveniente tener en cuenta las siguientes reglas 1.- Los valores que anulan al denominador de una funci6n no pertenecen al dominio .

2.- Los valores que hacen negativo a un radicando cuyo radical tiene indice par , no pertenecen al dominic de la funci6n . Ejemplo8 A conhnuaci6n det
o

f(,)

Jx 2 - a

={x : x 2 -

2

,si a> 0 .

a 2 > 0 I=

(- 00, -

a J u [ a , 00 )

.

2.- f ( x ) = .J2x - 3

x- 3 Soludon

o f(,) ={x :

2x - 3 > 0

3.- f ( x ) = ~ x

x- 1

Y x - 3 '# OJ

= [%

,3 ) u ( 3 ,

00 ) .

.

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Soludon

o f(,)

= { x : _x_ ~ 0 } ~ [ -

x-1

4.- f ( x )

00 ,

f(x)

00 ) .

- 3 Vx2X' -9 '

3 _ __

Soludon o f(, ) = { x : x' - 9 '# 0 } = ( 5.-

0 ) u (1,

00 , -

3 ) u ( - 3 , 3 ) u ( 3 , + 00 )

.

x

.t' + 1 Solud6n EI unico numero que no podemos sustituir .en f ( x ) es x = - 1, asl: 0

6.- f ( x )

f(, )

=!J! - {-1 }

x+7 x 2 - 7x + 6

Soludon La funci6n se indelermina cuando x' - 7x + 6 x= 6. Entonces 0 f ( ,) = lR - { 1 , 6 I . 7.- L Cual es el dominio de f ( x ) = F+l ?

( x - 1 )( x - 6 ) =0 , es decir , si x = 1 6

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CAPITULO 3 RELACIONES FUNCIONAL6

Soluci6n Para que f ( x ) tenga sentido se debe cumplir la desigualdad x +1 D f(.) =[- 1 ,00 ) 8.- Determine el dominio de la funci6n f ( x )- =

X2

~

0, por 10 que :

+ 3x - 2

..[,;';1

Soluci6n En este caso, el denominador no se anula Ysiempre es positivo , por 10 tanto : D f(.) = !It .

9.- i. CuAI es el dominio de la funci6n f ( x) =

~ 1+ x

I-x

?

Soluci6n Necesariamente 1 + x > 0, si se resuelve esta desigualdad se obtiene el intervalo I-x

D f(.) = [ - 1 , 1) i. por que desigualdad estricta ? .

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correspondiente. f (x)

-------I--~~----------~--~ x

o

Figun (3.3) El rango de I. funci6n f ( x) e5 la proyecci6n de la grafica de ( ( x ) en el eje vertit.:al .

EJERCICIOS 1.- Dada la funci6n f ( x ) = 3x - 2, determinar a) f(O) b) f (-3) c) feb)

d) f (x-I)

ll.- Si f ( x ) = x' - 3x +2 determinar

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JJ

CAPITULO 3 RELACIONES FUNCIONALES

..!. )

a) f (

34

d) f (x + h) .

b) f (-1 )

2

x.j;

111.- Si f ( x ) = a) f ( 3 ) IV.- Si f ( x ) =

determine b) f (- 3 )

I x 1+2

a) f (6)

c) f ( x + h ) - f ( x) d) f ( 5x + h ) - f ( 5 ) .

determine : b) f (- 6)

c) f ( x' )

d)

f(x+h) - f{x) h .

V.- Si f ( x ) = x ' - x, evalue : a) f (6)

e)

b) f (-1 )

c) f (

..!. ) a

d) f (x) - f (1)

x- l

f{x+h)-f{x) h

VI.- Si f ( x ) = x

..!. , x

completar la tabla :

f (x)

-2

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-1 _10 '1

-10" 0 10 " 10-3 10' 1 1

2 i que concIuye en x = 0 ?

VII.- Si f ( x ) = _ 1_, , tabule

(x - 6)

x 0 5 5.9 5.99 5,9999 6 6.0001 6.01 6.1 6.11

f (xl

l.que ocurre en x

=6?

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CAPITULO 3 RELACIONES FUNCIONALES

3S

VIII.- Determine el dominio y grafique cad a una de las siguientes funei.ones, L eual es el rango de cad a una de ellas? 1.- f(x}=3x-2 2.- f(x}=4- .J16-x' 3x si x < 1 3.- f (x) = { 3x +3 si x ~ 2 4.- f ( x ) = x - I x I 5.- f ( x ) = x ' - 2x - 1 6.- f(x}= ~ 1

7.- f( x} = 2"" x

IX.- L CwUes de las siguientes expresiones representan una funcion ? 1.- {(x , y) : x'+ x' y ' =91 2.- {(x,y} : y= ~ I 3.- {( x , y ) : x + y = 1 I 4.- {(x,y) : y ' =X , X E (O, oo ) 5.- {( x, y) : y ' = 1 -

x' , X

E

I

[-1,

III

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X.- Determine una funci6n con las earaeteristieas pedidas 1.- f ( -2) = 0 , f ( 3) = 0 y f (O) = - 36 2.- Dominio en [- 2 , 2] Y f ( - 2 ) = f ( O) = f ( 2 ) = 0

TIPOS DE FUN ClONES

3 . 2.

EI eonocer eiertos tipos de funeiones ayuda a una mejor eomprension y facilita el estudio de los eoneeptos del Calculo Difereneial, las mas importantes se estudian a eontinuacion .

3 . 2 . 1.

Funciones Lineales

Estas funciones se earaeterizan porque su grMiea es una linea recta, las mas eomunes son las siguientes a} Funcion eonstante f (x) = e D, = 91 , R e = ( c I.

fk

f,,)

X

)

c>O

x

1

,

=t==c
Figura (3. 4) GrMica de la funn6n constante .

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CAPITULO 3 RElACIONES FUNCIONAlES

b)

36

Funci6n identidad , f ( x) = x , evidentemente :

_---,~_

Figur~

Dx =

9{

Y R x = \It

_ _ _-+ x

( 3.S) La grafia! corresponde a u na recta a 45°.

*

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c) Funci6n Trans!aci6n f (x ) = X + b , donde b 0 , claramente : D f(,) = grafica de la funci6n sobre el eje y se obtiene : R f(') = 9{

9{ .

si se proyecta la

Figun ( 3.6) G rafica de la (uncian translaci6n , b se co noce co m o ordenada al ofigen e indica d o nde la recla intersecta a l eje y .

