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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo en Varias Variables Primera Práctica Calificada Semestre Académico 2018 -2 Horario: Todos

Duración: 110 minutos Elaborado por todos los profesores

Advertencias: • Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación. • Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su responsabilidad. • Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento disciplinario en determinados casos. • Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación, no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica. • En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables. • Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de duración destinado a ella.

1. Sea C la curva que se obtiene como intersección de las superficies

S 1 : x2 + 2z2 + 2x + y = 0 y

S 2 : x + y + 2z = 0 .

(a) Haga un esbozo de la intersección de la superficie S 1 y el plano P : y = −3 .

(1p)

(b) Haga un esbozo de la superficie S 1 .

(2p)

(c) Encuentre una parametrización de la curva C.

(2p)

(d) Encuentre una ecuación vectorial para la recta tangente a C en el punto (0, 0, 0).

(1p)

2. La curva Γ es parametrizada por µ

r(t) =

¶ 2t9 3 , t − 3 , t6 , 3

t ∈ [−1, 1] .

(a) Examine si r es una parametrización regular.

(1p)

(b) Calcule la longitud de Γ.

(2p)

3. Para v ∈ R2 , definimos la función g : R → R2 como  v , para t ≤ 1 ,    µ ¶ g(t) =  ( ln t )2   t2 − 2t , , para t > 1 . t−1 (a) Si g es una función continua, encuentre v.

(1.5p)

(b) Con el vector v encontrado en el ítem (a) examine si g es derivable en t = 1.

(2.5p)

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4. (a) Encuentre el dominio de

µ

−t

f (t) = ln 2 e ¡

¶ ¢ q 2 − 1 , t − 2| t| (2p)

(el conjunto de todos los valores de t para los cuales el vector f (t) está bien definido) (b) Si g(t) = f 1 − t ¡

¢ 2

, calcule g0 (2).

(2p)

5. Para una cierta constante a, consideramos la superficie S ⊂ R3 definida por la ecuación

S : z3 + a y2 = 4 . Una curva C está contenida en la superficie S (es decir C ⊂ S ). Si la recta tangente a C en un punto q ∈ C pasa por los puntos (1, 0, 0) y (2, 1, −1) , calcule las coordenadas del punto q. (3p) San Miguel, 15 de setiembre de 2018.

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ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo en Varias Variables Segunda Práctica Calificada Semestre Académico 2018 -2 Horario: Todos

Duración: 110 minutos Elaborado por todos los profesores

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1. La curva Γ ⊂ R3 es parametrizada por ¡ ¢ r(t) = t sen t + cos t , t cos t − sen t , t2 ,

t≥0.

a) Calcule la ecuación cartesiana del plano osculador correspondiente a la curva Γ en el punto (−1, −π, π2 ). (2.5p) b) Calcule los vectores unitarios T , N y B de la curva Γ en el punto (−1, −π, π2 ) de acuerdo a la parametrización r . (1.5p) c) Calcule la curvatura de Γ en el punto (−1, −π, π2 ).

(1p)

2. La función f : R2 → R es dada por

f (x, y) = ax2 + bx y + c y2 − 2x . © ª Si la recta L = (1, 0, −1) + t (1, −1, 1) : t ∈ R constantes a, b y c.

está contenida en la gráfica de f encuentre las (3p)

3. En cada ítem calcule el límite o explique por qué el límite no existe. a) b)

l´ım

x − sen y x− y

(2p)

l´ım

x3 ln x x 2 + y2

(2p)

(x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0)

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4. La función f es dada por

f (x, y) =

p

x ln (x + y) .

(el dominio de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los cuales f (x, y) está bien definido) a) Haga un esbozo del conjunto de nivel de f correspondiente al valor 0.

(1p)

b) Haga un esbozo del dominio de f .

(2p)

c) Elija el esbozo más apropiado para el conjunto de nivel de f correspondiente al valor 1. Justifique su elección. (2p) (A)

(0,0)

(C)

"x=0"

(B)

"x=0"

"x+y=1"

"x+y=1"

"x=0"

(D)

"x=0"

(0,e)

"y=1"

(0,0)

"x+y=1"

(0,0)

d) Indique cuál o cuáles de los siguientes puntos:

(−1, 0) , son puntos de acumulación del dominio de f .

(0, 0) ,

(0, 1) (1p)

e) Para cada punto (a, b) del ítem anterior que sea punto de acumulación del dominio de f calcule el límite p l´ım x ln (x + y) (x,y)→(a,b)

o explique por qué el límite no existe.

(2p) San Miguel, 29 de setiembre de 2018.

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Cálculo en Varias Variables Tercera Práctica Calificada Semestre Académico 2018 -2 Horario: Todos

Duración: 110 minutos Elaborado por todos los profesores

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1. La superficie S ⊂ R3 es definida como S : z y2 + xe yz + 1 = 0 . a) Calcule la ecuación cartesiana del plano P que es tangente a S en el punto (−1, 1, 0).

