4to Año Trigomometria Iii.pdf

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Tema N° 01 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

MATEMÁTICA 4to/ Secundaria Julio Alex Ortiz Andrés

ANGULO TRIGONOMÉTRICO Sub área: TRIGONOMETRÍA Bimestre/ unidad: I – I

b) Ángulo recto

Sabías que… 1.1. 1.2. DEFINICIÓN Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial (llamado lado inicial) hasta otra posición final (llamado lado final), debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un mismo plano. Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación: 1.1.1. Sentido Antihorario

  90 

1 V 4

1 V  360 2

c) Ángulo llano

2. Los ángulos trigonométricas son ilimitados a diferencia de la geometría.

Lado Final



O

Lado Inicial O Vértice

Medida del ángulo trigonométrico  < -; + >

Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del ángulo será positivo.  es positivo 1.1.2. Sentido Horario

Vértice O



Lado Inicial

3. Para sumar o restar ángulos trigonométricos que no se pueden realizar a simple vista debemos procurar tenerlos en un solo sentido de preferencia antihorario para ello se recomienda el cambio de sentido.

B Lado Final Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo será negativo.  es negativo OBSERVACIONES

O

 A

Al cambiar el sentido del ángulo, este se vuelve negativo.

B 1. Ángulo de una vuelta Es aquel ángulo generado, cuando la posición inicial y final coinciden por primera vez, luego de cierta rotación lo denotaremos como: 1v. a) Ángulo de una vuelta

α = 360°=1v alexoblogpot.com

- A

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9. En el gráfico, calcular “y”.

Demuestra lo que sabes.

a) 6

(6x + 10)º

C

D

b) 14

1. Si un ángulo que es llano mide (10x + 20)°, ¿cuál es el valor de “x”? a) 11 b) 12 d) 8 e) 10

c) 16

d) 12 e) 16

(8y + 6)º

O

c) 10

(7x - 4)º

A

B

2. Si un ángulo recto mide (7x+ 6)°, ¿cuál es el valor de “x”? a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

ángulos trigonométricos mostrados.

3. Si un ángulo agudo mide 3x°, ¿cuál es el máximo valor entero que toma “x”? a) 17 b) 27 c) 28 d) 29 e) 89

4. Si un ángulo obtuso mide (5x + 10)°, ¿cuál es el máximo valor entero que toma “x”? a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

5. Si un ángulo obtuso mide (3x - 18)°, ¿cuál es la suma del máximo y mínimo valor entero que toma “x”? a) 112 b) 102 c) 114 d) 104 e) 96

6. Si un ángulo agudo mide (6x - 12)°, ¿cuál es la suma del máximo y mínimo valor entero que toma “x”? a) 8 b) 10 c) 12 d) 17 e) 19

7. En el gráfico,



OM

es bisectriz, calcular “x”.

b) 2

e) 6

d) –α –  e) N.A.

A

A

11. Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos. a) α + β +  b) α - β - 

B

A

x

c)  - α - β



e) α -  + β

D

12. Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados. C B

 x O

A

B C

c) 90° + 

(8x - 26)º

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

O

b) 90° -  d) -90° - 

d) 14

e) -180° + 

(5x + 10)º O



ángulos trigonométricos mostrados.

M

e) 16

C

d)  - β + α

a)  - 90°

B



13. En el gráfico, hallar “x” en función de los otros

a) 6 b) 7

B

O

e) -90° - α

 8. Si OM es bisectriz, calcular “x”.

c) 12



d) 90° + α

(7x + 3)º O

x

c)  – α

c) 180° + α

M

d) 4

b) α – 

b) α - 90°

(10x - 6)º

c) 3

C

a) α + 

a) 90° - α

B

a) 1

10. Del gráfico, señalar “x” en función de los otros

x A

 O

D

A

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19. Hallar “x “ del gráfico 14. Del gráfico, calcular “x”. a) 2

C

b) 4

(12 - 11x)º

c) 8 d) 12 e) 10

5xº A

O

a) b) c) d) e)

B

15. Del gráfico, calcular “x”. a) 3

360° -  -  360° +  +  360° -  +  180° -  -  180° +  + 

B

b) 4 c) 5

(9 - 9x)º

d) 6

(5x + 1)º

e) 7 O

Ahora, hazlo tú.

A

16. Del gráfico adjunto, halle “  ”.

1.

Si un ángulo recto mide (5x + 20)°, ¿Cuál es el valor de “x”? a) 12 b) 14 c) 26 d) 30 e) 32

2.

En el gráfico, OM es bisectriz del A O B . ¿Cuál es el valor de “x”? B a) 1

 o



 a) d)

180º 450º

b) 360º e) 540º

b) 2

c) 270º

(7x-1)°

c) 3 d) 4

17. Del gráfico, se cumple:

e) 5 3.



O

M

(6x+2)° A

Hallar “x”, en función de “” y “β”. a)  + β

a) b) c) d) e)

 +  = 360°  -  = 360° +  = 0°  -  = 360°  +  = 180°

18. Del gráfico se cumple:

a) b) c) d) e)

b)  - β

 +  = 180°  -  = 180°  -  = 180°  +  = 0° - - = 180° alexoblogpot.com

c)  - β

x

 

d) -  - β e) 2 - β 4.

Si un ángulo agudo mide (3x - 12)°, ¿Cuál es el máximo valor entero que puede tomar “x”? a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

5.

Si un ángulo llano mide (3x - 24)°. Hallar “x” a) 17 b) 56 c) 68 d) 38 e) 54

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9. 6.

Calcular: “ + α”

Halle “x” en función de “α”, “β” y “”. a) 90º a) β +  + α

b) 180º

b) β -  - α

c) 270º

c) β -  + α

 

d)  - β + α



d) 135º

 x



e) 150º

e) α -  - β 7.

10. Hallar “x” en función mostrados. a) β -  = 90º - x

Hallar “x” del gráfico mostrado. a) 90º + α

x



b) α - 90º

de

los

b) β +  + 270º = x c) β -  - 360º = x

c) 90º - α

d) β -  - 270º = x

d) 180º - α

e) β -  + 180º = x

ángulos

x 



e) - α - 90º 

8.

Hallar “x”, además OF es bisectriz. A

a) 32º b) 35º c) 34º

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O

3x + 40º 30º - 5x

F

d) 70º e) 50º

B

5

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Tema N° 02 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: I – I Julio Alex Ortiz Andrés

r

Sabías que… 2.1. SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS) El sistema divide el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales y a cada parte denomina grado sexagesimal, que es la unidad de medida angular. Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Notación Equivalencias Un grado sexagesimal = 1° 1°= 60’ Un minuto sexagesimal = 1’ 1’ = 60’’ Un segundo sexagesimal = 1° = 3600’’ 1’’

O

r



 = 1 radián

r

Observaciones: 1 rad. = 57°17’45’’ = 63º66m20s 1 rad. > 1° > 1g 2.4. RELACIÓN DE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Se tiene: S

C

R

1 vuelta = 360° 360° = 400g = 2π rad → 2.2. SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS) Se divide el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales y cada parte se llama grado centesimal. Cada grado centesimal contiene 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal, 100 segundos centesimales. Equivalencia Notación s Un grado centesimal = 1g 1g = 100m Un minuto centesimal = 1m 1m= 100s s Un segundo centesimal = 1 1g =10 000s

1 vuelta = 400g

2.3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL) Este sistema tiene por unidad el radián (1 rad), que es la medida de un ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia que contiene el arco. Notación

Equivalencias 1 vuelta = 2 rad. π = 3,14

Un radián = 1 22 π= rad. 7 π= 3 2 alexoblogpot.com

S C R   360 400 2π S C R   180 200 π

S C R   K  180 200 π

S  180K  C  200K R  πK 

Pero tambien puede ser:  S  9K S C 20R     K  C  10K 9 10 π  π R  K  20

………… (1)

…………. (2)

2.5. RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL. S C Sabemos que: , simplificando se  180 200 obtiene: S C  9 10

S: # de grados sexagesimales

a b  27 50

a: # de minutos sexagesimales

p q  81 250

p: # de segundos sexagesimales

C: # de grados centesimales

b: # de minutos centesimales

q: # de segundos centesimales [email protected]

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4.

Si se cumple que: 36° = Ag y 60g = B°; entonces el valor de M = 3B – 4A, es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5.

Al

2.6. CONVERSIONES De un sistema a otro. De sexagesimal centesimal

a

De centesimal sexagesimal

a

De sexagesimal a radian De radian a sexagesimal

10 g 9 9 10g

π rad 180 180 π rad

6.

Si (x + 24)° = (x + 60)g; entonces el valor de “x”, es: a) 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300

De centesimal a radian

π rad 200 g

De radian a centesimal

200 g π rad

7.

Si se cumple que:

Sistema centesimal

8.

Si 6xg = (5x + 4)°; entonces el valor de “x”, es: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

En un mismo sistema. Sistema sexagesimal Grados a minutos Minutos a segundos Grados a segundos Segundos a grados Segundos a minutos

60I 1

100 m 1g 100 s 1m 10000 s 1g

60" 1I

3600" 1 1 3600"

9.

1g 10000 s

1 60" 1 60I

1 100 s

1g 100 m

Demuestra lo que sabes.

2.

Al expresar 54° en el sistema francés; se obtiene: g g g a) 54 b) 60 c) 63 g g d) 70 e) 72 Al expresar

π rad en el sistema centesimal, 4

se obtiene: g a) 40 g d) 50 3.

Al resolver a) 1,2 d) 4,8

g

b) 36 g e) 70

g

c) 45

45  30 g , se obtiene: π rad 9 b) 2,4 c) 3,6 e) 5,4

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2S - 9 C  4 ; entonces  3 2 la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal, es: a) 30° b) 36° c) 45° d) 48° e) 54°

Al reducir la expresión: E  2R  π10S9C , se obtiene: a) 0 b) 1 c) π d) 9 e) 10

10. Si se cumple que: S = 2(n + 1) y C = 3n – 4; entonces la medida del ángulo expresado en radianes, es: π π π a) b) c) rad rad rad 5 8 6 π π rad rad d) e) 12 10

m

I

Minutos a grados

1.

reducir la expresión: π 2C  S 2C - S  , se obtiene: P 400R 2 a) 319 b) 309 c) 303 d) 296 e) 285 2

11. Al reducir la expresión U  obtiene: a) 10 d) 100

b) 40 e) 120

C



- S2 π 2 ; se 76R 2

2

c) 80

1 1 19 ; entonces la   S C 72 medida del ángulo en radianes, es: π π π rad a) b) c) rad rad 15 25 20 π π rad d) e) rad 10 5

12. Si se cumple que:

13. Si α  1  2  3  4  ...  360  , entonces “α” en radianes, es: a) 359π rad b) 360π rad c) 361π d) 362π rad e) 720π rad

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2C  S 5π  9R ;  2C - S 5π - 9R

14. Si se cumple que:

entonces la medida del ángulo expresado en radianes, es: π π π rad rad a) b) c) rad 2 4 5 π π d) e) rad rad 10 9 15. Si los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12°; entonces la medida del menor de dichos ángulos expresado en radianes, es: π 2π 4π rad a) b) c) rad rad 15 15 15 π π rad d) e) rad 4 5 16. Del gráfico; el valor de “x”, es: a) 3 b) 4

25(x+1)g

c) 5 d) 6 e) 7

 xπ    rad  15 

(13x+10)°

17. El valor de K = a) 23 d) 71 18. El valor de K = a) 21 d) 21,5

1 2´ 2 3´ + , es: 3´ 2´ b) 61 c) 62 e) 72

1g10 m

2 g 30 m 20 m 10 m b) 20,5 e) 33,5

22. Si se cumple que: S = 3x2 + x – 8 y C = 2x2 + 5x + 5, entonces la medida del ángulo en el sistema radial, es: 5π 2π 4π a) b) c) rad rad rad 2 5 3 3π π d) e) rad rad 4 9 23. Si “a” es el número de minutos sexagesimales y “b” el número de grados centesimales que tienen un mismo ángulo; entonces el valor de a - 5b E= , es: b a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8





24. Si se cumple que: α  14  4x  x 2 ; x  IR entonces el máximo valor que puede tomar α, es: π π π rad a) b) c) rad rad 10 20 30 π π rad d) e) rad 2 5 o

+

CS1

c) 22,5

19. Si se cumple que: S = x2 – 1 y C = 9x – 2, tal que x ϵ Z; entonces el número de radianes contenidos en dicho ángulo, es: 8π 7π 6π rad rad a) b) c) rad 25 20 25 7π 4π rad d) e) rad 15 9 20. El mayor valor de un ángulo expresado en grados sexagesimales tal que cumpla la R π 3  5 , es: siguiente condición: 2 π R a) 495° b) 450° c) 405° d) 360° e) 315°

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21. Si “S” es el número de grados sexagesimales de un determinado ángulo que cumple: 18 4  S  3 ; entonces la medida de dicho 4 S ángulo en radianes, es: 9π 8π 7π rad rad rad a) b) c) 15 15 20 5π 6π rad d) e) rad 18 25

 2S C   1;  9  10  1 entonces la medida de un ángulo expresado en radianes, es: π a) π rad b) 0 rad c) rad 10 π rad d) 1 rad e) 2

25. Si se cumple que:





S 5 C 5 5R 5    2 S 4  C 4  R 4 entonces 36 40 π la medida del ángulo expresado en radianes, es: 3π 2π 4π rad a) b) c) rad rad 10 5 5 5π 2π rad d) e) rad 4 9

26. Si:

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8. Si la suma de los números de grados

Ahora, hazlo tú. g

1. El

equivalente de 40 sexagesimal, es: a) 18° b) 27° d) 45° e) 54°

en

equivalente de 15° en internacional, es: π π a) rad b) 12 10

π 4

e)

sistema c) 36°

2. El

d)

el

el

sistema c)

π 6

π 3

g

3. El equivalente de 50 en el sistema circular, es:

centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 5, como 19 es a 3, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 10° b) 15° c) 18° d) 21° e) 24°

9. Si los números que representan la medida de un ángulo en= los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos; entonces dicho ángulo expresado en radianes, es: π π π a) b) c) rad rad rad 30 20 10 π π rad d) e) rad 2 5

10. El

valor de g I , es: φ  360  200  90  50  2230  .... a) 4π rad b) 5π rad c) π rad d) 2π rad e) 34π rad g

a)

π rad 6

b)

π 5

d)

π 3

e)

π 2

4. El valor de P =

c)

π 4

11. Señale la medida circular de un ángulo que

55I 5I

a) 60 d) 71

, es: b) 61 e) 51

c) 62

π rad  40 g 3 5. Hallar: E = 8 a) 10 d) 14

6. Al simplificar E =

cumple: 2S - C + 20R = 11,1416; Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ángulo. ( = 3,1416) π π π a) rad b) c) 20 10 5 π π d) e) 40 60

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b) 12 e) 16

c) 13

C2  S2  2 , se obtiene: SC  S

a) 1 d) 0

b) 1/3 e) 4

c) 1/2

7. Si S, C y R representan el número de grados sexagesimales, centesimales y radianes para un mismo ángulo (no nulo) respectivamente; entonces le valor de R en 2

 10R  S 2  C 2  10  S  C  2  , es:  π  π π π a) b) c) rad rad rad 13 10 3 π π rad d) e) rad 2 15

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Tema N° 03 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

LONGITUD DE ARCO DE UNA CIRCUNFERENCIA MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: I – II Julio Alex Ortiz Andrés EJEMPLO: 02 Determine el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud 4m, y la amplitud del ángulo es 0,5 radianes. RESOLUCIÓN

Sabías que… 3.1. SECTOR CIRCULAR. Se denomina Sector Circular a la figura que es parte del círculo limitado por dos radios y un arco.