Observese que el termino b indica e! niimero de unidades que la gr;ifica'de la funci6n f ( x) se encuentra trans!adada vertical mente con respecto al origen . d) Funci6n Homolecia f ( X ) = ax, a C laramente Df (,) =9{ • R f(,) = 9{ ,

*0 , f(x)

x

Figura (3.1) G rafica d e I" (und6n hom Qtecia, el n ume ro 8 se conace com o pendiente e indica el grad o de indi naci6n d e Js recta .

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CAPITULO 3 RELACIONES FUNCIONALES

37

Observese que el coeficiente ! indica el grado de indinaci6n de la grafica de la funci6n f ( x) rl!specto al eje horizontal. e) Funci6n valor ahsoluto, f ( x ) = I x I = {

si

x~0

- x si

x
x

Tiene la caracteristica de estar definida por dos reglas de correspondencia , su gratica consiste de dos semirrectas perpendiculares que se intersectan en el origen , claramente : D 1' 1 =lR , R 1, 1 =[0,00).

o

x

Figun ( 3.8) GrMica de la (undon valor absoluto .

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3 . 2. 2 .

Funciones polinomiales

Funciones relativamente mas complicadas que las lineales son las funciones polinomiales, la forma general es P ( x ) = a 0 + a I x + a 2 x ~ + ... + a 1\ X n con a 0 a 1 an E 9l, nE t{. Evidentemente D PI') = 9t, el rango de P ( x) dependera de Id formd especifica del polinomio I

Ejemplos a) Funci6n potencial par f ( x ) = X2n con n > 0 y par .

I"

f

. JlL '~

1.5 1

O. -3 -2 -1

1

Figu,. (3.9 ) GrMi,~as

2

-3

-2

-1

-2

-1

()() "" J( 2 • f (x ) ~ X4 Y f ( )( ) X b respeclivamcnlc, observese como aJ crecer la potencia , 18 indinad6n de estas na~e y se acerca mas a las ret:las verticales x = 1 Y x = • 1.

de las (uOI.:iones

:Ie

b) Funci6npotencialimpar f(x)=x 2n .' con n>l. D,2n"= 9t Y R,2nd =[-00 ,00)

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CAPITULO 3 RELACIONES fUNCIONALES

-3

-2

38

3 -2

2

2 -2

Figura ( 3.10) Graficas d e las funciones f ( x ) = x.1 , f ( x ) :::: X5 Y f ( x ) = x 7 respedivamente, observese como al crece r la patencia la indinaLion de estas crece y sc acen::a mas a las rectas verticalcs x :::: 1 y x "" - 1.

3.2.3.

Funciones racionales

EI cociente de dos funciones polinomiales se denomina funcion racional , esto es a o + a)x· +a 2 x 2 +a 3 x 3 +...... +a n x n

Q(x); ~~~~~~~~--~-

donde a 0 D

Q(,);

b o, a

,

b

I'

I """'."

b o +b)x l +b 2 x 2 + ...... +b m x m E 91, m, n E t{ ,

9l - { b o + blx' + b,x'+ "",+bmxm; O} Y R Q (,)

,

depende de la funcion especifica,

EjempJos f (x);

1

x"

n E t{ ,

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~oo

30 2D 10 -3

-2

300 20 10

-H

-2 -30

-3

-2

-1

8000~

1500

1000 500

6000 ~OOO

-2

- 1 - 50

2000

- 100

-150 Figura (3.11) GrMkas Jp l<:Is

-2 (unl"ilmt>s

-1

1

f (x)

f(x) ~ ---, I( x)

x

x

2

7

1

Y f(x)

= 7'

J ~ las grMicas, J e l •.>,e y PS asinlota d e la grMica.

c.uand o la rotf'ncia ('s impar los P IPS coordea naJ os son asi ntotas si e l exponenle es par. la parte

POSltiVU

observese que: 1,- Si en el denominador se encuentra el termino de la forma x" con n impar , la gratica de la funcion se acerca a la recta vertical x ; 0 con forme x tiende a cera, por la derecha (rece infinitamente, por la izquierda decrece infinitamente .

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CAPITULO 3 RElACIONES fUNCIONALES

39

2.- Si en ei denominador se encuenlra ei lermino x " con n par , la grafica de ia funcion creee infinilamenle aproximandose a ia reela x = 0, tanto por la dereeha como por la izquierda . Las rectas rnencionadas se denonlinan asintotas verticales . Posteriormente se proporcionaran olras lecnicas para determinar ia grMica y ei rango de funciones racionaies mas compiejas .

3 . 2. 4 .

Funciones algebraicas

En esla categoria se consideran aquellas funciones que involucran potencias fraccionarias , es deeir, que poseen radicaies . Tanio el dominio como el rango dependeran de la forma especifica de Id funcion , SUl embargo, en la delerminacion del dominio es conveniente lener en cuenta las reglas : 10 No incluir los ceros del denominador 20 No mcluir valores que originen radicandos negativos en radicdles de indice pdr

Ejemplos Es fkii verificar que ias graficas de las funciones : f(x)=,j; , f(x) = ';Ix ,f(x)= t/x,f(x)= son las que se muestran a continuacion :

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v;.

:L

'<.Ix

y f(x)=

-10

-5

10

5 -2

5

1.4

1.5 1 0 .5

1.2 1

O.B D .• 0.4 0.2

-10 4

5

Figun (3.12) Graficas de las funciones f ( x ) ~ ,j;, f ( x ) ~

v;.

5

-5 - 0.5

VX, f ( x) =

t/x,

f ( x ) "" ,f ( x ) if;, observese que si el indin' dt>! radical indka qUt~ tan fapido cre~,:e la grafi ca, np.\:e menos nipiJo SI c~te es mayor . :E

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10

CAPITULO 3 IELACIONES FUNCIONALES 40

~: [ 0, (0) ~ [ 0, (0 ) si n es un numero natural par .

Por 10 tanto:

~ : [ - 00 ,(0) ~ [- 00,(0) si n es un numero natural impar .

3.2.5.

