Amilton Luiz Guidorizzi - Um Curso De Cálculo (vol. 2).pdf

1 FUNÇÕES INTEGRÁVEIS

o objetivo deste capítulo é destacar as funções integráveis que vão interessar ao curso. Este capítulo poderá ser omitido pelo leitor que já tenha estudado o Apêndice 4 do Vol. 1. 1.1. A LGUNS E XEMPLOS DE F UNÇÕES I NTEGRÁVEIS E DE FUNÇÕES N ÃO-INTEGRÁVEIS

VOLUME 2

Nesta seção, apresentaremos alguns exemplos de funções integráveis e de funções nãointegráveis, trabalhando diretamente com a definição de integral de Riemann. Antes de começar a estudar os exemplos que apresentaremos a seguir, sugerimos ao leitor rever a definição de integral de Riemann apresentada na Seção 11.3 do Vol. 1. EXEMPLO 1. Prove, pela definição, que a função constantef(x) em [a, b] e que

s:

= k. x E

[a. b], é integrável

f(x)dx = k(b - a).

Solução

N.Cham.

Para toda partição P : a = Xo < XI < x2 < ... < Xi _ I < Xi < ... < x n = b de [a. b] temse, independentemente da escolha de ci em [xi _ I' Xi] ' i variando de 1 a n.

515 G948c 5. ed.

n

Autor: Guidorizzi, Hamilton Luiz Título: Um curso de cálculo.

1I 111111111111~111~1 1 11111111 11 111

n

L

f(Ci) fui =

i= 1

i= 1

211281 40095

Segue que dado escolha dos ci'

v. 2 UTFPR BIBPB

E

L

n

k fui = k

L

fui

= k(b - a).

i= 1

> Oe tomando-se um B > Oqualquer tem-se, independentemente da n

LTC

5ª EDIÇÃO

L i= 1

f( Ci) fui -k(b - a) = O < E

2

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

Funções Integráveis

para toda partição de [a, b], com máx tui < 8. Logo,

Solução

n

.L.. f(Ci) tui = k(b -

lim

SejaP: 0= Xo <XI <x2 < ... < Xi - I < Xi < ... < x" = 1 uma partição qualquer de [0,1]. Se cl' c2' ... , cn forem racionais

a)

máxLll, ~ O i=1

"

n

L f(Ci) tlxi L tlxi

ou seja,fé integrável em [a, b] e

f:

=

f(x)dx = k(b - a).

•

Se CJ, C2, .. . , cn forem irracionais n

Antes de passarmos ao próximo exemplo faremos a seguinte observação. Observação. De acordo com a definição de integral, sendofintegrável em [a, b] , dado existirá 8 > O que só depende de €, mas não da escolha dos ci' tal que

€

L

>O

f(Ci) tlxi =

De CD e@ e da observação anterior segue quefnão é integrável em [O, 1].

f(Ci) tlxi -

f

Prove quefé integrável em [O, 2] e que

f(x)dx

a

<~ 2

CI

L

b

01

€

f(Ci) tlxi - Lf(x)dx

<"2

I

1= 1

Xo

e, portanto,

f(x) dx = O.

I

Cj

C2

I

I

II

I

Xj _

XI X 2

I I

1

c"

2 I

I I

Xj

X"_I

Xn

Se 1 E ]x·J - 1, x.[ J' n

L

se Cj

n

f(Ci) tlxi -

i=1

L

f(Ci) tlxi)

*-

1

se Cj = 1.

i=1

para toda partição P de [a, b], com máx tlxi < 8, independentemente da escolha de ci e ci . Deste modo, seffor integrável em [a, b], duas somas de Riemann quaisquer relativas a uma mesma partição P, com máx tlx i suficientemente pequeno, devem diferir muito pouco uma da outra, e o módulo da diferença entre elas deverá ser tanto menor quanto menor for máx tlx i.

Se 1

= xJ -

n

1e

f(x)

=

{IOsese xx

E li) ~ li)

_ ~ Cj - 1 - Cj = 1, L.J f(Ci) tlx i = tlxj _ 1 + tlxji=1

Fica a Seu c argo conclUIr . que, em qualquer caso

L"

EXEMPLO 2. (Exemplo de função não-integrável.) Prove que . Independente

f(Ci) tlxi - O <s: 2 máx tlxi

i=1 mente da escolha dos cio Portanto, n

não é integrável em [0, 1].

f:

Seja P uma partição qualquer de [O, 2] e suponhamos que I E [Xj _ I' xjl

e n

{O1 sese x;/.I x = 1.

Solução

b

i=1

•

~ IR dada por

f( x) = para toda partição P de [a, b], com máx tlxi < 8. Segue que se P for uma partição de [a, b], com máx tlxi < 8, e se ci e ci (i = 1,2, ... , n) forem escolhidos arbitrariamente em [xi _ I' Xi], teremos

o.

i=1

EXEMPLO 3. Sejaf: [O, 2]

L

= 1.

i=1

i=1

n

3

tim

máx Lll. I

2

~ f(Ci) tlxi = O = r f(x) dx. ~ O L.J Jo i=1

•

4

Um Curso de Cálculo -

Funções Integráveis

Vol. 2

Observe que a função do exemplo anterior não é contínua em [O, 2], entretanto, é integrável em [O, 2].

Solução

5

n

'a P uma partição qualquer de [O, 1] e 2. f(Ci) !:ui uma soma de Riemann de frela-

S~

EXEMPLO 4. Seja

c, em ]0,

. a esta partição . Tomemos uva

I se O ,,;,;; x ,,;,;; I f(x) = { 2 se 1 < x,,;,;; 2.

Prove quefé integrável em [0, 2] e que

f:

i= 1 Xj['

Se mantivermos fixos c2' c3' ... , cn> teremos

n

L

lim

f(Ci) !:ui =

+ 00 .

(Por quê?)

c, -t 0+ i=1

f(x) dx = 3.

Logo, não existe número L tal que

Solução

Consideremos a partição 0= que 1 E [x} - I' xl

Xo

< xI < ... < x} _ 1 < x} < ... < X n = 2 e suponhamos

n

L

1im

f(c;)!:u j = L

máxlll, -t O i=1

~ , ,

2

,

•

ou seja,f não é integráve1 em [O, 1].

,

Observe que a função do exemplo anterior não é limitada em [O, 1]. (Lembramos quef limitada em [a, b] significa que existem reais Q' e f3 tais que, para todo x E [a, b], Q' ,,;,;; f (x) ,,;,;; f3.) O próximo teorema, cuja demonstração encontra-se no Apêndice 4 do VoI. 1, conta-nos que uma condição necessária parafser integrável em [a, b] é quefseja limitada neste intervalo. Tal condição não é suficiente, pois, Temos: se

x} _

se 1 <

j ,,;,;;

c} ,,;,;;

C · ";';;

J

I

se x

E 11)

f(x)= { O sex~1I)

1

x· J

é limitada em [O, I], mas não é integrável neste intervalo.

Segue que

~ !Cc,) flx, - 3 ~ {

se

x} _ 1 ,,;,;; c} ,,;,;;

se 1 <

1 Teorema. Seffor integrável em [a, b], então f será limitada em [a, b).

c},,;,;; x}

(Interprete geometricamente.) Logo, Exerc(cios l.l

n

L

f(Ci) !:ui - 3 ,,;,;; máx!:u i

1. SeJaf: . [O, 1] ~ IR dada por

i=1

independentemente da escolha dos cio Portanto, n

lim

L

f(Ci) !:ui

=3=

máXlll j -t O i= 1

i

2

f(x) dx.

•

f

(x) =

O

Ose x é {O, ~, I} 2 {1se x E{O, ~ , I}

EXEMPLO 5. Prove que I se x = O f( x ) =

não é integrável em [O, I].

1

{ ~seO

< x";';;l

PrOve qu fé ' e mtegrável em [O, I] e que

f~

f(x)dx

= O.

6

Um Curso de Cálculo -

Funções Integráveis

Vol. 2

2. Sejaf: [O, 1] -+ ~ dada porf(x) =

{

Solução

X se x E (Ji O se x ~ (Ji

1

n

a) Verifique que se os ci forem racionais

L f

(c;) tlx; tende a -, quando máx tlx; -7 O.

é limitada em [-1,3], pois, para todo x em [-1,3], O ";;;/(x) ~ 2; além disso,fé des/, apenas em x = 1. Pelo teorema 2,fé integrável em [-1,3]. • conunua

2

;= 1

EXEMPLO 3. Verifique se

b) Prove quefnão é integrável em [O, I].

3. Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.

a)

J,

se O~ x < I 4 sex=1 2 se I < x ~ 2.

f(x)d.xondef(x)=

O

b)

~ x < 2 2'::'::3 J,O3 f(x)d.xondef(x)= {I3 se O _x_

c)

J,

é integrável em [-1,3]. Solução

~

f

I

_I

Não, pois/não é limitada em [-1,3].

I

-seO<x~1 x2

f(x)d.xondef(x)=

{2

O

d)

se-1";;;x<1

{I

2

I

7

f(x)d.x onde f(x) =

{

se x

=

============================

Exercícios 1.2

O

1. A função dada é integrável? Justifique.

x se x E (Ji d "" -x sex",,~

x a) f(x) = - - - , -1 ~ x ~ 2

1+ x2 x2 b) f(x) = e- , O ~ x

1.2. FUNÇÕES INTEGRÁVEIS

c) f(x)

Os teoremas que enunciaremos a seguir, e cujas demonstrações encontram-se no Apêndice 4 do Vol. 1, destacam as funções integráveis que vão interessar ao curso. O teorema I conta-nos que todafitnção contínua em [a, b] é integrável em [a, b] e, o teorema 2, que toda função limitada em [a, b] e descontínua em apenas um número finito de pontos de [a, b] é integrável em [a, b].

d) f(x) =

=

e) f(x) =

Teorema 1. Se/for contínua em [a, b], então/será integrável em [a, b].

x 2 se -2 ~ x < 1 2 { - sel~x~2 x I sex=O sen x

{ --seO <x~1 x o sex=O

l l

1 sen -; se O < x

2 se - 1 ~ x < O 5 sex=O 2 seO<x~l

h)f(X)={;2 se

EXEMPLO 2. Verifique se

3

/(X)={X 2 se-l";;;x
é integráve! em r-I, 3].

se 1 ~ x

~

3

I

X {

= cos 3x é contínua em [-1,5], logo integrável neste intervalo.

~

sex=O 1 1 2 - sen - se O < x ~ X 7T x

g)f(x)=

EXEMPLO l./(x)

~ 4

o

f)f(x)=

Teorema 2. Se/for limitada em [a, b] e descontínua em apenas um número [mito de pontos de [a, b], então / será integrável em [a, b].

•

Ixl~l,x*O

sex=O

Função Dada por Integral

e. portanto,

2

f:

EXEMPLO 1. Calcule X2

FUNÇÃO DADA POR INTEGRAL

f(x) == {

f:

f(x) dx

=

f:

9

•

g(x) dx.

f(x) dx

se

2 --------

2 - se x

2.1. CÁLCULO DE INTEGRAL DE FUNÇÃO LIMITADA E 2

DESCONTÍNUA EM UM NÚMERO FINITO DE PONTOS

o teorema que vamos enunciar e demonstrar a seguir conta-nos que se f e g forem integráveis em [a. b] e se f (x) for diferente de g(x) em apenas um número finito de pontos. então suas integrais serão iguais. Teorema. Sejamfe g integráveis em [a. b] e tais quef(x) número finito de pontos. Então

s:

f(x) dx =

f:

=1=

Solução

f é integrável em [O, 2], pois é limitada e descontínua em apenas x

f:

g(x) em apenas um

r'f(x)dx=

Jo Em [l, 2],f (x) difere de

h(x) = g(x) - ft.x) é integrável em [a. b] e h(x) = O. exceto em um número finito de pontos. Como

L

h (c;) Ih;

~ em apenas x x

b

n

a

L

Iim h(c;)lhi=O máx tu; -t O i = I

f(x) dx.

ri

Jo

x2dx=!. 3

= 1; daí

2

I

I

POrtanto, 2

1 f(x)dx=-+2In2. 3

1 O

EXEMPL

rx O 2. Calcule J f (t) dt, x ;:;. O, onde o

ou seja.

t

S:(g(X) - f(x» dx = O

f

2

independe da escolha dos c;, resulta que tal limite é zero, pois, para cada partição P de [a. b]. podemos escolher c; em [x; _ I' xJ i = 1,2 ... .. n de modo que h(c) = O. Assim fh( X)dx=

+

2 =2In2. 1f(x)dx= 12 -dx=[2Inx], x

n

máx tu; -t O ; = I

dx

Temos

Em [O, l],f(x) = x 2; logo,

g(x) dx.

Demonstração

lim

= f~ f(x)

f(x) dx

= 1.

f(t) =

se

{ 2 t - 1 se t ;:;. l.

•

10

Um Curso de Cálculo -

Função Dada por Integral

Vol. 2

Solução

Para todo x ~ O,f é integrável em [O, x), pois, neste intervalo,f é limitada e descontínua no máximo em um ponto. Temos (Xt dt

JI

se

Jo

(X f(t)dt=

f~ t dt +

(

O

r

fU)

. X X P pontos do intervalo [a, b) e sejafuma função definida em todos os SeJam 2' ... , P' ' dexI' [a, b), exceto em xI' x2:' ... , xp : Supo nh a~os fI"Hrut~d a e contm.ua em to dos os pontoS d domínio. Pela defimção de mtegral, nao tem senlldo falar na mtegral defem pontoS ~ sfeu ~o está definida em todos os pontos de [a, b]. Entretanto, a função g definida [a. b). pOIS na em [a. b) e dada por

O~x~l

f(X) se x É {XI> X2, ... , xp}

g(x) = (t 2 - 1) dt se

11

x> 1

{ m.

se x = x" i = 1, 2, ... , p

m são números escolhidos arbitrariamente, é integrável em [a, b) e o vad . al - d d fi' . ondeml' m2' ... , P lor da integral independe da escolha dos mio Na a maiS natur ,entao, o que e Imr a mtegral def em [a, b) por

f(t>

s: EXEMPLO 3. Calcule X

f:

f(x) dx

=

f:

g(x) dx.

f(x) dx onde

X

f:

f (t) dt

= f~ t

dt

+

r

(t

se O ~ x < 1 2

- 1) dto

se 1 < x < 2.

Como

Solução X ( t dt

Jo

= -x2 e ( X (t 2 2

J

- l)dt

= [ -t3 3

1

t

]X

1

3

2 f(x)dx=

= -x - x + -2

I

3

O

3

EXEMPLO 4.

segue que

] 0, 2 X

~

1

Exerc(cios 2.1

2

ff(t)dt= O

se O ~ x

(

3

x

O

{

x

1 3

7 - - x + - se x> 1. x3

3

I

-

1

2

6

b)

•

_I

x

I

4

• •

{2 se

2 ~

4

==========================================

2

se O ~ x

x

dx não existe no sentido de Riemann, pois -1 não e, l'muta . da em x

a) lo f(x)dx onde f(x) =

ff(t)dt=

I

3

ou seja,

X

5,2 -dx=-+ 1 1 [ -1 J2 =-. 3 2

1. Calcule

1 x3 2 - + - - x + - se x> 1

2

I].

x 3 dx+

O

JIri -1 O

li

f(x) dx onde f (x)

{I

se

O~x
se

-l~x
se

2~x~3

= ~2 se

O< x < 2

12

Um Curso de Cálculo -

c)

Função Dada por Integral

VaI. 2

13

x

f

f(x)dx onde

Esboce o gráfico de F(x) = EXEMPLO 1.

f(X)={1:X 2

5

-I

se x

=

r f(t) dt onde Jo

1

se O",; t < 2

ri)

f

2

g(u) du ood, g(u)

~

{:',

se t;;;' 2.

se lul;;;. 1 se lul < 1

Solução 2. CalcuLe

a)

b)

c)

f~t

rI

F está definida para todo x ;;. O. Temos

f (t) dt onde f(t)=e

seO"';t
F(x) 2 se -L"'; t ",;

f(t) dt onde f(t) = {t2

iox f(t) dt

onde f(t)

=

1

se t> 1

dt

dt

+ I:2 dt se

x> 2

2

se -1"'; t ",; 1 2 se t> 1

= {t

I:l I:l

l

O se t;;;' 1

f

f 2

ri)

f~t

I se O",; f (t) dt onde f(t) =

{

t

2 se 1",; t

3 se

t;;;'

<1 <2

2 x

2

2

2.2. FUNÇÃO DADA POR UMA INTEGRAL

I:

Sejafuma função definida num intervalo I e integrável em todo intervalo [c, d] contido em I. Seja a um número fixo pertencente a I. Para todo x em I, a integral

I:

f (t) dt existe;

podemos, então, considerar a função F definida em I e dada por

Q)

F(x) =

s:

X

F(x)

= { 2x -

Observe que F é contínua e que F' (x) =

f (t) dt =

x

I: I: 1 dt

+

2 dt se x > 2

se O"';x",;2 2 se x> 2.

f (x) em todo x

"* 2.

f(t) dto

Nosso objetivo é estudar a F com relação à continuidade e derivabilidade. Na Seção 2.4, estudaremos Q) supondo f contínua em I; provaremos que, neste caso, F é derivável em I e que F' (x) = f (x) para todo x E I. Na Seção 2.5, estudaremos Q) supondo apenas quefseja integrável em todo intervalo [c, d] C I e, portanto, não necessariamente contínua em I. Provaremos, então, que mesmo neste caso F será contínua em I; provaremos, ainda, que F será deriváveL em todos os pontos em que f for contínua e se p for um ponto de continuidade de f, então F' (P) = f(P). Observe que, tendo em vista o que dissemos acima, o gráfico de F não pode apresentar saLto. Portanto, se você estiver esboçando o gráfico de uma função dada por uma integral e e o seu gráfico apresentar salto, apague e comece de novo !

2

2

•

14

Um Curso de Cálculo -

f'unçao Uada por Integral

VaI. :l

EXEMPLO 2. Esboce o gráfico da função

F(x) =

r

x

=

•• PLO 3 Considere a função F (x)

f(r) dr onde f(t) =

O

{I2

se -1

~

E~EITU

r< 1

.

r f (t) dr onde f (t) = !,r r =1= o. JI

....... ine o domínio de F.

a) [)etell' u

se t;;. 1

'fi ue que F' (x) = f (x) para todo x> O. b) Ven Iq

Solução

Solução

o domínio de F é o intervalo [-1, + 00[. Temos:

F(x) =

r

r1

f(t) dt =

O

i

x

>

a) Se x

0 fserá contínua no intervalo de extremidades 1 e x; logo, ,

todo x > O. Sex ~ 0, a integral se

dr

O

ri

-1~x~1

2 dt se x> 1

b) F (x)

=

f(t) dt não existe, poisfnão é limitada em ]0, 1]. O domí-

x

r .!. dt, x > O; assim J r 1

Segue que F' (x)

Exercícios

2.2

= [In

1; = In x.

t

= -1 = f(x), x> O.

•

x

============================

1. Esboce o gráfico da função F dada por x

x

-I

f:f(t)dt=

f:ldtse-l ~x~1

se -1

F(x) = {x 1 + [ 2t

1;

f:f(t)dt=

~x ~1

f~ldt+ f2dtsex>1

a) F(x)

b) F(x) =

{X

se -1

~

x

~

~ J: l(t) = ft

O""t<1 dI ond,

I(tl - [ :: t ~

)

c F(x)

1

dt

I

2x - 1 se x> I

se x > 1

r f (r) dt existe para JI

nio de F é, então, o intervalo ]0, +00[.

rx

Jo 1 dt + JI

f

F (x)

-I

1;)

= Jrxf(t) 1

1

° ° >° = l0 2

dt onde f(t) =

se t "" se t

d) F(x) F

= Jrx f (t ) dt 1

e) F(x)

li

==

g) F(x)

==

r r

-5

se t"" 1

1 se t > 1

= faX f(t)

f) F( x)

onde f(t)

dt onde 1(1)

f(t) dt

a e

-Itl

dt

~

ond, 1(1)

t,

~

se -2"" t "" se t > O se Itl

~

1

{"

t 2 se Itl

< I

°

16

Um Curso de Cálculo -

2. Seja F (x )

rx

= J, f

Função Dada por Integral

VaI. 2

(t) dt onde

f

(1)

=

{t

se t

*1

Demonstração

2set=1

O

a)

Esboce o gráfico de F.

b)

Calcule F' (x) .

17

, em [a b) pelo teorema de Weierstrass,fassume em [a, b) valor máé contlDua " . , . f . como f " Seiam M o valor máxImo e m o valor ffilnImO de em [a, b). ASSIm, . valor rrurumo. ~ "Imo e b) ' t odo x em [a,

para

m~f(x)~M

3. Determine o domínio da função F

e daí a) F(x)

=

f I

--

2

e)

F(x)

I

x

=

x

O

dt

b) F(x) =

t - 1 t - 2 - - dt t - 4

1 O

I f

I

- - dt

I

O t -

d) F(x) =

x

4. Seja F(x) =

x

f(t) dt onde

2 {t f(t) = 2

se

x

t

- 2 - - dt 3 t - 4

ou seja,

m(b-a)~ f:f(X)dx~M(b-a)

t< I

-set""'!. t

e, portanto,

a) Verifique que F' (x) = f (x) em todo x em queffor contínua. b) F é

derivável em x = I?

5. Seja F(x) =

1 x

f(t) dt onde f(t) =

{I

se t

*I

h

2set=!.

O

Deste modo,

Io

f(x) dx

é um número entre o menor e o maior valordefem [a, b); pelo

h-a

a) Verifique que F' (x) = f (x) em todo x em queffor contínua.

teorema do valor intennediário, existe c em [a, b) tal que b) F é derivável em x = I? Em caso afirmativo, calcule F' (1) e compare comf(l).

6. Sej. F(x)

~ f: I

(I) d, ood,

1(1)

~ {~ se

1 "'"

r

f(x) dx

se t < I

f(e) =

-'--"0'--_ _

b-a

!.

ou seja, Verifique que F' (x)

=

f

(x) para todo x.

2.3. TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAL No próximo parágrafo, vamos enunciar e demonstrar o 2.° teorema fundamental do cálculo. Para tal, vamos precisar do teorema do valor médio ou teorema da média para integral.

Teorema (do valor médio para integral). Seffor eonUnua em [a, b), então exisúrá pelo menos um e em [a, b) tal que

S:

f(x) dx = f(e) (b - a)

f:

•

f(x) dx = f(e) (b - a).

Interpreta ão '. ç Geometnca do Teorema do Valor Médio para Integral

Ih

SUPOnhamos f ' Con' contmua em [a, b) ef(x) ;3 O em [a, b). Assim, f(x) dx é a área do ~Unto A limitad o do valor méd' o pelas retas x = a, x = b, pelo eixo x e pelo gráfico de y = f(x). O teorema b - a e altu~ofc(onta~nos, então, que existe é em [a, b) tal que a área do retângulo de base e) é IgUal à área de A.

18

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

runçao vaaa pur lfllegrUL

'nuas em [a b] comf(x) s ejarn feg con ti ' ,

f

~

Oem [a, b] . Prove que existe 8 E [a, b] tal que

i

b

i

--

..1.7

b f( x)g(x )dx =g(8)

a

f (x )dx.

a

TEOREMA F UNDAMENTAL DO C ÁLCULO.

2. 4. EXISTÊNCIA DE PRlMITIVAS

c

a

b

.f

t'

Seja con!nU Antes de encerrar a seção, vamos destacar uma outra propriedade que será utilizada na demonstração do 2.° teorema fundamental do cálculo. Sejafintegrável em [a, b) e seja c E la, b[ . Vimos na Seção 11.4 (V 01. 1) que seffor integrável em [a, c) e em [c, b) , então

f : f(x) dx

= f:

f(x) dx

+

s:

f(x) dx .

f :f(x)dx= I:f(X)dx+ f:f(X)dx

Exercícios 2.3

f3 e

definida em I e dada por

> Oe contínua em

2. Suponhaf(x) ~ Oecontínuaem[a, b) . Prove que se

s: s:

f(x) dx

> O.

f(t) dto

=

s:

f(t) dt, x E I

é uma primitiva de f em I, isto é, F' (x) = f (x) para todo x em I,

Demonstração

Precisamos provar que, para todo x em I, f (x ) dx = O, entãof(x) = O, para todo

F'(x)= lim F(x+h)-F(x)=f(x) . h~O h

x E[a, b).

3. Suponhaf(x)

s:

Teorema (fundamental do cálculo). Sejafdefinida e contínua no intervalo I e seja a E /. Nestas condições, a função F dada por

F (x)

[a, b]. Prove que

=

Provaremos a seguir que a F acima é uma primitiva defem I, isto é, F' (x) = f (x) para todo x em /. No que segue, referir-nos-emos a este resultado como 2. o teorema fundamental do cálculo ou, simplesmente, teorema fundamental do cálculo.

l' no intervalo I. "

=============================

1. Suponhaf(x)

o x em I a integral IXf (t) dt existe; podemos, então, considerar a função F , a

F (x)

Pois bem, na próxima seção, vamos precisar da seguinte propriedade, cuja demonstração deixamos a seu cargo: "Seffor integrável em todo intervalo fechado contido em I, então

quaisquer que sejam a,

em I , para tod

a no intervalo I e seja a um ponto em I. Como estamos supondo f contínua

~

Temos

Oe integrável em [a, b]. A afirmação

"S:

f( x) dx = O

~ f (x) =

O em [a, b)"

!....(x

+ h)

[a, b] .

s:

Pelo teorema do

Prove

[f(x)]2 dx

s:

+ h f(t) dt -

h

é falsa ou verdadeira? Justifique.

4. Suponhafcontínua em

- F(x) =

= O ~f(x) = Oem [a,

s:

f(t) dt _

h

-

' . valor medlO para integrais existe c entre x e x X+ h

b].

r

f

x

f(t) dt = f(c) h.

+ h f(t) dt h

+ h tal que

20

Um Curso de Cálculo -

Função Dada por Integral

VaI. 2

21

Assim, OU

+ h)

F(x

seja,

:u (f: sen t

- F(x) = f(e) .

h

Tendo em vista a continuidade de f em I e observando que e tende a x quando h tende a zero resulta F' (x) =

· F(x I1m

+ h) -

h~O

F(x)

h

=

r

JI

E XEMPLO 1. Seja F (x) =

X .

•

X2

EXEM PL

.

u 2

•

.

3

fl

=

O 3 Calcule G ' (x) sendo G (x)

I

+ t4

Solução

dto

3

x

G (x) = F (x2 ) onde F (x) =

I I

I + t 4 dto

De G' (x) = F' (x2 ) 2x

3

1 + t 4 dto Calcule F' (x).

3 F' (x) = 1 + x4

e

resulta

Solução

G ' (x) =

Observe que o domínio de F é

R pois, f

3

(t) =

I

+ t4

F' (x)

=

[f

f(t) dt

Podemos, também, calcular G ' (x) da seguinte forma:

J

G (x)

=

= f(x)

dG

d -;;; = du

ou seja,

3 F'(x)=--. 1+ x 4

l

3

u

--4

1+(

I

( Jr

u

1

I

2

dt onde u = x ;

3

) du 3 dx = I + u 4 . 2x.

+ (4 dt

Portanto,

G'(X)=~. 8

Na notação de Leibniz

•

1+ x

d dx

EXEMPLO 2. Calcule :u

6x

1+ x 8 .

é contínua em IR. Pelo teorema

fundame ntal do cálculo

(f:

( Jrx I

I

3

+ t4

dt

)

3

= I + x4

.

•

EXEMPLO 4

x3

I

. Calcule H (x) sendo H (x) =

f

3

- - 4 dto

sen x 1 + t

SolUÇão 2

sen t dt ). omof(t) == ~ , , 1 + t4 e contmua em IR, tomando-se um número real qualquer, por exemplo I te , rn-se, para todo x ,

Solução Sejaf(t) = sen

dt) = sen

f()

Observe que o teorema fundamental do cálculo garante-nos que toda função contínua em um intervalo admite, neste intervalo, uma primitiva e, além disso, exibe-nos, ainda, uma primitiva. x

2

2. Temos:

~ ( Jn r f(t) dt"J = u

,lu

f(u)

H (x) =

3 senx 1+(

f

i

--4

dt

+

fx3 1

3 --dt 1 + (4

22

Um Curso de Cálculo -

Função Dada por Integral

Vol. 2

23

ou o/LiçãO

x

H (x) =

f

3

3

1 + t4 dt -

I

fsen x I

. 6tese é de quefé contínua em [-r, r) ef(t) = f(-r) em [-r, r). Queremos nOS a tu P provar que F (-x) = -F (x) em [-r, r).

3

1 + t4 dt;

daí H' (x) =

3

1 + (x 3 )4

(x 3 )' -

3 (sen x)' 1 + (sen x)4

Corno F (x)

rx f(t) dt

==

efé contínua em [-r, r), pelo teorema fundamental do cálculo

Jo F' (x) =

f

(x) em [-r, r).

ou seja,

H' (x)

9x 2 = --1+ xl2

TernoS, também,

3 cos x 1 + sen 4 x·

[F (-x))' = F' (-x) (-x)' = -F' (-x)

Uma outra forma para se obter H' (x) é a seguinte: como f(t) = _3_ é contínua em 1 + t4 IR,! admite uma primitiva F; assim

ou seja, [F (-x))'

=

-f(-x),poisF' =f

Segue que, para todo x em [ - r, r], H (x) =

f.

r3

3

3 dt = [F]( tX 1 +t4 ) sen x

sen x

[F (x)

+ F(-x))'

= F' (x) - F' (-x) = f (x) - f(-x)

ou seja, ou seja, H (x)

= F (x 3 )

[F (x) - F

+ F (-x))'

=

O.

(sen x) Logo, existe uma constante k tal que, para todo x em [- r, r ), F (x)

daí H' (x)

= F'

F (O) (x 3 ) 3x2 - F' (sen x) cos x.

=

F(-x)

J:f(t ) dt

Exercícios 2.4

a ) F (x)

segue H' (x) =

9x 2

---,.~

1 + xl2

3 cos x 1 + sen 4 x·

EXEMPLO 5. Suponhaf(t) contínua em [-r, r) (r> O) e considere a função F (x) =

J:

f(t) dt,

E [-r, r).

li

C) F (

Mas

================================= ==

x) -

e) F (x)

= k.

_

I. Calcule F' (x) sendo F dada por

F'(t)=_31+ t 4

F (-x)

= O e, assim, k = F (O) + F(-O) = O. Portanto, F (x) + F(-x) = O ou

= -F (x), para todo x

Como

+

==

IX

3t

-2 ~dt

5x2cos,4 dt r2x

JO

cos

b) F(x) =

J:

sen 12 dt

X2

t 2 dt

d) F(x) =

J

f>

5x

I

sen,2 d,

x3

F(x) =

2

_1_ dt

5

+ ,4

x E [-r, r). 8) F(x) == 3 _____________ x

JX e- s2 1

ds

JIr

x

h) F(x) =

2

x 2 e- s

ds

24

Um Curso de Cálculo -

f

i) F(x) =

VaI. 2

Função Dada por Integral

are tg t 3 dt

j) F( x )

=

I:

(x - t) e-

2. Suponha I (f) ~ O e contínua em IR. Estude a função F (x) = ção a crescimento e decrescimento.

I

X3

t2

25

dt

+ 3x 2

1

f(t) dt Com rela.

3. Detennine uma função cp : IR ~ IR, contínua, tal que para todo x

=I+

cp(x)

J:

t cp(t) dt o

4. Suponhal contínua em [ - r, r] (r > O) e considere a função

F(x) =

J:

,,

l(t) dto

d) Prove que F (t)

Prove que se/for uma função ímpar, então F será uma função par. 5. Suponhal contínua em IR e periódica com período p , isto é,f (x) = Prove que a função

g (x) =

x x

e)

I

(x

+ p) para todo X.

2

t ~ O.

Qual é, então, a interpretação para o parâmetro ( que ocorre em ch (? Compare com o parâmetro t que ocorre em cos t.

2.5. F UNÇÃO DADA POR UMA INTEGRAL:

+P

J

t

= -,

CONTINUIDADE E DERIVABILIDADE

I(t) df x E R

Nesta seção vamos estudar, com relação a continuidade e derivabilid ade, a fu nção é constante. Interprete graficamente.

6. Calcule

J~

J1x

F(x) dx onde F(x) =

e-

t2

F(x) dto (Sugestão: integre por partes.)

=

r

f(t) dt, x E I ,

on~e I é suposta integrável em todo intervalo fechado contido em I e, portanto, não necessanamente contínua em I.

J~

1T

7. Calcule

J0

G (x) dx onde G (x) =

sen t 2 dt o

8. As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, que se indicam, respectivamente, por ch e sh, são dadas por

el ch t =

F(x)

+

e- t

e

el sh

e- I

-

f = ----

2 I.

· ' bo Ie x 2 - y. 2 "" 1 b) Verifique que, para todo f, o ponto (ch t, sh I) pertence ao ramo da hlper contido no semiplano x > O.

c) Sendo F (I) a área da região hachurada mostre que

f

= rf(t) dt ,

x E I,

é COntínua em I.

2

a) Verifique que para todo t, (ch t)' = sh

F (I) = -1 (ch I) . (sh t) 2

e r.eorema 1. Sejafi ntegrável em qualquer intervalo fec hado contido no intervalo I seja a um ponto fixo de I. E ntão a função dada por

cltt

1

""~ x 2 - I dx para t ~ O. Calcule F' (I).

I )el/Jon.l/ ração

Scjap E J- . ' eXiste Um inte al ( ne t 1.IOS tomar O! e f3 d rv o O!, f3) C I tal que a, p E (O!, f3) e se p não for extremo de I, e Intcrvalo, exi te ~ ~ogo que p E ]O!, {3(. Comofé limitada em (O!, f3), pois é integrável tal q ue If(t) 1 ~ M em (O!, {3]. Para todo x em (O!, {3] temos

(>OdCI

F(x ) - F (p ) = f

f(t) dt a

f PfU) dt = a

f

X

P

f(t) dto

26

Um Curso de Cálculo -

De -M

~f(t) ~

Função Dada por Integral

Vol. 2

27

M, para todo t E [a, 13], segue que, para todo x E [a, 13],

-M(x-p)~

rf(t)dt

I

~M(x-p),sex;;'p,

0

p

I

F(x) - F(p) - f(p) (x - p) < x-p

€

e -M (p - x)

~

s:

c, portanto,

f(t) dt

~ M (p

~ p.

- x), se x

F(x) - F(p) - f(p) (x - p) = O lim

x- p

.

x~p

Pelo teorema do confronto,

. ~ o casO em que p é extremo de 1. Analise voce lim F(x) = F(p) .

•

x~p

Teorema 2. SejamfeF(x) = ff(t) dt como no teorema 1. Nestas condições, se

f

for contínua em p E I, então F será deri vável em p e F' (P) =

f

(P).

Demonstração Seja p E I e suponhamos que p não seja extremo de 1. Vamos provar que seffor contínua em p então

F(x) - F(p) - f(p) (x - p) = O x-p

lim x~p

que equivale a

F'(p) = lim F(x) - F(p) = f(p). x~p x-p Temos

CD

F (x) - F (P) - f(P) (x - p)

=

IX f(t) dt - IXf(p) dt = rU(t) p

Sendo f contínua em p, dado

€

p - 8< daí, para todo x em )p - 8, p

p

f(p)] dt.

p

> O existe 8 > O, com ]p - 8, p + 8[ C I, tal que t

+

< p + 8 => -

€

< f (t) - f (P) <

€;

8[,

- Elx-pl < f[f(f)-f(P)]dt<Elx-pl. p

•

Extensões do Conceito de Inlegral

3

29

SoluçãO

+ 00 1 dx x2

fi

=

. 11m

t~+OO

fI - 12 I

x

dx.

como

EXTENSÕES DO CONCEITO DE INTEGRAL

f

I

I

_1 dx = [- ~JI = x2 x I

.!. + 1, t

re ulta

f 1 + 00 -

x2

I

3.1. INTEGRAIS

. [1 - - + 1]= 1.

dx = 11m

I~+ OO

t

IMPRÓPRIAS

Estamos interessados, nesta seção, em dar um significado para os símbolos

fa

+OO fa f(x)dx,

-00

+OO

f

e

f( x )dx

-

00

, = area

Definição 1. Sejafintegrável em [a, t] , para todo t > a. Definimos

+ fa

00

f(x)dx

=

fI

lim I~ +OO

I~ +OO

fI f

(x) dx for

+ 00

ou

-

00

a

continuaremos a nos referir a f +00f (x) dJ.

f+

f(x)dx = + oo ou a

00

Como

+:lO 1

J I

_

x2

=

+ 00 1 -dx I x2

f

_. . , . , dx - I, a mtegrallmpropna e convergente.

EXEMPLO 2 A . . . . mtegrallmprópna

f(x)dx =-oo.

I

Se ocorrer um destes casos ou se o limite não existir, diremos que a integral imprópoa divergente. Se o limite for finito, diremos que a integral imprópria é convergente. ' ,4 o Suponhamosf(x) ;;., Oem [a , + oo[ e quefseja integrável em [a, t] para toda t > a. Seja conjunto de todos (x, y) tais que O ",;; Y ",;; f (x) e x ;;., a. Definimos a área de A por

+OO

área A = a f(x) dx.

f+

00

I

x

1 I - dx = [In x ~ = In t.

fx I

A im,

+ 00 1

J 1

-

dx =

X Logo' • a Integral . _ _ _ __ _ _l_m_p_r.....: ópria é divergente.

•

1 - dx é convergente ou divergente? Justifique.

SolUÇão

. e

f

área

f(x)dx

como uma integral imprópria e escreveremos 00

x2

dx

a

a

+ fa

f I- 1 I

desde que o limite exista e seja finito. Tal limite denomina-se integraL imprópria de! estendida ao intervalo [a, + 00[.

Observação. Se lim

..

1

f(x)dx.

lim In t =

I~ +OO

+ 00 .

30

Um Curso de Cálculo -

Extensões do Conceito de Integral

Vai. 2

31

r 'tadas e lim e -su = O (lembre-se de que estamos supondo s > O) U~+ OO sen li e cos li uni

cn do . rc~ulta

1

lim e- su sen u = O e

se- SU cos u = O

lim

U~+OO

,

11 -I

area =

, f+ area =

dx = In t

I

IX

EXEMPLO 3. Suponha s > Oe calcule

00

fo+

00

1 - dx = x

+ 00

e . Portanto.

•

-sI

e

e- st cos t dto

cos

. 11m

1 -su -su - - - [e sen u - se cos u U~+OO 1 + s2

+ s]

_

S

- ---2 .

1+ s

Assim.

Solução + 00

1

e- st cos

t dt =

O

u ru e -st cos t dt = [e- st sen lt - Jr _ o Jo i i O

f

t dt ==

lU

lim

U~+OO

+ 00 s e-SI cos t dt == - - O 1 + s2

O

se- st sen t dt == e- su sen u

+s

u

Jr

o

e- st sen t dI

Definição 2. Seja fintegrável em [t, a] para todo t < a. Definimos

'

f

g'

a f (x) dx =

-

Assim

f:

e-SI cos t dt = e- SU sen u

•

1

e- st cos t dto

f:

+s

lim I~-OO

00

fi

(x) dx.

I

Definição 3. Sejafintegrável em [- t, t], para todo t e- st sen t dt.

+ 00

f

_

00

f (x) dx =

f

O _ 00 f (x) dx

> O.

r+

Definimos

00

+J

o

f (x) dx

Por outro lado,

f:

~-st s~n f

daí

t dt = [e- st (- cos

t)]~

-

de de que ambas as integrais do 2. 0 membro sejam convergentes.

f: -

se- st (- cos t) dt ?bservação. Com relação à defmição 3 se as duas integrais que ocorrem no 2 o membro lorem' . , . Igurus a + 00 (ou - 00), ou se uma delas for convergente e a outra + 00 (ou - 00), poremos

g'

f:

e- st sen t dt == -e- SU cos u

+ 1-

s

f:

r:

e- st cos t dto f.xercícios 3.1

1. Calcule:

Substituindo @ em Q) vem

f~1

e- st cos t dt = e- su sen

U-

se- su cos

U+ s -

s2

f~1

e- st cos t dto

a)

rt x3 fo+x

I

e

Daí (1

+ s2) Jr

u

e)

e-sI cos t dt == e- su sen u - se- su cos u

+s

o

g)

e, portanto,

= +00 (res p .

r:

f(x)dx

fo+'X

-

le-

$X

I

r ~ _2 O xe x

U

f_

1 e-sI cos t dt = - - - [e- SU sen LI t

I

...

2

-

se- su cos u + s).

r O

~.

rr

oo

dx

b)

dx (s

> O)

dI

d)

-1d x

t

rr

E

oo

j)

dx

I

~dx(s>O)

e-x dx

O

oo

h) ,)

= -00)-

===================================== x

c)

f (x) dx

j)

O

te - sI dt (s > O)

oo

O

r+

00

- -I d x 1 + x2 -1d x

32

Um Curso de Cálculo -

l)

f

n)

i+

00

2

00

O

Extensões do Conceilo de Inlegral

VaI. 2

1dx -x - 1

m)

+OO __l _ dx 2 x2 - 1

r+

x dx -1 + x4

00_ 1_

o)

JI

q)

f

if7

+ 00

p)

(

O

2. Calcule

00

e-I sen I dI

1+ O 1 +'" cl

f

b)

dx

+

x dx

ti)

-dx,onde a é um real dado. xa

I

s

+ a2

1

-sI e al di == - ( s > a) e s-a

fo+'" e-sI

1 di ==-

s

1 I: e-SI t dt ==s2 Io+'" e-sI leal dI == (s - 1a)2 (s> a)

+ 00 1

f

e-SI cos aI dI == s2

O

1 x3

I

~

00

e)

fi

9. Utili zando o Exercício 8, calcule

e)

+ 00

f + f f+ _

_

h)

-

00

{I se Ixl ~ 1 f (x) dx ondef(x) == O se Ixl > 1

00 00

00

e-

Ixl

dx

g)

{I 1 f (x) dx ondef(x) ==

f::

se Ix I ~

se Ix I > 1

(x) dx

== I, sendo

x

f

{mO selxl>3 selxl ~ 3

f(x) ==

.

f+

5. Deternune k para que se tenha _

6. Determine m para que

f::

f

00 00

e

(x) dx

f(x) ==

klll

00

e

-SI

I' dt ==

00

4

+

OO

2

se Ixl ~ 1 se Ixl > 1

x 2 dx

f+ -

n!

d ' sen o.

-slf()d I

I

3t

+ 2e + 1/

00

f

(x) dx ==

00

f

lim (--)+00

-

I

f

00

p-st ~pn

,."If

At

=

a

t); suponha, ainda, quef(x) ;;;. O para

(x) dx.

I

Suponhamosfdefinida em ~ e tal que, para todo x, f~ 00 f(t) dt seja convergente. Podemos. então, considerar a função F definida em ~ dada por

==

r

00

f(t) dto

Fixado o real a, para todo real u,

ta.lcnuo

r u

11

~ -

00

f(t) dt

==

U

resulta

[

oof(t) dt

=

e. IlOnanto,

onde

Ia f(t) dt + IXa f(t) dt ;

F (x)

=

r

r 00

f

00

+

s:

+H

(x)

f(r) dt

(t) dt

8. Sejam a e s, s > O, reais dados . Verifique que

r+

I,

3.2. FUNÇÃO DADA POR UMA INTEGRAL IMPRÓPRIA

'* O.

sn + I .

e

b) f(t) == 3t

F (x) dI == 1.

{mx

7. Sejam dados um real s > O e um natural n a) Verifique que

r+

_

Jor+

10. Suponha que, para todo t > O,fseja integrável em [todo x. Prove que

I

== 1 onde

O

Mostre que JO

f

+ 3 cos 2t

1

2

00

4. Determine m para que

b)

a) fU) == sen t

+ 00

33

H (x)

== [ f

(t) dto

f(t) dt

34

Um Curso de Cálculo -

Já vimos que H (x) é contínua e que H é derivável em todo x em quejfor contínua' alé

f

a

'

llld

mais, H ' (x) = j(x ) em todo x em quejfor contínua. Como j(t) dt é constante r () - 00 ' esul que F é contínua e que F' (x) = j(x) em todo x em quejfor contínua. ta

EXEMPLO 1. Esboce o gráfico de F (x)

=

r -

= { 1 se

j (t) dt onde j (t)

Itl

~

1

O se Itl > 1.

00

Solução

OIJSe

O se Ixl > 1 , ontín ua e F' (x) = { 1 se Ix l < 1. "",e' Fe c I '

•

•

E E 1PLO 2. Esboce o gr

=

áfico da função F (x)

f

x

j(t) dt ondej(t)

-

00

={

I

-

t2

se Itl

f

f

f

/-1

x

- 1

oo j(t) dt =

f ocO

f-I

f

x

f

L

X

x

_ oo j(t)dt= _ ooOdt+ _1 1dt

dt

00

j(t) dt

f

x

f

1 d = _X 7f t

_

00

- I

f

x

00

j(t) dt

00

dt

1 dt

-

- I

x

f-IO + fi

= _

f-I00

t2

+ JX

- I

1 dt

f

f

_

=

j (t) dt 00

-I

dt

+

fO X

I

x

f

dt

_

j (t) dt = 00

x

f -I

_

00

1 dt t2

+

fi

+

1 dt

-I

f

X

I

1 t

2" dt

Assim,

f

f oo

t(t) dt =

O dt

ri ri -

-

o dt+

00

O dt+

00

se x

r

~-1

x

f = f f -

se Ixl < 1

1 dt

fi r o -I

dt+

dt

se x

~

[ :x:

j (t) dt

- I

-

1

ou seja,

I

x

_

F(x) =

f

X

-00

sex~ - 1

j(t)dt = x+l selxl < l {2 se x ~ 1

00

t

1

-dt+ 2 t

- li -dt+ 2

-

O

00

1 -dt 2

Em particular

00

1 2 dt = t

I- ~ I

, - x (2

00

t

. hm

f-

se x < - 1

f fi

X

x

+

f

= hm

[

1 dt

- I

x I dt t2

k-7 -OO k

se -1

1 dt

- I

1

2" dt

se x

~

> 1.

.

1 - x

+ -1 ] = - -1 . k

x

dI = 1. Então

se x F

F (x)

=[

00 j (t) dt =

<S -

1

x

1 + [t ]::' 1 1 + 2 + [-

x

I t

k -7-OO

r

se - 1 < x

+

se x > 1

<S

~

1

1 se Itl < 1

o{lIção

x

35

Ex tensões do Conceito de Integral

Vai. 2

1

<S

1

36

Um Curso de Cálculo -

Extensões do Conceito de Integral

Vol. 2

. fnão-lirnitada em ]a, b] e integrável em (t, b] para todo t em ]a, b(. Defipefil1iÇão I, Seja

ou seja, se x :s; - I F (x)

=={:f2

bf(x)dx=

f

se - 1 < x :s; 1

a

--+4 se x > l. x ~b~m~/ é contínua, F

4

apresenta

-1

==========================~.

Esboce o gráfico de F (x)

3.

f

=

f~ f 00

(t) = {02 se I t I ~ 1

seltl>l

f(O = {~O "se

5. f(f) =

~

f

<1

4.

1 - t2

seltl~l

1 7.

fi

{~

f(O={t

f(t) = - 1+ t2

rI

I

Jo Fx

dx .

Solução

seltl>l

1

f(x) = ~ é não-limitada em ]0, 1] e integrável (segundo Riemann) em [t, I] para

O~t~l

O< t

< 1; de acordo com a definição anterior,

se t > 1

rI

Jo ou

6. f(t)

= e- It I

8.

= {O_ se f ~ O

f(t)

1 I '\IX

dx.

. hm

==

t~O+

f ~

1 10. f(t) =

se t > 1

{~ ~: ~ ~ ~ :

fI t

1 I '\IX

dx

=

=

2.

[2 - 2.Jt] = 2

lim

t~O+

seja,

rI

Jo

etset>O

se

fi

. ai imprópria e escreveremos (x) dx = +00 ou (x) dx = -00, conforme o caso. Intcg r a a rrer um destes casos ou se o limite não existir, diremos que a integral imprópria é /\'~~;ente. Se o limite for finito, diremos que a integral imprópria é convergente. I Já ob ervamos que uma condição necessária para uma função f admitir integral de Riemann num intervalo (a, b] é quefseja limitada em (a, b]. Deste modo, sefnão for limitada em (a, b],fnão poderá admitir, neste intervalo, integral de Riemann; entretanto, poderá admitir integral imprópria.

se f < O

seltl>l

{O

f(t) =

se-l~t~l

se 1

t

t

(x) dx denomina-se integral imprópria . 'te exista e seja finito. O número dc,Jc que o I trnI a b] Se o limite for +00 ou -00, continuaremos a nos referir a (x) dx como uma def em [a, . a

EXEMPLO. Calcule

(t) dt onde

2.

fbf(x)dx

fi

----------F

Exercícios 3.2

lim

t~a+

fi

é derivável em todos os pontos; assim, o gráfico de F não

ICO .

1.

37

-rx1 dx

I

1

.JX

- se f > 1 f

---------------------------~---------t

o

1

3.3. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS: CONTINUAÇÃO

. ? objetivo ?este parágrafo é estender o conceito de integral para função definida e nÓo' ltmttada num Intervalo de extremos a e b, com a e b reais.

área ==

fl_lt.JX

dx.

área

rI 1 == Jo.JX

dx.

•

Extensões do Conceito de Integral

38

Um Curso de Cálculo -

Exercícios 3.3

========================:::::.=

~

1. Calcule a)

rl_l_ dx

b)

Jo "J../x 3

c)

x2

1l~

dx

d)

r

rl~ dx

+00[. Segue que lim f (t) dt ou será finito ou +00; será , rescente em [a, x-t+OO a LogO, F e c . f x f (t) dt -< M para todo x ~ a (veja Exercício 9). . M > Otal que -

Jo x

f>n x

dx

2. Suponhafnão-limitada em [a, b[ e integrável em [a, t] para a < t < b. Defina 3. Calcule

a) c)

fo~dx

b)

- -I d x 4 - x2

d)

r -I

1

r

s:

finIto f (x)

eix.

se existir

a)

1

x

o~

_ S 'amfe g duas funções integráveis em [a, t], para todo mparaçao. eJ -

CritériO .ecO t dox~a,O~f(x)~g(x).Entao I :;:> a, e trus que, para o

o~dx

f

a

'd

+CC

4. Suponhafnão-limitada e contínua nos intervalos [a, c[ e]c, b]. Defina

f

g

()

x

dx convergente ~

a

b) ( "" /(x) dx

divergente~

J/ +00

a

L

(x) dx convergente.

+00 g(x) dx divergente.

dx

Demonstração

s:

f(x) dx.

a)

fI

lim

+ OO

J

g(x) dx é finito, pois, por hipótese, a

a

t~ +CC

g (x) dx é convergente. De

O ~/(x) ~ g(x), para todo x ~ a, resulta

5. Calcule a)

39

VaI. 2

1 ---dx

2

I

1o~

b)

f

-

I

-llxl

f/ t

dx

6. Suponhafcontínua em la, b[ e não-limitada em la, c] e em [c, b[. Defina

(x) dx ~

a

s:f

(x) dx.

Sendo F (f)

=

f/ I

fI

g (x) dx ~

a

J+oog (x) dx. a

(x) dx crescente e limitada, resulta que lim

1-t+ 00

a

JI /

"

(x) dx sera fimto e,

a

+OO

3.4.

f

portanto, a

CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS: CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO

b)

/ (x) dx será convergente.

Em muitas ocasiões estaremos interessados não em saber qual o valor de uma integra: imprópria, mas sim em saber se tal integral imprópria é convergente ou divergente. para. tUa fim, vamos estabelecer, nesta seção, o critério de comparação que nos pennite conclulr,e convergência ou a divergência de uma integral imprópria comparando-a com outra que· sabe ser convergente ou divergente. b O Observamos, inicialmente, que se/for integrável em [a, t], para todo t > a, e sef(x) 17 em [a, +00[, então a função F (x) =

s: /

(t) dt,

X

~a

será crescente em [a, +00[. De fato, se XI e x2 ão dois reais quaisquer, com a então

.

~ XI ~

\;'

•

Fica a seu cargo.

1~

+OC a g(x) dx

J Jf +."

C/

g

(x) dx dI' vergente

J

+

convergente => =>

00

f(x) dx convergente

S" +00 g (x)

"

dx d'Ivergen t e

40

Um Curso de Cálculo -

Extensões do Conceito de Integral

Vol. 2

r+

00

EXEMPLO 1. Verifique que J o

'ntegrável em [a, t], para todo t ~ a . Prove Suponh a f I 3 O ~PL .

e- x sen 2 x dx é convergente.

f:

E

+00

00

Solução

O~ e

J,r+

00

e-x dx

O

r+

J,O

=

-x

lim

2

sen x

I~+ OO

i'

~

-x

e

~

, para todo x

O.

O

I~+ OO

o

00

a,

par... todo .

1, logo

Jr+ o

00

e- x sen 2 dx' x econ_

e-x sen 2 x dx ~ 1.

+ oc

r

oc

2

•

2"

f(

)1d convergente, resulta, do critério de comparação, que

x

x

f

(X) dx

=

J I

([I f (x) I + f (x)] - If(x)l} dx

ex:

JI

x

x4

a

1

+3

e-x sen 3 x dx é convergente ou divergente? Justi-

Solução

r+ e

Jo

oc -

1

3 ~ '4' e, portanto, 1+ - 4 x

x

x3

1

1

x4 + 3

4

x

a)

i+

x

00

I

x3 x4

+3

en dx é diverg '

oc , Jr+ o e

o

x

00

_

I e x sen 3 x I dx também será convergente;

3

sen x dx é convergente.

li

te

~ ~xemplo que daremos a seguir erá bastante útil no estudo de convergência de in ' grals Impróprias cujo integrando não seja sempre positivo. Tal exemplo conta-noS que se + 00 y

hé

'Xl

p

.6

(nõ

1'310

'l

sen x -dx x

oluçiio

a)

o

f

I

.

1 -4 dx = + 00, segue, pelo critério de comparação, que

+ 00

r+

'

dx e convergente, então J

E EMPLOS ' . E convergente ou divergente? Justifique.

--- ~ -·- > O

I

00

o ~ I e -x sen3 x I ~ e -x.

Para todo x ~ 1,

te.

f (x) dx

dx é divergente.

pelo Exemplo 3

00

00

•

o

Como

J1r+

a

a

também é convergente.

Solução

De

a

00

a

fique.

3 00

fI [lf(x)1 + f (x)] dx - fI!f(x)1 dx.

f+ [I f (x)1 + f (x)] dx e f+ I f (x) I dx são convergentes, resulta que f+

EXEMPLO 4. A integral imprópria J

r+

=

a

r+

2

EXEMPLO 2. Verifique que a integral imprópria

I

[!f(x )1 + f (x)] dx é, também, convergente. Temos

Como

e-X sen 2 x

3"

f(x) dx convergente.

O

f "Ir

i

endo

I a

e- X

"Ir

~ Ia

o ~ If(x)1 + f (x) ~ 2 If(x)!.

'

e- x dx é convergente. Segue do critério de comparação que

r+

=

lim [-e- I + 1]

00

vergente e, além disso, J

If(x)1 dx convergente

(/Iu~ tÍO t' ;;;'

=

e-x dx

41

l' 1 sen

]1

f'

-I (- cos x) - - - 1 (- cos x) dx = x I I x2 '== - cos t cos x _ _ _____ ~+cosl- .--?-dx. I -;

x dx

'= [

f'

•

42

Um Curso de Cálculo -

Para todo x

~

Ico~x x I, ; ; ~. Como i+ 00 _1_ dx é convergente, r+ 00 I~I x 'x2 J, x2 dx ta.ll).

1, O ,,;;;

bém será, e, portanto,

Extensões do Conceito de Integral

VaI. 2

+ oo cos x --2-dx é convergente. Como , x

i

li

O limitada

cos t 1 / --\ lim - - - tim :cos l/ 1-7+ 00 1-7+ 00 t , _ # /

=O

_ ( . G)) r+ ool_se_n_x_ldx é divergente. Tendo em vista o item . ' e cornparaçao veja , J1 x _ . I riten O d , d aflrmação do Exemplo 3 nao é verdadeira. pc: o .\ ' -se que a reclpr~c~ a onstração é deixada para exercício, estabelece a convera). con~t u;rn a segui~te. cUJa e~ntegraiS impróprias e que serão úteis no estudo de diverO t~or . AnCla de certas . cia OU dlverg: . de integrais imprópnas. g n . eCo nvergenCla g n la ~____----------------------------------------------------~

Teorema

resulta

i+

00 sen x --dx=cos1'x

i+ 1

a)

00 cos x --dx x2

r+ ~dX é convergente para a > 00

JI b)

ou seja,

fo+CX: e- ax dx é convergente para todo a> O.

E.urcícios 3.4

~

==========================================

I. É convergente ou divergente? Justifique.

sen 2 x,,;;; Isen xl. Segue que, para todo x

r+ ""

1,

a)

JI

c)

f '"

G)

Temos:

f ..!.. , x

x dx = [..!.. (..!..x - ..!.. sen 2X)]1 - r~ _12 [..!..x - ..!.. sen 2X] dx =' x

2

= _ sen

4t

.

Tendo em vista que

, J)

4

2t + sen 2 + 4

rl[_I__ sen

J, 2x

i)

4

2X] dx.

sen

- - 2 - dx é convergente (por quê?),

00 _1_ dx

='

+~ e

. i [

---dx= +00.

O

e-X co

-

I

+1

3x 2

h)

dx

~~~6

+x +1

x 2 In x

2

.j; dx

F+L

x

C/)

+ 00 sen 2 x

x3

+ x cos 2x --dx x + oc 1 dx

f f

dx

j)

m)

r+

xe- x

00

dx

~x2+ x+1

Jo f+ oc

1

dx

+ x2 + 1 t], para todo t ;;;:. a, comf(x) ;;;:. Oem [a , + 00[. Suponha que exis-

x

x4

' I egrave em [a, tem um Q real e f . 1 , . uma unçao g tats que, para todo x;;;:. a, f (x) = g (x). Suponha, alem diSSO, a que lím g ( _ x t-. hJ x) - L> O (L real). Prove:

4t

ou seja,

4

x 2. Suponhaf int

. sen 2t hm - - - = O, resulta 2 l sen x bm ---dx = +00 1-7+ 00 I x

j)

x3 2x - 3

I

i+ , 2x

d)

dx

+ 2x + 1

COS 3x - dx

r+ J

I)

4x 2

i+ 2x , 4x 00

2

x

b)

+ 3x + 1

x4

I

g)

dx

1 x5

i+ '" f '" f '"

e)

sen 2

1 e divergente para a ,,;;; 1.

x

+ 00 sen x - - d x é convergente. ) x

i

b) Para todo x, Isen xl ,,;;; 1 e, portanto,

1-7+ 00

43

b)

3

Q> I I

Q

f +oc

~ a

~

f +:rc a

tihz:tndo E o Xerc" a)

J 2

f

(x) dx convergente

f

(x) dx divergente

ICIO

""

.\" 6 -

X

2

• estude

a convergência ou divergência de cada uma das integrais a seguir.

+I

~ 2 x 2 + 3 dx

b)

+ 00

J

la

x5

-

3

----;====== , 20 + 10_

dx

44

Um Curso de Cálculo -

r+

:x;

c)

2x 3 +

JI

x5

Vai. 2

2

+ 1 dx +x +2 X

In x

+ 00

1

d)

xln(x+l)

I

dx

4

4. Sejaf contínua em (O, r], para todo f > O, e suponha que existem constantes M > Oe que, para todo r ~ O, y), O~

CD

If(t)I~Meyt.

5

APLICAÇÕES À ESTATÍSTICA

00

Prove que + e- SI f(l) dI é convergente para s > 1'. 0

Observação. Uma função f se diz de ordem exponencial l' se existem constantes M > O tais que CD se verifica. e y:> O 5. Sejafuma função, com derivada contínua, e de ordem exponencial 1'. Verifique que 00

, para

s> 1',5 + e-SI f' (r) dt é convergente e que 0

r

OC

e-sI f' (t) dt = s

r""

-

DENSIDADE DE PROBABILIDADE. PROBABILIDADE , • • DE VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTINUA

41 FUNÇAO e-SI f(t) dr - f(O).

6. Suponha que f seja de ordem exponencial l' e que, para todo r real,

f'

(t)

+ 3f(r)

=

=

+

. _ S' f ma função definida para todo x real e integrável em todo interv~l? Defimçao. eP u. < b Dizemos quefé uma função densidade de probabtlz(a,b],comae b realsea. _ ' . ". dade se as seguintes condlçoes estiVerem satisfeitas.

r.

Mostre que, para todo s > 1',

r+

oo

Jo

e- sI f(r) dr

f(O) +3

s

I s2 (s

.

i)f(x) ~ Opara todo x;

+ 3)

+OC

Conclua que existem constantes A, B, C tais que

i

+ OC

e

-51

ii)

J

-:x:

f

(x) dx = 1.

f(O) A B C f(t)dr=--+-+-+--

O

s

+3

S

s2

S

+3

Agora, utilizando o Exercício 8 da Seção 3.1 e supondof(O) = 1, determinefque verifiqueQ) e mostre, em seguida, que estafsatisfaz Q). Observação. A função g dada por g (s)

=

r

EXEMPLO 1. Sejam a < b dois reais quaisquer e f a função dada por

oo

f

e-sI f(t) dr

(x) =

{b ~ O

denomina-se transformada de Laplace de f Venflque q

7. Procedendo como no exercício anterior, determineftal que

a)

f'

a

se a";;; x ,,;;; se x


b

ou x

rel="nofollow"> b.

f'

ue e uma função densidade de probabilidade.

(t) - 2f(f) = cos r ef(O) = 2. UlllÇcill

b) f' (t) + f(t) = e21 ef(O) = -1.

o~

. . . S ha ai nda. q 8. Suponha quefef' sejam de ordens exponencial 1'1 e 1'2' respecllvamente. upon , f" eja contínua. Verifique que

50+

00

e- SI f" (t) dr =

i

5

00

+ e- SI f' (t) dt - sf(O) -

f'

~ a}

J

'gual lim F (x) será finito ou +00. Será finito e I X--7+ 00

a sup {F (x) I x

+OO

(O)

0

9. Suponha F (x) crescente em [a, + 00[. Prove que

De b::> u se u g e que f(x) ;;" O para todo x. Por outro lado,

se existir M > O [aJ que, para todo x

~ a, F (x) ~ M.

-00

f

(x) dx

=

f -b

1

a

b- a

dx

=

1.

logo, a função dada ' e Uma função densidade de probabilidade.

•

Aplicações á ___ "..

",",u

ue

L.UtcuCQ -

+00

e- x /(3 f(x)=

{

~

se x

2::

O

te· pO

~ - , d' t mas que == 1 ariável aleatória que nao e Iscre a babilidade de uma v o I . definimO P:d de de probabilidade. egulr. _ ão densl a dm l1e Umatunç -----------------~----~~~;,:~~~~~~~~ . . / . a e f uma função densidade de pro b ab'1.am X uma variável ale~t?n tem densidade de probabilidade f se a I>efiniçã~. s~os que a variável ~leatonl~X)a b[ com a < b quaisquer (a == -00 ou l"dade. Dize X ertencer ao mterva " I bTdade de P proba , ' f dada por b == +(0). or

~ p( 'i) j.,J

De (3 > Osegue que f (x) ;;. Opara todo x real. Por outro lado,

O

-x/{3

_e__ dx {3

lim

~ p(Xj).

.

Solução

+OO f(x) dx = 1+00

rp (t,)

~ p(Xj) = 1, onde todo i natuf al , e ~ "?' O. para i =' 1 /1

se x < O

é uma função densidade de probabilidade.

-00

"f'

V01. L

EXEMPLO 2. Sendo {3 > O, verifique que a função f dada por

f

~statlsttca

ros

{3 S -? +00 JI

e- x /{3

dx

=1

::::

'I -)11m+""

j

P(a <X
J:

f(x)dx

pois respectivamente, s

r

Jo

e- x /{3 dx

= -{3 e- s/{3 + {3 e

lim

s

~ +00

e- s /{3

= O.

P(- OO < X

•

Assim, a função dada é uma função densidade de probabilidade.

< b) == P(X < b) = J~oo f(x)dx

ou +OO

Consideremos um experimento qualquer, e seja S o espaço amostrai associado a tal experimento, ou seja, S é o conjunto de todos os possíveis resultados de tal experimento. Suponhamos, agora, que a cada resultado possível de tal experimento seja associado um número X. Pois bem, a variável X obtida dessa forma denomina-se variável aleatória. Se o conjunto de todos os valores de X for finito ou enumerável, dizemos que X é uma variável

J

P(a<X<+ oo)=p(X>a)== a

f(x)dx).

aleatória discreta.

Quando a variável aleatória X é discreta, é possível associar a cada valor de X uma probabilidade. Consideremos, por exemplo, o experimento que consiste em lançar uma moeda. Neste caso, o espaço amostrai é o conjunto {cara, coroa}; se ao resultado c~r~ associarmos o número Oe ao coroa o I, a variável aleatória X poderá assumir qualquer v ~ do conjunto finito {O, I}, e X será então uma variável aleatória discreta. Supondo a moe 1 honesta, a probabilidade p (x) de cada valor x de X é ~, ou seja, p(O) = ~ e p (1) ~ "2' 2 2 /' X ser é usual a notação P (X = x) para representar a probabilidade de a variável aleato na igual a x: P (X = x) = p (x). Observe que p (O) + P (1) = 1. ltadO!' Consideremos, agora, um experimento em que o espaço amostrai consiste em n res u " ) possíveis, sI' s2, ... , sn' e a cada resultado Si associamos um número xi; então {Xi I i == 1,2, ;. ~J.ll é o conjunto dos valores possíveis da variável aleatória discreta X; a cada valor poss~ Oe de X podemos atribuir uma probabilidade p (x) = P (X = Xi)' com p (Xi) <7

~ L. ;~1

p(x;)

= l.

l~

Se o conjunto dos possíveis valores assumidos por X for enumeráve .

seja, da forma {Xi I i natural}, as duas condições acima deverão ser substituídas, respe

cti"lI'

y

y =

f (x)

~-----

a

x

b

área hachurada = P (a .;; X .;; b)

De se rnodo . , d a área da região hrnllad' ' a probabilidade de X estar entre a e b nada mais e o que a pelo gráfiICO de y = f (x), pelas retas x = a, x = b e pelo ' De eixo x. .

J

ftt) dt. --

I

'l'd d d a variável aleatóna I a e e

ef(x);;. O para todo x, resulta que a probabl

Aplicações à Estatística

48

Um Curso de Cálculo -

X pertencer ao intervalo ]a, b[ é tal que O ~ P (a

~

X ~ b)

~

1. Observe quef(x) dx '

aproximado para a probabilidade de a variável aleatória X estar compreendida entre e ul11 v~ Pelo que sabemos sobre as funções integráveis, nada muda nas definiçõe a/ e x '4 dos sinais < (ou ambos) for trocado por :os;; assim, l111a Se ~ P (a ~ X < b) = P (a < X < b) = P (a ~ X ~ b) etc. Dizemos que uma va~iável aleatór~a X é con!ínua se, par~ todo a real, a proba .. de de X = a for zero. POIS bem, se X e uma vanável aleatóna que admite fu nç blllda dade de probabilidade f , então X será uma variável aleatória contínua pois paao den I , ra tOd real P (X

= a) =

49

Vol. 2

°a

Iaa f (x) dx = O.

a1e3t

nol'

probabilidade dada por

e de

~ {~,-Xi3 :: :: ~

1

~ 1) -

(O ~

X

.c:: 3)

== -

-

3

áximo um ano é a probabilidade de a variável

11e-x13 dx = (_e - x/3]1O = 1 -e - 1/3 = O,28. O

,

abilidade de a bateria durar menos de u~ ano e de ap~o. ercentuais, ayrob da 100 baterias, espera-se que 28 deixem de funclOEOllcrt110S ~e 28%, ou seja, em ca inladaOlen de um ano de usa. nar coi11 meno I f 3 -x/3 dx = (_e - X/3]3 = -e - I + e -1/3 = 0,35. Assim, a pro-

P

) P (I

EXEMPLO 3. Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria d' mos, bateria de relógio) seja uma variável aleatória X contínua com função densida~ Iga.

f(x)

bateria dure no m ' rdade de que a. tervalo [O, 1]: probablxlpertencer aO In

X-

e

1

3 1 . d de um a três anos é de 35% . l . . • e de que a batena ure ldad babd +00 13 . [ _X I3]+ oo = e-I = O 37. A probabilidade de que a 1 -x dX = -e ' e ' 3 37 X) - c/) p (3 < - 3 3 , d 37~ ou seja em cada 100 baterias, espera-se que 's de 3 anoS e e o, , • bateria dure mal durem mais de 3 anoS. cf.

f

EXEMPLO 4. Sejaf dada por f(x) =

sendo o tempo medido em anos. a) É razoável tomarfcomo função densidade de probabilidade para a variável aleatória X? b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano? c) Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre I e 3 anos? d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?

+X

J

De

J+:X: -xk

f(x) dx =

3 dx. =

. (venfique) segue k '

. para k-2 = 2. ASSim, a f e' u ma função densida•

f
11)

para to o x. (\) == kx (x - 5), O ~ x ~ 5 ef(x ) = O para x < O ou x > 5.

~ I + 4 x2 para todo x.

UPonhaqueo I" . ., I I t ' ' acom run ã sa an o R$X de um funcionário de uma fábrica seja uma vanave a ea Orl U) ~ denSidade de probabilidade f (x) = k x - 2 para x ;;:" 400 e f (x) = O para x < 400. b I:tennme k .. ) Qual a prob P:u:a quefseja uma função densidade de probabilidade. () Qual a probab~I~dade de o salário ser menor que R$I .OOO,OO? O? d) S a f' b ' ablhdade de o salário estar compreendido entre R$2.oo0,OO e R$5 .000,O . . 3 20 O funcionários, qual o número esperad o de f unClOn . á n' os com saláriO a fica entre R 2 te m. .000,00 e R$5.000,OO?

b

3

1

Detemline k para que a função dada seja uma função densidade de probabilidade.

2

~ e- x l3

J+oo f(x) dx, precisatnos determmar . k de modo que J+oc ~ dx = 1 1 x3 .

l: tercícios 4.1

cI)f(\) =:

y =

-k

2 de de probabilidade. 1

() J

I 3

1

Solução

- x

Pelo Exemplo 2, talfé uma função densidade de probabilidade (f3 = 3). .. a) lpicialmente, observamos que teoricamente X poderá assumir qualquer valor real POSIUVO Õ E razoável supor que a probabilidade de X pertencer ao intervalo [x, x + Llx], com !::.x;;> e constante e x ;;;. O, decresce à medida que x cresce, e, como a probabilidade de X ser menor que zero é zero, é então razoável esperar que af seja nula para x menor q~e ze;~ e descrescente no intervalo [O, + 00[. Como afdada acima satisfaz tais condições, e en,tu a n razoável tomar tal função como função densidade de probabilidade da variável aleato X. É claro que essaf não é a única função que satisfaz tais condições.

>-

Que valor da constante k tomaf uma função densidade de probabilidade?

Como

Solução

k

~ se x ~ se x < 1.

{O

:YU

Um Curso de Cálculo -

51

Aplicações à Estatística

Voi. 2

4.2. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO Seja X uma variável aleatória. A função F dada por

r eJ110

F (x) = P (X ~ x), com x real,

é denominada função de distribuição da variável aleatória X. Se X for uma variáv I ria contínua, com densidade de probabilidade f, teremos e aleató.

. X - pode assumir valor negativo; para O ~ x < I, O pOIS nao , , . . al 1 . X = Oé o único valor que X podera assunur no mterv o :::; O) :::; -, pOIS . p (X 2 _ (X = O ou X = 1) = P(X = O) + P (X = 1) = 1. ASSim, p eX ~X) - P

x<. O) -_ P (.

,)

P

\ ;p I,

[O. 11. para

se x F ( ) "" para todo x real. Observe que, se X for uma variável aleatória contínua com função densidade de prob lidadef, então a sua função de distribuição F é umafunção contínua e F' (x) = f(x) em bl• x em que f for contínua. Observe, ainda, que a probabilidade de a variável aleatória X 0dQ tencer ao intervalo [a, b] é per.

p()(~x) :::;

.

~X~ b) = F(b)

- F (a)

=

s:

f(x)dx.

,

Observe que F e descon

Exerddos 4.2

<1

2

t'

a nos pontos x

!nU

= Oe x = 1. Observe, ainda, que

a) f(x)

x -t - 00

•

=============================================

= 2.

para O ~ x

~ 5 ef(x) = O para x < O ou x > 5.

b) f(x)

2. e -x/2 para x ~ Oef(x) = O para x < O.

=

2

c ) f (x)

i

= -

e

-lxI

2

para todo x real.

Solução 2. Sabendo que a função de distribuição da variável aleatória X é dada por F(x) =

I

x

- 00

f(x) dx, segue que F (x) = Ose x ~ 1 eF(x) =

IX -.21 1 t

. dtsex> 1, oU seJa.

F(X)~r~

se x

~

1

se x > 1.

111

lim x -t

F (x) = l.)

On idere

EXEMPLO 2. Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir qualquer va conjunto {O, I} e com probabilidades P (X = O) = P (O) =

..!.. e P (X =

2 Esboce o gráfico da função de distribuição da variável aleatória X.

1)

~ P (I) ""

1

"" ~

I

+I

dI,

., . a vanavel aleatória discreta que pode assumir qualquer valor do conjunto {O, I, 2} e

= ~ e P (X = 2) =

2.. Esboce o gráfico da

6

2

4.3. VALOR ESPERADO E V ARIÂNCIA DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

+00

]Dr dO

I --2

determine sua função densidade de probabilidade.

Com prObabilidades P (X = O) = ~, p (X = I ) função de d.· . _ 3 lstríbulçao da variável aleatória X.

F(x)

~ f 2X 'TT

-00

3. Seja X um

(Observe que

F (x) = 1.

5

EXEMPLO 1. Considere a função densidade de probabilidade dada porf(x) = ~ sex;;.1 . x e f (x) = O se x < 1. Determine e esboce o gráfico da função de distribuição F.

De F (x) =

lim

x -t +00

. f -o de distribuição da variável aleatória X, sendo sua função densidade de prol. Determme a unça babilidade dada a seguir.

Observe que, se F for uma função de distribuição, deveremos ter necessariamente lim F (x) = 1 e lim F(x) = O. Você concorda?

x -t +00

F

se O ~ x

I

se x ;;;.; 1.

t

P(a

,


e~

mos Urna col eçao - de n números reais em que o número x 1 aparece repeti'do n 1

'.\2 apare

Ce n 2 veze , . .. , xk

IIIIdlQ aritmét ' ICQ

_

x des

k

aparece nk vezes, de tal modo que "~ ni

' , ses nu meros e dada por

i

=1

= n ; pOIS. b em,

Aplicações à Estatística

52

Um Curso de Cálculo -

k

x =

n

o f (X) dx é praticamente a probabiliara d:c sufic.ienteme~~eOPqeu~:~ s~guintes definições de valor esperado do que. P . nada maiS natura , rv all '"cia de .\ •. , veI aleatória continua. ocorre na varJa

k

L ni Xi

~ L. Xi fi, onde fi

i= 1

i= I

=

ni

n

d lra ne .HI r'• UI

afI

Sabemos que a distância do número xi a X é 1xi - X I; assim, o quadrado da dist' xi a X é (xi A média aritmética dos quadrados das distâncias dex · a d anela por definição, a variância de tais números: I , I e I a~

xl

x.

k

variância =

n

- 2

(Xi - x) ni =

1

L= I

b blhd.ldl: .

+00

E (X) == - 2

(Xi - x)

a lariâ/l cia Var

xf(x) dx

(X) deXpor

Var (X) ==

k

L (Xi -

t oo

fi.

i

desvio padrão =

d ------~-~-~==::_:=:::_;.::~~~ '· a contínua X com função densidade e pro-

' variável al ea t00 . -o. eja X ~ma valor esperado E (X) de X por n1ça pefi -J' DefinImo o

k

L=

i

__

A raiz quadrada da variância denomina-se desvio padrão de tais números:

+oo

J

- 00

[x - E (X)]

2

f

(x) dx

. . 'mpróprias sejam convergentes. desde que as mtegraIS J

~)2 f;.

i= l

Lembrando que E (X) é um número, temos Observe que, quanto maior o desvio padrão, mais afastados estarão os números xi da média e, quanto menor o desvio padrão, mais concentrados em tomo da média estarão os números xi' Consideremos, agora, uma variável aleatória discreta X com possíveis valores xI' x2' x3' .. . , xk e probabilidades p (x I)' p (x2), ... , p (xk)' Por definição, o valor esperado ou média de X, que se indica por E (X) ou simplesmente por J-L, é

x,

x

Var (X)

De E (x) =

=

r:

x 2 f (x) dx - 2 E (X)

r:

+X J+oo f(x) dx = LlC xf(x) dx e - 00

+OC

xf(x) dx

+

[E (X)]2

J

-x

f (x) dx.

1 resulta

k

=

E (X)

L

XiP(Xi). Var (X) =

i=1

Por outro lado, a variância de X, que se indica por Var (X) ou simplesmente por el, (J:> O. é, por definição, dada por

+OO 2

J

- 00

2 x f(x) dx - [E (X)] .

E EMPLO. Seja X a variável aleatória com função densidade de probabilidade

k

L

Var(X) =

(Xi - E

(X» 2 p (x) . f(x)=

i= l

n. . , do que a Observe que se p (x;) = -.!...., para i de 1 a k, o valor esperado E (X) nada maIS e _ n Xk onde I média x, e Var (X) nada mais é do que a variância dos números xI' x2' x3' .' . , '

L

I uI

ni = n.

{

e- x / f3 ~

se x ;;.: O (f3 > O) se x < O.

o valor esperado e a variância de X.

Uçao

Cãl uIII do vaI

k

aparece repetido ni vezes e

53

Vai. 2

Or esperado E (X) . Comof(x)

i= l

A raiz quadrada de Var (X) é o desvio padrão

(J

da variável aleatória X:

E (X)

oo

=.!. r+ f3

(J

= .JVar (X).

Jo

= O para x < xe - x/f3 dx.

O, vem

54

Um Curso de Cálculo -

Aplicações à Estatística

VaI. 2

Integrando por partes, temos

f:

xe -x/{3

dx =

f:

[-,8xe-X/{3]~ + ,8

IBVIÇÃO NORMAL '(Il e -x/{3

amo alrnente. observ .

dx

In·

q ue no

I

V 1 3 será provado o seguinte importante resultado: o.

[c

e, portanto,

,2 er uma função par, resulta

lim s

~

+00

- ,8se -s/{3 = O e

lim s

E (X)

~

e -s/{3

+00

1+

= -I

,8

por e

= O (confira) resulta

00

xe -x/{3

dx

,8

1 O

-x

e

2

j;

dx-

2

- x 2 /2 com x real. Determine o valor da constante k de modo S 'a/(x) == ke , EXEMPLO 1. eJ _ densidade de probabilidade. que eJ' a uma funçao

rf = (3.

= -I

O

~I

2 e-x dx-

+00

De

55

f

o/ução Assim, o valor esperado da variável aleatória X é E (X) Var (X) . Tendo em vista G), Var (X) = -I

,8

1+00 x O

= ,8. Vamos, agora, ao cálculo de

oo

Comofé uma função par, devemos ter variável x

2 e -~(3 dx - [E(X)] 2 .

r+

= u -.fi,

Jo

ke-x2/2 dx =

I 2"' Fazendo a mudança de

resulta

Integrando duas vezes por partes, obtém-se: Para s ....... +oc, resulta

e Lembrando que E (X) = (3, resulta:

Deve remos ter entao - k.fi...r; = -1 ou seja . k= 2 2' ,

2

Var (X) = ,8 .

d _ k.fi j ; u-

-u 2

2

I

&.

•

EXEMPLO 2

. Sendo p. e u, u> O, duas constantes dadas, mostre que

Conclusão:

•

2

E (X) = ,8 e Var (X) = ,8 . Exercícios 4.3

=========================~~dJ .

.

_.

I. Determine E (X) e Var (X) da vanável aleatórIa X com a funçao densidade de prob

a seguir. 1 b-a 3 (x

c) f(x)

+ 1)4

orno o g ' fi

ra ICO def(x) la mo trarque

a) f(x) = - - para a b) f(x) =

abilidade da

SolUça0

~

x

~

b ef(x)

= O para x <

=

1

u&

e-ex -

J1..)2 /2u 2 é

simétrico em relação à reta x == p.,

a e x> b.

para x;;' Oef(x) = O para x < O.

= x e -x para x;;. Oef(x) = O para x < O.

2 x

56

Um Curso de Cálculo -

Aplicações à Estatística

Vol. 2

57

Fazendo a mudança de variável z = x - J.L, teremos rix = u dz e z = Opara x _ u - I.t."I' em vista o exemplo anterior, segue que e f +oo _00

pOl

A seguir, vamos destacar a distribuição de probabilidades mais importante d

ca: a distribuição normal.

1 ~ (r _11"

a eStatí

Definição. Dizemos 'We a variável aleatória contínua X tem distribuição normal cOlll média J.L e variância if", u> O, se a sua função densidade de probabilidade for dada POr f(x) =

C'

portanto.

r.

(X) == p,.

b) TeOl os

2 1 I ~ e -(x - J.L)2 12cr , xrea.

Var(X)

U -V 21T

A notação X : N (J.L, ~) é usada (lara indicar que a variável aleatória X tem distribuição normal, com média J.L e variância if" (ou desvio padrão u).

1

2

(x - J.L)2 e-ex - J.L)2 12cr dx.

f-+:

= u&

~

. . tria do gráfico do integrando em relação à reta x Tendo eOl vista a slme

Var (X) EXEMPLO 3. Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição normal, média J.l.e variância ~. Mostre que de fato tem-se: Fazendof(x)

=x-

Com

(s - J.L)

=

J.L, g' (x)

+OO

J

2

~

= (x -

x

J.L

U -V 21T

( _

e-ex -

J.L)

J.L

= J.L, resulta

)2 e-ex - J.L)2 12cr2 rix.

2 J.L)2 12cr e integrando por partes, vem

a) E (X) = J.L

Solução

a) lim

s ~ +:c

e-(s - J.L)2 12cr

Var (X)

Temos Im,

\lar (X) -

2=

O resulta '

2u_ 2 J+OO e-ex = __

u&

J.L)2I2cr 2 dx

=

el.

•

E EMPl.04 S . rI

qu

eu

~.

J.L

vaiore~a X: N (J.L, cJ). Mostre que P (J.L

-

Cf:;;

X:;; J.L

+ u) independe de J.L e de

Com a mudança de variável s = x - J.L teremos

+OO f-00 (x -

J.L)

,

e-(X-f.l.)- 12a

2

rix

=

f +OO -00

2

2

s e- S 12a ds

=O

P (IJ. -

Cf

~X~

/I

+

u) = _2_

&

I""

14

ao

ri

Jo

e- z2/2 dz

.

pois o integrando da segunda integral é uma função ímpar. Segue que p (IJ. -

(J"

o;:

'""

X

"'" IJ.

---------------

+ u) =

2

~~~

J J.L + U

e-ex -

2

J.L) 12u

2

dx.