(2p)

b) Encuentre un punto (a, b, c) ∈ S distinto de (−1, 1, 0) donde el plano tangente a S sea paralelo al plano P obtenido en el ítem anterior. (2p) 2. Encuentre todos los puntos de R2 donde la función

f (x, y) = x3 − 3x2 y + 3y2 + 6y tiene un mínimo local (relativo). 3. Considere la región plana

(4p)

© ª D = (x, y) : x2 + y2 ≤ 8

y la función f (x, y) = 3x2 − 2x3 − 3y2 . a) Explique apropiadamente por qué existe valor máximo (absoluto) para la función f restricta a la región D . (0.5p) b) Encuentre todos los puntos en D donde f alcanza dicho valor máximo. 4. Acerca de la función f (x, y) =

(4.5p)

3 − y2 analice la veracidad de las siguientes afirmaciones. x2 + 1

a) Existe valor máximo (absoluto) para la función f .

(1p)

b) Existe valor mínimo (absoluto) para la función f .

(1p)

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5. Considere el sólido Q ⊂ R3 definido como ½

Q :

x2 + y2 ≤ z2 , 0 ≤ z ≤ 1,

y la función f (x, y, z) = (x + 2y)(z − 1). a) Explique apropiadamente por qué existe valor mínimo (absoluto) para la función f restricta al sólido Q . (0.5p) b) Calcule dicho valor mínimo.

(4.5p) San Miguel, 10 de noviembre de 2018.

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Cálculo en Varias Variables Cuarta Práctica Calificada Semestre Académico 2018 -2 Horario: Todos

Duración: 110 minutos Elaborado por todos los profesores

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1. Se sabe que f : R2 → R es una función de clase C 2 y que ³ ´ 4 2 4 2 ∇ f (x, y) = 2x ye x y , x2 e x y . Definimos g(x, y) = f (y, x y). a) Calcule b) Calcule

∂g ∂y

(3p)

(0, 1) ·

∂2 g ∂ y2

(2p)

(0, 1) ·

2. Respecto a la siguiente integral 1 Z (x−1)2 ¡

Z 0

0

1+

p ¢ y cos y d y dx

a) Dibuje la región de integración.

(1p)

b) Calcule la integral.

(2p)

3. Considere las curvas C ⊂ R2 y L ⊂ R2 dadas por

C : y = x3 − 4x

y

Si D ⊂ R2 es la región limitada por C y L, calcule 4. Sea D ⊂ R2 la región limitada por la curva C :

L1 : y = x , Calcule

Ï D

x− y d A. (x + y)3

p

L : x + y = −2 . Ï D

y dA . (x − 2)2

(4p)

4 y = p y las rectas x

L2 : y = x + 6 y L3 : x + y = 3 . (4p)

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5. Si D ⊂ R2 es la región dada por

D =

calcule

Ï D

y2 dx d y . x2

n

o p x (x, y) : p ≤ y ≤ x , x2 + y2 ≥ 2 , 3 (4p) San Miguel, 24 de noviembre de 2018.

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Cálculo en Varias Variables Examen Parcial Semestre Académico 2018 -2 Horario: Todos.

Duración: 180 minutos. Elaborado por todos los profesores.

Advertencias: • Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación. • Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su responsabilidad. • Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento disciplinario en determinados casos. • Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación, no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica. • En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables. • Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de duración destinado a ella.

1. La curva S es la intersección de las superficies

S 1 : x2 = 16y, z < 8,

y

S 2 : x3 = 64z .

La curva T es la intersección de las superficies s

T1 : y +

p

y

2 − x2 − z 2 = 0

T2 : x =

2 − z2 . 2

a) Encuentre una parametrización de la curva S.

(1 pt)

b) Sea P el plano osculador de T en el punto (1, −1, 0). Para cada punto P de S, la recta tangente a (3 pt) S en el punto P interseca al plano P en el punto Q . Encuentre una parametrización de la curva descrita por Q cuando P se mueve a lo largo de S. 2. La función f es dada por r

f (x, y) =

x− y xy−1

(el dominio de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los cuales f (x, y) está bien definido) a) Haga un esbozo del dominio de f .

(1.5 pt)

b) Haga un esbozo de los conjuntos de nivel de f correspondientes a los valores c = 0 y c = 1.

(1.5 pt)

3. En cada ítem, calcule el límite o explique por qué el límite no existe.

ln(x) − ln(y) . (x,y)→(1,1) x− y p y b) l´ım p p . (x,y)→(0,0) y− x a)

(1.5 pt)

l´ım

(1.5 pt)

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4. Sean f , g : R2 → R funciones tales que: • f (0, 1) = 0; 2 4 2 2 4 2 ∂f ∂f (x, y) = y2 e− x y + x y , (x, y) = 2x ye− x y + x y , • ∂x ∂y y • g(x, y) = para todo (x, y) ∈ R2 . sen ( f (x, y)) + 2

para todo (x, y) ∈ R2 ;

a) Calcule las derivadas parciales de g en el punto (0, 1).