O

4m m

L

rad B

A

Sector Circular AOB =

3.3. ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR. Es la medida del área de un sector del círculo expresado en unidades lineales al cuadrado (cm2, m2, km2,….). Para hallar el área de un sector circular se utilizará las siguientes fórmulas:

AOB

3.2. LONGITUD DE ARCO. Es una de las muchas aplicaciones del radián como unidad angular, que se utiliza para calcular la medida de un arco en unidades lineales. A

0    2

B

S

1 2 θr 2

S

1 Lr 2

r

L

r

θ

O

B

 rad

r

L=r

r A

Donde: L: Longitud de arco r : Radio de la circunferencia : Número de radianes del ángulo central que subtiende el arco AB.

Notación:

EJEMPLO: 01 Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 30° en una circunferencia de 18 cm de radio. RESOLUCIÓN

 = 30°. π rad 180  π θ rad 6 Sabemos que:

O

18 cm 30º

18 cm

L = r π L= .18 6 L = 3 cm

S

AOB

S

1 L2 2 θ

= Área del Sector Circular

EJEMPLO: 03 Calcular el área de un sector circular cuyo radio mide 6cm y su ángulo central mide 60°. RESOLUCIÓN  = 60°  = 60°. π rad

mAOB = 30° = 

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rad

0 El perímetro del sector AOB será: perim = r + r + L perim = 4 + 4 + 2 perim = 10m

A Notación:

4m

B

B O

A

L = r. L = 4.(0,5) L = 2m

A L B

180 π θ  rad 3

Sabemos que:

1 2 θr 2 1 π S    62 2 3 S  6cm 2

S

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3.4. ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR. Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos, cuya área es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir:

Demuestra lo que sabes. 1.

Si el ángulo central de un sector circular mide 20° y su radio 9m; entonces la medida del arco de dicho sector, es: a) π m b) 2π m c) 3π m d) 4π m e) 5π m

2.

En la figura, el valor de “x”, es:

d

ATC

b

 rad

a

B

a) 1 b) 2 d

O

A TC

(2x +1)m

c) 3

C

d) 4

ab  .d  2 

O

(3x +4)m

2 rad

e) 5

Donde: ATC = Área del trapecio Circular.

3.

A

Del gráfico, el valor de “L”, es:

π m 8 π m b) 6 π m c) 4 π m d) 2 a)

Además: θ

ab d

EJEMPLO: 04 Calcular el valor del área del trapecio, y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada.

4r O

45°

2π m

L

r

e) 1 m 4.

De la figura, el valor de

2m

S1 , es: S2

a) 3/4 b) 5/8 3m

 rad

4m

S1

c) 2/5 d) 1/6

2m RESOLUCIÓN a = 4; b = 3 y d = 2

ab y θ d

 ab   .d  2 

 43 A TC   .2  2   A TC  7m2 y

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S2

2α

e) 1/8 5.

De la figura, el valor de “x”, es:

B

a) 1

Se sabe que:

A TC

M

α

y θ

θ

43 2

1 rad 2

2x m

b) 2 c) 3 d) 4

O

π rad 2x

3π m2

e) 5

A

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6.

Del gráfico, el valor de “S”, es:

11. Del gráfico, el valor angular de “θ”, es:

a) 11m2 12m

b) 22m2 c) 33m2

O

S

45°

d) 44m2 e) 55m2 7.

4m Si en la figura: AOB y CAD son sectores circulares; entonces el valor de L1 + L2, es: A

a)

5π m 14

b)

3π m 14

B A

2L 3L

D

2π m c) 7 3π m d) 7 5π m e) 7

 rad

O

C

12. En la figura, el área de la región sombreada, es: C

D L2

a) π m2 O

C 24m

a) 4 π m d) 7 π m 8.

b) 5 π m e) 8 π m

B

c) 6 π m

c) 3π m2 d) 4π m2

a) 4

b) 2/3

b) 5

d) 4/5

O

B

13. Del gráfico; el valor de

a) 4/3

c) 2/5

72°

e) 5π m2

S2 , es: S1

Del gráfico, el valor de

5m

b) 2π m2

L1

30°

A

 rad S1 3m S2

5m

c) 6

r

3

E

2

C

4

O

d) 7

e) 1/3

L , es: r

D

A

L

14

F

e) 8

D B

9.

En la figura, el valor angular de , es:

14. En la figura. Si AB = BD = 2 2m ; además BAC es un sector circular; entonces el área de la región sombreada, es:

2m

a) 1 b) 2 c) 3

 rad

2m

4m

b) 2–

d) 4

c) 4–

e) 5 2m

d) 4 2 –

10. Del gráficos, el valor de “x”, es:

e) 8–

x

a) 1 b) 2 c) 3

a) 2 2 –

15. Del gráfico, el valor angular de “”, es:  rad

d) 4

X – 1 9u2

X+1

a) 18°

x

c) 30° d) 36° e) 48°

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C

b) 24°

e) 5

5

O

A



 D

 5 B

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16. En el gráfico, Si AC = 6m, entonces la medida del arco AB, es:

3.

El valor de “L” en el esquema mostrado, es: a) 5

a) 2/5

b) 7

b) 2/7

c) 9

c) 2/9

d) 10

d) 

e) 12

e) NA 17. Del gráfico, el sombreada, es:

perímetro

de

la

región

4.

Determine la longitud de arco de un sector cuyo ángulo central mide (x/3) rad y su radio mide (6x) m; sabiendo además que el perímetro de este sector es de 110m. a) 110 m b) 30 m c) 40 m d) 50 m e) 60 m

5.

En la figura mostrada, determine el valor de “L” sabiendo que el trapecio circular ABCD tiene 72 m2 de área.

A

a) 3( + 1)

C

b) 3( + 2) c) 2( + 1)

6

d) 2( + 2) e) 2( + 3)

B

a) 1m

18. Hallar en grados sexagesimales la medida del ángulo central de un sector circular, sabiendo que la raíz cuadrada de su área es numéricamente igual a la longitud de su arco. a) /90 b) /180 c) /6 d) 2/3 e) 3/2

b) 2m

O

6

c) 3 m d) 4m e) 5 m 6.

En el esquema mostrado determine el área de la región sombreada. a) 222 b) 34 2

Ahora, hazlo tú. 1.

c) 542 d) 442

De la figura, el perímetro del sector circular AOB, es:

e) 642

a) 16 b) 18 c) 20

7.

De la figura, Si BD = h y DOC =  radianes; entonces el área del trapecio circular ABCD, es:

d) 22 e) 24 2.

Del esquema mostrado, el valor de “L”, es: a) 33m b) 7m c) 9m

a)

αh2 4

b)

αh2 2

d)

αh 2 16

e)

αh 2 4

d) 5m e) 10m

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c)

αh2 8

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8.

Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5m a su radio, se obtendrá que el sector resultante tiene un área que es 49 veces el área del sector inicial. Determine el radio del sector resultante. a) 1 m b) 3 m c) 5 m d) 7 m e) 9 m

9.

Si: S1 + S2 = 7 u2, entonces el valor de “x”, es:

3.5.2. Rotación de una rueda sobre una superficie circular. Cuando una rueda (aro, disco, etc) va rodando exteriormente sobre una superficie curva.

a) /3 b) /4 c) /5 d) /6 e) /8

n

αR  r  2π r

Sabías que… 3.5. APLICACIONES DE LONGITUD DE ARCO. 3.5.1. Rotación de una rueda sobre un plano. Analicemos la siguiente situación: tenemos una rueda que rodará desde la posición “A” hasta “B” recorriendo una longitud “L”

Cuando una rueda (aro, disco, etc) va rodando interiormente sobre una superficie curva.

r i) Al dar una vuelta la rueda barre la longitud de su circunferencia, es decir: 2 π r. ii) Si da “n” vueltas la rueda barrerá una longitud de “n” veces su circunferencia, es decir: (2 π r)n entonces:

L  2π r n

o también:

n

L 2π r

Donde: L: longitud de arco barrido por la rueda. r: radio de la rueda n: número de vueltas que da la rueda alexoblogpot.com

n

αR  r  2π r

3.5.3. Rotación en un sistema de rueda. a) Ruedas unidas por fajas tangenciales o en contacto. Para un sistema de ruedas que están en contacto con una misma faja o que están en contacto entre ellas, se cumple que la longitud de arco barrido en un instante de tiempo es la misma. Observamos los siguientes casos:

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Demuestra lo que sabes.

θ2 θ1

1.

El número de vueltas que realiza la rueda de radio r = 20cm al recorrer el tramo AB, es:

θ2 r θ1 A θ1

θ2

a) 40 d) 48

b) 42 e) 50

c)45

2.

Si se tiene 2 monedas colocadas sobre una mesa, una fija de radio “4r” y otra móvil de radio “r”; entonces el número de vueltas que da la moneda móvil al recorrer completamente a la otra moneda, es: a) 10 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4

3.

Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 2 a 3. Si la rueda mayor da 8 vueltas; entonces el ángulo que barre la rueda menor, es: a) 4320° b) 4040° c) 3820° d) 3800° e) 3750°

4.

Las ruedas mostradas de la figura. Si se acercan hasta estar en contacto dando la mayor una vuelta y la menor 3 vueltas; entonces la distancia que las separaba

Se cumple: 1r1 = 2r2 n1r1 = n2r2

b) Ruedas con un eje común (Unidos por el centro). Cuando las ruedas están conectadas por un mismo eje (por sus centros) entonces el eje transmite un mismo giro a ambas ruedas. Es decir que las ruedas barren ángulos iguales (o dan el mismo número de vueltas)

B

18πm

inicialmente, es: (Tomar: π 

22 ) 7

9 cm 4 cm

A Se cumple que: 1 = 2

a) 180cm d) 160cm

x b) 175cm e) 144cm

B c) 172cm

n1 = n2

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9. 5.

El número de vueltas que realizará la rueda de radio r = 1cm para ir desde A hacia C pasando por B, es:

Calcular la longitud de arco recorrido por “A”, si la longitud de arco recorrido por “C” es 12. (RA = 1; RB = 4; RC = 3)

C A

7cm

r B 9cm

a) 12 d) 15 a) 6 d) 12 6.

b) 8 e) 15

c) 10

Si el perímetro del triángulo equilátero mostrado en la figura es de 44cm, entonces el número de vueltas que da la rueda de radio r = 1cm al recorrer completamente el triángulo, 22 es. (Tomar: π  ) 7

b) 13 e) 16

c) 14

10. Si una rueda de radio a metros necesita girar “n” vueltas para recorrer una distancia igual a b π metros. ¿Cuántas vueltas debe dar otra rueda de radio recorrer 1 a) n 1 d) 4n

b metros para

a π metros? 1 2n 1 e) 5n b)

c)

1 3n

11. Del sistema, el número de vueltas gira la rueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas, es:

r

a) 11 d) 12 7.

c) 10

En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B; cuando A gira (2n – 4), B gira (3n + 4) vueltas. Hallar “n”.

a) 5 d) 12 8.

b) 8 e) 9

b) 7 e) 17

c) 10

Si se tiene dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5; entonces el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas, es: a) 4 b) 5 c) 10 d) 20 e) 40

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a) 15 d) 42

b) 25 e) 45

c) 30

12. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x +1) m y (x-1). Si la rueda mayor da (x-2) vueltas y la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en total darán las dos ruedas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Una bicicleta recorre 40 cm. Si los radios de sus ruedas miden 2cm y 5cm respectivamente. Calcular la suma del número de vueltas que dan dichas ruedas. a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20

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5.

Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “r” al recorrer el circuito desde A hasta B.

Ahora, hazlo tú. 1.

Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se encuentran en la relación de 5 a 2. Determine cuántas vueltas dará la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 2r/R d) 2R/r

b) r/2R e) R/r

c) R/2r

6. 2.

De la figura mostrada determinar cuántas vueltas da la rueda de radio “r” sobre la pista circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB (R = 9r).