58

Um Curso de Cálculo -

Fazendo a mudança de variável z para x = f-L

Aplicações à Estatística

VaI. 2

x-f-L = ---, (T

+ (T e, portanto,

f

!J. +

U

teremos dx

= (T dz, z = O para

x~ ~

(T ~ X ~ f-L + (T) = 0,68, como vimos no exemplo anteado de aluno com altura entre 1,62 e 1,82 m é de aproxima& ~"im. o número edspe~unos da escola, ou seja, aproximadamente 578 alunos. ~68-:% do total o te +00 2 1 e-(x -1,72) 10,02 dx = 0,036 (o cálculo foi feito na HP::::: --r== I 9 I.90) O; 1 2'TT' sperado ' . (ou 19ua . 1) a, I 92 m e' d e de alunos com altura supenor . o numero e . . d ). 1m, 3 6% do total dos alunos da escola, ou seja, aproxIma amente 31 aI ulUrnadamente 't °um belo time de basquete ou de vôlei, não? Bem, depende!) (Já dá para mon ar

_ 1.72 e

e _(x_!J.)2/2u2 dx -- (T

!J.

Z

P(f-L-(T~X~f-L+(T)=

_2_ ~

f

O

+ (T]

~:;_0) ~~ _

t;. ~ X"';; 1.8-) -

11 e- 2/2 dz.

Assim, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [f-L - (T, f-L de f-L e (T, e seu valor é

59

independe dos

11O e-z2/2dz=068 ' .

s 4.4

==::::::::::::::::::::::::::::::::::::========================

Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição normal, média JL e variância 0'2, Sendo r > Oum número real qualquer, mostre que

P(JL-ru ";;;X";;;JL+ru)=

I ~ -v21C

O'

> O.

fr e- Z2/ 2dz -r

e conclua que a probabilidade de X estar entre JL - ru e JL + ru, não depende de JL e 0', só depende de r. 2 Seja X : N(!J., cl). Mostre que x

!J.+a

P(a

1

l (b-JLl' O'

&

(a-JL)/O'

< X < b) = - -

2

e-z /2 dz

3 ~ a < b são dois reais quaisquer. Sejam X: N(50, 16) e Y: N(60, 25).

Observação. Para calcular o valor da integral que aparece no 2.° membro, é só desigualdade (x < O)

:~ ::SOlva a equação P(X ,,;;; x) = P(Y ,,;;; x).

UUJL..-' _

Se' solva a Inequação P(X ,,;;; x) < P(Y ,,;;; x). 4

1am X: N(JL ,0'2)

5 Conside

eX -

I

+ ~ + ... + ~ (1 + x + ~ 2! 3! n! 2

3

)

I~

11 I

X 1

+I

I

I

e

y.

.

N( JL2' 0'22)' . Discuta a equação P(X";;; x) =

re a função rp dada por

.!...--.!...--

(n

+ I)!

(veja Exemplo 7 da Seção 16.3, Vol. 1, 5." edição) e proceder como no Exemplo 9 da 16.3 mencionada. Efetuados os cálculos, chega-se a: P (p, - (T ~ X ~ P, + (T) ~ é, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [J.L - (T, J.L + (T] é de ~nl'ox:tn'aaULW" No Apêndice 2, mostraremos como utilizar a calculadora HP-48G no cálculo de dades de algumas distribuições contínuas. Quando X tem distribuição normal, belas para o cálculo de P (a ~ X ~ b). EXEMPLO 5. Suponha que a distribuição das alturas dos 850 alunos de uma J1'l. escola seja aproximadamente normal , com média 1,72 m e desvio padrão 0,10 a) Qual o número esperado de alunos com altura entre 1,62 e 1,82 m? b) ual o número es erado de aluno com altura superior a 1,90 m?

a, be

CTC

Mo tre que onstantes, com a < b .

P( Y ";;; x).

Aplicações à Estatfstica OU

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

4.5. FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

_

_ p (2 ~ z) - P

Consideremos a função Y = h (X) definida para todo X real. Se supusenno ável aleatória, a variável Y será também aleatória; desse modo, teremos a var~'X. UIlIa função da variável aleatória X. Um problema que surge naturalmente é o segu·lavel y da a função densidade de probabilidade de X, como se determina a de Y? Um ~nte:.C() resolver o problema é determinar a função de distribuição de Y. Antes, vam alll 1nh() como se deriva uma função dada por integral quando um dos extremos de inte;r~ r~le função. Ça()é

Sejam f contínua em um intervalo I e g definida e derivável em um intervalo J que g (x) E I, para todo x em J. Nessas condições, para todo x em J, tem-se e tal

F (x) =

61

f

a

f(t) dt

~

onde a E I, com a fixo. Se I for da forma] veja os Capítulos 2 e 3.)

F' (x) = f(g (x» g' (x)

-00,

b [, poderemos tomar a

Z) segue (J.L' (r .

n ::) "" P

00 .

z) = P (X ~ az + J-L).

1

(X ~

17 Z

+ J-L) = u1f;

F' (z)

(Re-

r:

que

EntãO.

2

e

F' (z)

=

2

+ /J- e-ex - /J-)2 /2u dx.

= f(u Z + J-L) (17 Z + J-L)'

-(x - /J-)2/2u ,

ndef(xl "" ~

=-

17

F( ::) -

1

g(X)

(~ ~

Segue que

1 e-z2/2 (de acordo?) -~ ..;27T

e. portanto. Uma das funções de variável aleatória que desempenha papel fundamental na inferêllCla estatística é a dada por

F (z) =

1

-fi;

JZ e- x2 /2

dx.

-00

(Um outro modo de resolver o prob 1ema, e' mo strando diretamente que onde X é uma variável aleatória com distribuição normal N (J-L, (72). Vamos mostrar próximo exemplo que Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou se)

Z: N (0,1).

P(a
1

Jb

'-J27T

a

~

e

~

-7

2 /2

d Z.

Temo

EXEMPLO 1. Seja Z a variável aleatória dada por P(a < Z < b) = p(a < X: J-L < b)= P(au + J-L< X < bu+ J-L).

Z= X-J-L 17

gue que

" I a Ieatona " com d"b . al N ( J-L, ã 2) . Mostre que 2 tenl di onde X e, uma varwve 1Stn Ulçao norm tribuição normal padrão Z : N (O, 1).

Solução

1 _ J bU+/J- e-(x-/J- )2/2 U2 dx. P(a < Z < b) = _ _ 17&

FélZendo li mUdança de van'áve1 z _ x - t"'_, Para - __ I/.

Precisamos mostrar que a função F de distribuição de Z é dada por

F (z) = -1-

.[5;;

fZ -00

e-x 2 /2 dx.

bIT

IJ. c, portanto,

aU+/J-

teremos dx =

d z, z -- a para x

(T,

= au + "

t""

z

=b

17

1 P(a
Jbe- z212 dz.) a

•

Aplicações à Estatística

62

Um Curso de Cálculo -

63

Vol. 2

. to proceda da seguinte forma:

Este resultado é tão importante que merece ser destacado em um quadro.

para 1S

p(a< Y
Se X for uma variável aleatória com distribuição normal, X : N (jL, cJ) , e se Z for dada por

a-d

b-d)

= P(a<eX+d < b) = P ( -e-< X<-e- = .... )

+ OO l..e f (y -c d) dy. Fazendo a mudança de variável x = y

X-jL Z = --

b) E 0')::=

(J"

J

~ d , dy =

c dx

- 00

e daí

então a variável aleatória Z terá distribuição normal padrão Z: N (O, 1).

E (f)

=

E.XEMPL O (c

<

a) Qual a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y? b) Mostre que E (Y) = c E (X) + d. c) Mostre que Var (Y) = e 2 Var (X).

c) Temos + OO y2

J

-

-00

Solução

Var (Y) Y-d)

( X:;:;: - e -

=

f(Y-d)'C - 00 f(x)dx. De E (Y) = eE (X) Var(Y)

f

f

(y - d ) 2 - - dy - [E(Y)] .

c

(Y : d) (Y: d)'

=

+OO

J -

00

(ex

+ d)

2

2 f (x) dx - [E (f)] .

+ d, resulta

Como afé contínua em todo x, F é derivável e

F' (y) =

c

Com a mudança de variável acima,

Suporemos c > O (você se encarrega de c < O). a) Sendo F a função de distribuição de Y, temos:

= P(Y:;:;:y) = P

+ d)f(x) dx = eE (X) + d.

Loe f (x) dx = 1.) Var (f) =

F(y)

J+oo - 00 (ex

=

+00

(Lembre-se de que

O).

d)

L+00 oo ; f (~ dy

= e2

U~:

x 2 f(x) dx - [E(X)]2

J = e2 Var(X).

Observe que a função de variável aleatória dada por Z = X - jL é um caso particular (J"

. 1 -jL. _ E(X) _ daquela do exemplo antenor: Z = eX + d, onde c = - e d = - . ASSlfi, E( Z) - ~

Segue que existe uma constante k tal que

(J"

lfY f (t-d) - - dt+k.

F( y )=-

c -00

(t - d)

Como -1 f+ oo f - - dt c -00 c Logo, g(y) =

~

= f+ oo f(x) dx = I

f( d) é y:

e Var(Z)

c

(de acordo?) resulta k

= var~X) .

(J"

Sendo X : N(jL, cJ), teremos E(Z)

= Oe

jL (J"

v

Var(Z)

=

1 que concorda

(J"

Com o Exemplo 1.

•

!X~~LO 3. Seja Y = X2, onde X é uma variável aleatória com função densidade ~~ proab1hdade f, definida e contínua em todo x real. Qual a função densidade de probabll1dade

= O.

-00

de}'?

a função densidade de probabilidade da variável aleatória

r.

SoluÇão

(Sugestão: Sugerimos ao leitor mostrar diretamente que P(a <

Y< b)=~ f:f( y~ d) dy.

Vamos calcular diretamente P(a < Y < b). Como Y~ 0, podemos supor Df n

.....

Y.-- J.. \ -

Df n

.--

y2 .-- J.. \

°, ;

a

< b. Temos

65

Aplicações li Estatística

64

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

De a

r

< X 2 < b ~ -.Jb < X < -,J;; ou ,J;; < X < .Jb

resulta P(a < Y < b) = P(-.Jb < X

< -,J;;) + P(,J;; <

X

< .Jb).

P(a <

Y< b) =

-

EXEMPLO 1. Mostre que, para

- f(x) eix + f.Jb f(x)eix. f-.Jb Fa Fa

Fazendo na primeira integral, a mudança de variável x pondo a > O, obtemos

r b

< b) =

I f(JY) dy. 2JY

Exercícios 4.5

J:

a

e -x x - I dx é conver-

=

e -x x a - 1 é contínua em [O, t], para todo

t

> O. Logo, a integral é

I

=e - x/2 ( e - x/2 x a -

I)

.

De

lim

x~+cc

=

a-I

e -x/2 xa -

I

< 1 para x

~ r. Daí, e -x x a -

lim

= O(verifique), segue que existe r > O, tal que

_x__

x~+:x:> e x /2

< e -x/2 para x ~ r. De

J:

pelo critério de comparação, a convergência da integral imprópria

Jo

I

x

e -x/2 dx

r+

OC

EXEMPLO 2. Mostre que, para para 0 <

CI'

= 2, segue,

•

a

e -x x - I dx.

< 1, a integral imprópria

J:

x

a

e -x x

-

I

dx

é convergente.

sey> O.

•

SoLução

oo

Jr+

Jo

+

J+oc I

a e -x x - I dx .

Raciocinando como no exemplo anterior , conclui-se que

J+oo I

e -x x

=============================::::

variável aleatória contínua com função densidade de pro~abilidadef definida e continua em todo x real. Considere a variável aleatória Y dada por Y = X . Determine a função densidade de probabilidade g de Y. 2. Seja X .uma variá.vel. al~at~ria com distribuição normal, X: N (J.L, (i). Dizemos que a variável aleatóna Y tem dlstnbU/çao lognormal com parâmetros J.L e li se X = In Y. Determine a função densidade de probabilidade de Y. 1.

~ 1,f(x)

e -x/2 x a - I

O se y";; O y

~ 1, a integral imprópria

e- x xa -

b

2

CI'

oo

a

par~ quaisquer a e b reais, com O ,,;; a < b. Assim, a função densidade de probabilidade g da vanável aleatória Y é dada por

{

a> O.

imprópria apenas em +00. Temos:

I f(-JY)2JY+ f(JY) dy

= f(-JY) + f(JY)

CI'

b

a

g (y)

eix,

SoLução Para

Como, para a -: O, o segund~ membro desta igualdade converge para P(O < Y < b), onde P(O < Y < b) e calculado na Igualdade anterior, temos P(a < Y

o

a- I

gente.

= -JY e na segunda x = JY e su-

f(-JY) dy + 2JY

-r

e· x

ve que a integral acima é imprópria em +00 e, também, em O se O < a < I. Veremos Obser 'ximos exemplos que a . , Integrai e convergente para a > O e d·Ivergen t e para a ,,:::: ~ O. nOs. prol.ro analisaremos o caso CI' ~ 1; em seguida, . O 1 f· -< O o caso < CI' < e, por 1m, CI' ~ . prtlne ,

Segue que P(a < Y < b) =

Jr+

OO

(a) =

e -x x a - I dx

=

o

I

e -x x a - I dx

~eja X uma

4.6. A

Como e-x é limitada em [O, I], para verificar a convergência de verificar que a integrai imprópria

FUNÇÃO GAMA

Uma função que desempenha um papel muito importante em estatística é afunção gama, que é dada por

qUe

Jri

o

J~

xa -

xaI dx =I ~. Logo, a integral

I

J~

- I dx é convergente. e-x x

a

- I dx basta

dx é convergente. Deixamos a seu cargo verificar

Jr+

x

o

a

e - x x a - I dx é convergente se O < a < I.

•

66

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

Aplicações à Estatrstica

EXEMPLO 3. Mostre que, para a ~ O, a integral imprópria

Jr+

OO

o

e -x x a -

Assim, a função gama nada mais é do que uma extensão do nosso já conhecido fatorial. I

dxé divergente.

v efinição. Para todo real a > -1 definimos fatorial de a por

Solução

a! =

Para a

~

O,

Jri

o

x

a - I

dx = +00 (verifique). Para O < x e

-x a - I

Jr+

OO

Pelo critério de comparação,

o

x

~e

-I

x

a - I

~

67

Observação. A função fatorial da calculadora HP-48G é dada pela definição acima. A ta-

1,

bela a seguir foi construída com o auxilio dessa calculadora. Para acessar a função fatorial a HP-48G, tecle: MTH NXT (para virar a página do menu do aplicativo MTH), em segui~a pre sione a tecla branca da letra A para ativar PROB no menu do aplicativo. Achou o fatorial?

.

e -x x a - I dx = +00.

r (a + 1).

•

a

-0,99

-0,9

-0,1

O

0,4

a!

99,43

9,51

1,07

1

0,887 0,8856 0,886 0,893

0,45

0,5

0,6

1

2,5

1

3,323 6

3

EXEMPLO 4. Sugerimos ao leitor que, olhando a tabela acima, faça um esboço dos gráficos das funções gama e fatorial.

a) Calcule r (1). b) Mostre que r (a + 1) = a r (a), a> O. c) Calcule r (n), com n natural e diferente de zero.

Exercícios 4.6

============================

Solução 1. Mostre que

a) r (1) = fo+oo e-x dx = ~~oo f; e-x dx = 1. r

oo

(a

+ 1)

=

(+) = .J;.

(Sugestão: Lembre-se de que

f~:

e-

x2

dx

= .J;.)

2. Calcule ( - 0,5)!

s

b)

r

fo+ e-x xa dx. Como a > O, tal integral só é imprópria em +00. De acor-

3. Calcule r

(%Jr (f) etc.

1)

2n + 4. Estabeleça uma fónnula para o cálculo de r ( - 2 - ' com n natural.

do? Integrando por partes, vem

4.7. ALGUMAS D ISTRIBUIÇÕES I MPORTANTES De s

c)

lim e -s sa +00

= O, resulta

d D.izemos que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme se sua função enSldade de probabilidade for dada por

~

e, portanto, r (a + 1) = a r (a). (2) = 1 . r (1) = 1; r (3) = 2 . r (2) geral,

r

r (n) =

f(x)

= 2 . 1; r (4) = 3 . r (3) = 3·2·

(n - 1) . (n - 2) .... ·3·2· 1 = (n - I)!

1. De modo

•

=

I -b- a {O

n! =

r

(n

+

1).

~

se x

< a ou x > b.

x

~

b

de A Variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial se a sua função densidade prObabilidade for {3 > O,

A seguir, vamos destacar o resultado do item c do exemplo acima. Para todo natural n, tem-se

se a

e - x/(J

se x

l

f(x) =

- ....._ -_Já. . vim .:. '.! os OIIP np~~p " " " "

fi' (X) = R

{

O {3

e Var

(X)

~

O

se x < O. ~?

= fr (veia exemolo da Seção

4.3).

68

Um Curso de Cálculo -

Aplica ções à Estatística

Vol. 2

A variável aleatória contínua X te~ distribuição gama, com parâmetros a > O e f3 :> O se a sua função densidade de probablltdade for '

o O valor da primeira parcela do segundo membro igual a O e tendo em vista o item end anterior, tem-se Var (X)

se x > O se x

~

Observe que a distribuição exponencial é uma distribuição gama com a

= (af3) 2 + aWJ

- (a{3)

2

=

2

a{3 .

2

O.

•

c onclusãO: Var (X) = a{3 .

= 1.

69

As três distribuições que destacaremos a seguir desempenham papéis fundamentais na e'ncia estatística. São elas: distribuição qui-quadrado (i), distribuição t de Student e JOl er . r

EXEMPLO 1. Sejafa função densidade de probabilidade da distribuição gama.

r fribuição F de Snedeeor.

variável aleatória contínua X tem distribuição qui-quadrado (i), com v graus de liberdade, se a sua função densidade de probabilidade é dada por

(I S A

a) Verifique que talf é realmente uma função densidade de probabilidade. b) Calcule E (X). c) Calcule Var (X).

f(x)=

Solução

11/2

1 2

1 x(1I/2 - l)e - xl2 se x r(vI2)

O

a) É claro que vamos ter que fazer uma mudança de variável de modo que apareça a fu nção

gama (você concorda?). Eu acho até que você já sabe qual é a mudança! Então, vamos lá. Fazendo

LI

= ~, teremos dx = {3du. Assim, {3

Jr+

X

o

x a - 1 e -xl{3 dx = {3

Jr+ x

o

(uf3)a - 1 e -u du = {3a r (a).

Para s tendendo a infinito, a primeira parcela do último membro tende a zero e, daí,

l

O

x (x

Uma distribuição qui-quadrado, com v graus de liberdade, é usualmente representada por (v). Observe que a distribuição qui-quadrado é uma distribuição gama com a = vl2 e f3 = 2; assim, E (X) = ve Var (X) = 2 v. De onde surge essa distribuição? Consideremos uma população com distribuição normal padrão, ou seja, com distribuição N (O, 1). Retire, aleatoriamente, dessa população uma amostra xI' x2' . . . , XII com v elementos e some os quadrados desses números

a-I -xl e (3)dx = a{3.

é uma variável aleatória, e, teoricamente, poderá assumir qualquer valor positivo. Pois bem, prova-se que, sob determinadas condições, a função densidade de probabilidade dessa variável aleatória é a função f dada acima. Com essa função densidade de probabilidade, P (a ~ X ~ b) é a probabilidade de o valor pertencer ao intervalo de extremos a e b. Prova-se que, se Z e Y forem variáveis aleatórias independentes Z com distribuição normal N (O, 1) e Y com distribuição i(v), então, a variável aleatória t dada por

:C

Z

f=

c) Lembrando que Var (X)

=

f

-oc;

x

2

f

I ul ar (x) dx - [E (X)]-, segue que precisamos ca c ?

O.

i

Conclusão: E (X) = a{3. +OO

~

i = X[ + x~ + ... + xt. Retire outra amostra e calcule i, e assim por diante. Este i

Pronto. É realmente uma função densidade de probabilidade.

+X

se x

>O

--iYIv

.

tem a seguinte função densidade de probabilidade

apenas o valor da integral do 2.° membro. Temos

fel)

Integrando por partes, resulta:

=

r(T) r(~) ~

2

( 1+ ~

)-(/1 +

1)/2

, com t real qualquer.

D' d;zemos que uma variável aleatória tem distribuição t de Student. com v graus de liberdaé ' se a sua função densidade de probabilidade é dada pela função acima. Observe que talf _ _ _u_ma função par. Faça você mesmo um e boço do gráfico dessa função.

70

Um Curso de Cá/cu/o -

Vol. 2

Sejam U e V variáveis aleatórias independentes com distribuições;(- (vI) e;(- (v2), res_

=

pectivamente. Prova-se que a variável aleatória W

U

V2 VIV

tem a seguinte função densida_

5

de de probabilidade:

r(VI: (VI V r1rf ( V) ( ) V2)

f(x)

=

v2

O se x

~

)11/2 ___x_C_II_1_--;-2_)/_2,--.....,.-;c,.-

(

V

1+ _ l x v2

)CIII +

112)/2

'

se x > O

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

O.

VI

Uma variável aleatória tem distribuição F de Snedecor, com graus de liberdade e v2' se a sua função densidade de probabilidade é dada pelafacima. Para encerrar a seção, observamos que existem tabelas para calcular probabilidades que envolvem as distribuições normal, qui-quadrado, t de Student e F de Snedecor. Entretanto, como no meio estudantil o uso da calculadora HP-48G é muito comum, mostraremos no Apêndice 2 como utilizá-la em problemas que envolvem tais distribuições, bem como para outros cálculos comuns em estatística. Exercícios 4.7

LINEARES DE

1. a E 2. a ORDENS,

COM COEFICIENTES CONSTANTES

=============================

1. a) Verifique que a função densidade de probabilidade da distribuição t de Student é realmente uma função densidade de probabilidade no caso)) = 3.

b) Mostre que E (I)

3

5.1. EQUAÇÃO D IFERENCIAL L INEAR, DE 1. ORDEM, COM COEFICIENTE CONSTANTE

))

= Oe, para))?3 3, Var (t) = - - . O que acontece com Var (t) para))':; 2? 11-2

2. Mesmo exercício para a distribuição F de Snedecor no caso 111 = ))2 = 2. 3. Uma variável aleatória X tem distribuição de Weibull se sua função densidade de probabilidade é dada por

f(x)

=

{f3x f3 -le-x /3

Sejam dados um número a e uma função f definida e contínua num intervalo I. Uma equação diferencial linear, de l. a ordem, com coeficiente constante, é uma equação da forma

-dx + ax

se x > O

a) Verifique que talfé realmente uma função densidade de probabilidade. b) Determine E (X) e Var (X).

Multiplicando ambos os membros de 14.6, do VoI. 1) obtemos

4. Uma variável aleatória X tem distribuição de Rayleigh se sua função densidade de probabilidade é dada por

xe - X2 !2 se x> O { f(x) = O se x':; O.

= f(t).

dt

O se x .:; O.

Ou

a) Verifique que talfé realmente uma função densidade de probabilidade. b) Determine E (X) e Var (X).

· _d [xe al ] = _dx e al + axeal. POIS, dt

dt

CD pelo fator integrante eal (veja Capo 14, Seção

72

Um Curso de Cálculo -

Equações Diferenciais Lineares de 1. o e 2. o Ordens, com Coefieiellles Conslanles

VaI. 2

Como/é contínua em I, eall(t) admite primitiva em 1. De @ segue que xe al é da forma

73

b) Precisamos determinar k para se ter x = I para t = O.

I = ke -o

+ O~ k

= 1.

A solução que atisfaz a condição inicial dada é ou x = ke -aI

f

+ e -aI

Ix =

t.1

e-I +

e al I (t) dr

com k constante. Por outro lado, é fácil verificar que as funções da forma @ são soluções de (D. Chegamos, assim, ao importante resultado:

Gráficos das soluções da equação

x

x

As soluções de

dx -+ax=f(t)

/

dt

/

são as funções da forma

x = ke- m

+ e-aI

f

com k constante

f

e al

I

•

Exercícios 5.1

Este resultado é um caso particular daquele que obtivemos na Seção 14.6 do Vol. 1. Observamos que no cálculo de

k
e al f(t) dt

(t) dt a constante de integração pode ser omitida (por quê?).

1. Ache a solução geral.

dx

c) -

EXEMPLO. Considere a equação

dx

Solução

+ I)

g) -

dI ') dy dx

+ 3y =x

dq l) dt

+q= dx dy

p) 5 -

dx

= reI

(verifique) resulta

I

x = ke-

dy r) dx I

+

f.

-

IOv "

I

+ 2r = sen t

J)--x=5 dI dx

+ 2r =

h) -

21

dI

1 -

2

. ds 21 J) - 2s = e dt

COS

+ 2y =

= 21 +

dx

21

= COS

1

dy

+ I) dt

2x = e

+x

ti) 3 -

(t

dx d) dt

dt

dx

a) Ache a solução geral. b) Ache a solução x = x (t) que satisfaz a condição inicial x (O) = I. Esboce o gráfico.

a) A solução geral é (a = 1 e/(t) = r

-

x

-

dt

- x = COS I

e) -

dr

f/

b) -

dI

dx -+x=t+1.

Como

dx

dx 1 a) - 3x = e dt

3/

dy m) - y = sen x dx "

1

o) 2 -

dx

+x

dI 3t

= e'

= y + cos 3x

dT

q) -

=

= I

3T+ 2

dI c/x

s) -

= 3x - e

_ I

dI

2. Numa certa cultura de bactérias, a taxa de aumento é proporcional ao número presente. Verificando-se Que o número dobra em 2 horas, uantas ode-se esperar ao final de 6 horas?

74

Um Curso de Cálculo -

Equações Diferenciais Lineares de J. e 2.

VaI. 2

Q

3. De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância, nurna corrente de ar, é proporcional à diferença entre a temperatura T da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 20· e resfriando a substância de 110· para 80· em 20 minutos, determine a temperatura T = T (t) no instante t, (suponha f dado em minutos).

di Ldt

+

Ordens, com Coeficientes Constantes

/::J

DemonstraçãO

2 Corno ÀI e À2 são raízes de À + bA

+c=

O, temos

AI + A2 =-b { AI A2 = c.

4. Uma das equações básicas dos circuitos elétricos é

CD

Q

Ri = E (t)

onde L (henry) é a indutância, R (ohrns) é a resistência, i (ampere) é a corrente e E (volt) a força eletromotriz. a) Resolva CD supondo L e R constantes não-nulas, E (f) = EO para todo t e i = O para t = O. b) Resolva CD supondo L = 2, R = 10, E (t) = 110 sen 120771 e i = O para f = O.

Assim.

que é equivalente a

S.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES, HOMOGÊNEAS, DE 2.3 ORDEM, COM COEFICIENTES CONSTANTES

!!... [dx _AI x] - A2 [dx - AI x] = O. (Verifique.) dt

Uma equação diferencial linear de 2. a ordem, com coeficientes constantes, é uma equação da forma

dx

d 2x

Segue que x

dt 2 +bTt+cx=f(t)

=

dt

dt

'--v-'

'--v-'

11

11

x (t) será solução de@ se e somente se dx - Alx for solução da equadt

ção linear de I: ordem

onde b e c são números reais dados ef: ! ~ ~, ! intervalo, é uma função contínua dada. Se f (t) = O em !, a equação acima se diz homogênea. Nosso objetivo a seguir é determinar a solução geral da equação homogênea d 2x

dx

dt

dt

du - - A2u dt

Como u

-+ b-+ cx = O. 2

= k2eA2!, segue que x = x

= O.

(t) será solução de @ se e somente se

Para isto, vamos precisar da equação algébrica

A2 +

@

bÀ

+c

=

O

denominada equação característica de @. Observamos que se AI for raiz real de @, então x para todo t. (eAI')"

Deste modo, x A = e ,'

será solução de @. De fato,

+ b (e A,')' + ceAi' = AteA" + bAI e A,! + ceAi! = e A,' (Ar + bAI + c) = O.

O teorema que demonstraremos a seguir mostra-nos que, conhecendo as raizes da equação característica, conhecemos, também, a solução geral da equação homogênea @. Teorema. Suponhamos que as raízes AI e À 2 da equação característica @ sejam

reais. Então (i) se AI

* A2' a solução geral da equação homogênea@ será x = AeA,1

(ii) se AI

= À2'

+

Be A2 ! (A, B E ~).

a solução geral será x = Ae À ,!

+ Bte À ,!

(A, B E IR).

Ou

=

x (f) será solução de @ se e somente se for da forma

76

Um Curso de Cálculo -

Equações Diferenciais Lilleares de 1. a e 2. a Ordens, com Coeficielltes COllstantes

VaI. 2

+ e AI t

x = kJ e AI t

f

77

OU

A+B=O { - A - 2B = I

k2 dt

ou seja,

to A e, pOrtan '

=

IeB

=-

1. A solução do problema é

x=e -t -e -2t onde A = kJ eB = k2.

•

cujo gráfico é

EXEMPLO 1. Resolva a equação

x d 2x dt

dx dt

-2 + 3-

+ 2x =

O.

Solução 2

A equação característica é À da equação é

+ 3À + 2 = x

O, cujas raízes são -} e -2. A solução geral

= Ae- t + Be- 2t .

•

•

EXEMPLO 2. Ache a solução do problema EXEMPLO 3. Resolva a equação d 2X

dx dt O e x' (O)

d 2x dx -- - 8 2 dt dt

--+3-+2x=0 2

{ dt x (O)

=

=1

+ 16x = O.

Solução

Solução

À2 - 8À

o que queremos aqui é a solução da equação d 2x dx --+3-+2x=0 2 dt dt que satisfaz as condições iniciais x (O) geral é x

= O e x'

(O)

=

I. Pelo exemplo anterior, a solução

Como

À

+

16

= O Ç:=>À = 4.

= 4 é a única raiz da equação característica, a solução geral será + Bte4t .

•

x = Ae3t + Be -3t.

•

x = Ae

4t

EXEMPLO 4. Resolva a equação

= Ae- t + Be- 2t .

Devemos, agora, delerminar A e B para que as condições iniciais sejam satisfeitas. Temo

SolUÇão

x' = - Ae- t - 2Be- 2t .

Então A solução geral da equação é Ae- O + Be- 2 ·O = O

{ -Ae- o - 2Be- 2 ·O = 1

78

Um Curso de Cálculo -

Equações Diferenciais Lineares de 1. 0 e 2. 0 Ordens, com Coeficientes Constanles

Vol. 2

Na Se~ão 5 .4, vere~os como fi,ca. a sOflUÇãO geral da equação homogênea Q), no caso em qu~ as rruzes d a eq~açao caractenstlca, orem complexas. Antes, porém, precisamos cons_ trulf o corpo dos numeros complexos; e o que faremos na próxima seção.

de a e b são números reais e i um símbolo cujo significado aparecerá logo a seguir. O números complexos é indicad? por C : C = {~ +. bi la, b E IR~.. Sejam os números complexos z = a + bl e Z I = a I + b 11. DIzemos que z e Igual a 2 I se

~~njunto dos

e somente se a

= a I e b = b I' isto é,

Exercícios 5.2 ======================~~ 1. Resolva a equação

d 2x

d.x

dt 2

dI

a) - - - 2 -

d 2x

- 3x = O

dx

Definimos a soma de

b) - - 2 - + x = 0

dt 2 dt d 2x dx ti) - - 4 - = 0 dt 2 dt d 2x dx f> - + 2-+x=0 dt 2 dt dy d2y h) + 6 - + 9y = O dx 2 dx d 2y j) - 6y = O dx 2 d 2x

d2x c) - - - 4x = O

dt 2 d 2x e) - - - 3x = O dt 2 d 2y dy g) - - - - 2 y = 0 dx 2 dx 2

i) _d_y + 5 dy = O dx 2 dx d 2x dx I) - + 3 - = 0 2 dt dI d 2x dx n) 2 - - + - x= O dt 2 dt

..

d

ZI

por

i2 = i . i

= (O +

1i) (O + 1i)

obter o produto de a

c)

x - 2x =

y-

O 7); = O

b)

x+

d)

Y-

1.

(a

+ bi por ai + bli:

+ bi) (ai + bli) = aal + abli + bali + bb/ = aal + abli + bali - bb l = (aal - bb l ) + (ab l + alb) i.

"*

Dizemos que Z = a + bi é um número complexo real se b = O; se a = O e b O, diremos que Z é um número complexo puro. Por razões óbvias identificaremos o complexo real a + Oi com o número real a : a + Oi = a. Deste modo, podemos olhar IR como subconjunto de C. Deixamos como exercício verificar que a tema (C, +, .) é um corpo, isto é, qualquer que sejam os complexos zl' z2, z3 tem-se:

X)

3. Resolva a equação. ( x = - e x = -2dI dt a)

=-

Deste modo, i é um número complexo cujo quadrado é -1. Veja, agora, como você pode

dt d 2x dx o) 3 - + 5 - = 0 dt 2 dt

dx

e

+ bi = ai + bli ~a = ai e b = b l ·

Segue da definição de produto de números complexos que

2. Determine a solução do problema. d 2x a)-2 -9x=0,x(0)=lex'(0)=-1 dt d 2x dx b) - 2= O, x(O) = O e x'(O) = I 2 dt dt 2 d y dy c) - , - 2 - + Y = O, y(O) = 1 e y' (O) = O dtdt .

2

a

Definimos o produto de Z por zl por

m)-=O 2

2

79

MULTIPLICAÇÃO

ADIÇÃO

5i: + 6x = O 10); + 25y = O

4. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força elástica -x

7 e de

7

uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por -2i: Determine a posição x = x (I), t ;;;. O, da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo a) x (O) = 1 e i: (O) = O b) x (O) = 1 e i: (O) = - 2 5. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força elástica -2x

7.

7 e de

uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por - 3i: Determine a posiçãO x = x (t), t ;;;. O, da partícula no instante I e discuta o movimento, supondo x (O) = e-I e x (O) = - J.

AI) (z[ + Z2) + 23 = zl A2) 2[ + z2 = z2 + zl

+

(Z2

+

Z3)

A3) Tlz E IC, z + O = z A4) Para todo z em C, existe um único w em C tal z + w = O. Tal w é o oposto de z e indica-se por - 2·

MI) M2) M3) M4)

(ZIZ2) z3 = 2[ (22:::3) Z[Z2 = 22 Z 1

Tlz E C, I . Z = 2 Para todo 2 O, 2 E C, existe um único w em C

"*

tal que Z • w = 1. Tal w é o inverso de Z e indica-se _[ I por z ou-.

z r--_ _________________________________________________ D) 21 (Z2

+

23)

~

= 21z2 + zlz3

~----------------------------------------------------~

5.3. NÚMEROS COMPLEXOS Por um número complexo entendemos uma expressão do tipo

z = a + bi

_ Os números complexos são representados geometricamente pelos pontos de um plano: o numero complexo z = a + ib é fepre entado pelo ponto (a, b).

o

UI/! Curso de Cálculo -

Equaçtíes Diferenciais Lineares de

Vol. 2

eixo cios complexos puros

J.

U

e L.

U

Urdens. com coeficientes conslClntes

(}.1

, era () denomina-se um argumento de z. Observe que sendo () um argumento de z O lllumer outro será da forma () + 2k7r, k E Z. ' qU a qU

EXEMPLO 1. Determine o inverso, o conjugado e o módulo do complexo z = 5 + 3i. b

--------

-~- <-

~

I

solução 1

5 - 3i (5+3i)(5-3i)

5 - 3i 25+9

5 3. - I. 34 34

- = ___ = - - - - - - - = - - - = -

o

a

z

eixo dos reais

5 + 3i

Assim, É comum referir-se ao ponto (a, b) como o afixo cio complexo z = a + ib. Seja z = a + ib. O número complexo :: = a - ib denomina-se conjugado de~. O módulo de ~ é definido por

1

5

5 + 3i

34

3.

---=---1.

34

O conjugado de z é: ~

= (5

+ 3i) = 5 - 3i.

o módulo de z é: b

-------7

,"" , , , , ,

""", , , /

,,

,,

,,

ou seja, I ~ 1=

a

,,

•

-134.

EXEMPLO 2. Seja;:: um complexo qualquer. Prove

z=

z <=> z é real.

Solução ,

I

-------'~

b

<-

I I I

I

/

-

'

Z

Seja z =

a + ib. Temos ~ =

Seja o número complexo z = a + ib e tomemos () de modo que a = Ij cos () e b = Izl sen (). Assim z = 1;::1 (cos () + i sen ()), que é a expressão de z na/arma polar.

Assim, se

z~

a - ib = a

+ ib ~ 2bi = O <=> b = O.

z= z, então z = a que é real. Reciprocamente, z real <=> z = a + O. i <=> Z = z·

EXEMPLO 3. Suponha a > O, a real. Prove Z2

b

- - - - - - - - -" / ' /

/

I I

<-

+ a = O <=> z = i~ ou z = - i ~.

SolUÇão

I

/ /

/ / /

()

Assim,

/ ~

a

Z2

+ a = O <=> z + i~ = O ou

::: - i~ = O.

•

82

Um Curso de Cálculo - Vol. 2

Equações Diferenciais Lineares de 1. e 2. Ordens, com Coeficientes Constantes Q

ou seja,

+ a = O <=> z = - i..,Ja ou z = i..,Ja.

1. Calcule a e b. a) (l

Ou ainda

az 2

+ bz + e = O <=>

:=

z=

O, onde a - b±

c 3

"* O, b e e são reais dados

i.J1i;i

2a

2 - 31

.

2 - i

j)

+ bi

(1

+

(1 - i)2

= a

2+i h) - - = a 3- i

=a+bi

+ bi

a + bi

=

i)2

a

+ bi

+ bi

2 b) A + A + 1 = O + 1= O d)l+2z+3=0 c) A2 + 2A + 2 = O 2 2 e) A + w = O, onde w "* O é um real dado 2 j) A2 + 4 = O g) A + A + 2 = O a)

+ bz + e = O <=> z2 + -b z + -e a

d) - -

=

2. Resolva as equações.

Solução

az 2

=a+ bI·

~

+ 3i)2 i

+i

e) (i - 1)4 = a

g)

b) (2

+ i)3 = a + bi

)_2

•

EXEMPLO 4. Considere a equação az2 + bz + c Suponha 6. = b 2 - 4ae < O. Prove

83

========================================================

ckios5.3

~er

Z2

Q

a

=

O.

2

b . membros da u'1·tlma equaçao - vem Somando -2aos dOiS

l

h)A 2 +5=0 j) A2 - 4 = O

4a

i)l+2=0 2 () A - 4A

+5=

O

3. Sejam z e w dois complexos quaisquer. Verifique que

ou

a)

Z= z

b)

z:-w = z· w (o conjugado de um produto é igual ao produto dos conjugados)

c) z

+w

=

Z + w (o conjugado de uma soma é igual à soma dos conjugados)

ou

(z+

b)2

2

2a

16.1 i =~;

b

i.J1i;i

2a

2a

5.4. SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA NO CASO EM QUE AS RAÍZES DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA SÃO NÚMEROS COMPLEXOS

daí

Vamos estudar inicialmente a equação

z+-=±--

d2x

ou seja,

..

z= EXEMPLO 5. Resolva x 2 + 2x + 2

=

2a

-+ w2x 2 dt

O, cujas raízes são

Ca ~umeroSA co~plexos wi e - wi; deste modo, o que aprendemos na Seção 4.2 não se apli-

O.

2

Solução

no Apendlce 1 veremos como dar um tratamento único à equação homogênea

x

dx

d;2 + b d + ex := O, quer as raízes da equação característica sejam reais ou complexas). Ob t todo t,servamos que uma função x = x(t), t E ~, será solução de CD se e somente se, para

-2± 0

-2±i-!4 _ -2±2i = 222

ou seja, x = - 1 ± i.

O

~~de, w =1= Oé um real dado. A equação característica de CD é ;- + w2 = d

x =

=

li

.x"(t)

=-

w2 x(t).

84

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2

Equações Diferenciais Lineares de 1. a e 2. Ordens, com Coefi cientes Constantes Q

Como as funções sen wt ecos wt satisfazem @ , segue que x = sen wt e x = cos wt são solu_ ções de (D. Deixamos a cargo do leitor verificar que, quaisquer que sejam os reais A e B, x = A cos wt

+B

+

A solução geral de

sen wt

será, também, solução de (D. Nosso objetivo a seguir é provar que x = x(t), t E IR, será solução de (D se e somente se for da forma G). Para atingir nosso objetivo, vamos provar primeiro que sex = x (t), t E IR, for solução de (D então existirá uma constante k tal que, para todo t, [X ' (t)]2

85

onde w

"* Oé um real dado, é x = A COS wf

+ B sen

wt

(A, B E IR)

w 2 [x (t)]2 = k.

EXEMPLO 1. Resolva a equação (Esta relação nos diz que, se o movimento de uma partícula na reta for regido pela equação

. ]2 [x(t) d .. / . . . l [wx (t )]2 / (D 1 ,entao a soma a energta cmetlca - - - com a energta potencta mantem2 se constante durante o movimento.) De fato , sendo x = x (t) solução de (D, para todo t, tem-se

x" (t)

+ w 2 x (t)

=

2

Solução

As raízes da equação característica

O.

Daí, para todo t, são 2i e -2i. A solução geral é :t

{rx'(t)f + w 2 [x(t)f} = 2X'(t)X"(t) + 2w 2x(t)x' (t) = 2x ' (t)[X"(t) =

+

x

w2 x(t)]

x x

O.

As notações e (devidas a Newton) são freq üentemente usadas, em física, para indicar, respectivamente, as derivadas de I: e 2: ordens de x em relação ao tempo t :

Logo, [x' (t)]2 + w2 [x (t)]2 é constante. Suponhamos, agora, que x = x (t) , t E IR, seja uma solução qualq uer de (D. Façamos ao = x (O) e hO = x' (O) . A função f dada por f (t) = ao cos wt

+

ho sen wt é solução de w (D e, além disso, f (O) = ao e f' (O) = hO' Sendo f (t) e x (t) sol uções de (D, f (t) - x (t) também será. Pelo que vimos acima, existirá uma constante k tal que, para todo t,

[f' (t) - x' (t)]2

+

w2 [f(t) - x (t)]2

= k.

e, portanto, x (t) =

f

+ w 2 [f (t)

-

x (1)]2

x ==

dx -;tt

2

/' . notaçoes. e x.. = ddt 2x ' N os prox!mos exemp 1os ut!'1'IzaremOS taIS

EXEMPLO 2. O movimento de uma partícula sobre o eixo x é regido pela equação mi+kx=O onde m > Oe k

De f (O) = x (O) e f' (O) = x' (O) resulta k = O. Assim, para todo t,

[f' (f) - x' (t)]2

= A cos 2t + B sen 2t.

> O são constantes reais dadas. Descreva o movimento.

SolUÇão

=O

A equação é equivalente a

(t) , ou seja,

x (t)

= A cos wt + B sen wt Onde w2 == k

onde A = aO e B =

~.

Fica provado assim que x = x (t), t E IR , será solução de

w somente se for da forma G).

CD se e

- . A solução geral é m x = A COS wt

+ B sen

wt.

•

86

Um Curso de Cálculo -

Tomando-se

lp

Vai. 2

Equações Diferenciais Lineares de 1. a e 2. a Ordens. com Coeficientes Constantes

tal que Observe que Ae

_'1tl _ 2

--.j ô

I

+ Be

I

(Á

2

> O) é a solução geral de

x.. - -Â x 4

,

= O. (Ven·fique.)

Provaremos a seguir que se as raízes da equação característica forem números complexos (~ < O) a solução geral será

- - - - - - - - - - - - -;,

B

I

I I

_k/[ A cos -~ 2 - t + B sen -~ 2 - t1 .

x = e 2

A resulta x =

~A2 + B 2 [cos

wt

+ sen

Teorema. Seja a equação (b e c reais dados) wt]

x + bx + cx = O ou seja, e suponha que as raízes da equação característica Á 2 x = ~ A2

+

B2

cos (wt -
Trata-se, então, de um movimento harmônico simples de amplitude

A2

+ B2

.

= a ± f3i onde a = -

+ bÁ + c = O sejam complexas

%e f3 = .JI: I ) . Então a solução geral de ® será al

•

Observação: Dizemos que uma partícula que se desloca sobre o eixo x descreve um movimento harmônico simples (MHS) se a equação horária for do tipo x = a cos (wt + lpo). Os números a, we lpO denominam-se, respectivamente, amplitude, pulsação efase inicial do movimento. Vejamos, agora, qual é a solução geral de

x = e

[A cos f3t

+ B sen f3t]

(A. B E ~).

Demonstração Sejamfe g definidas em ~ e tais que, para todo t, b

f(t)

x + bx + cx = O no caso em que as raízes da equação característica são números complexos. Se as raízes da equação característica fossem reai e distintas,

Á =

-b

=e

-- I

2

g(t).

Vamos mostrar quefserá solução de ® se, e somente se, g for solução de

+.fi , a solução geral seria, corno

. (- Â)

2

x+ -4- x=

já vimos, (- b +" ô)

x

= Ae

I

2

(- b -,tl)

+

Be

.. f(t)

2

Ou

=

e

-

b 2

(

[.Jil Ae 2

(

+ Be

- -,

ô 2

I

o.

De fato, seffor olução de ® teremos, para todo t, I

ou

x

87

] .

.

+ bf(t) + cf(t) = O

88

Um ClIrso de Cálculo -

Eqllações Diferenciais Lineares de J. a e 2. a Ordens, com Coeficientes Constanles

Vai. 2

Como

89

A solução geral é

b 2

e

b

-

1

g(t) + e

2

b

-

x = e - I [A cos t

+B

sen t).

1

2

g'(t)

b) x (O)

e

Assim,

= O e x = e - I (A cos t + B sen t) <:=>A = O. x = Be - I sen t. S egue i = - Be - I sen t + Be- I cos t.

Daí

x (O) = B, logo, B = 1. A solução que satisfaz as condições iniciais dadas é

substituindo em ® e simplificando resulta

x = e - I sen t b2

--I

e 2b Como ~

= b2 -

[

g"(t)+ ( C-

4

)

1

g(t) =0.

4ac, segue que g"(t)

)

+ (-4~ g(t) =

O

e, portanto, g é solução de 0. Deixamos a seu cargo verificar se g for solução de 0 então será solução de @. Sendo g solução de 0

f

g (t) = A cos {3t

+ B sen {3t

1- t.

•

onde {3 = \ -4- . Segue, então, que A seguir, vamos destacar, num quadro, os resultados obtidos nesta seção e na 5.2. b

- - t

f(t) = e 2 [A cos {3t

+ B sen {3t)

Seja a equação

b

i +

e fazendo a = - - , resulta 2

f (t) = e trl [A cos {3t

•

+ B sen {3t).

i+ 2i + 2x

=

b) Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais x (O)

Se AI ;/= A2 , A1 e A2 reais, a solução geral será

= O e i (O) = 1.

(11)

Se AI

=

A2, a solução geral será X

Solução

+

2A

+

2 = O <:=>A =

-2±F4 2 A

= e AII

[A

+ Bt).

(lIl) Se as raízes da equação característica forem complexas, A = a ± {3i, a solução geral será

. Assim,

= - J ± i (a = -

(b e e reais dados)

O.

a) Ache a solução geral.

a) A2

O

e sejam AI' A2 as raízes da equação característica.

(1)

EXEMPLO 3. Considere a equação

bx + ex =

1, {3

=

I).

x = e

trl

[A cos {3t

+

B sen {3t).

90

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

Equações Diferenciais Lineares de 1. o e 2. o Ordens, com Coeficielltes Constantes

EXEMPLO 4. Uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo x sob a ação de umaforça elástica -/a;(k > O) e de umaforça de amortecimento proporcional à velocidade e dada Por -ái(c > O). Determine a equação que rege o movimento e discuta as soluções.

91

seguir mostra o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais x (O) = xo ,.. figura a . :;;> O) e x (O) = O. ( JO x

Solução amortecimento forte

Pela lei de Newton

mx=-/a-á ou seja,

nü+á+/a=O oscilatório amortecido

que é a equação que rege o movimento. Esta equação é equivalente a

Note que, nos casos 2 e 3, o amortecimento é suficientemente grande de modo a não permi• tir oscilação da partícula em tomo da posição de equilíbrio (x = O).

, da equaçao - caractenstlca , . sao: -À on de y = - c e w 2 = -k . A s rmzes = - y + - -V/Y2 - 2 w . 2m m

1.0 caso. Movimento oscilatório amortecido ou sub crítico Sendo

(1 < w2 ).

1 < w 2, as raízes da equação característica serão complexas,

w= ~ w 2

- y2 . A solução geral de

À

=-

+ B sen

d2x

y ± wi, onde

wt]

e, portanto,

onde K = \ ' A 2

+ B2

=

Ke yt cos (wt - cp)

(1 =

dt

x+ x+ x =

e)

X + 9x =

l)

p)

=-

d.x

+2-

c)

n)

w2)

Neste caso, a equação característica admitirá uma única raiz real À

r)

y. A solução geral será

+ 5x = O

X + 5x = O

d 2x d) - 5x= O dt 2 j) oV - 2 + 2y = O

O

v

O

y - 4y + 4y

b)

0

=

d 2y

O

dy

11) - + 5 - = 0 2

clt

dt . d 2y

Y+ 6y + lOy = O Y- 6y + 5y = O

dy

+ - + 3y =0 dt m) x - 6x + 9x = O y + 4y = O o) y + 3y + 3y = O Y+ ay = O, onde a> O é uma constante. q) y + ay = O, onde a < O é uma constante. y - 2y + 6y = O s) x + 8i + 20x = O J) -

dt 2

2. Detennine a solução do problema.

x = Ae -'VI + Bte -'VI

x + 4x = O, x(O) = O e x(O) = I. x + 2x + 2x = O, x(O) = - I e x(O) = O. c) X + i + 2x = O, x(O) = I e x (O) = I d) x + x = O, x(O) = - I e x(O) = 2 a)

ou seja,

b)

x

= e-yt[A + Bt].1

3.° caso. Amortecimento forte ou supercrítico ( 1 ) w2 )

1>

onde n =

dt 2

i)

e cp é tal que A = K cos cp e B = K sen cp.

2. ° caso. Amortecimento crítico

Sendo

a) -

g)

x

=============================

1. Resolva a equação

@) será

x = e-yt [A cos wt

Exercícios 5.4

"'V

2

w as raízes da equação característica serão reais e distintas, y2 - w2 . A solução geral será

->

À = -

y ±

a,

3. Uma partícula de massa m Supondo x (O)

= Ie

= I desloca-se sobre o eixo x sob a ação da força elástica -4x i .

x (O) = - I, determine a velocidade no instante t. ->

4. Uma partícula de massa m = I desloca-se sobre o eixo x sob a ação de uma força elástica -2x i X

= e

-yr!ll

[Ae

+ Be -!lI].

e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por - 2o\: 7. Determine a equação horária do movimento supondo x (O) = O e

x (O) =

I.

92

Um Curso de Cálculo -

Equações Diferenciais Lineares de J. a e 2. a Ordells. com Coeficientes Constantes

Vai. 2

5.fé uma função definida em IR tal que sua derivada segunda é igual à diferença entre sua deriva_ da primeira e ela própria. Determinefsabendo, ainda, quef(O) = O ef' (O) = I.

c onclusão

6. Um móvel desloca-se sobre o eixo x com aceleração proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. Detennine a posição x = x (I) do móvel, supondo ,r (O) = 2, (O) = I e x (O) == O.

A solução geral de

x

7. Uma partícula de massa m

= I desloca-se sobre o eixo x sob a ação de uma força elástica ->

e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por - eX i (c mine c para que o movimento seja

-x

93

x

7

> O). Deter_

+ bx + cx = f(t)

é

a) fortemente amortecido. b) criticamente amortecido. c) oscilatório amortecido.

onde x é uma solução particular da equação dada e x" a solução geral da homogênea .Pd aSSOCIa a.

5.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES, NÃO-HOMOGÊNEAS, DE 2.3 ORDEM, COM COEFICIENTES CONSTANTES

Determinar a solução geral da homogênea associada já sabemos. O problema, agora, é como determinar uma solução particular. Os exemplos que apresentaremos a seguir mostram como determinar, em alguns casos, uma solução particular através de uma "escolha criteriosa". o final desta seção você encontrará uma tabela que o ajudará nesta "escolha criteriosa".

Consideremos a equação linear, de 2." ordem, com coeficientes constantes

d 2x dx dt 2 +b-;;;+cx=f(t)

Q)

onde f é suposta definida e contínua num intervalo I. Se f não for identicamente nula em I, diremos que Q) é não-homogênea. Diremos, ainda, que d 2x

®

EXEMPLO 1. Determine a solução geral de

dx

onde xh é a solução geral da homogênea associada a Q). De fato, sendo x p = x p (t), tE/' solução de Q), para todo t E I,

f(t).

Supondo que x = x (t), t E I, seja outra solução qualquer de Q), resulta que x (t) - x p (t) é solução da homogênea @, pois, para todo t E I,

d2

+ 2x = t.

2

d x 3 -+ dx 2x= O --+ 2

dt

dt

.. . uçao geraI x" = Ae -2t + Be - I (venflque). Vamos, agora, procurar uma solução parlteular da equação dada. Tentaremos uma solução do tipo

ea sol

+ xp

+ bx p (t) + cX p (t) =

dt

A homogênea associada é

é a equação homogênea associada a Q). Mostraremos, a seguir, que se x p = xp(t), t E I, for uma solução particular de Q), então a solução geral de Q) será

x p (t)

dx

dt

Solução

- -2+ b - + cx=O dt dt

x = xI!

d 2x

-+32

d

dt 2 [x(t) - x p (t)] + b dt [x(t) - x p (t)] + c[x(t) - x p (t)] =

xp = m

+ nt

Onde m e fi . . . n sao coe IClentes a determinar. Voce acha natural tal escolha? Por quê? O que PrecIsamos faz ' b . . - na equação e determinar me n para que se tenh . e~, agora, e su stttUlr esta f unçao a uma IdentIdade. A

(m

+ nt)" + 3 (m + nt)' + 2 (m + nt) = t

Ou

[x(t) + bx(t) + cx(t)] - [xp(t) + b'~p(t) + cXp(t)]= f(t) - f(t) = O. Por outro lado, se x = x (t), t E I, for tal que x (I) - xp (t) é solução da homogênea, entãO x = x (t) será solução de Q) (verifique). Segue que a solução geral de Q) é x =

onde xlz é a solução geral da homogênea

xlt

3n Deve

+ 2m + 2nf = t.

mo ter então

+ xp

® e x p uma solução particular de (D.

{

3n

+ 2m = O 2n

=I

_ --uq

Vol. "2

Um Curso de Ctifcul0 -

ou seja, n =

1

2" e m

=-

3

4"'

Deste modo, x

p

(9m

3 4

1 2

+

+ 4m) e

12m

3t

= e

31

= --+-t oU

é uma solução particular da equação. A solução geral será x = Ae- 2t

+ Be- t

-

~ +! 4

t.

2

li

Devemos

ter então, 25m '

1

.

= 1 ou m = - . ASSim, 25

EXEMPLO 2. Considere a equação

= _1_ e31

x

x + 3x + 2x =

25

p

1.

a solução particular. ., I ão geral da homogênea associada e b) A so uç

é um a) Olhando para a equação, "chute" uma solução particular. b) Ache a solução geral.

xh

Solução a) A função constante x (t) =

= Ae - 2t + Bte -21

Segue que a solução geral da equação dada é

..!. é uma solução particular (verifique). 2

•

b) A solução geral da homogênea associada é xh = Ae

- 2t

+ Be -

t

.

EXEMPLO 4. Ache a solução geral de

Segue que a solução geral da equação dada é

•

x + 4x + 4x = Solução

EXEMPLO 3. Considere a equação

Vamos tentar uma solução particular do tipo

2

d x + 4dx- + 4x = 2 dt

sen 2t .

dt

e

3

x p = m cos 2t

t

Devemos determinar m e n de modo que, para todo t.

a) Determine uma solução particular. b) Ache a solução geral.

[m cos 2t

Solução

Ou

+ n sen 2t)" + 4 [m cos 2t + n sen 2t]' + 4 [m cos 2t + n sen 2t]

a) Nada mais natural do que tentar uma solução particular do tipc

xp = me

+ n sen 2t.

- 8m sen 2t

+ 8n cos 2t = sen 2t.

3t

onde m é um coeficiente a determinar. Você acha que é realmente natural esta escolha? por quê? Devemos determinar m de modo que, para todo t,

Dev emos ter, então, - 8m

. m = = 1 e 8n = O, ou seja,

x

p

1 8

= - - cos 2t

- ..!. 8 en

= O.

=

sen 2t

5'0

Um Curso Cle LalculO -

Vol . L

o - 1 é raiz simpl~s da equação característica da homogênea, a equação admitirá uma co 01 ão particular do tipO solUÇ x p = mte - I (veja quadro anterior).

é uma solução particular. Como xli

= Ae -

21

+ Bte -

21

é a solução geral da homogênea associada, segue que

De ve010 x

= Ae- 21 + Bte- 21

-

I cos 2t 8

(mte -f)"

-

é a solução geral da equação dada. • O quadro que apresentamos a seguir mostra como escolher a solução particular nos caOlI sos:f(t) = P (t), P polinômio,f(t) = aO e ouf(t) = ao cos ato

.t + bx + ex = f

s determinar m de modo que, para todo t,

+ 3 (mte -')' + 2 (mte -f)

=

e-[

oU(apÓS derivar e simplificar) me

-f

=

e

-f

logo, m = 1. Segue que x p = te- f

(t)

é uma solução particular. A solução geral da equação dada é f(t)

Solução particular I. Se a não é raiz da equação característica, ,. . I 011 2 . Se a e raiz slmp es, x p = mte . . e a e" raIZ d upl a, x p = mt2011 e . 3S

P (t)

1. Se e

* O, xp =

° * 0, x tP, * 0, x m cos at + n sen at. °e se cos não for solução da homogênea, m cos at.

1. Se b 2. Se b = x = 3.

Se

= Ae- t + Be- 2f + te-f.

x + 4x = cos t. Solução

(t).

p =

Vamos tentar uma solução particular do tipo

p =

at

°

b = e se cos at for solução da homogênea, x p = mt cos at + nt sen at. (Ressonância.)

X = p

=

m cos t.

Esta escolha é motivada pelo fato de que derivando-se duas vezes o cosseno volta-se ao cosseno. (m cos t)"

Observação: Sef(f)

•

EXEMPLO 6. Determine a solução geral de

P, (f) onde P, é um polinômio de mesmo

grau que P. 2. Se e = e b

aO cos at

x

xp = me Ol'.

+ 4 m cos t

=

cos t

ao sen at, procede-se como no caso,f(t) = ao cos at.

ou

EXEMPLO 5. Resolva a equação 3 m cos logo, m =

Solução

Ae

- I

+ Be -

21

I)"

+ 3 (me -

~

cos t é uma solução particular. A solução geral da equação

x = A cos 2t

.

Como e - I é solução da homogênea, a escolhaxp = me - I não resolve o problema, pois, qualquer que seja m, (me -

=

= cos t

dada é

A solução geral da homogênea associada é Xli =

~. Assim, xp

t

I)'

+ 2 (me -

I) =

O.

L

+ B sen 2t + - cos t. 3

EXEMPLO 7. Resolva a equação

x + 4x =

sen 2t.

•

_--~"atuzçõ,es

Solução A solução geral da homogênea

x + 4x =

+ B sen 2t.

~

== x (t)

eOtaO xp

Como sen 2t é uma solução da homogênea associada, não adianta tentar solução Particular do tipo xp = m sen 2t, pois, substituindo tal função na equação dada, o 1.0 membro se anUla o 2. 0 não. Tenta-se, então, neste caso, solução particular do tipo e

+ bx + ex = h

(mt sen 2t

+ nt cos 2t)'

+ nt cos 2t)"

= m sen 2t

+ 2mt cos 2t + n cos 2t -

(t) e x

_

2

ruo , P

2nt sen 2t

Assim, x p = -

[XI (t)

±

t cos 2t é uma solução particular. A solu-

Observação: Na determinação de uma solução particular, em geral, estão envolvidos muitos cálculos; por este motivo é sempre bom verificar se a solução particular encontrada é

ticular de

x + 4x =

2t

p

xI

(t)

~

t cos 2t é realmente uma solução par-

(t)

+ X2 (t»)' + c [XI

+ 4 (-

+ ~ sen

2t

(t)

+ X2 (t)]

= fI (t)

+h

(t).

+ x2 (t) é uma solução particular da Equação @.

•

EXEMPLO 9. Resolva a equação X + 4x

=

e1

+ sen 2t.

Solução XI

= .!.. e 1 é uma solução particular de 5

(Verifique. )

sen 2t, pois,

~ t cos 2t)"

= (~ sen

Logo, x =

+ X2 (t»)" + b [XI

+ B sen

realmente solução particular. Por exemplo, x p = -

(t)

e daí, somando membro a membro, resulta

I 2t - - t cos 2t. (Suponha que o movimento de 4 uma partícula que se desloca sobre o eixo x é regido pela equação deste exemplo; descreva o movimento.)

ção geral é, então, x = A cos 2t

+ bX2 (t) + eX2 (t) = h

X2 (t)

4m cos 2t - 4n sen 2t = sen 2t

±.

= fI (t)

e

Substituindo Q) e @ na equação dada e simplificando, vem:

e, portanto, m = Oe n = -

(t)

= x 2 (t) soluções particulares de ® e @, respectivamente, tere-

4m cos 2t - 4n sen 2t - 4mt sen 2t - 4nt cos 2t

=

I..-UejLclerues ,-U"~/,u",e~

soluçãO

XI (t) + bx] (t) + eXI (t) (mt sen 2t

(-

vraens, cum

+ X2 (t) será uma solução particular de @.

Temos:

@

L .-

I

Sendo x I - x I ara todo t E I,

= mt sen 2t + nt cos 2t.

e

'

x

@

1. -

t E I uma solução particular de

Oé

Xh = A cos 2t

Xp

(t) X2'

e se ;X2 ==

U1JerenCIG1S Lmeares ae

~ t cos 2t) = ( + t cos 2t) -

±

cos 2t

t cos 2t

+ ~ t sen 2t)

= sen 2t.

Pelo Exemplo 7, x2

=- ~

t cos 2t é uma solução particular de

- t cos 2t ==

X + 4x

= sen 2t.

I

Pelo princípio de superposição

EXEMPLO 8. (Princípio de superposição.) Considere a equação

x + bx + ex =

fi (t) + h

ondefl (t) eh (t) são funções dadas, definidas e contínuas num mesmo intervalo /. Mostre que se xI = xI (t), t E I, for uma solução particular de

®

x + bx + ex =

fi (t)

X

(t)

p

I 1 e 5

= -

-

I t cos 2t 4

-

é urna solução particular da equação dada. Então, a solução geral da equação dada é

X

= A

cos 2t

+ B sen

2t

I 5

I t cos 2t. 4

+ - eI - -

•

VI/I.

LU.)V

ue

YUt. ~

\....UU:' UtV -

Exercfcios 5.5

1. Determine a solução geral. d 2x a) - 2- - 3x = cos 31 dI d 2x dx c) - - 2 - + x = 5/ 2 dl dI d2x e) - dl 2 g)

dx

+ 2 - + 2x

x+x=

dI

= 4

b)

x+

4i

+ 4x = 2t + 1

d)

x+

4i

+ 3x = 8e 21

j)

d 2y

2 sen t

h) -

dl 2

. d 2y

dy 2 I) - 3 - = 3t 2 dl dI l) + 2i + x = cos 2t n) 4x = e2t p) 2i = sen 3t r) 2i = e 2t

j)

x xxx-

2. Resolva a equação

y + 2y

= 4

dy

- 3-

dt

x + 9x = sen

m) X

6

+ 2y I

Os ESPAÇOS [Rn

= t2

+ 2 cos t

+ 9x = sen 3t

x - 4x = 8 cos t q) x - 2i = e t s) x - 2X = 5 o)

2

x+w x =

sen wI, onde w

* Oé um real dado. (Ressonância)

3. Determine a solução do problema

x + 4x = cos t, x (O) = 1 e i (O) = - 1. b) x + 6i + 9x = e - 3t, x (O) = O e i (O) = I. c) x + 4x = cos 2t, x (O) = Oe i (O) = O. 3t d) x + 4x = 5e , x (O) = O e i (O) = O. a)

4. Determine uma solução particular de

x+

2Ji

+ wÔ x

= b sen wt

onde y, wo' b e w são constantes não-nulas dadas.

6.1. INTRODUÇÃO Nosso objetivo, neste capítulo, é introduzir no [R2 os conceitos de norma e de conjunto aberto, que generalizam os conceitos de módulo e de intervalo aberto, e que serão fundamentais em tudo o que veremos a seguir. O símbolo [R2 está sendo usado aqui para indicar o conjunto de todos os pares ordenados de números reais: 1R2 = {(x, y) I x, y reais}. Para as interpretações geométricas e físicas será muito útil pensar um par ordenado (x, y) como um vetor do plano. Para isto, fixaremos no plano um sistema ortogonal de coordena-

OP,

das cartesianas (o habitual) e identificaremos, então, o par (x, y) com o vetor onde O é a origem do sistema e P o ponto de coordenadas (x, y). Esta identificação nos sugerirá como somar pares ordenados e como multiplicar um par ordenado por um escalar a partir das operações sobre vetores, que suporemos conhecidas. O leitor não terá dificuldade alguma em generalizar os conceitos deste capítulo para o [Rn, n ~ 3, onde [Rn indica o conjunto de todas as n-uplas ordenadas (Xl' x2' ... , x n) de números reaIS.

