área Y Volumen.docx

Área y volumen Para explicar el cálculo utilizado en la medición de áreas de figuras y volúmenes de cuerpos nos valdremos del uso de ejemplos de las figuras y cuerpos más comunes. Para calcular las medidas de figuras y cuerpos más complejos, estos se han de dividir de manera que queden en sus formas más comunes para luego proceder con la suma de todas ellas.

Área de un paralelogramo El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los vectores que definen el paralelogramo.

Ejemplo: Dados los vectores u = (-2, 2, -2) y v = (3, -2, 2) hallar: a) Primero hemos de calcular el producto de ambos vectores: i j

k

u x v = -2 2 -2

= i (4 – (-4) ) – j (-4 – (-6)) + k ( 4 – 6 )

3 -2 2 = i (8) – j (2) + k(-2) = 8i – 2j -2k = (8, -2, -2)

b) Luego debemos calcular la magnitud del producto obtenido en la multiplicación de ambos vectores. A=|uxv| A = | (8, -2, -2) | A = √ 82 + (-2)2 + (-2)2 A = √ 64 + 4 + 4 A = √ 72 A = 8.485

Área de un triángulo El área de un triángulo de vértices A(x1, y1, z1) , B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3) es:

Hallar el área encerrada en el triángulo cuyos vértices son: A(0,0,0)

B(-2, 1, 1)

C(-2, -2, -2)

Volumen de cuerpos geométricos Volumen de un paralelepípedo El volumen de un paralelepípedo de vértices A(x1, y1, z1) , B(x2, y2, z2) , C(x3, y3, z3) y D(x4, y4, z4) es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo definen que son las aristas que concurren en un mismo vértice.

Ejemplo: Hallar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores: u (-3, 1, 5)

v (4, 2, 1)

w (1, 0, 1)

Volumen del tetraedro El volumen del tetraedro es igual 1/6 del volumen del paralelepípedo correspondientes.

Ejemplo: Halla el área y el volumen del tetraedro determinado por los puntos O(0, 0, 0) A(0, 1, 1)

B(1, 0, 1)

C(1, 1, 0)