Comparación De K Varianzas-bartlett-levene-em2010(1).doc

Comparación de k varianzas (Prueba de Bartlett) Se basa en k muestras aleatorias de tamaño nj (j=1, 2, , k) que provienen respectivamente de k poblaciones normales. Se define lo siguiente: S 2j es la varianza de la muestra j (j=1, 2, , k). k

  n j  1 S 2j S 2p 

j 1

N k

es la varianza ponderada. Entonces, bajo la hipótesis nula de varianzas iguales, el estadístico

 

k





 

q  {2.3026[( N  k ) log10 S p2   n j  1 log10 S 2j ]} j 1

sigue una distribución Ji-cuadrada con (k-1) grados de libertad. Algunos autores definen el estadístico de la forma:

 

k



  

B  ( N  k ) ln S p2   n j  1 ln S 2j j 1

 

k





 

B  2.3026[( N  k ) log10 S p2   n j  1 log10 S 2j ] j 1

Con distribución Ji-cuadrada con (k-1) grados de libertad.

Prueba de Levene Se utiliza como alternative a la Prueba de Bartlett Ho: H1:

for at least one pair (i,j).

Estadístico de prueba:

donde Zij puede tener una de las siguientes tres definiciones: 1. donde

es la media del grupo numero i.

2. donde

es la mediana del grupo número i..

3. donde

es la media recortada al 10% para el grupo numero i.

La region de rechazo esta dada para

La prueba con la media se desempeña mejor para distribuciones simétricas. La prueba con la mediana es recomendable para distribuciones sesgadas. La prueba con la media recortada se desempeña bien con distribuciones de “cola pesada”.

Ejemplo. Verificar si son iguales las varianzas de los datos del ejemplo anterior, usar un  del 5%.

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Test for Equal Variances: Temperatura versus horno 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations horno 1 2 3

N 5 4 6

Lower 1.64278 2.50845 4.41744

StDev 3.03974 4.96202 7.78443

Upper 11.6996 26.9874 24.3197

Bartlett's Test (normal distribution) Test statistic = 3.10, p-value = 0.212 Levene's Test (any continuous distribution) Test statistic = 4.19, p-value = 0.042

Test for Equal Variances for Temperatura Bartlett's Test Test Statistic P-Value

1

3.10 0.212

Lev ene's Test

horno

Test Statistic P-Value

2

3

0

5 10 15 20 25 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

30

4.19 0.042

Ejemplo. Prob3/p.350 Mason et. Al. Stopping distances (Ft) by Tire Brand.

Test for Equal Variances: DISTANCE versus BRAND 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations BRAND A B C D E

N 10 10 10 10 10

Lower 2.34593 5.54186 3.15007 3.44346 3.47151

StDev 3.79797 8.97206 5.09985 5.57483 5.62025

Upper 8.6503 20.4349 11.6155 12.6973 12.8008

Bartlett's Test (normal distribution) Test statistic = 6.99, p-value = 0.136 Levene's Test (any continuous distribution) Test statistic = 2.05, p-value = 0.104

Test for Equal Variances: DISTANCE versus BRAND

Test for Equal Variances for DISTANCE Bartlett's Test

A

Test Statistic P-Value

6.99 0.136

Lev ene's Test Test Statistic P-Value

BRAND

B

C

D

E 0

5 10 15 20 95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

2.05 0.104