5. Resolva a equação

x+

w5 x = b sen wt

6.2. O ESPAÇO VETORIAL [R2 ->

-->

onde wo' b e w são constantes não-nulas dadas. re

->

I dentificando (x, y) com o vetor OP e indicando por i e j os vetores associados, . --> pectlVamente, a (1, O) e (O, 1) resulta da teoria dos vetores que OP

p

o

-+

xi

=

->

xi

->

+ Yj

.LV'&'

um curso ae LaLculo -

É imediato que se

À

Vol. :L

é um escalar, isto é, um número real, então, --+

À

OP

=

OPI'

onde p

o ponto de coordenadas (Ax, Ày). Por outro lado, se OQ é o vetor associado a (s, t) e --+

--+

--+

--+

OR = OP + OQ, então OR é o vetor associado a (x sugere-nos a seguinte definição.

-+ _ (

. rn oS vetores u - ai' Ié

Se

+ s, y + t) (verifique). TUdo iSI

O

a) (x + s, y + t) é a soma de (x, y) com (s, t): (x, y) + (s, t) = (x + s, y b) (Ax, Ày) é o produto de (x, y) pelo escalar À: À (x, y) = (Ax, ÀY). c) (x, y) + (-1) (s, t) é a diferença entre (x, y) e (s, t): (x, y) - (s, t) = (x, y) + (-1) (s, t). d) (x, y) = (s, t) <=> x = se y = t.

~ (j) LI

• -: :::

~

(ÍI

-+

+V

-+ V

-t

•

-+

.

u (comutativa

A4) (x, y)

MI) M2) M3) M4)

+ (-1) (x, y)

+ [(s,

t)

+ (u,

(i v)

À

um escalar; são de

-t

-t

-t

-t

.

.

.

-t -t

LI

-t

=u

-t

. (Â v).

-t

~ ~ ~ O· -;; . -;; = O<=> u = (O, O). LI · LI

9"

,

. teressados a seguir em definir perpendicularismo ou ortogonalismo entre EstamOS lfl , '-+ -+ o 1R2 Consideremos os vetores u = (ai' b l ) e v = (a2' b2)· Vamos olhar estes d vetores . . vetores aplicados no ponto P = (x, y) do plano. dOIS

-:!A ~B

v)]

P

= (O, O)

o

a [f3 (x, y)] = 0'f3 (x, y) a [(x, y) + (s, t)] = a (x, y) + a (s, t) [a + f3] (x, y) = a (x, y) + f3 (x, y) 1 . (x, y) = (x, y).

-4

PERPENDICULARISMO

e

o; = O; + -: = A

denomina-se produto escalar dos vetores (a I, b I) e (a2' b 2) e indica-se por (a I' b l ) . (a2' b 2)· Assim,

= 2 . 1 + 3 . 5 = 17.

Observe que o produto escalar de dois vetores é um número.

= (x + al'y + bt)eB =

AB 2 = Ap

(2,3) . (1,5)

+ (a2' b2) =

(x

+ a2' y + b2)·

(x

+ a2'y + b2)·

Vamos, agora, aplicar a lei dos cossenos ao triângulo APB para determinar cos (J. Temos

+ b l b2

EXEMPLO 1. O produto escalar dos vetores (2, 3) e (1, 5) é

(x, y)

Assim,

Definição 1. O número ala2

-4

A e B são extremidades de u e v, respectivamente. Temos

Observação. Uma estrutura de espaço vetorial sobre um conjunto não-vazio V fica determinada quando se definem em V duas operações, uma de adição e outra de multiplicação de um elemento de V por um escalar, satisfazendo as oito propriedades acima listadas. As operações anteriormente definidas determinam, então, sobre o 1R2 uma estrutura de espaço vetorial real; seus elementos podem, então, ser chamados de vetores.

6.3. PRODUTO E SCALAR.

= (a3' b3) e seja

)

As seguintes propriedades são de imediata verificação: quaisquer que sejam (x, y), (s, t) e (u, v) em 1R2 e quaisquer que sejam as escalares a e f3 tem-se: AI) [(x, y) + (s, t)] + (u, v) = (x, y) A2) (x, y) + (s, t) = (s, t) + (x, y) A3) (x, y) + (O, O) = (x, y)

b) e ;

2' 2

] . w = u . w + v . w (dlstrtbutlva)

Â~). -: ::: Â( U . w)

(iH) (

+ t).

I'

Seja _ . ediata as seguintes propriedades do produto escalar: .fícaçao 1m vefl

.) [ LI

Definição. Sejam (x, y) e (s, t) dois elementos quaisquer do 1R2 e À um real qualquer. Definimos:

b) ~ = (a

2

+

PB

2

- 2 AP . PB cos (J

Onde AB é a distância de A a B, AP de A a P e PB de P a B. Como

.lU4

Um Curso de Cdlculo -

Os Espaços IR"

VaI. 2

e

+ byO' E ~

"" ax

JJ;XEMPLO 2. Dete~ne a equação da reta que passa pelo ponto (I, 2) e que é perpendicu-

PB

, dí'reção do vetor n

lar a

segue que

+ (b2 -

b l )2 =

ar + br +

a I a2

+ bI

2~ar + br ~ ar + br ~ +

ai

b2 =

à tal reta.

O

coJll c

(a2 - al)2

= (a, b) é um vetor perpendicular

105

+ bi

-

~ai + bi

SoluçãO A equação da reta é

bi cos

ai

cos Oe, POrtanto,

= (-1,3).

O

-7

n . [P - Po] = O

ou seja, onde -;;

= (-1,3), P = (x, y) e Po = (1,2). Assim, a equação da reta é (- 1, 3) . [(x, y) - (l, 2)] = O

-7

-7

Daí, os vetores u = (ai' b l ) e v = (a2, b 2) serão perpendiculares se e somente se o produto escalar de (ai' b l ) com (a2' b 2) for nulo. Nada mais natural, então, do que a seguinte definição.

Defuúção 2. Dizemos que os vetores (ai' b l ) e (a2' b 2) são perpendiculares ou ortogonais se (ai'

bl )

. (a2, b 2) =

ou -(x - 1)

+ 3 (y

- 2) = O

ou ainda

-x + 3y - 5

O.

=

O.

-7

Vejamos como fica, em notação de produto escalar, a equação da reta r que passa pelo ponto Po

= (xo, YO) e que é perpendicular à direção do vetor

-7

n

= (a,

b) =1= (O, O). Vamos olhar

-7

Consideremos, agora, o vetor v = (m, n), com (m, n) =1= (O, O), aplicado no ponto Po = (xo, YO)· Na figura seguinte, representamos a reta r que passa pelo ponto Po = (xO, yO) e que tem a -7

direção do vetor v = (m, n).

n como um vetor aplicado no ponto Po = (xO, Yo).

y

-7

O pontoP = (x, y) pertence à reta rse e somente seo vetor P - Po for perpendicular a n = (a, b).

Assim, a equação da reta que passa pelo ponto Po -7

vetor n

= (a,

= (xO, Yo) e é perpendicular à direção do

Por semelhança de triângulos, para todo P = (x, y) na reta r, existe t tal que

b) é xo

= tm

Y - Yo

= tn.

X -7

n . (P - PO) =

O

{

ou seja, (a, b) . [(x, y) - (xo, Yo)] =

De (x, y) - (xO' YO)

= (x -

xo, Y - yo), segue que a equação acima

ax

+ by =

c

POis bem,

O.

•

é equivalente a

X

= xo

+ Im t E IR

{

Y = YO

+ tn

106

Um Curso de Cálculo -

Os Espaços

Vai. 2

são as equações!aramétricas da reta que passa pelo ponto Po = (xo, Yo) e é paralela à di.

reção do vetor v = (m, n). Em notação vetorial, esta reta pode ser expressa na forma

(x, y)

= (3,

-1)

+ t (2,

•

-3), t E IR.

3. Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta 3x

=

2.

4. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (~, 1) e que seja paralela à reta 3x + 2y = 2. 5. Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada.

EXEMPLO 3. DeteITIÚne a equação, na forma vetorial, da reta que passa pelo ponto (3 -1) e que é perpendicular à reta 2x - 3y = 7. '

=3 5y = 4

+Y= 1 cf) x + 2y = 3

a) x - 2y c) 2x -

b) x

6. Determine um vetor cuja direção seja perpendicular à reta dada.

Solução --+

n

+Y= I c) x + 3y = 2

a) 2x = (2, -3)

é perpendicular à reta 2x - 3y

= 7.

o que queremos, então, é a reta que passa pelo ponto (3, -1) e que seja paralela ao vetor (2 Assim, a equação da reta pedida é

1R 3, os conceitos de produto escalar e

+ t (2,

.

(ai' b l , cl) . (a2' b2, c2) = ala2

b) (I, -2) e 2x

a)(2,-5)ex-y= I

1R2:

a) (1, 2) e 2x

+ Y = 3.

b) (2, -2) e x

+Y =3

+ 3y =

1.

9. Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à direção

+ b l b2 + clc2'

--+

do vetor n dado.

(aI' b l , cI) 1- (a2' b2, c2) <=> (aI' b l , cI) . (a2' b2, c2) = O.

--+

4

No espaço, a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (xO, Yo, zO) e que é paralela à --+

direção do vetor v = (a, b, c) =1= (O, O, O) é

(x, y, z) = (xo, YO, zo)

cf) 2x -

8. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada.

-3), t E IR.

de ortogonalismo são análogos aos do

=3 3y = 1.

b) 3x - y

7. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja paralela à reta dada.

- 3)

'

(x, y) = (3, -1) No

+ 2y

1 UI

~n

b)(2,1,-I)e n=(-2,1,2)

a) (1, 1, 1) e n = (2, 1,3)

10. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular ao plano dado.

+ t (a,

+ 2y

a) (O, 1, -1) e x

b, c), t E IR.

--+

A equação do plano que passa pelo ponto Po = (xO, YO, zo) e que é perpendicular à direção

= (a I' b l , cI) e

11. Sejam u --+

--+

do vetor n = (a, b, c) =1= (0, 0, O) é

b) (2, I, -I) e 2x

- z= 3

--+

4

+ Y + 3z =

1

= (a2, b2, c2) dois vetores do ~3 Defirumos o produto vetorial de

v --+

--+

u por v, que se indica u 1\ v, por

(a, b, c) . [(x, Y, z) - (xo, Yo, zo)] =

° --+

ou

--+

--+

j

k

ai

b[ b2

c[

--+

=

U 1\ V

a2

--+

n . (P - PO)

=

O.

~

~

= (blc2

~

onde i = (1, O, O), j

- c l b2) i

~

+ (a2cI

- alc2) j

~

+ (a l b2 -

a2bl) k

~

= (O, I , O) e k = (O, O, I). Verifique que

Observe que o plano de equação --+

ax

+ by + cz

--+

é perpendicular à direção do vetor n Exercícios 6.3

= (a, b, c).

--+

= d

--+ --+

--+

c) ul\(v

===========================:=:::-;::::::::

--+

cf) (u

4

4

+

--+

+ w) =

--+

--+

u 1\ v

--+ --+ --+ --+ 11) 1\ w= u 1\ w

+ +

--+

~

4

u 1\ w,onde w

= (a3,b 3,c3)

--+ --+ 11 1\ w

12. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,2, - I) e que seja perpendicular --+

v = (-I, 1). 2. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (I, - I) e que é perpendicular à reta 2x + Y = 1. _ _ _ __

v 1\ u .

--+

b) u 1\ v é ortogonal a u e a v .

•

1. ~etermine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e que seja paralela à direção do vetor

--+--+

=-

a) u 1\ v

às direções dos vetores u

~13.

= (I,

--+

I, I) e v

= (J,

- 2, I).

Determine um vetor não-nulo que seja ortogonal aos vetores -: e -: dados.

Os Espaços IR"

108

Um Curso de Cálculo -

a) u

1 U'I

VaI. 2

Demonstração

=(1,2,-I)e v =(2,1,2)

para todo t real, b) u =(3,2,-I)e v =(-1,2,1)

---7

---7

-->

pela

1S

->

->

---+

~

= (uI' u2, u3) e v = (vI' v2, v3), com --7

(x, y, z) = (xO, Yo, zO)

->

e como u . u

b)(O,I,2), u =(2,-i,3)e v =(1,i,i) U

---7

U /\

v

'*

---7

+ t v)

;>-

O.

d' tributividade do produto escalar,

a)(i,2, I), u = (-i, i,2)e v = (2, i, -i)

~

. (u

-I

14. Detennine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja paralelo aos vetores u e v dados.

i5. Sejam dados

---7

+ t v)

(u

--7

--7

->

u . u

+ 2t u

. v

->->

+ t2 v

v;>- O

11 2 resulta, para todo t,

= 11 ;

---7

O. Verifique que

--7

+sU +t

logo,

v (s, t E IR) ~

--7 --7 2 -> 2 --7 2 !J,. = (2 u . v) - 4 11 u 11 11 v 11 ~ O

--7-->

é a equação vetorial do plano que passa por (xO' YO' zO) e que é perpendicular a n = u /\ v .

e, portanto, ---7

~

6.4. NORMA DE UM VETOR. PROPRIEDADES

•

---7---7

v I ~ 11 u 1111 v 11.

Iu

--7

2

--7

Segue do teorema acima que quaisquer que sejam os vetores não-nulos u e v de IR

Definição. O número

tem-se denomina-se norma do vetor (x, y).

u'v

-l~

->

--7

11 u 11 11 v 11

Portanto, existe um único número real (), O ~ () ~ --7

p

--7

-> u·v ---ou u cos () = ---7 --7 Ilull 11 v 11

y

A norma de (x, y) é o compri-

1T,

tal que

--7

V

->--7

= 11

u 11 11 v 11 cos ().

~

mento do vetor OP .

Este número real () denomina-se ângulo entre os vetores u e v.

x

->--7

De (x, y) . (x, y) = x 2

+ i, segue 11 (x, y) 11 = ~(x, y) . (x,

y).

escalar A tem-se: --7

Nl) 11 u 11 --7 --7

-->

Teorema 1. (Desigualdade de Schwarz) Quaisquer que sejam os vetores u, v de 1R2, tem-se

--7

;>-

O; 11 u 11

= O~

--7

= (O, O).

u

->

N2) liA u 11 = IAI 11 u 11. N3) (Desigualdade triangular) ---7

--7

Iu

--7

--7

--7

v I ~ 11 u 11 • 11 v 11.

2

.

Teorema 2. Quaisquer que sejam os vetores u e v de IR e qualquer que seja o

11 u

---7

+ v 11

---7

~ 11

u 11

-4

+ 11 v 11.

110

Um Curso de Cálculo - Vol. 2 .

Os Espaços

~"

111

Demonstração

N 1) Imediata.

~

~

N2) Pondo u

= (x, y)

11

tem-se ~

liA -;; 11

= 11 A(x, y) 11 = 11 (Ax,

Ay) 11

=

vII;;;. I Ui

-

= 1,2, ... , n.

I, i

Vi

~

7. Sejam u e v vetores quaisquer do ~1l. Prove:

+ (Ay)2 .

J(Ax)2

~

U

Logo,

: 1- 7

Ç:>

11: + 7 11 2 =

11 2 + 11 711 2

11 :

~

~

~

~

8. Seja u um vetor qualquer do ~1l. Prove que se u . v = O, para todo v E ~n, então

ou seja,

~

u ~

~

=

liA u II = IAI 11 u 11. ~

N3) 11 u

~2

+

v 11

=

~

(u

+

~

~

v), (u

+

~

~

~~~

~

= 11 u 11 2 + 2 u

v)

O.

~

~

v

+ 11

~

~

v 11 2.

unitários (11 u 11 ~

Pela desigualdade de Schwarz

10. Sejam 4

-4

U

V ~

11 u 1111 viI.

-4

~

~

~

9. Sejam u, v, w vetores do ~n tais que w

U

=

~

I e 11 v 11

=

~

u

+ f3

~

~

=

11 u

+

~2

~

quer que sejam os reais a e f3, se a u

v 11 ~ 11 u 11

2

+ 211

u 11 11 v 11

+ 11

~

v 11 2 = (11 u 11

+ 11

~

+ f3

v 11)2

~~~

logo,

v

=

~

O , então a

~

2

~

~

v 11 ~ 11 u 11

~

+ 11

•

v 11.

Exercícios 6.4

---7

~

13. Sejam 2. Calcule a norma do vetor dado.

U

~

U

~

U ---7

~

+ f3 v . -+

~

~

e v dois vetores unitários e ortogonais do ~2. Prove que para todo w de ~2 tem~~~

~

I I c) u = (O, I, 2) d)v=(-,-) 2 3 ~ 3 3. Seja u = (uI' Ll2' u3) um vetor qualquer de ~ . Mostre que 11

U

~~~

+ (w

v) v .

~

~

~

~

se, quaisquer que sejam os reais a, ~ U

... , u,,) um vetor do ~" (n;;;' 2). Mostre que 11

= (uI' u2' ~

~

= a

~

~

14. Sejam u, v e w vetores do ~3. Dizemos que u, v e w são linearmente independentes

~

U

f3 tais que w

b) v = (2, 1,3)

~

4. Seja

= (u I' u2)

e v forem linearmente indepen-

---7

se: w = (w . u)

~

a) u =(1,2)

U

12. Sejam U e v dois vetores unitários e ortogonais do ~2. Prove que u e v são linearmente independentes.

I. Generalize para o ~" (n ;;;. 3) os conceitos e resultados desta seção.

~

~

IUIVI

~

+

~

v . w.

= f3 = O. Prove que

~

. Prove que se

dentes, então existirão (e serão únicos) reais a e ~

~

~

u ev

~

11. Sejam u, v, w vetores quaisquer do

11 u

f3 =

~

~ 2 ~ ~ e v vetores do ~ . Dizemos que u e v são linearmente independentes se, quais~

~

~

u . w e

e -; = (vI' v2) são linearmente independentes se e somente se ~

f3 reais. Suponha

v , com a e

1) e ortogonais. Prove que a

---7

Então,

=a

~

11 ;;;. I ui I,

=

~

U

11;;;.1 ui I, i

Prove que u

1, 2, 3.

=

1,2, ... , n.

~

= (uI' u2, u3)'

dentes se e somente se

~

v

~

~

~

f3 e y, se a u + f3 v + Y w = O, então a = f3 = y = O. ~

= (vI' v2' v3) e

w

= (wI' w2' w3) são linearmente indepen-

u3

UI

u2

VI

v2

v3

wl

w2

w3

'"

O.

5. Sejam u , v dois vetores quaisquer do ~n Verifique que -+ ~

~

b) 11 u ~

c) 11

U

-+ -+ vII;;;. 11 u 11 - 11 v 11.

-+

a) 11 u -

~

~

-

vII;;;. 111

~

U

U

. ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~ ~ . Sejam u, v, w e r vetores quaisquer do ~ ,com, u, v e w linearmente independentes. ~

~

vII;;;. 11 v 11 - 11

15

11.

~

11 - 11 v 111.

~

~

~

Prove que r é combinação linear de u, v e w, isto é, que existem reais a, ~

~

~

~

r =au +f3v +yw.

f3 e y tais que

11~

Um Curso de Cálculo ->

->

Voi. 2

Os Espaços IR"

113

~

16. Sejam u, v e w três vetores unitários quaisquer de 1R 3, sendo dois a dois ortogonais p

. rove

~

que para todo r do 1R 3 tem-se:

p e fato,

~

~~~

r=(r

~~~

u)u+(r

~~~

V)v+(r'w)w.

. ->-> 3 ->~ ->-> 17. Sejam u e v vetores não-nulos do IR . Mostre que 11 u 1\ v 11 = 11 u 1111 v 11 sen () -> -> o ângulo entre u e v.

18. Prove que quaisquer que sejam

-> li

d ,on e Oé

°

) E A, com x> e y > 0, então a bola aberta de centro (x, y) e raio r = min {x, y} se (X~~da em A; logo, (x, y) é ponto interior de A. _ , .. ._ está cO y) E A, com x = ou y = 0, então (x, y) nao e ponto mtenor de A, pOIS A nao x /1) se, ( 'nenhuma bola aberta de centro (x, y). contern

°

ti)

e--

A

->

e v em 1R 3

->

é ponto interior

->->

~

11 u 1\ vII,,;:; 11 u 11 11 v 11.

6.5. CONJUNTO ABERTO. PONTO DE ACUMULAÇÃO Sejam (xo, Yo) um ponto do ~2 e r > {(x, y) E

°um real. O conjunto

~21 "(x,

y) - (xo, Yo) "

•

não é ponto interior

Definição. Seja A um subconjunto não-vazio de ~2. Dizemos que A é um conjunto aberto se todo ponto de A for ponto interior.

< r}

denomina-se bola aberta de centro (xO, yO) e raio r.

Observação. Por definição, o conjunto vazio é um conjunto aberto. EXEMPLO 2. Toda bola aberta é um conjunto aberto.

..... I

Yo

--....,

---L___ ~ :

, ,_.L.., ... /

-

Solução

1/ (x, Y) - (x o' Yo)ll

'


Seja B uma bola aberta de centro (xo, Yo) e raio r. Precisamos mostrar que todo ponto (Xl' YI) de B é ponto interior. Seja, então, a a distância de (Xl' YI) a (xO' YO), isto é,

~ (x - xo)' + (y - Y o )'
I

°

"

,

r

Vamos mostrar que a bola aberta Contida em B.

,

B de centro (XI' YI) e raio ri' com <

Xo

No plano, a bola aberta de centro (xO' yO) e raio r é o conjunto de todos os pontos "internos" ao círculo de centro (xO, yo) e raio r. Seja A u~ subconjunto não-vazio de ~2. Dizemos que (xo, yo) E A é um ponto interior de A se eXIstIr uma bola aberta de centro (xO, yO) contida em A. EXEMPLO 1. Seja A

=

a) Todo (x, y), com x > b) Todo (x, y), com x =

{(x, y) E ~21 x ~

°°

°

ey;;" O}.

e y > 0, é ponto interior de A. ou y = 0, não é ponto interior de A.

Xo

ri

< r -a, está

114

Um Curso de Cálculo -

Os Espaços IR"

Vai. 2

2

Seja, então, (x, y) E B; temos (x, y) - (xO' yO)

11

11

e) {(x, y) E IR I x

= 11 (x, y) "'" 11

- (x" y,) + (xI' YI) - (xO, YO) 11 (x, y) - (x"y,) 11 + 11 (x"YI) - (xO,YO)

11

< r, + a <

2

2 O} + xy + y;: 2

j) {(X,y)EIR~lx+y>3ex +y < 16} g) {(x, y) E IR I xy > O} 1 r.

'2}

•

EXEMPLO 3. a) [R2 é um conjunto aberto. b) A = {(x, y) E [R2 Jx;?; O e Y ;?; O} não é aberto. c) A = {(x, y) E [R2 Jx> O e y > O} é aberto.

_

.

ae Y > """';ne o conjunto dos pontos de acumulaçao do conjunto dado. 2. Dete..,u 2 2 2 I} a) {(x, y) E IR I x + Y < b) {(x, y) E 1R2 I x e y inteiros} h) {(x, y) E 1R2 I x ;;;.

Logo, (x, y) E B. Portanto, B está contido em B .

c)

{(~, l}n *- a natural}

cf) {(x, y) E IR~ I x + Y ;;;. I} e){(x,y) E IR Ix= 1,1
Solução

... 3

.

> a no lfIl • Interprete geometncamente.

a) Imediato.

3. Defina bola aberta de centro (x{» yO' Zo) e raio r

b) Os pontos (x, y) E A, com x = Oou y = O, não são pontos interiores; logo, A não é aberto. c) Se (x, y) E A, a bola aberta de centro (x, y) e raio r = rnín {x, y} está contida em A; logo, A é aberto. _

4. Defina bola aberta, conjunto aberto e ponto de acumulação no IR .

Definição. SejaA um subconjunto do [R2 e seja (a, b) E [R2 «a, b) pode pertencer ou não a A). Dizemos que (a, b) é ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) E A, com (x, y) *- (a, b). Grosso modo, dizer que (a, b) é ponto de acumulação de A significa dizer que existem pontos de A, distintos de (a, b), tão próximos de (a, b) quanto se queira.

EXEMPLO 4. Todo (x, y), comx;?; Oe y;?; O, é ponto de acumulação do conjunto A sendo

A

= {(x, y) E

[R2J

x> Oe y > O}; o ponto (

existe uma bola aberta de centro ( -

±, 1)

-±,

1) não é ponto de acumulação deA, pois

que não contém ponto de A.

•

EXEMPLO 5. O conjunto A = {(l, 2), (-1, O), (1, 3)} não admite ponto de acumulação, pois qualquer que seja o ponto (a, b) de [R2, existe uma bola aberta de centro (a, b) e raio r que não contém ponto deA distinto de (a, b) . (se (a,b) não pertence aA, basta tomar r como sendo a menor das distâncias de (a, b) aos pontos (1,2), ( -1, O) e (1, 3); se (a, b) E A, basta tomar r =

±)

Exercícios 6.5

•

==========================:::::;:::::::

1. Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em 1R2.

+ l < I} + y;;;' I} {(x, y) E 1R2 I x 2 + l.,; , e x + y > 3}

a) {(x, y) E 1R2 I x

2

b) {(x, y) E 1R2 I x

c)

cf) {(x, y) E 1R2 I x = 1 e 1 < Y < 3}

115

n

5. Sejam A e B dois subconjuntos do 1R2. Prove que se A e B forem abertos, então A U B e A também serão.

nB

6. Suponha que, para cada natural n, AI1 é um subconj unto aberto do 1R2. Seja B a reunião de todos os An e C a interseção de todos os AI1' Pergunta-se: B é aberto? C é aberto? Justifique. 7. Seja F um subconjunto do 1R2. Dizemos que F é um conjunto fechado se o conjunto de todos os (x, y) não-pertencentes a F for aberto. Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados.

i

l.,; I}.

a) {(x, y) E 1R2 I + b) {(x, y) E 1R2 I x;;;' e y

a

>

a}.

c) {(x, y) E 1R2 I x e y inteiros}. cf) {(x, y) E JR2 I x e y racionais}. e) 4> j) JR2 g) {(x, y) E JR2 I x = I, 1 .,; y .,; 3} h) {(x, y) E JR2 I x = 1, 1 .,; y

< 3}

8. Suponha que o conjunto B, B C 1R2, não seja aberto. Pode-se concluir que B é fechado? Sim ou não? Justifique. 9. Dizemos que A C JR2 é um conjunto limitado se existir um m > atal que 11 (x, y) 11 < m para todo (x, y) E A. Prove que se A for limitado e se A contiver um número infinito de pontos, então A admitirá pelo menos um ponto de acumulação. A afirmação continua verdadeira se uma das hipóteses for omitida?

-------------------------------------------------------------------

Função de uma Variável Real a Valores em ~". Curvas

b) A i1l1agem de F é a reta de equações paramétricas {; :

7

117

~t

E~El\1PLO 2. Desenhe a imagem da função F dada por F (t)

= (t, (2) .

•

Solução

FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM

A imagem de F é a curva de equações paramétricas {; :

;2

[Rn. CURVAS

(t, (')

7.1. FUNÇÃO DE UMA V ARIÁVEL REAL A V ALORES EM [R2 Uma função de uma variável real a valores em ~2 é uma função F: A ~ ~2, onde A é um subconjunto de ~. Uma tal função associa a cada real t E A, um único vetor F (t) E ~2. O conjunto A é o domínio de F e será indicada por DF- Suporemos sempre que A ou é um intervalo ou uma reunião de intervalos. O conjunto Im F = {F (t) E ~2 I t E DF}

é a imagem ou trajetória de F. A imagem de F é o lugar geométrico, em ~2, descrito por F (t) quando t varia em DF-

A imagem de F coincide com o gráfico da parábola y

EXEMPLO 3. Seja F (t)

=

=

x 2.

•

(cos t, sen t), t E [O, 27T]. Desenhe a imagem de F.

Solução A imagem de F é a circunferência de centro na origem e raio 1.

EXEMPLO 1. Seja F a função dada por F (t) = (t, 2t). a) Calcule F (O) e F (1). b) Desenhe a imagem de F.

Solução a) F (O)

= (O, O) e F (1) = (1,2) .

•

y

EXEMPLO 4. Seja F (t)

=

-( - ( sen t), t ~ O. Desenhe a imagem de F. ( e cos t, e

SOluça0

F (t) = e - ( (cos t, sen t)

x

11 F (t) 11

=

~(e-t cos

t) 2

+ (e-t sen

t) 2

118

Um Curso de Cálculo -

Função de unta Variável Real a Valores em IR". Curvas

Vai. 2

119

2

ou seja,

5. F (t) == (t , t) II

8. F (f) = (sen t, sen t)

7. F (t) == (cos t, 2 sen t)

F (t) 11 = e -to

2

10. F (t)

t

12. F (t) = (sen t, I)

9. F (t) == (seu t, sen t) t

J J. F (t) == (e cos I, e sen t), t ;;;. O

-----

=

(.,fi cos t, 2 sen t)

7.2. FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM 1R3 Vrna função de uma variável real a valores em ~3 é uma função F : A ~ ~3, onde A é um bconjunto de~. Uma tal função associa, a cada t E A, um único vetor F (t) E ~3. A imagem ~~ trajetória de F é o lugar geométrico, em ~3, descrito por F (t), quando t varia em DF·

Quando t varia em [O, +00[, o ponto F (t) gira em tomo da origem e a distância à origem tende a zero para t tendendo a +00. Observe que a imagem de F coincide com o gráfico da espiral p = e-O, (J ~ O (coordenadas polares). _

EXEMPLO 5. Desenhe a imagem da função F dada por F (t) = (2 cos t, sen t), t E [O, 27T].

EXEMPLO 1. Desenhe a imagem de F (t) = (t, t, t), t

~

O.

Solução A imagem de F é a semi-reta de equações paramétricas

Solução X

-2 = cos

t~sent '"' y~sent x

=

2 cos

t

{

x =t y=t

l

t

Z

=>

z t~O

=t

y

•

-2

EXEMPLO 2. Desenhe a imagem de F (t) = (cos t, sen t, 1). SOlução

- 1

2

Assim, para cada t E [O, 27T] o ponto (2 cos t, sen t) pertence à elipse ~ 4 outro lado, para cada (x, y) na elipse, existe t E [O, 27T] tal que

+l

. A imagem de F é uma circunferência situada no plano raiO 1. =

z = 1, com centro no eixo z e

1. por z

= 2 cos t ( A?) por que. { Y = sen t X

Exercícios 7.1

•

=====================================================~

Desenhe a imagem:

+

I. F (f) = (1, t)

2. F (t) = (t, t

3. F (t) = (21 - 1, t

4. F (t) = (I, (3)

+ 2)

1)

y

x

•

120

Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas Um Curso de Cálculo -

121

Vol. 2

EXEMPLO 3. Desenhe a imagem de F (t) = (cos t, sen t, bt), t

;3

~.

O, onde b > O é urn

a) Determine o domínio de F.

~

b) Calcule F

Solução 3·

A imagem de F é uma hélice circular reta. Quando t varia em [O, +00[, a projeção d F (t), sobre o plano xy, descreve a cu:cunferênc~a x = cos t, Y = se~ t, ao passo que a pro·e~ ção sobre o eIXO Z descreve um mOVImento umforme, com equaçao Z = bt. ~ z

(~).

Determine o domínio.

a) F (t)

==

b)F(t) ==

--

(

~

t, ~--;+I' In (5 - t 2 ), e

(2, 7' ~2 -

2

t , arctg

-I)

.

t).

7.3. OPERAÇÕES COM F UNÇÕES DE UMA V ARIÁVEL REAL A VALORES EM ~n Seja F: A ~ [Rn uma função de uma variável real a valores em [Rn; então existem, e são únicas, n funções a valores reais Fi: A ~ [R, i = 1,2,3, ... , n, tais que, qualquer que seja

y

tEA,

F (t) = (FI (t), F2 (t), ... , Fn (t» .

x

Muitas vezes será necessário considerar funções de uma variável real a valores em 1ft, n > 3. Os próximos exemplos exibem funções de uma variável real a valores em [R4 e em [R5, respectivamente. _ EXEMPLO 4. F (t)

~.

= (t,

2

2

t , 1, t ), t E [R, é uma função de uma variável real a valores em

-

2

EXEMPLO S. F (t) = (cos t, sen t, t , t, t \ t E IR, é uma função de uma variável real a valores em [R5 . Exercícios 7.2 1. Desenhe a imagem:

c) F (t) == (t, t, I), t e) F (t) == (t, t, I g) F (t)

;;3

O

+ sen t), t ;;3 O

i) F (t) == (t, t,

~ ). t > O

d) F (t) == (l, O, t), t E IR

j) F (t) == (t, cos t, sen t), t

;;3

j) F (t) == (t, t, t2), t

;;3

n) F (t) == (sen t, sen t, I), t

o) F (t)

== (1 + sen

7T

7T

2

2

--,,;: t ,,;: - .

2. Seja F dada por F Ct) == (In t, t,

~, ?).

I,

;;3

I

+ G) (t)

O. As componentes de F são as fun-

= F (t)

+ G (t)

(kF) Ct) = kF Ct)

O

é o pr d c) a fuo ~to de F pela constante k. nçaof· F: A ~ [R1l dada por

O

m) F (t) == (sen t, sen t,

O

O

;3

ções FI ' F2' F3' F4 dadas por FI (t) = t, F 2 (t) = ..fi, F3 (t) = sen 3t e F4 (t) = arctg t, com t;;" O. • Sejam F, G: A ~ [Rn duas funções de uma variável real a valores em [Rn,f: A ~ [R uma função a valores reais e k uma constante. Definimos: a) a função F + G: A ~ [Rn dada por (F

() F(t) == (e - ( cos t, e - ( sen t, e -I), t ;;3 O ;;3

EXEMPLO 2. Seja F (t) = (t, ..fi, sen 3t, arctg t), t

deno . b) rnma-se soma de F e G. a função kF : A ~ [Rn dada por

;;3

h) F (t) == (cos t, sen t, e - I), t

== (cos t, sen t, 2)

EXEMPLO 1. Seja F (t) = (cos t, sen t, t), t E IR. As componentes de F são as funções F I' F2' F3 defmidas em [R e dadas, respectivamente, por x = cos t, Y = sen tez = t. •

O

b) F (t) == (1, I, t), t

a) F(t) == (1, t, I), t E IR

Tais funções são denominadasftmções componentes de F. Escreveremos F = (FI' F2 , ... , Fn) para indicar a função cujas componentes são FI' F2 , ... , Fn-

.fi cos t), O ==;; t ~ 21f + sen t, cos t),

(f. F) (t) =

f Ct) F (t)

é

° Prod d) a fu u.!0 de F pela função escalar f nçao F . G : A ~ [R dada por (F . G) (t) = F (t) . G (t)

L~~

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2 r 'unçiio ae urna vanaVCL n.l:UL U YULUfC".l e" ..

onde F (t) . G (t) = FI (t) . G I (t) + F 2 (t) . G2 (t) + ... + Fn (t) . G n (t), é o produto escal de F e G. Estamos supondo aqui F = (FI' F2' ... , Fn) e G = (G I , G2 , ... , G ). ar n e) Seja n = 3. A função F 1\ G: A ~ 1R 3 dada por ~

(F 1\ G) (t)

= F (t) 1\ G (t) = Fi i(t) ~

(t)

~

~

j F2 (t) G2 (t)

k F3 (t) ~ (t)

~

b)t F c)

2

Fi (t) ~ (t)

+

[F3 (t) G 1 (I)

FI (t) G 3 (t)] j

-

+

= (t3

~

ti) 2

+

~

~

3

+ (6

[FI (t) G2 (t) - F 2 (t) G (t)] k. 1

~

c)

~

b) e

~

2 ~

k.

•

~

~

~

~

~

3. Calcule u (t)· v (t) , onde u (t) = sen t i ~

~

F (t

) ~

d) F (t) !\ G (t)

~

~

-I

~

~

F (t) - 2 G (t)

2. Calcule r (t) !\ x (t) , onde r (t) = t i

+ t 3 sen 2t + t 2 arctg t.

- 3t) k

=====================================================

EXEMPLO 3. Sejam as funções F, G e f, definidas em IR, e dadas por a) o produto escalar de F e G é a função H dada por

--'!

2

- t) } - 2t

2~

2

~ ~ 2 1. Sejam F (t) = (t, sen t, 2) e G (t) = (3, t, t ). Calcul~

~

= (c os 3t, sen 2t, t 2), G (t) = (3, t 3 , arctg t) ef(t) = e -2t. Temos

+ (t

t) j

F (t) + 3 G(t) = 2 (t, t2, 2) + 3 (3, t, t) = (2t + 9, 2t2 + 3t, 4 + 3t).

crercícios 7.3

~

~

H (t) = F (t) . G (t) = 3 cos 3 t

2~

+ (6 -

- 2t) i

F (t) 1\ G (t) = (t - 2t) i

a) F (t)· G (t)

~

+2

j

+ t2

~~

k e x (t)

~

=t

~

~~

+ cos t j + t k

~

i -

j ~

e v (t) = sen t

~

3

I

~

+

k .

+ cos t

---'!~

J

+

k .

.

4. Sejam F, G ,H três funções definidas em A C IR e a valores em IR . Venfique que

b) o produto de F pela função escalar f é a função com valores em 1R 3 dada por

f (t) F (t)

k

2

OU eja,

(Veja Exercício 11 da Seção 6.3.) F (t)

)

j t2

t

3

~

k ~ F3 (t) = [F2 (t) G3 (t) - F3 (t) G2 (t)] i ~ (t) ~

3

"'1.4'"'

~ ~ ~

1 (t) 1\ ~G (t) =

~

j F2 (t) G2 (t)

2

,"-,UI

(t) ~ t (t, t , 2) - (t , t , 2t .

denomina-se produto vetorial de F e G, onde ~

_

U\\ •

~

~

~

~

~

a) F !\ G = - G !\ F

= e -2t (cos 3t, sen 2t, t2 ) = (e -2t cos 3t, e -2t sen 2t, e -2t t 2 ).

~

~

c) F !\ (G

+

~

~

b) F . (G

~

~

H) = F !\ G

+

~

+

~

H) =

~~

F . G

+

~~

F . H

~

F !\ H

c) O produto vetorial de F e G é a função a valores em 1R 3 dada por ~

(F 1\ G) (t)

= cos 3

3t

~

j

k

sen 2t

t2

t3

arctg t ~

=

7.4. LIMITE E CONTINUIDADE

~

(sen 2t arctg t - t5 ) i

+ (3t

2

Antes de definirmos limites faremos a seguinte observação: sempre que estivermos lidando Com função de uma variável real ficará subentendido que o dominio ou é um intervalo ou uma reunião de intervalos. ~

- cos 3t arctg t) j

+ (t

3

cos 3t - 3 sen 2t)

•

n

Uma função de~uma variável real a valores em IR será freqüentemente indicada com a notação vetorial F. ~

~

~

~

EXEMPLO 4. Sejam as funções F e G dadas por F (t) = (t, t2, 2) e G (t) = (3, t, t). Calcule ~

~

= L,

se para todo

~

Solução ~

a) F (t)· G (t)

<

€

It -

> O dado, existir ô > O tal que, para todo t E to I < ô ~ 11 F (t) - L 11

<

DF'

€.

~

b) tF (t)

c) F (t) 1\ G (t)

~

lim F (t)

t ~ lO

O

a) F (t)· G (t) ~

Definição 1. Seja F uma função de uma variável r.eal a valores em IR n _e seja to u~ ponto do dominio de F ou extremidade de um dos mtervalos que compoem o dorrunio de F. Dizemos que F (t) tende a L, L E IR n , quando t tende a to, e escrevemos

= 3t + t 3 + 2t = 5t + t 3.

~

d) 2F (t)

Observação

+

~

3G (t).

11 F

(t) - L 11

<

E~

F (t) E

B~

(L)

Onde B~ (L) é a bola aberta de centro L e raio E: B~(L) = {Y E IR n 111 Y - L 11 < E} . A. fiIgura seguinte nos dá uma vlsao . - geometnca , . d o slgm . 'fiIca d o de lim F (t) = L, no casa n :::: 2: t ~ to

l~q

Um Curso de Cálculo -

runçau ae

Vol. 2

"'''LU

YUII.UVe:L

J"e:u:~

U

C:;:I'I.

VUlVfC.,

U~.

",-,U I

VWO,)

oemonstração

F(t)

ro var primeiro a implicação

F

V'aJ110s P

lim F (t) = L =>

..

1-71

(

De

. I

IUT! -+ lO

lim Fi (t) = Li' 1-71

0

0

F (t) = L segue que lim 11 F (t) - L 11 = O. Por outro lado, para todo i = I, 2, ... , n, I -7 I o I Fi (t) - Li I :s; 11 F (t) - L 11.

dado E > O, existe S > O, tal que F (t) permanece na bola aberta B E (L) quando t percorre o intervalo] to - S, to + S [, t to e t E DF'

"*

pelo teorema do confronto,

EXEMPLO 1. Seja F uma função de uma variável com valores em Ihr e seja L E ~n. Mostre que

= O ou

lim (Fi (t) - L;) I -7 lO

lim F (t) = L

lim II F (t) - L II = O.

~

I -7 lO

I -7 lO

Rec

Solução

lim F (t) = L ~ {V

E

0<

I -7 lO

V E > O, 3 S > O tal que V t E DF ~ { 0< It - tol < S => IIIF(t) - LII- OI <

~{lim

= Li'

lim Fi (t) = Li para i = 1, 2, ... , n, segue que

iprocamente, de

1-71

> O, 3 S > O tal que V t E DF It - to 1< S => IIF(t) - LII < E

lim Fi (t) I -7 lO

o

~(Fi (t) - LI)2 + (F2 (t) - Lz)2 + ... + (Fn (t) - 4)2 = O

lim I -7 lO

e, portanto, lim 11 F (t) - L II = O; logo, E

I -7 lO

•

lim F (t) = L.

IIF(t)-LII=O.

I -7 lO

I -7 lO

•

O exemplo acima nos diz que se F (t) tende a L, para t ~ to, então a distância de F (t) a L (11 F (t) - L 11) tende a zero, para t ~ to, e reciprocament.!4 Antes de demonstrar o próxi!po teorema, lembramos que se X ~(XI' x2' ... , xn) E ~n, então, para i = 1, 2, ... , n, 11 X II ~ I xi I, ou seja, o comprimento de X é maior ou igual ao módulo de qualquer uma de suas componentes (veja Exercício 4, Seção 6.4). Seja, agora, F = (FI' F2' ... , Fn) uma fu nção de uma variável com valores em ~n e seja L = (LI'~' ... , Ln) E ~n; temos F (t) - L = (FI (t) - LI' F 2 (t) - ~, ... , Fn (t) - Ln)'

~

t

EXEMPLO 1. Seja F (t) = sen

~

+ (t2 + 3)

~

~

j. Calcule lim

F (t).

1-7

O

}

= -:

Solução

lim

F (t) =

1-70

(lim

sen

t )

(lim (t 2

+

-:

1-70

t

1-70

+ 3») ~

EXEMPLO 2. Seja

F (t) =

(cos t, sen t, t). Calcule lim

F (t

+ h)

+ 3}.

•

~

- F (t)

h

h-70

Do que vimos acima, resulta: Solução

11 F (t) - L 11

~

I Fi (t) - Li I (i = 1,2, ... , n). ~

F (t

O próximo teorema nos diz que lim F (t) existirá se e somente se existirem e forem

+ h)

= 1, 2, . . . , n, acontecer

- cos t, sen (t

h

+ h)

- sen t ,

1).

h

De

lim F (t) = L = (LI' ~, . .. , Ln)'

lim Fi (t) = Li' então I -7 lO

~

- F (t) = ( cos (t

h

I -7 lO

finitos os limites das componentes Fi de F. Além disso, se, para i

+ h)

cos (t + h) - cos t 11'm ----..:..----.:.--h--70 h

I -7 lO

Teorema. Sejam F

= - sen t

e

lim h-70

sen (t

+ h)

- sen t = cos t

h

uma função de uma variável com valores em ~II e L = (LI'~' ... , Ln) E ~n . Então = (FI' F2' .. . , Fn)

lim F (t) = L I -7 lO

~

lim Fi (t) = Li' i = 1,2, ... , n. I -7 lO

~

lim h-70

F (t

+ h)

~

- F (t)

_.2....-_..:--_----'--'-

h

= (-sen t, cos t, 1).

•

r.co

Um Curso ae Calculo -

... _ ....y ......... -

Vol. L

o próximo exemplo nos diz que o limite de um produto escalar é igual ao produto eSCa_ lar dos limites, desde que tais limites existam. ~

sejam

z·

=

eJll ~ ~ liJll G (t)= b e

(G j , G 2, ... , G n) duas funções de u

lim

~

llla

F (t) =

lim

e

a

~

G (t)

=

I

~

a)

b

b)

~

~

~

tiro

~

3.

a)

+ F 2 (t)

~

lim I ~ lO

lim

F (t) ~

G (t)

~

= =

a ~ ~

t

I ~ lO

+ .. . + Fn (t)

b) F (t)

Gn (t).

~ lO

lim t

~

lO

lim

=

= ai' i = 1, 2, ... , n. G i (t) = b i , i = 1,2, ... , n.

+ ... + lim

lim FI (t) G j (t) I ~ lO

I ~ lO

I ~ lO

= alb l + a2b2 + ... + anb n =

4.

lim F (t)

~

i

~

+ -fi

=.Jt=l

~

~

i

+.Jt+l ~

~

a)

Fn (t) Gn (t)

tim I ~

(I), onde

(t) =

a . b.

c)