¿Cuántas vueltas da la rueda en ir desde “A” hasta “C”?, sabiendo que AB= 13m.

a) 1,5 d) 4,5 a) 1 d) 2,5 3.

b) 6 e) 9

c) 3,5

c) 2

Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por un camino circular de radio “R”, como se muestra en la figura. Calcular cuántas dará hasta que llegue a su posición inicial. (R=5r)

a) 5 d) 8 4.

b) 1,5 e) 3

b) 2,5 e) 5,5

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c) 7

En el sistema adjunto cuando el engranaje de menor radio gira 1.25 vueltas, ¿cuál será la distancia entre los puntos “A” y “B”, si inicialmente están diametralmente opuestos.

a) 4

b) 6

d) 2 13

e) 2 15

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c) 2 11

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MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA II BIMESTRE CUARTO GRADO DE SECUNDARIA

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PROGRAMACIÓN III UNIDAD ”

Bimestre: II

Área: Sub área: Matemáticas Trigonometría Grado y sección: Nivel: 4to “A” – “B” Secundaria Docente: Julio Alex Ortiz Andrés CONTENIDOS

DOMINIOS / ESTÁNDARES / COMPETENCIAS

I.E.P. “

MEDIOS

TT: Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental. UNIDAD 03 “Protegemos y conservamos el medio ambiente para asegurar el desarrollo sostenible del planeta”. Temporalización: (Del 27 de abril al 29 de mayo) 4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. 4.1. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. 4.2. Razones trigonométricas recíprocas. 4.3. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. 4.4. Casos que se presentan en la resolución de triángulos rectángulos. 4.5. Razones trigonométricas de ángulos especiales o notables. 4.6. Aplicación de triángulos rectángulos. 4.6.1. Ángulos verticales. 4.6.2. Ángulos horizontales. P:

CAPACIDADES - DESTREZAS  CA9: Matematiza  Representa  CA10: Comunica y representa  Resuelve  CA11: Elabora y usa  Aplica  Identifica

DO3 – ES6 – ES7 – CO3

MÉTODOS DE APRENDIZAJE

I1. Identifica las razones trigonométricas de un ángulo agudo. I2. Aplica las razones trigonométricas para determinar longitudes y medidas angulares; los triángulos notables para resolver triángulos rectángulos. I3. Calcula el valor de las razones trigonométricas de un ángulo agudo. I4. Representa gráficamente los ángulos de elevación y depresión. I5. Resuelve ejercicios tomando en cuenta las definiciones de las funciones trigonométricas y ángulos notables.

OBJETIVOS

VALORES Y ACTITUDES

 VALOR: Orden  Mostrar hábitos de higiene y limpieza.  Mostrar orden en los materiales.  VALOR: Respeto  Escucha con atención.  VALOR: Responsabilidad  Cumple con los trabajos asignados.

 CA12: Razona y argumenta  Calcula

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Tema N° 04 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: II – III Julio Alex Ortiz Andrés I1 – I2 – I3 – I4 – I5 Ejemplo: 01 En un triángulo ABC (recto en A), se cumple: cotC+ cotB=4. Calcule: M = 16senB.senC.cosB.CosC.

Sabías que… 4.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO. Es el valor que se obtiene al comparar por cociente las longitudes de 2 lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. Dado el ∆ rectángulo ABC (recto en B) las razones trigonométricas (R.T.) de un ángulo agudo que se obtienen son:

a b a c b c ; ; ; ; ; c c b b a a C

RESOLUCIÓN C

Por teorema de pitágoras:

a

B

b

c

A

Por dato del problema: cotC + cotB = 4

b c  4 c b 2 2  b  c  4bc  a 2  4bc 

Teorema de Pitágoras.

b2  a2  c 2

b

c b a 2

c

B

Luego:

a2  b2  c 2

a

2

M = 16senB.senC.cosB.CosC

 b  c  c  b  M  16      a  a  a  a   b 2 .c 2  M  16 4   a   b2c 2   M  16 2 2   16b c 

2

A

Donde “a” y “c” son los catetos y “b” es la hipotenusa. Nota: Una razón trigonométrica es el valor real de un ángulo mediante una ley o regla llamada Función Trigonométrica (F.T.) Las funciones trigonométricas son seis, y se tiene en el triángulo ABC dado: Funciones Trigonométricas

M  1 Ejemplo: 02

En un triángulo rectángulo ABC si: TanC  Notación

Definición

R.T a b c b a c c a

Sen(A)

cateto opuesto hipotenusa

Cos(A)

cateto adyacente hipotenusa

Tangente

Tan(A)

cateto opuesto cateto adyacente

Cotangente

Cot(A)

cateto adyacente cateto opuesto

Secante

Sec(A)

hipotenusa cateto adyacente

b c

Cosecante

Csc(A)

hipotenusa cateto opuesto

b a

Seno Coseno

b2  c 2  a2

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5 12

y a – c = 21. Hallar el perímetro del triángulo RESOLUCIÓN A b = 13k

C

a = 12k

5k = c

a – c = 21 7k = 21 k=3

B

Se pide: Perímetro = 5k+12k+13k Perímetro = 30k Perímetro = 30(3) Perímetro = 90

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4.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS. El producto de 2 razones trigonométricas recíprocas o inversas multiplicativas es igual a la unidad si y solo si están aplicadas a un mismo ángulo. SenA . CscA = 1

4.4. CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. Si se conoce un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y uno de sus lados se puede calcular con facilidad los otros dos lados para ello aplican las siguientes observaciones o casos: CASO I: Si el lado conocido es la hipotenusa

CosA . SecA = 1 TanA . CotA = 1

m

m Ejemplo: 03 Si Sen4x.Csc(x + 30°) = 1. Hallar el valor de “x” RESOLUCIÓN

sen4x.csc(x + 30º) = 1

m sen





m cos CASO II: Si se conoce el cateto opuesto al ángulo conocido

estos ángulos deben ser iguales

4x = x + 30° 3x = 30° x = 10°

m csc

m

4.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. Toda razón trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la co-razón trigonométrica del complemento de dicho ángulo. Es decir:

m





m cot CASO III: Si se conoce el cateto adyacente al ángulo conocido

SenA = CosC TanA = CotC SecA = CscC

m sec m tan 

Siempre y cuando:



m

m

C

Ejemplo: 05 Del gráfico, halle “x”, en términos de “”. A + C = 90°

b

a



3

B

c

A 2 x

Ejemplo: 04 Si Sen4x = Cosx. Hallar el valor de “x” RESOLUCIÓN3Sen RESOLUCIÓN sen4x = cosx 4x + x = 90° 5x = 90° x = 18°



3



2  2Cos

x

 x  3Senα  2Cosα alexoblogpot.com

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Ejemplo: 06 En la figura, halle “x” en términos de ””, “  ” y “m”.



Tanα Tanθ

5. Del gráfico, calcular E 

C

a) 2 b) 3

13

5

c) 4 X

d) 5



e) 6 m

α

θ A

B

M

A

RESOLUCIÓN

6. De la figura, calcular: P 

Cscβ - Tanβ Cotβ - Secα

C

a) 1,8



b) 2,2

X

α

c) 2,4 

8

d) 2,5 xctg

xtg

m

β

e) 2,8

9

A

Del grafico:

xCtgα  xtgβ  m

A 7. De la figura, calcular: Q3

x Ctg  tg  m



x  mctgα  tgβ 

B

Senα  Cosθ 5

D

a) 0,2

1

6

M

b) 0,3

Demuestra lo que sabes. B

e) 0,6

b) 3 c) 4

a+1

a–1

C

25 α

A

24

B

8. Del gráfico; hallar “x” en términos de “a” y “α”.

a) aSenαTanα

d) 5 e) 6

θ

d) 0,5

1. De la figura, Calcular: E = Tanα + Secα

a) 2

15

c) 0,4

C

b) aSenαSecα

4

C

A

2. En un triángulo ABC, recto en B, se cumple 5 que CotA  . Hallar M = SenA – SenC. 12

a) 3/13 d) 9/13

b) 5/13 e) 11/13

c) 7/13

b) 9° e) 15°

d) aCosαCotα

α

e) aSecαCscα

A

C θ

b) a(Cscθ – Cotθ)

c) 3

y

a

c) a(Secθ – Tanθ) d) aCscθ – Secθ) A e) a(Cotθ – Tanθ)

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B

a) a(Tanθ – Cotθ)

c) 10°

4. Sabiendo que: Tan(x + y) = Cot 40°

Sen(x – y)Csc30° = 1. Hallar x/y. a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

a

x

9. Calcular “x” en términos de “a” y “θ”

3. Si: Sen(4x + 12°) = Cos(3x + 8°). Calcular “x”.

a) 8° d) 12°

H

c) a CosαCscα

θ x

H

B

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10. En un triángulo, recto en C, se cumple que: 4 SenA  SenB  . Calcula E  CotA  CotB 9

a) 0,25 d) 1,5

b) 0,5 e) 2

18. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es al producto de los catetos como 13 es a 6. Hallar el valor de la tangente del menor ángulo de dicho triángulo. a) 1/4 b) 4/3 c) 2/3 d) 3/2 e) 3/4

c) 1,25

11. En el gráfico, calcular “Tanα”

B

a) 2/3

Tan  

19. En la figura, si

3 ; entonces el valor de 7

Cot  Csc , es:

b) 3/2

α

2

M

a) 4/5

c) 3/4

b) 3/5

d) 4/3

c) 2/3

A

C

13

e) 1/2

B 10 58

d) 5/4 e) 5/3

α

θ

A

C

86

12. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 20. En la figura, calcular el valor de “Cotα”

el triple del cateto menor. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 2 e) 4

B

14. Al

reducir

W

b) 1 e) Cot40° la

siguiente

b) 1 e) Cot84°

G

c) 4/5 F

d) 2/9

c) Tan20°

e) 3/7 D

A

expresión

Sen25  Tan35  Sec24 se obtiene: Cos65  Cot55  Csc66

a) 0 d) Tan84°

C

α

b) 3/4

13. Al simplificar la siguiente expresión se W  Sen20  Tan40  Tan50  Sec70 ,

obtiene: a) 0 d) Sec20°

E

a) 2/5

21. Del gráfico, calcular el valor de “Cotθ”

c) 2

(O y O1: centros) a) 2 A

15. En un triángulo rectángulo, el perímetro es

igual a 90cm y el coseno de uno de sus ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo. a) 13 b) 26 c) 52 d) 39 e) 65

b)

2 2

c)

2 4

O1

d) 2 2 16. Del gráfico, hallar W = Tan2θCotθ

e) 4 2

E

a) 1 b) 2

B

2θ A

F

D

1 3θ

c) 2,5

Ahora, hazlo tú.

d) 3 e) 4

θ

O

1. B

17. En un triángulo rectángulo ABC, se cumple 3  CotA que SenA  . Hallar el valor de U= CscC

TanA + TanC. a) 1 d) 4 alexoblogpot.com

b) 3 e) 1,5

a) 1/3 d) 3/7

C

4

c) 5

Si: SecA =

2.

2SenA - 3CosA 13 , calcular: E = 4SenA - 9CosA 5

b) 3 e) 11/3

c) 7/3

Si “α” es agudo, además: 3Tanα – 2 = 0. Hallar: E = Senα.Cosα a) 6 b) 6/5 c) 6/13 d) 2/13 e) 5/13

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3.

Si Csc =

3 2

y Cosα =

7 . 5

Sabías que…

Hallar E = 3(Tanα.Cot + Cos.Secα) a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 4.

En un triángulo ABC, recto en “A”, reducir: 1 CosC 2 E = a  b  2bc 1- CosC a) a2 b) b2 c) c2 d) ab e) bc

5.

Si: tan26°.sen3x = cot64°.cos(x + 10°) 2 Calcular: C = tan(2x + 5°)tan 3x a) 1 b) 3 c) 6 d) 3 3

6.

4k

x

17 k

d) m(tanα - 1)

8.



76°

k

14° 4k

m D

)

6- 2 k

4  2 2 k 67,5°   2  1 k   22,5° k k

B

c) m(cotα- 1)

(

15°  6  2  k  

c) 11

b) m(cosα - 1)

e) m(secα - 1)

45°

75°

Determine el perímetro del triángulo mostrado: a) m (1 + sen + cos)

c) m (1 + cot + csc)

72°

18° 10  2 5



b) m (1 + tan + sec)

3k 37° 4k

k

5 K 63,30° k

25k

26,5° 2k

16°

 5  1 k  

10 k 71,5° k

k

18,5° 3k

7k 5 5 k 79,5° 2k

4k

74° 7k 24 k

5 2 k 82° 8°

53°

5k k

362 k

87°

k

3°

10,5° 11 k

C 4k

45°

k 2

k

30° k 3

π  π  Si: Sen  Tanx  =Cos  Cotx  6  6 

Si ABCD es un cuadrado, hallar “x”. a) m(senα - 1) A

60°

2k

3

e)

Calcular: C = tan2x + cot2x a) 7 b) 9 d) 5 e) 3 7.

4.5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O NOTABLES. Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados.

19 k

36°

 5  1 k  

54°

k

10  2 5

k

m

d) m (sen + cos) e) m (sec + csc) 9.

Determine AB en el gráfico: a) m(tg - tg)

D

b) m(ctg - ctg)



c) m(ctg - tg)

m

d) m(tg - tg) e) m(ctg - ctg)

A

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 B

C

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Ejemplo: 01 Hallar el valor de E = sen230º + tg37º

5.

De la figura; Hallar a/b a)

RESOLUCIÓN 2

 1 3 E   4 2 1 3 E  4 4 E 1

b) c)

Ejemplo: 02 Hallar el valor de E 

d)

sen 2 45ºcos60º csc30º

e)

RESOLUCIÓN

2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 A 5 5 2 3

C a

b

37°

45°

B

D

C

2

 2   1  2  2  E  2 2 1  E 4 2 2 1 E 2

6.

En la figura; Hallar PQ a) 2 2

38

b) 5 2 c) 6 2

Q

d) 8 2 74°

e) 10 2

Demuestra lo que sabes.

7.

A

4

45°

B

P

Del gráfico, Hallar AP a) 12 B

1.

Siendo

A

=

sen30°

+

Tan245°

y

b) 14

B  Sec60 2Csc30 . Hallar A + B

a) 3 d) 6 2.

3.

