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Kurt Gödel (1906-1978) Nacio en Brno el 28 de abril de 1906 siempre siguió pensando que todo tiene un porque, que el mundo es racional y explicable en todos sus detalles. En 1916, Kurt termino su formación en la escuela primaria e ingreso en el Realgymnasium, allí aprendió el sistema de taquigrafía de Gabelsberg. Época de estudiante. Kurt se matriculo en la Universidad de Viena con la intención de estudiar física, empezó estudiando física, pero las brillante clases de Philipp Furtwängler sobre teoría de números lo atrajeron definitivamente hacia la matemática. La completud del cálculo lógico de primer orden. En 1879, Frege había presentado el primer cálculo deductivo para lo que luego se llamaría la lógica de primer y segundo orden. Otra tradición lógica proveniente del siglo XIX, la del algebra de la lógica se limitaba a considerar la validez de las formulas en ciertos dominios, sin presentar calculo o sistema axiomático alguno. En verano de 1928 el interés de Gödel paso de las ramas clásicas de la matemática a las cuestiones de fundamentos, si ese cálculo es suficiente para obtener todas las formulas validas o, equivalentemente, para obtener todas las consecuencias de un conjunto dado de premisas, “Elementos de lógica teórica” de Hilbert y Ackermann, publicado ese mismo año no solo se presenta un cálculo deductivo, sino que por primera vez se plantea la cuestión de si ese cálculo es completo o no; Gödel eligió para su tesis el tema de la completud del cálculo lógico de primer orden, desde luego su cálculo deductivo no era ni pretendía ser sintácticamente completo, pues solo trata de generar las formulas válidas y la mayoría de las formulas no son válidas, lo que Hilbert y Ackermann se plantearon fue la pregunta de si su cálculo era semánticamente completo. Según Gödel se plantearon naturalmente la cuestión de si tal sistema formal es semánticamente completo o no, si sus axiomas y reglas bastan para deducir todas las formulas validas o no, él probo el cálculo cuantificacional de primer orden y respondía en su tesis a las dos preguntas abiertas planteadas en Hilbert y Ackermann si el cálculo lógico de primer orden era completo y si los axiomas usados eran independientes unos a otros. Incompletud de la aritmética formal. Pretendía encontrar una prueba finitista de la consistencia de los axiomas del análisis, Hilbert introdujo su programa (basado en la teoría de la prueba y tendente a probar la consistencia de la matemática clásica por métodos formales finitistas). El programa formalista de Hilbert requería dos cosas;1)construir sistemas formales completos para las principales teorías de la matemática clásica, y 2) probar la consistencia de dichos sistemas formales, en un sistema formal tenemos en primer lugar un conjunto enumerable de signos primitivos, en segundo lugar tenemos ciertas reglas combinatorias, el conjunto de

las formulas constituye el lenguaje formal del sistema, en tercer lugar otras reglas combinatorias. Una sentencia es una formula sin variables libres, el conjunto de las sentencias deducibles constituyen una teoría formalizada. Todos los problemas planteados en un sistema completo son decidibles, aunque un sistema formal incompleto puede ser de gran utilidad teórica, un sistema formal inconsistente es absolutamente absurdo e inútil. Sus resultados mostraban la imposibilidad de llevar a cabo el programa de Hilbert, Gödel probaba que todos los sistemas formales de la matemática clásica son incompletos, además, esta incompletud no tiene remedio, demostraba que es imposible probar la consistencia de la matemática clásica. Asigno números naturales a las hileras de signos del sistema formal y relaciones numéricas a las relaciones matemáticas, estableció así un isomorfismo. En agosto de 1930, Gödel ya había obtenido la prueba del primer teorema de incompletud: ningún sistema formal puede contener todas y solas las verdades aritméticas.

BIBLIOGRAFIA: Mosterín, J (2000). Los lógicos, Madrid: Espasa-Calpe.