Funciones caracteristicas

Cuando la regia de correspondencia se proporciona por intervalos, la funcion se denomina caracteristica , el dominio estara determinado por la union de lo~ dominios de las funciones seccionalmente definidas , esto tambien es valido para el rango. Ejemplos

1.-

f (x)

={

si

x

- x + 2a

D ,(,) = [0 , 2a],

si

f (x)

a

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o

2a

x

Figun (3.13) GraJica de una {unci on Gl.ractcri stica, estas funciones cstan definidas de manera dife re nte e n interva los dHercntes.

la proyecci6n sobre el eje vertical es el rango

2.- Funci6n escal6n unitaria de Heaviside

f (x)

I

si

= { o SI.

x
1

a

x

Figura (3.14) GrMka de la fund6n csc.:aI6 n un itaria

3.-

f( x) = ~ x-S

Soludon Recordando la definici6n de la funci6n valor absoluto

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CAPITULO 3

lElACIONES FUNCIONAlES 41

f(x)

I x-5 1 x-5

('-'

si

x-5~O

_ x-5 - -(x - 5) si x-5
{~1

si

x~5

si

x<5

x

-1

D/(x)=!R-(5}, Rf(x)=(1,-1}.

3.2•6•

Funciones circulares

0

trigonometricas

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De gran importancia son las funciones generadas por la circunferenciil de radio 1 cuyo centro se encuentra anclado en el origen de coordenadas. De la definici6n de las relaciones trigonometricas se obtiene que el triangulo rectangulo formado por el eje x , el radio y el segrnento de recta que baja del punto de intersecci6n del radio con la circunferencia y en forma paralela al eje vertical, tiene como dimensiones : base : cose altura : sene En el triAngulo rectangulo formado por la prolongacion del radio, la recta x = 1 Y el eje x la altura se define como tane.

y 1

tan9

x

-1

Figura (3.15)

Rcpre~ntad6n

de las fundones senU. (ose, tan" .

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CAPITULO 3

IELACIONES FUNCIONALES 42

y

y

tane

Figun (3.16 ) Co m porta mi ento de las funciones sen e, cos e, ta n e

Angulo

sen a

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0

cos a

tana

0

1.- 0 < a < Tt/ 2

crece d e

oa 1 1
1

d ec rece d e l aO 0 dec rece d e

o a-I 31
2"

-1

0 d ecrece d e 1a0 0

crece de - ooa O 0

-1

crece d e -1 a 0 0 crece d e Oa l

0

1

00

00

d ecrece d e o a-I

-1 a 0

crece

crece d e

oa

crece de

o a '" 00

crece de -

00 d

0

0

Si se sig ue inc re me ntando e l cingulo S, su co mpo rtamJento sera e l mis m o que e l desc rito en la tabla ante rio r, como co nsec ue nc ia

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CAPITULO 3

RELACIONES FUNCIONALES 43

y=sen9,

y=cos9

D Rn a =9t

D , .. a =!R

R ~n a= [-1,1)

R
Figura ( 3.17) grAficas de las (unci one sen e , LOS e .

20 10

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-IS

tc4

-2

./

./

./

~

f - 10

f

"

-20

Fig.... ( 3.18) grMica de las funci6n tan 9 .

(2n+1)11 Dian a =9t- { --2--: n

3 . 2 . 7.

E ~

}

,

R .. na = !R .

La funcion exponencial

La funci6n exponencial puede definirse de varias maneras, unas mas elegantes que otras , sin embargo, debido a que en este momenta contamos con un material relativamente escaso optamos por definirla de la forma mas practica .

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CAPITULO 3 .Il

IELACIONES fUNCIONALES

~

5

N~NIt"C:IAI.,

j( .~I./J\ ~uiD~~n rel="nofollow"> 0 enwncesf( x) b_a .. · · · D" -Jly

R" 30

=(0, 00) .

=a '

.se de:nolr:nU\ll/Ifu.t!I¢j<'ll l~xll

I'

Z5

zo 1S

-10

-8

-6

-i

-2

-5

10

(a)

15

(b)

Flguro (3.19) G rMicas de 10 funci6n f ( x ) - a' para varios val ores de 0 , a) con 1 < a 1 < a 2 < a 3 b) 0<.<1.

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De las graticas anteriores se concluye que : D " = 91 Y

R" = ( 0,

OC) ) •

Cuando a - 2.7182818284 ... representamos a la funci6n exponencial por f ( x) cuando x = 1 , f ( 1 ) = e, este valor se denomina ba8e d .. 108 logaritm08 naturales. Las funciones f ( x ) = e ' y f ( x ) = a ' . eshin relacionadas por a' = ... In, .

. • • OE YPUNc,6 .. UPONENC'"",

. . ./ . ...,en~~e ' · liati5fll(;ela\l5igw.mte$relacio~

: !R .-+. ( (J, 00) ..

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e ' as! ,

CAPITULO 3 RElACIONES FUNCIONAlES

45

ALGUNAS TECNICAS EN LA GRAFIC~CI6N DE FUNCIONES

3.3.

Ademas de la tran.laci6n vertical y la homotecia existen otras propiedades que facilitan la construcci6n de la grMica de una funci6n , estas se exponen a continuaci6n : 1.- La grMica de - f ( x) es la imagen fisica de la grafica de f ( x) respecto al eje horizontal. 60

60

40

40

-6

-6

-4 0 - 60

Figura ( 3.20) Imagen fisi'8 de una funci6n respeclo al e;e x .

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2.- La grafica de f (- x) es la imagen fisica de la grMica de f ( x) respecto al eje vertical .

-1

- 3

-2

-1

Figur... (3.21) Imagen fisica de una (unc i6n respecto a1 eje y

3.- Si a > 0 , la grafica de f ( x - a) es la translaci6n horizontal de la grMica de f ( x ) .

-3

-2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 7 8 Figun. (3.22) Tra nslad6n horizontal de la grafica de una funcion .

-1

Ejemplo. Grafique y determine el rango de las siguientes funciones : 1.- f ( " ) = "

2

+ 2"

+3

Solud6n n6tese que f ( x ) = x ' + 2x + 3 = x ' + 2x + 1 + 2

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CAPITULO 3

RELACIONES FUNCIONALES 46

f ( x ) = x' + 2x + 3 = ( x + 1 )' + 2 , esto significa que la grafica es una parabola con una transladon vertical hacia la recta y = 2 Y una transladon horizontal a la recta x = - 1 .

20 15 10

25 20 15 10

S

S

ill -4

4

-2

-4

/

25 20 lS

4

-2

Al proyectar sobre el eje vertical obtenemos : R fl.) = [ 2

-4

4

-2

,001 .