4.

b) 4 e) 7

P

c) 15

c) 5

10 23°

d) 16

Si Tanα  2 (α es agudo). Hallar el valor de E = 2Secα Cscα a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

37°

e) 18

8.

De la figura; calcular AE

Tan5x  8  Cot 2x  2 ; hallar el valor de M  Tanx  3  Tan5x

a) 10 6

a) 1 d) 4

b) 10 3

Si

b) 2 e) 5

c) 3

C

A

Cotα

E D

c) 8 6

De la figura; hallar Cotα a) 1/2

d) 6 3 b) 2/3

α e) 4 6

c) 3/2 d) 1/3 e) 1

30° 45° 37° A 12

C

B

37°

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9.

15. De la figura, hallar “Tanθ” a) 24

Del gráfico, Hallar BC B

a) 12

b) 28

b) 14 c) 15

d) 32

10

8

e) 36

d) 16 e) 17

θ

37°

c) 30

60°

37°

Tan3x  20Sen62

C

A

10. Si: Tan3αTan2β = 1; Cos2αSec(3β – 5°) = 1. Hallar el valor de N = Sen2(α + β – 5°) + Tan23β a) 0,25 b) 0,5 c) 0,75 d) 1 e) 1,25

16. Si

2Cos28Cos45Cot5x  30

 1.

Hallar

E  Sen4x  Cos5x

2 e) 2 2

a) 1

b)

d) 0

c) 2

11. Del gráfico; hallar BC 17. Del gráfico; hallar AB (O: centro)

A

a)

2

b)

2 +1

b) 30

c) 2 2 + 1 d)

2 –1

A

a) 35

O

20

c) 25

1

O

d) 20

e) 2 2 + 2

e) 15

45°

B

C

37°

B

C

12. Del gráfico; hallar BP en términos de “a” y “θ” a) b) c) d) e)

a Senθ  Cosθ a Senθ  Cosθ a Cosθ  Senθ a  Tan  Senθ  Cosθ a  Cot  Senθ  Cosθ

A

Ahora, hazlo tú.

a

1. Calcular: C = (6tan16° + tan37°) sec260° a) 8 b) 5 c)10 d) 16 e) 20

P θ

B

45°

C

2. Calcular: L  a) 4/7 d) 6/7

13. De la figura; hallar Tanα

3. Hallar a) 1,5

el

valor

simplificado

de:

E  Sen 2 30  Sec60  Tan37  Cos30

b) 1,25

a)

c) 0,75

3 2

d) 3

d) 0,5 e) 0,25 14. Si E 

3tan53  Cos60  Cos 2 45 2Tan2 60  Sen30  Sen 2 45 b) 3/7 c) 5/7 e) 1

θ

37°

xCos60   Tan45  Csc53 . Hallar el valor xCos60   Tan45

de “x” a) 10 d) 18

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b) 12 e) 20

c) 16

b)

1 2

c)

1 3

e) 2

4. Del gráfico hallar: cot a) 1,6 b) 1,7

45°

c) 0,4

x+3

d) 0,6 e) 1,4

 2x+1

5x - 3 [email protected]

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5. Si: secx = 2.tan45º. Calcular: senx.tanx; si “x” es agudo. a) 1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4 e) 1,5

RECTA HORIZONTAL ÁNGULO DE DEPRESIÓN

OBSERVADOR

LÍNEA VISUAL

OBJETO

6. De la figura calcular “x”

B

a) 14 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20

M

10 2

A

37º 45º

C

x

7. Del gráfico calcular: E = 3cos – 4sen a) 7/4

A

b) 9/4

4.6.2. Ángulos horizontales. Son aquellos ángulos, cuya medición se realiza en un plano horizontal. El instrumento de medición para estos ángulos se llama brújula. Su estudio también está basado en la resolución de triángulos rectángulos y por ende la aplicación de razones trigonométricas. La Rosa Naútica es el plano, en el cual están contenidos las 32 direcciones notables de la brújula. NNO

37º

NNE NE

NO

c) 5/4

C

d) -1/4 e) -7/4

N

ENE

ONO O

O

D



E

B

ESE

OSO SE

SO SSO

Sabías que… 4.6. APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. 4.6.1. Ángulos verticales. Son aquellos ángulos que se determinan en un plano vertical, formados por la línea de mira visual y la línea horizontal que parten del ojo del observador. Los ángulos verticales se clasifican en:  Ángulo de elevación. Es el ángulo que se origina por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

S

SSE

El Rumbo o dirección, es la desviación angular que sufre la Rosa náutica con respecto a las direcciones principales (norte, sur, este y oeste), al ubicar un punto. Ejemplos: N30°E. Se lee “Del norte se desvía 30° al este” S48°O. Se lee “Del sur se desvía 48° al oeste” N15°E. Se lee “Del norte se desvía 48° al este” NE. Es la bisectriz de la dirección Norte y Este. SE. Es la bisectriz de la dirección Sur y Este. NO. Es la bisectriz de la dirección Norte y Oeste. SO. Es la bisectriz de la dirección Sur y Oeste.

Demuestra lo que sabes.

OBJETO LÍNEA VISUAL ÁNGULO DE ELEVACIÓN RECTA HORIZONTAL OBSERVADOR

 Ángulo de depresión Es el ángulo que se origina por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. alexoblogpot.com

1. Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de 45°, acercándose 48m el nuevo ángulo es 53°. Hallar la altura del edificio. a) 168m b) 192m 176m d) 196m e) 200m

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2. Un niño de 1,30m de estatura está situado a 5,40m de la base de un poste y observa la parte más alta de dicho poste con un ángulo de elevación de 53°. Hallar la altura del poste. a) 8,50m b) 8,20m c) 8,76m d) 7,96m e) 8,00m

10. Un avión vuela a 150km con rumbo N60°O, luego cambia su dirección volando con rumbo N60°E hasta un punto situado al norte de su punto de partida. Hallar la distancia entre su punto de partida y llegada. a) 150km b) 120km c) 100km d) 80km e) 60km

3. Una persona situada en la parte superior de una torre de 15 3 m de altura observa a 2 personas con ángulos de depresión de 30° y 60° respectivamente. Hallar la distancia que separa a las personas. a) 16m b) 19m c) 76m d) 30m e) 20m

11. Pedro observa a María a 100m de distancia en la dirección S49°E, María observa a José en la dirección N41°E y a 240m de distancia. ¿Cuál es la distancia que hay entre Pedro y José? a) 300m b) 280m c) 260m d) 250m e) 240m

4. Una persona de 3 m de altura observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 30°, se acerca 8m y vuelve a observar el anterior punto con una elevación de 60°. Hallar la altura del poste.

12. Manuel parte de un punto A y camina 50m en la dirección E20°N, luego camina 120m en la dirección O70°N hasta llegar a un punto B. Hallar la distancia entre los puntos A y B. a) 130m b) 200m c) 160m d) 150m e) 140m

a) 4 3 m d) 5m

b) 5 3 m e) 4,5m

c) 4m

5. Un árbol de 17 m de altura es observado por una persona con ángulo recto. Hallar la estatura de la persona si al observar la parte superior del árbol lo hace con una elevación de 60° a)

17 m 2

d) 1/3 m

b)

17 m 3

c)

17 m 4

e) 1/4 m

6. Hugo camina 30m en la dirección O30°N hasta llegar a un punto A. Hallar la distancia del punto A al eje norte – sur. a) 14 3 m b) 15 3 m c) 4m

13. Sara parte del punto A y camina 30 2 m en la dirección SE hasta un punto B, luego camina 50m hacia el norte llegando aun punto C, finalmente camina en la dirección O30°N hasta un punto D que se encuentra al norte del punto A. Hallar la distancia entre A y D, considerar

3 = 1,73 a) 37,30m d) 45, 20m

b) 20m e) 14m

c) 35,16m

7. Una persona observa a 96m de distancia un árbol en la dirección N40°E, y una casa a 28m en la dirección S50°E. ¿Qué distancia existe entre el árbol y la casa? a) 120m b) 100m c) 80m d) 75m e) 60m

14. La elevación de la cumbre de una montaña, vista desde un punto A es 45°, caminando desde A una distancia de 50m, en un plano horizontal en dirección a la cumbre, y luego otros 260m, sobre un plano ascendente cuya inclinación tiene como cotangente 2,4 respecto a la horizontal, se encuentra que la elevación de la cumbre, vista desde éste último punto es 53°. Hallar la altura de la cumbre respecto al nivel del punto A. a) 800m b) 840m c) 860m d) 820m e) 900m

8. Desde un acantilado una persona observa un barco con un ángulo de depresión de 45°, luego que el barco se aleja 80m en el mismo plano vertical. Desde ésta última posición del barco se observa al primer observador con un ángulo de elevación de 37°. Hallar la altura del acantilado. a) 100m b) 120m c) 180m d) 240m e) 260m

15. María se dirige de su casa a la UNI siguiendo la dirección N30ºE pero en el camino se arrepiente y decide no ir a la UNI y se va en busca de Eduardo en la dirección S60ºE y lo encuentra justo al “Este” de su casa. Si el recorrido total que hizo maría es 273m; entonces la distancia que separa la casa de María al punto de encuentro, es:

d) 5 3 m

e) 4,5m

9. El ángulo de elevación de lo alto de un edificio es 45° a 10m de su base. Si el observador se

a) 100m

b) 100 3 m

d) 300m

e) 200 3 m

c) 200m

aleja 50 2 m, hallar la cotangente de la nueva elevación desde este último punto. a) 3 2 -1 b) 3 2 +1 c) 2 2 -1 d) 2 -1 e) 5 2 +1 alexoblogpot.com

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7.

Ahora, hazlo tú. 1.

Una persona de 1,7 m de estatura divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Si la persona está a 24 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a) 33,7 m b) 19,7 c) 27,7 d) 28,7 e) 37,7

2.

Desde lo alto de un muro de 2 m de alto, se vé lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 53°. Si el muro está a 36 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a) 50 m b) 48 c) 56 d) 64 e) 72

3.

Una persona de 2 m de estatura está frente a un rascacielo de 98 m de altura, divisando su parte más alta con un ángulo de elevación de 74°. ¿A qué distancia se encuentra la persona del rascacielo? a) 40 m b) 14 c) 21 d) 28 e) 35

4.

Desde lo alto de un poste se observan en direcciones opuestas, a dos objetos en el suelo con ángulos de depresión de 45° y 16°. Si el poste mide 14 m, ¿qué distancia separa a los objetos? a) 72 m b) 56 c) 46 d) 31 e) 62

5.

Un niño y dos árboles se encuentran alineados. El niño que está entre los árboles observa las partes superiores de dichos árboles con ángulos de elevación α y 2α. Si sus respectivas visuales miden 30m y 25m, calcula la altura del mayor árbol, si la distancia a la que se encuentra el niño de uno de ellos, es igual a la altura del otro, siendo este último el que se opone a 2α. (Usar: Sen2α = 2SenαCosα) a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27

6.

Dos móviles parten de un punto, el primero en la dirección NθE y el segundo con rumbo S2θE. Cuando el primero recorre 20m y el segundo 21m, la distancia que lo separa es 29m; entonces “θ”, es: a) 10º b)30º c)60º d) 45º e) 20º

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Dos torres están en la misma dirección NE de una persona. Esta persona camina 200m y una de las torres está en la dirección norte y la otra al NO de dicha persona; entonces la distancia entre las torres si la persona caminó en la dirección este, es: a) 100m

b) 100 2 m

d) 150m

e) 50 2 m

c) 50m

8.

Desde el centro de una piste circular un móvil se desplaza en la dirección EθN hasta encontrar a la pista. Desde este punto observa la parte más nórdica de la pista en la dirección N50ºO; entonces “θ”, es: a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 15º

9.

Desde una ciudad “A” se divisa a otras dos “B” y “C” en las direcciones O80ºN y E40ºN respectivamente. Si “B” se divisa a “C” al E50ºS a una distancia de 173Km; entonces la distancia entre “A” y “B”, es: a) 100Km b) 200Km c) 150Km d) 273Km e) 300Km

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PROGRAMACIÓN IV UNIDAD ”

Bimestre: II

Área: Sub área: Matemáticas Trigonometría Grado y sección: Nivel: 4to “A” – “B” Secundaria Docente: Julio Alex Ortiz Andrés CONTENIDOS

DOMINIOS / ESTÁNDARES / COMPETENCIAS

I.E.P. “

MEDIOS

DO3 – ES6 – ES7 – CO3

MÉTODOS DE APRENDIZAJE

I1. Identifica un ángulo en posición normal. TT: Educación para el emprendimiento. UNIDAD 04 “Innovemos proyectos para el bienestar de la comunidad”. Temporalización: (Del 01 de junio al 26 de Junio) 5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MAGNITUD. 5.1. Ángulo en posición normal. 5.2. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. 5.3. Signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante. 5.4. Ángulos cuadrantales. 5.5. Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales. 5.6. Ángulos coterminales. P:

CAPACIDADES - DESTREZAS  CA9: Matematiza  Representa  CA10: Comunica y representa  Resuelve  CA11: Elabora y usa  Identifica  CA12: Razona y argumenta  Calcula

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I2. Calcula el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. I3. Representa gráficamente los ángulos en posición normal, cuadrantales y ángulos negativos. I4. Resuelve ejercicios tomando en cuenta las definiciones de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal y ángulos cuadrantales.

OBJETIVOS

VALORES Y ACTITUDES

 VALOR: Orden  Mostrar hábitos de higiene y limpieza.  Mostrar orden en los materiales.  VALOR: Respeto  Escucha con atención.  VALOR: Responsabilidad  Cumple con los trabajos asignados.

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MAGNITUD MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: II – IV Julio Alex Ortiz Andrés I1 – I2 – I3 – I4

Tema N° 05 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

Ejemplo: 01

Sabías que…

1 ; 16 Secθ  Cscθ M 1 Cotθ

5.1. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL. Es todo ángulo trigonométrico cuyo lado inicial está sobre el semieje positivo X, su vértice coincide con el orígen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano En la figura; normal.

