Corrigé Interrogation1_op 26112015-1

Université Mohammed Khider Faculté des Sciences et de la Technologie Département de Génie électrique Biskra le 26/11/2015

Corrigé interrogation écrite n°1 Module: Ondes et propagation (durée 1h 30 mn) Questions de cours (8 points)

q.q ' . 1. Expliciter l’expression suivante: F  4o r 2 1

(2 pts)

F force électrostatique de Coulomb qui s’exerce entre les charges électriques q et q’, situées à la distance r l’une de l’autre.  o Permittivité du vide

2. Expliciter l’expression suivante:

𝜕𝜌 𝑑𝑖𝑣(𝐽⃗) + 𝜕𝑡 = 0

(2 pts)

Equation de conservation de l’électricité, avec 𝐽⃗ densité de courant et 𝜌 densité de charge 3. Soit le système d’équations de Maxwell. En déduire le système dans le cas d’un milieu parfaitement isolant en régime harmonique. ⃗⃗

𝜕𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡(𝐸⃗⃗ ) = − 𝜕𝑡

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐸⃗⃗ ) = −𝑖𝜔. 𝐵 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗ ) = 𝑖𝜔. 𝐷 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐻 𝑟𝑜𝑡

⃗⃗

⃗⃗ ) = 𝐽⃗ + 𝜕𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡(𝐻 𝜕𝑡 ⃗⃗) = 𝜌 𝑑𝑖𝑣(𝐷 ⃗⃗ ) = 0 { 𝑑𝑖𝑣(𝐵

{

⃗⃗) = 0 𝑑𝑖𝑣(𝐷 ⃗⃗ ) = 0 𝑑𝑖𝑣(𝐵

(2 pts)

4. Qu'est-ce qui caractérise une onde plane ?   Une onde plane est caractérisée par des champs E et H perpendiculaires entre eux et

perpendiculaires à la direction de propagation.

Exercice 1 (8 points) a. Soit 𝑉 = 𝑉𝑜 . 𝑒 −Ω𝑥 , calculer ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑉) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉), calculer ∆𝑉. Sachant que ∆𝑉 = 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑 1

(2 pts)

𝜕𝑉 𝜕𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑉) = 𝜕𝑉 𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗𝑥 + 𝑢 ⃗⃗𝑦 + 𝑢 ⃗⃗𝑧 = −Ω. 𝑉𝑜 . 𝑒 −Ω𝑥 . 𝑢 ⃗⃗𝑥 = −Ω. 𝑉. 𝑢 ⃗⃗𝑥 + 0. 𝑢 ⃗⃗𝑦 + 0. 𝑢 ⃗⃗𝑧 𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧

(2 pts) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉) = ∆𝑉 = 𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑

𝜕𝑊𝑥 𝜕𝑊𝑦 𝜕𝑊𝑧 𝜕𝑊𝑥 𝜕𝑊𝑥 𝜕(−Ω. 𝑉𝑜 . 𝑒 −Ω𝑥 ) + + = = = = Ω2 . 𝑉𝑜 . 𝑒 −Ω𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

= Ω2 . 𝑉 (2 pts) b. Calculer la divergence et le rotationnel du vecteur suivant : 𝐸⃗⃗ = 𝐸𝑜 . cos(3𝑥 + 2𝑦) . 𝑢 ⃗⃗𝑦

𝐸⃗⃗ = 𝐸𝑥 . 𝑢 ⃗⃗𝑥 + 𝐸𝑦 . 𝑢 ⃗⃗𝑦 + 𝐸𝑧 . 𝑢 ⃗⃗𝑧 = 0. 𝑢 ⃗⃗𝑥 + 𝐸𝑜 . cos(3𝑥 + 2𝑦) . 𝑢 ⃗⃗𝑦 + 0. 𝑢 ⃗⃗𝑧 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸 𝜕𝐸 𝑑𝑖𝑣(𝐸⃗⃗ ) = 𝑥 + + 𝑧= = −2. 𝐸𝑜 . sin(3𝑥 + 2𝑦) 𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧

(2 pts)

𝜕𝑦

⃗⃗𝑥 𝑢

⃗⃗𝑦 𝑢

⃗⃗𝑧 𝑢

𝜕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝐸⃗⃗ ) = || 𝑟𝑜𝑡 𝜕𝑥 0

𝜕 𝜕𝑦

𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑦 𝜕| | = (− 𝜕𝑧 ) . 𝑢⃗⃗𝑥 − (0). 𝑢⃗⃗𝑦 + ( 𝜕𝑥 ) . 𝑢⃗⃗𝑧 𝜕𝑧 0

𝐸𝑦

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡(𝐸⃗⃗ ) = −3. 𝐸𝑜 . sin(3𝑥 + 2𝑦). 𝑢⃗⃗𝑧 (2 pts) Exercice 2 (4 points) Deux charges ponctuelles négatives qA et qB, de même valeur (qA = qB=-Q) sont fixées sur un axe Ox, à la distance AB = 2d l’une de l’autre. Une troisième charge qC, positive de valeur (qC = 2Q), peut se déplacer sur l’axe Ox entre A et B. Le point O étant au milieu de AB on pose OC = x. Déterminons la norme et la direction de la force électrique qui s’exerce sur qC à l’abscisse x.

D’après la loi de Coulomb et le principe de superposition, on a : 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝐴𝐶 + 𝐹⃗𝐵𝐶 =

2𝑄 −𝑄 2𝑄 −𝑄 . . 𝑢 ⃗ ⃗ + . .𝑢 ⃗⃗ 𝐴𝐶 4𝜋𝜀0 (𝑑 + 𝑥)2 4𝜋𝜀0 (𝑑 − 𝑥)2 𝐵𝐶

Avec : 𝑢 ⃗⃗𝐴𝐶 = 𝑢 ⃗⃗𝑥 = 𝑢 ⃗⃗𝐵𝐶 , on obtient : 𝑄2 1 1 2. 𝑄 2 𝑦. 𝑑 𝐹⃗ = − .[ − ] . 𝑢 ⃗ ⃗ = − .[ ].𝑢 ⃗⃗𝑥 𝑥 2 2 2𝜋𝜀0 (𝑑 + 𝑥) (𝑑 − 𝑥) 𝜋𝜀0 (𝑑 + 𝑥)2 . (𝑑 − 𝑥)2 (4 pts)

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