lim r (t) , onde r (t) t ~ 2

~

~~~~

+

G,f F, F . G

~

3~

3

> O é um real fixo. Prove.

tim

~

F (t)· G (t)

•

~

I

~

~

F (t) = O e que 11 G (t) 11 ~ M para todo

lim

~ lO ~

=O

b)

tim

~

F (t) A G (t)

I ~ lO

=

~

O

~

6. Seja F : [a, b] ~ IRn contínua. Prove que existe M > O tal que 11 F (t) 11 ~ M em [a, b].

dF (to) = dt

1. 1m

F(t) - F(to)

I ~ lO

t - to

desde que o limite exista. Se F admite derivada em to, então diremos que F é derivável ou diferenciável em to· Di~emo~ que F é derivável em B C DF se o for em cada t E B. Dizemos, simplesmente, que F derlvável ou diferenciável se o for em cada ponto de seu domínio.

---, t2, -t-I t

Teorema 1. Sejam F = (FI' F 2, . . . , Fn) e to pertencente ao domínio de F. Então, F será derivável em to se e somente se cada componente de F o for; além disso, se F for derivável em to

21 - 1 ) - - , - - - , t3 t t

( tg 3t

e

8

~

7T

~

k.

Definição 1. Sejam F : A ~ IR n e to E A. Definimos a derivada de F em to por

(-Jt-I t-l)

O ~

~

~

~

--

I~I

b)

l

7.5. D ERIVADA

1. Calcule

~ F

+e

I ~ lO

=========================~­

~ F

j

= F (to).

de F o for.

tim ~ F (t), onde ~ F (t) =

~

SeJ·am F, G : A ~ IR ef: A ~ IR contínuas em to E A. Prove que F

Dizemos que F é contínua em B C A se F for contínua em todo t E B; dizemos, simplesmente, que F é contínua se for contínua em cada t de seu domínio. Do teorema anterior, resulta que F será contínua em to se e somente se cada componente

a)

~

+3k.

j

5. Sejam F : A ~ IR e G : A ~ IR . Suponha

I ~ lO

Exercícios 7.4

~

são contínuas em tO. Se n = 3, F A G também é contínua em tO·

Definição 2. Sejam F: A ~ IR n e to E A. Definimos: F é contínua em to <=>

~

F (t) A G (t) = a A b (n = 3).

~

F (t)· G (t)

b.

=L a .

~

t E A, onde M ~

~

+

a

n

Então ~

1=

~

~~

lim Fi (t)

~

b

G2 (t)

~

G (t)

~

F (t) = t ~

F (t)· G (t) = Fj (t) G j (t)

+

lim f(t) F (t) lim

I ~ lO

Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.

Solução ~

[F (t)

~

~

F (t) = a,

I ~ lO

F (t)· G (t) = a . b.

I ~ lO

~

~

I~ lO ~

c) ~

~

liro

~ lO

I

I ~ lO

onde a = (aj, a2, ... , a n) e b = (b j , b 2, ... , b n). Mostre que lim

duas funções de uma variável real a valores

~

~ lO

I ~ lO ~

I , G2' ... , G n)

tim f(t) = L, onde a =(al , ~,· · ·,an)' b =(b l , b 2,···,bnJeLreal.Prove:

~ ~

~

IRn efuma função de uma variável real a valores reais. Suponha que

~

EXEMPLO 3. Sejam F = (Fj, F 2, ... , Fn) e G variável com valores em IR n . Suponha que

F = (FI ' F 2, ... , Fn)' G= (G

.......

t3 _

cos -

~

=- i + __1_ j + 2t 2 t

-

4

t - 2

~

k .

F' (to)

=

(Fi' (to),

Fí

(to), . . . , F~ (to))·

urrt

\""UI""3U

ue t....,UtCutU -

vut.

~

Função de uma Vanavel Keal a valOres em

11"11 •••

L-urvus

Demonstração ~

F (t) - F (tO)

*

= ( Fi

(t) - Fi (tO), F2 Ct) - F2 (tO) , ... , Fn (t) - Fn (tO) ) t t - to t - to t - to 'tO.

t - to

d2 r

~

Fi

fi· 1·· 1· lorem 1WtOS os lffiltes 1m

/~to

rn e

t - to

~ /0

_

b) ~ -

Pelo teorema da seção anterior, lim F Ct) - F (to) existirá se e somente se existire t

~

+

d r == 2t i --di ~

(t) - Fi (to) . , ., , I = 1, 2, ... , n. Logo, F sera denvavel em t t - to OSe

2

2 1 + 4t

-? _ I

~

j

2

+

e -t ~

16t

(I

-

4t 2 )2

j

~

k.

+e

-t ~

•

k.

( ) " . agora , F·. A ~ ~ 2 e seja to E A. Geometricamente, vemos -dF Seja, dt to como um vetor en te" à trajetória de F, no ponto F (tO)·

fang

e somente se cada componente o for. Teremos então:

lim F (t) - F (to) / ~ to

t - to

Fi

= ( lim t

~

to

(t) -

Fi

t -

to

(to)

lim Fn (t) - Fn (to) ) t

~ /0

t - to

ou seja, F' (to) = ~

(Fi'

(to), Fí. (to), ... , F~ (to».

•

?

EXEMPLO 1. Seja F (t)

(sen 3t, e t - , t). Calcule

=

~

F(t) - F(to) é paraleLo ao vetor F (t) - F (to) t - to

~

dF a) (t) dt

b) d F (O)

Quando t -

dt

. , . de F em F (to) . to, F(t) - F(t) O tende ao "vetor tangente',dF - (to ) a, traJetona dt t - to

Solução ~

Definição 2. Seja F : A -

dF 2 2 a) (t) = «sen 3t)', (e t )', (t)') = (3 cos 3t, 2te t , L) dt

dF 2 (t) = (3 cos 3t, 2te t , 1). dt

-

~

dt

•

(O) = (3, O, 1). ~

EXEMPLO 2. Seja r (t)

= t

2 ~

i

+ arctg 2t

~

j

+e

-t ~

k . Calcule.

~

+À

dF

-

A reta tangente à trajetória de F no ponto F (to) é, então, por definição, a reta passando dF Pelo Ponto F (tO) e paralela ao vetor tangente (tO). dt

EXEMPLO 3. Seja F (t)

a)~

=

(cos t, sen t), t E R Determine a equação da reta tangente à

trajetÓria de F no ponto F (:).

dt Solução

SOlUÇão

~

dr a) dt

~

(to) =F O. Dizemos que

(to), À E ~ dt denomina-se reta tangente à trajetória de F no ponto F (to). X = F (to)

~

b) -

dF

di

dF (to) é um vetor tangente à trajetória de F, em F (tO). A reta dt

ou seja,

dF

~n derivável em to, com

d

=-

dt

2--7

(t)

I

d

--?

d

_

~

+ - (arctg 2t) J + - (e /) k dt

dt

F( : )

=(

~,~} ~

= (_ sen t, cos t); assim,

~ (:

) = (-

~ , ~ ].

l.:JU

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2

Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas

ara t odo t E

A equação da reta tangente em F (:) é:

!!- [f(t) F (t)] =

P

dt

X=F(7T)+A dF(7T) AEIR 4 dt 4' ,

ou seja,

De (xy)=

,

(.fi .fi)+A(_.fi .fi) 2 ' 2

2 ' 2

'

A.

AEIR.

d

•

F (1) = (1, 1, 1); dF = (1, 1, 2t); assim, dF (1) = (1, 1,2). A equação da reta tangente dt dt em F (1) é: A dF (1), A E IR,

t

,

f'

(t) FI (t)

+ f(t) FI

!!... [f (t) F2 (t) ] = f'

(t) F 2 (t)

+f

!!...

(t) F3 (t)

+ f(t) F~ (t)

dt

Solução

+

t

dt

EXEMPLO 4. Seja F (t) = (t, t, t2). Determine a equação da reta tangente no ponto F (1).

= F (1)

d [f(t) F2 (t)], -d d [f(t) F3 (t)] ) . Fi (t)], -d

- [f(t) FI (t)] = dt

Faça você o desenho da trajetória de F e da reta tangente.

x

(d [f(t) dt

[f(t) F3 (t)] =

f'

(t)

(t)

F~ (t)

resulta: :t [f(t)

F (t)] = f' (t)

(

Fi (t), F2 (t), F3 (t) ) + f(t) ( Fi' (t),

ou sej a,

dt

ou seja,

-t

(x, y, z) = (1, 1, 1)

-t

+ A (1,

d -t df -t d F -(jF)=-F+f-· dt dt dt

•

1,2), A E IR.

-t

--7

Teorema 2. Sejam F, G : A ~ IR n , f: A ~ IR deriváveis em A. Então,f . F e -t

-t

F . G serão, também, deriváveis em A e -t

d -t df -t d F a)-(j·F)=-· F+f·-. dt dt dt d

b) -

dt

-t

-t

-t

(F . G) = -

Além disso, se n c)

dF

= 3, então

!!... (F 1\ G) = dt

dt

-t

.

-t

G

+

-t

-t

dG

F . -.

Como

dt

-t

F 1\ G será, também, derivável em A e

-t

d F 1\ dt

G + F 1\

-t

dG. dt

e -t

dG d~ F . = FI dt dt

dG2 + F2 - + F3

--7

Demonstração

Faremos a demonstração no caso n

= 3.

-t

f(t) F (t) = (j(t) FI (t),f(t) F2 (t),f(t) F3 (t»

d~

-dt

reSUlta

-t

a) F = (FI' F2' F 3); comofé uma função a valores reais

dt

d

-

dt

-t

-t

-t

[F . G]

dF

=-

dt

-t

.

-t

G

+

-t

dG

F . -.

dt

F~ (t), F; (t) )

131

132

Um Curso de Cálculo ~

~

d(F /\ G)

C)

~

lim

F (f

h

+ h)

Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas

~

lim

(t) =

dt

=

Voi. 2

~

/\ G (t

-'t

F (t

+ h)

~

/\ G (t

~

- F (t) /\ G (t)

110 O

e cO I

h

O

+ h)

~

~

- F (t) /\ G (t

~

lim h-'tO

[

~

dF

2 F (t) . -

~

F (t) /\ G (f

portanto, para todo t E A, ~

~

F(t+h)-Ft ~ ( ) /\ G (t h

+ h) +

~ ~ F (t) /\ G (t

+ h)

dF

~

~

F (t) . -

- G (t) ]

h

dF ~ - d (t) 1\ G (t) t

+

~

= O. ~

~

Assim, sendo" F (t)" constante, os vetores F (t) e

~

F (t) 1\ d G (t) dt

Interpretação geométrica no caso n

ou seja,

>

constante e igual a k (k d ~ ~ ~ - [F 1\ G] = d F 1\ dt dt ~

(t)

dt

~

~

(t) = O.

dt

+ h)

h ~

produto escalar é comutativo ~

+ h) +

h-'tO

=

~

+ h)

ê + F 1\

EXEMPLO 5. Seja F : A ~ IR derivável e tal que 11 n

Prove que

~

dG

•

dt .

F (t) " =

k, 'V

t

= 2. Seja

dF

dt

~

~

F (t) = (F, (t), F 2 (t»; sendo " F (t) "

O), a trajetória descrita por (F I (t), F 2 (t» está contida na circun~

~

. . k ; como dF(), . ,. dF()d ferência de centro na ongem e ralO - t e tangente a, traJetona, - teve dt dt ~ er tangente à circunferência e deve, portanto, ser ortogonal ao vetor de posição F (t).

E A, k constante.

=O

para todo t E A. Interprete geometricamente no caso n

-+ '--~-F

= 2.

(t)

Solução ~

" F (t)" =

~~

~

F (t) . F (t) Exercícios 7.5

daí

~

-'t

~

~

2

d F

~

1. Calcule -

" F (t)" = F (t)· F (t);

d2 F

e -dt 2

dt

logo, para todo t E A,

-'t

a) F (t) = (3t 2 , e -'t

-'t

I,

1 ~ -'t

b) F (t) = 'V t 2

Segue que, para todo t em A,

i -'t

c) F (t) = sen 5 t i

~

+

~

+ COS t2

1» . -'t

+3t

j

+ cos 4 t

-'t

j

7T)

~

dF F (t) . (t) dt

+

a) F (t) = (cos t, sen t, t) e F ( b)G(t) = (t 2 ,t)eG(I) 3

ou seja, dF ~ - d (t)· F (I)

In (t 2

-'t

k . -'t

- e - 21 k .

2. Determine a equação da reta tangente à trajetória da fu nção dada, no ponto dado.

d ~ ~ - [ F (t). F (I)] = O dt '

=O

•

(t) serão ortogonais.

~

dF F (t) . (t) dt

~

t

1.:1.:1

C)F(t) = (+ ,+,t 2 )eF(2) d) F (t)

= (t, t2, t, /2) e F (1)

Função de uma Variável Real a Valores em

134

Um Curso de Cálculo -

~

~

n

3. Seja F definida no intervalo I e com valores em IR . Suponha que F' (t) = O para todo t em Prove que existe uma constante k = (k" k 2 , ... , k n ) E IR" tal que F (t) = k para todo t em I I.

= a cos wt

10. Seja r (t)

4. Seja F : I ~ 1R , I intervalo, derivável até a 2." ordem em I. Suponha que exista um real A ~ ~ ~ d2 F ~ ~ d F que, para todo t em I, --2- (t) = A F (t). Prove que F (t) 1\ - - (t) é constante em I.

i

~

~

r

:

~

-= 2

11 ~

r

~

~

+00 [.

~

~

d2 r

r (t) 1\ - - (t) for constante em IR, então r (t) 1\ --2- (t) = ~

~

O em IR.

no instante t, de um ponto P que se move no espaço. Definimos a velocidade v (t) e a acelera~

~

~

ção a (t) de P, no instante t, por: v (t)

c

dt

d r

=-

~

j. ---)

+

j

---)

1+

=

4t 2

+ e -(

i

U

~

j

+1

t

~

j

+2

~

k

k e r (O) = k.

(t), t E I, u

~

-; (u) E

n

IR , u E l, funções

deriváve~ onde

---)

por H (t)

~

j

+4

~

~

k

~

~

b) r (t) = cos t i

~-)

+ sen t

~

j

+

-) vO t

1

+-

2

+t

~

k

F (u (t», t E I, é derivável e que ~

---)

d F du

dH

dt

du

~

p

(f)

= cos f)

~

i

+ sen f)

~

~

J,

U IJ

8. Um ponto se move no espaço de modo que 11 v (t) 11 = k para todo t, onde k > O é uma constao-

.

dp'

df)

te. Prove que v (t)· a (t) = O para todo t. Interprete. ~

~

9. Suponha 11 v (t) 11 =F O para todo I. Faça T (t)

v (t)

= -v (t)

~

onde v (t) = 11 v (t) 11. Prove que

d ~ a) - [u p (f) ] = dt

d b) -

dt

~

dT a) T e - - ão ortogonais. dt ~

~

dv

~

T.

= -sen f)

2 .. _ d p) Verifique que

Notação: p = - , f) = - , p - - d 2 ( dI dt t

.

-)

~

(f)

---)-: I

+ cos

f) } e

-: (t) = p (t) : : (f) (t», com f) = f) (t) e p = p (t) deriváveis até a 2." ordem num intervalo I.

~ ~ -) ~ aO t 2 , onde 'O' vO e aO são constantes.

~

dt

dt

onde - - deve ser calculado em u = u (t). du 14. Suponha u

3

~ -) d) r (t) = 'O

~

~

=

~

+ t2

+

---)

~

---)

---)

+

---)

k , t ;;. O, e r (O) = i

dF

vO t, onde 'O e vO serão dois vetores fixos em 1R .

dt

+

i

---)

+ cos 2 t

d2 r (I) = - - (I). Determine dt dt 2

+

b) a = v -

---)

---)

k e r (O) =

d V

(t) e a (I) = -

c) r (t) = 'O

dT

---)

---)

+2

I e 1 são intervalos em IR. Suponha que, para todo t E I, u (t) E l. Prove que a função H dada

v (t) e a (t) sendo :

~

r (t) sabendo que

-->-)

dt

~

=

---)

~

~

ta que

c para todo t E I.

13. (Regra da cadeia.) Sejam t ~ ~

~

lR"l

-)

7. Seja r : I ~ 1R , I intervalo, derivável até a 2." ordem. Suponha que r (t) forneça a posição,

~

c2' ... , c n) E

---)

dt ) d r

~

3

a) r (t) = t i

= (c"

~

dr ---) b) - - = sen t i

3 6. Seja r definida em IR, com valores em 1R , e derivável até a 2." ordem. Prove que se ~

c

dt

---)

7T.

2

d r

+

F (t)

~

dt

~

~

~

=t

a) -

dt

~

dG = -(t). Prove que existe um vetor

~

d r

~ d2 r 7T b) Seja f) o ângulo entre r e - - 2 - ' Conclua que - ,,;; f),,;;

~

=

12. Determine r

~

~

~

todo t E I, - - (t) dt

~

~

d r

r.

Gdefinidas e deriváveis no intervalo I e com valores em IR n . Suponha que para

-; e

(t) 11 = .,fi.

~ d2 r a) Prove que - - . - - = - r . - - 2 - em [ O, . dt dt dt

d r

11. Sejam

G (t)

~

-w

dt

dF

IR ~ 1R3 seja derivável até a 2." ordem e que, para todo t ;;. O,

2 ~

d2 r

3

5. Suponha que

Curvas

~ + b sen wt ~J' ,onde a, b e w são constantes não-nulas. Mostre que

.

~

~

Jl{n.

Vol. 2

---)

~

.

(f). ~

[UI) (f)] = - f) u p (f). ---)

c) v = pU p ~

---)

8 UI)

.~

+ pf)UI). ~...

~

d) a =[p_p(8)2]u p +[2pf)+pf)]ul).

136

Função de uma Vartavel Keat a vaLOres em Um Curso de Cálculo -

15. Seja F : I

-+ ~IJ

derivável em to E I e seja E (~t) o erro que se comete na aproximação d

-)

+~t)

acréscimo "F (to ~t,

mente que

quando

todo a E IR

IJ ,

o

Se

~t

tende a zero, isto é, que lim

E

(~t)

-) com a

*-

[F(to

lim

F' (tO)'

+ ~t)

=

O. Prove, ainda, que Para ~t

~t

*-

-)

O.

---7

-

F (tO) = F' (tO) ~t

E

!;/ -7 O

7.6.

(~t)

+ E (~t), onde lim - ~t

=

-)

então

f:1

I

---7

EXEMPLO 1. Calcule

F (Ci) !:..ti

s: fi

Io

(t) dt,

~GI (b)

=

n

m

dG. . __ I = F;, I = 1, 2, ... , n dt

~

F

(t) dt = (

Sejam F : [a, b) ~ IR uma função, P: a = to < ti < t2 < ... < tm = b e, para cada i, i = 1,2, ... , m, seja ci um ponto de [ti _ I' tJ. O vetor

L

---7

O.

INTEGRAL ~

---7

dG dt

Observação. A função linear de IR em IR dada por ~t -+ F' (tO) ~t denomina-se diferencial ~()

---7

F (t) dt = G (b) - G (a).

De fato:

IJ

+

~

~

- F(to)]- a

!;/ -7 O

de F em to; F (tO

L.Ltrvu>

G uma primitiva de F em [a, b] teremos

b ---7

Ia

~

-A-

~

F for integrável em [a, b] e

- F (tO)" por "F' (tO) ~t". Prove que E (Llt) tende a O mais rapida_

ut ~

~" .

Vol. 2

I:

F2 (t) dt, ... ,

~

G (b) -

G (a).

---7

---7

+4

FIJ (t) dt)

_

- G I (a), G 2 (b) - G 2 (a), ... , G n (b)

~

[t i

I:

+ t2

j

GIJ (a))

---7

k) dto

i= 1 ~

denomina-se soma de Riemann de F relativa à partição P e aos pontos cio 1/1

Dizemos que L

Solução

~

---7

Io, [t ---7i + 4 ---7j + t 2 ---7k ] dt = (1)---7 Io t dt i + (r'Jo 4 dt ):) + (r'Jo t 2 dt )---7k

F (Ci) t1ti tende ao vetor L E IR n , quando máx t1ti ~ 0, e escreve-

i='

mos

l~

---7

m

L F (Ci) !:..ti

lim

máx Ôt, -) O i = 1

se, para todo E > dos ci' tal que

111 <

2

L

=

°dado, existir 8 > °que só depende de I i~ 1 1 (Ci) t1ti -

=- i

---7

mas não da particular escolha

E,

Solução

~

Sendo F contínua em [a, b],

I

I

a

m

=

---7

L F (Ci) t1ti

lim

I

I

1 (c; )al; -

11

~ F

f: 1

também será; logo,

(I) dI

11"

t~ ,1

~

F for integrável em [a, b], então

s: fi

(f) dt,

f:

F2 (t) dt, ... ,

s:

1/1 ---7 L F (Ci) t1ti

lim

máx Ôt, -) O i = ,

b ---7 a 11 F (t)lIdt

(c;)al;

11-11

I

b

=

---7

F (t) dt

a

máx Ôt,

~

Ii

I

O i= ,

1(Ci)t1till=llr a

1(t)

dt

ll·

.

eXiste.

s: 1

segue

lim

FIJ (t) dt ).

I

assim, de

~

(t) dt = (

11

máx Ôt, -) O i = I

Seja F = (F" F 2, ... , FIJ) definida em [a, b]. Deixamos a cargo do leitor verificar que ~ ~ F será integrável em [a, b] se e somente se cada componente de F o for; além disso, se

s: 1

•

EXEMPLO 2. Suponha F contínua em [a, b). Prove que

b de ~ F em [a, b] e indica-se por a ---7 F (t) dto Assim, por definição,

F (t) dt

l~

~

E,

para toda partição P de [a, b] com máx !:..ti < 8. ~ O vetor L, que quando existe é único (verifique), denomina-se integral (de Riemann)

b ---7

~

+4j +-k. 3

(t)dl II

138

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

runçaa ue

a) ~() F t

Temos

= I -?+~J' I + I 2~ k,

-) 1 -) - i b) F (t) -- 1+1

máx

a

lim

!lli ~

I 1(Ci ) flti

11

O i= ]

+

!to" ..

U~ ........... , ...... u

= O e t2 = 2 . ~

= O e 12 =

k, ti

l.

I

lim

máx !lli ~ O i = I h ---7 = a 11 F

que se move no espaço. Mostre que o impulso de F no intervalo de tempo [t I' t21 é igual à variação da quantidade de movimento, isto é,

ll

rI

---7

m

~

11

onde

b)

f

~

[t i

~

+é

[sen 3 t i

- I

r2

JI

~

(3 i ~

+2

~

j ~

2. Sejam F (t) = t i

ri

J

o

~

~

1

+ -j + 1+ t2

+

7.7.

e tZ' (Sugestão: pela lei de

COMPRIMENTO DE CURVA n

n

Seja I um intervalo em IR. Uma curva 'Yem IR , defInida em I, é uma função 'Y: I ~ IR . n Uma curva em IR , defInida em I, nada mais é, então, do que uma função de uma variável n real a valores em IR . Segue que tudo o que dissemos anteriormente aplica-se às curvas. = (t,

Z

arctg t), t E IR, uma curva em IR .

a) Desenhe a imagem de 'Y.

~

b) Determine uma curva

k ] dt

o: IR ~ IRZ tal que 'Y =1= oe Im 'Y =

Im

o.

Solução

~

+

I1

-)

EXEMPLO 1. Seja 'Y (f)

j ]dt

~

i

e v] são, respectivamente, as velocidades nos instantes

Newton F (t) = m a (t).)

1. Calcule

o

Vz

-)

• ri

~

I,

Exercícios 7.6

J

~

(I) dI = m V2 - m vI

-)

-)

ou seja,

a)

~

J, 2 F

F (ci)llflti

(t)lIdt

I

3

}

"WI-Vlc;..,

5. Suponha que F (t) é a força resultante que atua, no ~stante t, sobre uma partícula de massa m

Il r 1(t)dtll=

a)

2~

YUf'UVet .I'\CU' u.

-)

Então

c)

+t

ti

UrrUL

k )dt ~

j

+e

I~

~

~

k e G (t) =

i

~

(F (t) 1\ G (t))dt

b)

s· ~ n ~ . eJa F : [a, b] ~ ~ contínua e seja G (t) tE[a,b],

rI

=J

o

+

ri

J

o

~

j ~

+

a)

~

k. Calcule

X = t {

y

= arctg

t

t E

IR.

A imagem de 'Y coincide com a gráfIco de y

~

=

arctg X.

(F (t)· G (t))dt.

~

F (s) ds, t E [a, b]. Prove que, para todo

---------

'TrIZ

----------

~

dG ~ (t) = F(t). dt ~

4. Seja F (t) uma força, dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes ~

t] e t2' Supondo F integrável em [ti' t2], o vetor

~ I

=

fI' ~

- F (t) dt

~

Observação. Sejam A C IR e 'Y : I ~ IR tais que Im 'Y = A; é comum referir-se a 'Y como urna parametrização do conjunto A. Assim, toda curva 'Y pode ser olhada como .uma Péltarnetrização de sua imagem. O exemplo anterior mostra-nos que um mesmo conjunto POde admitir parametrizações diferentes. tI

I,

d'

•

b) Ô (t) == (t 3 , arctg t \ t E IR.

~

enorruna-se impulso de F no intervalo de tempo [t I' t2]' Calcule o impulso de F no intervalo de tempo dado.

n

14U

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2

Funçao ae uma varzaVel ft.eat u vuwre,· em "" .. \,-ul va,

Nosso objetivo, a seguir, é definir comprimento de curva em IRfI. Para motiva definiçãoi trabalhare.mo~ com uma curva em 1R2. Seja, então, 'Y : ~a, b] ~ 1R2 uma ~~:~ ~a ~m IR . Sendo P . a - to < tI. < t 2 < ... < tn = b uma partIçao qualquer de [a, b mdIcaremos por L ('Y. P) o compnmento da poligonal de vértices Po = '"11 (t ) P (l. ' 0 ' I-'Yl) .. .• Pn -_ 'Y(tn) .. I,

= /.L II = 1

11

'Y (t;) - 'Y (ti _ I) 11 =

~[)'; (f;)]2 + [)'2 (f;) f

M i·

Pal

i

L(y, ?)=

'Y (t;) - 'Y (t/. - I) 11.

Tomando-se, por exemplo, P : a = to < tI < t2 < t3 < t4 < t5 = b, L ('Y, P) se . d I· al d _ . ra o compnmento a po Igon e verttces PO = 'Y (to) , P I = Y (t I) ' ... • P5 = y (t5).

.... ~

Substituindo em CD vem:

n

L ('Y. P)

~

~[)';(f;)f+[)'~(f;)f

i= I

ó.ti

Supondo i contínua em [a, b], 11 i (t) 11 = ~C-y'1 (t»2 + ('Y2 (t»)2 será, também, contínua em [a, b] e, portanto, integrável neste intervalo:

til

lim

i (t)1I dt =

máx t!.t;

a

~

i

Oi

=

1

~('Y; (Ci))2 + ('Y~ (Ci))2

Embora @ não seja soma de Riemann da função g (t) =

11

ó.ti.

'Y I (t) 11, t E [a, b), (por quê?) é

razoável esperar que, para máx ó.ti ~ O. L (y, P) tenda a f :"i (t)1I dt (veja Exercício 12). I

t. = a

I

t, t,

Nada mais natural, então, do que a seguinte definição.

t,

n

Definição. Seja 'Y: [a, b) ~ IR uma curva com derivada contínua em [a, b). Defmimos o comprimento L ('Y) da curva 'Y por Suponhamos 'Y = ('YI' 'Y2) derivável em [a. b] e seja P: a = to < tI < ... < tn = b uma partição qualquer de [a, b). Temos

L ('Y) = f"i(t)" dto

Observação. A definição acima estende-se para uma curva 'Y: [a, b] ~ IRn qualquer, com 11 y' (t) 11 integrável em [a, b].

CD

EXEMPLO 2. Calcule o comprimenlo da curva 'Y (t)

=

(cos t, sen t, t). t E [0,2'17].

Solução i (t)

= (-sen t, cos t,

1); lIi (t) 11

= ~(-sen

t)2

+ (cos t)2 + 12

O comprimento da curva 'Y é 7T

f:ííi(t)lIdt= f :

Pelo teorema do valor médio, existem f; e f; em] ti _

I'

ti [ tais que

seJa. y uma curva em IR 2 dada por

'YI (t;) - 'YI (ti - I) = )'; (f;) (ti - ti - I) 'Y2 (ti) - 'Y2 (ti - I) =

)'~ (0)

X {Y

= 'YI (t)

= 'Y2 (t)

t

E [a, b].

(ti - ti - I)

De dx ou seja.

..fi dt=2'17 ..fi.

dt == )'1, (t) e

IIIento de y é: Iab

dy

-

dt

,

= )' 2 (t)

segue

dt )2 + (d)2 ~

( dx

11

i

(t) 11 =

( dxdt

)2+ ( dd~ ) 2 e, então, o compri3

dto Se y for uma curva em 1R dada por

um L.urso

.L-r-r

ae

Função de uma Variável Real a Valores em IR". Curvas L.a/CUIO -

---)

que a função s = s (t) é in~,ersível e seja t = t (s) sua inversa. b) Venfique que a curva [) : [0, L] ~ IR (L é o comprimento de 1') dada por a)

Ver~fique

t1(J

[) (s) = I' (t (s»

SE

11 t (s

~

t1s

a) y (t) = (2t + 1, 3t - I), t ;;", O. b) y(t) = (2 cos t, 2 sen t), t;;'" O.

e

11 y ' (u) 11 du, t E 1, com to fixo em 1. Sejam, ainda,

I (s)

---)

dada por

---)

I (s)

=

T (t),

P (s) t18 ou

2

onde

= I (s).

I

"* O no intervalo 1. Seja

T (t) = ~ o versor de y' ( ) 11 y' (t) 11 t

ds

s -

---)

d t

~

- y'(t) (y"(t) . y'(t»

~

"* O(v

(t)

= I" (t»

~

v (t)

e seja T (t)

c)

-

(s)

ds

- y'(t)(y"(t) . y'(t» t = t (s) 11 y'(t) 11 4 , .

b)

dT

~

dv ~

a = -

T

v2 ~

v (t)

~

--)

dt

p

a) Prove que quaisquer que sejam ti, ti E [ ti _ I ' ti] (i = I, 2, . .. , n) tem-se:

onde t = t (s). ~

Observação. O número k (s) =

- - (s)

denomina-se curvatura da curva y no ponto 1'(/),

ds t

= t (s). Se k (s)

"* O, o número p (s) =

I k (s) é o raio de curvatura de l' em l' (t), t

/I

= t (s). A

motivação geométrica para tal definição é a seguinte: para tu suficientemente pequeno o trecho PQ (de comprimento t1s) da curva l' pode ser olhado como um arco de circunferência de centro Oe raio p (s) (aproximadamente). Sendo t18 (radianos) o ângulo entre os vetores -: (s)

",; L. I)'~ (ti)

- )'~ (4) I t1ti

i = 1

Sugestão: utilize a desigualdade

l ~a2 + b 2

-

~a2 + c 2

---)

e t (s

+ t1s), segue que t18 será, então, a medida do ângulo POQ.

----

1 (s +

Ll.s)

c

'Y

I

I

a

I

I

\N__ --

-+ t (s~

1 (s

v (t) 11. Prove que

11. Seja 1': [a, b] ~ 1R2 uma curva com derivada contínua e com componentes 1'1 e 1'2 (1' = (1'1' 1'2»' Seja P : a = to < tI < t2 < ... < tn = b uma partição qualquer de [a, b].

lIy'(t)1I 3

d t

~

d T n, onde n é o versor de - - e p = p (t) o raio de curvatura de yem 1'(t).

+-

dI

~(lIy"(t)lIl1y'(t)II)2 - (y"(t) . y'(t»2 ....!.....--.:.....~-----.:----.:....:~------:,:...:.-~-.:.....~é...-

ds

= - - onde v (t) = 11

~

~

a) T e - - são ortogonais. dt

2

7(s) . -d (7s ) =

d ds

1 para todo sEI).

lO. Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição seja l' (I). Suponha que, para todo t, 11 v (t) 11

~

b) ~ ( ) _ y"(t) lIy'(t)1I

I" (s) 11 =

a) Verifique que, para todo s E I, k (s) = 11 "I' (s) 11, onde k (s) é a curvatura em l' (s). b) Prove que se k (s) = O, para todo s, então l' é uma reta.

~

Mostre que

11 y'(t) 11 3

dt

t (s)

t1s

p(s)

~

a) d T (t) = y"(t) Ily'(t)1I

~

t1s) -

9. Seja l' : 1 ~ 1R2 parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: 11

7. Seja y: 1 ~ 1R2 uma curva derivável até a 2.' ordem, com 11 y' (t) 11 lo

SE

+

8. Calcule a curvatura e o raio de curvatura da curva l' (t) = (R cos t, R sen t) (R > O fixo).

c) y(t) = (cos t , sen t, t), t ;;'" O. d) y (t) = (/ cos t, / sen t), t ;;", O.

f

t (s

I

e Ypelo

6. Reparametrize pelo comprimento de arco a curva y dada.

=

t (s) 11

-

TemOS:

comprim ento de arco.

---)

->

+ t1s)

está parametrizada pelo comprimento de arco. Dizemos que (j é a reparametrização d

s

145

Vol. L

6

+ Ll.s)

I ",; Ib - cl

146

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

b) Sejam ci e ci os pontos de minimo e de máximo, respectivamente de l'2' em [t o ,

~

n

,

=

, _

112 (ti) - 12 (ti) I 6. t i ~

.L 1=1

n

=

L

1 2 (Ci) D.ti -

i = 1

1-

n

L

12

i = 1

I,

t .] p I·

ro

~

8

(0) 6. ti.

c) Prove que

F UNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ( Sugestão:

tim

.

I l'2 (;;;) ~ti = max, tim ~ O i I= 1 1'2 (0) tlti =

máx Ât j -+ OI = 1

Ât j

fb a

1'2 (t)dt)

REAIS A VALORES REAIS

-

A maioria das relações que ocorrem na física, economia e, de modo geral, na natureza é traduzida por funções de duas, três e mais variáveis reais; daí a conveniência de um estudo detalhado de tais funções. Neste capítulo e nos seguintes daremos ênfase ao estudo das funções reais de duas variáveis reais, e o leitor não terá dificuldade em generalizar os resultados para funções de mais de duas variáveis, já que não há diferenças importantes.

8.1. FUNÇÕES DE D UAS V ARIÁVEIS REAIS A V ALORES REAIS Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f: A ~ IR, onde A é um subconjunto de 1R2. Uma tal função associa, a cada par (x, y) E A, um único númerof(x, y) E IR. Q conjunto A é o domínio de f e será indicado por Df' O conjunto

Imf= {f(x, y) E IR I (x, y) E Df} é a imagem de f As palavras aplicação e transformação são sinônimas de função.

(x, y)

f

f

ftran ~

s Orma o par (x, y) no númerof(x, y).

.

(x, y)

..

R

148

Um Curso de Cálculo -

Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais

VaI. 2 ~EMPLO

Por simplificação, deixaremos, muitas vezes, de especificar o dorninio, ficando impüc·t então, que se trata do "maior" subconjunto do 1R2 para o qual faz sentido a regra em qUi o, ~. ~

t

EXEMPLO 1. Sejafa função de duas variáveis reais a valores reais dada por

solução

f(x, y) =

com x

=1=

x

+ Y . O dorninio defé o conjunto de todos os pares (x,

x - y

y, isto é: Df = {(x, y) E 1R2 Ix

=1=

•

x-y

EXEMPLO 2. Sejafa função do exemplo anterior. Calcule

+ b,a -

2

2

u +v +w

2

=l,w~O.

-..s,

y}. Esta função transforma o par (x, y) no número

b)f(a

5. Represente graficamente o dornfuio da função w = f(u, v) dada por

y) de números re";

real x+ y .

a)f(2,3)

149

~1- u 2

.", fé a função dada porf(u, v) =

,'\5S1".,

(u,

2

2

- v2 .

Seu dorninio é o conjunto de todos

v) com 1 - u - v ~ O. '

1 - u2

-

~ O <=> u2 +

i

i

~ 1.

o donúnio de f é o círculo de raio 1 e centro na origem.

b) v

Solução

2+3

a)f(2,3) = 2_3=-5. 1

b)f(a + b, a _ b)

=

a + b+a- b a+b-(a-b)

a

u

•

b

EXEMPLO 3. Represente graficamente o dorninio da função f dada por f(x, y) = ~

EXEMPLO 6. Represente graficamente o domínio da função z =

+ ..Jl=Y.

z = ~y - x 2 .

Solução

f

-

(x, y) dada por

Solução

O dorninio de f é o conjunto de todos os pares (x, y), com y - x 1 - y ~ O: Df = {(x, y) E 1R21 y ~ x e y ~ I}.

~

Oe

Df

= {(x,y) E

2 2 2 2 IR Iy-x ~O};y-x ~O<=>y~x.

y=x

----1-..".;....-- y = 1

Y p""'(

D x, y) pertence a I, pOis y > x 2 .

z onde z =

y)

não pertence a

< i.

A região hachurada representa o domínio de! -

~XEl\1pLO 7. (Função polinomial.) Umaftmção polinomial de duas variáveis reais a va-

EXEMPLO 4. Sejafa função dada por (x, y) ~

Q = (x,

Df' pois y

-'Q

2

5x y - 3x.

O valor defem (x, y) é z = f(x, y) = 5xZy - 3x. Na equação acima, x e y estão sendo vistaS co~ variáveis independentes e z como variável dependente. Observe que o dornfuio defé o ~ . !li

res reais é uma função f: 1R2 ~ IR dada por f(x, y)

= m +n~p

.l:JU

um curso ae CaLcuLo - VOL.

L

Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais

onde p é um natural fixo e os a mn são números reais dados; a soma é estendida a tOdas soluções (m, n), m e n naturais, da inequação m + n ,,;; p. as a)f(x, y) = 3x

i -

3

..!.. xy + -fi é uma função polinomial.

3 b)f(x, y) = ax + by + c, onde a, b, c são reais dados, é uma função polinomial; tal funç denomina-se função afim. ao EXEMPLO 8. (Função linear.) Toda funçãof: 1R2 ~ IR dada por

•

= ax + by

:===========================:=

,cícios 8.1

(;re

+ 2y. Calcule

I. sejaf(x, y) = 3x

b)f(a, x)

a)f(l, -I) f(x

f(x, y)

•

+ Y + 5 não é homogênea. (Por quê?)

= 2x

c)! (x, y)

1 :>1

+ h,

f(x, y

y) - f(x, y)

+ k)

d)

h

c)

onde a, b são reais dados, denomina-se função linear. Toda função linear é uma função afim. •

- f(x, y)

k

x-y + 2y .

2. Sejaf(x, y) = x

EXEMPLO 9. (Função racional.) Toda funçãofdada por f(x, y)

=

a) Determine o domínio. b) Calculef(2u + v, v - u).

p(x, y) q(x, y)

3. Represente graficamente o domínio da função z =

onde p e q são funções ~olinomiais, denomina-se função racional. O domínio de f é o conjunto Df = {(x, y) E IR J q (x, y) =t- O}. a)f(x, y)

b) g (x, y)

=

x + Y é uma função racional. Seu domínio é: Df = {(x, y) E 1R2J x =t- y}. x-y

=

x 2 - 3xy + 1 x 2 y2 + 1 é uma função racional; Dg

= IR .

•

l

f (x, y)

=

O, z ~ O

(x, y) dada por

b)f(x, y)

x-y

= I

,,1-x2 _y2

e) 2

+ y -I + z2

~y

- x

+4=

x

c) Z =

EXEMPLO 10. (Função homogênea.) Uma funçãof: A ~ IR, A C 1R2, denomina-sefonção homogênea de grau À se f(tx, ty) =

a) x

f

i

2

g) 4x

2

2

+ ~2x

d) Z = In (2x

- y

+ l, z ~ O

.f) z

+ y2 + Z2 = 1, z ~ O

h)

= .)I xl

z=

2

+ l- I)

- Iyl x-y

------''---

sen x - sen y

4. Seja f: 1R2 ~ IR uma função linear. Sabendo que f (I, O) = 2 e f (O, 1) = 3, calcule f(x, y).

5. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.

para todo t > Oe para todo (x, y) E A tais que (tx, ty) E A. 2 a)f(x, y) = 3x

+ 5xy + i é homogênea de grau 2. De fato,

f(tx, ty)

a)f(x, y) =

x

= 3 (tx)2 + 5 (tx) (ty) + (ty)2 = t 2 (3x 2 + 5xy + i) c)f(x, y)

ou seja, f(tx, ty) = t 2 f(x, y).

De fato, x

+ 2xy2

3

b)f(x, y) =

3

- Y

= S}y + x 4 + 3

d)f(x, y)

=

~x4 + y4 2

2

2

x +Y 6. SUPOnha quef: 1R2 ~ IR seja homogênea do grau 2 ef(a, b) = a para todo (a, b), com a 2 + b 2 = l. Calcule

x

xe Y b)f(x, y) = é homogênea de grau -1. x2 + y2

x3

a)

f (4.)3, 4)

b)f(0,3)

c)f(x, y), (x, y)

7. Sejaf: 1R2 ~ IR homogênea e suponha quef(a, b)= Opara todo (a, b), com a 2 quef(x, y) = O para todo (x, y) (O, O).

"*

"* (O, O)

+ b 2 = 1. Mostre

8. Seja g : [O, 27T[ ~ IR uma função dada. Prove que existe uma única funçãof: 1R2 ~ IR, ho~o­ gênea de grau À O, tal que, para todo C\' E [O, 27T [,J(cos 0', sen 0') = g (0'). (ObServadçao: o Exercício 8 nos diz que uma função homogênea fica completamente determmada quan o s.e cOnhecem os valores que ela assume sobre os pontos de uma circunferência de centro na on-

"*

~~)--------------------------------------------

152

Um Curso de Cálculo -

Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais

VaI. 2

~MPLO 2. O gráfico ~ função linear dada por z = Ix

8.2. GRÁFICO E CURVAS DE NÍVEL Seja z =

f

Gf

=

{(x, y,

z) E 1R 3 I z = f

origem

(x, y), (x, y) E A}

denomina-se gráfico de! Munindo-se o espaço de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfic fpode então ser pensado como o lugar geométrico dcscrito pelo ponto (x, y,f(x, y», qU~ de (x, y) percorre o domínio de! do

r al Pl

+ Y é um plano passando pela

e normal ao vetor n = (2, I , - I):

f;, (x, y), (x, y) E A, uma função real de duas variáveis reais. O conjunto

153

z == 2.x + Y <=> 2.x + Y - z = 0<=>(2, I , - I) . [(x,

y,

z) - (O, O, O)]

=

O.

an o é determinado pelas retas X {

X

Observe que

{

= O e

z=y

y= O { z = 2x. z

=O

z=

Y

z

(x, y, j(x, y))

y

é uma reta situada no plano yz, enquanto

{~ :

gx está situada no plano xz.

(x, y)

A representação geométrica do gráfico de uma função de duas variáveis não é tarefa fácil. Em vista disso, quando se pretende ter uma visão geométrica da função, lança-se mão de suas curvas de nível, cuja representação geométrica é sempre mais fácil de ser obtida do que o gráfico da função. Sejam z = f (x, y) uma função e c E Im! O conjunto de todos os pontos (x, y) de Df tais quef(x, y) = c denomina-se curva de nível defcorrespondente ao nível z = c. Assim,fé constante sobre cada curva de nível. O gráfico de f é um subconjunto do 1R 3 . Uma curva de nível é um subconjunto do domínio def, portanto, do 1R2.

EXEMPLO 1. O gráfico da função constante f (x, y)

= k

é um plano paralelo ao plano xy.

EXEMPLO 3. O gráfico da função afimfdada por z = ax

•

+ by + c é um plano normal ao

~

vetor n = (a, b, -1) . Tal plano é determinado pelas retas

{

X = O z = by

+c e

{y = O

z = ax

EXEMPLO 4. Desenhe as curvas de nível def(x, y) =

+ c. 2 x + i.

•

Solução

Observamos, inicialmente, que a imagem defé o conjunto de todos os reais z ~ O. Seja, então, c ~ O. A curva de nível correspondente a z = c é f(x, y) = c ou x

2

+i

= c.

Assim, as curvas de nível (c > O) são circunferências concêntricas de centro na origem. Sobre cada curva de nível x 2 + = c a função assume sempre o mesmo valor c. A curva de nível correspondente a c = O é o ponto (O, O).

z

i

y

x y x

•

154

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

155

Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais

EXEMPLO 5. Esboce o gráfico def(x, y) = x 2

+ i.

Solução

A interseção do gráfico de f com o plano x

=

°

é a parábola {: ::

yz. Por outro lado, a interseção do gráfico defcom o plano z

=

c (c

~2 localizada no plano > O) é a circunferência

c 2 _ de centro no eixo z e localizada no plano z = c. Assim, o gráfico defé ob { zx 2=+y -c -

{xz=y°2' (Por quê?)

tido girando, em tomo do eixo z, a parábola

=

c) O plano x =

°

intercepta o gráfico de f segundo a curva

X

=

°

z = _1_. Para cada c {

>

0, o

y2

z

z=c plano z == c intercepta o gráfico de f segundo a circunferência x 2

{

X =

+ y2

=

~. O gráfico de

°

f é obtido, então, girando em tomo do eixo z, a curva { z = _1_. y2

y

x

o gráfico defé um parabolóide de rotação. Observe que a curva de nível f

(x, y) = c nada mais é que a projeção no plano xy da interseção do gráfico de f com o plano z = c. • 2

denominada parabolóide elíptico. Se a

=

2

+ -=;- (a >

°

e b > O) é uma superfície a b b, temos o parabolóide de rotação .

Observação. O gráfico da função dada por z =

EXEMPLO 6. Sejafa função dada por z =

..;-

•

1

+ y2

x2

.

EXEMPLO 7. Considere a função f dada por z =

a) Determine o domínio e a imagem. b) Desenhe as curvas de nível.

c) Esboce o gráfico.

a) Determine o domínio e a imagem. b) Desenhe as curvas de nível.

Solução

SOLUÇão 2

a)D = {(x,y) E IR I (x,y) '1'= (O,O)}elmf= {zElRlz>O}. f b) A curva de nível correspondente a z = c (c > O) é

--=--'""'7" 2 x

+ y2

=

C

ou x

2

+ Y2 =

1 c

-

As curvas de nível são então circunferências concêntricas de centro na origem. Quando C 00 tende a +00, o raio tende a zero. Por outro lado, quando c tende a zero, o raio tende a -t .

a).O dOmínio é o conjunto de todos (x, y), com x a Imagem de f é IR. As im

Y x-I

'1'= 1.

Def(2, y)

= y,

D = {(x, y) E 1R21x '1'= I} e Imf= R

f b) Para cada c real, a curva de nível correspondente a z == c é c = -y)"-1

ou y = c (x - 1) (x '1'= 1).

para todo y, segue que

runçoes ae variUS

156

Um Curso de Cálculo -

VUfI.UVet"

",eu,.) u:

"LU-U'~"

1. .. ....... .. ...

Vai. 2

Cada curva de nível defé entã<: uma reta que passa pelo ponto (1, O) e "furada" neste POnt Como ~ o gráfico de f? (Sugestao: pegue cada curva de nível de f e coloque-a na altura _ o. respectIva.) Z- c

. unferência. Vamos então determinar c para que a reta
Clre

_h

teJ,,·a

i

solução única. Substituindo y = c - 2x em i + x 2 + (c - 2x)2 = 1 ou 5x2 - 4cx

obtemos

= I

+c

2

-

1 = O.

e o sistema tenha solução única, o discriminante deve ser igual a zero: para qu 16c2 - 20 (c 2 - 1) = O

c=O

OU

Sejam z = !(x, y) uma ~nção e A um subconjunto de Df' Seja (xO' yO) E A. Dizemo~ q uef(xo, yO) e o valor máximo (resp. valor mínimo) defemA se para todo (x, y) E A

seja,

c=-:!:.15.

AssÍJ1l, 15 é o valor máximo de f em A e -15 o valor mínimo. Vamos, agora, determinar os pontos de máximo e de mínimo. O ponto de máximo é o ponto em que a reta 2x + Y = 15 tangencia a circunferência. Tal ponto é a solução do sistema

f(x, y) ~f(xo, yo) (resp·f(x, y) ~ f (xo, YO»·

2X + Y = 15 { x - 2y = O

Diremos, então, que (xo, Yo) é um ponto de máximo de f em A (resp. ponto de mínimo).

EX~~PLO 8. Sejam(x, y) = 2x + Y eA o conjunto de todos (x,

y) tais quex

2

+i =

x -2y = O

l.

RaclOcmando geometncamente, determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de femA. Solução

onde x - 2y

Para cada c real, a curva de nível de f correspondente a z

CD

c = 2x

= c é a reta

+ y.

15. O ponto

= Oé a reta que passa pela origem e é perpendicular a 2x + Y =

de maxlmo ,. , ( -5-' 215 e:

. 515)' Delxamos a seu cargo ven'filcar que

(215 15),e o --5- ' -5

ponto de mínimo. O próximo exemplo será utilizado posteriormente.

EXEMPLO 9. Sejaf(x, y) =

x

;

xy2

+Y

4' (x, y)

*-

-

(O, O).

~» Desenhe as curvas de nível de f Determine a imagem de f

SolUÇão a) Se c __ O, ~--'--~ 2xy2 x2

? II:dicando por crnãx o valor máximo de f em A, a reta CD para z = c á deve ser tangente ã clfcunferência. (Por quê?) Da mesma forma, para z = crnin a reta (j)x deve ser tangente ã

ara c =1=

+ y4

= O ~ x = O ou y = O.

O, 2xy2

~.......:....-..,.x2 + y4

=C

~

2xy

2

= ex2 + cy4 ~ ex2 -

2xy

2

+ cy4

- O

-

.

158

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

runçue.lur:

YU,'U.,

..

U' .............. I..,~ .............. u

....

• _ ................... ___ .. ..

Resolvendo em x obtemos y

X

=y'

De passagem, observamos que a imagem defé o intervalo (-1,1]. (Porquê?) O valormáxirn de f é 1 e é atingido em todos os pontos, diferentes de (O, O), da parábola x = (c :::: 1) o .A curva de nível correspondente a c *- O, -1 < c < 1, é constituída de todos os pontos (x, y) *- (O, O) que pertencem ou a

i

x

1+~ x = -----' _ _ _ y2 c ou a

o/ xima figura mostra a interseção do gráfico de f com o plano x = 1. Sugerimos ao leitor prar desenh a interseção do gráfico de f com o plano x = xo, onde Xo *- Oé um real qualquer. A

x

1-~ = ----' ___

y2.

c z

1-~

c>O(O
x=

y' c

x= -y'

x = y' (c = 1) x =

1

+.J1=C2

y'

c

Deu para ter uma idéia do gráfico de f? Desafio: tente desenhar ou fazer uma maquete do gráfico. b)Imf = (-1, 1].

Para finalizar, observamos que a denominação curva de nível varia de acordo com o qu~ a funçãofrepresenta. Por exemplo: sefé uma distribuição de temperatura plana, if(x, y) e as curvas de nível denominam-se isotermas .(~ontos .de mesa temperatura no ponto (x, ma temperatura); se f é a energia potencial de um certo campo de forças bldlmenslOnal, as _ curvas de nível denominam-se curvas eqüipotenciais etc.

y»

Observe que, à medida que c vai se aproximando de zero, a parábola de "fora", X -

-

I-~ y 2 , vaI."a b'nn d"o cad ' enquanto x = 1+~ y 2 vai a vez maIS,

c c "!'echando" cada vez mais. O valor mínimo de f é -1 e é atingido em todos os pontos. Para ajudá-lo a visualizar o gráfico, vamoS es' dIferentes de (O, O), da parábola x = tudar, com auxílio das curvas de nível, a variação de f sobre a reta x = 1; o que vaJllOs fazer, então, é estudar a variação def(l, y) quando y varia em IR: quando y varia de - 1 a O, (l, y) decresce, passando do valor 1 em (l, -1) para o valor O em (I, O); quando)' ~arla de O a 1,f(l , y) cresce, passando do valor Oem (1, O) para o valor 1 em (l, I);f(l, Y) e crescente em] -00, -1] e decrescente em (1, +00(. Observe quef(I, y) tende a zero para y - +00 ou Y _ -00.

-i.

f

ExerCícios 8.2

============================

L. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. a)f(x, y) = ] - x 2 c)

-l

z = 4x + l 2

e) Z = x

+Y +

1

g)f(x, y) = x2 , - ] ~ X ~ Oe y :;;. O i) z

= ~ x2

+ y2

b)f(x, y) = x

+ 3y

d)f(x, y) = I

+ x 2 + Y2

1) g (x, y) =

~I

- x 2 - y2

h)f(x,y) = l-x2,x :;;. o,y ~ Oex+y~] j) z = (x - y)2, x :;;. Oe y :;;. O

.I. OU

Um Curso de Cálculo -

I) z =

f

Vol. 2

(x, y) dada por x

~

m)f(x, y) =

2

Funçoes ae varias VarlaVeLS ltetlL,· a vaLOre, ,,-eu.,

41 + i

+

1

1 - x 2 _ y2

,x

2

= 1, z ;;" O

+i <

o)f(x, y) = x, x;;" O

6. Um ponto P descreve uma curva sobre a supe1ície z = xy de modo que a sua projeção Q ~obre o plano xy descreve a curva x = 5 - t, Y = t + 3 e .z = O. Detenrune as alturas máxima e

1 n) z = arctg (x 2 +

7T,

y;;" O

mínima (em relação ao plano xy) quando t percorre o mtervalo [O, 4].

i)

~x2 + y2,

p) Z = 1 -

q)f(x, y) = sen x, O ~ x ~

2

x

2

+i ~ 1

=x

encontra mais próximo do plano xy. (Desenhe a trajetória descrita por P.) x2

2 . Desenhe a imagem da curva 'Y (t) = (x (t), y (t), z (t» onde x = R cos t, . Sejaf(x, y) = 8 x2 + Y Y = R sen tez = f(x (t), y (t» (R > O). Como é o gráfico def!

y

- 2y

i

7 Um ponto P descreve uma curva sobre o gráfico da funçãof(x, y) = x + de modo que a . sua projeção Q sobre o plano xy descreve a reta x + y = 1. Determine o ponto da curva que se

r)f(x, y) = xy, O ~ x ~ 1, O ~ Y ~ 1

2. Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:

a)f(x, y)

.L V.L

b) z = - -

x-2 x-y

c)f(x, y) =

x+y g) z = 4x

+i

h)

z=

') J

z=

2

xy

x +Y 3. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função f(x, y) =

~(x + 1)2 + y2 + ~(x -

i +i

b)f(x, y) c)f(x, y)

+ (y

_1)2

= xy e A = ~2. = xy e A = {(x, y) E

+ 3 eA

a) a =

c) a

d)f(x, y) = e)f(x, y) = x

x 2

2

+y

+i

2

+ y2

.

= ~2.

= 1 e b = O.

2 12. Suponha que T (x, y) = 4x + 9i represente uma distribuição de temperatura no plano xy : T (x, y) é a temperatura, que podemos supor em °C, no ponto (x, y). a) Desenhe a isoterrna correspondente à temperatura de 36°e. b) Determine o ponto de mais baixa temperatura da reta x + y = 1.

=2

-

~x2 + y2

eA

b) Raciocinando geo:retricamente, determine os pontos de mais alta e mais baixa temperatura 2

14. Duas curvas de nível podem interceptar-se? Justifique.

R fornece os valores defsobre a reta

+ i = 1, y ;;" O}.

+ y ~ 2. y) tais quex;;"O,y;;" O,x + 2y~7,2x + y.::::5

+ Y + 3 eA o conjunto de todo (x,

b)f(x, y) = x + yeA o conjunto de todos (x, ey;;"x- I.

y) tais quex ;;" O,y;;" O ex

c)f(x, y) = - y - e A o conjunto de todos (x, y) tais que - I x - I d)f(x, y) = - y - e A o círculo (x - 3)2

+ (y

- 1)2 ~ 1.

8.3. FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS REAIS A VALORES REAIS. SUPERFÍCIES DE NÍVEL

= ~2.

5. Raciocinando geometricamente, determine, caso existam, os valores máximo e rrúnimo de! em A, bem como os pontos em que estes valores são atingidos.

x-L

+ y ~ 4.

~21 x + 2y = I}.

g)f(x, y) = xy e A = {(x, y) E ~2 14x2

a)f(x, y) = 2x

+ Y (0C) represente uma distribuição de temperatura no plano xy.

a) Desenhe as isoterrnas correspondentes às temperaturas: O°C, 3°C e -1°e.

eA={(x,y)E~21(x,y)=t-(0,0)}.

(Sugestão: observe que g (y) = f(1 - 2y, y), y E x + 2y = 1.) flf(x, y)

d)a= -Ieb= 1.

13. Suponha que T (x, y) = 2x

~2 I x;;" Oe y ;;" O}.

e A = {(x, y) E

b) a = I e b = 1.

Oe b = 1.

do círculo x

x2

2 .

11. Como é o gráfico de f (x, y) = xy?

4. Determine, caso existam, os valores máximo e rrúnimo de f em A; determine, também os pontos em que estes valores são atingidos. ' a)f(x, y) = (x - 1)2

+Y

10. Sejamf (x, y) = xy e 'Y (t) = (at, bt,j (at, bt». Desenhe a imagem de 'Y sendo

2

1)2

2

x

3x - 4xy

2

x

9. Mesmo exercício que o anterior para a funçãof(x, y) =

Y -1 flf(x, y) = x 2 -

e) z = xy

2

x

d)z=

~ x ~ O e I ~ y ~ 2.

Uma função de três variáveis reais a valores reais, definida em A C 1R 3, é uma função qu~ associa, a cada tema ordenada (x, y, z) E A, um único número real w = f (x, y, z). O grafico de tal função é o conjunto Cf

=

{(x, y, z, w) E 1R4,

W

=f

(x, y, z), (x, y, z) E A}.

I O gráfico defé então um subconjunto do 1R4, não nos sendo possível, portanto, representáo geometricamente. Para se ter uma visão geométrica de tal função, podemos nos valer de E Imfo conjunto de todos os pontos (x, y, z) E A tais que x, y, z) = c denomina-se superfície de nível correspondente ao nível w = c.

;~as superfícies de nível. Seja c

!~~LO 1. Sejaf(x, y, z) = c e o plano y = c.

y. Para cada real c, a superfície de nível correspondente a

162

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

z

9 y

x

EXEMPLO 2. As superfícies de nível def(x, y, z) de centro na origem

=

x

2

LIMITE E CONTINUIDADE

•

+ i + l são superfícies esféricas

2 x2 +2 y + z = c. A superfície de nível correspondente a c = O é o ponto (O, O, O). Exercícios 8.3

============================•

1. Represente geometricamente o domínio da função dada. a)f(x, y, z) =

~l

- x 2 - y2 - z2

c)f(x, y, z) = ..Jl - x - y - z ,

cf) w = ..Jl -Ixl -Iyl-Izl

b)f(x, y, z) = ~

9.1. L IMITE Esta seção é quase que uma reprodução dos tópicos abordados no Capo 3 sobre limite de funções de uma variável real, razão pela qual a maioria dos resultados será enunciada em forma de exercícios. Definição. Sejamf: A C 1R2 ~ IR uma função, (xO' yO) um ponto de acumulação de A e L um número real. Definimos

X"" O, Y"" O e z "" O e)f(x, y, z) = In (x

2

+

i + i)

2. Desenhe a superfície de nível correspondente a c = 1. a)f(x, y, z) = x c)f(x, y, z) = x

lim

b)f(x, y, z ) = z

2

+i

f(x, y) = L

(x, y) --? (xo, Yo)

2 cf) f (x, y, z) = x + 4i + i

~

Para todo E > O, existe ô > O tal que, para todo (x, y) E Df, { 0< lI(x, y) - (XO, yo)1I < ô ~ If(x, y) - LI < E

3. Duas superfícies de nível de uma funçãofpodem interceptar-se? Justifique.

J.--+-_ _ _

f

L-€

(x

tim

1 'Y)"-7 ( x o.yo )

L+€

f(x, y) = L significa: dado E> O, existe ô > Otal quef(x, y) permanece em

L - €, L + €[ quando (x, y), (x, y)

.

"* (xO' yo), varia na bola aberta de centro (xo, Yo) e rruo ô.

~s~r~ação. De agora em diante, sempre que falarmos P!tClto que (xo, Yo) é ponto de acumulação de Df

queftem limite em (xo, yo), fica

164

Um Curso de Cálculo -

EXEMPLO 1. Se/ex, y)

=

Vol. 2

Limite e Continuidade

oestudo anterior nos mostra que não existe número L tal que/ex, y) permaneça próximo de

k é uma função constante, então, para todo (xo, yo) em ~2,

lim

165

l-para (x, y) próximo de (0, O); este fato indica-nos que/não deve ter limite em (0, O) e não

k = k.

(x. y) ~ (xo. Yo)

te[11

mesmo, pois, qualquer que seja L, tomando-se

1

E

= 2' tem-se:

Solução If(x. y) - k I = I k - k I = O; assim, dado E>

°<

°

I

se L ,,;;; 0, If (x, O) - L I ;?; - para todo x 2

e tomando-se um 8> Oqualquer,

11 (x, y) - (xO, YO) II < 8 ~ I f (x, y) - k 1<

1

seL> 0, If(O, y) - L I;?; - para todo y 2 lim

EXEMPLO 2. Sef(x, y)

=

lim

f(x, y) =

(x, Y) ~ (Xo, Yo)

k

k.

=

•

(x, Y) ~ (xo, Yo)

lim

f(x, y) =

(x, Y) ~ (xo, Yo)

> Oe tomando-se 8 =

°<

"V E> 0,:3 8> 0, (x, y) E Df'

EXEMPLO 4. Suponha que

lim (x, Y) ~ (xo, Yo)

E

vem:

nua em to, com l' (tO) = (xO, Yo) e, para t

11 (x, y) - (xO, yO) 11 < 8 ~ Ix - Xo I <

=1=

f(x, y) = L. Seja l' uma curva em ~2, contíto, l' (t)

lim f(l'(t»

O < II (x, y) - (xo,YO) 11 <

8~ If(x, y) - Xo

1<

De lim

x2 _ y2 2 2

x

+y

x

(xo, Yo) com l' (t) E Df Prove que

~

= L.

lo

Solução

E.

Logo,

(x, Y) ~ (xo, Yo)

=1=

E I

=

11 (x, y) - (O, O) 11 < 8 ~ If(x, y) - L 1< €'

•

ou seja,

EXEMPLO 3·f(x, y)

°<

Quando tivermos que provar que determinados limites não existem, o próximo exemplo poderá nos ajudar.

Para todo (x, y) em ~2, I x - Xo I :s;; 11 (x, y) - (xO, yO) 11. (Verifique.) E

O.

é falsa.

x = xO.

Solução

Então, dado

=1=

Assim, para todo real L, a afirmação

x, para todo (xo, yO) E ~2,

lim

O;

E.

Logo,

(x. y) ~ (Xo, Yo)

=1=

= Xo.

•

tem limite em (O, O)? Justifique.

lim

(x, Y) ~ (x o, Yo)

(j)

f(x, y) = L segue que dado E> 0, existe 8, >

°<

11 (x, y) - (xo, Yo) 11 < 81 ~ If(x, y) - L 1<

Sendo l' contínua em to, para todo 8) >

°

tal que

E.

°

acima, existe 8 > O tal que

I t - to I < 8 ~ 11 l' (t) - l' (to) II

< 8,

Solução

Inicialmente, vejamos como se comportam os valoresf(x, y) para (x, y) próximo de (O, O). Sobre o eixo x temos: f (x, O) = 1, x =1= O. Sobre o eixo y,f(O, y) = - 1, y =1= O.

' .....

=1=

(xo, Yo) para t

=1=

to,

De G) e @ segue

y

\

e, POrtanto, tendo em vista l' (t)

°< I •

..

t - to 1< 8 ~ If(l' (t» - L I <

E

Ou seja,

"

lim f(l'(t» = L. I

~ (o

•

166

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

Observação. Sejam 1'1 e 1'2 duas curvas nas condições do Exemplo 4. Segue do exempl . o antenor que se ocorrer

lim

t--?to

com LI

"* Lz, então,

(x,

f

(1'1 (t»

lim y) --?

(xo, Yo)

= LI e

lim

I--?t o

f

(1'2 (t»

lim

4

5

= Lz

f(x, y) não existirá. Da mesma forma, tal limite não

existirá se um dos limites em @ não existir.

lim

f(x, y) = L<=>

· (x, y) --? (xo. Yo)

[f(x, y) - L] = O.

(x, y) --? (xo, Yo)

+ h, YO + k) =

lim f(x, y) = L<=> 1irn f(xo · (x, y) --? (xo. Yo) (h. k) --? (O. O)

6 Se ·

(x,

= LI

lim f(x, y) (xo, Yo)

e

lim

lim

a)

g(x, y)

(x, y) --? (xo, Yo)

y) --?

[f(x, y)

+ g (x,

kf(x, y)

= kL I ·

L.

= Lz, então,

+ Lz·

y)] = L[

(x. y) --? (xo, Yo) x2 _ y2

Vejamos como provar que

lirn

2

(x, y) --? (O, O) X

2 não existe (Exemplo 3) utilizando

+Y

a

b)

x2 _ y2

observação acima. Sejam 1'1 (t) = (t, O) e 1'2 (t) = (O, t). Sejaf(x, y) =

x

2

+y

lim (x, y) --? (xo, Yo)

2' Temos

lim

c)

t--?O

=

~=

lim

t--?ot

= LILz·

f(x, y) g (x, y)

(x, y) --? (xo, Yo)

2

lim f(1'1 (t»

(kconstante)

1

lim

d)

f(x, y) g(x,y)

(x,y)--?(xo.Yo)

=~, desde que Lz

Lz

"* O.

e 7. (Conservação do sinal.) Se

lim f (1'2 (t» = lim

t--?O

~ =-1.

lim

2

(x, y) --? (O, O) X

> O, então existirá 8 > O, tal

que, para todo (x, y) E Df

t--?O t

0< 11 (x, y) - (xo,YO) 11 < 8 :=>f(x, y)

x2 _ y2

Logo,

f(x, y) = L, L

lim (x, y) --? (xo, Yo)

2

> O.

2 não existe.

+Y

Observamos que continuam válidas para funções de duas variáveis reais a valores reais as seguintes propriedades dos limites cujas demonstrações são exatamente iguais às que fizemos para funções de uma variável real (reveja o Capo 3 do VoI. 1).

EXEMPLO S. Calcule, caso exista,

lim

(x, y) --? (O. O)

x2

+ y2

.

Solução

1. (Teorema do confronto.) Sef(x, y) ~ g (x, y) ~ h (x, y) para 0< 11 (x, y) - (xO' Yo) 11 < r e se

lim

lim

f(x, y) = L =

(x, y) --? (x o, Yo)

(x,

y) --?

h(x, y)

(x o, Yo)

lim (x, y) --? (O, O)

então lim

g(x, y) = L.

x

(x, y)

lim f(x, y) = O e se I g (x, y) I ~ M para 0 < 11 (x, y) - (xO, Yo) 11 <: (x, y) --? (xo, Yo) onde r > O eM> O são reais fixos. então

2

x

+ y2

lim

(x, y) --? (xo, Yo)

2. Se

2

x = Oe \

--?

lim

(x, y) --? (x o, Yo)

3.

lim

(x, y) --? (xo, Yo)

f(x, y) = O<=>

f(f. lim

(x, Y) --? (xo, Yo)

I f(x, y) 1= O.

~ 1, para todo (x, y) "* (O, O). Assim, . .

O h.~tada

x3

--=--~ =

(O, O) x 2

+ y2

l' / .x2 t·(

lim (x, y)

--?

EXEMPLO 6. Calcule, caso exista,

lim

(x, y) --? (O. O) X

-'00"

\ = O.

\~.~ ..~}Y

(O, O)

r.

~

limitada y) ' 8 (x, y) = O

\

x2 2

+

2 '

Y

SoluÇão

Sejaf(x, y) =

x2 x2

+ y2

e tomemos 1'1 (t) = (O, t) e 1'2 (t) = (t, t).

•

lOõ

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

L"" .... e

=

lim f(YI Ct» e

I

~O

lim t

~O

02

0

2

+ t2

=O 6 Suponha que

lim

~O

I

/CY2 (t»

= lim I

~ O t2

t

lim

x

+ y2

(x, y) ~ (O, O) x 2

2

• ~

x sen -::-_ _ x2

(x, y) --+ (O. O)

b)

+ y2

lim x2

x2

lim

ri)

+ y2

x4

(x, y) --+ (O, O)

+ y4

lim

~

lim

Y- x3

(x, y) --+ (O, O)

2. Sejaf(x, y) =

h)

2xy2 C + y4 veja Exemplo 9 -

a) Considere a reta 'Y (t) = (at, bt), com a 2

+ b2 >

+ y2

I

--+ O

'

lim

c)

lim

(x, y) --+ (O, O) x 2 _ y2

O' . , mostre que, qUlllsquer que sejam a e b,

4. Calcule

lim

f(x

+ h,

y

(h, k) --+ (O, O)

5. Calcule, caso exista,

lim ( h, k) --+ (O, O)

(x, y)

+ y2

-

1

.

lim

EXEMPLO 2. A função /ex, lim -t

y) =

é contínua, pois,

f(x, y) = k = f (xo, Yo)

•

x é contínua, pois,

f(x, y) =

x = Xo = f (xo, Yo)

lim (x, y) -t (x o ' yo)

(x o ' yo)

EXEMPLO 3. A função f (x,

x3

+ y2

y) = k

+ y.

= -2 - x

f (x, y) = f (xo, Yo)

Para todo (xo, yO) em 1R2. (Veja Exemplo 2, Seção 9.1.)

+ k)

f (h, k) lI(h, k)lI' ondefé dada por f (x, y)

(x, y) ~ (x o ' yo)

para todo (xo, Yo) em 1R2. (veja Exemplo 1, Seção 9.1.)

(x, y)

- f(x, y) - 2xh - k 1I(h, k)1I ' ondef(x, y) = x 2

lim

Ç::>

ex, y) ~ (x o ' yo)

(x,Y)~(xo'Yo)

O

f

Seffor contínua em todos os pontos de um subconjunto A de Df diremos quefé contínua em A. Diremos, simplesmente, que f é contínua se o for em todos os pontos de seu dorrúnio.

.

.

.

2

EXEMPLO 1. A função constante f (x,

.

e falsa ou verdadeira? Justifique.

x

/ contínua em (xo, Yo)

eXiste? Por quê?

+ Y4

.fi)

1

+ y2 < + y2 ~ 1

Definição. Seja/uma função de duas variáveis reais a valores reais e seja (xo, Yo) E Df com (xo, Yo) ponto de acumulação de Df Definimos:

xy2

3. Sejam 'YI e 'Y2 Curvas satisfazendo as condições do Exemplo 4 A fi _ . a Irrnaçao: " rIm f('YI (I)) = lim f('Y2 (t» = L ~ r I ~ lO I ~ I Im f(x, y) = L" ,

lim

I' . o Irrute, tente prever o resultado olhando para as curvas de nível de!)

2xy2

2 ( x, ) y --+ (O, O) x

x2

Y

Tente visualizar este resultado através das Curvas de nível de!

(Antes de calcular

se x 2

9.2. CONTINUIDADE

--+ O

b) Calcule lim f(ô (t», onde ô (t) = (t 2 t)

~2 -1)

(x, y) --+ ( -2-' -2-

Iim fC'Y(t»=O. I

+

se 2

Seção 8.2).

x2

2

x+ y

(x, y) --+ (O. O) x -

g)

x

xy

(x, y) --+ (O. O) x 2

fl

{J O

+ y2

xy(x - y)

tim

lim

8. Sejaf(x, y) =

x2

(x, y) --+ (O. O) )

e)

7. Calcule

Calcule

x

tim (x, y) --+ (O, O) )

c)

g (u).

(x, y) --+ (O, O)

==================================================-

lim

tim u~a

Prove, ainda, que o resultado acima continua válido se supusermos g definida em a, com g contínua em a.

não existe.

Exercícios 9.1 == 1. Calcule, caso exista. a)

= L, comg não-definidaema elmfCDg .

g (j (x, y» =

lim

x não é limitada! x 2 + y2

CUIDADO:

u~a

(x,y)~(xo'Yo)

2

Logo,

lim g(u)

f(x,y)=ae

Prove que

2

+ t2

lim (x,y)~(xo'Yo)

.

e '-"v, ....................__ _

.

- -"'----

JUstifique.

y)

=

•

(x, y) =1= (O, O) é contínua em (O, O)?

(x, y) = (O, O)

170

Um Curso de Cálculo _ Vol. 2

Solução p emonstração Tomando-se YI (t) = (t, O) e Y2 (t) = (O, t) vem, Fica a cargo do leitor. 2

e' a k uma constante. Segue das propnedaSejamf(x, y) eg (x, y) contínUfa~ em_(xo~~~:é~ contínuas em (xo, yo). Além disso, se oslimitesquef+g,kfe gsao, , d deS _

lim f(YI (t» = lim .;. = 1 t-?O t

t-?O

e

g (xo, Yo)"* O, en t-ao [será g , também, contínua em (xo, yo).

-t 2

lim f(Y2 (t» = lim -2- =-1. t-?O

t-?O

.

t

EXEMPLO 6. Seja Logo,

(x, y)liro -? (O, O)

f(x, y) não existe, e, portanto,jnão é contínua em (O, O).

3

•

f(x,y) =

o próximo teorema nos diz que seg (u) ef(x, y) forem contínuas e se/mfe Dg, então

Demonstração

+ y2

{O

a função composta h (x, y) = g (j(x, y» também o será.

Teorema 1. Sejam f: A e 1R2 ~ IR e g : B e IR ~ IR duas funções tais que /mfe Dg. Seffor contínua em (xo, yo) e g contínua emf(xo, YO), então a composta h (x, y) = g (j(x, y» será contínua em (xo, YO).

x

x 2

se (x, y)

"* (O, O)

se (x, y) = (O, O).

. o conJ'unto dos pontos de continuidade de! Detenrune

~~

. df os a licar a propriedade relativa a qUOCIente e unP, 2 + y2 não se anula nestes pontos. Para Nos pontos (x, y) "* (O, O) pod2e~ . ~ x2 + Y sao continuas e x t pOIS, à contInUIdade e . . ções contínuas, f com relação no pon to (O , O) precisamos primeiro ver o que acon eestudar ce com o limite defneste ponto.

Como g (u) é contínua emf(xo, Yo), dado E> O, existe 8 > O tal que 1

D

~endo f

lu - f (xo, yo) 1< 81 ==> I g (u) - g (j(xO, yo» 1<

lim

E.

(x, y)

-?

f(x, y)

=

(x , y)

(O, O)

lim

lim -?

X·

(x, y) -? (O, O)

(O, O)

x2

x

2

+ y2

=

O.

contínua em (xo, yo), para o 8 1 > O acima, existe 8> O tal que

/I (x, y) - (xo, yo) /I )e
<

2

8 ==> If(x, y) - f (xo, yo) I < 8 ,

[ Observe que

1

. hm

(x , y)

-?

(O, O)

(x, y)

ogo, h (x, y) = g (j(x, y» é contínua em (xo, YO).

-

Como conseqüência deste teorema, segue que se g (x) for contínua, então a função h dada lor h (x, y) = g (x) também será contínua. De fato, sendof(x, y) = x, teremos I (x, y) = g (j(x, y», Com g efcontínuas.

~XEMPLO 4. h (x, y) = x 2 é contínua em 1R2, pois g (x) = x2 é contínua em IR.

-

Petc._

,

Conclusão: f é continua em

Teorema 2. Sejamf: A e 1R2 ~ IR uma função e y: I ~ 1R2 uma curva tais que Y (t) E A para todo t E I. Se Y for contínua em to E / e f contínua em Y (to), então a

f

(y (t» será contínua em tO'

-?

(O, O)

-

ff1l2 lI"\l

A

•

2 . 1R2 ~ IR três funções tais que (g (x, y), h (x, y», E , Sejam agora,f: A e IR ~ IR, g, h . e demonstra-se que se g e h forem continu~s para todo (x, y) E B. Sem nenhuma dIficuldade, então a compostaf(g (x, y), h (x, y» ser~, em (xo, Yo) e f contínua em (g (xo, yo), h (x~;~~:n como os teoremas 1 e 2, são cas..?s partItambém, contínua em (xo, ~o)· Este resulta .'nuidade de funções compostas, que nao enunculares de um teorema mrus geral sobre conu ciaremos aqui.

!1

Exercícios 9.2

composta g (t) =

f(x, y) = O = f(O, O).

lim

/I (x, y) - (xo, yO) II :s;;; 8 ==> I g (j(x, y» - g (j(xo, yo» I < E;

eXEMPLO :unbém serão.5. Sendof(x, y) contínua, as compostas senf(x, y), cosf(x, y), [f(x, y)

x = O e I x 2 x+ y2 I:s;;; 1 para todo (x, y)"* (O, O).) Assim

===========================

. o conJun . t o dos pontos de continuidade. Justifique a resposta. 1 Detemune

l- 5xy + 6

. a)f(x, y) = 3x2

x - y c)f(x, y) = In x 2 + y2

b)f(x, y) =

~6 - 2x2 - 3y2

d)f(x, y) =~

x-y 2

1- x

2

- Y

1/

~

Um Curso de Cálculo -

3y

X -

e)f(x, y) =

x {

2

+Y

=

{

se (x, y)

2

x2

I

+ y2)

C2 ~ J

o =

{

x2

O

10

+ y2 se

'* (O, O) (x, y) '* (O. O)

se r < I onde r se r ~ I

xy2 2. f(x, y)

(O, O)

se (x, y)

+ y2

se

g)f(x, y) = {e

'*

se (x, y) = (O, O)

O

sen (x2 j)f(x, y)

VaI. 2

(x, y)

= lI(x,

DERIVADAS PARCIAIS

y)1I

'* (O, O) é contínua em (O, O)? Justifique.

se (x, y) = (O, O)

3. Prove que seffor contínua em (xo, Yo) e sef(xo' Yo) > O, então existirá r > O tal quef(x, y) > O para 11 (x, y) - (xO' Yo) 11 < r.

10.1. DERIVADAS P ARCIAIS

4. Seja A um subconjunto do 1R2 que goza da propriedade: quaisquer que sejam (xO' yo) e (x], y ]) emA. existe uma curva contínua y: [a, b] ~A tal que y(a) = (xo,Yo) e y(b) = (x],y]) . Prove que seffor contínua em A e sef(xo, Yo) < m < f(x], YI), então existirá (x, y) E A tal que

. _ f( ) ma função real de duas variáveis reais e seja (xo, Yo) E Df Fixado Yo, Seja z X, Y u ., 1 d d or podemos considerar a função g de uma vanave a a p

f (x. y)

= m.

f (x, Yo)·

g (x) =

(Sugestão: aplique o teorema do valor intermediário à função contínua g (t) = f( y(t», t E [a, b].)

5. Sejaf: A C 1R2 ~ IR. A aberto, uma função contínua e seja c um número real dado. Prove que o conjunto {(x, y) E A If(x, y) < c} é aberto. 6. Dizemos que a seqüência de pontos «xw Yn»n;;" Oconverge a (x, natural nO tal que n

>

nO ~ 11 (xw Yn) -

(x,

y) 11 <

y)

se, dado

E

_ t - x (caso exista) denomina-se derivada parcial def, A derivada desta funçao no pon o x. -. O d s notações. em relação a x, no ponto (xo, Yo) e mdlca-se com uma a .

> O, existe um -af (xo, YO)

Suponha que f (x, y) seja contínua em (x, y), que «xn, Yn»n;;" O convirja para (x, y) e que (xn, Yn) E Df para todo n ~ O. Prove que a seqüência dada por a n = f (x n, Yn) converge para

f (x. y).

· ASSlfi,

ax

aaxf

(xo, Yo) = g' (xo) =

x

. 11m ~

Xo

g(x) - g(xo) x - xo

ou seja,

-af (Xo,Yo)-

8. (Teorema de Weierstr ass.) Sejafcomo no Exercício 7. Prove quefassume em A valor máximo e valor minimo. (Sugestão: veja Apêndice A2.4 -

Ix =_ x o

ax y-Yo

af (xo. Yo) -_ g' (xO) . De acordo com a definição de derivada temos:

-

7. Suponha f contínua no retângulo A = {(x, y) E 1R2 I a ~ x ~ f3, a ~ y ~ {3}. Prove quefé limitada neste retângulo. if limitada em A significa que existe M > Otal que If(x, y) I ~ M emA.) (Sugestão : suponha, por absurdo, quefnão seja limitada em A. Então, existirá (x], y]) em A ,tal que If(x]. YI) I > 1. Tomando-se o ponto médio de cada lado, divida o retângulo A em 4 retllllgulos iguais; em um deles. batizado A2,fnão será limitada, logo existirá (x2, Y2) E A 2 tal que If(x2' Y2) I > 2 etc.)

-az

ou

ax

E.

ax

f(x, YO) - f(xo, YO) x - xo Xo

11·m x

~

Volume I.)

-------------------------------------------------------------------

Ou, ainda,

-af (Xo,Yo) --

ax

. f(xo + tu, YO) - f(xo, YO) 11m tu

Lll ~ O

Uenvaaas rarClGlS

SejaA o subconjunto de Df formado por todos os pontos (x, y) tais que a f (x, y) eXis ax te· fica assim definida uma nova função, indicada por a f e definida emA, que a cada (x, y) E: ' afax ti. associa o número (x, y), onde ax af (x, y) = ax

f(x

lim

+ LU,

LU~o

por limite: af (x, y) ax

=

b) Devemos o

!.... (2xy ay 2 af (

IR , ax x, y af (1,1) ax

Assim, f(xo, Yo

+ Lly) -

f(xo, YO)

Lly

- 4y - 2xy

+ 4y

LU

ay

Y - Yo

ou

LU

a f (x, y) =

f(xo, y) - f(xo, YO)

lim

+ LU)y

lhar x como constante e derivar em relação a y:

c) Conforme a, para todo (x, y) em

Y~ Yo

2(x

LU~O

LU ~o

De modo análogo, define-se derivada parcial de f, em relação a y, no ponto (xo, yO) que

af (x(p Yo) ay

+ LU, y) - f(x, y)

= 2y.

LU

. d' por -af (x(p Yo ) ou_ azl_ x - xo : se mIca ay ay y = Yo

f(x lim

lim

y) - f(x, y)

Tal função denomina-sefunção derivada parcial de 1. a ordem def, em relação ax, ou, sim_ plesmente, derivada parcial de f em relação a x.

=

~f

4y) = 2x - 4.

)= 2

y.

Daí

= 2.

(I, 1) = 2.

x

d) Conforme b, para todo (x, y) em

IT1>2 IN>

af (x, y) = 2x 'ay

4. Logo

dad = arctg (i + EXEMPLO 2. Considere a funçao z = f( x, ) y a por z

em relação a x, de f (x, y), mantendo-se y constante. Por outro lado, a f (x, y) é aderi vada, ay em relação a y, de f (x, y), mantendo-se x constante.

a)

c)

b) af (x, y)

~

b)

~

~\X=l ax y= 1

d)

~\x=o ay y=O

ax

2xy - 4y. Calcule:

a) af (x, y) ax

ay

ay Solução

f c)a (1,l) ax

d)af(-l,l) ay

~ (x 2 + y2) az a 2 a) a x = a x (arctg (x

Solução

2)) _ .Ja'!..:.x!:....-_--;::-;:;+ Y - 1 + (x 2 + y2)2 '

a) Devemos olhar y como constante e derivar em relação a x:

af (x, y) ax

= -

a

ax

ou seja, (2xy - 4y)

= 2y

pois -

a

ax

(2xy)

= 2y e -

a

ax

(-4y)

= O.

•

af (-1,1)=-6. ay

Para se calcular a f (x(p Yo) fixa-se y = Yo em z = f (x, y) e calcula-se a derivada de ax g (x) = f (x, Yo) em x = xo: a f (x(p Yo) = g' (xo). Da mesma forma, a f (x, y) é a derivada, ax ax

EXEMPLO 1. Sejaf(x, y) =

.I. /.:J

az 2x ax = 1+(x 2 +y2)2'

l)· Calcule:

176

Um Curso de Cálculo -

Voi. 2

ou seja,

0 11

az By

!!.!:...Ix = 1 = _2__

c)

1+4

Bxy=l

-x=O = By y=O

Bx

b) BY

• l

2 2 =+ -~l y2 + - 2x _ -1 (y2 '.fix +

z -

~1 -

x x2+i<1 x 2 - y2 ' .

By

2y

(~I

2

z

!- (x 2 + y2 + z2) = ~(1), ou seja,

2

-5·

Antes de passarmos ao próximo exem lo b diz definida ou dada implicitamente pela ~q~a~ã~eg~:myos )q:eOuma função z = f (x, y) Se ( f( , ,z se, para todo (x y) E D g. x, y, x, y)) = O. Por exemplo, a função z = ~1 - x 2 _ 2 x 2 + 2 ,'. f' cltamente pela equação x 2 + + 2 _ 1. y, Y < 1, e dada Impli2 2 z , pOIS, para todo (x, y) no seu dom' . x +Y + _ 2 2 2 Inlo, ~___x_ - Y ) = 1. As funções z = ~1- x 2 - y2, x 2 + i ~ 1, e xz

!!.!:...=_~=_

2y 1 + (x 2 + y2)2 .

o.

azl

d)

seja,

- tambem, , y2 ~ ~ I , sao dadas implicitamente pela equação

ven Ique).

EXEMPLO 3. Sendo z = f

Bz Y ortanto, _ = - - = e, P By z

+ 2z

Y

Bz = O By 2

•

2

I ' x + Y < 1. ,,1 - x 2 - y2

CUIDADOS COM NOTAÇÕES. A notação Bf (x, y), como vimos, indica a derivada de Bx

f (x, y) em relação a x, onde y é olhado como constante, ou seja, como independente de x. por outro lado, a notação ~ [f(x, y)] indica a derivada def(x, y), onde y deve ser olhado dx (quando nada for dito em contrário) como função de x. As notações foram criadas para se-

~

~.

rem usadas corretamente. Portanto, não confunda Bx com dx

(x, y) dada implicitamente por x 2 + y2

a)!!.!:... ax

b)

+ z2 = 1, z >

O,cal cuIe:

EXEMPLO 4. - B

(x

2

Bx

!!.!:..

+ Y2) = 2x, enquanto

d 2 2 d 2 dy (x + Y ) = 2x + (y ) = 2x + 2y dx dx dx

ay

_

Solução a) z = ~1 - x 2 - y2 , x 2

+ y2 <

pois,

1. A SSlm, .

~

(y2) =

dx

dy

EXEMPLO 5. Suponha que z = f (x, ou seja,

y) seja dàda implicitamente pela equação

Poderíamos _ 2 2' também 2 ' ter c h ega d o ao resultado acima trabalhando diretam t çao x + y + z = 1: en e com a equa

Solução

Para todo (x, y) E Df' ~(2 x ax

+ i)

= 2x,

+ l + i.

Suponha que f admita derivada parcial em relação a x, expresse

ax

~ ax

[i]

+

Y2

=!!:..dz

+

z2) = - B (1). Bx

'

2 . -a a z = 2z -a z e - a (1) = O resulta· [z] Bx Bx ' . x

az

2x +2z-=O ax

Temos:

•

(y2) dy = 2y dy . dx dx

eXYz = x 2

az

como aax (x 2

~

!!.!:-. Bx

em termos de x, y e z.

.....",.-..

VUt.~

A.,..,vuc,,-,UU.. u t U -

e.

(x, y) a 2 (x ax

+ Y2 + z2)

2x

=

+ 2z

(x, y) = (O, O)

az -. ax

b) af By

Assim,

exy Z

(

yz

+ xy

-az ) ax

az, ax

= 2x + 2z

'* (O, O). Determine

soluçãO

( )'* (O, O) podemos aplicar a regra do quociente

a) Nos pontos x, Y

ou seja,

af _ 3x 2 (x 2 + y2) - (x 3 - y2)2x ax (x,y)(x 2 + y2)2

XYZ

~ =

2x - yz

ax

xy eXYZ - 2z

em todo (x, y) E Df com xy eXYz - 2z

e

'* O.

•

ou seja,

EXEMPLO 6. Seja cp : IR ~ IR uma função de uma variável e derivável. Considere a fun2 ção g dada por g (x, y) = cp (x + Verifique que

i).

Em (O, O) ag (1,1) = ax

ag (1,1). ay

Bf (O, O) é a derivada, em x

= O, de g (x) = f (x, O).

Bx

Solução

g (x, y)

cp'

Então, ag (x, y) = Bx

=

cp (u) onde u

= x

2

f

+ i.

assim, g (x) = f (x, O) = x, para todo x; segue que

(u) au, ou seja, Bx ag (x, y) ax

af = cp'

(x

2

ag

(x, y) =

By

cp'

(x

2

+ Y ) 2x.

a 2 (x ay

+ Y2)

. + Y2), ou seja,

af

-

ax

ag (x, y) = ay

cp'

(x 2

+ i) 2y. Assim

Assim,

~!

(1,1)

= 2 cf/ (2) =

~~

(1,1).

g (x, y) = sen (x a

e a

g

Y

2

+ i) e, assim,

(x, y) = sen' (x

2

+ l)

ag (x, y) = Bx ~ (x2 + ay

Bx

i) = 2y cos (x2 + l).

af

, ax

af Tx

.

(O, O) =

hm

r .

(O, O) por lITute:

f(x, O) - f(O, O)

x~O

x

_ O

x lim X~O x

= l.

é a função de 1R2 em IR dada por x4

•

cp fosse, por exemplo, a função seno, teríarnos sen' (x 2 + l) ~ (x2 + i) = 2x cos (x2 + l)

Observação. Se no exemplo anterior a função

(O, O) = g' (O) = l.

ax

2

Poderíamos, também, ter calculado Da mesma forma, -

xsex,*O x = O

= { O se

(x, O)

af (x, y) Bx b) Para (x, y)

'* (O, O)

=

+

3x2y2

(x2 {1

+ 2xy2

+ y2)2

se (x, y)

'* (O, O)

se (x, y) = (O, O)

Em (0, O)

~~

r

(O, O) é (caso exista) a derivada, em y = 0, de h (y) = f (0, y);

° _{-I°

*°°

se y se y =

f( ,y) -

assim, h (y) não é contínua em y

= 0, logo, h' (O) não existe, ou seja, à f

ay

Segue que af está definida em todo (x, y)

ay

(0, O) não exist

e.

* (0, O) (mas não em (0, O» e é dada por

x

• .

2

°

af 2 (x, y) = para todo (x, y) em ~ . Prove quef ax ~ ~ ~ tal quef(x, y) = cP (y), para todo (x, y) E 1R2.

EXEMPLO 8. SeJaf: ~ ~ ~ tal que não depende dex, isto é, que existe cP:

EXEMPLO 10. Mostre que a função

f

(x, y)

Solução

Fixado um y qualquer, a função h (x) = f (x, y) é constante em h ' (x)

=

af (x, y) ax

= O. Segue que,

~,

pois, para todo x,

~

k-:

se (x, y)

y'

*

(O, O)

se (x, y) = (O, O)

. . (O O) mas não é contínua neste ponto. adrrúte derivadas parcIais em , ,

para todo x, Solução h (x) = h (O)

af

(O, 0):= 11m

_

(O, 0):= 11m

ax af

ou seja, f(x, y) = f(O, y).

ay

Como y foi fixado de modo arbitrário, resulta quef(x, y) = f(O, y) se verifica para todo (x, y) em ~2. Tomando-se cP (y) = f(O, y) teremos .

f

(x, y) =

.

-

f (x, O) - f (O, O)

x-tO X . f(O, y) - f(O, O) :=

ra), é a interseção do plano y = Yo com o gráfico de f; a f (xo, Yo) é, então, o coeficiente ax angular da reta tangente T a esta interseção no ponto (xO, yo,f (xo, Yo»: af ~ af (xo, Yo) = tg a. Interprete voce (xO, YO)· ax ay

•

O exemplo seguinte mostra-nos que a existência de derivada parcial num ponto não implica a continuidade dafunção neste ponto.

o.

•

Y . . . VamoS mostrar, a seguir, quefnão é contínua Assim,fadmite denvadas parcIais e~ (Od~~a por 'Y (t) := (t, t) é em (0, O). A composta de f com a re a 'Y I

•

EXEMPLO 9. (Interpretação geométrica.) Suponhamos que z = f (x, y) admite derivadas parciais em (xO, yO) E Df O gráfico da função g (x) = f (x, yo), no plano x' Yo z' (veja figu-

°

y-to

cP (y)

para todo (x, y) E ~2.

=

g (t) := f (t, t):=

°

t° -

°

set*O

2