Cos 2 θ 

Si:

15 4 1 d) – 4

a)

b)

c) –

15 4

e) 4

1 cos   ;   IV C 4

Y

15

4



α

1

X

XI

1 4

RESOLUCIÓN

α y β son ángulos en posición

β

θ ϵ IV cuad. Hallar

+ YI

M

-

sec   csc  sec   csc  M 1  ctg 1  ctg  

5.2. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL. Sea P un punto de coordenadas (x; y) pertenece al lado final de un ángulo  en posición normal donde. r: radio vector x: abcisa y: ordenada además cumple el teorema de Pitágoras:

M

4  1 1

M

4 15 1 15

 1  4 1   5   1  1   5 

M4

Rpta: e

r  x 2  y2

x  r 2  y2 y r x 2

Ejemplo: 02 Halle “n” del gráfico, si ctg   0,333...

2

Y

y

a) 1

P = (x; y)



b) 2 O

c) -2

x

d) 1/2

r



e)-1/2 P(n-1;4n-1)

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5.6. ÁNGULOS COTERMINALES. Dos o más ángulos son coterminales si tienen su lado inicial y final coincidentes y el mismo vértice; así tenemos a los ángulos α y θ que son ángulos coterminales

RESOLUCIÓN

ctg   0,333... x  0, 3 y



Y

n 1 3  4n  1 9 3(n  1)  4n  1 3n  3  4n  1 n=2

α θ

Rpta: c

X 5.3. SIGNOS DE LAS TRIGONOMÉTRICAS EN CUADRANTE. Cuad

RAZONES CADA

R.T. sen

IC

IIC

IIIC

IVC

+

+

-

-

cos

+

-

-

+

tan

+

-

+

-

cot

+

-

+

-

sec

+

-

-

+

csc

+

+

-

-

Podemos decir entonces que: Si α y θ son ángulos coterminales entonces:

α – θ = 360°n; n ϵ Z

Demuestra lo que sabes. 1.

5.4. ÁNGULOS CUADRANTALES. Son aquellos ángulos que están en posición normal y su lado final coincide con los semiejes coordenados

a)

Y

90°

180°

2.

5.5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULOS CUADRANTALES.

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0 ∞ 0 ∞ 0

∞ 0 ∞ 0 ∞

c)

-3

d)

-2

e)

-1

α O

X

De la figura; hallar Cscθ

Y

1 ∞ –1 ∞ 1

∞ 1 ∞ –1 ∞

O X

d)  3 e)  2

3. 1 0 –1 0 1

-4

c)  5

DE

Senα cosα tanα cotα secα cscα 0 1 0 –1 0

b)

Y (-2; 1)

b)  2 5

A los ángulos cuadrantales se le considera que no pertenecen a ningún cuadrante.

0º 90º 180º 270º 360º

-5

a)  10

X

-90°

270°

Del gráfico; calcular M = 5SenαCosα

θ (-3; -1)

Siendo A = (60; -11) un punto del lado final de un ángulo “α” en posición normal. Hallar K = Tanα + Secα a) 1/5 b) 2/5 c) 4/3 d) 5/4 e) 5/6

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10. Indicar el signo de la expresión: 4.

Del gráfico; Calcular E  8SenαSenα  7CosαCosα

B

Y

a) + d) + y -

a) 24 (-4; 3) b) 20

11. Si

α

β

(-7; -24) De la figura, hallar “Tanα” a) b) c) d) e)

6.

15  4 12  5 13  5 7  5 4  5

13

el

signo

de:

b) – e) nulo

c) + o –

2 ; θ ϵ III cuad. Hallar el valor de M  2Secθ  Cscθ  3 3Senθ a)  3 b)  2 c) 0

α O

X

e) 2 3

d) 2 2

15. Si 1  Tan θ  1  2 ; además θ ϵ III cuad. Hallar “Secθ”

Secθ  

b) 20 e) 17

9 7. Si Cos θ  ; 25 A  Cotθ  Cscθ 2

a) 0,1 d) 0,4

θ

ϵ

a)  23

b)  29

d)  65

e)  73

16. De la figura; calcular R = 2Cscα + Secβ IV

cuad.

Hallar

Y

a) 1

(7; 24)

b) 2 b) 0,2 e) 0,5

c) 0,3

c) 3 d) 4

Si α ϵ II cuad. y β ϵ III cuad. Hallar el signo de

a) + d) + y -

b) e) nulo

Del gráfico mostrado, Hallar: E = Sen.Cos a) 6/5 b) 6 c) 6/3 d) 6/7 e) 6/9 alexoblogpot.com

c)  41

c) 19

e) 5

α

Senα  Tanβ la expresión E  Cosα  Cotβ

9.

Hallar

14. Si Tanθ 

(-5;y)

a) 21 d) 18

8.

cuad.

13. Calcular: E = (2sen180° – sen90°)2 + (3cos180° – cos90°)2 a) 10 b) 9 c) 13 d) 11 e) 12

Y

13 ; θ ϵ III cuad. Hallar 2 N  4Tan θ  9Csc 2θ

Si

III

12. ¿En qué cuadrante(s) el seno y coseno tienen signos diferentes? a) III y IV cuad b) II y III cuad c) I y II cuad d) I y III cuad e) II y IV cuad

e) 10

5.

ϵ

a) + d) + y -

X

d) 15

θ

c) + o –

b) e) nulo

E  Cosθ  tanθ

O

c) 18

Sen160  Cos230  Tan350 Cot80  Sec200  Csc300

O c) + o –

(-12; -5)

X

β

17. Si se cumple que: 25Sen2α+5Senα–12=0; además α ϵ II cuad. Hallar M = Senα – Cosα + Tanα a) 0,72 b) 0,65 c) 0,6 d) 0,56 e) 0,5

 2 ; además θ ϵ III cuad. 18. Si Tan θ Hallar el valor de P = 10SenθCosθ a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 Cotθ

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19. Reducir: C = a) n + m d)

27. Si Tanθ < 0 y Secθ = 4. Hallar E = 16SenθCosθ a)  3 b)  5 c)  10

m 2 Sen 3 90   n 2 Cos 5180  mSen90   nCos0 

m2  n2 mn

b) m - n

c)

mn mn

m2  n2 mn

e)

d)  15 28. Si se cumple que: Hallar Cscα a) 5 d) 2

20. Reducir:

m3 Sen 90   n3 Cos 360  m2Cos 0  - mnSen 270   n2 Cos 3 180  a) m - n b) m + n c) m d) n e) n - m C=

6

b) -2 6

d) -4 6

e) -5 6

e) 5

Tanθ  Tan

X



53º 37º  Tan  Sen90º ; además 2 2

entonces E  37 Senθ  Cosθ  , es: a) -1 b) -3 d) -7 e) -9

el

valor

de

c) -5

x



23. Dos ángulos α y θ son coterminales y además complementarios. Determinar la medida del ángulo α, si 200° < α < 300°. a) 200° b) 210° c) 215° d) 220° e) 225°

Ahora, hazlo tú. 1.

25. Dado 2 ángulos coterminales positivos, para los cuales se cumple que la suma de la medida de dichos ángulos, es a la medida del menor, como 7 es a 2. Determine la medida del menor ángulo coterminal positivo, del mayor de los ángulos mencionados. a) 60° b) 72° c) 100° d) 120° e) 240°

c) 1/4 d) 1/5 e) 1/7

2.

Si A(–3;4) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal “”, calcular el valor de: E  a) 1/2 d) 1/7

3. 26. Se tiene dos ángulos coterminales. Si se sabe que el triple del menor es a la suma de ambos como 15 es a 22. Determina la medida del ángulo menor si se sabe que dicho ángulo está entre 720° y 820°. a) 760° b) 720° c) 750° d) 620° e) 740°

Del gráfico mostrado, calcular E = Cot – Csc a) 1/2 b) 1/3

24. Hallar la suma de los dos menores ángulos positivos que son coterminales con 2000° a) 700° b) 720° c) 740° d) 760° e) 780°

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D

Cos 2 θ  Senθ  0 ;

b) 2

d) 4

53º

e) -5/7

y 

c) 3

A

d) -1/7

α  θ  + cos( - β)  2 



b) 4 e) 1

c) -4/7

C = 3cos(α - β) + 2sen 

c) 3

 8 ; α ϵ III cuad.

C

b) -3/7

30. Si

a) 1

Cotα 1

a) -6/7

c) -3 6

22. Del gráfico, calcular:

 2

29. Si ABCD es un cuadrado, el valor de Tan θ, es: B Y

21. Siendo α, β y θ ángulos coterminales, además: Tanα  2 y Sec   3 . Hallar el valor de E = Senα + 2Senβ + 3Senθ a) -

e)  19

Senθ 1 Cosθ

b) 1/3 e) 1

c) 1/5

Si el punto B(–9;–40) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “” , calcular el valor de: E = 41Sen + 9Tan a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) –1

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4.

Si: Sen = – 1/3 valor de: E = a) –1 d) 2

5.

y

  III C , calcular el

2 (Sec – Tan) b) –2 e) NA

c) 1

Si ABCD es un cuadrado, calcular el valor de:

a) 0 d) –1/2

b) 1 e) –1

c)1/2

b) 4 c) 8

11. Calcular el valor de: E

e) 10

Del gráfico, calcular: E = 5Cos – 21Csc a) 32 c) –26

e) 23

3π π Secπ  Csc 2 2 12. Calcular el valor de: E  π 3π Tg2π  Ctg  Csc 2 2

b) –2 e) 2 el

c) –1

valor

de:

3π 2Cos2π  Csc  Tgπ 2 E π 3π Ctg  Secπ  3Sen 2 2

Sen 3 260.Ctg115.Cos 3 116 Csc195.Tg336

b) – e) No tiene

c) 3

4Sen

13. Calcular

Calcular el signo de:

a) + d) + ó –

b) 0 e) –1

a) –3 d) 1

d) –32

E=

3cos180  Sen0  Ctg90 Sen270  Tg180

a) 1 d) –3

b) 26

8.

2Sen180  Cos0  Tg360 Csc270  Sec180

10. Indicar el signo de: Tg332º.Tg4130º.Csc5210º.Sen4180º a) + b) – c) + y – d) + ó – e) No tiene

d) 11

7.

Calcular el valor de: E

E = 65 .Sen - 4Cot a) 7

6.

9.

c) + y –

a) –3 d)1/2

b) –3/2 e) 2

c) –1/2

Hallar el signo de: E

Sen140  Tan200  Cos290 Sec190  Tan100

a) + d) + ó –

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b) – e) No tiene

c) + y –

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MATEMÁTICA TRIGONOMETRIA III BIMESTRE CUARTO GRADO DE SECUNDARIA

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PROGRAMACIÓN V UNIDAD ”

Bimestre: III

Área: Sub área: Matemáticas Trigonometría Grado y sección: Nivel: 4to “A” – “B” Secundaria Docente: Julio Alex Ortiz Andrés CONTENIDOS

DOMINIOS / ESTÁNDARES / COMPETENCIAS

I.E.P. “

MEDIOS

III BIMESTRE TT: Educación para la cultura tributaria. UNIDAD 05 “Fortalecemos el desarrollo de una conciencia tributaria para el crecimiento de nuestro país”. Temporalización: (Del 30 de junio al 24 de julio) 6. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE. 6.1. Regla de reducción al primer cuadrante. 6.2. Propiedades. 7.

DO3 – ES6 – ES7 – CO3

MÉTODOS DE APRENDIZAJE

I1. Identifica la circunferencia trigonométrica. I2. Grafica las circunferencias trigonométricas según sea el caso. I3. Calcula las áreas de las partes sombreadas en una circunferencia trigonométrica. I4. Reduce ángulos mayores de 90° al primer cuadrante. I5. Resuelve ejercicios tomando en cuenta los casos de reducción al primer cuadrante.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA. 7.1. Definición 7.2. Representación de las funciones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica.

P:

CAPACIDADES - DESTREZAS  CA10: Comunica y representa  Resuelve  Reduce  grafica  CA11: Elabora y usa  Identifica  CA12: Razona y argumenta  Calcula

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OBJETIVOS

VALORES Y ACTITUDES

 VALOR: Orden  Mostrar hábitos de higiene y limpieza.  Mostrar orden en los materiales.  VALOR: Respeto  Escucha con atención.  VALOR: Responsabilidad  Cumple con los trabajos asignados.

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Tema N° 06 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: III – V Julio Alex Ortiz Andrés I4 – I5 6.2. PROPIEDADES.

Sabías que…

P1) x+y+z = 180º.k , k  Z tanx+tany+tanz = tanx.tany.tanz

6.1. REGLA DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE. 6.1.1. CASO I: Reducción para ángulos positivos menores de una vuelta.

cotx.coty + coty.cotz + cotz.cotx = 1 P2) x+y+z = 90º.(2k+1) , k  Z cotx+coty+cotz = cotx.coty.cotz

F.T.( αIIC) = F.T.(180°– αIIC) =  F.T.( αIC)

tanxtany + tany.tanz + tanz.tanx = 1

F.T.( αIIIC) = F.T.( αIIIC –180°) =  F.T.( αIC)

P3) x+y = 180º senx = seny

F.T.( αIVC) = F.T.(360°– αIVC) = F.T.( αIC)

tanx = –tan y

6.1.2. CASO II: Reducción para ángulos positivos mayores de una vuelta.

F.T. ( α  360  ) = F.T. (R)

6.1.3. CASO III: Para ángulos de la forma (n π  α), n  Z

P4) x+y = 360º senx = –seny

cosx = cosy

tanx = –tany

cotx = –coty



α) =

Demuestra lo que sabes.

 F.T.(α)

1.

Calcular A = 2Sen330° + 4Cos120° - Csc1050° a) -2 b) -3 c) -1 d) -5/2 e) -3/2

2.

Reducir: Tan180  x Sen360  x  E  Cos90  x  Cot90  x  a) -Tanx b) Tanx c) 2Senx d) -Senx e) 0

3.