2.- f(x) =4Jx - 2-3 Soludon Tomemos como base la grafica de f ( x ) = ,fX, existe una homoteda ( 4 ) que hace que la grafica crezca mas rapido que la tomada como base, posee una transladon vertical hacia la recta y = - 3 , tambiEm la grafica est" transladada horizontal mente hacia x = 2 .

20 15 10 Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved.

5

10

20

30

10

'10

20

30

40

10

20

30

40

20

15 10

5

10

20

30

Al proyectar sobre el eje vertical obtenemos : R fl.) = [ - 3

40

.00 1.

3.- f ( x) = 3 - 2sen ( x-I) Soludon Tomemos como base la grafica de f (x) = sen x, existe una homoteda (- 2) que hace que la grafica crezca mas n1pido que la tomada como base y la refleja respecto al eje x, posee una tnnsladon vertical hacia la recta y = 3 , tambi{m la gnifica esta transladada horizontalmente hacia x = 1 .

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CAPITULO 3 RElACIONES FUNCIONAlES

-15 -to -5

5

10

-lS -10 -S

15

S

10 lS

Etapas en la construcci6n de la grafica de la funci6n f ( x) = 3 - 2 sen ( x-I) . Al proyectar sobre el eje vertical obtenemos : R f(,) = [ 1 .51 .

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E]ERCICIOS I.-Grafique las funcion es constantes si c = 1 , 4 , 7 , 9 , - 3 , - 6 , - 9 . 11.-, Cuales propiedades d e campo satisfacen las funciones constantes ? 111.-, Bajo que condiciones una funci6n polinomial es tambien lineal? IV ·- L Cuales propiedades de campo satisfacen las funciones polinomiales ? V.-Determine el dominio y el rango de los siguientes polinomios

1.- P ( x ) = a x' con a = 1 , - 1 , - 5 , 5 , 8 , - 8 . 2.- P ( x ) = ax 3 + b con a = 2 Y b = 1 , - 1 , - 5 , 5 , 8 , - 8 . 3.- p( x ) = a x' + 4 con a = 1 , -1 , - 5 , 5 , 8 ,- 8 . VJ.- Determine el dominio y el rango de las siguientes funciones 1.- q ( x ) = x + a x+ b

con a

2.- q ( x ) = _a_ para a a+x

=2 Y b =1 , -

=1 , -

1 , - 5 , 5 , 8 ,- 8 .

1,- 5,5,8,- 8.

3.- q ( x ) = __ a_ para a = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , - 3 , - 5 . (x - a) '

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47

CAPITULO 3

RELACIONES fUNCIONALES 48

4.-q (x) = _ a _ + _ _a_, a+x (x - at 5.- f ( x ) = 15x 1 6.- f ( x ) = 15x -1 1 7.- f ( x ) = 15x +1 1 8.- f ( x ) = 15x +3 1 9.- i Que puede conduir sobre la funci6n f ( x ) = 1ax + b 1 7 VII.- Construya la grafica, determine el dominio y el rango de las siguient 1.- f ( x ) = e" , para a = 1 , 2 , 4 . 2.- f ( x) = ae" ,para a = 1 , 2 , 4 . 3.- f ( x ) = a' ,para a = 1 , 2, 7 , 9, - 2 , - 7 , - 9 . 4.- f ( x ) = a + e" si a >1 , si a < 1 .

1 5.- f ( x ) = a sen x, para a = 1 , 3 , 5 , -1 , - 3 , - 5 , - 2: 6.- f ( x ) = a cos x , para a = 1 , 3 , 5, -1 , -3 , -5 , -

2:1 ' "41

7.- f (x) = a + sen x, para a = 1 , 3 , 5 , -1 , -3, -5,

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8.- f ( x ) = a + cos x , para

a=- 1 - 3 - 5 " 9.- f ( x ) = sen ax , para a = 2, 3 , 4 , 5 , 6 . 10.- f ( x ) = cos ax , para a = 2, 3 , 4 , 5 , 6 .

-2"1 ' "41 '

-.!2 ' .!4 .

11.- f ( x ) = a tan x, para a = 1 , 3, 5, 1 , - 3, - 5 , 12.- f (x)

= tan x,

para a

' "41 .

2:1 '"41 .

= 1 ,3,5, - a=1 , 3, 5, -1 , -3, -5, -1/2, 1/4. 1 1 = 1 , 3 , 5 , - 1 , - 3 , - 5 , - 2: ' "4 .

13.- f ( x ) = a + tan x, para a

Vlll.- Construir la grMica , hallar el dominio y el rango de las funciones 1.- f ( x) = - 2 • 3.- f ( x ) =

1. 3 ' 3

2.- f ( x ) = 2 .. 3 4.-

f(x)=2+e '

,

5.- f (x) = e "2 7.- y = - sen x. 9.- y = 3 sen x 11.- y = 2+ cos x 13.- Y = x + cos x

6.- Y = e (, · 3) 8.- y = sen (- x) 10.- Y = 5senx 12.- y = - 2 + cos x 14.- Y = sen 2x

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CAPITULO 3

RELACIONES FUNCIONALESo 49

3 . 4 . FUNCIONES INVERTIBLES En este momento es preciso aclarar que para que dos {undones sean iguales , no basta con que las reglas de correspondencias que las definen sean algebraicamente equivalentes, esto se formaliza a continuaci6n :

geometricamente, esto quiere decir que las graficas de f ( x ) y g ( x ) coinciden.

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Ejemplos 1.- 5i f ( x ) =

(Fx)

1

y g ( x ) = 2x , es claro que f ( x ) es una restricci6n de g ( x )

que D ( ; [0 , 00) yD. ; 9l ,

ademas f ( x ) ; g ( x )

puesto

para todo xED (

. x' -1 2.- 51 fix); - , x - I

x-I y g(x); - , - - x+x - 1 (x-IXx+ I) x+l entonces f ( x ) ; ; ---(x - IXx l+x+ l) x'+x+1

siempre que x ~ 1

en consecuencia g ( x) es una extensi6n de f ( x) ya que D ( ; 9l - { I y f ( x ) ; g ( x) si x E D (

l y D.; 9l

Esta operaci6n se aplica fundamentalmenle en la obtenci6n de funciones inversas , las que seran estudiadas a continuaci6n . Si f ( x ) es una (unci6n que tran.forma al conjunto A en otro conjunto B, se puede coslruir una nueva fun cion que convierta los elemento del conjunto B en elementos de A, si esto es posible denotal'emos a la nueva funcion por f 'y la lIamaremos {undon inversa de ( , aSI pues, si f (10); 5 entonces ( ,' (5) ; 10, de manera mas general, si ( x) ; y, entonces ( -' ( y ) ; x, a continuacion se formaliza esta idea .