se t :=

t (t) := f (t t) não é contínua em t := 0, resulta que Como 'Y é contínua em t := e a co~pos a g , f não é contínua em (0, O). (Por qu~?) era existência das derivadas parciais defnum O exemplo anterior ,?ostra-n?s aI.n~a que a m a com osta g (t) := f ('Y (t», on~e 'Y e ~ma POnto (xo, yO) não impli.~a a denvabihdade::n:0 d ). Ntexemplo anterior,fadrrute denvacurva suposta diferenclavel em to e, 'Y ~to) ~áo, {O t := mas a composta g (t) := f( 'Y (t» das parciais em (O, O), 'Y (t) := (t, t) e dlferencl ve em , I'lão é diferenciável em t := O. . ~ . de den'vadas parciais num ponto (xO' YO) . lt que a eXlstencla fu - duma Do que vimos aClm~, re~u a . de diferenciabilidade dado para nçoes ~ não é uma boa generallzaçao do c.onc:'ltod á ' mplicar a continuidade da funçao e a variável real. Uma boa generahzaçao ever 1

°

Derivadas Parciais

f.

diferenciabilidade da co~posta g (t) = ('Y (t)) quando f e 'Y 0 forem, porque é is acontece no- caso de. uma vanável. Veremos no próximo capítulo qual éSo qlle d de funçoes . generalizaçao o conceIto de diferenciabilidade para funções de várias variá' a boa veIS reais.

7. Seja z =

OZ

i

4

a)f(x, y) = 5x 3

x x2

8. Seja cf> :

+ xy3 + 4

b)

z=

cosxy

of x -

j) z = xy eXY

+ 5x2y

g) f(x, y) = (4xy - 3i)3

i) g (x, y)

h)

= J!

l) f(x,y) =

j)

~x3 + y2 + 3

z=

2. Considere a função z =

2xy2 2'

+Y

x ~ ~ ~

oz

=

2f.

oy

ex2 + y2 (2x cos 8

+ 2y sen 8).

Conclua que cos (x 2

oz

+ y2)

-

Verifique que x

!!:.. + Y ox

oz = z. oy

uma função de uma variável real, diferenciável e tal que cf>' (1) = 4. Seja

oz

cos 8

= -

az

+ -

ox

sen 8.

oy

10. Suponha que a função z = z (x, y) admita derivadas parciais em todos os pontos de seu domínio e . dad' - xyz + z3 = x. E xpresse -OZ e -OZ em t ermos de x, y, z. que seja a unp li' cltamente peIa equaçao ox oy

11. Seja z = f(x

og

of

~ =

op

x sen y

g (x, y) = cf> (-;-). Calcule

a) -

(~)

x

arctg y

z = (i + i) In (i + i)

m) Z

(i + i) cf>

9. Sejam z = e x2 + y2 ,x = p cos 8 e y = p sen 8. Verifique que

op

3. Seja cf> :

+y

OX

+ x2 + i)

=

Mostre que

+i + y2

2

=z.

oy

~ ~ ~ uma função diferenciável de uma variável real e sejaf(x, y)

c) z = - - - ' - e) Z = x In (1

OZ

+ -

ox

~

I. Determine as derivadas parciais

y), onde cf> é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que

-

==================================================::

Exerdcios 10.1

ti cf> (x -

183

+ ar) ondefé uma função diferenciável de uma variável real e a uma constante.

Verifique que b)

(l, I)

oy

ox

12. Seja z = f(x 2 -

para todo (x, y) E ~2, com y

og

+Y -

az

oy

z=

"* O.

az

y-+x-=o ax ay . 13 . ConSidere a função dada por w = xy

(x, y) = O

ox

i), ondef(u) é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

4. Seja g (x, y) = cf> (-;-) a função do exercício anterior. Verifique que

og x (x, y) ox

OZ

oz ot

-=a-.

og (1,1)

+ z4 , onde z

.

oz Ix = 1

= z (x, y). Adrruta que -ax y_ I = 4 e que

owlx -- I .

1 para x = 1 e y = 1. Calcule ox

y= 1

x

5. Considere a função dada por z =

x sen oz

oz +y ox oy

x6. A função p = p (V,

op OV

e

que

+

2 of

ax nRT, onde n e R são constaI!-

lS. Sejaf(x, y)

=

16. Sejaf(x, y)

=

op . oT

2 cf> (2y - x), onde cf> é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre

=z.

n é dada implicitamente pela equação p V =

tes não-nulas. Calcule

14. Sejaf(x, y) = e

.:.. Verifique que y

lo

~+?

y2

J x

2

e

- t2

of =-f. oy

ff

ff

e - (2 dto Calcule (x, y) e (x, y). ox oy of

of (x, y) e (x, y). ox oy

dto Calcule -

184

Um Curso de Cálculo -

Voi. 2

17. Sejaf: IR -7 IR uma função diferenciável e seja g (x, y) = f(y) +f (.:.) V . y ' enfique qUe ag x ax 3

18. Sejaf(x, y) = x / _ 6xy

+Y

ag

= yf' (y).

-

ay

z-

+ 4> (y). Determine uma função 4> de modo que af

-

ay

= 2x 3 y

l

24 . Sejaf(x, y) = x 2 + e seja y (t) = (x (t), y (t), z (t» uma curva diferenciável cuja imagem está contida no gráfico de f Suponha, ainda, y (O) = (l, I, 2). Seja T a reta tangente a yem 'Y (O). Mostre que T está contida no plano

- 6x

f(l, 1) = af (1, I)(x - 1) ax

+

af (1,1) (y - I). ay

Interprete geometricamente.

25. Suponha que z = f (x, y) adrrúta derivadas parciais em (xO' YO)· Considere as curvas cujas ima-

+ -yy2 + I .

gens estão contidas no gráfico de f

19. Determine uma funçãof(x, y) tal que

X

YI: {

= xo

Y2:

f(xQ , t)

Z =

= t y=YO z = f(t, YO) X

e

y= t

{

Sejam TI e T2 as retas tangentes a YI e Y2, nos pontos YI (yo) e Y2 (xo), respectivamente. Mostre que a equação do plano determinado pelas retas TI e T2 é

. af af 20. Detenrune - e sendof(x, y) = ax ay

21 Soj'!(x,y)

se (x, y)

"* (O, O)

2xy2

se (x, y) = (O, O)

~ Uh:'-,J

se x 2 se x 2

+ y2 < + y2 ;;;.

26. Sejaf(x, y) =

x2

+ y4

z-

f (O, O)

I I

b) Determine af e af ax ay'

af

= -

(O, O) (x - O)

ax

22. Sejaf: 1R2 -7 IR dada por: f (x, O) = I

+ x 2 f(O "

a) Esboce o gráfico dei

y) = I

+ 2

y e

f( X,

) O y = se x

"* O e y "* O.

af (O, O) e af (O, O). ax ay c)fé contínua em (O, O)? Justifique. af af ri) (O, I) existe? (I, O)? ax ax b) Calcule

e) Qual o domínio de af ? ax 2 23. Seja f(x, y) = x + / e seja y(t) gráfico de I

af

+ -

(O, O) (y - O).

ay

27. Considere a função z = f (x, y) e seja (xo, Yo) E Df Como você definiria plano tangente ao gráfico defno ponto (xO' yO)? Admitindo quefadmita derivadas parciais em (xO' YO), escreva a equação de um plano que você acha que seja um "forte" candidato a plano tangente ao gráfico defno ponto (xO' YO,J(xO' YO»· 28. Dê exemplo de uma funçãof: 1R2 -7 IR tal que af seja contínua em 1R2, mas quefnão seja 2 ay contínua em nenhum ponto de IR . 29. Dizemos que (xO' yO) é um ponto crítico ou estacionário de

=(

(»

..

t, t, Z t ,t E IR, uma curva cUJa Imagem está contida nO

a) Determine z (I). b) Esboce os gráficos defe y. c) Determine a reta tangente a y no ponto (I I 2) ri) Seja T a reta do item c; mostre que T está 'co~tida no plano de equação

f(l, I) =

"* (O, O) e seja Y (t) = (t, t, Z (t», t E IR, uma curva cuja

{ O se (x, y) = (O, O) imagem está no gráfico de I Seja T a reta tangente a y no ponto y (O). Mostre que T não está contida no plano de equação

a) Esboce o gráfico dei

Z -

se (x, y)

~~

(I, I) (x - 1)

+

af (1,1) (y - 1). ay

a f (xo. Yo) ay a)f(x, y) =

z=f

(x, y) se a f (xo, Yo) ax

= Oe

= O. Determine (caso existam) os pontos críticos da função dada.

i

+l 2

c)f(x. y) = x - 2xy e)f(x. y) = 3x2

b)f(x, y)

+ 3l + x

+ 8xy2

- y

- 14x - 16y

= 2x + i

ri) f (x, y) = x

f>f(x, y) = x

3

4

+

i - 3x -

3y

+ 4xy + /

30. Seja (xo. Yo) um ponto de Df Dizemos que (xo. yO) é um ponto de máximo local de f (respectivamente, ponto de mínimo local) se existe uma bola aberta B de centro (xO' yO) tal que. para todo (x. y) E B n Df'f(x. y) ~ f (xo. Yo) (respectivamente.ftx. y) ;;;. f (xo, yo». Prove que se

.LOU

um L-urSO

ae

Uenvaaas l'arClalS L-atCUlO -

(xo' Yo) é um ponto interior de Dfe sefadmite derivadas parciais em (xO' YO), então uma dição necessária para que (xO' yO) seja um ponto de máximo local ou de mínimo local (xO' yO) seja ponto crítico de f, isto é, que qUe

/on.

af - (xo,YO) ax 2

=

°

af (x, y) ax

31. Sejaf: ~ ~ ~ e suponha que que f é constante.

af

-

(xo,YO)

°

af (x, y) ay

e

ay

e -

=

= O. =

(x, y) E A, mas quefnão seja constante em A.

°

af (x, y) = 0, para tOd ay o

e -

(x, y) existe para todo (x, y) E A. Sejam

x

35. Sejaf: A C ~2 ~

=f

(x, Y, z, w) dada por

s = eXYzw

aVe

(xO' yO) e (xO + h, yO) dois pontos de A. Prove que se o segmento de extremidades (xO' YO) e (xO + h, yO) estiver contido em A, então existirá entre xo e xo + h tal que f(xo

jvei s reais. ~l\1l'LO. Calcule as derivadas parciais da função s

g

33. Suponha que, quaisquer que sejam (x, y) e (s, I) em ~2, If(x, y) - f(s, I) I .;; 11 (x, y) - (s, I) 112 Prove que f é constante. .

~2 ~ ~,A aberto, e suponha que :~

forma definem-se as derivadas parciais de uma função de mais de três vari,

o am~s ma

0, para todo (x, y) E ~2. Pr

af (x, y) = ax

2

32. Dê exemplo de uma funçãof: A C ~ ~ ~ tal que -

34. Sejaf: A C

af (x, yo) h. ax

as -

:::=:

ax

a

xyZW

eXYzw (xyzw) = yzw e ax

as _ eXYzw

ãY -

~ (xyzw)

= xzweXYzw

ay

!! :::=: eXYzw - a (xyzw) = xywexyZW az az a = eXYzw - a (xyzw) = xyzexyzw 3..-

(y, z e w são olhadas como constantes).

aw

Exercícios 10.2

=======================================================

1. Calcule as derivadas parciais.

a)f(x, y, z)

2

Y

= x ex-y-z

b)

xyz

d) f (x, y, z) = sen (x

W

= x arcsen -

z

Prove que se a f e a f forem contínuas em (xO' YO), então f também será.

ay

c)w = - - ' - - -

(Sugestão.f(x, y) - f(xo'yo)

=

(x, y) - f(xo, y~


TVM a (1) e (li).)

+ (xo, y) - f(xo, (ih

e) s

= f (x,

y, z, w) dada por s

2. Sejaf(x, y, z) =

10.2. D ERIVADAS P ARCIAIS DE F UNÇÕES DE TRÊS ou MAIS VARIÁ VEIS REAIS

x

x2

+ y2 + z2

2

2

f

af

af

af

ax

ay

az

+ LU, YO,

af ( ) _ lim f(xo, YO ay xo, Yo, Zo - tJ.y -7 O

+ 6.y,

af ( ) _ lim f(xo, YO, 20 a z xo' YO, Zo - tJ.z -7 O

w.

as

+ Y-

as

ay

az

g (x,

LU

6.z

f(xo, YO, zo)

+

as W -

aw

= O.

4. Sejaf: ~ ~ ~ contínua comf(3) = 4. Seja x

+ 6.z) -

Verifique que

+ z-

az

zO) - f(xo, Yo, zo) zo) - f(xo, Yo, zo) 6.y

-f·

=

Z

(x, y, z, w) dada por s = e y

ax

lo

2

. Ven'filque que

x

3. Seja s =

as

De modo análogo, definem-se as derivadas parciais a f (xo, Yo, zo) e a f (Xo, Yo, zo). Tem-se: af ( ) lim f(xo ax xo' Yo, Zo = t.x -7 O

2

x-

ay

+ y2 + z2)

= xw In (x + Y + Z + w )

x- + y- + z-

af awl (xo, yO' zo) ou x = xo . ax axy=yo

z=

2

x+y+z yO~; aplique o

. Sejam w = f (x, y, z) e (xo, yo' zo) E Df Mantendo-se Yo e lo constantes, podemos .co nsIderar para função g (x) = f (x, Yo, zo). A derivada desta função, em x = xo (caso eXlsta), denomina-se derivada parcial de f em relação a x no ponto (xO' Yo, 20) e indica-se por

-

aw

+ h, Yo) - f (xo, yo) = -

R A aberto, e suponha quefadmite derivadas parciais emA. Seja (xO' yo) E A.

ax

.I. o 7

Vol. 2

y, z) = Io

+ y2 + z4 f(l) dI.

Calcule: a) ag (1, 1, 1)

ax

ag b) (1, 1, 1)

ay

ag

c) -

az

(1, 1, 1)

VfI,. \""U,/.)V

ue

L-UtLUtU -

valo L

5. Sejaf: IR ~ IR diferenciável e seja g dada por g (x y z) = f() d _ 11 ( que ' , r on e r x, y, z) li. Venfi

lque

ag ag ag + y - + z - = rf'(r) ax ay az Seja cp : IR ~ IR uma função diferenciável tal que cp' (3) = 4 S

11

x-

6.

Calcule:

aI?

a) -

ax

'

(

. eJag x, y, z)

(I, I, I)

b)

ag ay

(I, I, I)

= cp

ag (1 1 az "

c) -

(x

2

1)

+i +

2 <).

--

FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS

11.1. F UNÇÃO D IFERENCIÁVEL:

DEFINIÇÃO

o objetivo desta seção é estender para funções de duas variáveis reais o conceito de diferenciabilidade dado para funções de uma variável real. Vimos que, por definição, uma função f (x) é diferenciável ou derivável em Xo se e so- 'mcrementa I f(xo + h) - f(xo) eXlstlf .. · · quan do h ten de a zero, da razao mente se o Iurnte, . h e for finito . Esta forma não é adequada para generalização, pois seffor uma função de duas variáveis reais h será um par ordenado e, então, a razão incremental não terá sentido. Nossa tarefa a seguir é a de tentar obter uma forma equivalente à definição de diferenciabilidade e que seja passível de generalização. Supondo f (x) diferenciável em xo, existe um real a, a = f' (xo), tal que lim f(xo

+ h) -

h~O

f(xo) = a.

h

Temos: lim f(xo + h) - f(xo) = a h

h~O

Ç:::}

lim f(xo + h) - f(xo) - ah = O. h

h~O

Como

G (h) G (h) · - = O Ç:::} I'1m - = O (ven'filque) I1m h h~O Ihl

h~O

resulta tim h~O

f(xo

+ h) h

f(xo) = a

Ç:::}

tirn f(xo h~O

+ h) -

f(xo) - ah = O.

Ihl

r unçoes ulJerenc:tuvet> vru L.ur;)u

ae

VOl. L

L.aLCUlO -

. . () tão f admitirá derivadas trar agora, que seffor diferencIável em xo' Yo ' en v amos mos, .ais em (xo' Yo) e pareI ()j L (h, k) = ~ (XO, YO) h + dy (xo, YO) k

Portanto, f é diferenciável em Xo se e somente se existir um real a tal que lim f(xo

+ h) - f(xo) -

~st~os,

ah = O.

Ihl

h--70

agora, em condições de defInir diferenciabilidades para funções de duas vari.

ávels reaIs.

" transformação linear que goza da propriedade umca será a f (xo

Definição. Sejamf: A ---7 R A aberto de ~2, e (xO, YO) E A. Dizemos que f é diferenciáveL em (xO, YO) se e somente se existirem reais a e b tais que lim

f(xo

+ h, Yo + k) -

f (xo, YO) -

!

(xo, YO) h -

*

(xo, YO) k = O.

II (h, k) II

lim

(It, k) ~ (O, O)

SeJ'af: A C ~2 ---7~, A aberto, e seja (xO' Yo) E A. Seffor diferenciTeorema 2 . ., t to então f admitirá derivadas parCIaIs nes e pon . áve1 em (xo, Yo ) '

f(xo, YO) - ah - bk = O.

II (h, k) 11

(h, k) --7 (O, O)

+ h, YO + k) -

o próximo teorema nos diz que diferenciabilidade implica continuidade.

Demonstração

Sendof(x, y) diferenciável em (xO' Yo), existem reais a e b tais que Teorema 1. Seffor diferenciável em (xO, YO), entãofserá contínua em (xO, YO).

Demonstração

onde E (h, k)

tim

E (h, k)

(h, k) --7 (O, O)

11 (h, k) 11

= f(xo + h, Yo + k)

- f (xo, Yo) - ah - bk. Segue de CD que

Sendof(x, y) diferenciável em (xO' yo), existem reais a e b tais que E (h O) ' 11 (h, O) II

lim (h, k) --7 (O, O)

E (h, k) = O (h, k) --7 (O, O) II (h, k) II

lim

=O

. f(xo hm

=

+ h, YO) -

f(xo, YO) - ah = O.

Ih I

h --7 O

Daí onde E (h, k) é a função dada por f(xo

+ h, Yo + k)

=

f (xo, yo)

+ ah + bk + E (h,

+ h, YO) -

. f (xo hm

k).

h--70

Como

f (xo, YO) - ah

=O

h

e, portanto, lim

(ah

+ bk) = O

f (xo . 1Im

(h, k) --7 (O, O)

+ h, YO) -

e lim

E (h, k) =

(h, k) --7 (O, O)

De modo análogo, obtém-se b =

tim

11 (h, k) 11. E (h, k) = O (h, k) --7 (O, O) 11 (h, k) 11

f (xo, YO) = a = ()j (xo, Yo)·

h

h--70

(]x

•

~ (xo, Yo)·

Observação. Provamos acima que se

resulta lim

(li, k)

--7

(O, O)

Logo,f é contínua em (xo, Yo).

f (xo

+ h, YO + k) = f(xo,

YO)·

f(xo lim li

(h, k) --7 (O, O)

+ h, YO + k) -

f(xo, YO) - ah - bk = O II (h, k)1I

.L7~

um curso ae

l-atCULO -

Vol.

L

então teremos necessariamente a = (#' (xO, yo) e b = (#' (XO, yo)· Deste modo, sef(

dy

(]x

tfO

dy

2

lado, para todo (x, y) em IR ,

x, y)

for diferenciável em (x!} YO), então a = (#' (XO, YO) e b = (#' (XO, yO) serão os único

dx

por oU

s reajg

=

Corolário. Sejaf(x, y) definida no aberto A C 1R2 e seja (xo, yo) E A. Tem-se:

f

l

a) diferenciável em (xo, yo) ~ b)

( E (h, k)

=f

(xo

+ h, yo + k) -

Corno, para (h, k)

f (xo, yO) -

!

(xO' yO) h -

E (h, k) _ lim (h, k)

%(xO, YO) k)

~ (O, O) r

=

(h, k)

tim

II ([h' k ~ 11

2xyh - x k =

.,;; 1, resulta

*- (O, O), ~h2 + k 2

f

admite derivadas parciais em (XO, yo); lim E (h, k) = O. (h, k) -HO, O) 11 (h, k) 11

+ h)2 (y + k) - x 2 y 2xhk + h 2 y + h 2 k. Ih I

2xhk

2 rA'/

k

h2

:

+ hy

-,\

+

~2

_~~~_~~_~ (O, O)

~\o, O) T ()

(x, y) k

2

= (x

para os quais o limite acima é zero. Segue do teorema 2 o seguinte importante

Z

~ (x, y)h -

E (h, k) = f (x + h, y + k) - f (x, y) -

+ k 2 ,,1

2 h y

+

2 h k -

2

-

+k

~h2 + k 2

h

+ hk

~h2 + k 2

1 = O.

limi tadà", - _____ - - -'

Observações

portanto,fé diferenciável em todo (x, y) de 1R2, ou seja,fé uma função diferenciável.

1. Segue do corolário acima que para provar que uma função f é diferenciável em (xo, Yo) é suficiente provar que f admite derivadas parciais em (xO, yO) e que

EXEMPLO 2.

f (xo

+ h,

yO

+ k) -

lim

(h, k) ~ (O, O)

f (xo, YO) -

(#'

7);

(xo, YO) h -

éJj

JY (xo, YO) k

2xy2

f(x,y)= __ O.

II (h, k) II

{

t+

y4

3. Se ambas as derivadas parciais existirem em (xo, YO), mas se o limite acima não for zero, entãofnão será diferenciável em (xO, yo). 4. Sefnão for contínua em (xo, yo), entãofnão será diferenciável em (xo, yo).

se (x, y) = (0,0)

Solução

fnão é contínua em (O, O); logo,fnão é diferenciável em (O, O). Para a nãO~c?ntinuidade de fem (O, O), veja Exercício 2, Seção 9.1. Observe quefadmite derivadas parCiaIS em (0, O). •

EXEMPLO 3. x3

Dizemos quefé diferenciável em BC Dfseffor diferenciável em todo (x, y) E B. Diremos, simplesmente, quefé umajUnção diferenciável seffor diferenciável em todo ponto de seu domínio. 2

= x y

*- (O, O)

é diferenciável em (O, O)? Justifique.

2. Se uma das derivadas parciais não existir em (xo, YO), então f não será diferenciável neste ponto.

EXEMPLO 1. Prove quef(x, y)

se (x, y)

é uma função diferenciável.

f

(x, y) =

{

~2

+ y2

se (x, y)

*- (O, O)

se (x, y) = (O, O)

é diferenciável em (O, O)? Justifique. Solução

Solução

Precisamos provar quefé diferenciável em todo (x, y) E 1R2 (Df = 1R2).fadmite derivadas parciais em todo (x, y) E 1R2 e

~

(x, y)

= 2xy e

~

(x, y)

•

= x 2.

;y: _Vj

(O O)

dx'

éJj (0, O) dy

= =

Iim

f

x~o

lim y~O

f

(x O) -

'

f

x-O

(O, y) -

f

y-O

(O, O)

=

(O, O) =

. x hm x~o x

o.

= 1.

......• .. Y"" ....... -"':} ........... ... _ .. _. _ .....

Temos

2 UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA DIFERENCIABILIDADE

E (h, k) = 1(0

°

+ h, + k) -

!

1 (0, O) -

(0, O) h -

11. .

%

So objetivo, nesta seção, é demonstrar que a continuidade em A, A aberto, das deri-

(0, O) k

]'los arciais de uma função 1garante a diferenciabilidade destalunção em todos os pon-

vadas ~. Este resultado é bastante importante, pois, em muitas ocasiões, é mais fácil verificar a h3 ou seja, E (h, k) = h 2 + k 2 - h. Segue que

lOS

Teorema. Sejamf A C ~2 ~ R A aberto, e (xo, Yo) E A. Se as derivadas parciais

- hk 2 11

+ k2 ~h2 + k 2

(h, k) 11

Como lim G (t, t) t~O

=

lim

t~02

I 2 (h + k ) -V h 2

2

+

k2

= G (h, k).

lim

E (h, k)

logo,fnão é diferenciável em (0, O).

(x , y) ~(O, O)

Como A é aberto, existe uma bola aberta B de centro (xo, yo), contida em A. Sejam h e k tais que (xo + h, Yo + k) E B. Temos

•

Observação. Como I(x,y)=

(xO' YO), então 1 será diferenciá-

Demonstração

não existe;

lI(h,k)1I

%existirem em A e forem contínuas no ponto

vel neste ponto.

t :/-i21tl não existe resulta que '

(h,k)~(O,O)

lim

~e

h2

E (h, k)

~e uidade das derivadas parciais do que a diferenciabilidade diretamente pela definição.

co nun

lim

(x, y) ~(O, O)

o .······i --x \:=0=/(0 O) \ ,x2 + y~ : '

Yo . + k

/ (

..

-y-----;'

..

~, ~----_ '

limitada

resulta que/é c~ntí~ua em (~',O). Assim,fé contínua em (O, O), admite derivadas parciais em (0, O), mas nao e dlferenclavel em (0, O). Exercícios 11.1

====================================================

1. Prove que as funções dadas são diferenciáveis. a)f(x, y)

= xy

b)f(x, y) = x

c)f(x, y)

= x 2i

d)f(x, y) = -

1 (xo

+Y

+ h,

Yo

+ k) -

1 (xO, YO)

=!

(xO

+!

1

+ h,

Yo

(xo, Yo

+

xy

c)f(x, y) =

x4 x2

+ y2

1 (xo, Yo

(Í) k) - 1 (xo, YO);

(iÍ)

i

e)f(x, y) = _1_ f) f (x, y) = x 2 + x+y 2. fé diferenciável em (O, O)? Justifique. x2 _ y2 a)f(x, y) = 2 + 2 se (x, y) =F (O, O) ef(O, O) = x Y x 2y b)f(x, y) = 2 2 se (x, y) =F (O, O) ef(O, O) = x +Y

+ k) -

Fazendo G (x)

o.

o.

se (x, y) =F (O, O) ef(O, O) = O.

= 1 (x, Yo + k), (I) = G (xo

pelo TVM existe i, entre xo e xo

+ h) -

G (xo) = G' (i) h =

Do mesmo modo, existe y entre Yo e Yo (11) =

+ k tal que

%

(xo,

y)

k.

!

+ h tal que

(i, Yo

+ k) h.

+ k~

cl\'fPLO l.f(x, y) = sen (x2

Assim,

+ l) é diferenciável em 1R2. pois,

E~P

f (xo

+ h, Yo + k) - f (xo, Yo)

= :

(i, Yo

Subtraindo a ambos os membros da igualdade acima mos:

+ k) h +

%(XO, y)

a.r (xo, Yo ) h + Jx

a.r .::J.. uy

k.

(xo, Yo) k b o te.

f(xo +h,yo +k)- f(xo,Yo)- Jx a.r (xO,YO)h- dy a.r (x 0, YO )k

=[ ~(i,YO

+k)-

2

_ contínuas em IR . • sao b ervação. O teorema anterior conta-nos que se f admite derivadas parciais em A e se O 55 são contínuas no ponto (xo, Yo), então f será diferenciável em (xO' Yo)· A recíproca, e ~etanto, não é verdadeira: existem funções que são diferenciáveis num ponto sem que as ~~rivadas parciais sejam contínuas neste ponto. O exemplo seguinte exibe-nos uma tal função.

~ (XO,YO)]h+[ ~ (XO,y)- ~ (XO,YO)]k.

(X2 EXEMPLO 2. Sejaf(x, y) = {

Segue que

f(xo +h,yo +k)- f(xo,yo)-!(XO,Yo)h-~(XO,yo)k

se (x, y) 1= (O, O) se (x, y) = (O, O)

. a.r a.r

~

II(h,k)1I

°

+ y2) sen _ _1_ 2 x + y2

Jx e dy'

a) Deterrmne

b) Mostre que

~

e

~

não são contínuas em (0, O).

c) Prove quefé diferenciável em (O, O). d) Prove que f é uma função diferenciável.

Solução

df

a) _

Pela continuidade de

(O, O)

=

Jx

a.r e a.r Jx dy em (xO, YO )' as expressões (llI) e (IV) tendem a zero, quando

lirn

f

(x, O) -

f

x-o

x-tO

=

(O, O)

lim

x

2

1 sen 2 x

x-tO

,ou seja

X

(h, k) ~ (O, O), e, portanto,

lim (h. k)

f (xo

+ h, YO + k) -

f (XO, YO) -

-HO. O)

f

(xo, YO) h-*" (xo, YO) k limitada

= O;

11 (h, k) II

De modo análogo,

•

logo.! é diferenciável em (xo, Yo).

Sejaf(x, y) uma função. Dizemos quefé de classe

d

no aberto A se

a.r e a.r Jx

contínuas em A. Segue do teorema anterior o seguinte

a.r

dy

°

d

em A, então f será

= O. 1

Assim,

x 2 + y2

-

x

2

2x

+ y2

cos ~_1---=- se (x, y) 1= (0, O) 2 x + y2 se (x, y) = (O, O)

e

df Corolário. Sejaf' diferenciável em Á.A C 1R2 ~ IR ' A aberto. Se f for de classe

(O, O)

{2X sen

Jx (x, y) =

forem

~

Jx (x, y) =

{2y sen 2 1 -

°

x

+ y2

x

2

2x

+ y2

1-

cos-se(x,y)1=(O,O) 2 x + y2 se (x, y) = (0, O)

b) I~O lim

a.r dx

(t, t)

não existe. (Verifique.) Logo, dx a.r não é contínua em (O, O).

6J11 De modo análogo, verifica-se que

a.r

(0, O),

não é contínua em (0, O).

êJy

c) f(O + h, 0+ k) - f(O, O) 11

-!

(0, O)h-

*

(0, O)k

(h, k) 11 oU

seja,

o

Como

lim O) (h, kh(O,

Jj}471k ,'s'~~'--~--r--;\ h +k / 2

\

'''''~

lim

(x,y) ~ (O, O)

= 0, resulta que f é diferenciável em (0, O).

df

dx

(x,y) =

°

=

~

(O, O);

--,i'

limitada

cf) f é diferenciável em todo (x, y) =I- (0, O), pois,

!

e

%são contínuas em

Jj :Ji: é contInua , ."l.. é contínua em (0, O). em (O , O) . De modo análogo, prova-se que u.y logo, _uJ_ dx

todo

(x, y) =I- (0, O).

Conclusão. fé uma função diferenciável em todo (x, y) E Df (Df = 1R2).

•

2 df e Jj Da continuidade de dx êJy em 1R2 , segue quefé diferenciável em IR .

•

Observação. Para todo (x, y) =I- (O, O), temos:

EXEMPLO 3. Verifique quef(x, y)

;2 +

x4

=

y2 se (x, y) =I- (0, O)

{

se (x, y) = (O, O)

é uma função diferenciável.

e

Solução

-é!f (x, y) =

e

ax a.r (x, y ) -êJy

2X 5 +4x3y2 {

{

(x2

°

+ y2)2

se (x, y) =I- (0, O) se (x,y)=(O,O)

-2x4y =I- (0, O) (x 2 + Y 2 ) 2 se (x, y) _

°

se (x, y) - (O, O).

Exercícios 11.2

=========================

1. Verifique que a função dada é diferenciável. a)f(x, y)

=

c)f(x, y)

= x 2Y

eX- y2

e)f(x, y) = xcos (x2

b)f(x, y) = x

4

+ Y3

d)f(x, y) = In (1

f) f (x, y)

+ y2)

=

+ x 2 + Y2 )

arctg xy

.

2. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Jusufique.

Vamos mostrar que Jj e Jj são contínuas em 1R2; Jj e Jj são contínuas em todo dx êJy dx êJy (x, y) =I- (0, O), pois são quocientes de contínuas.

a)f(x, y) =

l

*"

-xy- se (x, y) (0,0) x 2 + y2 O se (x, y) = (O, O)

rurtçue.l UIJe/t;rt.l-LUvel..)

lim

,) ~ (Xo, Yo)

e',.1

E (x,y) II(x, y) - (xo, yo) 1I

=

~v ....

o) .

Definição. Seja/ diferenciável no ponto (xo. yo). O plano

--

11.3. PLANO TANGENTE E RETA NORMAL

.

Fazendo x = xo

lim

/ (xo

+ h, Yo + k) -

/(xo, Yo) -

~ (xo, Yo)h - df (xo

~

~'

//(h, k) //

+ heY =

YO

Observe que só defrnimos plano tangente em (xo, Yo,f(xo, Yo» se/for diferenciável em (x, Yo)' Se/não for diferenciável em (xo, yo), mas admitir derivadas parciais neste ponto,

enOtão o plano
Sendo/ex, y) diferenciável em (xo, Yo), temos:

~ (h, kH(O, O)

denomina-se plano tangente ao gráfrco de/no ponto (xO, Yo,f(xo, YO»·

Yo)k =

o.

(Z

(XO, YO),

~ (XO, YO), -

1) .[(x, Y, z) - (xo. Yo, /(xo. YO))]

=

o.

+ k, resulta

/ (x, y) - /(xo, YO) -

(X'Y)~(Xo,Yo)

-!

(xo, Yo) (x - xo) -

//(x,y)

f

Segue que o plano tangente em (xo, Yo,f (xo, Yo» é perpendicular à direção do vetor

(Z

(xo, Yo)(y - Yo)

(XO,YO)//

=0.

Seja E (x, y) o erro que se comete na aproximação de/ex, y) por

(xo, Yo),

~ (xo, YO). - 1).

A reta que passa pelo ponto (xO. Yo,f(xO, YO» e é paralela ao vetor@ denomina-se reta normal ao gráfrco de / no ponto (xO, Yo,f (xO. YO». A equação de tal reta é:

Assim, / (x, Y) = T (x, y)

+E

(x, Y)

onde lim (x,yH(xo,yo)

E(x,y) =0 //(x,y)-(XO,Yo)// .

Do que vimos na Seção 11 1 (ve' a també E ' . é a única função afrm que ap~oxi~a'f( )m, o xerClCIO 15 desta seção), resulta que T(x, y) x, Y com erro E (x, Y) que tende a zero mais rapida-

me~te qu~ II(x, y) - (xO, YO)II, quando (x, y) tende a (xo, Yo). ( Dizer que E (x, y) tende a zero maiS rapidamente que li (x y) - (x ) li d O' Yo ' quan o (x, y) tende a (xo, Yo), signifrca que ' x

y

~V~

um !..-urso ae CalCUlo -

Vol. 2 J- unçoes

u/JerenClUVetS

MVJ

2

EXEMPLO 1. Sejaf(x, y) = 3x y - x. Determine as equações do plano tangente e da r nonnal do ponto (1, 2,j(1, 2)). eta Solução Plano tangente

!

z - f(1, 2) =

(1,2) (x - 1)

+

Z

(1,2) (y - 2)

lim G(O, t) = O

f O, 2) = 5

!

(x, y)

%(x,

y)

t~O

= 6xy 2

= 3x

1

~

e

!

(1, 2) = 11

1 lim G(t, t) = 2 "'2 . t~O + -v L.

~ %(1, 2) = 3. Assim,

A equação do plano tangente é

f

f (O + h, O + k) - f(O, O) -

I

z - 5

= 11 (x

-

1)

+ 3 (y

lim

f

(O, O)k

II(h, k)11

(h, kH(O , O)

- 2)./

(O, O) h -

não existe, 10go,fnão é diferenciável em (O, O); portanto,fnão admite plano tangente no ponto (O, 0./(0, O». Observe que o plano

Reta normal

(x, y, z) = (1, 2,j(1, 2»

+À

(!

(1,2),

Z

(1,2), -

1)

À E

IR.

f

z-

ou seja,

(O, O) =

!

(O, O) (x - O)

+

%(O, O) (y -

O)

ou seja, (x, y, z) = (1,2,5)

+ À (lI, 3,

xy2 y2

EXEMPLO 2. Sejaf(x, y) = {

;2 +

se (x, y)

:j;.

- 1), À E IR.

•

z=O não contém a reta tangente à curva y (t) = (t, t, f(t, t» no P?nto y (O) = (0,0./(0, O». De fato, a reta tangente a y no ponto (O, 0./(0, O» = (O, O, O) e:

(O, O) (x, y, z) = (O, O, O)

se (x, y) = (O, O). Mostre que o gráfico defnão admite plano tangente em (O, O,j(O, O».

Solução

!

(O, O) = O e

Z

(O, O) = O. (Verifique.)

(1, 1, ±).

que, evidentemente, não está contida no plano z = O. Exercícios 11.3

De acordo com a definição, para que f admita plano tangente no ponto (O, O,f (O, 0»'/ deve ser diferenciável em (O, O). Se provarmos que f é não diferenciável em (O, O), seguirá quefnão admite plano tangente no ponto dado. Temos:

+À

À

E [ffi

•

=================================================

1. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto

dado. a)f(x, y) = 2x2y em (I, l,f(l, 1». 2 b)f(x, y) = x + em (O, 1,f(O, 1».

l

c)f(x, y) = 3x3y - xy d)f(x, y)

=

em (1, -I,f(l, -1).

xe x2 - y2 em (2, 2,f(2, 2».

r unçoes UtH

,-,U,.,U

ue t....,ULCUlO -

VOl. L

/(x, y)

(2,~, /

e)/(x, y) = arctg (X - 2y) em f)/(x, y)

= xy em

(2,

~))-

(~,~,f (~, ~)}

5. 2x

+ Y é a equação do plano tangente ao gráfico de/ex,

(1, I)e

at dy

y) no ponto (1, 1,3). Calcule

Z

%(1, 1).

6. Considere a função/ex, y) = x

7. Considere a função/ex, y) =

---

(~) onde 4> (u) é uma função derivável de uma variável.

4>

2

x3

+y

x

2 .

(x.' y.)

lI(x, y) -

xo, yo

(xo, yO) e c == /(XO, yo)·

L (h, k) =

. . t que L (h k) é a única transformação linear de 1R2 em IR Segue, do que vlmo~ a~tenormen e, , que aproxima o acreSClmo

i

i

2

.

Jf

2

+ x2 + i

e que contenham o eixo x·

-i),

x: + <+ z~ ==

a

+

ZoZ -2-

k).

L (h, k)

lim (h, k) -HO, O)

E (h, k) lI(h, k)11

= O.

. - lin L dada por'1' denomina-se diferencial de f em (xo, Yo)· POiS bem, a transformaçao ear, \.!..I, Jf Jf ( ) (y - Y ) Sabemos que o Seja T (x, y) = f (x\) Yo) + (xO' Yo) (x - xo) + ()y xo, Yo O. ) f(x yo) Fazendo x = Xo + h gráfico de T é o plano tangente ao gráfico de f no ponto (Cxo, Yo ' () .

b

c

ey == Yo

+ k,

vem:

T (xo 1.

+ h, YO + k) - f (xo, YO) =

!

(xo, Yo)h

+

!

(xo,

Yo)k~

L (h, k)

O == 1 é a equação do plano tangente no ponto (x!} yO, lo), lo #' .

c b 15. Seja z = /(x, y) diferenciável em (x!} yo). Seja S a função afim dada por

+ b (y

+ E (h,

ax

13. Considere a função/ex, y) = xg (x onde g (u) é uma função derivável de uma variável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de/no ponto (a, a.f(a, a» passa pela origem.

yoY -2

y) k

Com

O.

14. A função z = z (x, y) é diferenciável e dada implicitamente pela equação

,

-i. Mostre que

2 x def.

a) Expresse Vem função de a e b.

12. Determine os planos tangentes ao gráfico de/ex, y) = 2

"

()y xo, o,

e que contenham a

-i.

oV (a, b) = O e oV a;; ob (a, b) =

11 (h k) 11 quando (h k) tende a (O, O).

) h + Jf (

f(xo+h,Yo+k)-f(xo,yo)=J;(xO,YO

11. Considere a função/ex, y) = I - x Seja a o plano tangente ao gráfico de/no ponto 2 2 2 2 (a, b, I - a - b ), com a > O, b > O e a + b < I. Seja Vo volume do tetraedro detenninado por a e pelos planos coordenados.

b) Determine a e b para que se tenha

+ h, Yo + k) - f (xo, Yo)

com erro E (h, k) que tende a zero mais rapldamente que

/(x,y) =i+xy.

9. Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de/ex, y) = x + interseção dos planos x + y + z = 3 e z = O. 2 10. j3 é um plano tangente aos gráficos de/ex, y) = 2 + x + e g (x, y) = 2 2 a + b = 1, sendo (a, b.f(a, b» o ponto em que j3 tangencia o gráfico

~ (XO, yo) h + ~ (XO, YO) k.

Isto é,

z = 2x + 3y e tangente ao gráfico de 2

_

f(xo

Mostre que os planos tangentes ao gráfico de/pas-

8. Determine o plano que seja paralelo ao plano

S (x, y) = a (x - xO)

== O

()II'

A'

CD

sam pela origem.

+

~

_ at ( y) b == at ax xo, o' (}y

Mostre que os planos tangentes ao gráfico de/passam pela origem.

a

y)

. f C ) diferenciável em (x() Yo) e consideremos a transformação linear (transformaçao 2 fTl) d Seja x, Y de função) L : IR ~ ~ da a por éSUlommo

y) no ponto (1, 1, 1).

b) Determine a equação da reta normal no ponto (1,1, I).

xox Mostre que -2-

tim

conclua que a -

•

(1, 1) e

+ E (x,

11.4. DIFERENCIAL

(I, I).

+ Y + 3z = 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de/ex,

a) Calcule

i.

y)

E (x, y) (x, y)

3. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + ye tangente ao gráfico de/ex, y) == x 2 +

at éJx

== S (x,

com

2. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (-1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfi de/ex, y) = xy. lCO

4. z = 2x

ulJerefll.; u.lv,"1>

- Yo)

+ c. Suponha que

Segue que L (h. k) é a variação que sofre T, quando se passa do ponto (xo, Yo), ao ponto

(xo

+ h, Yo + k).

~uo

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2 r

Por outro lado f(x + h y + k) -f( ) 'a (x + h y + TO: O Xo> yo é a vanaçao em/, quando se passa de ( O 'O . emos. xo>y

k)

f (xo + h, Yo + k)

- f (xo, Yo);:::

!

(xo, yo)h

+

Muitas vezes, referir-nos-emos a

a.r (xo yo)h + Jy a.r (Xo,)Yok dx'

O)

!

(x,y) dx

+

2. Seja z = xe a) Calcule um valor aproximado para a variação ~z em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 ey = I,~2. b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1,0 I e y = 1,002. 3. Seja z =

k e . .

como a dIferencial d em (xo, Yo), relativa aos acréscimos h e k. ef . Consideremos, agor~, a função diferenciável z = f(x, y). Em notação clássica . Clal de/, em (x, y), relatIva aos acréscimos dx e dy é indicada por dz (ou por dj); a dlferen_ dz =

uLjel eru.. ,uvet"

x2 _y2

%(xo, yo)k

sendo a aproximação tanto melhor quanto menores forem os módulos de h

ufl.çue~

.rx + ifY .

a) Calcule a diferencial de z no ponto (1, 8). b) Calcule um valor aproXImado para z, correspondente a x = 1,0 I e y = 7,9.

c) Calcule um valor aproximado para a variação para x = 0,9 e y = 8,01.

~z

em z, quando se passa de x = I e y = 8

4. Calcule um valor aproximado para a variação M na área de um retângulo quando os lados variam de x = 2 m e Y' = 3 m para x = 2,01 m e y = 2,97 m. 5. Uma caixa de forma cilíndrica é feita com um material de espessura 0,03 m. As medidas internas são: altura 2 m e raio da base I m. A caixa é sem tampa. Calcule um valor aproximado para o volume do material utilizado na caixa.

%(x,y)dy.

Rv

2

No ~ue se segue, referir-nos-emos a @ simplesmente como a diferencial de z _ O slmbolo Âz será usado para representar a variação em/, qua d d- f(x, y). (x + dx, y + dy): ' n o se passa e (x, y) a Âz = f(x

R = 10 ohms, calcule um valor aproximado para a variação ~P em P, quando V decresce 0,2

volt e R aumenta de 0,0 I ohm.

9. Um dos catetos de um triângulo retângulo é x = 3 cm e o outro, y = 4 cm. Calcule um valor aproximado para a variação ~ na hipotenusa z, quando x aumenta 0,01 cm e y decresce 0,1 cm.

sendo a aproximação tanto melhor quanto menores forem os módulos de dx e dy.

EXEMPLO. Seja z

10. Defina diferencial de uma função de três variáveis.

= x2y.

11. Calcule a diferencial.

a) Calcule a diferencial.

a) w

b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação Âz em z quando se passa de x = 1 e y = 2 para x = 1,02 e y = 2,01. ' c) Calcule o erro cometido na aproximação acima.

Solução

= xyz

2xy e

%= x

2

; assim,

dz

= 2xy dx + x 2 dy.

Exercícios 11.4

+ 2v -

t

2

c) w

x2

+

y2

= --"-1 + Z2

~ (O, 01)2 + (3,02)2 + (3,97)2

+ x 2 dy.

====================================================:::::

= x 3l

c) z = sen xy

T = In (l

+ p2 + v 2)

V f(xo, YO)

•

b) z = x arctg (x d) u = é 2 _/2

f>

x

= arcsen uv

+ 2y)

= ( Of OX

of ) (xo, yo), oy (xo, YO)

~enOmina-se gradiente de f em (xo> yo). Outra notação usada para o gradiente de f em (x(p yO) e: gradf(x(p YO). Geometricamente, interpretaremos Vf(x(p Yo) como um vetor aplicado no POnto (x(p yo).

EXEMPLO. Sejaf(x, y) = x 2 +

1. Calcule a diferencial.

e)

e 2u

Seja z = f (x, y) uma função que admite derivadas parciais em (xo> yo). O vetor

- (x + dx~ (y + dy) - x y = (1,02)2 (1,01) - 2 = 0,091204 (valor exato) erro cometIdo na avaliação acima é 0,001204. .

a) Z

=

12. Calcule aproximadamente

Fazen~o x = 1, Y2 = 2, dx = O,Or e dy = 0,01 resulta Âz ;::: 0,09.

~z

b) x

11.5. O VETOR GRADIENTE

b) Âz ;::: dz ou Âz ;::: 2xy dx

c)

watts. Se V = 100 volts e

8. Calcule aproximadamente (1,01)2,03.

Âz;::: dz

!=

=

7. A altura de um cone é h = 20 cm e o raio da base r = 12 cm. Calcule um valor aproximado para a variação ~ V no volume quando h aumenta 2 mm e r decresce I mm.

+ dx, y + dy) - f (x, y).

Assim,

a)

6. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P

i. Calcule Vf(1, 1) e represente-o geometricamente.

SolUÇão

\7 f(x,y)

=

(Of (x, y), of (x, y») = (2x, 2y). Assim, OX oy

VIII. ...... UI.)(J

ue ,-,UtCUlO -

VOl. L

~

V / (1, 1) = (2, 2) = 2 i

~

+2j .

. os que sef(x) for função de variável real e diferenciável em xo' então Já VIIll f(x) = f (xo)

y

___

~(1,

lim

1)

I

x

•

Suponhamos, agora, quef(x, y) seja diferenciável em (x(p YO). Temos:

Z

(xo, yo)(x - xo) +

(xo) (x - xo)

E(x)

=

+ E (x)

O.

X~Xo Ix-xol

,,

f (x, y) = f (xo, yo) +

+ f'

%

(xo, yo)(y - YO) + E(x, y)

5 dof(x, y) diferenciável em (x(p Yo), nada mais natural, então, do que definir a derivada d;jem (x(p Yo) por:!, (x(p Yo) = V f (xo, Yo) . Assim, a derivada de f(x, y) em (xo, Yo) é o gradiente def em (x(p yo)· Mais adiante, destacaremos as principais propriedades do vetor gradiente. Exercícios 11.5

============================

1. Calcule V f (x, y) sendof(x, y) =

com

2

a) x y

E (x, y) (XO,YO) 11

lim

=O

(x,Y)~(xo,Yo) 11 (x, y) -

x

x y

cf) arctg-

c) -

y

.

2. Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule V f (x, y, z) sendof(x, y, z)

Tendo em vista a igualdade

a)

~x2+y2+z2

cf)

dj dj dx (xo, YO) (x - xO) + Jy (xO, YO) (y - YO) = Vf (xO, YO)· [(x, y) - (xo, Yo)] 3. Sejaf(x, y) = x

resulta

b)x2 +l +i

2

b)(-I,I) cf) (1, -1)

4. Seja/ex, y) = arctg ~. Represente geometricamente V f (xo, YO), sendo (xO' yO) um ponto da y

. nferencla CIrCU

com

A

lim (x,yH(xo,yo)

E(x, y) l/(x,Y)-(XO,Yo)1/

=O .

Fazendo X = (x, y) e X o = (xO' YO) teremos:

com

. )1m

E(X)

X ~xo 1/ X

•

x 2+ y2 = I .

i

5. Seja / (x, y) = x 2 + e seja -y (t) = (x (t), y (t» uma curva diferenciável cuja imagem está contida na curva de nível f (x, y) = I, isto é, para todo f no domínio de -y,/(x (t), y (t» = I (dê exemplo de uma tal curva). Seja -y (to) = (xo, YO)· Prove que -y' (tO) ' V f (xo, Yo) = O. Interprete geometricamente. (Sugestão: para todo t no domínio de -y, (x (t»2

f (X) = f (Xo ) + Vf (Xo)' (X - Xo)

- Xo 1/

+ E (X)

i

.

+ (y (t»2 =

1; derive em relação a t e faça t

= to.)

6. Sejaf(x, y, z) = x 2 + + i e seja -y (t) = (x (t), y (t), z (f» uma curva diferencial cuja imagem está contida na superfície de nível + + z2 = I. Seja -y (to) = (xo, yO' ZO) . Prove que -y' (to) . V f (xo, Yo, zo) = O. Interprete geometricamente. 7. Calcule f' (x, y) sendo f (x, y)

=0

x y

-i. Represente geometricamente V f (xo, YO), sendo (xO' yO)

a) (1, 1) c)(-I,-I)

f(x, y) = f(xo, YO) + Vf(xo, Yo)· [(x, y) - (xo, Yo)] + E(x, y)

z arctg

i

i

=

a)xy

b) 2x - y

x c)xtg Y

cf) arcsen xy

V" ..

'--'u,.,o

n~

\..,UlClUO -

VOi. L.

8. contida Sejaf (x,nay)curva = xy e seja 'Y (t) = (x (t) . . cuja irna de nívelf( ) _ 2' Y ( t», t E I, uma curva dlferenclável exemplo de uma curva cuja 1'1'Y' V f ('Y (t» . 2 e ruve xy - 2.

;~~ge~ ~s~~s:;nd~: ~:r~~~dao; e~

(2'

g!~ .es~Dê

12

2

9. SeJam f (x, y) = y - x e'Y (t) = (sen t, sen t) .

a»

DVerifique ~ue a imagem de 'Y está contida na curva de nível y - 2 = O esenhe a Imagem de 'Y. x . b c) Verifique que para todo t, 'Y' (t) . V f('Y (t» = O. 10. Sejaf(x, y, z) = x

2

+ 4l + 9i.

REGRA DA CADEIA

a) Dê de ., I, cUJa . Imagem . , exemplo 2 2 uma 2curva 'Y (t) ' difi I erenclave esteja contida nzvel x + 4y + 9z = 1. na superfície de

b) Verifique que V f('Y (t» . 'Y' (t) = O. Interprete geometricamente. 11. Considere a função f (x' y, z) = x 2 + 4 y 2 + 9 z2 e seja . 'Y (t) = (x (t) . diferenciável qualquer, com imagem contida na 'superfície de nível que'Y (tO) = (xO, yo, lo)'

(t)

(»

i : 4 'l+ t9 ~ma curva y

z

= 1, e tal

a) Prove que V f (xo, Yo, lo)' 'Y' (tO) = O. b) Deterrrune a equação do plano tangente à superfície de nível dada, no onto x c) Deterrrune a equação do plano tangente à superfície de nível x 2 + 4 2 + P9 2 _ ( O, yO, lo)·

(1 , 1, I).

y

z - 14, no ponto

12.1. REGRA DA C ADEIA Sejamf(x, y) uma função definida num aberto do 1R2, l' (t) uma curva defmida num intervalo I, tais que l' (t) E Df para todo t E I. Nosso objetivo a seguir é provar que, sefe l' forem diferenciáveis, então a composta F (t) = f( l' (t» será, também, diferenciável e vale a regra da cadeia F' (t) = V f(I' (t» . 1" (t)

onde V f (1' (t» . 1" (t) é o produto escalar dos vetores V f (l' (t» e 1" (t). Vamos precisar do seguinte lema. Lema. Sef: A C 1R2 ~ IR, A aberto, for diferenciável em Xo E A, então existirá uma função cp (X) defmida em A tal que f (X) - f (X )

o

com

tim x~xo

= V f (Xo) . (X -

Xo)

+

cp (X) 11 X - X o 11

cp (X) = O = cp (Xo)'

Demonstração Sendo f diferenciável em Xo tem-se f(X) - f (Xo) = V f (Xo) . (X - Xo) + E (X)

Com tim x~xo

E(X) IIX- Xoll

= o.

Regra da Cadeia ......... _ _ , .... v

uc;. \.,..Ut.l.. U&.U -

vul.

213

~

.tuindo em CD X por r (t) e Xo por r (to) e dividindo por t - to, t

subS U

Tomando-se E(X)

q;(X)= ~X-XOII {

se X

=I=-

f(r(t)) - f(r(to)) = V f(r (to)). r(t) - r(to) t - to t - to

Xo

se X = X o IIr(t) - r(to)1I

It - to I

t - to

t - to

•

segue a nossa afirmação. Observe que q; (X) é contínua em XO.

Note que no lema acima nada muda se supusermos fuma função de n variáveis. Antes de enunciar e demonstrar a regra da cadeia para derivação da composta de uma função de duas variáveis com uma curva, vejamos o seguinte exemplo.

De

. II r(t~

to, vem

=

IIr(t~ ~(to)1I

=~(to) lI·

limitada

,~.~~/':~:i)~

EXEMPLO 1. Sejamf(x, y) = xy e r (t) = y3, t2). Considere a composta F (t) = f(-y (t)). a) Calcule F (t).

+ q; (r (t))

=I=-

,I!:,:. Ii r(t: =;,(to) Ii ~ 11 r' (to) 11

e

O

resulta

b) Calcule F' (t) e verifique que F' (t) = V f (r (t)) . r' (t).

.

a) F (t)

= f( r (t)) = f(t3, t2 ) = t5 . Observe que F fornece os valores quef(x, y) assume nos

b) V f (x, y)

f ax

3 2 = (t , t ) .

f ay

= ( a , a ) = (y, x); segue que V f(t 3, t2 ) =

2 = (3t , 2t).

.

(t2, t \ Por outro lado,

r (t) - r (to ) 11 = O

.

t - to

Logo, F' (to)

Assim,

=

.

11m

I -7 lo

F(t) - F(to) _ t - to

-

I· 1m

f(r(t)) - f(r(to))

= Vf(r (to)) . r'

(to)·

•

t - to

I -7 lo

A demonstração do teorema acima é exatamente a mesma, se substituirmos f de duas

V f(r(t))· r' (t)

= (t

2

3

2

, t ). (3t , 2t)

4

variáveis por f de n variáveis. 2 . ./ I I Segue desse último teorema que seffor diferenciável em A C IR e rd1ferenc1ave em , então a composta F (t) = f (r (t)) será diferenciável e, para todo t em I,

4

= 3t + 2t

ou seja, V f(r(t))·

r'

4

(t) = 5 t = F' (t).

Teorema. Sejamf: A C 1R2 ~ IR, A aberto, e r: I ~ 1R2, tais que r (t) E A para todo t no intervalo I. Nestas condições, se r for diferenciável em to e f em Xo = r (to), então a composta F (t) = f (r (t)) será diferenciável em to e vale a regra da cadeia

•

F' (t)

= V f(r(t))· r'

(t).

Fazendo r (t) = (x (t), y (t)) e lembrando que Vf(r(t))=

F' (tO) = V f(r (to)) . r' (to)·

af ) _ af -(x(t),y(t)),-(x(t),y(t)) er' (t)( ax ay

(dx dY ) dt'dt'

resulta:

Demonstração

dx + -af (x(t), y(t)) d· dy

af dF (t) = (x(t), y(t)) dt ax dt

Pelo lema, para todo X E A,

CD

11

I -7 lo

pontos da curva r (t)

r' (t)

«))

11m q; r t

Solução

f (X) - f (Xo) = V f (Xo) . (X - Xo)

+

q; (X) 11 X - Xo 11

Bscreveremos com freqüência

onde lim X

-7

Xo

q; (X) = O = q; (Xo)·

ay

dF dt

= af

dx + af

ax dt

dy ay dt

t

214

Um Curso de Cálculo -

J<egra aa Caaeta

Vol. 2

. af af ficando subentendido que -ax e -ay devem ser calculados em (x (t) ,y (t» quan d o -dF fOr calculado em t. dt Com freqüência, ocorrerão, ainda, problemas do seguinte tipo'. são dadas as fu nçoes - di_ ferenciáveis z = f (x, y), x = x (t) e y = y (t) e pede-se calcular dz. Evidentement ., . dt e, o qUe se deseja e a denvada da composta z = f(x (t», y (t». Assim:

dz d af dx = [f(x, y)] = dt dt ax dt

-

d + -af .2. ay

OU

~.LJ

seja,

•

f;~LO 3. Seja F (t) = f( et2 , sen t), ondef(x, y) é uma função dada, diferenciável em 1R2. o) Expresse F' (t) em termos das derivadas parciais def

af

b) Calcule F I (O) supondo

ay

= 5.

(1, O)

dt

Solução

ou ainda,

dz = !.!:.. dx dt ax dt

+

o)FU)

= f (x, y) onde x =

az dy ay dt

e

t2

dF

-

Tudo se passa da mesma forma no caso em quefé uma função de três ou mais variáveis.

EXEMPLO 2. Sejam z = x 2y, x = e t2 e y = 2t + 1. Calcule dz.

&

ey

= sen t.

af

= -

ax

dx

(x, y) -

&

af

+-

ay

dy

(x, y) - .

&

Daí F' (t) = a f (e 12 , sen t) 2te t2 ax

dt

+

a f (e ay

t2

, sen t) cos t.

Solução b)F'(O) = af (1,0)'0+ af (1,0)' 1; logo ax ay

1. o processo

•

F' (O) = 5. dz 2 = 4te 21 (2t dt

+

1)

+

2 2e 21

EXEMPLO 4. z

=f

(x 2, 3x

+

1), ondef(u, v) é uma função de classe

d

em 1R2.

a) Expresse dz em termos das derivadas parciais de f

dx

ou seja,

b)Verifiqueque dzl dx x=1

=2

af (1,4) au

+3

af (1,4). av

SOlução 2. o processo (regra da cadeia)

Sendof(u, v) de classe d em 1R2,f(u, v) será diferenciável em 1R2; u também são diferenciáveis. Podemos então, aplicar a regra da cadeia. az dx ax dt

dz dt

aZ dy ay dt

-=--+-

!.!:.. ax

= 2xy,

~ ay

=

a) z

== f(u, v), u = x 2 e v = 3x + 1.

-dz = -af

x 2 , dx __ 2te t 2 e -dy = 2. dt dt

dx

au

du

(u, v) -

dx

af

+-

av

dv

(u, v)-,

dx

Ou seja,

Assim, 2 dz = 4xytel dt

-

+ 2x2

dz =2x af (x 2,3x+l)+3 af (i,3x+l). dx au av

=x

2

e v = 3x

+1

~10

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

1I."~6'''''''''''''''''-1LAO

b) Fazendo x = 1 na expressão anterior, obtemos:

dzl

dx x=l

"" 05,

tere...

au

av

3 af (3t Bx

li

EX~MPLO 5. Seja g (x) '2 f (x, x + 2~, ondef(x, y) é uma função dada, definida e d' renclável num aberto do IR . Expresse g (x) em termos das derivadas parciais de! Ife_ 3

oU

+

af (31 ax

,

g (x)

+ 2.

1, 3t - 1)

+3

af (3t ay

+

1, 3t - 1) = 0,

+

1,3t-l) = - af (3t+ 1,3t-l). ay

+

1, 3x - 1) = - -

Segue que, para todo x,

= -af ax

dx (x, y) dx

+ -af ay

dy (x, y) _, dx

af (3x ax

ou seja,

af (3x ay

+

1, 3x - 1).

Observação. Sejamf(x, y), g (x) e h (x) funções diferenciáveis e seja y (x) = (g (x), h (x». Assim, g' (x)

=

af (x, x 3 ax

+ 2) + 3x2

af (x, x 3 ay

+ 2).

•

f(3x

+

f (g (x), h (x» = f (y (x» . Pela regra da cadeia

EXEMPLO 6. Suponhaf(x, y) diferenciável e que, para todo x, 1, 3x - 1) = 4.

.!!:...- [f(g(x), h (x»] = .!!:...- [f(y(x»] = Vf(y(x»· dx

Verifique que aa

o

seja,

Solução g (x) = f (x, y) ondey = x 3

__

para todo t,

af (1,4) + 3 af (1,4).

= 2

............ -

f

x

(3x

+

1, 3x - 1)

=-

a f (3x ay

+

I, 3x - 1).

dx

ou seja,

Solução

.!!:...- [f (g (x) h (x» ]

= a f (g (x), h (x» g' (x) 'ax

dx

Para evitar confusão com as variáveis, vamos primeiro substituir x por t. Assim, para todo t,

f(3x

Derivando em relação a t os dois membros obtemos:

+

a f (g (x), h (x» h' (x). ay

Vamos, agora, resolver o exemplo anterior trabalhando diretamente com a equação

f(3t+ 1,3t-l)=4.

d - [f(3t dt

l' (x),

+

1, 3x - 1) = 4.

Derivando em relação a x os dois membros, obtemos: d

+ 1,3/ - I)J = O.

- [f (3x dx

Como

+

1, 3x - 1)] = O.

Como (veja observação acima)

dd

t

[f(3t+ 1,3t-l)]

= -af

ax

dx (3t+ 1,3t-l) dt

af

+ -

ay

(31+ 1,3(-1)

=3 af (3t+ 1,3t-l)+3 af (3t+ 1,3t-l) ax ay

d 2dt

~ [j(3x + 1 3x d.x

1) ] = a f (3x 'ax = 3

+

a f (3x ax

1,3x - 1)(3x + 1)'

+

1, 3x - I)

+3

+

a f (3x ay

a f (3x ay

+

+ 1, 3x -

1, 3x - 1)

1)(3x - 1)'

resulta: a f (3x ax

+

1, 3x - 1) = - a f (3x

ay

+

aF = au

EXEMPLO 7. z = f(e -u, u 2 ), ondef(x, y) é uma função diferenciável dada. Express d~ e_ em termos das derivadas parciais de! d~

v) e

ay

(x, y) au

ay

y = h (u, v).

.. ax ay _ dx dy por se tratarem de derivadas parcHlls. - e - enao - e .d do. Escrevemos au au du du CUI a

aF

= f (x, y) onde x = e

af

+ -

onde

Solução Z

ax

ax au

1, 3x - 1).

x:;:; g ( u,

-U

f (x, y) !!-

2

vamos aplicar a regra da cadeia, olhando u como constante; tudo se

b) para calcular av x e y dependessem apenas de v:

ey = u .

passa corIlO se

dz

-

du

=

- (x, y) -dx ax du af

af

+-

ay

dy

(x, y) -

F

afax

_ _ (x y) -aav , ax

du

-

av

+ -af a

) ay av

(x, Y -

y

•

ou seja, onde x -u af dz = -e (x, y) du ax

-

onde x = e

-u

+ 2u

af (x, y) ay

2

EXEMPLO 9. z

•

ey = u .

= g (u, v) e y = h (u, v).

!.!:.. e Ju

2

)

, uv, on

def(x y) é uma função diferenciável dada. Expresse

,

az em termOs das derivadas parciais de! av

EXEMPLO 8. Sejam A e B abertos do 1R2, f (x, y) diferenciável em A, g (u, v) e h (u, v) diferenciáveis em B tais que, para todo (u, v) em B, (g (u, v), h (u, v» E A. Seja

Solução

F (u, v) = f(g (u, v), h (u, v», (u, v) E B.

z

(Observe que a mudança de variáveis x = g (u, v) e y = h (u, v) transforma a função de duas variáveis z = f (x, y) na função de duas variáveis

2

= f(u + v

= f (x,

y) onde x

2

= u2 + v

az

afax = (x, y) Ju ax au

ey

af (

+-

ay

= uv.

f ) ay = 2u ~ x, y au ax

af

2

2

(i + l, uv) + Y -a (u + v y

)

, uv .

z = F (u, v) = f(g (u, v), h (u, v).) Jz -

Mostre que a) aF =

au

afax ax au

av

+

af ay ay au

(ou~= au

af ax ax au

+

af a y ) onde af e af devem ay au ax ay

ser calculadas no ponto (g (u, v), h (u, v». b) aF =

av

afax ax av

+ af ay (ou az ay av

av

= af ax

ax av

onde x

afax (x, y) ax av

+ -

i

uv.

= -

=

+l ey=

af( ay

)aY=2yaf(x,y)+uaf(x,y) av ax ay

•

EXEMPLO 10. F(r, O) = f (x, y) onde x diferenciável dada. Verifique que

+ af a y ).

af

_ cos

(x, y) ay

ay av

Solução

x, y

r

= rCOS

O - r sen O sendo f (x, y) uma função ey ,

F aF o~ (r, O) + sen O ao ar

(r, O).

Solução

a) F (u, v) = f(x, y) onde x = g (u, v) e y = h (u, v). Para calcular a F vamos aplicar a regra da

au

cadeia, olhando v como constante; tudo se passa como se x e y dependessem apenas de u:

aF ( O) ar

r,

a fax (x, y) a ar x

= _

af ) ay (x, y a ay r

+ -

......... 0· -

ou A

Mr>

CD

aF

-a (r, 8) r

= cos

aF -a8 (r, 8)

=

eqU

....z

AI" (1), A E ~.

1'(1) = (1,2, z (1» = (1 , 2,f(1, 2» = (1,2, -2);

ou 1" (t)

= ( 2t, 3,

~;)

ai

+ r cos 8 ay (x, y) dz af 2 d.x z=f(t2 3t-l)~ - = (t , 3t-l) , dt ax dt

ou aF - a8 (r, O) r

ai

= -sen O -ax

(x, y)

+ cos

af O(x y ). ay ,

.

dz

ASSIm, dt

= 2t

a f (t 2, 3t - 1) ax

Multipli~ando CD por sen O, @ por cos Oe somando membro a membro obtemos a reI _

que quenamos.

•

=I

(x, y)

de classe

d,f (1, 2) = - 2, a f

(1 , 2)

= 4. Admita que a imagem da curva I' (t) = (t 2, 3t - 1, z (t», t E contida no gráfico de f (1, 2)

~, esteja

a) Calcule z (t).

b) Ache a equação da reta tangente a I' no ponto I' (l).

Solução a) (~' y, z) E G/~ z = f (x, y). Como a imagem de I'está contida no gráfico de/, para todo t, (t , 3t - 1, z (t» E GI , logo, z (t) = f(t 2, 3t - 1).

ay

2 dy (t ,3t-l)-. dt

a f (t2 , 3t - 1) e, portanto, dz I = 18. Segue que ay dt t = I

A equação da reta tangente é, então,

=3e

ax

+3

+ -af

I" (1) = (2,3, 18).

açao

EXEMPLO 11. Suponha z

~;

+

(x, y, z) = I' (1)

ai ax ai a -a (x, y ) + - (x, y) x a8 ay a8

ai ax (x, y)

---

ação da reta tangente no ponto I' (1) é:

ai ai 8(x, y) + sen 8 (x y ). ax ay ,

aF aii (r, 8) = -r sen 8

-- ----- . -

(x, y, z)

= (1,2,

-2)

+ A (2, 3,

18), A E

•

~.

o próximo exemplo mostra-nos que se I' for urna curva qualquer, diferenciável em to, cuja imagem está contida no gráfico da função f (x, y), diferenciável em (xo, yo), então a reta tangente I' no ponto I' (to) = (xo, yo,f (xo, Yo» está contida no plano tangente em (xo, Yo,f (xo, Yo»· EXEMPLO 12. Sejaf(x, y) diferenciável em (xo, yo), I' (t) uma curva diferenciável em to, cuja imagem está contida no gráfico de f Seja I' (to) = (xO' yo,f (xO' yO». Então a reta tangente a I' no ponto I' (tO) está contida no plano tangente ao gráfico de f no ponto I' (to). SOlução

Seja I' (t)

=

(x (t), y (t), z (t» ; como a imagem de I' está contida no gráfico de f

z

z (t)

=f

(x (t), y (t».

~endo f diferenciável em (xo, yo), x (t) e y (t) diferenciáveis em to, podemos aplicar a regra a cadeia para obter z' (to) :

,,, , ,, x

z' (to) = a f (xo, Yo) x' (to) ax

+

a f (xo, yo) y' (to) . ay

A. eqUação da reta tangente em I' (to) é:

(x(t): y(t))

(x, y, z) = (xo, yo,f (xo, Yo»

+ À (x'

(to), y' (to), z' (to»,

À E ~.

3

suponha que, para todo x, I (3x, x ) = arctg x.

Precisamos mostrar que, para todo A, o ponto

5· Calcule ai (3, 1) admitindo ai (3, 1) = 2. h ~ b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico defno ponto (3, 1,[(3, 1».

a)

pertence ao plano

6. Admita que, para todo (x, y),

4y ai (x,y)-x ai (x,y) =2. ax ay

Basta mostrar, então, que fazendo em @x = xo + Ax' (tO) e y = yo + Ày' (to) obte = f (xo, yo) + Az' (to)· De fato, para x = xo + Áx' (to) e y = yo + Ày' (tO) temos: rernos

z

Calcule g' (t), sendo g (t) = 1(2 cos t, sen t). 7. Admita que, para todo (x, y),

ai ai 4y - (x, y) - x (x, y) = ax ay

o.

ou seja, x2

.

z =

f

(xo, yo)

+ À [ -af ax

Prove que I é constante sobre a elipse -

a (xo, yo) x , (to) + -f (xo, yo) y' (to) ] ;

ay

8. A imagem da curva y(t) = (2t,

• ===========================

2

+Y

= 1.

(Sugestão: Observe que a função g do exercício anterior fornece os valores de/sobre a elipse.)

tendo em vista G)

Exercícios 12.1

4

aI

(2, 1) = 1 e

ax

aI

1, z (t»

está contida no gráfico de z = I(x, y). Sabe-se que/(2, 1)

(2, 1) = -I. Determine a equação da reta tangente a Y no ponto

= 3,

y (1) .

ay

9. Admita que, para todo (x, y),

(Todas as funções são supostas de classe C 1 ou diferenciáveis, quando necessário.)

ai ai x - (x, y) - y (x, y) ax ay

dz

= o.

1. Calcule dt pelo dois processos descritos no Exemplo 2. a) Z

Mostre que g (t)

= senxy,x = 3tey = l

b) z = x

2

+ 3/, x = sen te y = cos t. + x 2 + i), x = sen 3t e y

c) Z = ln (l 2. Seja g (t)

= 1(3t, 2t2 -

= cos 3t.

10. Seja

1).

= I ( t,

~ ). t > O, é constante.

2

z = I(u + 2v, u - v). Expresse

11. Seja z = I(u - v, v - u). Verifique que

a) Expresse g' (t) em termos das derivadas parciais def b) Calcule g' (O) admitindo ai (O, -I) =

ax

dz

az az . d . . d f - e - em termos das denva as parcHl1s e . au av

.!..

~ +

az = o.

au

av

3

3. Expresse dt em termos das derivadas parciais def, sendo z =

I

(x, y) e

a) x = (2 e y = 3t. b) x = sen 3t e y = cos 2t.

12. Considere a função F (x, y) = 13. Prove que a função u

I

X

(

y)

-, - . Mostre que x Y x

ax

aF_

+Y -

ay

- O.

= I(x + at, y + bt), a e b constantes, é solução da equação as derivadas

parciais 4. Suponha que, para todo t,f(t2, 2t) = t3 - 3t. Mostre que ai (1,2) = - af (1,2). ax ay

aF

-

au

-

at

au

=a -

ax

au

+b- . ay

·

14. Sep z

= t2 f(x,

y), ondex

=f

15. Seja g dada por g (t)

= t2 ey = t 3 . Expresse

(x, y) sen 3t, onde x

g' (t) = 3f(x, y) cos 3t

onde x

+ sen 3t

dz . - em termos das denvadas parci . dt a.Js de!

2 af af e para todo (x y) f(x Y x 2 + Y ) = O. Mostre que - (I, 1,2) = -a (1,1,2). ' , " ax y

qu , 23. S unha po

= 2t e y = 3t. Verifique que

[2

af (x, y) ax

+

. F (x y z) = 24. SeJa "

3

f

z)

(

y - . Mostre que -X -, y' z x

af (x, y)], ay

aF

x-

ax

= 2t e y = 3t.

16. Seja z = uf(u - v, u

+ v). Verifique que

onde x = u - v e y = u 17. Seja g (x, y)

+

az u au v.

2

= (x + i)f(u,

+u

az = z av

+ 2u

= 2x -

ye v

v), onde u

-ag = 2xf(u, v)

2 + (x 2 + y)

au

18. Seja g (x) uma função diferenciável tal que f (x, g (x»

todo (x, y), F (xy, z)

"* 0, para todo (u, v). Suponha que, para

az az y). Mostre que x ax - y ay = O.

26. Sejaf(x, y) diferenciável e homogênea de grau A no aberto A. Prove:

+ -afJ . av

0, para todo x E Dg. Mostre que

=

= 0, onde z = z (x,

= O.

az

aF . F (u v) diferenciável em 1R2, com (u, v) , av

= x + 2y. Mostre que

[ 2 -af

ay

aF

+z-

25. Seja

2 af -. ay

ax

aF

+Y -

a) a a f (at, bt) ax (at, bt) E A.

+b

a f (at, bt) = ay

Al- 1f(a, b) para todo t >

°

e para todo (a, b) E A, com

b) (Relação de Euler.) Conclua de a) que

af (x, g(x» g' (x) = - ~a",x,----_ __ af (x, g(x» ay af para todo x E Dg' com (x, g (x» ay

af ax

=

= Af

ay À

(Sugestão para a): Derive em relação a I os dois membros def(al, bl) = I f(a, b).)

27. Sejaf(x, y) definida e diferenciável na bola abertaA. Suponha quefverifica em A a relação de

"* O.

Euler

19. f(t) e g (x, y) são funções diferenciáveis tais que g (/, fel»~ = 0, para todo /. Suponhaf(O) == 1, ag ag - (0, 1) = 2 e - (0, 1) ax ay ponto 'Y (O).

af

+Y -

x -

._ 4. Deterrrune a equaçao da reta tangente a 'Y (/)

= (/, f

af x (x, y) ax

(t», no

+Y

af (x, y) = Af(x, y). ay

Prove quefé homogênea de grau A.

20. f(x, y, z) e g (x, y) são funções diferenciáveis tais que, para todo (x, y) no domínio de af af af O g,f(x, y, g (x, y» = O. Suponhag (1,1) = 3, - (1, 1,3) = 2, - (1, 1,3) = 5 e - (1, 1,3) == I . ax ay az Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (I, 1,3).

(

Sugeslão: Mostre que g (t) =

f

(aI, bl) é constante. ) IA

28. Seja ljJ (u) uma função diferenciável qualquer. A funçãof(x, y) = ~

af 21. Seja g (t) = f(3/ ,/ ,e ); suponha (0,0, I) az ·

2 3

def

2

= xf(x + y, 2y, 2x -

ljJ ( -;- ) verifica a rela-

= 4. af ção de Euler x ax

a) Expresse g' (t) em termos das derivada parciais def b) Calcule g' (O). · 22. Seja g (x, y)

i

~

~

CI.~

y). Expresse e - em termos das derivadas par ax ay

+Y

af ' = 2f? Por que? ay

x e xY arctg + sen 29. f(

x, y

)=

y 3

x3 +

x

( cos ) -

y

i

. _ af af _ venfica a equaçao x +Y- ax ay

_ ? '? f · Por que.

.tin quefeg sejam diferenciáveis, vamos deduzir uma fórmula para o c~Culo de g' (~) do AdflU . Bf (x, g (x )) =f=. O. Então , derivando em relaçao a x os dOIS E D para os qUaiS J1l todo x IJ' ay e da equação anterior, obtemos,

o.

30. Determine uma farrnlia de funções que verifique a equação x ai ax

+ y ai

31. Suponhaf(x, y) diferenciável no aberto A e homogênea de grau

Prove que ai é ho ax rnOgê.

=

ay

À.

(Ilef\1bfOS

-

. , ai A - I ai nea de grau À-I, Isto e, que - (tx, ty) = t - (x, y) para todo t > O, e para todo ( ax ax x')1) em A com (tx, ty) E A. (Sugestão: Derive em relação a x os dois membros de i (tx, ty) =

l

Y

d

~

[f(x, g(x))] = O

dx oU

f (x, y).)

_af (x, g (x)) -dx ax dx

32. Sejaf(x, y) de~da em 1R2, diferenciável em (O, O) e tal quef(tx, ty) = tf(x, y) para todo t E ~ e todo (x, y) E IR . Prove quefé linear, isto é, que existem reais a e b tais quef(x, y) = ax + b

(x, g (x)) g ' () x = O

+ -af ay

)1.

e, portanto, se (x, y)

33. Sejaf(x, y)

"* (O, O)

af (x, y)

~x

g' (x) = -

=

o

J... (x, y)

, y = g (x),

ay

se (x, y) = (O, O)

af desde que (x, g (x)) ay

a) Verifique quef(tx, ty) = tf(x, y) para todo t e todo (x, y). b) Olhe para o Exercício 32 e responda: f é diferenciável em (O, O)? Por quê?

=f=.

O.

34. Sejaf(x, y) diferenciável em JR2 e tal que para todo (x, y) em JR2 af

(D

-

ax

(x, y)

af

+-

By

Da mesma forma, x (x, y) = O.

= h (y) é definida implicitamente pela equação f (x, y) = Ose, para

todoy E Dh' f(h (y), y) = O.

a) Verifique que a função g (u, v) dada por g (u, v) = f (x, y), onde x

=u + vey =

u, é tal que

Bg = Oem JR2 Conclua que g (u, v) = 11' (v) para alguma função 11', definida e diferenciável au

Supondofe h diferenciáveis e derivando os dois membros da equação acima em relação a y, obtemos:

em IR.

~ [f

c) f(x, y) =

+

+

+

e(X - y) 2 arctg (sen (x - y» In [1 (x - y)2) --------'::......:...--'------::-=--'---------=---'--------'-~

(x - y)2

(h(y), y)] = O

dy

b) Determine uma farrnua de soluções da equação (D.

............,.. x

ou af

-

+5

dx (x, y) -

~

ax

+ -af

dy - O

(x, y) -

~

ay

-

verifica (D? (Não precisa fazer contas!)

e, portanto, af(x,y)

12.2. DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE. TEOREMA DAS FUNÇÕES IMPLÍCITAS Como já vimos, a função y para todo x E D g'

= g (x) é definida implicitamente pela equaçãof(x, y) = Ose, f(x, g (x)) = O.

dx

-=-

dy

~f -

(x, y)

'

x = h (y),

ax af em todo y E D h , com (h (y), y) ax

=f=.

O.

EXEMPLO 1. A função diferenciável y

i

= y (x) é

+ .xy + x

3

definida implicitamente pela equação

eJ1l

= 3.

) E D com af (x, y, g (x, y» todo (x, Y g' az

!.!:- ;:; - -af

dx

b) iJY

(x, y, z)

az

Solução 1. o processo

em todo (x, y) ,)'3

+ xy + x 3 f (.~, y)

*"

-

af E D , com (x, y, g (x, y»

aZ

g

a) Para todo (x, y) E Dg

+x

3y2

Derivando em relação a x os dois membros da equação, obtemos:

+x

ou =1=

O.

a f (x, y, z) ~ (x) ax ax

2. o processo

2 dy 3y -

dx

+ xy + x 3 ] = -d

dx

+Y+x

dy -

dx

,-L-,

- [f(x, y, g(x, y») = O ax

y + 3x 2 3y2 + x

em todo x no domínio de y = y (x), com 3 (y (x»2

+ 3x2

como - iJ (x) ax

(3)

= 1 e -a

ax

(Y)

af

+ -

af

=

O

az ax

•

ax

(x, y, z)

-"a~x~_ _

af (x, y, z) az

-

o·

,

-

(x, y, z)

...!:a~x:,...-_ _

=-

a f (x, y, z) . az

b) Derivando os dois membros de CD em relação a y, obtemos

a

,-L-,

- [f(x, y, g(x, y») ay Ou

-

az ax -

= O, resu I ta

EXEMPLO 2. Suponha que a função diferenciável z = g (x, y) s~~a dada implicitamente pela equaçãof(x, y, z) = O, ondefé diferenciável num aberto de IR . Verifique que af

aax (y) + aafz (x, y, z)

(x, y, z)

ay

ou

y + 3x 2 3y2 + x'

o.

f(x, y, g (x, y» =

y + 3x 2

(x, y)

a

d 3 [y dx

o•

Solução

ou seja,

=-

=1=

~= O

~~ (x, y)

a) ~

O.

-af (x, y, z) ay

Expresse dy em termos de x e de y.

a

=1=

O

=O

1

.." af a af (x, y, z) ~ (x) ,: + (x, y, z) (y) ax ay ay )'.____

a

+

af

a; (x, y, z)

az_ ay -

o

e, portanto,

_iJ_z

iJf

ay (x, y, z)

=_

ay

F(X, y, z) : O { G(x, y, z) - O

af

a; (x, y, z)

.

~F

. .. 3 dy dz e G são supostas dIferencIáveIs num aberto de ~ . Expresse - e - em termos

~

~

n'vadas parciais de F e de G.

daS de

EXEMPLO 3. A função diferenciável z = z (x y) é dada impli 't '

xyz

Expresse

az

ax

CI amente pela equação

3

+ x + y3 + z3

solução

Dizer que y = y (x) e z = z (x) estão definidas implicitamente por CD significa que, para

= 5.

todo x em I, em termos de x,

y e z.

F (x, Y (x), z (x»

= O e G (x, y (x), z (x» = O,

seja, significa que a imagem da curva 'Y (x) = (x, Y (x), z (x» está contida na interseção das superfícies F (x, y, z) = O e G (x, y, z) = O.

Solução

OU

1. o processo

~z

+ x 3 + y3 + z3 I (x:y, z)

- 5= O ,

Pela parte a) do exemplo anterior

-=ax

ai a; (x, y, z)

yz xy

ai

a; (x, Y, z)

+ 3x 2 + 3z 2 .

2. o processo

Para obter dy e dz, vamos derivar em relação a x os dois membros de @. Temos, então: ~

~

assim,

iJF ~ iJx ~

+

aF dy iJy ~

+

iJF dz = O iJz ~

[ iJG ~

+

aG dy iJy ~

+

aG dz = O az ~

~

yz

+ xy

!.!:.. + 3x2 + 3z2 ax

az = O ax'

~

Ou seja,

ou seja,

- = - yz ax xy

EXEMPLO 4 A f - d'~ . 1, são dadas i~pliscl'tamunçoets I elren.cláveis y en e pe o sIstema

+ 3x 2 + 3z 2

.

= y (x) e z =

• z (x), definidas no intervalo abertO

Pela regra de Cramer,

iJF dy iJy ~

+

aF dz = _ iJF iJz ~ ax

[ iJG dy dy ~

+

aG dz = _ iJG iJz ~ iJx

J(egra aa \....uut!tU

dF -

dF

dF

dz

Jy

-

JG Jx

-

dF -

dF -

Jx

dy

dx

JG

Jy

dz

dz -dx

JG Jy

JG

-

-

JG Jy

-

dF -

dF

JG Jy

-

dz

Jx

-

Jy

dz

2X

dF -

~JJ

+Y- z= 3

{ x+y+z=l.

JG Jx

-

dy dz alcule - e - . C o) dx dx

dz

bl D,tennin' um p" de funçõ" Y ~ Y (xl e z ~ z (xl que sejam dada< implicitamente pelo

JG

sistema (D.

dz SoluçãO

aF ay

para todo x E I, com

=1=

aG ay

ara obtermOS dy e ~, vamos derivar os dois membros de (D em relação ax, obserdx dx van do que y e z são funções de x:

aF az

a) P

O em (x, y (x), z (x».

aG az

d _ [2x dx

Notações. O símbolo aa (F, . (y, G), z) e usa d o para . mdlcar o determinante jacobiano de F e G em relação a y e

d dx [x

+Y-

d · [3) ou seja 2 dx"

+-

d · dx [1), ou seja, I

+

z) = -

+ Y + z)

=

dy dx

- -

dz = O· dx '

dy dx

+

dz dx = O.

z: aF

aF

G)

ay

az

a (y, z)

aG

aG

ay

az

a (F,

Assim,

Da mesma forma: aF

aF

a (F, G)

ax

az

a (x, z)

aG

e ax

aG

aF

aF

a (F, G)

ay

ax

a (y, x)

aG

aG

ay

ax

az

Resolvendo o sistema obtemos:

3 e _dy = - dx 2

dz = _ dx 2

(Sugerimos ao leitor calcular dy e dz utilizando o exemplo anterior.) dx dx Com estas notações, dy e dz se escrevem· dx dx .

y - z = 3 - 2x

a (F, G)

a (F, G)

dy a (x, z) -=:a (F, G) dx a (y, z)

a (y, x) -=a (F, G) dx

e

dz

b) Q) é equivalente a

•

{ y+z=l-x

Resolvendo o sistema nas incógnitas Y e

z obtemos:

a (y, z)

EXEMPL05.Sejamy=y(x)ez. , . em IR e dadas implicitamente pelo sistema - z ()d·f x 1 erenclavels

3 1 Y = 2 - - x e z = -1 + -x.

2

2

VI,-,. ........ /.:tU U~ \....UlCUlO -

VOI. L

Kegra aa l-aaeLU

"JJ

Observe que a imagem de

~ x, -1 +

y (x) = ( x, 2 -

é a reta na interseção dos planos 2x

+ -

- 3

Y

EXEMPLO 6. Sejam Y = Y (x) e z =

pelo sistema

z-

. ·ndo Y = 1 - x na La equação e observando que z > O obtemos: z = ~2x - 2x2 . bs utU1 SIl . = 1 - x e Z = ~2x - 2x 2 , com O < x < 1.

±

x)

AS SlrIl, Y

ex+y+z=1.

(). • > O, dIferenciáveis e dadas·Imp1ICIt>ln-. .. lIe

z x, Z

-

x2 {

nte

+ y2 + z2 = 1

x+y=1.

y

dy dz a)Expresse -dx e -dx em termos de x, y e z.

x

b) Expresse y e Z em função de x.

c) Desenhe a imagem da curva y (x)

= (x,

A imagem de y está contida na interseção do plano x + y = 1 com a superfície esférica = 1. • Até agora, o problema referente a uma função y = g (x) dada implicitamente por uma equação F (x, y) = O era colocado da seguinte forma: suponha y = g (x) diferenciável e

i +l + l

y (x), z (x».

Solução d

a) dx [x

2

2

+ Y + l]

d . dx [1], ou seja, 2x

=

definida implicitamente pela equação F (x, y) = O; calcule dy. Evidentemente, dy só terá d

dx

d dx [x

d + y] = dx (1), ou seja, 1 +

+ Z dz

:

= O.

=-x

b)

{

x+y=1

= 1

y2

+ z2

= O. Suponha que

8 F (xo, Yo) 8y

ct num aberto A de 1R2 e seja (xO, Yo)

E A, com

> O. Prove que existem intervalos abertos! e J, com g (x» = O.

SOlução

= 1 - x2

!.!. é contínua, pois, por hipótese, F é de classe d. Como 8y

y=l-x

8 F (xo, yO)

>

O, pelo teore-

8y

rna da conservação do sinal existe uma bola aberta B de centro (xO, yo), que podemos supor contida em A, pois A é aberto, tal que

~

{

g (x). Por

= - 3 não define implicitamente função alguma; logo, dy = -.::. não

Xo E ! e yO E J, tais que, para cada x E !, existe um único g (x) E J, com F (x,

dy dz y-x - = -1 e = dx dx Z

+ y2 + z2

+l

dx

=

dx y terá, neste caso, nenhum significado. O teorema que vamos enunciar a seguir fornece-nos uma condição suficiente para que a equação F (x, y) = O defina implicitamente uma função diferenciável y = g (x). Antes, porém, vamos ver alguns exemplos.

F (xo' yO)

Resolvendo o sistema obtemos:

2

'

= O definir implicitamente alguma função y

EXEMPLO 7. Seja F (x, y) de classe

dx

{ dy -=-1 dx

x

dx

significado se realmente F (x, y) exemplo, x 2

Assim,

y dy dx

dx

d

+ 2y 2 + 2z ~ = o.

8F

(x, y) 8y

> Oem B.

236

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2 I.'Cll'

Sejam y\ e Y2 tais que y < y < ( a função \ Y2' com xo, y\) e (xo, Y2) em B. Fixado xo cons'd

°

'

I

CD

erelh

"'os

lA- Lc-......................... ......

z = F (x, y) (x fixo)

(j)

·tarnente crescente em [yt, Y2]; tendo em vista que F (x, Yt) < O e F (x, Y2) > O, pelo tn a do valor intermediário e pelo fato de@ ser estritamente crescente em [y\, Y2], existirá teor~~co g (x) E ]Y\, Y2[ tal que F (x, g (x» = (veja figura seguinte).

é es

°

um uro

z

y, A

yo

y,

y,

I

~ ~,,~' JF

Como -

JY

(xo,Y)

°

I

~

I, Y2 ' segue que 1 e estntamente crescente em (y

!'Y2]·

= 0, resulta:

,

A função g : / z

_____

F (x o • Y, )

~

"/,,

Ic:: - - - -

(x, g (x))

(F (x, g (x))

= O)

J está definida implicitamente pela equação F (x, y) = O.

Observação. Para todos Yt e Y2, com y, < Y, < Yo < Y2 < Y2, procedendo como acima, encontraremos um intervalo aberto /, C /, com Xo E " tal que y,

xo

-V\:' ----

CD"

> para todoy E [ y ]

Te d . n o em VIsta que F (xo, Yo)

X - - -

y,

g (x)

yo

y,

,~~,::'~~:~n~~'~_(~O'Yl)

I:

Seja J = ]YJ' Y2[; observe que y = g ( )' ,. , Tendo em vista (2) e pela contin~idade ~~ ; ~ ~~co nu~ero em J tal que F (xo, YO) = O. que para todo x E / (x Y ) e (x ) rt ,XIS e um Intervalo aberto I, com Xo E I, tal , " 'Y2 pe encem a B, com F (x, y!) < Oe F (x, Y2) > O.

logo, g é contínua em xo. Deixamos a seu cargo verificar que g é contínua em todo x E I. •

EXEMPLO 8. Suponha F (x, y) diferenciável em (xO' Yo). Prove que existem funções ft', (x, y) e ({)2, (x, y), definidas em DF' tais que

+ g (x)

JF (xo, Yo) (x - xo) + (xo, Yo) (y - Yo) Jx Jy ft', (x, y) (x - xo) + ft'2 (x, y) (y - Yo)

F (x, y) = F (xo, Yo)

JF

+ -

com lim (x, y) --? (xo, Yo)

ft', (x, y)

= O = ft',

(xo, Yo) e

lim (x, y) --? (xo. yo)

({)2, (x, y)

= O = ft'2

Solução IX

I

----

:

Xo

Pelo lema da Seção 12.1,

/

aF Como -ay (x, Y)

F (x, y) = F (xo, Yo)

> O em B, para todo x E

I, a função

JF

aF (xo, Yo) (x - xo) + (xo, Yo) (y - Yo) Jx Jy ft' (x, y) 11 (x, y) - (xo, Yo) 11

+ +

(xo, Yo)·

238 onde

Um Curso de Cálculo -

lim

~ (xo, Yo)

(x, y)

Vai. 2

cp (x, y) = O =

cp (xo, YO)·

o fato de g ser contínua em Xo e a F (xO' yO) =t= O, resulta: pe l ay

Para (x, y) =t= (xO, yO).

g' (xO)

cp (x, y) 11 (x, y) - (xO, yO) 11 = cp (x, y) (x - xof

= cp (x, y)

+ (y -

=

YO)2

lI(x, y) - (xO, yo)1I _ lI(x, y) - (xO, yo)1I (x - xO) + cp (x, y) y Yo _ (y lI(x, y) - (XO, yo)1I - Yo).

x

lim

~ Xo

g( x) - g(xO)

aF ax (xO, g (XO»

_

aF ) . ai (xo, g (xO)

X - Xo

x - Xo

Basta tomar

Teorema dasfunções implícitas (Caso F (x, y)

= O). Seja F (x, y) de classe c' num

aberto A de 1R2 e seja (xa, yo) E A, com F (xa, Yo) = O. Nestas condições, se a F (xo, yo) =t= O, ay

cp(X, y) _

CPl (x, y) -

então existirão intervalos abertos I e l, com Xo E I e yO E l, tais que, para cada x E I, existe um único g (x) E l, com F (x, g (x» = O. A função g : I ~ 1 é diferenciável e

x - Xo lI(x, y) - (xO, yo)1I

se (x, y) =t= (xO, yO)

!

aF (x, g (x»

g'

O

se (x, y)

(x) = -

= (XO, yO)