Simplificar: J  Tan 180   x Cos 270   x Tan 270   x 

Generalizando:

F.T.(180°



α) =

 F.T.(α)

F.T.(360°



α) =

 F.T.(α)

6.1.4. CASO IV: Para ángulos de la forma π    π  4n  1 2  α ó 4n  3 2  α ; n  Z    

F.T.

π   =  COF.T.(α) 4n  1 2  α

F.T.

π   =  COF.T.(α) 4n  3 2  α

Csc 360   x  a) -Senx d) 2

4. Generalizando:

F.T.(90°  α) =

 CO.F.T.(α)

F.T.(270°  α) =

 COF.T.(α)

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cotx = –coty

α 360° R q

donde:

F.T. (n π

cosx = –cosy

b) -2 e) -1

Reducir: Sen3450  Sen150 E Csc6145  Sen155 a) -1/2 b) -1/4 d) 1/4 e) 1

c) 1

c) 1/2

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5.

Calcular Sen210  Tan135   Csc300 E Sec225 6 6 a) b) 3 6 6 6 d) e) 9 9

14. Calcular

c)

6 6

6.

Calcular: M = Sen120°Tan315°Cos210° 3 3 3 a) b) c) 8 4 4 d) 1/8 e) 3/4

7.

Hallar el valor de E  Tan 2 765  Sec 2 420 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

8.

9.

Sen7π  x  Cos16π  x  Simplificar: E   Sen12π  x  Cos13π  x  a) 0 b) -2 c) 2 d) 1/2 e) -1/2

Dada la expresión:  3π  Sen  θ   nCosπ  θ   nCot2π  θ  .  2 

π Calcular “n”, cuando θ  6 6 6 6 e) 9

6 3 6 d) 9

a)

10. Calcular Sen a)

b) -

c)

6 6

45π 4

2 2

d) - 2

2 2 3 e) 2 b) -

c)

2

11. Reducir: Sen x  Cot x  Sec x  E   Sen180ºx  Cotx Sec180º x  a) -1 b) 2 c) -3 d) 0 e) 1 12. Reducir: Cot90º x  Sec270ºx  Csc270º x  M   Tan- x  Csc- x  Sec x  a) -3 b) 3 c) 2 d) 1 e) -1 13. Si x + y = 270º. Reducir: E  a) 0 d) -2 alexoblogpot.com

b) 1 e) -1

el valor 5π 2π 7π Sen  Tan  Csc 4 3 6 Y 5π 5π 11π Cos  Cot  Sec 3 4 6 3 2 a) b) - 3 2 c) 4 1 2 d) e) 2 4 7π 3π 5π Sen  Cos  Tan 4 4 6 15. Reducir: Y  5π 2π 4π Csc  Cot  Sec 3 3 3 3 3 a) b) c) 8 4 d) -

3 4

e)

de:

2 2

3 8

3

16. Calcular: E  Sec40º Sec80º Sec100º Sec110º Sec140º Csc160º a) 0 b) -2 c) 2 d) 1 e) -1 17. Para

un triángulo ABC se SenA  B  CosA  B . 2TanC  CosC Calcule la medida del ángulo C. a) 30º b) 45º c) 60º d) 135º e) 150º

cumple:

18. Si los ángulos internos de un triángulo ABC (A
π  3π    x   2 . Halle Tan   x 4 4     2 a) 2 b) - 2 c) 2 2 d) e) -1 2

20. Si Tan 

Senx Tanx  Cosy Coty c) 2

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10. Calcular: π 5π 7π 11π E  Tan  Tan  Tan  Tan 12 12 12 12 a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2

Ahora, hazlo tú. 1.

Simplificar E  Tan π  α   Tan π  α  a) -2Tanα b) -2Cotα c) 2Tanα d) 2Cotα e) 0

2.

Calcular el valor Sen160ºSec200ºTan250º K Cos110ºCsc290ºCot340º a) -Tan20º b) –Cot20º c) -1 d) 1 e) 2

3.

Simplificar: Sen180º A   Cos270º A  E Cos360º A   Sen90º A  a) -2TanA b) -CotA d) 1 e) -TanA

4.

c) TanA

Reducir:

 7π  Tan 9π  x   Cos  x 2   M Cot630º x   Sen720º x  a) -2 b) -1 d) 0 e) 1 5.

Simplificar Tan 230º x   Tan50º x  M Cot40º-x  a) -Tanx b) -Cotx d) -2 e) 2

c) 2

c) Tanx

6.

Siendo Sen 40º = a; Sen140ºCos130ºTan 130º Hallar M  Cot580ºSec1130ºCsc- 400º a) a4 b) – a2 c) a2 -2 4 d) –a e) – a

7.

Sumar: Sen220º + Sen273º + Sen2110º + Sen2163º a) -3 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1

8.

Si x + y =4π. Calcular: E  Tan x  10º   Sen y  40º   Tan y  10º   Sen x  40º  a) 2 b) -2 d) 0 e) 1

9.

de

c) -1

Calcular el valor de: Sen x  Cos x  Tan x  E   Sen180ºx  Cos180º x  Tanx a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1

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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: III – V Julio Alex Ortiz Andrés I1 – I2 – I3 7.2.2. Coseno.

Tema N° 07 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de arco y se representa mediante una horizontal trazado desde el eje de ordenadas hasta el extremo del arco.

Sabías que…

Y

7.1. DEFINICIÓN. Llamado también circunferencia unitaria, es una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad.

90° Cos 1 2

Y

B (0;1) C.T.

M

C.T.

180 °º

 A’ (-1;0)

O

X

Cos 3 270°

Es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio.

Y

Sus elementos son:

90°

: Origen de coordenadas : Origen de arcos : Origen de complementos : Extremo del arco : Medida del arco : Medida del ángulo θ

1

2

C.T.

3

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA. 7.2.1. Seno. El seno de un arco, es la ordenada del extremo del arco y se representa mediante una vertical trazado desde el eje de abscisas hasta el extremo de arco.

90°

270° Tan 3 7.2.4. Cotangente. Es la abcisa del punto de intersección entre la recta cotangente que pasa por el origen de complementos y la prolongación del radio.

Cot 2 1

2 180° º

Sen 3

Y

Sen 4

C.T.

1 0° X 360°

180 °º 3

4 270° º

Cot 1

90°

2 0° x 360°

3 alexoblogpot.com

Cot 3

Sen 1

Sen 2

Tan 1 0° X 360° Tan 2

180 °º

7.2. REPRESENTACIONES DE LAS

C.T.

X

7.2.3. Tangente.

B’ (0;-1) O A B M θ θ Rad

0° 360° 4

Cos 4 3

A  Rad R = 1 (1;0)

1

Cos 2

270° [email protected]

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2.

Hallar el área de la región sombreada:

7.2.5. Secante.

Y

Es la abcisa del punto de intersección, entre la recta tangente que pasa por extremo del arco y el eje X.

C.T.

Y

α

90° 2

1

Sec2 180° C.T. º

O

X

0° Sec1 X Sec3 360° 1 1 c) Cos2 α Sen2 α 2 2 2 e) Senα  Cosα 4

1  Cosα 2 1 d)  Senα 2 a)

3 270° 7.2.6. Cosecante. Es la Ordenada del punto de intersección, entre la recta tangente que pasa por extremo del arco y el eje Y.

3.

b)

Hallar el área de la región sombreada:

Y

Y C.T.

Csc1 90° C.T.

α

1

O 0° 360°

180° º 2

X 1 Senα  Cosα 2 2 d) Senα  Cosα 2

1 1 c) Cos2 α Sen2 α 2 2 2 e) Senα  Cosα 4

a)

3 270°

X

Csc3

b)

Csc2 4.

Hallar el área de la región sombreada:

Demuestra lo que sabes.

Y C.T.

1.

En la C.T. mostrada. Hallar : E =

Y a) 1

Cos θ Cos α

α

90°

O



X

b) 2 c) 0

180°

d) -1 e) -2

270° alexoblogpot.com

0° X 360°

O 

a) Tan 2 α d) 2 Tan α

b) Cot 2 α 1 e) Cotα 2

c) Tan α

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5.

8.

Hallar el área de la región sombreada:

Y C.T.

π ; π , hallar el intervalo de la 2 siguiente expresión E = 2Cosα +3 a) - 2; 3 b) - 3; 2 c) - 1; 2 Siendo α 

d) 1; 3

α 9.

O

1 Tan 2 α 2 1 d) 2 a)

6.

X

1 Cot2 α 2 1 e) Cotα 2 b)

c)

1 Tan α 2

Hallar el área de la región sombreada:

e) 2; 3

π π 2a - 3 ; además θ  . Hallar ; 3 6 3 el intervalo de “a”. Si Tanθ 

a)

3; 2 3

b) 0; 3

d)

3 ;1 3

e) 1; 3

c) 0; 2 3

10. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? a) Sen 40° b) Sen 100° c) Sen 160° d) Sen 220° e) Sen 280°

11. En la circunferencia trigonométrica, hallar el área de la región sombreada:

Y C.T.

α O

1 Senα  Cosα 2 1 d) Sen 2 α 2 a)

7.

X

1 1 Tan α c) Cotα 2 2 1 e) Secα  Cscα 2

b)

Hallar el área de la región sombreada:

Y C.T.

a) Sen

b) Cos

d) 1/2Cos

e) 1

12. Hallar los valores de “k”. Si: 2k  1 cos  = 3 a) [-1; 2] b) [-2; 1] d) [-1; 3] e) [-1; 1]

c) 1/2Sen

c) [-3; 2]

α O

a) Senα 1  Cosα  c) Cosα1  Sen α  e) Senα 1  Cosα 

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X

b) Senα  Cosα d) Cosα1  Sen α 

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5.

Y

Ahora, hazlo tú. 1.

2.

a) 1/2 Cos 



b) 1/2 Sen 

¿Cuál de los siguientes valores es el menor? a) Cos20° b) Cos100° c) Cos160° d) Cos260° e) Cos320°

c) 1/4 Sen 

O

d) 1/4 Cos 

En la circunferencia trigonométrica mostrada. Si Cos =

De la C.T. mostrada. Hallar el área de la región sombreada.

2 y OM = MB. Calcular el área de 3

X

e) Sen 

la región triangular OMP. a) 1/6 6.

b) 1/3

Del gráfico mostrado calcule el área del cuadrilátero sombreado.

y

c) 1/4 d) 1/2 e) 2/3

x

2a  3 ; hallar la suma de todos los 5 valores enteros que puede tomar “a”. a) 6 b) 7 c8 d) 9 e) 10

3.

Si: senx =

4.

Del gráfico mostrado. Hallar la altura del triángulo APA’, relativa al lado AA’.

Y

a) Cos 

a)

0,5  sen   cos 

b)

0,5  sen   cos 

c)

0,5  cos   sen 

B

b) Sen  c) Cos 



A’

A H

d) Sen 

X

O

d) 0,5  sen   cos 

e) 1

C.T. B’

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e)

0,5sen  cos 

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PROGRAMACIÓN VI UNIDAD ”

Bimestre: III

Área: Sub área: Matemáticas Trigonometría Grado y sección: Nivel: 4to “A” – “B” Secundaria Docente: Julio Alex Ortiz Andrés CONTENIDOS

DOMINIOS / ESTÁNDARES / COMPETENCIAS

I.E.P. “

MEDIOS

III BIMESTRE TT: Educación para el cuidado de la salud. UNIDAD 06 “Promovemos actitudes y hábitos saludables”. Temporalización: (Del 10 de agosto al 04 de setiembre) 8.

9.

DO3 – ES6 – ES7 – CO3

MÉTODOS DE APRENDIZAJE

I1. Aplica las identidades trigonométricas fundamentales para demostrar las identidades trigonométricas auxiliares. I2. Calcula el valor de las expresiones trigonométricas utilizando las identidades trigonométricas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. 8.1. Definición 8.2. Identidades trigonométricas fundamentales. 8.3. Identidades trigonométricas auxiliares.

I3. Reduce expresiones trigonométricas mediante las identidades fundamentales y auxiliares.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS. 9.1. Seno de la suma y diferencia de 2 ángulos. 9.2. Coseno de la suma y diferencia de 2 ángulos. 9.3. Tangente de la suma y diferencia de 2 ángulos. 9.4. Cotangente de la suma y diferencia de 2 ángulos.

I5. Resuelve ejercicios tomando en cuenta las identidades trigonométricas y las fórmulas de las funciones trigonométricas de los ángulos compuestos.

I4. Verifica las fórmulas trigonométricas para ángulos compuestos.

P:

CAPACIDADES - DESTREZAS  CA10: Comunica y representa  Resuelve  Reduce  CA11: Elabora y usa  Aplica  Verifica  CA12: Razona y argumenta  Calcula

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OBJETIVOS

VALORES Y ACTITUDES

 VALOR: Orden  Mostrar hábitos de higiene y limpieza.  Mostrar orden en los materiales.  VALOR: Respeto  Escucha con atención.  VALOR: Responsabilidad  Cumple con los trabajos asignados.

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Tema N° 08 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: III – VI Julio Alex Ortiz Andrés I1 – I2 – I3 – I5 8.3. IDENTIDADES AUXILIARES.

Sabías que…

I1. (SenA ± CosA)2 = 1 ± 2SenA.CosA I2. Sen4A + Cos4A = 1 – 2Sen2A.Cos2A

8.1. DEFINICIÓN. Son aquellas igualdades que relacionan funciones trigonométricas de uno o más ángulos; las cuales se verifican para cualquier valor que se le asigne al ángulo. En la Resolución de problemas trigonométricos es frecuente el uso de las llamadas identidades fundamentales.

I3. Sen6A + Cos6A = 1 – 3Sen2A.Cos2A I4. (SenA+CosA+1)(SenA+CosA–1)=2SenA.CosA I5. (1±senA±CosA)2 = 2(1±SenA)(1±CosA) I6. Sec4A + Tan4A = 1 + 2Sec2A.Tan2A I7. Sec6A – Tan6A = 1 – 3Sec2A.Tan2A I8. Csc4A + Cot4A = 1 + 2Csc2A.Cot2A

8.2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES.