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CAPITULO 3 RELACIONES fUNCIONAlES

50

De(l"icj6n 7 . Fu",ei.6NiNValtT.BLII:

§o;:a.Hlf ).!fna.nmci6n, direm.Ol;que f ( x ) ~8 invertible

si exist~ una fu~dQn . f -I ex llilJ ~il~~,~(~)y t - I (y ) .. x son~uival~ntes ,si esto o<;urre f -I (x )se.de!lomi!la . l~ . i!lv¢t'!Ja de f.(~ly f -' (x) es 1a invers3, de f (x). Ejemplos 1.- Si f ( x)

= 3x -

2, la ecuaci6n y = 3x - 2 es equivalenmte a x = y + 2 , entonces 3

f ( x ) = 3x _ 2 es invertible y f ' ( x ) = x + 2 . 3 Observese que f ( f

-I ( X ) )

= f ( x + 2 ) =3 ( 3

2.- Sea f (x)

I

=2 - -

x

x +2 ) _ 2 3

, si despejamos x de y

=2 -

=x .

I - , obtenemos: x

x

= -2- y

por 10

que pareciera que la funci6n inve rsa correspondiente es f -I ( x ) = _ 1_ , sin embargo esto

2- x

no es cierto, para comprobarlo basta re visar los dominios de definici6n .

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Existe una relaci6n entre las graficas de las funciones f ( x) Y C I ( X ) , la grafica de f - I ( la imagen fisica de la grafica de f ( x) re.pecto a 1a fundon identidad .

X )

es

Figura ( 3.23 ) Relad6n e ntre las grJficids de Jos funcion es inversas

3 . 4 . 1.

Propiedades de las funciones invertibles

Oebemos tener e n cuent. que no siempre es posible construir la funci6n inversa de una funci6n y que e n caso de existir . esta ultima salisface las propiedades enunCladas en la e l siguiente teore ma :

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CAPITULO 3

RELACIONES FUNCIONALES

51

:r~~i:nil "~9"':!. DA DIlS 1t~."U.~5!O~'~ · ~~Y~.R:rl""'1l s Si f (x)es unafili:K:i(l~q!,l~~~ invei'!j!"elltonces :

e.•.

~Yl?(_ I=R(

.R (-I fOf )"O
....

;: l(~O( c)f (x.)esfuveltibley rei t~)) :':trx)

'by i f{£-I{X)

. (f(~) )

-I

Sife)( J es wi.fiittci6rt..ealcti V.ri"(>lerel\l , Ja gtafk~def -I (x) de.1a gtafica de f ( l() en la~ta y" x i . ct)

Ejemplos 1.- f ( x ) = x' + I no tiene inversa . En efeclo, f -' (x) tendria como grMica la eurva que es imagen fisiea de la grafiea de f (x) en la recla y = x, T = { ( x, y ) : x = ~ } , pero esla no representa la grMica de una funei6n . f(x) zs 20 15

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10

Figura (3.24 ) l.n funci6n f (x)

2.- S~a f ( x) = ~ Nolemos que f: [1 , +00) 4

=

x:! + I

no

f'S

invcrtihle .

[0 , +(0), enlonees f ( x) es invertible y f -' (x)

= x'

+1

adem"s f -I : [0, 00) 4 [1 , + 00 )

25

1.S

20

0.5

J

4

5

Figura ( 3.25 ) La fundon f ( x )

::.J;::l

es inve rtibl e.

Como hem os visto , no todas las funciones son invertibles , a continuaci6n establecemos las condiciones bajo las cuales es posible conslruir Ia inversa de una funci6n : Estrechamente relacionado con el metodo de Inversi6n de una funci6n esta el concepto de inyectividad .

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CAPITULO 3 IELACIONES FUNCIONALES 52

1

1

:;.X 2

Geometricamente, esta definici6n puede interpretarse (en una gran can tid ad de casos ) como la grMica de una funci6n que siempre crece 0 que siempre decrece . Ejempl08 30

~

20

-,

10

-.

-2

-2 - 10

. Ie

-2

- )0

Figun (3.26) Las fundones inyedivas solo a) f (x)=x 3 esinyectiva x 1 ","x2

b) f ( x ) == mx con m < 0 es inyectiva ; x c)f(x)=x 2 +1 noesinyectiva;x]

~x2

=:>

-2

·-3

1

c re~en IJ

=>

x x

2

- 1

s610 da:re:en.

x~*x~ => mx

1 ~

mx

2

x~+l ;t:x~+l ,porejemplo, 1 x · 1 y (1)1 + 1-= (_1)2

+ 1.

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~~i6*, '~i lJiiiii~\6n f(x) es invertible si y ~610 SI es inyectivl1 . ~0'Pl~~l . Todafilnd6.n f ( x) creciente ( 0 decreciente ) es invertible. Convielle adarar. qll,~· ~ funci6n escteeiente si XI >x, ~ f ( XI) > f ( x , ) ( sirni.1armente f ( x ) es d~ent~si : .X 1 < X 2 => f ( XI) > f ( x, ) ) , es decir la gra6ca de f ( x ) au menta ·.Iim. altura .
6

4 2

O. S

1.5

2.5

Figun (3.27) La funci6n f ( x) "" x 2 restringiJa al interva)o [0 , (X)

invertible

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CAPITULO 3

IELACIONES FUNCIONAlES 53

2.-f ( x) = e - x2 restringida a [0,00) es invertible, observese que si x ~ 0, al aumentar x,

e _x 2 decrece . 0.8 0. 6 0.1

O.Z 0.5

Z.S

1.5

Flgur~ (3.28) La funci6n f (x ) ~ e _x 2 restringido 01 intervalo

[0 , 00) es invertible .

Por 10 que f ( x ) = e- x ' es inyectiva -y posee inversa sobre [0,00), no as! en!R.

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-3

-2

-1

Flgur~ (3.29) La funci6n 3.- La funci6n f ( x ) =

3

x

e - x2 : 91-+ (0.1 J • no cs invertible.

1xl, tiene como grAfica f( x)

-*

por 10 que carece de inversa si se define como

4.- Pero si f (

x) = 1x I,

se define como

I xl:

I xl : !R -+ [0 , 00 ) .