~~~;::----­ (x, ay

g (x»

e Demonstração cp(X, y) CP2 (x, y)

=

Xo lI(x, y) - (XO yo)1I

se (x, y) =t= (XO, YO)

'

!

•

Veja Exemplos 7,8 e 9.

x-

Observação. Se a hipótese a F (xO, yO) =t= Ofor substituída por a F (xO, yO) ay

O

se (x, y) = (xO, YO)

EXEMPLO 9 . Prove qu e a funçao - g do Exemplo 7 é di+"e l'

, g

•

ax

~ir~o intervalos abertos I e l, com Xo E I e yO E l, tais que, para cada y E l, existirá um h (y) E I, com F (h (y), y) = O. A função h: 1 ~ I será diferenciável e

UfilCO

., I rencIave em Xo e que

aaF (h (y), y)

h' (y) = -

a --=:a~;~--aF

(xo, g (xo»

(xo) = -

"* O, então exis-

--='a~~'---­ (h (y), y) ax

ay (xo, g (xo»

Teorema das f"3nções implícitas (Caso F (x, y, z) = O). Seja F (x, y, z) de classe c' no aberto A de IR e seja (xo, Yo, zO) E A, com F (xO, yO, zo) = O. Nestas condições, se

Solução

Substituindo y = g (x) e y = ( ) = O e F (xO' g (xO» = O resul~ apgósxod· e~d. @)doExemplo8elembrandoqueF(xg(x» , IVl Ir por x - Xo (x =t= xO): '

0-

aF

aF

- ih (xo, g (xo) + a; (xo, g (xo» +


g(x) - g(xo) x - Xo

+ CP,

(x,

g (x»

aF ( xO' yO, zo) az

. "* O, então existirão uma bola aberta B de centro (xo, yO) e um mterva-

lo aberto l, com Zo E l, tais que, para cada (x, y) E B, existe um único g (x, y) E l, com F (x, y, g (x, y» = O. A função z = g (x, y), (x, y) E B, é diferenciável e aF ag _ (x, y, g (x, y» ax (x,y) - ---';a,.=;;F;-----(x, y, g (x, y»

a;

az

aF

-

e ag (x y) By'

(x, y, g (x, y»

= _....::B"-'!,y,--_---

_a F _ (x, y, g (x, y» Bz

Ufrt L.UfSU

ue

L..UlCUlO -

VOl. L

Demonstração 1

Deixamos a cargo do leitor adaptar a demonstração do teorema anterior a est -N e~ servaçao. ote que, pelo fato de F ser de classe d e g contínua, fun _ aF . as çoes (x y

~

aF

a;

a F a x

(x, y, g (x, y» e -a (x, y, g (x, y» serão contínuas em B ' logo

z

bém. contínuas em B, isto é, g é de classe

d

'

em B.

,

ag

li

ax

H (x, y) = G (x, y, g (x, y», (x, y) E B.

"g(x,y) ,

ag

e -

implicitamente uma função z = g (x, y), (x, y) E B , sendo g de classe C na bola defíOe B de centro (xo. Yo) e Zo = g (xo, YO) · Consideremos, agora. a função al1Crta

serã

ay

o,

talll_

remo s., H (x, y) é de classe d, H

(xO, yO) =

O e a H (xO, yO) ay

* O(verifique). Segue que a

equaçãO

H (x, y)

Teorema das funções implícitas (Caso F (x, y, z) = O e G x _ . G (x, y, z) de classe d no aberto A de 1R 3 . (C, y, z) - O). Sejam

F (x, y, z) e

e seja xO, yo,

F (xo, yO,

Zo) = Oe G (xO. yO, zO) = O. Nestas condições se

a (F, G)

-I-

zO> E A, com

O

' ..,... em (x y '. a (y z) o' o' Zo ), en t ao eXIstIrão um intervalo aberto I co ' z = z (x) deflnidas e de classe d em I ' tai m Xo E I, e um par de funções y = y (x) e e G (x, y (x), z (x» = O; além disso y' =s q(ue,)para t~dO(x E I, F (x, y (~). z (x» = O 'o y Xo e Zo - z xo). Tem-se, amda:

CD

=_

dy dx

a (x, z) a (F, G)

a (F. G)

e

dz

-dx

a (y, z)

=O

No Vol. 3, voltaremos aos teoremas da função implícita e da função inversa.

============================

1. A equação

a (y, x) a (F, G)

g (x, y»

d fine implicitamente uma função y = y (x), x E I, sendo y (x) de classe d no intervalo a~erto I e Yo = Y (xO) (xo E 1). Deixamos para o leitor completar a demonstração. -

Exercícios 12.2 a (F. G)

= O, ou seja, G (x, y,

i

+ xy + x 3 = 4 define implicitamente alguma função diferenciável y .

dy

Em caso afirmatIvo, expresse -

= y (x)?

em termos de x e y.

dx

a (y, z)

sendo que os determinantes jacobianos devem ser calculados em (x, y (x), z (x».

Demonstração

(Sugestão: Observe que (O, (caso F (x, y) = O).)

V4) satisfaz a equação e utilize o teorema das funções implícitas

2. Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função

Como F e G são classe

C 1 em

A, e

diferenciável y

=

y (x). Expresse dy em termos de x e y. dx

a; aF

@

(xo, Yo, zo)

aF a; (xo, Yo, zo)

aG

aG ay (xo, Yo, zo) a; (xo, yO. zo)

pelo teorema da conservação do sinal aberta de centro (x

ay

(xo. Yo, zo)

y, aF C ) az xo' yO, Zo

.

.,

az ax

dIferenclavel z = z (x, y). Expresse -

a (F, G)

a(

) * Oem A. Segue de @

z

* O. Suponhamos -

teorema anterior, a equação

aF az

F (x, y, z) = O

b) y

4

+ x 2Y2 + x 4 = 3

3. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função

*0

a) eX

) P d

* O ou

+ sen y = x

+ y + Z + xyz = 1

permanece diferente de zero numa bola

o' o' zo· o emos, então, Supor que

aF

que -

y

a (F, G) a (y, z)

2 a) x y

(xO, Yo, ZO)

* O. Pelo

4. Suponha que y

az ay

e -

b) x

em termos de x, y e z. 3

+

i

+ z3

= x

+Y + Z

= y (x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x = F (i + y,l),

onde F (u, v) é suposta diferenciável. Expresse dy em termos de x, y e das derivadas pareidx

ais de F. 5. Suponha que y

= g (x)

seja diferenciável no intervalo aberto I e dada implicitamente pela equa-

ção/(x, y) = O, onde/ex, y) é suposta de classe

c!-. Suponha, ainda,

ai (x, y) i= Oem Df

ay

242

Um Curso de Cálculo - Vol. 2

a) Prove que a f (xo' Yo) = o é uma condição necessária para que Xo seja ponto de lll& •. ' h ~~ local de g. b) Prove que g" é contínua em I. c) Prove que

"* O).

(x

ax

Mostre que au a(u, v)

r Calcule o determinante jacobiano -a(x, --). 10. Sejam u = x + ye v = x' y

e

11 . Calcule: a(F, G) sendo F (x, y, z) a)

=i +i +i

6. A função diferenciável z

= z (x, y) é dada implicitamente pela equação f

f(u, v) é suposta diferenciável e af (u, v)

av

(~, z) = o, onde

"* O. Verifique que

b)

a(y, z)

c)

) ( ~ sendo x = r a(r, s)

+ 3s + t2 e y =

) ( d) ~ sendo x = r a(s, t)

12. Sejag (u, v) =

az

= x + Y + z·

= x 3 + i.

a(u, v) sendo u = xyz e v

é condição suficiente para que Xo seja ponto de máximo local de g.

e G (x, y, z)

a(x, y)

+ 3s + -

f

2

2

32 t.

2

32 t.

r - s -

2

= r2 -

(

) e y = y (u v) são dadas implicitamente pelo sistema

t ey

(x, y), on dex - x u, v

s -

,

az

x +y - =0. ax ay

7. A função diferenciável z = z (x, y) é dada implicitamente pela equação f um real fixo), ondef(u, v) é suposta diferenciável e af (u, v)

av

(~y , ~) = O(A "* O xA

"* O. Verifique que

af

af _

Suponhax - Y - O. ax ay ay

x

az + Y -az ax

ay

=

Az.

8. Suponha que as funções diferenciáveis y = y (x) e z = z (x) sejam dadas implicitamente pelo sistema

a) Mostre que au

y

= - -x

ax

au

ag

b) Calcule - .

au

c) Mostre quefé constante sobre as hipérboles xy

= c.

13. Sejam x = x (u, v) e y = y (u, v) dadas implicitamente pelo sistema

(D

dy dz a) Expresse e - em termos de x, y e z.

dx dx b) Determine um par de funções y

9. Suponha que x

= x (u, v)

ey

= y (x) e z = z (x) dadas implicitamente por (D.

= y (u, v)

sejam dadas implicitamente pelo sistema

Q)

ax au

a) Expresse -

ay au

e -

em termos de x e y.

_ ( ) definidas implicitamente por Q).

b) Determine um par de funções x = x (u, v) e y - y u, v

244

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2

14. Sejam x = x (y, z), y = y (x, z) e z = z (x, y) definidas implicitamente pela equação F ( Sup~~adxo = x.(yo, zp), yo = y (xO' zO)' lo = z (xO' yO) e que no ponto (xo, yo, 7n) a:'l' z) "" O parCIIl.ls e F sejam dIferentes de zero. Mostre que -v enVad
-axl

ay Y = Yo

' ay -l

az x = Xo

z = lo

15. Sejam x

= x (u,

v) e y

= y (u,

z = lo

' azl -

-

ax x = Xo - -

13

1

.

Y = Yo

v) definidas implicitamente pelo sistema

GRADIENTE E DERIVADA DIRECIONAL

ax a) Expresse au em termos de x, y e u. b) Detennine um par de funções x = x (u, v) e y = y (u, v) definidas implicitamente pelo .

tema.

SIS-

13.1. GRADIENTE DE UMA F UNÇÃO DE D UAS V ARIÁVEIS : INTERPRETAÇÃO G EOMÉTRICA

o gradiente de uma funçãof(x, y) foi introduzido na Seção 11.5; nosso objetivo aqui é interpretá-lo geometricamente. Antes vamos recordar a regra da cadeia: sef(x, y) for diferenciável no aberto A C 1R2, r (t) diferenciável no intervalo aberto I, onde r (t) E A para todo t E I, então, h Ct) = f Cr (t)) será diferenciável e h' (t) = :t [f(r(t))] = V f(r(t))·

r'

(t).

Sejaf (x, y) de classe ct num aberto A C 1R2 e seja (xo, yO) um ponto da curva de nível y) = c; suponhamos V f (xo, Yo) =1= (O, O). Vamos mostrar a seguir que V f (xo, Yo) é perpendicular em (xo, Yo) a toda curva r, diferenciável, passando por (xO' Yo) e cuja imagem ~steja contida na curva de nívelf(x, y) = c (nas condições acima, pelo teorema das funções Implícitas, uma tal curva existe). Seja, então, r (t), t E I, uma tal curva, com r (to) = (xo, Yo); como estamos admitindo que a imagem de r está contida na curva de nível f (x, y) = c,

f Cx,

teremos

Q) Para todo t no domínio de

f(r(t)) = c

r . Derivando os dois membros de CD em relação a t, obtemos : d

d

- [f (r(t))] = -(c) dt dt

Ou V f(r (t)) .

r'

(t) = O, t E I ,

246

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

_ . e ua ão desta reta. O vetor ( - 11, 22) ~ perpenfica, em notaçao veto(~~,t 2i) éÇparalelo a 1" (to); assim, a equaçao da reta ejaJ11° t'1f(1 2),:;: (22, 11); logo, ' . \lIa! a v. ' de também ser dada na forma di' te aCima po, ' 5 como

e, portanto,

~

(x, y) = (1,2)

+

(-ll, 22),

À

À

E

R.

·

ou seja, V f (xo, yO) é perpendicular a 1', em l' (to) = (xO' yO)·

t~l\1I'LO 2. Considere a equação a derivadas parciais 2 af ax

+

af ,:;: O ay

Y. a)

umentos geométricos, obtenha solução de Q). _.. ~ R Com arg f. R2 ~ R diferenciável; prove que se f satisfaz Q), entao eXIste cp . R

b) Suponha

. _diferenciável tal quef(x, y) - cp (2y x). Solução

2 a) Sendo f (x, y) solução de Q), para todo (x, y) E R ,

Dizemos, então, que V f (xo, yO) é um vetor normal à curva de nivelf(x, y) = c, em (xo, Yo). A reta passando por (xO' yO) e perpendicular a V f (xo, yO) denomina-se reta tangente, em (xo, yo), à curva de nívelf(x, y) = c. A equação de tal reta é:

EXEMPLO 1. A curva l' (t) passa pelo ponto 0, 2) e é tal que f (1' (t)) = 6 para todo t no domínio de 1', ondef(x, y) = x 3 xy (observe que a imagem de l' está contida na curva

l-

de nivelf(x, y) = 6). Suponha l' (to) = 0,2) e 1" (tO) gente a l' no ponto (1, 2).

+ af

(x, y)

ay

=o

ou (2, 1) . V f (x, y)

= o.

~

* O. Determine a equação da reta tan-

Solução

V f(l, 2) =

2 a f (x, y) ax

af af -(1,2), -(1, 2) ( ax ay

J=

, endicular ao vetor (2, 1) e como V f (x, y) é perpenComo para todo (x, y), V f(x, y) e perp or este ponto é razoável esperar que as dicular, em (x, y), à curva de nível de fique passta P(2 1). assim! deve ser constante sobre curvas de nivel de f sejam retas parale as ao ve or , , cada reta paralela ao vetor (2, 1).

(22,11).

A reta tangente a 1'em l' (tO) = (1,2) coincide com a reta tangente à curva de nivelf(x, y) ,:;: 6 em (1, 2). Assim, a equação da reta tangente a l' em 0, 2) é: V f(1, 2) . [(x, y) - (1,2)]

=O

ou 22 (x - 1)

+

11 (y - 2) = O

Sendo f (x, y) constante sobre a reta r

ou

f(x, y) = f(O, m), onde

y = -2x

+ 4.

248

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2

..".. para todo (u, v) em 1R2, ~SSjl" ,

y - m =

x - O

.!.2 '

_ 2y 2-

ou, m -

x.

. Asslm,f(x, y) =

f

(

~~

2 - x) Y2 ; tomando-se

O,

(O, u

cp (u) = f -2 ), resultaf(x, y) = cp (2y - x) , onde cp •. If\\ ~ If\\ e uma funçao d . , V 'fi ~ envaVel en lque voce que, para toda cp : IR ~ IR diferenciável "f(x y) = cp (2y - x)'e solução de r-\\ . fll)

iY - x,

Assim, as funções sen (2y _ x),

fll)

'

2y

(2y - x)2 + e - x (2y - x)4 + 1 etc. são soluções de @.

V

= 2y = Y

= 2v y=v

=c

g (u, v)

= cp (u),

alguma função cp: IR ~ IR diferenciável. Portanto,f(x, y) = cp (2y - x), onde cp : IR ~ IR " I. P éarama função d'f I erenclave

x ou {x

Note que 9uando (x, y) percorre a reta 2y - x a reta vertIcal u = c.

mostra que g não depende de v, isto é, o que

~.

• uVejamOS, agora, como utilizar o gradiente de uma função de duas variáveis na obtenção da reta tangente e da reta ~ormal ao gr~~co .de uma função y = g (x) .de uma variável. :~a . to consideremos a funçao de duas vanavelS F (x, y) = g (x) - y; eVIdentemente, o graftco ~e ~ coincide com a curva de nível F (x, y) = O. Seja (xo, yo), com yo = g (xO)' um ponto do

Observação. Consideremos a mudança de variável

{u

(u, v) = O

u

o correspondente ponto (

) u, v percorrerá

gráficOde g.

Segue que V F (xo, yo) é normal ao gráfico de g em (xo' yo)· Como

V F (x, y)

= (g'

(x), -1)

v

y

(u, v)

~V :I

V F(xo'yo)

Yo =g(x o )

c

u

~ :

Seja g (u, v) = f (x, y), com x = 2v - u e - V ' . . constante sobre as retas 2 _ x _ . ' y - v. lmos, geometncamente, que f deve ser e e retas u = c ou seJ'a que y - d - c'd dd se esperar, então, que g seja constante sobre as , , g nao epen a e v. Vamos, agora, resolver a parte b). b) Sejaf(x, y) diferenciável em 1R2; supondo f solução de@ teremos

2 a f (x, y) ax

+ af

(x y) = O em

ay'

F (x,y)

=O

resulta, V F (xo, Yo) = (g' (xo), -1). A equação da reta tangente ao gráfico de g, no ponto de abscissa xo, é, então (g' (xo)' -1) . [(x, y) - (xo , Yo)] = O

fll)2

If\\

•

ou i~~~s~u, v)

=f

(x, y) com x

av ag

=

2v - u e y

=

v (veja observação anterior).

afax (x, y) ax av

(u, v) = -

af

+-

ay

(x, y)

ou

a ---.r av

g' (xo) (x - xo) - (y - yO)

=O

ou, ainda, y - Yo = g' (xo) (x - xo)· Por outro lado, a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto de abscissa Xo é: (x, y) = (xO' Yo)

+ À (g'

(xo), -1), À E IR.

Suponhamos, agora, que a função diferenciável y = g (x) seja dada implicitamente pela ->

~g v

(u,v)

=

2 af (x,y)+ af (x y) ax

ay"

Õ

eqUação F (x, y) = O, onde F é suposta diferenciável e V F (xo , Yo) 4= O, com Yo = g (xo) (O?s.erve que a situação anterior é um caso particular desta) . Segue que, para todo x no dolllinlO de g, F (x, g (x» = O, isto é, a imagem da curva l' (x) = (x, g (x» está contida na curva

de nível F (x, y) = O. Assim V F ( , xo, Yo) é normal ao gráfico de g no ponto ( ríamos també h xo' yO). p , m, ter c egado a este resultado aF aF ode, , no caso (x y) -=1= O observando que ay o' O e -a (xo, y ) x O 0,

(x, y) = (1, 1)

*

(ciOS 13.1 f;.rerc

aF

ay (xo, Yo)

1.

aF

a; (xo, yo)

V F (xo, yO)

=

F aax (xO' yO) -:

+

l

•

E Il\t

========================================

É dada uma curva l' que passa pelo ponto l' (tO) = (1, 3) e cuja imagem está contida na curva

+i

de nível x 2

I é o coeficiente angular da direção determm· d a a pe o vetor

+ À (1, 4), À

-+

= 10. Suponha y' (to)

i= O .

a) Determine a equação da reta tangente a l' no ponto (1 , 3). b) Determine uma curva l' (t) satisfazendo as condições acima.

aF ( ay xo' yo)

-+

i e que

2. Determine a equação da reta tangente à curva l' no ponto l' (tO) -+

1" (tO) i= O e que a sua imagem está contida na curva de nível xy

= (2, 5) sabendo-se que

= 10. Qual a equação da reta

normal a 1', neste ponto?

aF (xo, Yo) ax g' (xo) = - -;a>rF;----a (xo, Yo)

,

3. Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.

Y

(formula de derivação implícita) é o fi· ponto (xo, yO). coe ICIente angular da reta tangente ao gráfico de g no

EXEMPLO 3. y = / ( ) , _. y3 + 1'"\1 + x3 = 3x DXt e u~a funçao dIferenciável definida implicitamente pela equação "J . e ermme as equações d ponto (1, I). as retas tangente e normal ao gráfico de/ no

+ xy + i-

a)

i

b)

e2x -

y

+ xy + x

ax

= 3x

<=> ('3 + xy + x 3

-

.

af

c) -

ax

V F (1, 1) é perpendicular ao gráfico de/no ponto (I I) T . , . emos.

+ 3x2 -

Reta tangente:

I ).

2

2

+

i

= 3 e paralela à reta 2x

+Y=

5.

+ xy + i = 7 e paralela à reta 4x + 5y = 17.

+2

af

-

=

ay

af

O

b) -

ax

-

af

-

ay

=0

3x = O

F (;, y)

V F (1, 1) = (1,4), pois, V F (x, y) = (y

~,

6. Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.

af

Y

= 4 em (

5. Determine uma reta que seja tangente à curva x

a)3 -

3

+ 2x + 2y

4. Determine uma reta que seja tangente à elipse 2x

Solução 3

3y = 1 em (1, 2).

3, 3i

+ x)

af

+ -

ay

af

.

af

d)y--x-=O ax ay

=0 _

af

7. Deternune uma funçaoz = I(x, y) tal que -

ax

ai

= -

ay

.

e cUJo gráfico passe pelos pontos (1 , 1,3),

(O, O, 1) e (O, 1,2).

V F (1, 1) . [(x, y) - (1, 1)J = O ou seja,

8. Determine uma função z

= I (x, y) tal que ai = 2 aI

curva l' (t) = (t, t, t ), t E ~. 2

y=-1x+ 5

4

4

Reta normal:

9. Determine uma curva l' (t)

ax

e cujo gráfico contenha a imagem da

ay

= (x (t), y (t» que passe pelo ponto l' (O) = (1, 2) e que intercepte 2+ 2i = c.

ortogonalmente as curvas da farru1ia x

10. Determine uma função y = y (x) cujo gráfico intercepte ortogonal mente as curvas da farru1ia xy = c, com x > O e y > O, e tal que

y - 1 = 4 (x - 1) ou y = 4x - 3.

a) y (1) = 1

b) Y (1) = 2

11. Seja z = f(x, y) diferenciável em 1R2 e tal que V f (x, y) onde g (x, y) é uma função de 1R2 em IR dada.

= g (x, y) (x, y), para todo (x, y) em

a) Com argumentos geométricos, verifique que é razoável esperar quefseja constant

e SObre

cada circunferência de centro na origem. b)

"'" Jt2.)

12. Seja y = g (x) definida e derivável no intervalo aberto I, dada implicitamente pela eq _ f (x, y) = O, onde f (x, y) é suposta diferenciável no aberto A C IR . Suponha uaçao

af

ax

af

(x, y) . -

ay

(x, y)

> O em A.

a) Com argumentos geométricos, mostre que é razoável esperar que g seja estritamente decrescente em I . b) Prove que g é estritamente decrescente em I.

13.2. GRADIENTE DE FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Sejaf(x, y, z) de classe d num aberto A C ~3 e seja (xO, yo, 20) um ponto da superfície de nível f (x, y, z) = c; suponhamos V f (xo, Yo, 20) =1= (O, O, O). Vamos mostrar que V f (xo, Yo, 20) é normal em (xo, Yo, zO) a toda curva 1', diferenciável, passando por este ponto e cuja imagem esteja contida na superfície de nível f (x, y, z) = c. Seja, então, I' (t), t E I, uma tal curva, com I' (to) = (xO, YO, zO); como estamos supondo que a imagem de I' está contida na superfície de nível f (x, y, z) = c, teremos

CD

°

Prove que f é constante sobre cada circunferência de centro na origem.

(Sugestão: g (t) = f(R cos t, R sen t) fornece os valores defsobre a circunferênciax2 + l

-

, . 'lf( ) = c no ponto (xo, Yo, zO)' O plano zo) é normal à superflcle ~e nllve <"1fx.(y, Z z)' denomina-se plano tangente, ç /(XO' Yo' ( ) e perpendlcu ar a v xo' Yo, IIl1c . dopelOp?nto X 0'/9'/zO( y z) = c. A equação deste plano é: .. SSflfl zo)' a superflCle x, , ~ (.to' YO' =O e V /(xO' Yo' zO) . [(x, y. z) - (xO' Yo' zo)] .

Areta

(x, y. z) = (xo, Yo, zo)

°e

V/ (xo, Yo, zo)'

À

E IR

') /\

Solução xyz +

para todo t no domínio de')'. Derivando, em relação a t, ambos os membros da equação CD obtemos, para todo t E I,

X

3

+ y3 + z3 = 3z ç=> xyz + x 3 + y3 + z3 -

3:

= O.

' V "

F(x, y, z)

_ (aF aF aF\ =(Yz+3i,xz+3l,xy+3i- 3 ). V F (x. y, z) - ~ ax' ay' az )

1" (t) = O

e, portanto, V f (I' (to)) . 1" (to) = O, o que mostra que V/ (I' (to)) e

À

I ( z ), à superfície/ex, y. z) = c. - O ..... ina- se reta norma , e~ x.Cf YO'.~ I dada implicitamente pela equaçao F (x, y. z) de001:~ _ ( ) uma funçao dl1erenClave _ Seja z - g x. Y d I e C l num aberto de 1R3; seja (xO' Yo, ZO), Zo - g (xo, yo), um z) é suposta e c ass ~ , . oode F (x. y. =1= O Como o gráfico de gesta contldo na supernto do gráfico de g, com V F (xO' Yo, zo) ' . magem contida no gráfico de g tem, tampO ) _ O resulta que toda curva I' com 1 ) ' ormal ao fície F (x, .Y' z - , f d na superfície F (x. y, z) = O; assim, V F (xO' Yo' Zo e n , sua Imagem con I a bgre~cO de g, em (xo, Yo, lo)' d'f nciável com imagem contida na interseção das I b e se I' (t) é uma curva I ere ) _ O onde F e G são supostos de classe C num a erto Observe qu ~ ~ u erfícies F (x. y, z) = Oe G (x. y z - , sP 3 V G (x y zo) =1= O então o vetor 1" (to) =1= O, tangente a I' em de IR e V F (xO' Yo, Z?) /\ ~'F V G (xo, Yo' ZO) (verifique). r (to) = (xo, Yo, zo), e paralelo a xo' Yo' Zo , . _ ente e da reta normal à superflcle EXEMPLO 1. Determine as equaçoes do plano tang xyz + x3 + y3 + z3 = 3z no ponto (1, -1,2).

f(I' (t)) = c

V f(I'(t))·

+

1" (to) são ortogonais.

V F(1, -1,2) = (1,5,8).

Plano tangente em (1. -1.2): V F(l, -1,2) ' [(x, y, z) - (1, -1,2)] = O

Ou

t

(1,5,8)' [(x. y. z) - (1, -1,2)] = O

.f{x. y. z) = c

Ou seja, Fica provado assim que V f (xo, Yo, zo) é normal em (xO, Yo, zO) a toda curva diferenciáve! 1 passando por este ponto e com imagem contida na superfície f (x. y, z) = c. Diremos, entaO,

(x - 1)

+ 5 (y +

1)

+ 8 (z

- 2) = O

ou, ainda, x

+ 5y +

8z = 12.

6 (x - 1)

Reta normal em (l, -l, 2): (x, y, z)

= (1,

+

-1,2)

EXEMPLO 2. Considere a função z = f (x mine a equação do plano tangente no pont;

À

(1, 5, 8),

E IR.

À

ri. ~:~a(i~~~~x,

00 •

+ 4 (z

1)

- 2) = O,

ainda,

li

y) =

+ 2 (y -

Z -

~. Deter_

2

= - -3 2

1 2

•

- (y - 1).

(x - 1) -

Solução

eXEMPLO 3. A imagem da curva 'Y (t) está contida na interseção das superfícies

l. o processo

J

'"

2+

2l + z = 4 ex2 + y + z = 3. Suponha 'Y (to) = (1, 1, 1) e 'Y

-+

I

(to)"* O.

) Determine a reta tangente a 'Y no ponto 'Y (to)·

z - f(1, 1) = a f (1, 1) (x - 1)

ax

+

a f (1 1) (y ay' - 1)

~) Determine uma curva 'Y (t) nas condições acima. Solução a) Sejam

f(1,1)=2

F(x, y, z) = x 2 + 2i + z e G (x, y, z) = x 2 + Y+ z.

Para todo t no donúnio de 'Y devemos ter

_af_ = -6x af-3 ax 2~8 - 3x2 _ y2 ; logo, ax (1, I) = af -2y -ay = I logo, af (1, I) =-~ 2 -v 8 - 3x 2 - y2 ay 2

F ('Y (t)) = 4 e

2

2= -

2 (x -

1) -

2

.!. (y -

1" (to) =

O e

V G ('Y (to» .

-+

2. o processo V F (1, 1, 1) /\ V G (1, 1, 1) =

~8 -

2 3x - y2 => i = 8 - 3x2 -

A equação da reta tangente a 'Y no ponto 'Y (tO) (x, y, z) = (1, 1, 1)

~X2 + y2 + z2 - 8 = O F(x~y, z) ,

b)

=

V F (x, y, z) = (6x, 2y, 2z) => V F(1, 1,2) = (6 2 4) ' ,

+

À

=

-+

i

k

....

O,

1" (to) é paralelo ao

-+

1 = 3 i - 6 k. 1

4 1

(1, 1, 1) é:

(3, O, -6), À E IR.

{x 2 + 2y 2

x

V F (1, 1,2) é, então normal áfi ' ao gr ICO defno ponto (1, 1,f(1, I)).

2 +Z= 4 +Y + z= 3

2

x + Y + Z = 3 => z = 3 - x2 -

y. Substituindo na 1.· equação vem:

x2 +

.

equação do plano tangente em (I I 2) '. "

2 2

i

A função é então definida implicitamente pela equação

A

1" (to)

ou seja, 1" (to) é normal aos vetores V F (1, 1, 1) e V G (1, 1, 1); logo, produto vetorial V F (1, 1, 1) /\ V G (1, 1, 1). Temos:

I)

2

é a equaç- d I ao o p ano tangente em (1, l,f(1, 1)).

z=

= 3,

pois a imagem de 'Y está contida nas superfícies de nível F (x, y, z) = 4 e G (x, y, z) = 3. Segue que

V F ('Y (to» . Z -

G ('Y (t))

2i + 3 -

x2

- Y= 4

e.

(6,2,4)· [(x, y, z) - (1,1, 2)J = O

e, POrtanto,

2i - y -

1 = O, ou seja, y = 1 ou y =

-.!.; isto é, y não depende de x. Como 2

a CUrva deve passar pelo ponto (1, 1, 1), vamos tomar y

= 1. Segue que z = 3 -

2 x - 1, ou

seja, z = 2 - x2 . A imagem da curva 'Y (t) = (t, 1,2 - t 2 ) está contida na interse _ superfícies e passa pelo ponto (I, I, I). Sugerimos ao leitor desenhar a imagem de Çao da.s y. Exercícios 13.2 ==========================~ I. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no Ponl a) x

2

2

+ 3y + 4z

b) 2xyz x

= 3 em

c) ze - Y

+ z3

2

o dado

= 8 em (l, -I, I)

.

= 2 em (2, 2, I)

3

2. A função diferenciável z = f (x, y) é dada implicitamente pela equação x + y3 Determine a equação do plano tangente ao gráfico defno ponto (1,1,/(1,1».

+ z3 ==

;2 + 2y~2~+~z~-~7~._ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

10.

~

13.3.

~, I, 3 )

(

5 O 1) e (1 0,3) e que seja tangente à superfície . e um plano que passe pelos pontos ( , , , Jl n eterrn1 2

DERIVADA DIRECIONAL

~.

,.

d Deu = (a b) um vetor umtano. b) ) a função (xO yo) um ponto e f ' Sejalll z === f (x, y. um > Otal ~ue ~ara I ti < r os pontos da reta (x, y) = (xo + at,:,o ~ t ur>OnhalllOS que eXista r d -;; = (a b) unitário, a distanCia de S r - alll ao domínio de f. Como estamos supon o , pertenç + bt) a (xo, Yo) é I t I (verifique). (.ro + at, Yo

10

.

6

f "lCle x2 + 3y 2 + 2 z2 = 11 e paralelo ao plano . um p Iano que seja . tangente a'super 3 . D eterrrune

x + y + z = 10. 2

4. É dada urna função diferenciável z = f(x, y) cujo gr'dfico está contido na superfíciex

Sabe-se que f

ponto

(

(~,~, 2

2

~ , ~) = 2

2

+ l + l == 1.

.fi . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f

no

2

~

d' ão u Pois bem, definimos a taxa média de variação de f , na Ireç

.fi ).

tos (xo, Yo) e (xo

2

l

i

5. A imagem da curva y (f) está contida na interseção das superfícies x 2 + + = 3 2 2 2 ~ e x + 3y - z = 3. Suponha y (tO) = (l, I, I) e y' (to) O . Determine a reta tangente a 'Y em 'Y (tO)'

*'

2

6. A imagem da curva 'Y (f) está contida na interseção da superfície cilíndrica x + 2 superfície esférica x + + = 3. Suponha y (tO) = (1, 1, 1) e y' (to) O.

*'

i i

i

*'

4i + i

+ at, Yo + bt) por f(xo + at, YO + bt) - f(xo, YO)


= 2 com a Definição. O limite

a) Determine a reta tangente a yem y (f ). b) Determine uma curva y (f) satisfazen80 as condições acima.

7. É dada uma curva y (f) cuja imagem é a interseção das superfícies Suponha y (tO) = (O, 1, O) e y , (to) O.

af ( )-::; xo, Yo = I e x + y + z == 1.

. a~ fi nl'to

quando eXiste e e

I

-4

a) Determine a reta tangente a yem y (tO)' b) Determine uma parametrização para a interseção acima.

8. Considere a função

z=

~8 + x 2 + y2 y

direção do vetor u

f(xo + at, YO + bt) - f(xo, YO) t~O t tim

denomina-se derivada direcional defno ponto (xO' YO) e na ,

= (a,

~

.,.

b), com u umtarlO.

d" al af (x Yo) denomina-se, também, taxa de variação de f no pon. A denvada IreClOn -::; o'

.

au

a) Determine uma função F (x, y, z), que não envolva radicais, tal que a função dada seja definida implicitamente pela equação F (x, y, z) = O. b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função dada no ponto (2, 2, 1). 9. Determine a equação do plano normal, em (1, 2, 3), à interseção das superfíciesx2 exyz = 6.

= (a, b), entre os pon-

+ l + i ==

14

~

to (xO' Yo) e na direção do vetor u. Observe:

af (Xo, Yo) = -::;

au

fT~(x~oc.:.+~a~t,c..:!Y~o-+~bt~)---'f~(x~o-'Y,-,o~) :..

sendo a aproximação tanto melhor quanto menor for I t I. As derivadas parciais def, em (xO, Yo), são particulares derivadas direcionais. De f

af

~ (xO' YO) ai

=

f(xo

tim

+ t, YO) - f(xo, YO)

t ~o

=

ato:

af ax (xO, Yo)

e af

~ (xo,Yo)

aj

=

tim

f(xo,Yo

au , (O) segue que Y

+ t) -

t~O

af g' (O) = --=; (xo, Yo) ·

f(xo, YO) _ af ( ) - Xo,Yo. ay

t

l aa~u (xo,

= (a, b, g' (O»

y' (O)

= (a, b,

~

+

(a, b, O)

YO)1. Então, )

(0, :~ (xo. YO)) O.

Deste modo, a f (xo, Yo) e a f (xo, Yo) são, respectivamente, as derivadas direcionais de!, ax ay , ~

no ponto (xo, Yo), e nas direções dos vetores i A seguir, vamos interpretar geometricamente y (t) dada por

(1, O) e j

a~ au

1).

...,.' <:&J)

(X{), Yo). Para isto, consideremos a curva

+ at

y: Y = Yo

+ bt

z=

= (O,

(3

X = Xo

{ onde g (t) =

~

=

0,0,

--::+ (x •.

Y.)I\

(a, b. O)

,

. , '

Como (a, b) e umtànO,

af

-)

(x

au

EXEMPLO 1. Sejaf(x,

g(t)

(arau

y)

O,

2

° = tg {3 (veja figura anterior).

y)

2 C 1 le

= x + y.

a cu

f (xo + at, Yo + bt).

af~ au

(1 1) onde : é o versor de , ~

~ ~

a)

c) v

b) v = (1,2)

v =(-1,1)

= (1, 1)

Solução

. . I InicIalmente, vamOS calcu ar

a~

y (Xo+ at, yo+bt)

au

af -) au

(1 1) onde : = (a, b) é um vetor unitário qualquer. ,

fel (1,1)

+ at, 1 + bt) - f

t~O

x

lim

(1 + at)2

+ (1 + bt)2 .:.. 2

t~O

Ou seja, Observe que a imagem de y está contida no gráfico de f Temos: g' (O) =

lim g(t) - g(O) = t~O

lim t~O

f(xo + at, Yo + bt) - f(xo, YO) = af (xo, Yo),

au~

(1, 1)

lim

a~

au

(1, 1) = 2a

+ 2b .

= 2a

+ 2b.

a) -> u =

(-1, 1)

- ( _

1

1 ).

->

11(-1,1)11 .fi'.fi' u é tangente em (1, 1) à curva de nível/ex y ) 2 , ou seja, x + = 2 (verifique).

i

cll :::::::

~

à (I

r

va

nívelf(x, y) = f3. Compare a taxa me'd'Ia d e variação de/entre os pontos ( t t ) 1 + sb) e entre os pontos (1, 1) e 1 + .fi' 1 + .fi'

(1,1) e

de

-+- sa,

(1

+ sa. 1 + sb)

~ (1+ ft i

.1 +

t

fi

)

!<X.y)=(3

Portanto, razoável (Por quê?)é De fato esperar que, nesta direção t, a taxa de variação de f, em (I, 1), seja nula.

a/ (1 1) = 2 . ( __1_) + 2 . (_1_) = O. -fi -fi au-> ' b) ;

=

(1,2)

(_1_ ~) -J5' -J5

=

11(1,2)11

( = a b)

Send o (a , b) unitário , a distância de (1

+

t ) , Se(a,b)* a(I,1)et. 1+_t_,I+_

(

-fi

(,

f(1 +sa,

f(1

au

(1-fi' -fi1)

é maior que para -> u =

a~ au igual ao versor do vetor gradiente Vf (xo, Yo).

Provaremos, na próxima seção que, sendo f diferenciável, ->

ximo para u

EXEMPLO 2. São dados uma funçãof(x, y) = x 2 +

f3 > 2. Suponha que (1 + sa, 1 + sb) e ( 1 +

+ sa, 1 + sb) -

f(1, 1)

f( 1 + _t_, 1 +

~) -

f(1, 1)

< ~~_-fi-,,-2~_~......<....._ __ t

af (1, 1) assuma valor máximo para ->u = É razoável, portanto, esperar que ---:::::;

(1-fi -fi1) -, -

au

+ 2. (_1_) = ~. a;af (1,1) = 2. (_1_) -fi -fi-fi af (1, 1) para -> ~ u =

1 _1_)

-fi'-fi' teremos t < s. Como

s

~

NotequeoValorde

sb) a (1, 1) é s; a distância de

_t_

-y 5

(J 1) (1 1) -> c) u = 11(1, 1)11 = -y2-y2 "" '" ; observe que u éoversor dovetorgradienteVf(I,1)=(2,2). Temos: ->

+

1+ sb)-fi-- f (1 + -fi'-y2 1+ ~) resulta, para (a, b) * (11) -fi' -fi '

af (1,1) = ~ .

au->

sa, 1

•

EXEMPLO 3. Seja; = (a, b) um vetor unitário dado. Calcule

(1-J5' f52). f(x,

y) {ox2: y2 =

(xo, Yo) assumirá valor má-

SOlução

i, um vetor unitário (a, b) e um real

~, 1 + ~ ). com s > °e t > 0, pertençam

se (x, y) se (x, y)

f(O

+ at, O + bt) - f(O, O)

=

(at)2

+ (bt)2 t

* (0, O) = (O, O).

af a; (0, O) onde

.•

~o~

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

) for diferenciável em (xo, Yo)' então

af (O, O) = lim f(O t~O

a;

+ at, O + bt) -

Owo~

f(O, O) = a 3

ma acima conta-nos que se f( x, Y

t

~

af (xo, yo) = V f (xo, Yo)· u. ~

au

ou seja, para todo vetor unitário (a, b) af (O, O) = a3 . ~

au

li!

Já vimos que f é contínua em (O, O), mas não diferenciável em (O, O). Este exemplo m nos que uma função pode ser contínua num ponto, ter derivada direcional em todas ~str~_ reções neste ponto, e mesmo assim não ser diferenciável neste ponto. s dl_

13.4. DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE o objetivo desta seção é destacar mais algumas propriedades do vetor gradiente.lnicial_ mente, vamos provar que seffor diferenciável em (xo, Yo), então f admitirá derivada direcional em todas as direções, no ponto (xo, Yo), e cada derivada direcional se exprime de modo bastante simples em termos do gradiente de f em (xo, yo).

I ão não tem nenhuma obrigação não for diferenciável em (xo' Yo) esta re aç tanto, se f ,. 21) . r't e f.o tre ·ficar. (Veja ExerclclO. . b a função f (x, y) ficará 1mp 1C1 o qu de se ven 1 diante quando nada for dIto so re um. , De agora em _' d fi .da num aberto e diferenc1avel. duma funçao e 1m se trata e ~ ~ _ -o-nulos e 8 o ângulo entre eles, entao S - 6 4 que se w e u sao vetores na ~ VimOS n: eç~o . ~ ." ~. -: = 11 ~II cos 8. Na figura a seguir, ex u é -I -I _ 11 w 1111 u 11 cos 8; se u for urutano, w ~ 8' IV' U ~ . _ ~ d = 11 ~ 11 cos 8. Diremos que o número ex = II w 11 cos e . ão de w na dlTeçao u, on e ex aproJeç ~ ~ nente escalar de w na direção u. acompo

~

2

Teorema 1. Sejamf: A C IR ~ IR, A aberto, (xo, Yo) E A e u = (a, b) um vetor unitário. Sef(x, y) for diferenciável em (xo, yo), entãofadmitirá derivada direcional ~

~

em (xo, yo), na direção u, e

a~ au

. af ( ) é a componente esca l ar de V f (xo' y)O na direção u. Veremos a segmr que --::; Xo, Yo (xO' yO) =

vf

au

(xo, Yo) . -:.

~

Suponhamos V f (xo, Yo)

"*

~O

~ 'tário Seja 8 o ângulo entre V f (xo, Yo) eu . e u um .

Temos:

Demonstração

~

Seja g dada por g (t) = f(xo + at, Yo + bt); da diferenciabilidade dafem (xo, Yo) segue a diferenciabilidade da g em t = O e, pela regra da cadeia,

,af g (O) = -

ax

(xo, Yo) a

+ -af

ay

au (xo, Yo) b = V f (xo, Yo) . (a, b)

. Como u é unitário

(xo, Yo) = g' (O)

resulta, a~ (xo, Yo) = V f (xo, Yo)' ;.

au

--::; (xo' Yo) = V f (xo, Yo) . ~

Como

a~ au

af

•

-:

= IIV f (xo, Yo) 11 . II u II cos 8.

y)

(2x

===

+ y, x); logo, V f(l,

2) = (4, 1).

ç' f('~' .

~

_ _~

ti) 1/ -

af

---=;_-.. au (xo, yO) é a componente escalar de Vf(x o' Yo ) na d'Ireçao u.

~

== (1r;:;'

11 v II

1). . r;:;

, aSSim,

-.j2-.j2

af _ --:; (1,2) - (4, 1)'

(1-.fi' -.fi 1"\) -_ -.fi' 5

au ATENÇiio.• ---=;af (xO, yO) e' numero. , au b)

~

; == (35' 54)

li === -:::;-

IIwll

Teorema 2. . em (x o' yO ) e tal que -.. Sejaf: A C 1R2 ~ IR , A aberto, dIferenciável

_af (1 2) = (4 1)'

-..' au

Vf(xo, Yo)"* O. Então, o valor máximo de a-.. f ( xO' ) yO ocorre quando -.. u for o versor d au e V f(xo, YO) al' . af IIV f(xo, yo)ll' eov ormaxunode ---=;- (xo,yo)éIlVf(Xo,yo)11. au

Vf(xo,yo),istoé, : =

i

EXEMPLO 2. Sejaf(x, y) = a) Determine: de modo que

,

(35' 4) 165 5 -

-

y.

a~

(1,1) seja máximo.

af

b) Qual o valor máximo de af -.. (1, I)?

au

c) Estando-se em (1, 1), que direção e sentido deve-se tomar para que f cresça mais rapida-

---=;- (xO, yO) = 11 V f (xo, yO) II cos () af

---=;· quando --t a u (xO' yO) terá valor máximo para () - O , ou seja, u for o versar de V f (xo, yo)·

au mente? Solução

O valor máximo de ---=;af (xo, yO) e, então 11 V f (xo, yO) 11. • au O teorema acima nos diz, ainda, que, estando em (x 'tomar para que f cresça mais rapidam t ' d o' yo), a dlreçao e sentido que se deve en e e a o vetor V f (xo, yo).

V f(l, 1) =

j

af af -(1,1), -(1, 1) = (2,1). ( ax ay

a) Comofé diferenciável em (1,1) e V f(1, 1)

a: "

y-

EXEMPLO 1. Calcule af (1 2) ondef(x, ) _ x 2 + xy, e --t u o versar de a) v

= (1,

•

au

Demonstração

-..

=-.

-.. b) w

1)

"* (O, O), segue que af-..

(1,1) é máximo

au

ara -"u = V f (1, 1) . -.. (2 1"\ P \IV f(l, 1)11' ou seja, u = .J5'.J5)"

= (3,4) b)Ovalormáximode af (1, l)éIIVf(l, 1)11

Solução

-..

=.J5.

au

Como f é diferenciável

c) V fel, 1) = (2, 1) aponta a direção e sentido em quefcresce mais rapidamente em (1,1).

af

-..

---=;- (1,2) = V fel, 2)' u. au

i

3l

•

+ represente uma distribuição de temperatura no plano xy: T (x, y) é a temperatura no ponto (x, y) (supondo Tem °C, x e y em em).

EXEMPLO 3. Admita que T (x, y) =

,",UI'

..........

,
ue ..... ULCUtU

VOto ~

-

(jradtente e uenvaau

a) Estando-se em (2,

ULlt!l.LVIf-Uf.

~),

ual a d· . q rreçao e sentIdo de maior crescimento d Qual a taxa de crescimento nesta direção? a tempera ... . 'ura?

(2

~) al . _ '2 ,qu a drreçao e sentido de maior decresc. l . Imento da te a taxa de decrescImento nesta direção? Illperatu_

b) Estando-se em

ra? .

2

Qa u

Solução

OU

a)VT(2~)==

,2

d· _ . '2 ,a rreçao e sentIdo d

1

==

crescimento de temperatura. Nesta direção, ; peratura é máxima:

1)

aT ( 2, -::;-

_ -: + 3J-: aponta, em (2~)

(4,3) - 4

seja,

au

. e ll1ator

VT(2, ~) 2

2" == - 5 CClem).

Nesta direção e sentido, a partir de ( 2,

I V T ( 2, f)li' a taxa de variação da tem_

~ ).

a temperatura está decrescendo a uma taxa

aproximada de 5°C por cm.

EXEMPLO 4. Suponha que T(x, y)

-

== 4x2 + i

represente uma distribuição de temperatura no plano.xy. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir de (1, 1), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura. Solução

o que significa que, a partir do ont ( 1) ._ p o 2, 2" e na drreçao e sentido de V T (2 ~) peratura está ' , a tem2 aumentando a uma taxa aproximada de 50C porcm:

T(

2+ 5 , 2 + -5 4t.!

Por considerações geométricas, é razoável esperar que a trajetória descrita por P coincida com o gráfico de uma função y = f (x), comf(1) = 1.

(1) '2"

3t ) -T 2

==5

t

4t

(

x' + 3y'

1

3t)

2+7 '2 +5

19 / ==_, 4

sendo a aproximação tanto melhor quanto menor for o t. b)

-V (2'2~) - -: + T

--(41

~ 3j)aponta, em

decresciment d ~ o a temperatura. Nesta direção, u

o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico defem (x, y) é

(21)

'2" ' a direção e sentido de maior

==

_ VT( 2, f)

Vr (x, (j)

I V T( 2, f )li' a taxa de variação

da temperatura é rrúnima:

y)

==

f'

(x). Como

(8x, 2y) deve ser tangente ao gráfico de f, em (x, y), devemos ter

dy

2y

dx

8x

( Observe que a direção do vetor V T (x, y) = 8x ~----

dy = dx

7 + 2y-; tem coeficiente angular ~~.)

Separando as variáveis em (j) e integrando, obtemos,

.40eJ

Um Curso de Cálculo -

Voi. 2 Gradiente e Derivada UlrecLOnal

-4

In y

1

=-

4

In x ou

y

= 1[;.

-4

V f(l, 2) = (2,4) e

Segue que l' (t) = (t, fi), t ~ I, é uma parametrização para a trajetória descrita POr p Um outro modo de resolver o problema é determinar funções x (t) e y (t) tais que a Cu . l' (t) = (x (t), y (t» satisfaça as condições rVa

a~ au

l' (O) = (1, 1).

(2, -1) _ 11(2,-1)11-

u

j.

(~ __1_)

E' E

assim,

l'f(t) = VT(l'(t» {

-4

(1 ' 2) onde u é o versar de 2 i ueremos aqUl.,e af -4 O que q au

Para que a condiçãof(l) = 1 seja satisfeita, devemos tomar k = O; assim,

~UY

2 - E-o. 1) _ ( E'

(1,2) = (2,4)·

•

- Tudo o que dissemos nesta seção generarlZa-se para funções reais de três ou Observaçao: mais variáveIS. ')". (1)

.

.. EXEMPLO 6. Calcule a derivada dIreCIOnal de f( x, y, z) -

v T (')" (t))

-4

reção i

-4

+

xyz no ponto (1,1,3) e na dI-

-4

+

j

k.

Solução -4

af (1 1,3)=Vf(1,1,3)· u -4

'

Ju

Temos:

~

~

.,

~

onde u é o versar de i + j + k.

1" (t) = VT (l' (t» (::> (x(t), y(t» = (8x (t),

2y (t». -4

Deste modo, x (t) e y (t) devem satisfazer as condições

(1, 1, 1) 1, 1) II

II (1,

=

(_1_, _1_,

_1_) e

-fi -fi -fi

y = 2y

a~ au

{

x (O) = 1 e y (O) = 1. . ., - aCIma. . ASSl.m, . eIxamos a seu cargo ven·fiIcar que x = e 8t e y = e 2t satIslazem as con d·lçoes

= (3,3,

1)

1 1 1) _ 7 -fi' -fi' -fi - -fi.

• Exercícios J3.4 :=::::::=============================================== 1. Calcule

l' Ct) -- Ce 8t,e 2t), t ;:" ~ O,

(1, 1,3) = (3,3,1)· (

!.L (xo, yo), sendo dados: -4

Ju

é, também, parametrização da trajetória descrita por P.

V f(l, 1,3)

Assim,

X = 8x

D

_

u -

•

EXEMPLO 5.-4Calcule a derivada direcional def(x, y) = x 2 + i no ponto (1, 2) e na dire-4

-4

2 (xO' y) a)f(x, y) = x 2 - 3y, O 2

b)f(x. y)

=

c)f(x, y)

= arctg

ção do vetor 2 i _ j.

ex

-

= (1 ' 2) e -4-;:

.y2 , ( xO' y) O = (I ' I) e

u

~, (xo, yO) = (3,3) e -;: y

o versor de 2 i

-4

+

o verso r de (3, 4) .

=(

.5, .5 J

j.

~ru

Um

Curso de Cálculo -

VaI. 2 VI

7.

+

d)f(x,y)=xy,(xO' YO)=(1 , I)e -: oversorde -:

lle

l

a)f(x, y) = x + xy + em (1, I). b)f(x, y) = In " (x, y) "em (1, -I). c)f(x, y)

= ~4 -

x 2 - 2 y 2 em ( I,

~

~

........ _~ ...- ..... ... . _ •• _ ••

4l;;,.

2. E.m que direção e sentido a função dada cresc . . dIreção e sentido decresce mais rapidamente? e m3.lS rapidamente no ponto dado? E elll q 2

"'"u . II:., .... c..

4l,

Seja A = {(x, y) E JR2f 5 - x 2 O}. Suponha que o gráfico dez = 5 -:l- (x, y) E A, 13. represente a superfície .de um monte. (Adote o krn como unjda~e de m~dj?~.) Um alpini~ta que se encontra n~ pOSição (I, I, O) pretende esc~á-I~. Dete~e a .trajetona .a ser desc?ta pelo alpinista adrrutIndo que ele busque sempre a direçao de maJor aclive. Sugenmos ao leitor desenhar o monte e a trajetória a ser descrita pelo alpinista.

2 4. Suponha que T (x, y) = .40 - x represente uma distribuição de .temp;ratura no plano 1 xy. (Admita que x e y sejam dados em krn. e a temperatura em 0C.) Um mdlvlduo encontra-se

2l

~ ).

na posição (3 , 2) e pretende dar um passeIO. a) Descreva o lugar geométrico dos pontos que ele deverá percorrer se for seu desejo desfru-

tar sempre da mesma temperatura do ponto (3, 2).

3. Sejaf(x, y) = x arctg ~. Calcule . y crescimento de j, no ponto (1, I).

!L (1)

~

. , I ,onde u aponta na dIreção e sentido de máx' Imo

~

au

~I + x 2 + y2

4. Calcule a derivada direcional def(x, y) =

b) Qual a direção e sentido que deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura?

c) De quanto a temperatura se elevará aproximadamente, caso caminhe 0,01 krn na direção encontrada no item b? ~

ti) De quanto decrescerá, aproximadamente, a temperatura, caso caminhe 0,0 1 krn na direção j ?

no ponto (2, 2) e na direção

~

-7

a) v = (1 , 2)

~

b) w = - i

IS. Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto e direção w indicados.

~

+ 2j

~

5. Calcule a derivada direcional def(x, y) =

2

+ y2

x2 6. U:a

3i

~

' no ponto (-I, I) e na direção 2 i

+

37.

funç~o diferenciávelf(x, y) tem, no ponto (I, I), derivada direcional igual a 3 na direção

+

4 j e igual a - I na direção 4 -: -

37 Calcule

a) V f(1 , I).

af

b)

= xyz em (I,

a) f(x, y, z)

= x 2 + xy + i

b) f (x, y, z)

~

~ (1, 1) onde u é o versar de i +

au

i

~

+ ~

em (1 , 2, - I) e na direção w

~

j -

k. ~

=

~

+2

i

j

~

+

k.

16. A função diferenciável f (x, y, z) tem, no ponto (I, I, 1), deri vada direcional igual a 1 na dire~

ção 4 j

+

~

~

3 k, igual a 2 na direção - 4 i

valor máximo de ~

~

=2

I, 1) e na direção w

~

+

~

3 j e igual a zero na direção j. Calcule o

!L (I , I, I). ~

~

au

j.

~

~

17. Sejaf(x, y) diferenciável e sejam u e v dois vetores de JR2, unitários e ortogonais. Prove:

-l

7. Admita que T(x, y) = 16 - 2x2 represente u d' 'b ' Determine uma parametrização para a tra 'et ' . d ma IStn Ulçao de temperatura no plano xy. do ponto (I, 2), sempre na direção e seniid~~~ e~c~ta por um pontoPque se desloca, a partir mllXimo crescrrnento da temperatura. 8. Sejaf(x, y) = xy. Determine uma parametriza ã . ,. se desloca, a partir do ponto (I 2) s çd? pa:a a traje~ona descrita por um ponto P que , ,empre na Ireçao e sentIdo de máximo crescimento de! 9. Sejaf(x, y) = xy. Determine a reta tan t áfi com o plano xy ângulo máximo. gen e ao gr ICO dej, no ponto (1, 2,f(1, 2», que fonna

af

~

V f (x, y) =

~

+

(x, y) u

af

~

au

[~

~

(x, y) e

au

~

~

~

(x, y) v.

av

~~)

(x, y) são os componentes de V f (x, y ) em relação à base (u, v).

av

18. Seja g (r, O) = f(x, y), com x = r cos Oe y = r sen O, ondef(x, y) é suposta diferenciável num 10. Sejaf(x, y) = x + 2y + I. Determine a reta contida n áfi o gr co dej, passando pelo ponto (1, 1,4) e que forma com o plano xy ângulo máx' Imo. 11. Um ponto P descreve uma trajetória sobre o áfico de! _ 2 2 gr (x, y) - 4x + Y . Sabe-se que a reta tangente em cada ponto da traietó' ç na 10nna com o plano xy ângulo áx' D . · " Parametnzação para a trajetória admiti d I m rrno. etermlOe uma n o que e a passe pelo ponto (1, 1,5). 12. Admita áfi . . que o gr ICO de z = xy represente uma su erf" ó ' . rruta, 3.lnda, que um esquiador desJjze el ICle pr pna para a prátIca do esqui. Adele parte do ponto (1 2 2) P a superflcle sempre na difeção de maior declive. Se , , , em que ponto ele tocará o plano xy?

r.

2

~

aberto do JR . Sejam u

a)

ag

-

ar

(r, O)

af

=-

~

~

= cos O

I ag

(x, y) e - -

r ao

au af

~

b) V f (x, y) = ~ (x, y) u

au

~~

+ sen O j

i

+

(r, O)

af

~

8v

e v

af

=-

~

av ~

(x, y) v.

~

=

-sen O i

(x, y).

~

+ cos O

j. Mostre que

2

c)IIVf(x,y)1I =

2 r [-(r,O) J2 ,ondex=rcosOeY=rsen [ -(r,O) ar ao J +2 1

ag

19. Calcule 11 V f(I, I) 11 sendof(x, y)

on de

ag

[arc sen

=

~ ll


---r~y==]4 ~x2 +

u

=

~ cos O i

----+

+ sen e

~

j e v

~

= - sen

Oy 'a F (r, O, cp) = f (x, y, z), com x = r sen cp cos , 3 25. SeJ ta diferenciável num aberto de IR . Prove que supos

aF

aF

~

- (r, O, cp) u + Vf (x, y, z) - ar r sen cp

y2

(Sugestão: Faça g (r, (J) = f(x, y), com x = r cos Oe y = r sen Oe utilize o item c) do exercí . anterior.) CIO ~

~

~

~

eação à base ( u, v), onde u = (cos a, sen a) e v = (- sen a, cos a). Considere a função g dada por g (s, t) = f (x, y). Mostre que ag af ag (s, t) = -:::;- (x, y) e (s, t)

as

at

au

af

= -:::;-

(x, y).

av

Interprete.

21. Sejaf(x, y)

=

x3 x2

se (x, y)

+ y2

af -:::;- (O, O)

*" (O, O) ef(O, O) = O. Mostre que

*" V f(O, O)·

~

~

u, onde u =

(I.fi'.fiI). .

Exphque.

au

22. Sejaf (x, y) diferenciável no aberto A de 1R2 e sejam y (t) e 8 (t) duas curvas definidas e diferenciáveis num intervalo aberto I e com imagens contidas em A. Suponha y (tO) = 8 (tO)' 11

1" (tO) 11 = I, 11 8' (tO) 11 = I, V f ('Y (to» *"

que

l' (tO)

O e y' (to) o versor de V f (y (to». Suponha, ainda,

não seja paralelo a 8' (tO)' Prove que existe r > O tal que f(y(t»

> f(8 (t» para to < t < to + r

e f(y(t»
< t < to.

Interprete. ~

~

~

23. Sejaf(x, y, z) diferenciável num aberto do 1R 3 e sejam u, v e w vetores do 1R3, unitários e dois a dois ortogonais. Prove:

V f (x, y, z)

~

af

= -:::;-

(x, y, z) u

af

+ -:::;-

~

(x, y, z) v

af

+ -:::;-

~

(x, y, z) w.

au av aw 24. Seja F (r, O, z) = f (x, y, z), com x = r cos Oe y = r sen O, onde f é suposta diferenciável num aberto do 1R 3. Prove que

aF

V f (x, y, z) = -

ar

~

(r, O, z) u

aF

+

r

ao

~

(r, O, z) v

aF

+ -

az

~

(r, O, z) k

-

ao

-4

j .

= r sen cp sen Oe z = r COS cp, onde f

~

(r, O, cp) v

aF

+

r

~

~ = (sen cp cos O, sen cp sen O, cos cp), v = (- sen O, cos O) e

onde u

20. Suponhaf(x, y) diferenciável no abertoA. Sejam (s, t) as coordenadas do vetor (x, y) em r I

o i + cos e

--~

(co s cp cos O, cos cp sen O,

sen cp).

acp

~

(r, O, cp) w

é

Uenvaa as rareiUI.S ue

VlueH.) oJ"'V~'

c.VI '-- ...

2

a2 f (x y) = a f (x, y), para todo (x, y) E 1R2. Ue neste exemplo, a a ' ay ax !'lote q ' x Y

14

xy3 se (x, y) :1= (O, O) 2 l\1PLO 2. Sejaf(x, y) = { x + y2 se (x, y) = (O, O). f;~ O Mostre que

DERIVADAS PARCIAIS

2

.!.L (O, O) = O a) ax ay

DE ORDENS SUPERIORES

b)

af

(O, O) = 1

ayax

Solução rimeiro determinar af .Para (x, y) =i' (O, O), temos: , ay

a) Devemos, P

af

ay

3

_ 3xy2 (x 2 + y2) - 2xy4 xy4 + 3x y2 (x, y) (x 2 + y2)2 = (x2 + y2)2 .

14.1. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES Em (O, O) temos: Seja a função z = f(x, y); na Seção 10.1 vimos como construir as funções

af

mesma forma, podemos, agora, construir as funções:

ax

e

af. Da

-af (O, O) =

ay

ay

2 2 2 2 a f _ a (a f ) a f _ a (a f ) a f _ a (a f ) a f _ a (a f ) 2 ax - ax ay2 - ay ax ay - ax ay ax - ay

ay'

a:;' 2

3

a

3

f a (a f) a f a ax 3 = ax ax 2 ' ax ay ax = ax

ay'

y --) O

=O

Assim .,

Y

se (x, y) :1= (O, O)

a:;'

se (x, y) = (O, O).

2

(a

f ) ay ax etc.

Temos, agora:

i - 6iy + 3. Calcule todas as derivadas parciais de 2." ordem.

5

EXEMPLO 1. Sejaf(x, y) = 4x

. f(O, y) - f(O, O) tim

Solução af 4 4 af 5 3 2 -(x, y) = 20x Y - 12xy e -(x, y) = 16x y - 6x . ax ay

af (x, O) - a f (O, O) a2 f _ a2 f . ay ay = O ou seja, (O, O) - - (O, O) = 11m x _ O ax ay ax ay x --) O se (x, y) :1= (O, O)

o.

(verifique) .

2

a 4Y4 - 12xy) = 80x3y 4 - 12y. -a 2f (x, y) = - a (af - (x, y) ) = -(20x ax ax ax ax 2

•

af (x, y) = - a (a- f (x, y) ) = -(20x a 4y 4 - 12xy) = 80x4y 3 - 12x. ayax ay ax ay 2

a 5 3 -a f (x, y) -_ - a (af - - (x, y) ) -_ -(16x y - 6x2) -_ 48x5y 2. ay2 ay ay ay 2

af (x, y) = - a ax ay ax

(a-f (x, y) ) = -(16x a 5y 3 ay

ax

6x2) = 80x4y 3 - 12x.

•

2 . a2 f x, ) = a f (x, y) nem semO exemplo anterior mostra-nos que a Igualdade ax ay ( y ay ax , . . - e' det' xada para exerCIClO (veja . pre se verifica. O prÓXImo teorema, cUJo a demonstraçao

Derivadas Parciais de Ordens Superiores ~I U

Um

L'urso de Cálculo -

Vol. 2

Exercício 15), fornece-nos uma condição suficiente para que tal igualdade ocorra. An enunciar tal teorema, vamos definir função de classe C n . tes de Uma função I: A C 1R2 ~ IR, A aberto, é dita de classe C n em A se I admitir t derivadas parciais de ordem n contínuas em A. odas a\ O teorema que enunciaremos a seguir conta-nos que sei for de classe C 2 emA, A ab 2 2 erto - as d ' d as parCIaIS '" mistas ai ai -"IgUaIS em A. ' entao enva - e - serao

ax ay

ayax

=

Se'af(x, y)

8,

Teorema (de Schwarz). Seja/: A C 1R2 ~ IR, A aberto. Se/for de classe C 2 emA,

J ,

2

2

- Y x2 + y2

xy x {O

se (x, y)

= (O, O)

2

a

2

aI ax ay

aI ayax

- - (x, y) = - - ( x , y)

,

1. Calcule todas as derivadas parciais de 2," ordem.

2. Sejaf(x. y)

af

b)-2-(x, y) ax

,

+ l)

2

2 '

a2 f

_

ayax

af + -2-(x. y) ay

a2 f

a2 f

ax

ay

=

(x

2

4

+y

~z

ax ay

+

duas fun Ções que admitem derivadas parciais num mesmo aberto

+

i

=u

2v.

x

12. Seja z = xye Y . Verifique que

a3 z

a3 z _

x - - + y - -2O ,

2 2

ax 3

)

2

~z y -2- = O, onde z = (x ay

ayax

'()

13. Seja z = f (x. y) de classe C no aberto A e seja xQ, YQ para todo (x, y) E A. Prove que

2

E A Suponha quef(xQ, YQ) "'" f (x. y), .

x

+ y) e Y .