I9. Csc6A – Cot6A = 1 + 3Csc2A.Cot2A I10. Sec A . Csc A = Tan A +Cot A

IDENTIDADES RECÍPROCAS

I11. Sec2A + Csc2A = Sec2A . Csc2A CosASecA=1

SenACscA=1

1 SenA 1 SenA = CscA CscA =

1 CosA 1 CosA = SecA SecA =

TanACotA= 1

I12. Sec2A + Csc2A = (Tan A + Cot A)2

1 CotA 1 CotA = TanA TanA =

Demuestra lo que sabes. 1.

Simplificar:

E  Senθ  Cosθ   Senθ  Cosθ  2

a) 1 d) 2SenθCosθ

IDENTIDADES POR DIVISIÓN

TanA =

SenA CosA

CotA =

CosA SenA

2.

3.

Sen2A + Cos2A=1

Tan2A + 1 = Sec2A

Cot2A + 1 = Csc2A

4.

1

Sen2A=1–Cos2A

Tan2A=Sec2A–1

Cot2A=Csc2A–1

Cos2A=1–Sen2A Sec2A–Tan2A=1

Csc2A–Cot2A=1





2

2 2 2 Reducir: M  2Cos θ - 1  4sen θCos θ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Reducir: A 

Senx  Cotx 1  Cosx b) Tanx e) Cscx

Simplificar: A  a) Secx d) Csc2x

5.

Simplificar k  a) Tan4x d) Cot6x

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b) 2 c) 4 e) 4SenθCosθ

a) Cosx d) Secx

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

2

c) Cotx

1 1  Cscx - Cotx Tanx b) Sec2x e) SecxCscx

c) Cscx

tan 2 x  Sen 2 x Cot 2 x - Cos 2 x b) Tan6x e) 1

c) Cot4x

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6.

7.

Si Tanx + Cotx = 5. Hallar el valor de Tan2x + Cot2x a) 27 b) 26 c) 25 d) 24 e) 23 Si

1- Cosx 1  Cosx  a . Hallar P  Senx Senx

a) a2 d) 1/a2 8.

Si

b) a e) 2/a

Senx



=



a



c) 1/a

y

Tanx

2 2 Hallar N  1 a 1 b a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

9.

b) 2

=

b.

d) 4

e) 4 2

“m”

2

en

la

identidad:

2

a) Sen2x d) Cot2x 12. Efectuar:

b) Cos2x e) Sec2x





c) Tan2x



A  Tanx 1  Cot 2 x  Cotx 1  Tan 2 x a) 0 d) 3

b) 1 e) 4



c) 2

13. Simplificar: E = Sen6α + Sen2α – 2Sen4α – Cos4α + Cos6α a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

x  Icuad .

14. Si

R

Simplificar:

Tanx  Cotx  2 Tanx  Cotx

a) 2 Senx d) Cosx

b) 2Cosx e) 0

Tanα  4 2 . Calcular Sen 4 α  Cos 4 α M Sen 4 α  Cos 4 α

a) 1 d) 4 alexoblogpot.com

b) 2 e) 5

el

1 a 1

Secx Tanx Cotx   Cosx Cotx Tanx b) Cosx e) Cscx

c) Tanx

valor

Senx  Cosx Senx  Cosx

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a b  . Hallar E = SecαTanα Secα Tan α ab ab a) 2 b) 2 2 a  b2 a b 2ab 2ab c) 2 d) 2 2 a  b2 a b a 2  b2 e) 2 a  b2

20. Si

21. Eliminar “x” de: 1 + Tanx = aSecx y Tanx = bSecx a) a2 + b2 = 1 b) a2 + b2 = 2 2 2 c) a + b = 4 d) a2 + b2 = ab 2 2 e) a - b = ab 22. Reducir: E  a) 2Senx d) 2Secx

1–

1  Senx  Cosx 2 Secx - 11  Senx  b) 2Cosx e) 2Cotx

c) 2Tanx

23. Hallar “a + b – c”. Si se cumple que:

c) Senx

15. Si Tanx – Cotx = 4. Hallar el valor de Tan4x + Cot4x a) 256 b) 264 c) 282 d) 322 e) 324 16. Si

R

N

Csc x  Sen x 1  m  Cscx  Senx 2 1  m 2

c)

19. Si Senx  Cosx  0,25 . Calcular el valor de

10. Al eliminar “x” de: aTanx + 1 = Secx y bTanx – 1 = Secx, se obtiene: a) a + b = 1 b) a – b = 1 c) ab = 1 d) a + b = 0 e) a – b = 0 11. Hallar

1 a 1 2 e) a 1 b)

a) Senx d) Secx

c) 3

c)

a 1 a 1 2 d) a 1 a)

18. Si x  Icuad . Reducir:

Si: SecαCscα – Cotα = 4. Calcular Tanα a) 1

17. Si Senx + Cosx = a. Hallar A = Tanx + Cotx + Secx + Cscx.

de

1 1   a  bTan c x . 1  Senx Cscx  1 a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

24. Eliminar “α” de: 2 – Sec2α = aTanα y 2 – Csc2α = bCotα a) a + b = 1 b) a – b = 1 d) a + b = 0 e) a – b = 0

c) 2

c) ab = 1

c) 3

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11.Reducir: L=

Ahora, hazlo tú.

a) 2 d) 2cscx

1. Demostrar que: (secx-senx.tanx)(cscx-cosx.cotx)=senx.cosx 2. Simplificar: C = senx(1 + cotx) + cosx(1 - tanx) a) 2 b) 1 d) 2cosx e) 0 3. Simplificar: L = tanx(1 + cosx) - sen2x.cscx a) tanx b) 2tanx d) 2cosx e) senx

1 1 Cscx  Cotx Cscx  Cotx

c) 2senx

c) cosx

4. Reducir: C = senx(1 + senx - cosx) + cosx(1 + cosx + senx) - 1 a) 2senx.cosx b) cosx c) Senx d) senx + cosx e) senx - cosx

b) 2secx e) 2cotx

c) 2tanx

12.Hallar el valor agudo de “x” que verifica: sen2x.cotx.cscx = 0,5 a) 37° b) 53° c) 30° d) 60° e) 45° 13.Hallar el valor agudo de “x” que cumple: tanx.secx.senx = 3 a) 37° b) 53° c) 30° d) 60° e) 45° 14.Hallar el valor agudo de “x” que cumple:

Secx  Tanx  1 =1 Cscx  Cotx  1 a) 30° d) 53°

b) 45° e) 60°

c) 37°

5. Reducir: L = senx(cscx + senx) + cosx(secx + cosx) + 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Reducir:

Sen 2 x - Sen 4 x C= Cos 2 x  Cos 4 x 2

a) tan x 2 d) sec x

2

b) cot x 2 e) csc x

c) 1

7. Reducir: L=

Sen 4 x - Sen 6 x Cos 4 x  Cos 6 x

a) 1 d) tan4x

b) tan2x e) cot4x

c) cot2x

8. Reducir: C = (3senx + 2cosx)2 + (2senx - 3cosx)2 a) 7 b) 5 c) 12 d) 13 e) 15 9. Reducir: L = (3senx + cosx)2 + (senx - 3cosx)2 a) 3 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10 10.Reducir: C=

1 Secx  Tanx

a) 2 d) 2cscx alexoblogpot.com

+

1 Secx  Tanx

b) 2secx e) 2cotx

c) 2tanx

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Tema N° 09 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: III – VI Julio Alex Ortiz Andrés I4 – I5

Sabías que…

Demuestra lo que sabes.

9.1. SENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE 2 ÁNGULOS.

1.

 Sen(A + B) = SenA.CosB + CosA.SenB  Sen(A – B) = SenA.CosB – CosA.SenB

Siendo “α” y ”β” ángulos agudos, además 12 4 y Cos  ; Hallar Sen( α – β) Senα  5 13 18 12 24 a) b) c) 65 65 65 33 28 d) e) 65 65

3.

Si Tanα 

 Cos(A + B) = CosA.CosB – SenA.SenB  Cos(A - B) = CosA.CosB + SenA.SenB

 Tan(A + B) =

TanA  TanB 1 - TanATanB

 Tan(A – B) =

TanA  TanB 1  TanATanB

2 5 7 d) 4

Y

CotA  CotB - 1  Cot(A +B)= CotA  CotB CotA  CotB  1  Cot(A – B) = CotA  CotB IMPORTANTE:

1 1 y Tan   tal que “α” y “β” son 2 4 ángulos agudos. Hallar Tan(α + β) a)

4. 9.4. COTANGENTE DE LA SUMA DIFERENCIA DE 2 ÁNGULOS.

5.

6.

4 3 3 10

Si Tan45  x  

2 5 1 d) 10 7.

e)

c)

6 7

c)

4 3 2 10

4 3 5 10

Si Tan(x + y) = 4 y Tan(y – z) = 3. Calcular Cot(x + z) a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

a)  Cos(A + B).Cos(A – B) = Cos2A – Sen2B

4 5 9 e) 7 b)

Calcular el Cos 7°. 3 3 2 3 3 2 a) b) 10 10 d)

 Sen(A + B).Sen(A – B) = Sen2A – Sen2B

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c) ab

2. 9.2. COSENO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE 2 ÁNGULOS.

9.3. TANGENTE DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE 2 ÁNGULOS.

Sabiendo que: SenαCosβ = a y CosαSenβ = b. Hallar Sen(α + β) a) a + b b) a – b d) ab + 1 e) ab + 2

6 . Calcular Tanx 5

9 10 1 e) 11 b)

c)

12 17

Si Sen(x + y) = 3Sen(x – y). Hallar el valor de M = TanxCoty a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 [email protected]

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8.

Hallar el valor de: P = Tan21° + Tan24° + Tan21°Tan24° a) 2Tan3° b) 2Tan21° c) 2Tan24° d) 1 e) 2

9.

De la figura: Hallar el valor de “Tanα” a) b) c) d) e)

C

8 31 8 29 8 23 8 17 8 11

2 N

16. Simplificar: K  a) 2Sen24° d) 2Cos24° 17. Efectuar: M 

3 α B

11. Siendo x + y = 60°. Simplificar: SenxCosy  CosxSeny R CosxCosy  SenxSeny a) 1 b) 2

c) 2Sen48°

Sen157  Cos203 Sen135Cos(22)

a) 2 d) 2

b) 6 e) 4

c) 1

3

e)

c) 4,5

e) 6,5

19. En el gráfico; Hallar Tanα a) b) c) 1/2

3 3

3 3 3 e) 3 b) -

c)

e) c) -

5 5

14. Si: Tan(α + β) = a + 1 y Tan(β + θ) = a – 1. Hallar Tan(α – θ)

2 d) 2  a2

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2 1- a 2 2 e) 1- 2a 2 b)

2 9 3 7 4 5 5 6 6 11

c)

2 1 a 2

C

3

D α 45° A

2 B

20. Si α + β = 60° y α – β = 45°. Simplificar: E = (Senα + Cosα)(Senβ + Cosβ) a) 2π

13. Simplificar: E = (1 + Tan17°)(1 + Tan28°) a) 1 b) 2 c) 3 d) 2Tan28° e) 2Tan17°

2 a2

θ

c) 2Tan40°

Hallar Sen(α + 45°)

2 2 5 d) 5

4

d) 5,5

1 ; α ϵ II cuad. 3

a) 

1

a) 2,5

d)

a)

b) 2Sen36° e) 2Cos48°

b) 3,5

37°

Tan40  - Tan10  10. Simplificar: K  1  Tan40 Tan10  a) Tan50° b) Tan40° 3 d) 3 e) 3

12. Si Tan α  

3Cos12   Sen12 

18. En la figura: Calcular “Tanθ”

A

d)

15. Reducir: P = (Tan52° - Tan38°)Cot14° a) –2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2

d)

π 2

3π 2 π e) 4 b)

c) π

21. Simplificar W = (Tanα + Tanβ)CosαCosβ – Sen(α + β) a) Cotα b) Cotβ c) 1 d) 0 e) 2 22. Reducir: E  a) -2 d) 1

Senx - y   Senx  y  2CosxSeny b) -1 c) 0 e) 2

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7. Calcular E 

Ahora, hazlo tú.

a) 0 d) 2

1. Reducir: E = Sen(x + y) – Seny.Cosx a) Senx d) Seny

b) SenxCosy e) Cosx

c) Cosy

3. Simplificar:

c) Sen2

Senx  y  - Seny  Cosx Senx - y   Seny  Cosx

a) 1 d) Tany

Calcular: Cos ( - α) a) d)

5. Simplificar E 

b) e)

2 . 4 c) 0,25

b) 2 c) 1 e) SenB.CosA

10. Si ABCD es un rectángulo, calcular “Tan”

4. Sabiendo que “” y “α” son ángulos agudos; tales que: Cscθ  10 y Cscα  17 . 7 170 13 170

c) 1/2

9. Simplificar: Sen 2 A  B  Sen 2 A  Sen 2B M SenA.SenB. Cos A  B a) SenA.SenB d) 2SenA.SenB

b) Tanx c) Coty e) Cotx

5 170 11 170

8. Si: Senx + Cosx =

b) 1 e) -1/2

Calcular: E = Sen(45º + x) a) 0,5 b) 0,75 d) 0,45 e) 0,16

2. A qué es igual: C = Sen3 . Cos - Sen . Cos3 a) Cos b) Cos2 d) Sen4 e) Cos4

Tan40  Tan65   Tan25 

c)

9 170

a) 3 b) -5 c) -6 d) -12 e) -4

Tan x - y   Tany 1  Tan x - y Tany

a) Tanx d) Cotx

b) Tany c) Tan2x e) Coty

6. De la figura: hallar Tan a) 3/5 b) 3/4 c) 4/3 d) 17/28 e) 1

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PROGRAMACIÓN VII UNIDAD ”

Bimestre: III

Área: Sub área: Matemáticas Trigonometría Grado y sección: Nivel: 4to “A” – “B” Secundaria Docente: Julio Alex Ortiz Andrés CONTENIDOS

DOMINIOS / ESTÁNDARES / COMPETENCIAS

I.E.P. “

MEDIOS

III BIMESTRE TT: Educación por el amor, la familia y la sexualidad. UNIDAD 07 “Valoremos y fortalezcamos la unión familiar con responsabilidad”. Temporalización: (Del 07 de setiembre al 02 de octubre) 10. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES. 10.1. Funciones trigonométricas de ángulo doble. 10.2. Funciones trigonométricas de ángulo mitad. 10.3. Funciones trigonométricas de ángulo triple.