(2 pt)

b) Pruebe que g es diferenciable en (0, 1).

(1 pt)

c) Encuentre el vector unitario v ∈ R2 para el cual el valor de la derivada direccional D v g(0, 1) es (1 pt) mínimo. 5. Sea m una constante y f (x, y) = x3 + mx2 y. El plano tangente a la gráfica de la función f en el punto (3 pt) Q es dado por P : 3x − y + 2z + 5 = 0 . Encuentre m y las coordenadas del punto Q . © ª 6. Sean D = (x, y) ∈ R2 : x > 0 y f : D → R la función definida por

f (x, y) =

q 3

(3 pt)

y2 ln(x)

Analice la diferenciabilidad de f en el punto (1, 0). San Miguel, 18 de octubre de 2018.

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Cálculo en Varias Variables Examen Final Semestre Académico 2018 -2 Horario: Todos.

Duración: 180 minutos. Elaborado por todos los profesores.

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1. Sea f : R2 → R una función diferenciable. Se sabe que ∇ f (1, 1) = (2, 3) y que el punto P = (−1, 1, 1) (4 pt) pertenece a la superficie ¡ ¢ S : z f x2 , y2 + cos (π xz) = 1 . Encuentre una ecuación del plano tangente a S en el punto P . 2. Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones: a) La función g : R2 → R definida por g(x, y) = 3x y − x3 − y3 + 1 posee exactamente un punto de (2 pt) máximo local (relativo). b) La función h : R2 → R definida por h(x, y) = x2 y3 + y2 − 2y alcanza un valor mínimo (absoluto). 3. Explique por qué la función f : K → R definida por

(1 pt) (3 pt)

f (x, y, z) = x + 2yz, © ª en el sólido K = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 , alcanza un valor máximo (absoluto) y calcule dicho valor. 4. Sea D ⊂ R2 la región determinada por las desigualdades:

y ≥ | x|,

x2 + y2 ≥ 4y,

x2 + y2 ≤ 6y .

a) Grafique la región D .

(1 pt)

b) Halle la masa de una lámina que cubre exactamente la región D , si su densidad en cada punto (3 pt) p (x, y) ∈ D es δ(x, y) = x2 + y2 . Ñ 5. Calcule la integral z dxd ydz, si Q es el sólido limitado por las superficies (3 pt) Q

S 1 : x2 + z2 − 2z − y = 0

y

S 2 : y + 2z = 4 . Página 1 de 2

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6. Sea Ω ⊂ R3 el sólido determinado por las siguientes desigualdades:

(3 pt)

x 2 + y2 + z 2 ≤ 4 , z ≥ 1. Calcule la integral

1

Ñ Ω

p

x 2 + y2 + z 2

dxd ydz. San Miguel, 06 de diciembre de 2018.

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Cálculo en Varias Variables Examen Especial Semestre Académico 2018 -2 Horario: Todos.

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1. La función f es dada por

y− x f (x, y) = ln p y− x µ

¶

(el dominio de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los cuales f (x, y) está bien definido) a) Haga un esbozo del dominio de f .

(1.5 ptos.)

b) Haga un esbozo del conjunto de nivel de f correspondiente al valor c = 0.

(1 ptos.)

c) Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto (0, 1, 0).

(1.5 ptos.)

2. a) Sea f : R2 → R la función definida por

(3.5 ptos.)

f (x, y) =

q 3

xsen2 (x + y) .

Analice la diferenciabilidad de f en el punto (0, 0). b) Analice la existencia del siguiente límite:

(1.5 ptos.)

x + y2 . p (x,y)→(0,0) x + y l´ım

3. Sea D ⊂ R2 la región determinada por las desigualdades

x2 + y2 ≤ 1,

x + y ≥ 1.

a) Explique por qué existe el valor máximo (absoluto) de la función f : D → R, definida por

(3 pt)

f (x, y) = x y + x , y calcule dicho valor máximo. b) Calcule el valor de la integral I =

Ï D

¡ ¢ x cos y2 dxd y.

(2 pt) Página 1 de 2

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4. Considere la superficie S : xz2 + yz − x = 2. Encuentre todos los puntos de S en los que el plano (3 pt) tangente a S contiene al eje X . 5. Calcule el volumen del sólido K ⊂ R3 limitado por las superficies

S1 : z =

p

1 − x2

y

(3 pt)

S 2 : y2 − z 2 = 0 . San Miguel, 10 de diciembre de 2018.

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