5. Sejam/, g : A C 1R2 ~ IR, A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que af _ ag

af _

ag

ax

ay

ax

Interprete graficamente. X2

. 14 . Sep z= I

J

- -e- - --. ay

=u-

u

au

2

-

- v exy

=1 v =1

Calcule -

3. Venfique que --2 + -2- = O, ondef(x, y) = In (x + y ).

4. Verifique que x - -

a

+ y3

af y) = - 3-(x. y) ax

2

au

11. Sejam x = x (u. v) e y - y (u, v) (I l ) > O Suponha, ainda, que para todo (u. v) E A A. Suponha que (I, 1) E A e que x , . x3

Verifique que

+ y--(x,

.

2

2 2u 2 u - - = a --o at2 ax 2

ax

+y

x

a2 f a)x--(x, y) ax 2 2

b) z = ex2 - y2 3 d) g (x. y) = 4x /

1

=

+ g (x +

ayax , À e cp constantes Venfique que

- - = a --o 2 at2 ax ., at) onde f e g são duas funções quaisquer de uma vanavel real e

a

============================== l

_ f( - at)

2

ax ay

O Seja u - x ' 1 . deriváveis até a 2." ordem. Verifique que

para todo (x, y) E A.

a)f(x. y) = x 3 2 c) Z = In (1 + x

.

= A sen (aM + cp) sen ÀX, com A• a,

(t)

9. Seja u x.

a2 f

a2 f

se (x, y) =t- (O, O) Calcule _ _ (O, O) e - - (O, O).

2u

Exercícios 14.1

~//

-

y2

[lU sen O

(2

J

dt duo Calcule

Prove que a2 f

a2 f

ax

ay2

-+ -2

= O e

a2 g ax 2

--

a2 g

+ -ay2

x y

= O.

6. Sejamf: A C 1R 3 ~ IR de classe C 2 no aberto A, Justifique as igualdades.

a2 f a2 f a)--=-ax ay

ayax

a2 f a2 f b)--=-ax az

az ax

=1 =I af

15. Seja z = f (x. y), (x. y) E A, com A aberto. Suponha que ax e

a2 f a2 f c)--=ayaz

az ay

2

2f

a f

a

ax ay

ayax

que-- e - -

af

ay

s-ao contínuas em A. Seja (xQ, YQ) um ponto qu

estãO definidas em A e

alquer de A; seja B uma

vertvuuu.> c u,"""...·.. "

..t7lJ

Um Curso de Cálculo -

bo1Sa ~be~a dde centro (xO' Yo) e contida em A. Sejam h e k tais que (xO B . eJa, am a,

C

H (h, k) = f(xo

+ h, YO + k)

- f (xo, Yo

. a) onsldere as funções cp (t) = f(t, YO Mostre que H (h, k) = cp (xO

+ k)

+ h)

+ k)

- f(xo

- f(t, Y ) O

O

+ h, YO)

e P (s) = f(

- cp (xO) = p (yO

+ h, Y + k)

+ k)

pen eOça. q

d [f (x, y)] = dt

+f(x

o' yO)· Xo + ,s) - f (xo, s).

agora que as funções

-r-· . _.

de ~ em (x,

- cp (xO) = CP'(tl) h = [af (t(, Yo ax

c) Prove: existem t( e sI' com ti entre xo e xo

+ h e sI

+ k)

ax

af (t Y)] h ax (, O .

entre Yo e Yo

a2 f = - - (ti' sI) = cp (xO + h)

H (h, k)

-

H (h, k)

V af (x, y) = ax

OU

- cp (xO)'

af

,sejam também diferenciáveis. O gradien-

ay

f (~(~ (x, y»), ~ (a (x, y»)\ ax ax ay ax )

seja,

Vaf - (x, y) ax

2

f (x, = (a- 2 ax

2

aa y), af (x, y) ) . y x

Temos, então, pela regra da cadeia:

- p (yo)·

ax ay

. a2 f

e

+ k, tais que

+ h e s2 entre YO e YO + k, tais que

a2 f = - - (t2' s2) = p (yo + k)

af

y) é:

ayax

fi) Prove: existem t2 e s2' com t2 entre xo e xo

dY ) . V f(x, y). (dx dt' dt

ax

suponhamos"

- p (yO)'

te

+ h)

V' ........... ...,; ....

h

+ h tal que

b) Prove: existe ti entre xo e xo

cp(xo

1L4~

Vol. 2

a2 f

e) Prove. - - (xo, Yo) = - - (x ,Y ). ax ay ayax O O

Observação. A razão de considerarmos a expressão H (h, k) é a seguinte:

+ h,

af (xo, Yo) = lim f (xo ax h4 O

a

Yo) - f (xo, Yo) h '

af

a2 f -a a (xo, Yo) = tim y x k40

tim f(xo =

+ h,

Assim,

(xo, Yo

+

_d [af -(x,y)] dt ax

af k) - ~ (xo, Yo)

x

+ k)

- f(xo, Yo

+

k)

tim f(xo

+ h,

f x f ~.r af (x, y)] = ~ (a (x, y)\ aa + -a a (aa (x, y)\ ~ dt Lay ax ay ) t y Y )

YO) - f(xo, yQ].

Ir 4_O h tim _ ~~~_~~~~~~~~~J~14~0~~~~~h~ _ ___ k

k40

= lim [lim f(xo k40 h40

+ h, Yo + k)

- f(xo, Yo

ax

2

dx a f dy . (x,y)~+--(X'Y)-d dt ay ax t

Da mesma forma,

ax k

Yo

2

f =a -2

+ k)

- f(xo

+ h, Yo) + f(xo,

e, portanto,

2 2 ] =a -f ( x , y )dx- + a- 2 f (x,y)-d dy . f _d (a -(x,y) dt ay ax ay dt ay t

YO)]

hk

.

EXEMPLO 1. Suponhaf(x, y) de classe C 2 num aberto do 1R2. Seja g (t)

14.2. A PLICAÇÕES DA REGRA DA C ADEIA

Expresse g"(t) em termos de derivadas parciais de!

E NVOLVENDO D ERIVADAS P ARCIAIS DE ORDENS S UPERIORES

Solução g (t)

Sejamf(x, y), x

=

x (t) e y

=

= f (x,

y), x

= 3t e y = 2t +

l.

y (t) diferenciáveis. Pela regra da cadeia, temos: d

: [f(x, y)] = af (x, y) dx I ax di

+ af ay

af dx [f (x, y)] = - (x, y) -d & ax t

g'(t) = -

(x, y) dy dt

af

dy

+ -a (x, y) -dt Y

= f(3t, 2t

+ 1).

~{fU

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2 ,:=:

ou seja,

3t e Y = 2t

+ 1. Tendo em vista que

ooóe ,"( g'(t)=3

a / (x,y)+2 a/ex y) ax ay , .

2

2

a2 f ___ (x, y) ax 2

= 20x3/ , -a (f x ,

y)

ax ay

= 20x4y3 ea-f2- (X, y) = 12x5 y2 ay

Então,

e, Portanto, g" (t) = 180 (3t)3 (2t

Temos:

g' (t) 2 f = --

a

(x, y) -dx ax ay dt

Substituindo em (j) (lembrando que dx dt

=

=

ay2

'

portanto, g" Ct) := 180 (3t)3 (2t

y) dy dt .

3e dydt = 2) vem..

onde x = 3t e y = 2t

+

+

+

1)4

120 (3t)4 (2t

+ 48 (3t)5

1)3

(2t

+

II

1)4.

+ 8 (3t)5

(2t

+ II

+

+

1)3

1)3

120 (3t)4 (2t

+ 48 (3t)5

+

(2t

1)3

+

+ 48 (3t)5

Il

= ?af(x,y), ax

onde x = t2 e y = t 3 . Expresse g' (t) em termos de derivadas parciais de f.

2 a f l2--(x y) ax ay'

x 5y4 ,x -- 3t e y = 2t

1)4

+ 240 (3t)4 (2t +

g(t)

+

+

(2t

+

EXEMPLO 3. Suponhaf(x, y) de classe C 2 num aberto de 1R2. Seja g dada por

2

+ 4aay2 -f( ) x, y

Solução

• =

= (3t)5

15 (3t)4 (2t

2

1.

EXEMPLO 2. + Sejamf(x g (t) = f(3t, 2t 1). ,y)

=

+ 1)4 +

ou seja, g" (t) := 180 (3t)3 (2t

a f L ax ay . ogo,

2 af (x, y) g" (t ) -_ 9 ax 2

(2t

2

a (x + ---.l..

2 2 2 a2 a f a f a f g" (t) -_ 9 ~(x,y)+6--(x,y)+6-.( x ayax ax ay x, y )+4 ay2f (x, y). 2 Comofé de classe C 2, a f ay ax

+ 240 (3t)4

g (t)

e

ay (x, y)]

1)4

z. ' processo

2 .!!:...[a/ dx a d dt ax ( x ,y) ]_a2f - - 2 (x,y)_+_f_(x,y)-"z ax dt ayax dt

.!!:... dt [a f

+

+

Pela regra de derivação de um produto, temos: g' (t) = 2t af (x, y) ax

1. Calcule g" (t), sendo

+ t2 ~

r

aI (x, dt Lax

y)].

Como

Solução

!!:.- [af

1. o processo (pela regra da cadeia)

dt

g (t) = f (x, y), x = 3t e y = 2t

+

1.

ax

(x. y)] =

~ [aI (x, y)] dx + ~ (ai (x, y)l dy ax ax dt ay ax ) dt a2 i

dx dt

(x, y) -

= _

ax2

Pelo exemplo anterior

g" (t)

=

2

9a2 f (x, y) ax

+

2 a f 12--(x, y) ax ay

+

2 4a-f ( ) ay2 x, y

= 2at (x, 2 2f

dX

y)

2

ai (x, +ay ax

2 + 3t2 -a- (f x , y)

ayax

dy dI

y) -

(2t

+

1)2

•

resulta,

f2\ e ® em subSU't uindo \!;J

aZ f aZf + 2t3 - Z-(x, y) + 3 l - - ( x, y).

, af g (t) = 2t-(x, y) ax

ax

ayax

2 aZf aZ f Z a2 f af ~ = --(x, z y) + 4x--(x, y) + 4x -z-(x, y) + 2-(x, y).

dx 2

11

= f (x,x z) onde f

EXEMPLO 4. Seja z (x,y) é de classe C Z nu b dZ m a erto de 1R2 Expresse dx; em termos de derivadas parciais def . Solução

CD e lembrando quefé de classe Cz' resulta:

ax

~l\'lPLO 5. Seja z

ax ay

= f(u - 2v, v

ay

ay

•

+ 2u) ondef(x, y) é de classe C Z num aberto de IR Z.

Z ~Bxpresse au a 2z em termos de derivadas parciais de f

Solução z=

dz

dx

f

(x, y), onde y = xZ.

d

z

af

dx

af

d

ax

dx

ay

dx

=dxif~~=-~~-+-~~2

=f

(x, y), x

=u-

2v e y

a a afax = -[((x, y)] = -(x, y)au au ax au

~

= v + 2u. af ay + -(x, y)-a ay

u

ou seja, ou seja,

af ax

dz dx

af ay

- = -(x, y) + 2x-(x, y).

-

af az = -(x, y) au ax

af + 2-(x, y).

~

+ 2 ~ [af (x, y)].

ay

Segue que, Segue que, Z d z -

CD

dx z

-

d [a f ] dx h (x, y)

d [ af ] + dx 2x a; (x, y) .

aZz = [af (x, y)] au z au ax

Temos:

au

ay

Como

~

+ ~ (a f (x, y») dy

d f (a (x, y») dx dx [aaf (x, y)J = x ax ax dx

ay

ax

- a [af - - (x, y) ] au ax

dx

ou seja,

Z

f (x, = -aZ ax

y)

aZ f + 2--(x, y) ayax

e

J

d[a f aZf aZf (x, y) = - a Z (x, y)+ 2x - - ( x , y). dx -a x x ayax

f f Y ~ [af (x, y)] = ~ (a (x, y») ax + ~ (a (x, y») aa = au ay ax ay au ay ay u

Temos, também: f ;

[2X aa

(x, y)] = 2 af (x, y) y ay = 2 -af (x, y) ay

+ 2x +

Z f = - - ( x , y)

a

~ (a f (x y)] dx ay ,

ax ay

aZ f (x, + 2-z ay

resulta

J

Z

af (x, y) + 2x a2f (x y) 2x [ ax ay ayZ'

ou seja,

aZ z

aZ f = - ( x , y) z au ax z

-

aZ f

aZ f

ax ay

ay

+ 4--(x, y) + 4-z (x, y).

EXEMPLO 6. Mostre que a mudança de variáveis x =

a

d [af ] af dx 2x (x, y) = 2 - (x, y) y ay

aZ f Z + 2x - - (x, y) + 4xz a f (x y). ax ay

y)

ay2

'

eU e y

=

•

V e transforma a equação

em f;..t

, ioS fC1C

(Qu afl

14.2

====================================

do nada for dito sobre uma função, ficará subentendido que se trata de uma função de classe

CZ num aberto.)

Solução

!.ExP Z = Z (x, y), x = eU

e y = eV.

a)

Temos

resse g' (t) em termos de derivadas parciais def, sendo g dada por

g (t)

= -af (x, y), x -_

2

_

t e y - sen t.

ax

3 af b) g (t) = t ax (3t, 2t).

af 2 c) g (t) = - (t ,2t) ax

ou seja,

af

+ 5-

ay

(sen 3t, t).

2. Expresse g" (t) em termos de derivadas parciais def, sendo g (t) = f(5t, 4t).

CD

az _ au

U

az ax

3. Considere a função g (t) =

--e -

f

(a

+ ht,

b

+ kt), com a, b, h e k constantes.

2 a) Supondof(x, y) de classe C num aberto de 1R2, verifique que

ABUSOS DE NOTAÇÃO . az . AqUI -a deve ser olhado como função de d ih x eve ser o ado como função de u e v.

x e y en ,

2 " 2 a f g (t) = h - 2 (x, y) ax

az au

quanto_

+ ht e y

onde x = a

Segue de CD que

= b

2

2

ax ay

ay

a f 2 a f + 2hk--(x, y) + k - 2 (x,

y)

+ kt.

3 b) Supondof(x, y) de classe C num aberto de 1R2, verifique que 3

3

3 3a f 2 a f 2 a f 3 a3 f glll(t) = h - 3 (x, y) + 3h k --(x, y) + 3hk - - 2 (x, y) + k - ( x , y) 2 ax ax ay ax ay ay 3

Tendo em vista que

onde x

= a + ht e y = b + kt.

4. Considere a função h (x, y)

~[~J=~(~) ax +~(~) ay _ U a2z au ax ax ax au ay ax a;; - e ax 2

2 2 2f 2f a2 h (x, y) = 2 [af a f (u, v) + -2a - (u, v) + -af (u, v) ] + 4x2[a -2- (x, v) + 2 (u, v) ] ax au av au au av av

resulta

onde u = x 2

a2z -2-= au

eU

az e 2u __ a2z -+ ax ax2 .

+

i

ev

5. Considere a função

a2Z e v -+ az -2-= av ay

i.

= x2 -

z=

af (x, sen 3x). Verifique que ax

Procedendo de forma análoga obtém-se

®

= f(x2 + i, i - i), ondef(u, v) é suposta de classe c 2 . Verifique que

dz

a2 f

a2 f

dx

ax

ayax

- = -2- (x, sen 3x) + 3 cos 3x - - (x, sen 3x). 2

a2Z ay2 .

e v __

6. Considere a função

z = x af (2x, x\ Verifique que ay

Somando-se 0 e ® resulta

2 a z a2z 2u --+ a2z e 2v __ a2Z + 11 az -2- + -2-= e vaz au av ax2 a 2 e - +e 2 Y ax ay = x2 ~ + 2 a2z X az az a2 y-2-+ -+Y-=1 x ay ax ay .

af -dz = -(2x, x 3)

dx

7. Seja g (u, v)

•

ay

= f(2u + v,

2

2

ax ay

ay

f a2 f (2x, + x [2 a --(2x, x 3) + 3x2 -

x 3 )] .

u - 2v), ondef(x, y) é suposta de classe C 2. Verifique que a2 g

a2 g

a2 f

a2 f

au

av

ax

ay2 .

- -2 + - -2= 5 - -2 + 5 - -

~c.,""""'''''''''''''''

8. Seja v (r, 8) = u (x, y), onde x = r cos 8 e y = r sen 8. Verifique que

a2 u ax

a2 u ay2

a2 v ar

1 av

1

b) Faça

r

....... " ..- .. -.; -- .... -_ .. -

-· ~r

a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis.

·á·s x = s cos 8 - t sen 8 e y = s sen () ·fique que a mudança d e van vel Vefl 16. tante transforma a equaçao coos '

a2 v ae ·

-2 + - - = -2- + - - +2- - 2 r ar

~

+

t cos () com ()

9. Sejamf(x, y) de classe C num aberto de ~2, g (x) derivável até a 2." ordem num . aberto I e tais que, para todo x E l,f(x, g (x» = O(isto é, y = g (x) é dada implicitam Intervalo equação f (x, y) = O). Expresse g" (x) em termos de derivadas parciais de f ente Pela 2

10. Suponha que f (x, t) satisfaça a equação

em

_a u + -a u = O(u O)

a) Verifique que g (u, v)

=f

(x, t), onde x

= u + ve t = u -

v satisfaz a equação ~ == O

b) Determine uma coleção de funções f (x, t) que satisfaçam 0).

avau

.

11. Suponha que f (x, t) satisfaça a equação

a2 f

a2 f

at 2

ax 2

2

as 2

at 2

.fique que a mudança de variáveis u 17. Vefl

(c

=x +yev=

a2 z _ 3 ~ + 2 a z 2

®

ax 2

ax ay

f

(x, t), onde

18. Suponha que z = Z (x, y) satisfaça a equação

au av

= f (x, y, t) onde x = r cos 8 e y = r sen 8. Suponha que (c

*" O constante)

a2 z a2 z az 3 2 x 2 __ +2xy---x-=xy. ax 2 ax ay ax .,

.

_

u

=

Mostre que

a2 Z

a2 Z

au

av 2 .

- -2 + - -

2

y

a

x

ax

F

= - - - , u = x + y e v = -. Suponha que - 2 x

15. a) Ache uma função u (x, y) da forma u (x, y)

-

a

2

F

2 -ax ay

2

a F "" o. + -r

ay

= F (x 2 + i) que satisfaça a equação de Laplace

a2 z au2

a2 z au av

az au

eV calcule - - + 2 - - - 2 - .

Fazendo a mudança de vanavelS x - e e y ,

a2 G Calcule--. av 2

= O

ay2

Determine, então, uma coleção de soluções de @.

b) Determine uma família de soluções de @.

y)

+ 2x transforma a equação

--=0. au av

a2 g x = mu + nv e t = pu + qv satisfaça a equação - - = O.

F (x,

y

t».

a2 z

*" O constante).

a) Determine constantes m, n, p e q para que g (u, v) =

14. Sejam G (u, v)

= u (s,

em

- - = c2 - -

12. Seja F (r, 8, t)

2

J eurerrUl UU VUlUI

1~~c;.C..UV. ~

vr .... --........ _ ...... -.; - - -

-

2 Se·amAumsubconjuntoabertodoIR ,POeP)dois ponTeorema (do valor medlO)p _pJ teja contido emA. Nestas condições, sef(x, y) for deA tais que o segm:nto . O't. ~ eSelo menos um ponto P interno ao segmento POP) lOs ·ável emA. entao eXIS lfa p . p _p mas não é extrerrudade) tal que diferenc~ , P pertence a U')

,.

15

_

Ow ~

f(P)) - f (Po)

TEOREMA DO VALOR MÉDIO• FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO DE LAGRANGE

= V f( P)

. (P, - Po)·

Demonstração

.deremos a função g : [O, 1] ~ ~ dada por Cons! g (t) = f(Po

+ t (p) - Po)), O ,,;;; t";;;

Esta fu~Çbã.ol. dg ~or~:fc~~~v:~~~:s q~~eg diferencia 1 1_ a e , rVM existe t em]O, 1[ tal que

f

1.

me nos pontos do segmento PoP ,. D a

/;~:tínua em [O, 1] e derivável em ]0, 1[. Pelo

g (1) - g (O)

= g'

(t). (1 - O),

ou seja, g (1) - g (O) = g' (t).

15.1. T EOREMA DO V ALOR M ÉDIO Como g (1) Um dos teoremas centrais do cálculo de funções reais de uma variável real é o teorema do valor médio (TVM). Nesta seção, vamos estendê-lo para o caso de funções reais de duas variáveis reais e deixaremos a cargo do leitor a tarefa de generalizá-lo para funções reais de três ou mais variáveis reais. Antes de enunciar e demonstrar tal teorema, vamos introduzir os conceitos de segmento e poligonal. Sejam Po e p) dois pontos do ~2; o conjunto

PoP) = {P E ~21 P = Po

+ À (p] - Po), O,,;;;

À";;;

I}

denomina-se segmento de extremidades Po e p]. Sejam, agora, Po, p], P2 , ... , Pn, n tos distintos do ~2; o conjunto

PoP] U p)P2 U ... U Pn - 'P n

= f(p)) e g (O)

=

f (Po), resulta f(p)) - f (Po)

=

g' (t).

Pela regra da cadeia

g' (t) = V f( Po + t (P, - Po)) . ". (t) onde ,,/ (t)

= Po + t (p)

+ 1 pon-

- Po)· Temos

"/ (t) = Po

+ t (P, - Po) ~"/'

(t) = p) - Po·

Assim,

denomina-se poligonal de vértices Po, P" .. . , Pn.

g' (t) Onde

P=

=

V f(Po

+ t(p) - Po))· (F\ - Po) t P- P pois 0 <

.

Po + t (F\ - Po) é um ponto mtemo ao segmen o

0"

t

< 1. Portanto,

• Pelo TVM existe

P interno ao segmento PoP, -

_

tal que -.

f(F\) - f(Po) = Vf(P) · (F\ - Po) - Vf(P) segmento de extremidades PO e P I

P1 - Po II F\ - Po \I . \I F\ - Po \I

_

................... _.-...... . .. -. ..... " . _ .... ,.,v uc. ..... Un.. ULV -

YUt.

~

tafltO, pode acontecer de uma função ter gradiente nulo em todos os pontos de um aberto ~

Fazendo u

II - Po IIll-PolI

fjIItte constante neste aberto: a função fIl ser

resulta,

1---------------ré-t------------,

ou seja,

f(ll) - f(Po) =

~(P) II ~

,'i -~, ---------------------- - - •

2 se y > O e O < x

- Po 11

f

(X,

I

<1 y) === { 1 se Y > O e 1 < x < 2

~------------

du ou ainda, f(~) - f(Po) _

II~ - Po II

df -

tem gradiente nulo no aberto A

- -=;- (P). du

Assim, sef(x, y)for diferenciável no aberto A e se P~P - eXlstLra .. ,li' , C A ' entao P interno a

PoP, tal que a derivada direcional def,, em P, e na d·zreçao - ~ u = ~ - Po ' d. d . _ d 11 P, R 11' e a taxa méta e varzaçao e f entre os pontos POe P ,'O"'" P .4. P ,. ,- O Observação. O IR enunciado do TVM. para f unçao - real de n variáveis (n > 2) é o acima, substituindo 1R2 por n.

constante em A. a seguir que se uma função admitir gradiente nulo em todos os pontos de Provaremos um conjunto A conexo por caminhos, então a função será necessariamente constante em A. Dizemos que um conjunto aberto A é conexo por caminhos se, quaisquer que forem os pontos p e Q pertencentes a A, existir uma poligonal, de extremidades P e Q, contida em

A. EXEMPLOS a) A = 1R2 é conexo por caminhos. b) Toda bola aberta é conexa por caminhos.

Exe rcícios 15.1 1. Determine

2 1R 1y > O, O < x < 1 ou 1 < x < 2}, mas não é

= {(x, y) E

P =2(-x, y-) como no teorema do valor médio ' sendo dad os.. = 2x + 3y, Po = (1 1) e P = (2 3) , ,. = 2x2 - 3y2 2 +.xy, Po' = (l" 2) e P = (4 3) - 3 , .

a ) f(x, y) b) f( x, y) c ) f( x, y) - x +.xy, Po

=

c)

I

J

,,;'"

-------- - ...........A ,

(I, 1) e P, = (2,2).

I

2. (x, Sejaf(x, y) diferenciável em 1R2 e suponh a que eXIste . M > O tal que 11 V' f (x, y)1I ,,:; M, para todo y). Prove que

,

' !f(x, y) - f(s, t)1 ,,:; Mil (x, y) - (s, t) 11

á) A =: {(x, y) E 1R2 I y

>

I

... - - - "

I

I

\ '.

\

,_

I

I I

....

_-",

O, O < x

<

I

I I I I

é conexo por caminhos

1 ou I

<x<

quaisquer que sejam (x, y) e (s, t) em 1R2.

3. Sejaf(x, y) = In (x

+ y).

Prove que

!f(x, y) - f(s, t) I,,:; 11 (x, y) - (s, t) 11 ,Q

quaisquer que sejam (x, y) e (s, t), com x > 1, y > I, s > 1 e t > l.

----------------------~ 15.2. FUNÇÕES COM GRADIENTE NULO Estamos interessados, agora em estudar fu Se f (x, y) for constante num ab~rto A d IR ls ~çoVes que tem gradiente nulo num aberto. e , entao f(x, y) = (O, O) para todo (x, y) E: A· A

I I

I

•

•

:p 0\

2

2 } não é conexo por caminhos.

1 t:UI t:lltU 0,.1 . . . .

....... _

.................

_

................

v-

uv

" U I.V I

, ............. .... . .

_.

PVI.. L

Qualquer poligonal ligando P á Q tem pontos que não pertencem aA. (Observe que Os POn, tos (1, y), y > O, não pertencem a A.)

.

Teorema. Seja A C ~2 aberto e conexo por caminhos. Nestas condições, Se V f (x, y) = (O, O) para todo (x, y) em A, então f será constante em A.

Demonstração

Seja Po = (xo, yO) um ponto de A; vamos provar que para todo P = (x, y) E A, f (x, y) = f (xo, yo) · Como A é conexo por caminhos, existem po t PI' P 2 ,·· .,Pn - I ePn = Ppertencentes aA tais que apoligonalPoPl U P IP 2 U .. . U P n ~s está contida em A. n- I n

oe

lll

onstração

. h (x y) = g (x, y) - f (x, y), (x, y) E A; como seja ' )E A Vh (x, y) = V g (x, y) - V f (x, y), (x, y ,

_ ara todo (x, y) E A. Como A é conexo por caminh~s, da hipótese que V h (x, y) - (O, O).p tante k tal que h (x, y) == k em A, ou seja, segue ue h é constante em A; logo, eXiste uma cons resulta q g (x, y) = f (x, y) + k a todo (x, y) E A.

par

.

rema aCima nos O teo. hos diferem, neste conjunto, por uma constante. por camm 2 . EXEMPLO 1. Determine todas as funções f (x, y), definidas em IR , taiS que

~~

Pelo teorema do valor médio, para todo i existe

11 interno a P i _

1 P i (i =

1,2, ... , n) tal que

•

. di.z que duas funções com gradientes iguais num conjunto conexo

- . . .f G) terão gradientes iguais; logo, deverao difem Observe que duas ~nçoes que satls az~~ B sta então determinar uma solução de G) ar constante, pois IR é conexo por carru os. a , _ ' ~ qualquer outra será esta mais uma constante. A funçao _

l

x3

e como V f ( P;) = O (hipótese) resulta

para i

1a ão de G) em relação a x, satisfaz a La equação (obtém-se tal função integrando-se a . equaç mantendo-se y constante). Por outro lado,

= 1,2, ... , n; assim, f(Po)

+ 4x

3

32+ 2'-

= f(PI) = f(P 2) = ... = f

(Pn)

x y

= f(P)

e, portanto,f(x, y) = f(xo, Yo). Fica provado assim que, para todo (x, y) E A,f(x, y) = f(xo, Yo), ou seja,f é constante em A. •

3

satisfaz a 2." equação de G). Segue que

15.3. RELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES COM MESMO GRADIENTE satisfaz G). (Por quê?) Logo,

Teorema 1. Seja A C ~2 aberto e conexo por caminhos e sejam/, g duas funções que admitem derivadas parciais emA. Nestas condições, se Vf (x, y) == Vg (x, y) para todo (x, y) E A, então existirá uma constante k tal que g (x, y) == f (x, y)

para todo (x, y) em A.

+k

f(x,

y) = x3l

é a família das soluções de G).

+ 4x +

y;

+k

(k E IR)

•

b A do 1R2 O problema Sejam P (x, y) e Q (~, y) du~s funções dadas, definidas num a erto . que se coloca é o segumte: o sistema

um

ae

LurSO

LalCULO -

'J 'e orema ao valor lYle(.UV.

Vol. 2

{

= Q (x,

t

y)

admite s~mpre solução? A resposta em geral é não. A se . necessárza para que o sistema adnúta soI uçao. gUlr apresentaremos uma CO"À ' .«tIÇão o

, êJQ (Jp eque = emA

iJx

dy

~

= xy

iJf

-

.'J '

= y

dy

°

•

iJx

o sistema.

E~MPLO 3. DeterllÚne, caso existam, todas as funções z = f

~ (x, y) ~ P(x,y) dy (x, y)

--

i- (xy) :# .i.. (y) em 1R2, segue que não existe função definida em 1R2 que satisfaça

C m iJy

Teorema 2. Sejam (x Y_) e Q (x, ~) .duas funções defrnidas e de classe C 1 aberto A do 1R2 Uma Pnd: . co Iça0 necessarza para q . nUm que, para todo (x, y) E A. ue eXIsta uma funçãof: A ~ 1R2 tal

{

VI ' ....0$1""'....

t:$El\-1l'LO 2. Consideremos o sistema

~ ~ p (x, y) dy

,

(x, y) tais que

em 1R2 - {(O, O)}

= Q(x,y) Solução

.

Demonstração e

Suponhamos que tal f exista; assim

{

~ (x, y) ~ P(x,y) emA. Assim,

dy (x, y) = Q(x,y)

(Jp

(J2f

(Jp

dyiJx (x,y)

=

onde P (x. y) =

dy (x,y)

êJQ

-dy iJx

Derivando os dois membros da primeira e ua ão a x, obtemos, para todo (x, y) E A, q ç em relaçao ay e os da segunda em relação

em 1R2 - {(O, O)}

Y

2 x 2 e Q(x, y) = 2 Y 2 -e- . x +y x +y

A condição necessária está verificada; o sistema pode adnútir soluções. Deixamos a seu cargo

e

verificar que (J2 f

iJxdy (x,y) Como p e (J2f Q são

=

êJQ iJx (x,y).

s~2°fstas de classe C 1, resulta que f será de classe C 2; pelo teorema de

Schwarz iJx dy - dy (Jx . Logo, (Jp

dy

=

êJQ iJx emA.

•

é a farru1ia das soluções do sistema.

•

Uma pergunta que surge naturalmente é a seguinte: a condição necessária do teorema 2 é também suficiente? A resposta é não. (Veja Exercícios 9 e 10.) Entretanto, se algumas restrições forem impostas ao conjunto A a condição será, também, suficiente. Este problema será discutido no VoI. 3.

um L-ursO' Ge L-alCUIO -

Vol.

:2 1

eorerrtu uu

t'UI.VI

H..I.\...&A. ...........

..... ••

~ •••

_ ••

==~============~===============================

Exerc(cios 15.3 1. Detennine todas as funções f

. "..2

"..

->

~

.

."" ~""trusque

~

a.r -- 9x 2y 2 - lOx, -a.r = 6x3y + 1 ax a.r ()y b) - = y cos n , + 3 2 a.r ax x - y, ()y = x cos.ry - x + 3i c)~ =2xe x2 +y2 a.r -2 ye x 2 +y2 + _ 1 a)

~

-t

+ (x + 2y)

c) F (x, y) = Y i ~

~

+

-t

e) F (x, y) = 4 i

x

---::---::~::­

li) F (x, y) =

j

(x2

~

2-t

j) F (x, y) = e

}

->

xi +yj

-t

+ y2 )3/2

12 X

-

-

Y

-)

-)

(2x i - 2y j )

"J

0'''<

~

, -

()y 2. Determine a função f' 1R2

1

~

IR

+

uma curva fechada). Suponha que, para todo t E [a, b], y (t) E A. Prove que se F for conservativo, então, b-t a F

f _y

~

V'f(X'y)=(

1+

x x2

+

y2 ' 1

+

y x2

+ y2 +

ye

y2 )

· F (x y) O SeJa 1. , - x2

.

5. Detennine

z --

2

+i +

(x, Y), Y > O, tal que ipI

ipI

1, x 2 - i

+

47T e, para todo y > O,

2- Y

+ y2

x

6. Detennine

z --

1p2

(x, y,) x < O, tal que iI'2 (-1,1)

,

x

x2 =

+ y2

f:?T;

y 2

x

2

+y

x-t

j, (x, y) "# (O, O).

"* (O, O),

(x, y) =

e Q(x,y) =

íJQ a; (x,

y)

x 2

x

2 .

+y

(y (t» . y'(t) dt, onde y (t) = (cos t, sen t), t E [O, 27T].

-t

)

c)

.

3

F é conservativo? Por quê? (Veja exercício 9 acima) ->

-t

47T

(y(t» . y'(t)dt = O

+ ----::-----::x2 + y2

ap a;

b) Calcule

V' rpl (x, y) = (

i

1).

onde P (x, y) = -

(1, 1) =

-t

+ y2

a) Verifique que, para todo (x, y)

4. Existe funçãof: 1R2 ~ IR tal que

V'f(x,y) = (x para todo (x, y) em 1R2? Justifique.

-t

~

y2

.

cUJO gráfico passa pelo ponto (1, 2, 1) e tal que . V' f (x, y) = (2.ry3 - 2x, 3x 2i + 2y - 1). 3. Detemune a funçãof' 1R2 ~ IR . , . cUJo gráfico passa pelo ponto (O, O, 2) e tal que .

~

Seja F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j um campo de forças com P e Q contínuas no aberto l 9. A C ~2. Seja y (t) = (x (t), y (t», t E: [a, b], uma curva de classe C , com y (a) = 'Y (b) (y é

e, para todo x

->

+ Q (x, y)

11. Seja F (x, y) = P (x, y) i

< O,

j um campo de forças com P e Q definidas e contínuas

~2. Se F for conservativo então existirá uma função escalar U (x, y) definida F = - V U em A. Uma tal função denomina-se função energia potencial asso-

no aberto A de

(x,

x)

V' rp2 y) = ( - y . x 2 + y2 ' x2 + y2 . 2 7. SeJaA = {(x, y) E: 1R ,y > O} U {(x y) E: 1R2, < O} D . ' x . etermme que Ip (-1 1) _ 3 7T e, para todo (x, y) E: A,

, - 4

em A tal que

->

->

z = m.,.. ( x, y,)

(

x, Y) E: A ,tal

->->

->

a) F (x, y) = -6x i - 2y j e U (O, O) = O. ->

V'

rp(x, y) = (-y 2

+ y2

x

x)

' x2

+

2

.

y

(Sugestão: Utilize os Exercícios 5 e 6.)

F

V'

-t

Ip

(x, y) = F (x, y) em A.

Uma tal função d' Ip, quan o eXiste, denomina- fi -. ~ campo de forças dado é conservativo? JUstifi~~e.unçao potenctal associada ao campo F . O -t

a) F (x, y)

=x

-t

i

+y

7

->->

b) F (x, y) = x i

+Y

-> c) F (x, y)

I

->

8. Um campo de forças (x, y) = p (x -: + -? num aberto A C 1R2, denomina-s ' y) . Q (x,!) 1, onde P e Q são funções definidas e conservatlvo se eXlste um campo escalar Ip : A ~ IR tal que

->

ciada ao campo F. Detennine, caso exista, a função energia potencial associada ao campo F dado e satisfazendo a condição dada.

=

2

j e U (O, O) = O.

2'

x +Y ->->

xi+yj I

1/ x 2

+ y2

e U (3, 4)

=

1

5

li) F (x, y) = x i -.ry j e U (O, O) = 1.000.

12. Seja U (x, y) = 2x ->

2

+ ~i 2

a função energia potencial associada ao campo

a) Detennine F. b) Uma partícula de massa I é abandonada na posição (I, 1) com velocidade nula. Admita -> que F é a única força atuando sobre a partícula. Determine a posição y (I) = (x (t), y (t»

da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula. -t

-t-t

b) F (x, y) = Y i - x j

F.

(Sugestão: Pela lei de Newton

1i (t)

-> =

F (y (t».)

VI", ,-,UI.,V ut: \....ULC.. LU.U -

x2

13. Seja U (x, y) = ~

2

VUt.

Teorema do Valor Médio. Fórmula de

~

~

y2

+-

2

a energia potencial associada do campo F.

2

"(t) - a f (x y) h 2 g - ax2'

a) Determine F. b) Uma partícula de massa m = 1 é abandonada na posição (1, 1) com velocidade inic' al ~

~

_ X + ht e y - O _ . r emOS, entao.

00 de x

1

Vo = (-1, 1). Sendo F a única força atuando sobre a partícula, determine a posição Y(1 partícula no instante I. Desenhe a trajetória descrita pela partícula. ) da

g(l) = f(xo g'(O)

14. Seja F a força do exercício anterior. Uma partícula de massa m = 1 é abandonada na po . ~ ~ ~ Slçao (1, O) com velocidade inicial Vo = (0,2). Sendo F a única força atuando sobre a Partícul determine a posição "y (I) da partícula no instante I. Desenhe a trajetória descrita pela PartíCU1::

15.4. POLINÔMIO DE T AYLOR DE ORDEM 1

g

= g (O) + g'

+

(O) (l - O)

Z

(xO,yo)h+

a2f

(x y-)h 2 Jx2'

=-

2

(x, y)k

uy

g(O) = f(xo, yo),

%(xo,yo)ke a 2f

_ _ y)hk

+ 2 - - (x, Jx ()y

+

2 a f

- -

;)...2 (x, y)k

2

uy

x = xo + hi e y = YO + ki. + h, Yo + k),

A

Substituindo
g"(i) (l - 0)2 2 onde

, d Jf dx g (t) = dt [f(x, y)] = Jx (x, y) dy

+

+ h, Yo + k) = f(xo,

YO)

+

Z

(xo, YO) h

+

~ (xo, YO) k + E (h, k)

2 1 [a 2f a f - cP f (- -)k 2 ] E(h k)=- - ( x y)h 2 +2--(x,y)hk+ ;)...2 x,y , 2 Jx2' Jx()y uy

Jf dy ()y (x, y)

dt

para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (xo, Yo) e (xo

+ h, Yo + k).

Demonstramos, assim, o seguinte teorema.

ou seja,

g'(t)

=

Z

(x,y)h+

'af(x y) de classe C 2 no aberto A C [R2e sejam (xo,Yo) EA .e marS e Te o eJ . , . ) ( +h + k) esteja (h, k) =1= (O, O) tais que o segmento de extremIdades (xo, Yo e Xo ' yO contido em A. Nestas condições,

%(x,y)k

= Xo + ht e y = yO + kt; f (xo

g " (t)

2 a;)...2 f

+ ht, Yo + kt), t E [O, 1].

para algum tem ]0, 1[. Calculemos, agora, g' (t) e g"(t):

onde x

+

LUlSfU"IS"

- -) é um ponto interno ao segmento de extremidades (xo' Yo) e (xo

A g fornece os valores que afassume nos pontos do segmento de extremidades (xo, yo) e (xo + h, Yo + k). Esta função g desempenhará o papel de ligação na extensão da fórmula de Taylor para funções de duas variáveis reais. Pela fórmula de Taylor, com resto de Lagrange, para funções de uma variável, temos: g (1)

=

+ h, Yo + k),

Observe que ( x, Y pois i E ]0, 1[.

Sejaf(x, y) de clas~e C no aberto A C [R2. Sejam (xo, Y9) E A,e (h, k) =1= (O, O) tais que o segmento de extremIdades (xo, Yo) e (xo + h, Yo + k) esteja contIdo em A. Consideremos a função g dada por

CD

" (i)

onde

2

g (t) = f(xo

Jx()y

y) hk

com f{e~1U ue

= Yo + kt.

~

-

a2 f + 2 - - (x,

J aylor

=

d[Jf dt Jx (x, y )] h

= [~{

(x, y)h

+

+

d[Jf dt ()y (x, y) ] k

+ h, YO + k) = f(xo,

YO)

+

Z

(xo, YO) h

+

~ (xo, YO) k + E (h, k)

onde 2 2 2f 1 [a a f - a;)...2f (x,y - -)k 2 ] 2 +2--(x,y)hk+ h k)=( x y)h E( , 2 Jx2' Jx()y uy

~2~ (x, Y)k]h + [~2, (x, y)h + ~{ (x, y)k ]k'

para algum (x,

ou seja,

1

y)

'd d ( ) e (x + h Yo interno ao segmento de extrerru a es xo, Yo O '

+

k).

JUU

Um Curso de Cálculo -

Observação. Fazendo x = Xo

Vai. 2

Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com N.esto de Lagrange

+ hey

= YO

+ ~(xo, Yo)

/ (x, y) = :(xo, YO)

+ k,

obtemos

(x - xO)

+

f(xo, YO) (y - YO)

+ EJ (x,y)

par

a algum (x, y) interno ao segmento de extremidades -1

2

J /

(x y) = Jx2' (x

11 (~, y)

onde

E (

@

J X,Y

)

1 [J2 / (- -)(

=2

Jx2

x,y

x-xo

)2

+

2 J2/

__ JxJy (x,y)(x-xo)(y-yo)

Como e com x

J2/ -) (y- YO) Jy2 (x,y

+

= /(xo, YO) +

(x, y)

!

(xo, Yo) (x - xo)

+

para todo (x, y), com x

(xo, YO) (y - Yo)

y

1, IIn (x

+

(~, ~J

+

Y - 1) 1< _1 (x

y) - (x

2

Solução

a) P I (x,

! (~, ~)

~) +

(x -

Z(~, ~) (y - ~).

Como - (x,y) Jx

resulta:

1

= -- e

Jj

-

x+y

(x,y)

+

Y - 1)2.

+y>

x

1. Assim, para todo (x, y),

+)

2 (x -

(y -

+)+

(y -

ri

+

IIn (x

+ y)

I (x 2

< -

+Y-

P I (x, y) I <

-

+

y) - (x

+

Y - 1) I <

1)

2

'21 (x + Y I

-

(x

2

1)

+

2

Y - 1)

2

+y >

1.

1. Detennine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta do ponto (xO' yO) dado. a) f(x, y) c) f(x, y)

= eX + 5Ye (x%) = (O, O). = x 3 + y3 - x + 4ye (xO' yO) = (1. 1). = sen (3x + 4y) e (xO' yO) = (O, O).

2. Sejamf(x, y)

=

eX

+ 5Y e P I (x, y) o polinômio de Taylor de ordem 1 defem volta de (O, O).

Mostre que para todo (x, y), com x

+ Sy <

1,

1

I eX + 5y - P I (x, y) I <

x+y

'23 (x + Sy) 2

b) Avalie o erro que se comete na aproximação

PI

(x, y) = O + (x - ~) + (y - ~),

eX

ou seja,

b) In (x

1. Assim,

= __

Jy

vy

• Exercícios 15.4 ==========================

a)

Jj

x -

+y>

Iln x

b) f(x, y)

y) = / (~, ~) +

r

+I( + +

OU

para todo (x, y), com x

+>

JxJy

1. Segue que

IE (x, y)1

Z

a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 de/em volta de

_ J2/ ;). .2 (x,y).

2 = - - (x,y) -

+ Y > I , teremos , também ,

1_ -1_ 21 < (x + y)

.

e (x, y). Temos.

OU

= In (x + y).

b) Mostre que para todo (x, y), com x

I,

I E (x,y) 1<

denomina-se polinômio de TayLor de ordem 1 de/ (x, y) em volta de (xo, yo). Observe que o gráfico de P I (x, y) é o plano tangente ao gráfico de/em (xo, yo,f(xo, Yo» . EI (x, y) é o erro que se comete na aproximação de/ex, y) por P (x, y); @éaexpressão do I erro na/orma de Lagrange. (Às vezes, usa-se a expressão resto em lugar de erro.)

EXEMPLO. Seja/ex, y)

+y>

2J

para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (xo, yo) e (x, y). O polinômio

11

stamos supon d o x

J2/

+ y)

1 1) ("2'"2

JU.l.

+ 5y == P I (x, y)

para x = 0,01 e y = 0,01.

+ y) = P I

(x, y)

+

P I (x, y) = x E (x, y), onde

+Y

3. SeJam · f( x, y ) = x 3 + y3 - i + 4ye P I (x' y) o polinômio de Taylor de ordem 1 defem volta de (1, 1). Mostre que para todo (x, y), com I x-li < 1 e I y - 1 1< 1, 2 2 If(x, y) - P (x, y) I < 7 (x - 1) + 6 (y - 1)

- 1.

I

[a- -f 2

E (x, y) = -1

2

(]x

2

_ y) _ (x,

(x

(x,

)2 + 2 -a-f

2

2

+ a ay2f

- -1

y) ( Y

-

"21)2J

2

(]x ay

_ y) _ (x,

(x

_ _1)

2

( y __ 1) 2

4. Sejamf(x, y)

de(l, I).

= x3 + }

-

x

2

+ 4ye P I (x, y) o polinômio de Taylor de ordem

1 defem volta

. Utilizando P I (x, y), calcule um valor aproximado para f ( x, ) y , sendox=IOOley=0,99. , b) Avalie o erro que se comete na aproximação do Item a).

a)

(Sugestão: Utilize o Exercício 3.)

leUlerllU uu VU,"VI

3UZ,

Um Curso de Cálculo -

2

5. Seja (xO' yO) um ponto crítico def(x, y) e suponha quefseja de classe C na bola aberta B centro (xO' yO). Prove que para todo (x, y) em B, existe (i, y) interno ao segmento de extre ~e dades (xO , yO) e (x, y) tal que Ilti.

f(x, y) - f(xo, Yo)

JP".JIc,...~ .. "" . . . . . . . . . . . . _ ........ - -

... -./ ~ _.

~ •.

Voi. 2

- ="2I [cJ2 ax f2 (x, y) (x 2

+a ay2f (x- , y)

(y -

2

xo) + 2

Yo)

a2 f (x,--y) (x axay

- xO) (y - Yo)

no parágrafo anterior que

vimos

e

;J2f

2].

g

_

a.i

6. Sejaf(x, y) = + bxy + ci + d.x + ey + m (a, b, c, d, e, m constantes) e seja (xo, y ) u ponto crítico de! Prove que, para todo (h, k), O lU 2

f(xo + h, Yo + k) - f (xo, Yo) = ah + bhk + ck

2

onde x - xo

(x y)h 2 - éJx2'

"(t) - -

+ ht e y 3

g"'(t) =

.

2

!

g'(t) =

onde x

~{

= Yo

+ kt.

(x, y)h 3

~ (x,y)k

(x,y)h+

éPf (x, +2éJx()y

y)hk

f + éP ;).,2 vy

(x, y)k

2

Deixamos a seu cargo verificar que éJ3 f

éJ3 f

2

éJ3 f

2

+ 3 éJx2 ()y (x, y)h k + 3 éJx()y2 hk + ()y3 (x, y)

k3

= Xo + ht e y = Yo + kt. Temos:

7. Sejam f (x, y) e (xo, Yo) como no exercício anterior. Prove que se a > Oe b - 4ac < O, então

f(xo + h, yO + k) > f (xo , Yo) para todo (h, k)

*-

g'(O)

(O, O). Como é o gráfico def!

8. Suponhaf(x, y) da classe d na bola aberta B de centro (xO, Yo) e que as derivadas parciais de 2.' ordem sejam limitadas em B. Prove que existe M > O tal que, para todo (x, y) E B.

If(x, y) - P I (x, y) I ,,;; M" (x, y) - (xO' yO)

(í)

I P (x, y) I,,;;

M" (x, y) -

,,2

onde

15.5. POLINÔMIO DE TAYLOR DE ORDEM 2

2

[ éJx2

+ g' (O) (1 - O) + g" (O) (1 - 0)2 + g'" (i) (1 - 0)3

para algum i em ]0, 1[.

2!

3!

éJ2 f éJx()y (XO, yo)hk

+

e

éJ2 f 2 ()y2 (xo, YO)k éJ3f

- -

éJ3f - -)k3

2

o'

+

yo)h 2

éJj

éJx (xo, yO) h

+

éJ2f +2- (xo, éJx()y

éJj

()y (xO, Yo)

YO)hk

k

+ -éJ2f 2 (xo, ()y

yo)k

2J + E(h, k)

onde

,

~3! [éJéJx33f

(x, y)h 3

+ 3 ~ (x, éJx2 ()y

2 y)h k

+3

:";2

OÁ

(x, y)hk

2

vy

- Y -)k 3 J, + éJ3 ()y3f (x,

para algum (x,

Suponhamos f (x, y) de classe C 3 no aberto A C 1R2. Sejam (xO, YO), (xO + h, Yo + k) e g (t) = f(xo + ht, Yo + kt) como na seção anterior. Pela fórmula de Taylor, com resto de Lagrange, para funções de uma variável segue que

(xo, Yo)

:12 (x + ~ !!.1

--------------------------------------------------------------

= g (O)

+2

éJ3f

+ h, Yo + k) = f

(xO' yO) ,,2.

Prove que P é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (xO' yO).

g (1)

~ (xo, yo)k,

x = xo + ht e y = YO + ki.

E (h k) =


+

Substituindo Q) em
10. Sejaf (x, y) de classe C2 no aberto A C [R2 e seja (xO, yO) um ponto de A. Seja o polinômio P (x, y) = a (x - xo) + b (y - Yo) + c, com a, b e c constantes. Suponha que existam M > O e uma bola aberta B de centro (xO, YO), com B C A, tal que, para todo (x, y) em B,

M" (x, y) -

(XO, yo)h

f(xo, YO),

g"'(i) = ~{ (x, y)h 3 + 3 éJx2()y (x, y)h 2k +3 éJx()y2 (x, y)hk + ()y3 (x, y

Prove que P (x, y) = O em [R2

If(x, y) - P (x, y) I ,,;;

~

3

,,2

+ c, com a, b, c, Xo e Yo constantes.

(xo, Yo)

=

éJ2f g"(O) = éJx2 (xo, yo)h 2

onde P I (x, y) é o polinômio de Taylor de ordem 1 defem volta de (xO' yO). 9. Considere o polinômio P (x, y) = a (x - xO) + b (y - yO) Suponha que exista M > O tal que, para todo (x, y),

+ h,yO + k), g(O) =

g(l) = f(xo

y) interno ao segmento de extremidades (xO, yO) e (xO + h, Yo + k).

Demonstramos assim o seguinte 3

1Tb2·

(

) E Ae

Teorema. Sejaj{x, y) de classe C no abert? A C ~ e sejam xo, Yo (h, k) =1= (O, O) tais que o segmento de extremldades (xO, Yo) e (xO + h, Yo contido em A .

+k

esteja )

..Iv.....

Ue:

Ulfl, \..-ul.lV

L-Utt..:ULU -

leoremu

vUl. f.

c-

2

Nestas condições, f(xo

+ h, Yo + k)

+

2"1 [c)2f Jx2

= f (xo, Yo)

(XO, Yo)h

2

+

+2

!

I 1 - f!2 (x y) I < -yIf (J' y) ' 2

(xo, Yo) h

+

c)2f

JxJy (xo, Yo)hk

~ +

(xo, YO) k

c)2f

Jy2 (xo, Yo)k 2

]

par

+ E(h, k)

4.

[

J

I x I + -1 I Y I

3

I I ::: l. a todo (x, y), com x 3 aberto A C 1R2 e seja (xa, yO) um ponto de A (lembre-se de que f de classe

se~af(x, y~gnifide.classe eta:: as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas emA). Pr00dve q(ue eX!)'~e; e emA SI ca que (XQ. y ), com B E A, e um número M > Otais que, para t uma bola aberta B de centrc O 3

onde

x, y

o

,

If(x y) - P2 (x, y) I ==; M 11 (x, y) - (xo, yO) 11 lio de Taylor de ordem 2 de f em volta de (x{» yO) . Conclua que onde P2 (x, y) é o potinor •

A

li

(x.y)~~xO'Yo)

=O

E(x, y)

II(x, y) - (XO, Yo)112

P (x, y); isto é, o erro E (x, y) tende a zero mais rapidamente que

para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (xo, Yo) e (xo

ondeE(x,y)=f(x,y) -

+ h, Yo + k).

11

o polinômio

(X, y) - (xO' Yo )

2 112 qua1do (x, y) -

'

(x

5. Sejam f (x, y), P2 (x, y)

~ra

defmida em A tal que, p
)

(xO' yO .

+ cp (x,

lim

cp (x, y)

com

6.

denomina-se polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de (x() YO), Fazendo x = xo + h e Y = Yo + k no teorema acima, resulta: f(x, y) = P2 (x, y)

+ E2 (x, y)

2

f(x, f) = P2 (x, y)

(x, ; )

~

.

y) como no Exercício 4. Prove que eXiste uma funçao cp (x, y) ?~dg (x, y) emA.

y) 11 (x, y) - (x{» yo)11

=

cp (xo, YO) = O.

~ (xo'Yo)

I no aberto A C 1R2 e seja (x{» yo) um ponto de A. Seja de classe e iximo 2 . Prove que se polinorruo de grau no fi, _ . f (x, y) - P2 (x, y) = lim 2 (x,y) -> (x , )'0) l1(x, y) - (xo, YO) 11 o

Seja~ (x,. y)

~

(x, y) um

°

_ _ , ' lÔmiO de Taylor de ordem 2 de f em volta de (x{» YO)· entao ~ (x, y) e o polIr,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

onde EJ (x, y)

=

[;j3

1 f - 3!_ Jx3 (x, y) (x - xO)3

cJ3 f (x, - y) + 3 JxJy2

+3

d 3f

15.6. FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO DE LAGRANGE

--

Jx2 Jy (x, y) (x - xO)2 (y - YO) 3

(x - xo) (y - YO)2

+ dJy3f

(x,

y)

(y - Yo)3

]

para algum (x,

y) interno ao segmento de extremidades (x() YO) e (x,

Exercícios 15.5

===========================~

y).

1. Detennine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (x() yO) dado.

a) f(x, y) = x sen y e (xO' yO) = (O, O). 2 3 b) f(x, y) = x + 2x y + 3y3 + x - ye (xo, Yo) = (1, 1). 2. Expresse o polinômio f (x, y) = x 3 + 2x2y + 3i + x - y como soma de termoS do tipo a(x-lf(y-I)Q. 3. Seja P2 (x, y) o polinômio de Taylor de ordem 2 def(x, y) = x sen y em volta de (0, O). Mostre que

.asse C n + J no aberto A C 1R2. Sejam (x() Yo), (xo SUponhamosf(x y) de cr . V· g (t) == f (xo + ht, ;0 + kt) (orno na seçao antenor. Imos que

g'(t) =

Z

(x, y)h +

2

g"(t) = =

1

(2)P

(~)°d 2 {

dy (x, y)k, d

2

f

(x y) h(2 - p)kP

,

(i) JxJy d2 f (2) d f (x, y)hk + 2 éJy2 2

f

dX

(

di

dx 2 - P éJyP

P=

d 2f = dx 2

+ h, Yo + k) e

x, y

x, y)h 2

)h 2

+

2

+ 2 l l (x, JxéJy

y)hk

+

d 2f .::1..,2

uy

(x, y)k

2

(x, y)k

2

JV V

um Lurso ae LalCUIO -

VOl. L

e que

f __ (x, y) g'" (t) = I.= o (p3) -:---c:;-d_ ax 3

P

onde x

3 _

h(3 - p)k P

P dyP

= xo + ht e y = Yo + kt. Deixamos a seu cargo provar por indução que g(r) (t)

=

i p

(pr) Jx i]r f (x, y) =O r p dyP

hC r

onde x = xo + ht e y = yO + kt. Pela fórmula de Taylor com resto de Lagrange para funções de uma variá "I ve, temos: g (1) = g (O)

1

n

+ 1: -

gr (O)

+

r=lr!

16

- p)kP

MÁXIMOS E MÍNIMOS

+ I) (-) g t (n+I)! (n

para algum i em ]0, 1[. Segue que

16.1. PONTOS DE M ÁXIMO E PONTOS DE MÍNIMO Sejaf(x, y) uma função a valores reais e seja (xo, Yo) E A, com A C Df" Dizemos que (xo, Yo) é ponto de máximo de f em A se, para todo (x, y) em A,

E (h, k) =

1

(n

+ I)!

n

1:+ 1 ( n +

1)

P

P= O

an + 1f Jxn + 1 - P dyP

(x y-) h(n + ,

para.algum (x, y) i~terno ao ~egmento de extremidades (x{» yO) e (xO FIca provado aSSIm o segumte

1-

p) kP

+ h, Yo + k).

Sendo (xO, Yo) ponto de máximo de f em A, o número f (xo, Yo) será denominado valor máximo de f em A. Dizemos que (xo, Yo) E Df é ponto de máximo global ou absoluto de f se, para todo (x, y) E Df'

Teorema (FóTula.de Taylor com resto de Lagrange). Sejaf(x, y) de classe Cn + 1

*'

n~ aberto A C IR e sejam (x{» yO) E A e (h, k) (O, O) tais que o segmento de extrerrudades (xo, Yo) e (xo + h, Yo + k) esteja contido em A. Nestas condições f(xO+h'YO+k)=f(xo , yo)+

+E

I

J..

r = 1 r!

[i

(r) P = O P Jxr

~rf

P dyP

(xO,yo)hr - p k P]

(h, k)

, . , . Para todo (x, y) E B n Df' Deixamos a seu cargo definir ponto de rrummo de f em A C Df' ponto de rrurumo global e Ponto de mínimo local. Os pontos de máximo e de mínimo de uma funçãofdenominam-se extremantes def

onde

E(h k)= 1 nil(n+l) an+1f - ' (n+l)! p = o p Jxn+l - pdyp (x, y)

para algum (x,

y) interno ao segmento de extremidades (x{»

Diremos, neste caso, que f (xo, yO) é o valor máximo def Finalmente, diremos que (xO, yO) E Dfé ponto de máximo local defse existir uma bola aberta B de centro (xo, Yo) tal que

hC n

+1

yo) e (xo

- p) kP

+ h, Yo + k).

E~MPLO 1. (O, O) é ponto de mínimo global def(x, y)

2' x 2 + l

I1llnImo def, pois,f(x, y) ~ f(O , O), para todo (x, y) em IR .

ef(O, O) = O é o valor

•

EXEMPLO 2. Sejaf (x, y) = 2x - ye seja A o conjunto determinado pelas condições x ~ O, Y ~ O, x + y ~ 3 e y ~ X. Estude f com relação a máximo e mínimo em A.

308

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

Solução

6 2. CONDIÇÕES NECESSÁRIAS PARA QUE UM PONTO 1· INTERIOR AO DOMÍNIO DEf SEJA UM EXTREMANTE

Tal estudo será feito com auxílio das curvas de nível de!

LOCALDEf

o teorema que enunciaremos e demonstraremos a seguir fornece-nos um critério para _eleci onar, entre os pontos interiores de Df' candidatos a extremantes locais de!

z=2x-y

~

z=O<=:>y=2x

z= z=

- 3 <=:> Y =

~2 <=:> Y =

Teorema 1. Seja (xo, yO) um ponto interior de Dfe suponhamos que af (xO, Yo) ax

2x + 3 [{(O, 3) = - 3J

2x -

~2

[f (~ ~) 2'2

=

e ai (xo, Yo) existam. Nestas condições, uma condição necessária para que (xo, yo) ay ,ai ai seja um extremante local de I e que - (xo, Yo) = O e - (xo, Yo) = O. ax ay

~J 2

Vemos, geometricamente que (3 3) (O 3) . , 2' 2 e , sao, respectivamente, pontos de máximo

3) - 3,

e de mínimo defem A 'f(~ L ,. , 2' 2 - 2 e o va or maxlmo ef(O, 3) = - 3 é o vaLor mínimo de f em A. Para comprovar analiticamente que o d' . , proceder do seguinte modo: para todo (x, y) emq~e lssemos aCima esta correto, podemos ~O

f(x, y) -

f(~,~) = 2x -

y-

Suponhamos que (xO, yO) seja um ponto de máximo local de! Como (xO, yO) é ponto interior de Df' existe uma bola aberta B C Df' B de centro (xo, yo), tal que, para todo (x, y) em B

~O

~ = -(:(~ - : ) - (;.~..: -) ~ O '~,,~

ou seja,f(x, y)

Demonstração

~",~

"

"

~f(~, ~J ~O

~O

f(x, y) - f(O, 3) = 2x - y

+3=

3x

+

(f;'- x _o;)) ""...

~O

".'

ou seja,

f(x, y) ~ f(O, 3).

•

Por outro lado, existe um intervalo aberto I , com Xo E I, tal que para todo x E I, (x, yO) E B. Consideremos a função g dada por

g (x)

=

I

(x, yo), x E I.

EXEMPLO 3. Seja (x, y) definida em 1R2 dada por 2 f(x, y) = {x + y2 se x 2 1 - (x - 3)2 - y2 se x 2

+ y2 ~ 4 + y2 > 4.

(Ou''cO) ~ p~nt~ de2rníniqlO local; (3, O) é ponto de máximo local e todo (xo Yo) pertencente à C unlerenClax + y - 4 ' d áx' , esboço do gráfi d f - ~fiPonto em 1illO global de! Deixamos a seu cargo fazer ufl1 lCO e e ven lcar as afirmações acima.

--------g(x)

-"--

--

(x()o Yo) (x. Yo)

J1.U

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

Temos:

l\'lPLO 3. Seja z = f (x, y), com domínio A = {(x, y) E 1R21 x ;;. O e y ;;. O}, onde ~"t:,) == iy + 3x. O ponto (O, O) é um ponto de mínimo defem A pois f(x, y) ;;. f(O, O) em f(J,)

gé,deriVáv.el e~ Xo (g' (xO) = :~ (XO, yO»)

I

af

af

== 2xy

+ 3, segue que -

(O, O) = 3 y!= O. Este fato não contradiz o teorema 1, ax ax pOiS ele só se aplica a pontos interiores de Dfe (O, O) não é ponto interior de Df(Df = A) . •

.A. Co

Xo e ponto mtenor de I e Xo é ponto de máximo local de g

JllO

Suponhamos, agora, que o domínio defseja aberto e quefseja de classe d. Suponha111 , ainda, que (xO, yO) E Df seja um ponto de máximo local dei Consideremos a função

daí

0s g (x) dada por

g (x) = f (x, yo)· e, portanto,

r

ndo em vista as hipóteses sobre f, segue que Xo é ponto interior do domínio de g e, além di:s o, é ponto de máximo local de g; como g é, também, de classe d teremos que ter necessariamente

De modo análogo, demonstra-se que

!;

(xo, yO) = O.

•

Segue deste teorema que se (xO, yo) for interior a D ,fdiferenciável em (x ) extremante local de f, então o plano tangente ao gráfi!o de f em (x y f( o' y)o) e c,xo, Yo) leIo ao plano xy. o' o' xo, yO sera para-

s~~zemos que~xo, yO) é um ponto críti~o ou estacionário de f se (xO, yO) for interior a D f (xo, yo) ~ (O,. O). O teorema antenor nos diz que se f admite derivadas parciais eJ todo; o~ ponto,s I.ntenores .de Df' então os pontos críticos de f são, entre os pontos interiores e 'I' os unzcos candIdatos a extremantes locais de I e

Fica provado assim o seguinte teorema.

d

Teorema 2. Seja f de classe e seja (xo, Yo) um ponto interior do domínio de I Uma condição necessária para que (xo, Yo) seja ponto de máximo local def é que (xo, Yo) seja ponto 2

críticodefe, além disso, a

ax

{ (xo, Yo)

~ Oe a

2 { (xo, Yo)

ay

~ O. (Interprete geometricamente.)

gm

ponto (xo, ~o) E _A que n~o é ponto interior de A denomina-se ponto de fronteira de . d teorema antenor nao se aplica a pontos d~ fronteira de Df; um ponto de fronteira de Df Po e ~er um extremante .local sem que as denvadas parciais se anulem nele. Os pontos de f rontelfa devem ser analIsados separadamente.

A

(observe que se tivéssemos g" (xo) > O, Xo teria que ser ponto de mínimo local de g). Da mesma forma, considerando a função h (y) = f (xo, y), teremos que ter necessariamente

EXEMPLO 1. Sejaf(x,

y)

= x + i. Como Df 2

é um conjunto aberto (Df

= ~2), de

2

Se no teorema acima as condições a

{ (xO, Yo)

ax

a2 f

~ Oe a

2 { (xo, yO)

ay

~ O forem trocadas

a2 f

por - a 2 (xo, Yo) ;;. O e -2- (xo, Yo) ;;. O teremos uma condição necessária para (xO, yO) ser x ay

ponto de mínimo local de I af ax (x, y) = 2x af

{ ay (x, y) = 2x

EXEMPLO 4. Determine os candidatos a extremantes locais de y) = x 3 + y3 - 3x - 3y + 4.

f (x,

SolUÇão

f

segue que (O, O) o único candidato a extremante local. Como f (x y) ;;. f (O O) == O, para • todo (x, y) em ~ , resulta que (O, O) é um ponto de mínimo global d e i '

EXEMPLO 2. O único ponto crítico def(x y) = x 2 - y2 é (O O) Ve 'fi m dificuldad (O O) - , ' , . fi Ica-se se : que , nao e extremante local (para uma visualização geométrica desenhe aS intersei~es ~o gráfico ~e f com os planos yz e xz). O ponto (O, O) denomina-s~ ponto de sela. O gr ICO esta funçao tem o aspecto de uma "sela de cavalo": tente desenhá-lo. •

é Os únicos candidatos a extremantes locais são os pontos críticos, pois o domínio def(Df = 1R2) aberto. De af 2 af 2 -(x, y) = 3x - 3 e -(x, y) = 3y - 3

ax

ay

resulta que os candidatos a extremantes locais são as soluções do sistema

UIr,.

'-'",lu ue

L.UU..:UlO -

VOl. ~ 't'lu.AL""V,J C. Jr ..

{ 3y3X~ --

3 = O 3 = O.

r6ximo teorema fornece-nos uma condição suficiente para um ponto crítico defser O ~ante local de I

e~trel

As soluções do sistema são: (1 I) (-1 1) (1 -1) ( 1 " '" e - ,-1). Temos:

a2 f

= 6x

ax 2 (x, y)

a2 f ax

_

2 (1, 1) -

a2 f _

2

Teorema. Sejamf(x, y) de classe C e (xo, Yo) um ponto interior de Df Suponha-

a2 f

e

ay2 (x, y)

= 6y.

(1105

a2 f

_

a2 f

-

I Imo oCa!.

a2 f

ay2

(-1 _

_

a{

(xO, yO) > Oe H (xO' YO) > 0, então (xO, yO) será ponto de núnimo local deI ax 2 b) Se a { (xO' yO) < e H (xO' YO) > 0, então (xo, YO) será ponto de máximo local de I ax c) Se H (xO, YO) < 0, então (xo, Yo) não será extremante local. Neste caso, (xO, Yo) será

a) Se

°

a2 f

(-1, -1) = -6 e

ax 2 . I ocaI. Xlmo

que (xO' yO) seja ponto crítico dei Então 2

6 eay2 - ( l ' 1) - 6' . , log o, (1 , 1)'e candidato a ponto de rrun"

I,I)--6e-(-II)=6'1 (11) - , ax ay2 ' , ogo, - , nao e extremante local. O fll acontece com o po no, t (1 - 1). (1nterprete geometricamente.) eSTno 2(

1I ........ ~ ..

.

,1) - -6, logo, (-1, -1) é candidato a ponto d

'

e flla-

Seja (xo, Yo) um ponto crítico def(x, y). Sejam (x) = f x _ • vemos que se Xo não for extremante local de g en~o ( (')' YQ) e h ~) - f (xo, y). ObserI Da mesma forma, se yO não for extremante I~cal d ~o, YQ nao sera e:trem?nte local de local dei (Verifique.) e ,entao (xo, YO) nao sera extremante

ponto de sela. d) Se H (xO, Yo) = 0, nada se pode afirmar.

Demonstração

EXEMPLO 1. Sejaf(x, y) = x 3 + (-1 , l)e(-l, -1). Temos:

i - 3x -

Exercícios 16.2

H (x, y) =

sele~ione ~s candidatos a extremantes locais, sendo f 1.2x +y -2.xy+x-y

2

.

2

(x, y)

=

2

.x -y +3.xy-x+y 3 2 ' 3. x - y +.xy + 5. 4 3 3 .x +y -.xy 4 4 ' 5. x + Y + 4x + 4y. 6 5 5 . x + Y - 5x - Sy.

16.3. UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA UM P ONTO C RÍTICO SER EXTREMANTE LOCAL Sejaf(x, y) de classe C 2. A função H dada por

a2 f

H (x, y)

=

a2 f axay (x, y)

H (x, y) =

~:{

2 2 (x, y) aa { (x, y) _ [ a f (x, y)J2. y axay

!:{

I~x ~YI e

(x, y) = 6x.

°

2

= 36> e a

{ (1, 1) = 6> O; logo, (1, 1) é ponto de mínimo local. Note que (1, 1) ax não é ponto de minimo global, poisf( -3, O)
H (1,1)

°

2

a{

(-1, -1) = - 6 < O; logo (-1, -1) é ponto de máximo ax local; entretanto, ( - 1, - 1) não é ponto de máximo global, pois f (4, O) > f (- 1, - 1). Como H (-1, 1) < e H (1, -1) < 0, segue que (-1, 1) e (1, -1) não são extremantes, são ponH (-I, -1) = 36>

e

°

_

~MPLO 2. Sejaf(x, y) =

4

3x + 2i. O único ponto crítico defé (0, O) e temos H (0, O) = O; ogo, o teorema não nos fornece informação sobre este ponto crítico. Trabalhando diretal11.ente com a função verifica-se sem dificuldade que (0, O) é ponto de mínimo global. x 5 + 2y5. O único ponto crítico é (0, O) e H (0, O) = O. Comox "" Onão é extremante local def(x, O) = x 5, resulta que (O, O) não é extremante local dei -

EXEMPLO 3. Sejaf(x, y) denomina-se hessiano dei Observe que

3y + 4. Os pontos críticos defsão: (1,1), (1, -1),

Então:

tos de sela.

ax 2 (x, y)

-

Veja Exemplos 3, 4 e 5 da Seção 16.6.

=

EXEMPLO 4. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepí~edo-retângulo e com I m3 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo o que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do tnateriaI.

314

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

Solução

.fi ue então, que o valor mínimo de h (a) éf(V6, ve(l lq , acesSo.) pr

abe = 1 ou e = _1_ ab

,,

+ 3xy + 4 l - 6x + 2y + 2xy + l - 5x 2 e) x 3 - 3x y + 27y g)(x2 + 2xy + 4i - 6x -12y of+XY+l-6x-~

+ l + xy - 3x - 4y + 5 2 i + 2xy + 4x - 2y + 4l - x + 3y + 1 4 2 h)x + i - 2x - 2l nf+i+~+~

l) x 5

m)

i

a) c) x 3

, b a

o problema consiste em minimizar

+ y5

+ 2be) + ab, onde e

b) x

2

2

d) - x + 2 j) x - 4xy

- 5x - 5y

2. Sejaf(x, y) = ax

f(a, b) = 3 (2ae

-

[;.,(1'cícios 16.3 1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f (x, y) =

c

,,

V6). Descreva geometricamente este

1 I 2 + - + xy, x > Oe y > O x

y

+ bl + cxy + dx + ey + I, onde a, b, c, d, e e I são constantes. Prove que

se (xO' yO) for extremante local de J, então será extremante global.

=_1 ab'

(Sugestão: Observe que o gráfico de g (t)

ou

= f(xo + ht, yo + kt) (h e k constantes) é urna parábola.)

3. Estude com relação a extremantes globais a função f (x, y) =

f(a, b)

6

6

= b + -;; + ab, a > Oe b >

2

+ 2xy + 2 l - x + 2y + 2y - 2xy - x 2 - 3l 2 e) x + 2l + 3xy + 2x + 2y

a) x

b)

c) x

O.

Temos

i - i - 3xy + x + 4y 2 + i + xy - 2x - 2y

d) 3x j) x

2

+ l - 2x -

4y

(Sugestão: Utilize o Exercício 2.) 4. Determine o ponto do plano x

=-~+b af 6 aa a2 e ai; = - b2 + a.

af

+ 2y -

z = 4 que se encontra mais próximo da origem .

5. Método dos mínimos quadrados. Dados n pares de números (aI' b l ), (a2, b 2), ... , (a w b n), com n;'" 3, em geral não existirá uma função afimf(x) = Q'X + f3 cujo gráfico passe por todos os n pontos. Entretanto, podemos determinarfde modo que a soma dos quadrados dos errosf(ai) - b i seja rninima. Pois bem, determine a e f3 para que a soma n

E (a, f3) = ~)f(ai) - b;]2 i=l

2

seja rninima.

2

a b = ab ~a = b. Assim,

6. Determine, pelo método dos rninimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados:

(a, b) = (V6, V6)é o único ponto crítico de! Como H(V6, V6» 2

af

aa 2

(verifique) resulta que (V6

a) (1, 3), (2, 7) e (3, 8)

Oe

7. Determinado produto apresenta uma demanday (em milhares) quando o preço, por unidade, é x (em R$). Foram observados os seguintes dados:

(V6, W) > O

W) ,

d ' . '. e ponto e rrurumo local. Pela natureza do problema, é razoável esperar que este ponto seja de mínimo global. As dimensões que minimizam o custo são:

a=V6, b=V6 e e -- 6· V6 (U ma fonna elegante dejustificar que (V6, V6)épontodeJ11ÍIÚ1ll0 global é a seguinte: para cada a > O, seja h (a) o valor mínimo de g (b)

b) (O, 1), (1, 3), (2, 3) e (3,4)

= ~ + ~ + ab a

b

b /> O;

'

x

y

5 7

100 98 95

8

94

6

A tabela nos diz que ao preço unitário de 5 reais a demanda foi de 100.000 unidades; ao preço unitário de 6 reais a demanda foi de 98 .000 unidades etc. a) Determine, pelo método dos rninimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados

observados.

'--',,.. ..... U/.)V

(.C.e::

V()l.