[0, 00 ) -+ [0, 00 ),

f (x)

x

entonces f ( x)'

-I x I es siempre creciente y tiene inversa sobre

[0, 00 ) .

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CAPITULO 3 IELACIONES fUNCIONAlES 54

3 •4 . 2 .

Funciones trigonometric as inversas

A continuaci6n Diferencial .

construiremos las funciones inversas mas importantes en el Calculo

Ejemplo8 1.- Construya la funcian inversa de f ( x) = sen x . Solucion 5i restringirnos Ja funci6n t ( x ) = senx al intervaJo [-,,/2, ,,/2 ] en donde es creciente , entonces sen x: [-,,/2 , "/2]-) [-1,1] :. x = Sen -I y ,definirnos angsen x: [-1 ,1]-) [-,,/2, "/2] con sen -Ix = angsen x.

.. , 0.5

-1.5

-0 .5

...

0.5

0.5

/ 0.5

-O.S -O. S

-o. S

- 1

-1.5

-1

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a) f (x) - sp.n x restringido a [ - x/ 2, x/ 2]

b)

( (x) = angsen x

Figur.. (3.30) construcci6n y gnuica de la {undon angsen x .

2- Construya la funci6n inversa de f ( x ) = cos x . Solucion Se restringe f ( x ) = cosx al intervaJo [ 0 , ,,] en donde es decreciente, 51 cos x : [ 0 , " 1 -) [-1, 1 ] definimos angcos x : [ -1 , 1 J -) [ 0 , ,,] y f

-1( X )

Z.5 0.5

1.

l.S~

)

~

-0 .5 -I

a) f ( x )

l.S

=>

cos x reslringiJo a [0,

0.5 -1

11: J

-0. 5

0) ( ( x)

0.5 z

angcos x

Figun (3.31 ) constru<.:ci 6 n y grafica de la funci on angcos x .

3.- Construir la funci6n invers. de f ( x ) = tan x . Soluci6n

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= angcos x .

CAPITULO 3

RElACIONES FUNCIONAlES 55

Se restringe ( x ) = tanx al intervalo (- ~ , ~) en donde es creciente .

2

tanx:(-~

~)-+lR

2 ' 2

entonces si

f -I (

( ( x ) = tan x , ( x)

2

Y. X) =

1t

angtan x : !R -+ ( -"2

'

1t

2 ) ,

angtan x f(x)

60

1.5

'0 20

-

S

-1

-O.S

0.5

1.5

- 10

-20

-s

10

-'0 -60

- 1. 5

1t

a) [ ( x ) - tan x on(-"2

1t

'-"2

X )

b)

[ · 1(

X. )

= angta n x

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Figun (3.32) Definici6n y grMica de 10 [undon anglan x .

5.- Construir la funci6n inversa de f ( x ) = e' . Soluci6n Como e' : lR-+ ( 0 , 00 ) , Y si denotamos su inversa par Inx , entonces Inx:(O,oo)-+lR La funci6n ( - 1 ( x ) = In x se denomina logaritmo natural y salisface las siguientes

-10

-8

-6

-1

-2

2

0) [( x) - p'

b) [( x ) - In x

Figw. ( 3.33) GrMica de la (undon In)(

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CAPITULO 3 RELACIONES FUNCIONALES 56

E}ERCICIOS \.- En cada uno de los siguientes pares de funciones, en caso de que estas existan , determinar quien es la extensi6n y quien es la restricci6n . x-1 1 (2 a) f ( x ) = - . - , g ( x) = -,- - . b) f ( x ) = I x I , g ( x ) = x - 1 x +x+1 x .fiXc) f(x)= , g(x)= d) f ( x ) = J1='3x + ,g ( x ) = 3x[ + ..Ix x+1 ..Jx+1

"X-

~

M

Jl1-

11.- Demostrar que los pares de funciones dad as son funciones inversas utilizando el hecho de que f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) = x, graficar f ( x ) y g ( x ) en un mismo sistema coordenado . 1.- f ( x ) = x' +1 2.- f ( x ) =

g ( x ) = Vx - 1

.!.

g( x )=)

x

x

x+3 g( x )= - 6-

3.- f ( x ) = 6x - 3 +9

g (x) =

,Ix - 9

5.-f(x)= _1_ 1 + x'

g(x)=

VFx -;-x-

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4.- f ( x ) =

X2

111.- Para las siguientes funciones determinar f - I ( x ) ( en caso de existir ) , incluyendo dominio y rango, aSI como su 'grafica . 1.- f ( x ) = 3x - 4

2.- f ( x ) = 5x

3:- f ( x) = x ' - 3

4.- f ( x) =

,J9:;2 0 s x s

6.- f( x) =

~ x x+8

5.- f ( x ) =

x ~'

x~0

7.- f ( x ) = x + 2 x-3 9.- f ( x ) = 1 - 3x

10.- f ( x) = 2sen 3x

11 .- f ( x ) = In 3x

12.- f (x ) = e " - I

13.- f( x) =e ,2. 1

14.- f( x) = In (x-1)

3

8.- f ( x ) = x

IV.- Para cada una de las funciones dadas determinar un intervalo donde posean inversa y determinar la funci6n inversa en ese intervalo.

1.- f ( x ) = 3x+5 , x 3.- f ( x ) =

E

9!

_ x_, _ 1 < x+l

2.- f ( x ) = x' +4x-5 , x x <

00

4.- f ( x ) = ~ - 2 x + x 2

,

E

9!

X E

!It.

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CAPITULO 3 1 5.-f(x)= 2 '

IlELACIONES FUNCIONALES 57

0::;x<2

x

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V.- Construir la grafica , hallar el dominio, el ran go, investigar cuales son invertibles y determinar su inversa , tanto su rango , suodominio Y su regia de correspondencia de las funciones.