CAPACIDADES - DESTREZAS

DO3 – ES6 – ES7 – CO3

MÉTODOS DE APRENDIZAJE

I1. Calcula el valor de otros ángulos utilizando las fórmulas de los ángulos doble, mitad y triple. I2. Relaciona los ángulos doble triple y mitad a través de problemas diversos. I3. Verifica las fórmulas trigonométricas para ángulos doble, triple y mitad. I4. Resuelve ejercicios tomando en cuenta las fórmulas de las funciones trigonométricas de los ángulos múltiples.

OBJETIVOS

VALORES Y ACTITUDES

 CA10: Comunica y representa  Resuelve

 VALOR: Orden  Mostrar hábitos de higiene y limpieza.  Mostrar orden en los materiales.

 CA11: Elabora y usa  Verifica  Relaciona

 VALOR: Respeto  Escucha con atención.

 CA12: Razona y argumenta  Calcula

 VALOR: Responsabilidad  Cumple con los trabajos asignados.

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES MATEMÁTICA Sub área: TRIGONOMETRÍA 4to/ Secundaria Bimestre/ unidad: III – VII Julio Alex Ortiz Andrés I1 – I2 – I3 – I4

Tema N° 10 Área: Grado / Nivel: Docente: Indicadores:

2.

Si Tan α 

Sabías que… a) 10.1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULO DOBLE. 1. 2. 3. 4.

DE

Sen2A = 2SenACosA Cos2A = Cos2A – Sen2A Cos2A = 1 – 2Sen2A Cos2A = 2Cos2A -1

3 5

d)

3.

2 4

1 . Hallar el valor de Sen2α 2 4 3 b) c) 5 6 2 e) 2

Siendo Secθ = Cos2θ.

2 3 1 d) 3

2TanA 1 - Tan 2 A Cot 2 A - 1 6. Cot2A = 2CotA

1 3 2 e) 3

a) –

5. Tan2A =

Fórmulas de degradación:

4.

3 1 8. Sen4A + Cos4A =  Cos4A 4 4 5 3 9. Sen6A + Cos6A =  Cos4A 8 8

1 2 4 d) 3 a)

Fórmulas auxiliares: 5.

10. CotA – TanA = 2Cot2A 11. CotA + TanA = 2Csc2A Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo de ángulo doble:

Si Cscx =

6 . Calcular el valor de b) –

c) –

2 5

10 . Hallar el valor de “Tan2x” 3 1 b) c) 3 4 5 e) 6

Simplificar: M  a) 1 d) Secα

Cosα2Cosα - Secα  Cos2α b) 2 e) Cscα

c) 4

6.

Si Senx + Cosx = a. Hallar “Sen2x” a) a2 + 2 b) a2 + 1 c) a2 2 2 d) a – 1 e) a – 2

7.

Simplificar: W = (Senα + Cosα)(Senα – Cosα) + Cos2α a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4

8.

Si Tan(45° + x) = 2. Calcular el valor de “Tan2x”

1 + tan2A

2tanA

2A

1 – tan2A

2TanA 1  Tan 2 A 1 - Tan 2 A 13. Cos2A = 1  Tan 2 A 12. Sen2A =

1 4 3 d) 2 a)

Demuestra lo que sabes. Sen2 1. Reducir: P  1 Cos2 a) Cscθ b) Secθ d) Tanθ e) 2Senθ

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9. c) Cotθ

Simplificar: R  a) Sen10x d) Sec10x

b)

1 2

c)

3 4

e) 4

2Tan5x 1 Tan 2 5x b) Cos10x e) Csc10x

c) Cot10x

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3. 10. De la figura: hallar “x”.

C

a) 2 2

1 sen4x d) 2

3

b) 2 3

4.

c) 2 5

D

d) 2 6 e) 2 7

A

Reducir: C = 4SenxCosx.Cos2x a) 4Sen4x b) Sen4x

Simplifique: C  senx.cos 3 x  sen 3 x.cosx

d)

x

B

11. Simplificar: E  8Sen 2 αCos 2 α a) Cos8α b) Cos4α d) Sen4α e) Sen8α

1 sen2x 2 1 e) sen4x 4

a) Sen2x

2

θ θ

5. c) Cos2α

c) 2Sen4x

1 e) sen4x 4

b)

1 sen4x 2

Reducir: a) Senx d) Cosx

c) Sen4x

J  sen2x.sec x  tan x.cos x b) 2Senx e) 2Cosx

c) 0

12. Si Tanx + Cotx = 8. Hallar el valor de Cos4x

1 4 7 e) 8

1 2 5 d) 8 a)

b)

c)

3 4

Sabías que… 10.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULO TRIPLE.

13. Calcular “m” en la igualdad:

1 Tan 2 4x  Cosmx 1 Tan 2 4x a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

14. Sabiendo que: Sen4x + Cos4x = A + BCos4x. Hallar A + B a) 0 b) 1 d) 3 e) 4

1. 2. 3. 4. 5. 6.

c) 4

DE

Sen3A = 3SenA – 4Sen3A Sen3A = SenA(3 – 4Sen2A) Sen3A = SenA(2Cos2A + 1) Cos3A = 4Cos3A – 3CosA Cos3A = CosA(4Cos2A – 3) Cos3A = CosA(2Cos2A– 1)

7. Tan3A = c) 2

3TanA - Tan 3 A 1  3Tan 2 A

Fórmula de degradación:

3SenA - Sen3A 4 3CosA  Cos3A 3 9. Cos A  4 3 8. Sen A 

15. Hallar el valor de “Cos10°”. Sabiendo que Sen20  Cos202  2Cos2 20  x a) 1 – x2 b) 1 + x2 c) x2 2 2 d) x – 1 e) x – 2

Fórmula auxiliar: 10. Sen3A=4SenA.Sen(60º-A).Sen(60º+A) 11. Tan3A=TanA.Tan(60º-A).Tan(60º+A)

Ahora, hazlo tú. 2

 sen2x   sen2x  1. Reducir : J       cos x   senx  a) 5 d) 8

b) 4 e) 6

2

c) 1

sen2x  2senx 2. Simplificar: J  1  cos x a) senx d) –2cosx alexoblogpot.com

b) 2senx e) –2senx

Demuestra lo que sabes. 1.

Si Senα 

12 23 23 d) 27 a)

c) –senx

1 . Hallar el valor de Sen3α 3 16 21 b) c) 27 32 26 e) 27 [email protected]

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2.

Si Cosx  

91 125 74 d) 125 a)

3.

1 . Hallar el valor de Cos3x 5 89 81 b) c) 125 125 71 e) 125

Si Tan α  4 . Hallar el valor de Tan3α

52 a) 47 51 d) 33 4.

54 125 64 e) 125

64 125 54 d) 125

1 2

Reducir: K 

8.

44 125

2 2

c)

d)

1.

b) 2  2

3 1

Al simplificar A  a) Cot x d) Tan x

c) 3Sec2x

b) 1

c)

2.

3.

e) 2

3 2 6 2 d) 4

c) Secx 4. la

b) 12 e) 2

c) 2  3

3

identidad:

c) 8

Sen3x  Sen3 x , se obtiene: Cos3 x  Cos3x b) Sec x c) Csc x e) Sen x

b) e)

5 1 4 5 1 16

5 1 16

c)

El valor de E  Cos85º 1  2Sen80º  , es: a)

en

c) 0

El valor de M  Cos84º Sen54º Cos24º , es:

5 16 5 1 d) 8

4 3

Sen12x Cos12x   4CosAx Sen4x Cos4x

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e)

a)

b) Cotx e) 1

a) 16 d) 4

b) 1 e) –2

c) 3

4Sen 3 x  Sen3x 4Cos 3 x  Cos3x

“A”

3Sen16  - 4Sen 3 16 4Cos 3 14  3Cos14 

Ahora, hazlo tú.

3 Sabiendo que: f x   4Cos x  3Cosx  1

10. Hallar

14. Reducir: E 

a) 1

Simplificar W = 4 – Cos3xSec3x a) 3Tan2x b) 3Cot2x 2 d) 3Csc x e) 3

a) Tanx d) Cscx

2 3

15. Hallar R = Tan5°Tan55°Tan65°

b) 2 e) 5

Reducir E 

c)

12. Reducir: E = 8Cos340° - 6Cos40° + 1 a) 2 b) 1 c) 0 d) –1 e) –2

Sen3θ Cos3θ  Senθ Cosθ

π Calcular f   9 5 a) 2 3 d) 2 9.

b)

a) 2 d) –1

3 2 3 e) 4

a) 1 d) 4 7.

c) –

b)

2 4

d)

6.

b) –

Calcular el valor de: M = 4Sen10°Sen50°Sen70° a)

1 4 2 e) 5

1 2 1 d) 3 a)

13. Simplificar: A = Sen6xCsc2x – Cos6xSec2x a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

Calcular Cos 111° a) –

5.

50 c) 39

51 b) 49 52 e) 37

11. Si se cumple que: 20Sen3x – 15Senx + 2 = 0 Hallar Sen3x

6 2 4 5 1 e) 4

b)

c)

1 2

2 2 En la igualdad: Sen 60º Sen x  kSen3x ; entonces “k”, es: 1 a) 3Sen x b) 3Csc x c) Sen x 4 1 d) Csc x e) 4/3 4

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5.

Al simplificar la expresión Tanx  Tanx  , se obtiene: B  2Cos2x1   Tan3x  Tan3x a) 1/3 b) 1 c) -1 d) -1/3 e) 3/2

2.

2 d) 2 2  1

1. Sen 2. Cos

A 1  CosA  2 2 A 1 CosA  2 2

3. Tan

A 1 CosA  2 1 CosA

4. Cot

A 1 CosA  2 1 CosA

DE

4.

3 13 5 3 13 d) 13

Fórmulas auxiliares:

A 1- CosA 5. Tan  2 SenA A SenA 6. Tan  2 1 CosA A 7. Tan  CscA - CotA 2 A 1 CosA 8. Cot  2 SenA A SenA 9. Cot  2 1 CosA A 10. Cot  CscA  CotA 2 11.

Si Cosθ   a)

6.

d)

15 6 21 6

1.

Si Cosx 

5 4 3 d) 5 a)

1 x ; x ϵ I cuad. Calcular “Sen ” 3 2 1 3 b) c) 4 4 4 e) 5

c) 3 2

21 6 15 6

2 1

b) Cos

x 2

c) –2Cotx

x 2 c) Senx

1  Cosx Senx

x 2

b) Cot

d) Cotx

x 2

c) Tan

x 4

e) Tanx

10. Simplificar: Q  a) 2Sen

22 6

e) Tanx

Reducir: A  a) Tan

c) –

b) –2Tanx e) 2

x 2

x ” 2

x x - Tan 2 2

Simplificar: A  1  Senx  Tan

x 2

d) 2Cosx

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b) 2 3 e) 6

e)

d) Cosx 9.

c)

b) –

Reducir: M = Cot

a) Sen

Demuestra lo que sabes.

2 1 e) 2  2

5  ; θ ϵ III cuad. Calcular “Sen ” 2 13 3 13 3 13 b) c) 10 8 3 13 e) 16

a) 2Tanx d) 2Cotx 8.

b)

Si Secx = 6; x ϵ IVcuad. Calcular “Cos a) –

7.

c)

Calcular: Cot18,5° a) 2 d) 3

5.

3 4

b)

Calcular: Tan 22,5° a)

Sabías que…

 ” 2

1 4 4 e) 5

1 2 6 d) 7 a)

3.

10.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULO MITAD.

Si; α ϵ Icuad. Calcular “Cos

2  2  2Cos4x x b) 2Cos c) 2Senx 2 e) 2Cos2x

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11. Si Tanx = 2; x ϵ IIIcuad. Calcular el valor de

x K  2Tan  1 2 a) – 5 d)

c) – 2 2

1.

e) 2 5

5

12. Si CosA 

b) – 2 3

Ahora, hazlo tú.

Calcular : “Tan

60 A ; A ϵ IVcuad. Calcular Cos 61 2

a) –11 d) 9 13. Reducir

b) –7 e) 11

c) 6

la

expresión:

x x M  Tan  2Sen 2  Cotx 2 2 x x a) Sen b) Cos 2 2 d) Senx

 

14. Simplificar: K  Cotx   Tanx - Tan

x 2

b) Cos

d) Secx

e) Cscx

15. Calcular el valor de: P  Cot a) 2 d) –1

2. c) Cot

x 2

b) 1 e) –2

x Cosx 2 x c) Tan 2

1 3

b) 

1 4

d) 

1 8

e) 

1 2

Si : Cos  

3.

π π  Tan 8 8

c) 

 ” 2

a)

5 6

b)

1 6

d)

5 12

e)

7 12

Si : Cos   

c)

1 12

1 ; 90  β  180 . Calcular : 5

“sen

 ” 2

a)

0,2

b)

d)

0,5

e) NA

0,3

c)

1 12

Si “x” es un ángulo agudo del primer cuadrante x 8 y Cosx = , entonces Sen es: 2 25

17 2 34 d) 10 a)

5.

1 6

1 ; 0º <  < 90º . Calcular : 6

c) – 2

4.

Si: Cosx = a) 1/4 d) 2/5

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5 . 3

 ” 2

a) 

“Sen

e) Cosx

a) Senx

Si : 180º <  < 270º ; Sen  

b) -

17 2

c)

34 10

e) 1

 1 x , calcular Cos ; (0 < x < ) 8 2 2 b) 1/2 c) 3/4 e) 3/5

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