Mecanica Cuántica-2019i-tarea1+solución.docx

MECÁNICA CUÁNTICA Tarea 2 Fecha de entrega: 21 de septiembre de 2018 a las 12:00 horas

V  ( x), si x  0 1.- Considera un potencial unidimensional dado por V ( x)   1 si x  0  V2 , donde 𝛿(𝑥) es la función delta de Dirac, V1 y V2 son constantes positivas. Calcule el coeficiente de reflexión para partículas que inciden por la izquierda con energía E  0 . Considere el límite E   ¿Qué diferencia tiene este resultado en comparación con el potencial tipo escalón sin la delta de Dirac? V ( x)

0, si 0  x  a  b 2.- Considere un potencial V ( x  na)  V ( x)   , V0 , si  b  x  0 donde n es un número entero (ver figura de la derecha).

V0 II

I

I

-b

II

0

II

I

a b

I

a

(a) Pruebe que cos[ka]  [(Q  K ) 2QK ]sinh(Qb)sin[ K (a  b)]  cosh(Qb) cos[ K (a  b)] para las 2

2

energías E ( k )  V0 , donde K  2mE

2

y Q  2m(V0  E)

2

.

(b) Obtenga y dibuje la relación de dispersión E (k ) , cuando V0   , b  0 y V0b  constante . 3.- Calcule la varianza de xˆ y de pˆ para un oscilador armónico en el estado | n  y demuestre que

 xˆ 

2

 pˆ 

2



2

 2n  1

2

4

4.- Una partícula de masa m está en el estado base del potencial cuadrado infinito, de repente el potencial se expande el doble de su tamaño original, es decir, la pared derecha se mueve de a a 2a dejando la función de onda momentáneamente sin perturbar. Posteriormente se mide la energía de la partícula. (a) ¿Cuál es la energía En más probable? ¿Cuál es la probabilidad de dicha energía? (b) ¿Cuál es la siguiente energía más probable y cuál es su probabilidad? (c) ¿Cuál es el valor esperado de la energía? 5.- La función de onda de un átomo de hidrógeno está dada por (r, t  0)  (2,1,1  2,1,1 )

2.

(a) Construya  (r, t ) y simplifique la expresión obtenida. (b) Calcule el valor esperado de la energía potencial del átomo de hidrógeno V(r ) usando el resultado del inciso (a). ¿Depende este valor del tiempo? Exprese dicho valor en electrón volts.  ei sin   cos  g(r) , donde  |g(r)|2 r 2 dr 1 . 6.- Considere un electrón con la función de onda (r,,  )  0 2 (a) ¿Cuáles son los posibles valores del momento angular Lˆ del electrón mencionado?

z

(b) ¿Con qué probabilidad se obtiene cada uno de los valores del inciso (a)? (c) ¿Cuál es el valor esperado de Lˆ z ? 7.-

Soluciones Propuestas 1.- Problema 3.8 del libro Tamvakis

  2 d2  V0 ( x  na)] k ( x)  Ek k ( x) . El teorema de Bloch  k ( x)  ei k xu ( x) con u ( x  a)  u ( x) . 2.- [  2 2m dx n  

En la región I (0  x  a) , tenemos partícula libre   I ( x)  A sin( Kx)  B cos( Kx) con K 2  2mE Por el teorema de Bloch en la región II (a  x  0)  II ( x)  eika I ( x  a)  eika  A sin[ K ( x  a)]  B cos[K ( x  a)] . Por continuidad en x  0   I (0)   II (0)  B  eika  A sin( Ka)  B cos( Ka)  A  Por ecuación de pozo delta  KA  e  ika K [ A cos( Ka )  B sin( Ka )]  Sustituyendo A en la última ecuación cos(k a) 

2mV0

mV0 sin(Ka)  cos(Ka) 2 K

2

B.

eika  cos( Ka) B sin( Ka)

2

.

3.-

4.-

5.-

6.-