1.- f ( x ) = - 2 '

2.- f (x) = 2'"

3.- f ( x ) = .!. 3' 3 5.- f (x) = e'"

6.- f ( x ) = - In x

7.- Y = In (- x)

8.- Y = 5 In x

9.- Y = 1+ In ( x+ 1)

10.- Y = e'"

11.- Y = - sen x

12.- Y= sen (- x )

13.- Y = 3 sen x

14.- Y = 5 sen x

15.- Y= 2 + cos x

16.- Y= - 2 + cos x

17.- Y = x + cos x

18.- Y= sen 2x

19.- Y = sen~

20.- Y= 4 cosx

21.- Y = 3 tan x 23.- y = 3 + tan x

22.- Y = 6 tan x

25.- y = tan~

26. ~

2

2 27.- Y = tan 4x 29.- Y = Icosx I 31 - Y =csc x 33.- Y = 3 ang tan x 35.- y = 4ang cos x 37.- Y = 1 + ang tan x

4.- f (x)

=2 + e'

24.- Y = 8 + tan x

Y = tan 2x

28.- y = Isen x I 30.- Y = sec x 32.- y = I tan x I 34.- Y = 3 ang sen x 36.- y = 8 ang cos x 38.- Y = 1 + ang sen x

39.- y = ang cos~

40.- y = ang cos 2x

41.- Y = ang sen 2x 43.- y = ang csc x

42.- Y = ang sec x

2

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CAPITULO 3 IElACIONES FUNCIONAlES 58

3 . 5.

COMBINACI6N DE FUNCIONES

Dos 0 mas funciones pueden combinarse para originar una nueva funci6n , los metodos mas comunes de combinaciones de funciones se definen a continuaci6n :

fO g A

,

~B~

C

Figuu ( 3.34 ) composid a n de ( y g .

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De forma mas general , si f ( x ) y g ( x ) son funciones , entonces (f 0 g) ( x ) es una funci6n con dominic en : Dr' g= {x : x E Dg Y g ( x ) E Dr } tal que ( f Og) ( x ) = f (g ( x » para toda x E Dr· g.

Ejemplo. 1.- Si f ( x) = 3x 3 + 6 Y g ( x ) = 3x + 4 , determinar ( f + g ) ( x ) , ( f - g )( x ) , ( f .g ) ( x) Y f (-)(x) . g

Soludan Primero observemos que : Of = 9l, Dg = 91, en consecuencia Dr..= 9l . a) (f +g ) ( x ) = 3x 2 + 6 + 3x + 4 = 3x 2 + 3x + 10 b) (f - g ) ( x) = 3x 1 + 6 - ( 3x + 4 ) = 3x 1 - 3x + 2

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CAPITULO 3 IELACIONES fUNCIONALES 59

c) (f·g) ( x) = ( 3x 2 + 6 ) ( 3x + 4 ) = 9x' + 12x 2 + 18x + 24 f 3x ' +6 ' 4 d) ( - ) ( x ) = - - , Of/s= 9t-(-(-)} . g 3x +4 3 2.- Oeterminar

i

g

y

E. f

si : f ( x ) =

~

, g ( x)=

~

.

Soluci6n Of=(xlx -l ~ OI= [1,00) Os = { x I 3 - x ~ 0 I = ( - <X> , 3 ] La reglas de correspondencia son f ..;-;-::J g ...}3 - x - ( x ) = - -- y (- ) ( x ) = - - respectivamente, g ...}3 - x f ;x::T con dominios : Of 1. = [1 , + <X> ) r> ( - <X> , 3 ]- { 3 I = [1 , 3 ] - ( 3 I = [ 1 , 3 ) Os If = ( - <X> , 3 ] r> [ 1 , <X> ) - { 1 I = ( 1 , 3 ]

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3.- Represente F ( x ) = ( 3x' - 2) 7 como una funci6n compuesta g 0 f . Soluci6n Sea F ( x ) = g [ f ( x ) ] = ( 3x 2 _ 2 ) 7 = g ( 3x 2 _ 2 ) = ( 3x 2 _ 2 ) 7 tal que g ( x ) = f ( x ) = 3x 2 - 2 .

X 7

Y

4.- Exprese la funci6n F ( x ) = cos ( 1 - X2) como una com'posici6n de funciones . Soluci6n Una forma es ,F( x ) = ( fOg) ( x ) = f [ g ( x ) ] = f ( 1 - X 2 ) ~ cos ( 1 _ x ' ) , en consecuencia f ( x ) = cos x y g ( x ) = 1 _ X 2 . En el ejemplo 1 podemos observar que la operaci6n composici6n no es conmutativa . Intuitivamente , si consideramos a una funci6n como una maquina que produce algo , la funci6n f Og se obtiene conectando la salida de g ( x ) a la entrada de f ( x ) , (vease la figura 3.35) .

f(g(x»=(f Og)(x) Figura (3.35) Representad6n de una composici6n de funciones.

5.- Si f ( x ) = X 2 + 1 Y g ( X ) = sen x entonces (f 0 g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( sen x) = (sen x) ' + 1 , tambien ( g 0 f)( x ) = g( f ( x ) ) = g ( x ' + 1 ) = sen ( x 2 + 1 ) . Observese que f Og ~ g 0 f .

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CAPITULO 3 IELACIONES fUNCIONAlES 60

6.- Sean f ( x ) =

+x -9

g(x)=

y

ffx,

Determine (f ° g ) ( x ) y su dominio .

Soluci6n

=--

ffx (fOg)(x)=f(g(x»=f(,,18x)= 18x - 9 D, = !R - ( 3 , - 3 f, D& = [ 0 , 00 D,o.= { x I x

E

Dg Y g ( x )

E

),

R. = [ 0 , 00 ), entonces

D, } = [ 0 , (0) " [0 , 00 ) I =[0, 00 )- {3,-3 ' "2} .

-

(3 , - 3 f,

EJERCICIOS 1.- Sif ( x )

= -2x 2

x -1 1.- (f +g ) ( 2 )

Y

g(x)=

determine

2.- (f 0 g)( .Jl5) 4.- (f I g )( 4 ) 6.- (g 0 f ) ( 1 )

3.- (f.g)( 1 ) 5.- (f 0 g )( 1 ) 11.- Sif ( x ) = X 2 + X

~

2

Y g ( x ) = x+3 .

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1.- (f-g)(2)

2.- g 3 ( 3 ) = ( gOg 0 g )( 3 ) 3.- (g 0 f) ( 1 ) 4.- (f/g)( 2) - (f" g)( 1 ) 5.- g 5 (3)

111.- Si f ( x ) =

.J x - 4

y

g ( x ) = I x -1 I, determine (si esto es posible )

1.- (f 0 g)( x )

2.- ( g Of ) ( x ) , ( ( g Og) 0 f) ( x ) IV.- Encuentre f y g tales que F = gO f 1.- F ( x ) = ( x' - 7 ) • 2.- f ( x ) =

Vx' - I

3.- f ( x )

= ,

4.- f (x )

=

3 x ' - 2x+2 In ( X 2 - 1 )

5.- f ( x) = senx ' 6.- f ( x ) = sen 2 x .

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CAPITULO 3 IElACIONES fUNCIONAlES

3 . 6.

61

PARI DAD Y PERtODICIDAD

Un concepto uti! en los cursos de matem.1ticas superiores es el de paridad y en esta secd6n se describe brevemente.

Geometricamente , la grMica de una fund6n par presenta simetria respecto al eje vertical y la grMica de una funci6n impar es simetrica respecto al origen.

f (x )

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_.,

f(x)

x a) C rafica de una fu nci6n b} Grafica d e una funci6n impar, en par, observese que la este caso la imagen d e la fun ci6n impar imagen d e la parte positi va f ( x ) es simetrica respeclo al o rigen. d e f ( x ) coincide con la parte negativa de f ( x) . FigurA ( 3.36) Parid.d de una fun ci6n.

Es conveniente observar que hay funciones que no son pares 0 imp ares . A continuaci6n se proporcionan algunos ejemplos que ayudaran a comprender los conceptos de paridad . Ejemplo8

1.- Discuta la paridad de la funci6n f ( x ) = x ' + 8 . Soluci6n f (x)=x ' +8 f (- x ) = (- x ) ' + 8 = x ' + 8, en consecuencia f ( x ) = f ( - x) por 10 que f ( x ) = x ' + 8 es una funci6n par . 2- Discuta la paridad de la funci6n f ( x ) = x ' - x . Soluci6n Si f ( x ) = x' - x , entonces f ( - x ) = ( - x )' - (-x) '" x ' + x y - f (- x ) = - x ' - x

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CAPITULO

3

RElACIONES fUNCIONAlES

*-

62

*

por 10 tanto : f ( x ) f (- x ) f ( - x) . Este es un f'jemplo de una funcian que no es par y tam poco es impar .

Ejempl08 1.- Construir la prolongacian par de f ( x ) = x' + 1, si x E [ 0 , 2) . Soluci6n Prolongaci6n par f (- x ) = ( - x ) 2 + 1 = X 2 + 1 si x E [- 2,0) . Prolongaci6n impar - f (- x ) = - [ (- x ) 2 + 1 ) = - X , _ 1 , si x E [ - 2 , 0) .

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2.- Construir las prolongaciones par e impar de f ( x ) = x - 2 , si x E [ 0, 3 ) . Soluci6n Prolongaci6n par si f ( x ) = x - 2 .. n [0 , 3 ) , f ( - x ) = - x - 2 en [- 3 , 0 ) . Prolongaci6n impar si f ( x ) = x - 2 en [0 , 31 , - f (- x) = - (- x - 2) = x + 2 en [- 3 , 0 ) .

Ejemplo8 1.- Funci6n serpentina, f( x) = {

lsi -1

.

Sl

O"; x "; a a < x ,,; 2a , f(x ) =f( x +2a).

f (x)

1 x -1

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CAPITULO 3 RELACIONES FUNCIONALES

2.- Funci6n onda cuadrada f ( x)

63

1 si 0 S x S a si a < x S 2a ,en este caso f ( x ) = f ( x + 2a ) .

= {0

)

4.

x

3.-Las funciones trigonometricas sen x, cos x , tan x , cot x , sec x y csc x son peri6dicas i cual es el periodo de cada una de elias? Si se conoce el periodo T de una funci6n peri6dica f ( x ) se puede construir la gratica completa de la funci6n f ( x ) , esto se hace tomando la grilfica de cualquier periodo y duplicandola sobre intervalos subsecuentes de longitud igual al periodo T , esta construcci6n se denomina extensi6n peri6dica de la funci6n f ( x ) . Ejemplo8

1.- Determine la extensi6n peri6dica de la Funci6n onda triangular ,

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f(X)= {

si x -x+2a si

OS x S a a < x S 2a

":b o

a

2a

x

Soluci6n f (x)

f(X)={

x - x + 2a

si si

OS x S a a < x S 2a

x

Talquef( x) = f( x + 2a) .

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CAPITULO

3

IELACIONES fUNCIONALES

64

EJERCICIOS 1.- Determine el tipo de paridad de las siguientes funciones :

1.- {(x) =x-1 2.- {( x ) = 3x + 2 3.- {( x) = 0 4.- {( x) = - 2 5.- {( x) = 6 7.- {( x ) = X 3 + X + 1 8.- {( x) = x' - x 10.- {( x ) = 2x' + 4x 2 11.- {(x)=X 12 _X 3 12.13.14.15.16.17.18.-

f ( x ) = 12x' f(x)=senx f ( x ) = sen 2x 2 {( x ) = cosx f (x) = In x f ( x ) = e' f ( x ) = e -3.

19.- f ( x ) = ..Jx 20.- f ( x ) = I x I Copyright © 2010. Instituto Politécnico Nacional. All rights reserved.

21.- f( x)

=

M

22.- f ( x ) = tan x 11.- L La sum a de las funciones pares es par

0

impar? Justifique su respuesta, de ejemplos .

111.- l La suma de las funciones impares es impar ? Justifique su respuesta de ejemplos .

IV.- l Considera usted, que ·es posible que el cociente de dos funciones impares pueda ser par 0 bien impar? V.1.2.3.-

Defina ,Ia parte par, y la parte impar de las funciones que a continuaci6n se presentan f ( x) = X3 + 2 x E [0,2] f(x)= x + 1 x E [0, 1 1 f ( x ) = 2x 2 - 7 x E [- 5 , 01

"'1.- Construir las graficas de las funciones extend.das peri6dicamente de las funciones dadas. 1.- f(x)=

{se~x

::

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CAPITULO 3 IELACIONES fUNCIONALES

2.- f (x) = {

X

si 0::;

o

si

3.- f ( )( ) = { e

•

-x

4.- f (x)

={

X::;

65

1

1 < x::;2 . 0 < .... 1

SI

- X

~

1 < x::; 2

si

X

si

0::;x::;2

In x

si

2 < x::; 4

VII.-, EI producto de funciones periadicas es una funcian peri6dica ? VIII.- Compruebe que Si c peri6dica .

E

91 Y f ( x ) es una funcian peri6dica entonces d ( x ) es tambilm

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IX.-, De que otra forma se podrla definir la funci6n onda triangular de manera que fuese peri6dica ?

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