,-,"uLl.. ulU -

~

b) Utilizando a reta encontrada no item a), faça uma previsão para a demanda quand

por unidade, for 10 reais.

o o preço,

8. Considere as retas reversas r e s de equações (x, y, z) = (O, O, 2)

+

À

(I, 2, O), À E IR

2i l i-

e (x, y, z) = (O, O, 4)

+

J.L (1, I, 1), J.L E IR

respectivamente. Determine P e Q, com P E r e Q E s, de modo que a distância de P Q a menor possível. a eJa 9. Duas partículas P I e P 2 deslocam-se no espaço com velocidades constantes ~ '" (l I ~

. .

'

,0)

e V2 = (O, 1, 1), respectIvamente. No Instante t = O a P I encontra-se na posição (l I Sabe-se que a trajetória descrita por P2 passa pelo ponto (1, I, O). Qual deverá ser a POS;Çã' 3). P2 no instante t = O para que a distância mínima entre elas seja a menor possível? o de

10. Determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y. T . produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários PI e P2, respectivamen~ que dependem de x e y conforme equações: Pl = 120 - 2x e P2 = 200 - y. O custo total de~ empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por C = x 2 + 2/ + 2xy. Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. 11. Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z, uma empresa utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y. Os preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e I. O produto será oferecido ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada 2 por z = 900 - x - / + 32x + 41y. Determine a produção que maximiza o lucro. 12. Considere o sistema de partículas P I , P 2, ... , Pn, localizadas nos pontos (x],YI), (x2,Y2), ... , (xn,Yn) e de massas m],~, ... , m n. Seja N = (x, y). Determine N para que o momento de inércia do sistema, em relação a N, seja mínimo. Conclua que o N encontrado é o centro de massa do sistema. (Observação. O momento de inércia de P, em relação a N é o produto de mi pelo quadrado da distância de P i a N; o momento de inércia do sistema em relação a N é a soma dos momentos de inércia, em relação a N , das partículas que compõem o sistema.)

13. Determine o ponto do plano 3x + 2y e (1, 1, 1) seja mínima.

+ z = 12 cuja soma dos quadrados das distâncias a (O, O, O)

i - i,

14. Considere a funçãof(x, y) = 1 x;;. Oe y;;' O. Determine o plano tangente ao gráficO defque forma com os planos coordenados tetraedro de volume mínimo.

15. Sejaf(x, y, z) de classe d- e seja (xo, Yo, Zo) um ponto interior de Df Suponhamos que (xO' Yo, ZO) seja ponto crítico def Sejam H (x, y, z) e H] (x, y, z) dadas por a2 f

a2 f

ax 2 a2 f

ax ay a2 f H= ax ay ay2 a2 f a2 f ax az

a2 f ax az a2 f

ayaz a2 f ayaz az 2

a2 f OH ( 7n) > O e H (xo, Yo, Zo) < O, então (xo, YO, Zo) será ponto ") se (xo, YO' zo) < , ] xO' YO' -u (U ax2 d máximo local. e I _ máximos e mínimos locais a função f (x, Y, z) = Estude com re açao a 2 5 2+ + 4xy - 2x - 4y - 8z + 2. X + )I a) 3 3 + z3 _ 3x - 3y - 3z + 2. b) x3 : ~ + + 5x - 4z. c) x 2 2 + 4z2 + 2xz - 4yz - 2x - 6z. d)x - Y 2 . ( Z ) ponto interior de Df' Suponha que (xo, Yo, zo) seja . f(x y z) de classe C e seja xo' Yo, O 16 Seja " . ponto crítico de f Prove: 2 a2 f a2 f ( ) ;;. O e a f (xo, Yo, Zo) ;;. Oé uma condição necessária a) (xo, Yo, Zo) ;;. O, a 2 xo' YO' Zo ' az 2 2 ax 'ti' o (x zy z) ser ponto de mínimo local de f para o ponto cn c o' o' O 2 2 a2 f a f ( ) .;;; O e a f (xo, Yo, Zo) .;;; O é uma condição necessária b) (xo, Yo, zo) ~ O, 2 xo' YO' Zo az 2 2 ay ax ' ti' o (x Y z) ser ponto de máximo local def para o ponto cn c O' o' O

e

HI =

a2 f ax 2 a2 f

a2 f

ax ay a2 f ax ay ay2

Pode ser provado (veja 16.6) que: 2

(i) se a f2 (xo, Yo, zO) > O, H I (xo, YO' zO) > O e H (xo, YO' zO) > O, então (xo, Yo, zo) será pontO ax de mínimo local.

' ?

2 2 _ 2 _ 5x + 2y - z + 8 admite extremante local? Por que. 17 A função f (x, y, z) = x + Y z 18: Sejaf(x, y) definida e de classe d- no aberto A de 1R2 Suponha que, para todo (x, y) E A,

_a2f _ ( ) 2 x, y ax

2 + _a f (x, y) + 2 -af (x,

ay 2

ax

y)

+ 3 -af ( x, ay

y

»0 .

Prove quefnão admite ponto de máximo local.

19. Se'af(x, ) = i (/ - x 2 ) e considere, para cada -; = (h, k), a função g-;, (t) = f(ht, kt) (observe J y V'fi e t = O é ponto de que g~ fornece os valores defsobre a reta (x, y) = t (h, k». en Ique qu v _, t d máximo local de f máximo local de cada g~ mas que (O, O) nao e pon o e v . . d ciais em todo 1R2 Suponha quefadmita um 20. Sejaf(x, y) uma função que adIllita denva as~: o seja ponto de ~áximo local. Pode-se conúnico ponto crítico (xo, yO) e que este ponto cn c c1uir que (xo, Yo) é ponto de máximo global?

16.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS SOBRE CONJUNTO COMPACTO . d' - necessárias e condições suficientes para Nas seções anteriores detemunamos con ~ç~ef E tr tanto para muitos problemas que que um ponto de Df seja um extremant~ loc e. n ~es e~ um subconjunto A de Df' O Ocorrem na prática é importante det~munar os extreman . do fornece-nos condições teorema de Weierstrass, que é o proxlmo teorema a ser enuncia , Suficientes para a existência de tais extremantes: d fi 'r cony'unto compacto. eClsaremos antes e 1m . . Para enunciar o teorema de W elerstrass pr . /"t do se A estiver contI. fn)2 d' e A é um conjunto Iml a Seja A um subconjunto do ~; lzemos qu tr lado que A é um con~o em alguma bola aberta de centro na origem. ?iZ~m~s~t:~ ~~r uOm co~junto aberto. Pois JUnto fechado se o seu complementar {(x, y) E IR I ( , Y h do e limitado. bem, dizemos que A é um conjunto compacto se A for fec a

EXEMPLO 1. Toda bola fechada A de centro (xO, Yo) e raio r > O, A = {(x 11 (x, Y) - (xo, Yo) 11 ~ r} é um conjunto compacto, pois é limitado e fechado. ,y) E: ~~ I

I

f O"

lOS

.

crdlC

~ eS

s soluço

I

de f no interior de A af (x, y) ax

, ,I

OS

, ....

= 3y

2

- 3.

do sistema

]3i -

r

\ \

af 3 e-ex, y) ay

= 3x2 -

3= O

13l- 3= O

I /

....

~

"

1) (1. -1), (-1, 1) e (-1, -1). Segue que (1, 1) e (1, -1) são os únicos pontos

sãO: (1,

, interior de A. Temos

críticos no A é um' conjunto limitado e seu complementar é um conjunto aberto. 2

•

EXEMPLO 2. A = {(x, y) E 1R21 y;;' x }é um conjunto fechado, mas não limitado lo ' , go A não e compacto. ~ EXEMPLO 3. A compacto.

=

{(x, y) E 1R2 I x

2

+ 4i =

f(l, 1) = - 4 e f(l, -1) = O. 'I' e dos pontos de fronteira Alia IS g (y) = f(2, y) = y3 - 3y

+ 2,

-2 ~ y ~ 2,

I} é um conjunto limitado e fechado, logo •

o teorema de Weierstrass, que enunciaremos a seguir (para demonstração veja Exercíci-

2

p

Q

\000---.,

os 9 a 12), conta-nos que se f for contínua no compacto A, então f assumirá em A valor máximo e valor mínimo.

A

2

Teorema (de Weierstrass). Sef(x, y) for contínua no compacto A, então existirão pontos (xI' YI) e (x2' Y2) em A tais que, para todo (x, y) em A, -2 1 - - - N

M

o teorema de Weierstrass garante-nos que seffor contínua em A e A compacto, então

fornece- nos os valores que f assume no segmento NP. g'(y) =

existirão pontos (x I' Y I) e (x2' Y2) em A tais que f (x I' Y I) é o valor mínimo e f (x2' Y2) é o valor máximo de f em A. Resta-nos, agora, o problema de determinar tais pontos. Suponhamos que f admita derivadas parciais nos pontos interiores de A. Sabemos, então, que entre os pontos interiores de A os únicos com possibilidades de serem extremantes são os pOfnto~ críticos: a nossa primeira tarefa consiste, então, em determinar os pontos críticos ,d~ q~e estão no interior de A. Em seguida, procuramos determinar os valores máximo e JIlÍI1lII1o o ,. com f na fronteira de A. Comparamos, então, os valores que f assume nos pontos cntICOS A. valor máximo defna fronteira deA: o maior destes valores será o valor máximo defem De modo análogo, determina-se o valor mínimo.

f(x, y)

= x3 + i

- 3x -

3y em A

=

-2

{(x, y) E [R21 O ~ x ~ 2 e I y I ~ 2}·

Solução Como f é contínua e A compacto, vamos proceder como dissemos anterionn ente .

,+ , I

,

-1

1

2

,/ , 1

g (-2)

EXEMPLO 1. Determine os extremantes de

+

g'

3l- 3

2

= O, g (-1) = 4, g (1) = O e g (2) = 4. 'nimo é O. O valor máximo é

;~sim, o valor máximo de f no segmento NP é 4 e o valor rru ttngido nos pontos (2, -1) e (2, 2):

f(2, -1) = 4 ef(2, 2) = 4.

um

J~V

curso

ae

calCULO -

VOl. Lo

o valor minimo é atingido nos pontos (2, -2) e (2, 1): f(2, -2)

t:%

= Oef(2, 1) = O.

\ .f-

R~ci.ocinando de forma análoga sobre os segmentos PQ, MQ e MN conc '

' e (2, 2); o valor Or no ponto (1, -2).

= xy em A = {(x

,

2x

+ Y em A dado por x;:: 0, y

;:: 0,

y-

ume em A valor máximo e valor mínimo, pois f é contínua e A, compacto. Como f Ja:Wte ponto crítico, os valores máximo e mínimo são atingidos na fronteira de A.

I

Il1lIUmo de f na fronteIra resulta: o valor máximo de f em A é 4 ' ti .d alores máximo e (2, 2); o valor mínimo defem A é - 4 e é atingido nos ponto: ~t ~~ (~,n~s2)~ntos (2, _ I~ (x, y)

=

(lao a

C~n.clusão. Compar~do os valores quefassume nos pontos criticos com os v

EXEMPLO 2. Determine os extremantes de f

y)

Solação

m~x.Imo defsobre a fronteira é 4 e este valor é atingido nos ponto; (2 _l~)mos qUe o Vai

rrummo de f sobre a fronteira de A é -4 e este valor é atingI·do

el\fPLO 3. Determine os extremantes def(x, ..c. 4 e 3x + Y .;;; 6.

z=2x+yl

y) E 1R2 I 2 2 • x+Y~ I}

&~~

.

fé co~~ínua e.A c~mpacto; logo,fassume em A valor máximo e valor mini ' ponto cntIco no lllter~o~ de A é (O, O), e este ponto critico não é extremante ~o. O unÍco gue que os va!ores maXImo e mínimo def, emA, são atingidos na fronteira d(venfique). Sede f na fronteira de A são fornecidos pela função e A. Os valores F(t)

= f(cos

t, sen t)

= ..!.sen 2t O.;;; t.;;;

2'1T

2'

.

z=o F atinge o valor máximo em t t

=

= !!.. e t = 5,. . atinge o valo 4

4 '

,. r mIlllmo em t

3,.

=-

4

e

_ 2 -v 2 _ (-J2 -J2J e (00 2 ' - 200J sao os pontos de máximo def em A;

-.Seaue que _ _ 7,. 4 b 2 '2

-VLo

-J2 2-J2J e (-J2 -J2J sãoospontosdemínimodefemA.Ovalormáximo de f em (- 2' 2' -2 1 1 A e' -,eovalormínimo -- Af a· _ uraisegUInte, 2 ' 2· b na qual estao desenhadas algumas curvas

xy

2 /

Exercícios 16. 4 1. Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. a)f(x, y) = 3x - y no conjunto A de todos (x, y) tais que x;;' 0, y;;' 0, y - x';; 3, x e 3x + y .;; 6. b)f(x, y) == 3x - yemA == {(x, y) E 1R21x2 + I}. c) f (x, y) == x 2 + 3xy - 3xemA == {(x, y) E 1R21x;;, O,y;;' Oex + y';; I}.

+ y';; 4

°

i.;;

l-

z=-

Z=C(--21
•

â)f(x, y) == xy emA == {(x, y) E 1R21 x;;' 0, y;;' e 2x + y';; 5}. 2 2 e) f (x, y) = x emA = {(x, y) E 1R21x + 4}. 2 /)f(x, y) == x - 2xy + 21 em A = {(x, y) E 1R2 II x I + I y I .;; I}.

1

;'

f(l, 3) = 5 valor máximo ef(O, O) = O valor mínimo.

i.;;

de nível de f, fornece-nos uma visão geométrica do problema:

z=

Como f é uma função afim e a fronteira de A é formada por segmentos de retas (A é um polígono), resulta que entre os vértices de A existe pelo menos um ponto de máximo e pelo menos um ponto de mínimo. Calculando os valores defnos vértices encontramos:

2. Determine (x, y), com x 2 +

ponto de máximo

3. Suponha que T (x, y)

41 .;; 1, que maximiza a soma 2x + y. 2 x -l represente uma distribuição de temperatura no plano. Seja

== 4 A == {(x, y) E 1R2 I x ;;. O, Y ;;. x e 2y

-\~5~~1~~/ÇZ==~c(o
+ x .;; 4}. Determine o ponto de A de menor temperatura.

°

4. Determine o valor máximo def(x, y)

\.Z==-~

5x

2

fi

+ 6y .;; 30, 3x + 2y .;;

12, x ;;.

== x

+ 5y onde x e y estão sujeitos às restrições:

e y ;;. O.

5. Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal proveniente de dois de seus produtos, designados I e 11. Para fabricar estes produtos ela utiliza um tipo de máquina que tem uma disponibilidade de 200 máquinas-hora por mês e um tipo de mão-de-obra com Uma disponibilidade de 240 homens-hora por mês. Para se produzir uma unidade do produto I utilizam-se 5 horas de máquina e 10 horas de mão-de-obra, enquanto para o produto II utili-

J~~

Um Curso de Cálculo -

IYlux,rrtuS

Vai. 2

zam-s: 4 horas de máquina e 4 horas de mão-de-obra. Espera-se uma demanda de 20 uni por mes do produto I e 45 do produto n. Calcula-se um lucro, por unidade, de R$ 10 00 dades produto I e R$ 6,00 para o n. Determine as quantidades de cada produto que deverão' Pata o cadas por mês, para o lucro mensal ser máximo. er fabti_ 2 6. Determine (x, y) que maxirniza (minimiza) a funçãof(x, y) = x + 2i, com x e y suo . . _ I Jeitos às restnçoes: y = 1 - 2x, O ,;;; X';;;-. 2

7. Dê exemplo de uma função contínua num conjunto limitado A C 1R2, mas que não ass A valor máximo. urna em 2 8. Considere aforma quadrática Q (x, y) = ax + 2bxy + cio Sejam Q (xI' YI) e Q (x valores núnimo e máximo de Q em A = {(x, y) E 1R21 x 2 + = I}. Prove: 2, Y2) Os

i

(i) se Q (xI' Yt) > O, então Q (x, y) > O para todo (x, y) (ii) se Q (x2' Y2) < O, então Q (x, y) < O para todo (x, y)

e

{(x, y, z) I g (x, y, z)

=

O e h (x, y, z)

OBLEMA 1. Seja/ex, y\diferenciável no aberto A e seja B

=

e

JY1lfurrtU~

JMJ

O}

= {(x, y) E A I g (x, y) = O},

é suposta de classe C em A; suporemos, também, Vg (x, y) =1= (O, O) em B. Estamos onde g dos em determinar uma condição necessária para que (xo, yo) E B seja um extremante sa ·teres . onde esta~ - d_ese nhd lI1 ai da/em B. A figura que apresentarno~ a segwr, a as al gumas curvas de loC I def, ajudar-nos-á a chegar, geometrIcamente, a tal condiçao: níve '

rI{

Ej-(-X,y~)I

'* (O, O). '* (O, O).

9. Suponha A um subconjunto fechado do 1R2 e (xO' yO) um ponto de acumulação deA. Prove que (xO' YO) E A. 10. Prove que se f (x, y) for contínua em (xO' yO) E Df' então f será localmente limitada em (x y) lf localmente limitada em (xO' Yo) significa que existem a e f3 e uma bola aberta B de c~~~ (xO, yO) tais que a < f (x, y) < f3 para todo (x, y) em B n Df)' o

z =Zo

11. Seja R I' R 2, ... , Rn' ... uma seqüência de retângulos em 1R2, onde Rn = {(x, y) E 1R21 a n ,;;; x,;;; c n' {in';;; y';;; b n }, tais que RI ::J R2 ::J ... ::J Rn ::J ... ; suponha que d n = 11 (a n, (in) - (c n, b n) 11 tenda a zero quando n ~ + 00. Nestas condições, prove que RI

n R2 n ... n Rn n ... = (x,

°

y) -)

onde x e y são os únicos reais tais que

para todo n E N, n

g (x, y) =

'* O.

12. SejaA um subconjunto fechado e limitado do 1R2 e sejaf: A ~ IR contínua. Prove quefé limitadaemA.

Para efeito de raciocínio, suponhamos V/ (xo, yo) =1= O e que z cresce no sentido indicado na figura (c] < c2 < c3 < zo). Vamos então pensar geometricamente: se (xo,yo) é umextremante local, é razoável esperar que a curva de nível de/que passa por este ponto seja "tangente", neste ponto, à restrição g (x, y) = O, isto é, os vetores V/ (xO, yo) e Vg (xO, Yo) devem ser paralelos e como Vg (xO, YO) =1= (O, O) deverá existir um Ao tal que Zo

(Sugestão: Suponha quefnão seja limitada e construa uma seqüência de retângulos como a do Exercício 11, tal quefnão seja limitada emA n Rn' para n = 1,2, ... ; conclua quefnão será localmente limitada em (x, y) = RI n R2 n ... , o que contradiz a hipótese defser contínua em (x, y).) 13. (Teorema de Weierstrass.) Seja A C 1R2, A compacto, e sejaf: A assume em A valor máximo e valor núnimo.

~

=f(x,y)

IR contínua. Prove que!

(Sugestão: Veja Apêndice A2.4, Vol. 1,5." edição.)

-------------------------------------------------------------------

16.5. O MÉTODO DOS

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE P;\J{J\ DETERMINAÇÃO DE CANDIDATOS A EXTREMANTES LOCAIS CONDICIONADOS

o objetivo desta seção é o estudo de máximos e mínimos de uma função sobre conj untOS do tipo: {(x, y) I g (x, y)

= O},

{(x, y, z) I g (x, y, z)

= O}

Geometricamente, chegamos à seguinte condição necessária: uma condição necessári~ para qUe (xO, yO) E B seja um extremante local de / em B é que (xO' YO) tome compatível o slstema

{

V f (x, y) = AVg (x, y) g (x, y) = O

324

Um Curso de Cálculo -

Voi. 2

Este processo de se determinar candid

.

dos multiplicadores de La r . atos a extremante~ locals é conhecido como ' Lt" r d d g ange, os À que tomem tal sistema compatível de .tnetod mu lp lca ores e Lagrange para o problema em questão.

nOmtnatn_s~

entãO, sendo f (x, y) diferenciável no aberto A e B == {(x, y) E A I g (x, y) == O}, onde g é osta de classe d em A e Vg(x, y) =F (O, O) em B, os candidatos a extremantes Locais de Sllf' B são os (x, y) E A que tomam compatível o sistema

f eTTl

Vf (x,

y) == g (x, y) ==

{

Teorema 1. Sejaf(x, y) diferenciável no aberto A e se'aB - {(x onde e Vg (x y), =1= (O O)J y) E A Ig (x, y) == O} di _ g é suposta , . de classe d em A" , para-od' t o (x y) E B U ' ça0 necessana para que (xO, yO) E B seja extremante local defe~ B é . ~a cOn_ re À tal que que eXista um

A V g (x,

y)

O

estabelecemos assim uma condição necessária para um ponto (xO' Yo) ser um extremante I cal de f em B. Trabalhando diretamente com a função o aluno deverá decidir quais dos c~didatos encontrados são realmente extremantes locais.

al o

Observação. Se no teorema 1 acrescentarmos as hipóteses f de classe d e Vf (xo, Yo) =F (O, O), Demonstração

Sup.onhamos que (xo, Yo) E B seja um ponto de máximo local def .. . que eXiste uma bola aberta V de centro (xo, Yo) tal que em B, ISto significa

entãO poderemos afmnar que a curva de nível de f que passa pelo ponto (xO' yO) tangencia, neste ponto, a restrição g (x, y) == O. Entretanto, nada podemos afmnar com relação à tangência se Vf (xo, Yo) == (O, O) (veja Exercícios 1 (j) e 1 (g)). 2

EXEMPLO 1. Determine os extremantes de f (x, y) == 3x + 2y com a restrição x +

l

== 1.

Solução

l-

Seja g (x, y) == i + 1; o que queremos são os extremantes defem B == {(x, y) E ~21 g (x, y) == O}. Como g é de classe de Vg (x, y) == (2x,2y) =F (O, O) em B, resulta que os candidatos a extremantes locais são os (x, y) que tomam compatível o sistema

A

g (x, y) = O

Vf (x,

f(x, y) ~f(xo, Yo)

para todo (x, y) E B

n v.

«x, y) E B

n

V<=> g (x, y) == O e (x, y) E V).

== A V g (x, == O

y) g (x, y)

{

y)

ou

Consideremos , agora , um a curva -y d'If erenclavel ., num intervalo aberto I tal que

(3, 2) == A (2x, 2y) 2 x + == I {

~~~:g~O' ~od)' to lE I, -y' (to) =1= Ôe g (-y (t))

l

== O, para todo t E I (a existência de uma tal anu a pe o teorema das funções implíc"t ) Da contlnUldade .. ô > O tal que I as. de -y segue que existe que é equivalente a t E ]to - Ô, to

+ ô[ ::::} -y (t)

E B

n

V.

3 == 2Ax 2 == 2Ay

Daí, f(-y (t))

~f(-y

2

\ x +l==1.

(to))

E. ]to - ô' t O + ô['' a ' to e, ponto d ' . tpara ' todo t. sSlm, e maxuno local de F (t) == f( '" (t)) e coma o e ponto Intenor a I, resulta F' (tO) == O, ou seja, I Q)

Como A =1= O, das duas primeiras equações resultam 3 1 x==- e y==-.

Vf(-y (tO))' -y' (to) == O.

2A

Por outro lado, de g (-y (t)) == Oem I resulta SUbstituindo estes valores em x

@

Tendo em vista que V g( -y (t))...JO -r- ~O , segue de Q) 1 e r.:;" W que existe Ao tal que V f(-y (to)) ==

À

o Vg (-y (to))·

•

2

A

+ l == 1, vem

_9_ 4A2

+ _1_ == I ou A == ± ,\2

.Jl3 . 2

"~fJ

Um Curso ae CalCulo -

Max/mos e Mmzmos

Voi. L

. (3.J13 2.J13) ( 3.J13 2.J13) . . Como B e, compacto e f (3.J13 2.J13) 2..Jf3) calS --, - > f (3 - -.J13 -, - - result 13 13 13 13 a qUe 2.JTI) . e (3.JTI 2.JTI), -, - é ponto de mruumo - --, - - e ponto de mínimo def (-3.JTI

Vf(X, y) = AVg (x, y) {g (x, y) = O

Segue que - - , - - e - - - , - - - são os candIdatos a extremant 13 13 13 13 es 10-

13 13 (Interprete geometricamente.)

13

13

.

~;~ê~~

(2x,2Y) = À (y, x) { xy-l=O

<=)

didato é (1, 1) e, por inspeção, verifica-se que (1, 1) é ponto d~ mínirr.t 0 ' As~~~ o ponto da curva xy = 1, x > O e y > O que se encontra malS prÓXImo da

origem.

em 8.

•

EXEMPLO 2. Estude, com relação a máximo e mínimo, a funçãof(x, . restnção y - x 3 = O.

y)

= y + x 3 Co

ma

Solução

xy = 1

g (x, y)

=y

- x3 e B

= 2

1

{(x, y) E 1R2 I g (x, y)

= O}.

{

•

*

Como g é de classe C e Vg (x, y) = (-3x , 1) (O, O) em B, resulta que os candidatos a extremantes locais são os (x, y) que tomam compatível o sistema

V f (x, y) = AVg (x, y) g (x, y) = O

2

EXEMPLO 4. Determine a reta tangente à curva i + Y4

=

1, x > O e y > O que forma

com os eixos triângulo de área mínima.

Solução

ou

Seja (a, b) (a

o único candidato é (O, O) que não é extremante defem B, poisf(x, y) > O para x > Oe y > O ef(x, y)

JM/

.

y2

2

> O e b > O) um ponto da elipse x + 4

_ = 1. A equaçao da reta tangente

em (a, b) é:

< O para x < Oey < O. N

,,

y -

X'

= O

1

I

I

I

I

a

O

,,

•

EXEMPLO 3. Encontre o ponto da curva xy

= 1,

x

> Oe y >

. próO que se encontra maIS

(2a,

,

%}

[(x, y) - (a, b)] =

ximo da origem.

Ou

Solução Trata-se aqui de se determinar o mínimo def(x, y) é o quadrado da distância de (x, y) a (O, O» .

= x2 + l

com a restrição xy

= 1 if(;t, y)

by ax+-=l. 4

O

V""

\....oLf.I>.>V

ue

VOl. ~

\..-ULCUIU _

A área do triângulo OMN é' A = 2

ab . O problema consiste em minimizar A ~ 2 -co ab 111 are

. . -

tnçao a

2

b2

+-

4

= 1.

/(

__2 _ 2) A ( b)

2

a 2b '

ab2

=

acidade de B, da continuidade dele de/(X,) > I (X2 ) segue que o ponto procu-

Da c~rn P

2a'"2

rado e

4 A ou - - = ab 3

b2

a +-=1 4

2

4

u

A equação da reta que resolve o problema é: 2x

rrr rrr rrr)

1 1 1 ( 2 ~24' 4 ~24' 6 ~24

b2

a +-=1 Das duas primeiras equações segue b = 2a. Subs';tum'd

.

'1 . o na u tIma equaç b ao o temos a ~

•

O próximo teorema fornece-nos uma condição necessária para (xo, Yo, zo) ser um extremante local def(x, y, z) com as restrições g (x, y, z) = Oe h (x, y, z) = O. Para a demonstração de tal ~~~

.J2

2'

+ Y = 2-fi.

teorema vamos precisar do seguinte resultado (cuja prova fica para o leitor): sejam u, v, we ~

c

* O vetores do IR ~

~

3·

~

taIs que u A v ~

PROBLEMA 2 Se'a/( . • J X, Y, z) dIferenciável no aberto A C 1R3 . x, y, z) E A I g (x, y, z) = O}, onde é su I e seja e~ B. uma condição necessária !a u~sta de classe C em A e Vg (x, y, z) =1= (O O O B. RacIOcinando geometricamente cP q p(xo, Yo, zO) E B seja extremante local d~/' ) necessária para ( , omo no roblema 1 chega-se' d' _ em xo, Yo, zo) E B ser extremante local dei' B' a co~ Iça0: a condição em e que eXIsta AO tal que B - {(

~

~

existem reais AI e À2 tais que w = ÀI

U

* O, u . c = O, ~~~

+ A2

~~

~~

~

v.

o

9ual

B

V/(X, y, z) = A Vg (x, y, z) { g (x, y, z) = O

EXEMPLOS D . nadas se,ia max'°l·meat.ermme o ponto do elipsóide x 2 + 2y2

~

em A e V g (x, y, z) 1\ V h (x, y, z) =1= O em B. Nestas condições, uma condição necessária para que (xo, Yo, zo) E B seja extremante local de I em B é que existam reais ÀI e À2 tais que

Demonstração

+3 2- 1 Z -

J

Teorema 2. Sejal (x, y, z) diferenciável no aberto A C 1R 3 e seja Ig (x, y, z) = Oe h (x, y, z) = O}, onde g e h são supostas de classe

= {(x, y, z) E A

d

D' ~~~~=~~~~~. el~amos para o leitor a prova desta atum _ lOCaIS de I em B são os (x, y, z) E A que t açao. Deste ~odo, ~s candidatos a extremantes ornam compatJvel o sIstema

• . cUJa soma das coorde-

.Suponhamos que (xO' Yo, zo) seja ponto de máximo local de/em B, o que significa que eXiste uma bola aberta V de centro (xo, Yo, zo) tal que, para todo (x, y, z) E B n V,

Solução

I

Queremos maximizar I

(

)_

x, y, z - x + Y A Vg (x y z)

{ gVI(x,(x,y,y,z)z)==O

' ,

+ z com a restrição x 2 + 2/ + 3i = 1. <=>

{

q, 1, 1)2= A (tr, 4y, 6z) x

+ 2y + 3z

- I = O.

(x, y, z) ~ I (xO' yO, zo)

(como A é aberto, podemos supor V C A). Consideremos uma curva diferenciável -y : I ~ 1R 3, ~

I'

I?tervalo aberto, tal que -y (to) = (xo, Yo, zo), -y' (to) =1= O e -y (t) E B para todo t em I (a eXistência de uma tal curva é garantida pelo teorema das funções implícitas). Da continuidade de -y, segue que existe ô > O tal que

'-

g (x, y, z) Como A deve ser diferente de zero, da 1.· equação f

ft . d I

-

v . c = O e w' c = O; entao

um o na última equação obtemos:

. _ 1 I 1 lfamos.X-- y=-e Sub2A ' 4A z - 6A .

1 2 3 + + 2 4A 16A 2 36A 2 = J ou A = ±

Hfl

-. 24

t E ]to - Ô, to

A.ssim, para todo t E ]to -

Ô, to

+

+

ô [ ~ -y (t) E B

n

v.

ô[ tem-se

f(-y (t» ~/(-y (to»· Logo, to é ponto de máximo local de F (t) = I(-y (t» e daí F' (tO) = O, ou seja,

Q)

Por outro lado de -y (t) E B ' para todo t E I segue que If' e ® segue

g (-y (t» = O e h (-y (t» = O,

pe lY

para todo t em /; daí

vg (-y (to»

. -y I (tO)

= O e Vh ("IJ (tO». -y

=F 1, I

I

De CD e @, tendo em vista ue I ( existem reais .1 1 e .12 tais qU~ -y tO)

(

x == z. Substituindo em @ e ®

af3'"

e

tO) = O.

~ =1=

2x (1 - /-L) = 2z (1 - /-L).

°

e Vg (-y (to» 1\ V h (-y (t

{2x+ Y =l 2x2 + = 4

4i

» =1= Õ O

, resulta

x2

qUe

+ 2 (1

+ (1 -

x)

2

°

°

= oux

Ç:::}X

(~, - 2., ~) . Para /-L = 9 9 9 X

2

2i

2

{

x

y==I-2x { x2 + = 2.

- 2x)2 == 2 Ç:::} 9x - 8x =

OS então os candidatos: (0, 1, O) e Te[Tl , (j) que Y == O; substituindo em 0 e ®

Vg

ou

=~.

1, teremos

9

À

== O. Segue de

+z= 1 + z2 = 4

x2

= 4 Ç:::} 2x2 - 2x - 3 =

°

Ç:::}

x

1±.J7 = -. 2

1+.J7 0, --21-.J7) e (1-.J7 1+.J7) são outros candIdatos . Segue que (--2-' --2-' 0, --2a extreE~MPLO 6. Determine os pontos . ai sUjeItas às restrições x 2 + 4y2 + 2 _ mats astados da origem e cujas coordenad _. Z - 4 e x + y + Z = l. as estao Solução Trata-se de determinar os pontos u '. (j (x, y, z) é o quadrado da distância d~ (: ;a)lm/~a; a função / (x, y, z) = x 2 + + z2 e h (x, y, z) = 0, onde g (x, y, z) = x + y ~ ; .:. ~ e co~ a2s res~ções! (x, y, z) = O ( ,y, z) - x + 4y + z - 4. Temos:

i

h ; o»

Vg (x, y, z) 1\ Vh (x, y, z) =

17 7:) 2x

8y

=1=

Õem B

2z

I

2x = À + 2p 2y = À + 8/-Ly 2z = À + 2/-LZ { x+y+z=l

x

2

+ 4i + i

= 4

+ /-L Vh (

f( O

"

f(

1 O) - 1 8 _ 7

8) _

171 -, 9' 9' 9 - 81'

f( I-.J7 2

"

O 1+.J7)=4=f(I+.J7 2

2

"

° 1-.J7) 2

1-.J7) sao _ os pontos mats. afastados 1-.J7 0, --21+.J7) e (1+.J7 Conclusão. (--2-' --2-' 0, --2-

~~z

da origem. Por outro lado, (0, 1, O) é o mais próximo da origem.

_

Exercícios 16.5

(verifique). Estamos indicando por B o Con 'unto ObservequeBécompacto O d'd ~ {(x,y,Z)/x+y+z= lex 2 +4y2+z2==4}. co mpatIve 'I . s can I atos a extreman t ' são os (x, y, z) que tomam o' sIstema es I OCats V/(X' y, z) = ÀVg (x, y, z) gk~~=o h (x, y, z) = O.

mantes. Comofé contínua e B compacto, basta comparar os valores defnos pontos encontrados:

)

L Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas .

b)f(x, y) = 3x + y e x + 2i ~ I d)f(x, y) = x 2 + 4i e X)' = 1, x > O e y > O e)f(x,y)=~ex2+4i=8 fJf(x,y)=x 2 +2X)'+iex+2y-l =0 2 2 g)f(x, y) = x - ~ + i ex + i = I h)f(x, y) = x 2 - 2i ex + i - 2x = O 2 3 i) f (x, y) = x + 3x - 3y e x + 2y = 3 j)f(x, y) = i - 2xy + 31 e x + 2i = 1 a)f(x, y) c)f(x, y)

= 3x + y e x 2 + 2i = 1 = x2 + 2i e 3x + y = 1

2

i-

2. Determine a curva de nível def(x, y) Qual o ponto de tangência? 3. Determine o ponto da reta x

=i +

+ 2y =

16i que seja tangente à curvaxy = l,x > Oey > O.

I cujo produto das coordenadas seja máximo.

4. Determine o ponto da parábola y = x 2 mais próximo de (14, 1). 5. Determine o ponto do elipsóide x 2

+ 4i + i

x + 2y + z. + 2i que seja tangente ao plano

= 1 que maximiza a soma

6. Determine a superfície de nível da funçãof(x, y, z) = x 2 + x + 2y + 3z = 4. Qual o ponto de tangência?

i

V"" v"""'U ut: \....uu"'· UtO -

VOl. L

( ) = ax2 + 2bxy + cy2 onde a " b

c são constantes não simul_. nsidere a forma quadrátIca Q 2 _ I Suponha que (xO' yo, Ao) seja soluça0 do sistema C o . (y)-X +y . ;?6. am nulas. Seja g x, e ente tan JVQ (x, y) = A Vg (x, y)

.

7. Ache o valor máximo e o valor mínimo da função/ex, y, z) x 2 + 2y 2 + Z2 = 4.

8. Determine o ponto do plano x

+ 2y -

= x + 2y + z COm a rest,.;

..çao

l i+l=l.

3z = 4 mais próximo da origem.

9. Determine o ponto da reta X {

+ 2y + z

= 1

2x+y+z=4

que se encontra mais próximo da origem.

i

+ 2y + 3z sujeita às restrições x 2 + + i = 4 e x + y + Z =: 2 11. Encontre os pontos da elipse x + xy + = 3 (de centro na origem) mais próximos e

10. Maximize / (x, y, z) = x

afastados da origem. Desenhe a elipse. 2

12. Encontre o ponto da curva x - 2xy

X,?

i

I

prove que Q (xO' yO) = AO· .. I - de Euler. Veja Exercício 26 da _ .C Q é homogênea de grau 2, uuhze a re açao (Sugestao. omo . . _ Seção 12.1.) , . . Sonha que os multlphcadores de La como no exercI CIO antenor. up S .aro Q (x, y) e g ( x, y) 27. eJ e associados ao problema JVQ (x, y) = À Vg (x, y) grang

l i+l==l.

.. os maIs

+i

- 2x -

2

13. Encontre os pontos da curva x - 6xy - 7i curva.

2y

+

1 = O mais próximo da origem.

+ 80 = O mais próximos da origem. Desenhe a

14. DeteIUÚne o ponto da superfície xyz = 1, x > Oe y

> Oque se encontra mais próximo da origem.

) > O para todo (x,

. tn.tamente positivos. Prove que Q (x, Y sejam es

a) (p - b) (p - c) que fornece a área do triângulo

l l

a- À

.

()

29. Sepm Q x,y eg

~)3 é o valor máximo dexyz,x ~ O, y ~ Oe z ~ O, com a restrição x + y + Z= c

(c> O). Conclua que a média geométrica de três números positivos é sempre menor ou igual à média aritmética destes números. 18. Determine, entre os paralelepípedos-retângulos de mesmo volume, o de área máxima. 19. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1 m 3 de volume e com a forma de um paralelepípedo-retângulo. O material a ser utilizado na confecção do fundo custa o dobro do que será utilizado nas laterais. Determinar as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.

20. Deseja-se construir um paralelepípedo-retângulo com área total 100 cm2 . Determine as dimensões para o volume ser máximo.

b

1==0.

b c- A

.

À

(x y) como no Exercício 26. Sejam À 1 e

,

em função dos lados a, b e c, onde p é o semi perímetro.) 17. Verifique que(

'* (O, O).

. blema do exercício anterior são as s multiplicadores de Lagrange aSSOCiados ao pro o _ 28. Prove que raízes da equaçao

16. Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.

.J p (p -

y)

(Sugestão: Utilize o Exercício 26.)

15. Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.

(Sugestão: Utilize a fórmula A =

,

a-

À

b

b

À

2'

<:

1-

A as raízes da equação 2'

1==0.

c-À

, . máximo de Q sobre a circunfesão respectivamente, os valores llliOlmO e Prove que À I e À2 ' . x2 + Y2 1. rênCla

16 6 E XEMPLOS COMPLEMENTARES

.

aberto A do 1R2. Suponha que (xO' yo) E A seJ,a EXEMPLO 1. Sejaf(x, y) de classe C n~~_o necessária para (xO' yO) ser um ponto de rruum ponto crítico deJ. Prove que uma con iça nimo local de f é que • •

:2

21. Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com arestas paralelas aos eixos, inscrito no elipsóide

x2

y2

Z2

-+-+-=1. 4 9 16 22. Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com três de suas faces noS pianos coordenados, contido no tetraedro {(x, y, z) E 1R 3 I x + 2y + 3z ~ 12, x ~ O, Y ~ Oe Z ~ O}. 23. A temperatura T em qualquer ponto c.r, y, ~ do espaço é dada por T = 100 x 2yz. Determine a temperatura máxima sobre a esfera x + y + 4. Qual a temperatura mínima?

i ,.,;

x2 y2 z2 24. Determine o plano tangente à superfície + - + - = I, x> O, Y > Oe z > O, que forma 4 9 16 com os planos coordenados tetraedro de volume llÚnimo. 25. Determine P na elipse x 2 + = 6 e Q na reta x + y = 4 de modo que a distância de P a Q seja a menor possível.

2i

para todo (h, k). Solução

Seja ~ = (h, k)

'* (O, O) e consideremos a função ~(t) = f(xo + ht, yo

gv

+ kt).

/

.

t

. de mínimo local de f; então t = Oser a pon o Suponhamos que (xO' yO) seja ponto . ente g". (O) ;;e: O. Como v e portanto deveremos ter necessanam IocaI d e gv ' '

(J2 f

2

g~ (O) == dx 2 (xo, yo) h

a2 f ( ) hk + -;J2dy2f + 2 dx dy xo' Yo

(xo, Yo)

k2

de mímmo

Um Curso de CáLculo -

-'.FI

Voz. 2

~l\1PLO 3. Considere a forma quadrática Q (h, k) = ah2

2

+ 2bhk + ck

.

f

yrov e : (j) se

(il)

se \:

!\ <

~\ > O, então Q (h, k) > O, para todo (h, k)

Pelo Exemplo 2, sendo a

2 2 Jx2 (XO, yO) h

a f

2

a f

a

2

+ 2 Jx dy (xO' yO) hk + dy{

(xO, yO) k

2

;?;

O

~ (h+ ~ a

k)'

+ \: a

!\

k

2

'* O; neste caso, existe a tal que Q (a, I) e Q (a, - 1) terão sinais contrárioS. (Verifique.) Se a '* O, Q (1, O) e Q (~, -1) terão sinais contrá(i) imediata. (ü) se a = O, teremos necessariamente b

+ t (h, :)~ co:~~~ee: ;~.ores quefassume sobre o trecho da reta

Observação. Note que

'* O,

Q (h, k)

para todo (h, k), é uma condição necessária para (xo, yo ) ser ponto de mínimo local de f . •

'* (O, O).

O. então exisrem (h l • k I) e (lo,.. kiJ tais que Q (h I' k I) < O e Q (lo,.. k,.) > O.

solução

(verifique) resulta que

(x, y) = (xo, yo)

a > O e \~

f

EXEMPLO 2. Considere aforma quadrática Q (h, k) = ah

onde a, b e c são constantes . Suponha a

2

•

+ 2bhk + ck2

'* O. Ven'filque que 2 EXEMPLO 4. Sejaf(x, y) de classe C2 num aberto A do 1R e seja (xo, yo) E A um ponto

crítico de f. Prove que se 2 aJx2 f

Solução

H (xo,Yo) = ah

2

+

2bhk

+ ck2 = a [h2 + 2

~

=a[h2+2b

a

= a [( h

+

~k

hk

+:

+

k 2]

a

ac

a

~b

a2f

Jx dy (xo, yo)

então (xO, yo) não é extremante local de f.

hk+~k2_~k2+!:....k2] 2 2

r

(xo, YO)

2

k

2

a

Solução

J

Seja ~

g" (.) (t) =

ou seja,

Pela regra da cadeia,

•

f

(xo

+ ht, Yo + kt) (v

= (h, k».

-ao do sinal que existe uma bola aberta B de centro I teorema d a c o naçs e r v , d ( ) Lle, pe o BC D pois (xo Yo) é ponto interior de Df) tal que, para to o x, Y scg .) (podemos supor f' '

Pelo Exemplo 3 (ü)

(.\0' )0 ert18 ,

cPf cPf cPf) . ( a = ax 2 (xo, Yo), b = ax ay (xo, YO) e c = ay2 (xo, YO) eXIstem ~

VI

~{ (x, y) > O e H (x, y) >

~

= (h l , k 1)

e

V2

O.

= (h 2 , k2)

tais que

g'.:. (O) < O e g'~ (O) > O. v2

VI

Assim, t = O é ponto de máximo local deg .... (t) e ponto de mínimo local deg .... (t) L VI

(xo, Yo) não é extremante local de f

V 2

•

0go,

' I de Taylor com resto de Lagrange (veja teorema da Seção 15.4), para todo (h, k), pela f ormu a + k) ,E B existe (x, y) interno ao segmento de extreml.dades (xo, Yo ) e com (xo + h ,Yo ' (xo + h, Yo + k) tal que

1 [()2 f ()2f - ()2f - - k2] 2 !(xo+ h,yo+k)-f(xo,Yo)=2 ax 2 (x,y)h +2 axay(x,y)hk+ ay2 (x,y)

[ Seja (xo, Yo) E Dfum ponto crítico def Dizemos que (xo, YO) é ponto de sela defse em toda bola aberta de centro (xO' YO) existirem pontos (x l' Yl) e (x2' Y2) comf(x J' Yl) < f(xo, Yo) e f (x2' Y2) > f (xo, Yo)· 2 Sejaf(x, y) de classe C num aberto A de ~2 e seja (xO' Yo) E A um ponto crítico de! Segue do Exemplo 4 que se H (xO, Yo) < O, então (xO, YO) será ponto de sela def(verifique).

EXEMPLO 5. Sejamf(x,

y) de classe

()j O ()j ( ) ' s (x y) é ponto crítico de lembre-se de que ax (xo, YO) = = ay xo, Yo , pOI O' O

fJ.

Como (x, y) E B, ()2 f

~{

C2 e (xO, Yo) um ponto interior de Df Suponha que

__ )

ax 2 (x, y

(x,

y) >

O e H (x, y) = ()2 f __ ) axay (x, y

()2 f

__ )

ax ay (x, y 2

() f - -)

> O;

ay2 (x, Y

(xO, YO) seja ponto crítico def Prove: a) Se b) Se

~{ (xO' YO) > O e H (xO, Yo) > O, então (xo, Yo) será ponto de mínimo local de! ~{ (xo, Yo) < O e H (xo, YO) > O, então (xo, YO) será ponto de máximo local def

tendo em vista o Exemplo 3, para todo (h, k) f(xo

=1=

(O, O), com (xO

+ h, Yo + k)

E B,

+ h, Yo + k) - f (xo, Yo) > O,

ou seja,

f(x, y) > f (xo, Yo)

Solução a) Da hipótese e da continuidade das funções

cPf ax 2 (x, y) e H (x, y) =

, t d ' nimo local def Para todo (x, y) em B, com (x, y) =1= (xo, YO). Portanto (xO' YO ) e ?~n o e ml b) Fica a seu cargo. [Basta verificar que (xo, Yo) é ponto de mWlmo local de _ g (x, y) = -fl.x, y)). . C'd fiorma quadrática EXEMPLO 6. Sejam a, f3, '}', 8, e e cp números reatS dados. onSI ere a Q (r, s, t) = ar2 + f3i + '}'t2 + 28rs + 2ert + 2cpst.

V I " \""UI.,U

Supondo a

ue ..... uu..UI.U

-

L.

YUl.

*- O, verifique que

Q (r, s, t) = a[r

+

~ +~ S

a

tJ2

+

/~ ~

a

[s

a

+

/~

:/

/~ ~

r

tJ

a 8 E

+

E

cc ulta

Solução

Q (r, s, t)

= a[r2 +

af3 s2

+ ..r t2 + a

20 rs + -2E rt + -2cp st] a a a

2 2 -_ a [2 r + _8 s2 + _ t2 + 2~ u E

0'2

a

2

-

a

rs + -2E a

2EO 82 2 + -0'2 st - -0'2 s2 - ~ 2 - 2E8 0'2 t 0'2 st

Q (r, s, t) = a [(r

+ ~ s + ~ t)2 + a

a

af3 - 8 0'2

\~

+ -2cp

f3 st + -

a

s2

+ ..r t 2

J

~

8 E 8 {3 cp E cp 'Y

Q

2

J \~

%\ t +

%\

t 2.

•

EXEMPLO 7. Considere a forma quadrática Q (r, s, t)

Q'

= ar2 + (3i +

yt2

+ 28rs + 2Ert + 2cpst.

Verifique:

2

Q

a) Se 8 E

. Q (s, t) I~ ~I *- O,

l

\~;\

8 E 2 %\ Q (r, s, t) = a (r + -;; s + -;; t) + --0'- s + \

rt

a

Assim,

Supondo

8

{3 cp (verifique) cp 'Y

8

E

{3 cp > O, \ cp

~ ~ \> O e a > O, então

'Y Q (r, s, t) > O, para todo (r, s, f)

a b)Se 8

8

E

{3

cp

E

cp

'Y

oea
c) Se

\~ ~\ <

Q (' 2' s2, (2)

'* (O, O, O) . '* (O, O, O).

O e a > O, então existem (rI' SI' fI) e (r2' s2' (2) tais que Q (rI' SI' fI) < O e

> O.

Solução a) e b) são conseqüências imediatas do Exemplo 6.

,) Q (1. O. O)

~

• e Q(

!. - ~ I~ a ~; 1. O)

(!. -

",im. Q O. O. O) e Q

1. O) têm ,inai,

Contrários. [Sugerimos ao leitor determinar outras situações que levam à existência de (r}, SI, fI) e (r2' s2' (2) com Q (r}, sI' f}) < O e Q (r2' s2' t2) > O.] • Deixamos a cargo do leitor a demonstração do resultado que aparece no Exercício 15 da Seção 16.3. (Sugestão: Proceda como no Exemplo 5.)

Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de curvas

J'#.L

onseqüência importante do teorema de Pitágoras e que será utilizada logo é a se-

VJ11a C

17

i

Il iote:

n

'aJ11 A B dois pontos do ~'I e seja o conjunto, contendo A, de todos os pontos C seJIfl)/I tais que C - A seja ortogonal a B - A, Nestas condições, para todo C em n, de If\\

IIB-AII:s;;IIB-CII

MÍNIMOS QUADRADOS: SOLUÇÃO LSQ DE UM SISTEMA. LINEAR. APLICAÇÕES AO

OU

seja, para todo C em n, a distância de B a A é menor ou igual à distância de B a C.

De fato, pelo teorema de Pitágoras, 11 B - C 11 2 COrno

= 11 B

- A 11 2

+ II

C - A 11 2 .

11 C - A 11 ~ O, resulta 11 B - C 11 ~ 11 B - A 11 e, portanto, 2

2

AJUSTE DE CURVAS

2

IIB-AII:S;;IIB-CII·

•

Observação. Lembre-se de que, sendo X e Y dois pontos do ~n, a distância de X a Y é 11 X - Y 11. Assim, se for uma reta ou um plano em ~3 (ou no ~n), então IIB - Ali será a distância de B a

n.

17.2. SOLUÇÃO LSQ DE UM SISTEMA L INEAR COM U MA

17.1. T EOREMA DE P ITÁGORAS

INCÓGNITA

C ~ /I e tres pontos do ~ ,e consideremos os ve- B -? ~ - A. Suponhamos que os vetores b e c

Teor ema de Pitágoras Sejam A B -?

tores a

=B -

-?

C b ,

. , -?

=C-

Ae

C

n

sejam ortogonais, isto é, que o produto escalar -? -? tem-se b . c =

Vamos começar considerando um sistema linear S, no plano, com uma incógnita.

-?

O. Nessas condições, Esse sistema, no sentido habitual, poderá ter solução ou não. Terá solução se o ponto B == (b l , b2) pertencer à reta r, dada, em forma paramétrica, por

r:

D~ fato, observando que --;; = -: - -; e, para todo -:, 11-: 11 2 do, amda, das propriedades do produto escalar, vem -?2

-?

-?

-?

~

-?

-?

lIall = a· a =(c-b)'(C-b)=-: E, portanto, tem-se a relação de Pitágoras

-?

= -: . -:, e lembran-

= allt y = a2l t.

X {

~e ~ ponto B =

(b l , b2) não pertencer à reta r, O sistema S não admitirá solução, no sentido abltual, mas admitirá solução LSQ ou solução dos mínimos quadrados.

-?-?-?~

c-2b

c+b·b.

])efinição (de solução LSQ). Dizemos que to é uma solução LSQ ou solução dos f1línimos quadrados do sistema linear S se t = to tornar mínima a distância do ponto 8 ::: (b l , b 2) ao ponto X = (allt, a2It), t real.

342

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

y ~

~

~

~.

b . VI

to =

VI • VI

n

se S for um sistema linear com uma incógnita no lR . Vamos resumir o que da [Ou da lRn a anteriormente supondo S no .

------:0 B

ftte~OS~____--------------------------~~~~~~~~----------~ n ~ LSQ de um sistema linear, com uma incógnita, no lR

x

Soluça0

.

Seja S o sistema linear Consideremos os pontos A = (a 11 to, a21 to), B = (b I' b2) e X = (a 11 t, a21 t). Pensando g metricamente, to será uma solução LSQ do sistema linear S se o vetor B - A for ortogO~~ à reta r ou, de forma equivalente, se B - A for ortogonal ao vetor X - A, ou seja, se (B - A)·(X - A) = O.

De fato, se para t = to o vetor B - A for ortogonal a X - A, pelo que vimos na seção anterior, teremos, para todo t,

A solução LSQ de S é a raiz da equação ~

~

~

(b - t VI ). VI = O 11 B - A 11

~

II B - X 11

e, portanto, A é o ponto da reta r que se encontra mais próximo de B. Observe: se t = to for solução do sistema S no sentido habitual, será, também, solução no sentido LSQ. Você concorda? Vejamos como achar rapidamente a solução LSQ do sistema S. Primeiro devemos escrever o sistema S em forma vetorial. A seguir, em vez de representar um vetor em linha, vamos representá-lo em coluna, usando colchetes. Façamos

e, portanto, ~

~

b . VI ~

t=

~

VI • VI

Um outro modo de se determinar a solução LSQ do sistema linear S é usando o cálculo: determina-se t que torna mínimo o q~adrado da distância ~o ~on~~ ~i:â~C\~bJ~"ii 'ab'i, ao ponto X = (allt, a2l t , ... , anlt). IndIcando por Wo qua ra o temos:

Assim, o sistema S poderá ser reescrito na forma

n

~

S: (t VI ~

Como X - A é paralelo a ~

~

VI ,

pois

-) VI

W=

~

=

b.

(b k

-

ta kl )2.

k= I ~o

é o vetor diretor da reta r, deveremos ter enta

Derivando, obtemos

~

b - to VI ortogonal a VI , ou seja,

dW ~

I.

~

~

(b - to VI ). VI = O.

dt

i

n

2 (bk - takl )(-akl) = 2

Tendo em vista a distributividade do produto escalar em relação à adição, resulta Igualando a zero e lembrando que

I.

k= I

k=1

i k= I

n

taklakl

=t

I. k=1

um Curso ae CálcUlo -

Vai. 2 Quadrados: Solução LSQ de um Sislema Lmear. Ilpucaçue, uu r1Ju.,e

,".

ue " ,. . . ~U

·a o ponto P = (2,1,3) e con idere a reta r dada em forma paramétrica por SeJ 31 y = t Z = 21

X =

r:

n

I.

{

aklakl

k= I

Co;n0 O gráfico de W = W (t) é uma parábola com concavidade vol do.), segue que o valor de t acima toma mínimo o valo d W tada para cima (de r e . aCOr.

Determine o ponto de r que se encontra mais próximo de P. 3.

Seja o ponto P = (1,1,1) e considere a reta r dada em forma paramétrica por

EXEMPLO. Determine a solução LSQ do sistema r:

x=8 { 2x = 7.

-

Solução

-7

b

~m

-7

-7

15 + 8 + 14 9+1+4

-7

VI . VI

Conclusão: x

=

a21 x

+ a12 Y = bl + a22 Y = b2

anl x

+ a n2 Y = b n

alI x

b . VI

z=I+2

Inicialmente, vamos considerar um sistema com duas incógnitas. Seja, então, S o sistema linear

S: -7

+1

2t

SOLUÇÃO LSQ DE UM S ISTEMA L INEAR COM D UAS OU M AIS INCÓGNITAS

A solução LSQ do sistema é

x=

=

Determine o ponto de r que se encontra mais próximo de P.

17.3.

Aqui,

e

= t

y {

3X = 5

~~m

X

{

37 14

37 é a solução LSQ d . 14 o SIstema dado. (Observe que esse sistema não admi-

Definição (de solução LSQ). Dizemos que (xO, YO) é uma solução LSQ de S se (x, Y) = (xo, YO) tomar mínima a distância do ponto

te solução no sentido habitual Observe . d 37 . , am a, que, para t = - , a distância do ponto B = (5, 8 ,7) ao ponto (3t t 2t) , . A. 14 exatamente a dIstancIa de B à reta dada em forma Paramétn·ca, por x -- 3t, Y =" tez =e 2t.) , •

ATENÇÃO: Na HP-48G I - ~ . é uma solução LSQ N Àa Aso~çao omecIda pelo aplicativo SOLVE LINEAR SYSTEM . o pen ce 2, mostramos como trabalhar nesse aplicativo.

Fazendo

Exercícios 17.2 alI xo

1. Determine a solução LSQ do sistema dado a)

A =

.

+ al2 YO

x~.~

[

b) X

a2l

anl xo

j

a22 Yo ,

+ a n2 YO

= 3

3x = 1 { x=2 2x = 3

2X = 5 {

x=4 4x = I

sUPondo que o vetor B - A seja ortogonal a X - A e procedendo como na seção anterior, reSUlta, para todo (x, y),

11 B - Ali,,;;; 11 B - X 11.

346

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

...----::71•.• ndralJ[os: ;::'Oluçao

w~ ae

""I.

"'L.HIC,,.,U. ......... -... ..... . . '*'J-" - - - - s -

Façamos 1~

NÇÃO: Prova-se em Álgebra Linear que o sistema SA é sempre compatfvel, no senti-

~ ·tual . Será compatfvel determinado, ou seja, admitirá uma única solução , se VI e abJ JO /l À mlinearmente independentes. Será compatível indeterminado, ou seja, admitirá uma 'ore I;)' ~ ~

'dade de soluções, se VI e V2 forem linearmente dependentes. i!1fífll

Observando que

X - A

= (x

~

~

- xo) vI

+ (y

MODO PRÁTICO PARA SE OBTER SA

~

- Yo) v2

Primeiro escreve-se S na forma vetorial:

~

segue, se B - A for ortogonal a VI e a v2, ou seja, se (B - A)· {

3

~

~

~

b . ~

VI e, depois, por V2,

para obter

=x : O I

~

SA '

+ YO V2 , o sistema acima

.

{

~~

x VI . VI ~~

x VI . V2

~~

+ Y V2 . VI + Y V2 . V2

~~

= b . VI

~~~~

= b . V2 .

~

(b - Xo VI - Yo v2) . VI = O ~

~

Em seguida, multiplicam-se escalarmente os dois membros por

(B - A)· V2 = O

~

~

+ Y V2

~

= O

então B - A será, também, ortogonal a X-A. Como A poderá ser reescrito na forma

{

~

S : {x VI

~

~

(b - Xo VI - Yo v2) . V2 =

O

que é equivalente a

Um outro modo de se obter a solução LSQ do sistema linear S é determinar, por meio do cálculo, o ponto que minimiza o quadrado da distância de B a X. Chamando de Wo quadrado dessa distância, temos: n

{

~~

~~~~ Xo VI • vI + Yo V2 . VI = b . vI ~

~

Xo VI . V2

~

+ Yo V2

~

. V2

=

k= I

~~.

b . V2

L

w=

A sol ução (ou soluções) LSQ de S será (serão) então a solução (ou soluções) do sistema

Resumindo:

dW =0

dX

ma~~:~ãO LSQ de um sistema linear, com duas incógnitas, no IR n• Seja S o siste-

{ dW =0

dY

De dW

dX

i.

2

(akl x

+ ak2Y

-

n

L

dW

e

b k) akl

dY

k=1

2 (akl x

k=1

resulta A solução (ou soluções) LSQ de S é (são) a solução (ou soluções) do sistema auxiJjar

SA :

{

~~

~~

~~

+ VI . V2 Y = b . VI ~~ ~~ V2 X + V2 . v2 Y = b . V2

n

X

vI ' VI x

alI

+Y

=I

L k

X

L

akl a k2

=I

n

~~

VI .

L k

n

n

akl a k2

k = 1

+Y

L

n

af2 =

k= 1

L

bk a k2

k = 1

+ akzY

- bk) ak2

vrrt ..... urSU uI! L-QU:UlO -

VOl. L

x + 2y = 3 3x - y = 1 x-y=2 x + 3y = 1

l

que nada mais é do que o nosso SA acima. EXEMPLO 1. Resolva, no sentido LSQ , o SIS . tema X + 2y = 3 3x - y = 1 x-y=2 x + 3y = 1.

{

. da mais é que o sistema do exemplo anterior. Como vimos, a solução LSQ desse sistema

4~ella 63 e y = é \ ::: í79

Solução

d

129

Ao.

•

d B' (321

,.

- . O ponto e'J!' maIS proXIfiO e 179

60

-66

450)

e --, --, --, --. 179 179 179 179

•

.rcl\'lPLO 3. Resolva, no sentido LSQ, o sistema ~;V'

Aqui

X

S: { ~

b

+ 2y = 2 + 4y = 1 + 6y = 1.

2x 3x

= solução

TernoS

Temos: ~

VI

~

. VI

~

= 12, V2

~

VI

= 1,

~

~

b

vI

~

= 9, VI

~

V2

=

~

1,

~

V2 . V2

=

--7

15 e b .

~

= 6.

O nosso sistema auxiliar é então Observe que

SA: {12X + Y x + 15y

= =

9 6

~ V2

=2~ Vi , logo

--7

e

VI

~ v2

são linearmente dependentes. O sistema admitirá

infmitas soluções LSQ. De fato,

SA . {14X + 28y = 7 . 28x + 56y = 14 cuja solução é x =

63 e y = 129 179 179 que é equivalente a

, então, a solução LSQ do sistema dado. Conclusão: x = ~ 179 e y = 129 179 e,

•

Observação: Observe que ' no sentido h a b'dual, o sIstema . solução. do exemplo acima não admite

SA" {2X + 4 y . 2x + 4y

~?n~lusão: As soluções LSQ do sistema dado são todos os pares (x, y) tais que 2x + 4y = 1. I

Vejamos um outro modo de resolver o problema acima. Colocando o sistema S em forma

Vetorial, temos

EXEMPLO 2. Considere no 1R4 o conjunto

~

= {(u,

V,

w, z) I u = x

+ 2y , V =

S:

3x - y,w-x-y,z=x+3y,xeyreaIs}. .

Determine o ponto de que está mais próximo de B

=1 = 1.

l'

= (3, 1,2, 1).

eMo em vista que

Solução

O de ponto (u, v, w, z) de q ue es t á · próxImo . LSQ maIS de B é aquele obtido com (x, y) soluça~

~ V2

{x VI

--7

+ Y V2 =

~ = 2

VI ,

~

b.

~

--7

resulta: S : {(x

+ 2y)

1l1os o sistema, com uma incógnita, 0

--7

S: {t

VI

=

--7

b

VI

=

2

b. Fazendo t == x + y,

obte-

.........

_ _ _ o "" ....

'--'~

'-'IIA.'""'''''',"V -

.. VI.. ~

cuja solução LSQ é idere o plano a dado em forma paramétrica por

Co nS

7 14

t=

1 2

-=

{

Então, as soluções LSQ de S são todos os pares (x, y) tais que x + 2y = _ 2x + 4y = 1.) 2 ' Ou seja, tais Para fiIn aloIzar a seção, observamos ue o qUe . senti~o LSQ, com mais de duas incógrJtas é ~~~d~mento para. se resolver um siste ConsIderemos, por exemplo o sistema l' g ~a~ pr~ce~mento para duas ~a, no , mear com tres InCogrutas VéUiavei . ali

S:

a2I

+ a n 2 Y + a n3 Z =

anI x

S: {x VI

~

x x2 x3

~

+ Y V2 + Z V3

~~

SA:

~ ~

x vI . v2

x

~~ vI . v3

~~ . vI

+ Y v2

~ ~

+ Y v2

. v2

b

~~

+ Y V2

. v3

~~~~ . vI = b . vI

~ ~ . V2

v.

=

Y YI Y2 Y3

...

...

xn

Yn

Sabemos que por dois pontos distintos sempre passa uma reta. Por mais de dois pontos, s6 com muita sorte! Mas, de qualquer forma, vamos proceder como se houvesse uma reta passando por todos os pontos da tabela. Seja

+ Z v3 + Z v3

+

Consideremos a tabela bn .

Xl ~

u

A JUSTE DE C URVA : A RETA DOS MÍNIMOS Q UADRADOS

O sistema auxiliar SA será, então,

x vI . vI

=

-----

Em forma vetorial, o sistema acima se escreve ~

z

Seja B == (3, O, 1). Determine o ponto do plano a que se encontra mais próximo de B. Qual a distância de B a a? s eja a o plano do exe,mplo ,anterior. Uma partícula de~loca-se sobre a, e sabe-se que no instanJ te t a posição da pamcula e dada, em forma paramétrIca, por: x = t, Y = 2t e z = z (t). a) Determine z \t). , . ,. b) Determine o mstante em que a pamcula se encontra maIS proXlma do ponto (1,0,2).

17.4.

x + aI2 Y + aI3 Z = bI x + ~~~ y + a23 Z = b2

{

2u + v y=u-v

X =

a:

~ ~ b . v2

y=mx+q

~~~~ . v3 = b . v3.

+ Z v3

a reta que estamos interessados em detenninar. A notação

A mesma observação é válida para o siste S . . ma f1. Tal sIstema será sempre compatível, no sentIdo habitual: admitirá uma única sol ~ ~ ~ dentes; caso contrário admif á 'nfiu~ao se VI, v2 e V3 forem linearmente indepen, Ir uma I Irudade de soluções. _

y, que é usual em estatística, indica

que o valor y correspondente ao valor de x é apenas uma estimativa para o verdadeiro valor de y. Para que tal reta passe por todos os pontos, devemos ter

mX2

+ q = YI + q = Y2

mX n

+ q = Yn'

mx I

S:

Exercícios 17.3

{

l. Resolva, no sentido LSQ, o sistema li _ . habitual? near dado. A soluça0 encontrada é solução no sentido

a)

X+ Y =2 x - Y = I { x + 2y = 3

b)

2X + Y = 3 x - Y=O { x + 2y = 3 3x - 2y = I

Definição (de reta dos mínimos quadrados). Dizemos que Y = mx + q é a reta dos para os dados da tabela acima se (m, q) for a solução LSQ do sistema S.

mínimos quadrados

c)

{

+ Y ==

4 1 3y == 4

2X 4x

+ 2y ==

6x

+

Se os pontos da tabela forem colineares, então a reta Y = m x + q passará por todos os Pontos (x;, y), i = 1,2, ... , n. Mas, de modo geral, isso não ocorrerá. Assim, em geral, o valor Yi' Yi = mxi + q, será apenas uma estimativa para o valor Y; da tabela (é comum

352

Um Curso de Cálculo -

Voi. 2

0f'tIJOS

Quadrados: Soluça0

w~

ae unI. uJ,.)'C.IIt-U.

LJun.. u l . ~~J-'''''''''''''Y~- ­

f;f/IH'"

referir-se a esse Yi como valor observado). Desse modo, quando usamos Y~,' para esti estamos cometendo um erro E( lnar y

.'

a soma do~ quadrados dos errOS Ei' CuI ,,) Cal e 5 ' _ 2 _ 5 ,. ~ ~'. _ _ ) 2 j) verifique que (Yi - y) - i~l (y, Y

L

~ue

a soma W dos quadrados dos erros é

Ydo que os Yi- "

n

L i

(Yi - Yi)2. (Está parecendo

') Ju sU 1

J

w=

i~l

, = 1. . sempre!) ., - ? Veremos mais adiante que ISSO ocorre . ~ . a de PItagOJ as, nao . rern teO ' I perar que os Yi se concentrem malS em torno de _ ,,' 'fique a afirmaçao: E razoave es

E i = Yi -Yi=mxi+q-Yi,i= 1,2, . .. , n.

Segue

+ ~ 5

El

=1

i

=1

2

I,) Calcule o coeficiente de determinação R

Como 1:1 e q da reta dos mínimos quadrados Y = m x + q é a solução LSQ do sistem resulta que tal reta é determinada de modo que a soma dos quadrados dos erros seja míni a S,

ma.

y

-\...y=mx+q

"

=1

i

=

. (Observe que

L (Yi i

=1

. , . o de 1 estiver o R 2 melhor devera" ser o aJus t e da bserve ainda qu~, quanto matS proxtm ' ? O , . quadrados aos pontos da tabela. De acordo. ) reta dos nummos

x

15

•

12

•

9

6

2

4

8

10

Y

5

4

6

12

O OI

-

xe y dos xi e dos Yi' respectivamente.

e) Verifique que a reta dos mínimos quadrados passa pelo ponto (x, f) Calcule a soma dos quadrados (Yi -

Yl

g) Calcule a soma dos quadrados (Yi - y)2.

y=

mx

•

•

,

,

2

4

,

B

6

+. q a reta procurada. Temos 2m + q = 5 4m + q = 4 S: 6m + q = 8

a) Construa o diagrama de dispersão . b) Determine a reta dos mínimos quadrados. c) Utilizando a reta dos mini mos quadrados, estime os valores de Y para x d) Calcule as médias aritméticas

•

3

b) Seja

x

y).

t

8m + q = 6 10m + q = 12.

=

_ 8 5ex - .

1.

y)2

a) O diagrama de dispersão é a representação gráfica dos pontos da tabela.

EXEMPLO. Considere a tabela

OS;

5

Solução

A rela dos mínimos quadrados é a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros Ei'

2

O os; R

Em forma vetoriall, temos ~

S : {m

VI

+

~

q V2

10

12

354

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2 #{(limoS Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Apllcaçoe~' au '"'-JU.":; "e '-'~ •• ~"

onde

rara resolver os próximos itens, vamos precisar da seguinte tabela. ,.-

o sistema auxiliar é

A

2

A

Xi

Yj

Yi

(Yi - 7)2

(Yi - 7)

2

5

3,8

4

10,24

1,44

4

4

5,4

9

2,56

1,96

6

8

7

1

8

6

8,6

1

° 2,56

10

12

10,2

25

(Yi - Yi)

2

1 6,76 3,24

10,24

e, portanto,

L 5

f)

SA: {220m + 30q = 242 30m + 5q = 35

(yj - y)2

= (5

- 7)2 + (4 - 7)2

+ (8 -

7)2 + (6 - 7)2 + (12 - 7)2 = 40.

i= I

5

Resolvendo, obtém-se m

g)

= .i e q = ~ 5

(Yi - y)2

= (3,8

- 7)2 + (5,4 - 7)2 + (7 - 7)2 + (8,6 - 7)2 + (10,2 -

7l

i= 1

5'

Conclusão: A reta dos mínimos quadrados é yA

L

=

°

,8x

5

+ 2 ,2 .

I.

Assim,

A

2

-

(Yi - y) = 25,6.

;=1

5

15

h)

12

•

9

I j

(yj - Yj)2

=

5

6

i) Pelos dados acima,

oto-----;2----~4~--~6~--~8-----1~O----~1~2--~

5

d) x = i = I

5

Assim, e)

=1

i= 1

Y

y, e, assim, é de se esperar que

5

I

I.

y.

2+4+6+8+10 _ _ i=1 I 5 - 6 e y = - _ = 5+4+8+6+12 ==7.

x = 6 e y = 7.

j

é menor ou igual à soma dos quadrados dos desvios Y; -

5

xi

2

os Yi estejam mais concentrados em tomo da média y = 7 do que os y;- OK?

5

5

Y_ =_0,8x + 2,2; para x = 6, tem-se Y = 7 . L ogo, a reta y A

X

A

(yj - Yi) .

j) É razoável, pois da relação acima resulta que a soma dos quadrados dos desvios Yi -

= 5, Y = 6,2; para x = 8, Y = 8,6.

I.

I

; = 1

3

c) Para x

14,4.

= 1

=

0,8x + 2,2 passa pelo ponto

(A , y) = (6, 7). Então, a reta dos mínimos quadrado pode ser colocada na forma y - 7 = 0,8 (x - 6).

k)

R2

()li - y)2

6 40

j = I 25,- = = -:;:5------= -

I

(y; - y)2

°

. ,64 . A ssun,

°

. ~ é R2 == '64. o coefi' cIente d e determmaçao

;= I ~ é lá (Pelo coeficiente de determinação, o ajuste pela reta dos mínimos quadradoS nao _ essas coisas. Concorda?) a issO, consiPara encerrar a seção, vamos explicitar as fórmulas para calcular m e q. par deremos a tabela do início da seção.

356

Um Curso de Cálculo -

Voi. 2

Os coeficientes m e q da reta dos mínimos quadrados

i

y=mx+q

k= I

são dados por n

L

m=

nxy

XkYk -

L

k=1

(Xk - X)(Yk -

r-e J1l

y)

k=l

~

e

nx

VI

. tema auxiliar será equivalente a ~

e

m VI

onde

+

SA:

t

x e y são as médias aritméticas

Multiplicando a segunda equação por

V2

ny.

~

+ nx q =

~

b . VI

-x e somando com a primeira, obtemos

n

LXk k= I x= e Y n

n

LYk k=1 n

m=

~

~

~

~

L -2

nx

Da segunda equação de SA , obtemos

Propriedade importante da reta dos mínimos quadrados.

q

Substituindo

=

-mx

+

n

L XkYk m (x -

x).

A reta dos mínimos quadrados sempre passa pelo ponto (x,

= -m

m=

y).

nxy

L Xf - nx

y)

k=1

k=1 n

L (Xk - X)(Yk 11

11

2

"~ (Xk - -2 x)

k=1

k=l

. Vamos, agora, à demonstração das fórmulas para calcular m e q

x + y.

Para verificar que

Y

na reta dos mínimos quadrados, obtemos

y- y =

nxy

XkYk -

k=l

b . VI - nxy

VI . VI -

Antes de prosseguirmos, vamos destacar uma propriedade muito importante da reta dos mínimos quadrados .

q

~

b

nxm + nq = ny.

Y

n

~ • VI

~

-

Bota0 , o SlS

q = -mx

x e y, resulta

f'rmulas para o cálculo das médias aritméticas brando das o

11

d

é só desenvolver o numerador e o denommador do segun o m

embro. VamoS lá.

358

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

tJínimos Quadrados: Solução LSQ de um Sistema Linear. Aplicações ao Ajuste de Curvas

De

sendo XI X2 -

~1 x

xn -

X

n n

LXk k= I

n

-

XkY = Y Xk = yn L L k= I k=1

n

~

v

= [

=nx y,

e

teremos o sistema auxiliar ~

SA: {m v

i

xYk = n x y

e, portanto,

k=1 n

e

~

~

b . v

i

m=

~

(Yk - y)(Xk - x)

k=l

v . v x Y = ,xy+xy+ ... +xY=nxy ,

k=1

n paicelas

o que você achou?

segue

i

(Xk -

x) (Yk -

y) =

k=1

Para verificar que

~

L

~

~

(Xk -

i

Exercícios 17.4

XkYk - n x y.

1. Considere a tabela

k=1 x)2

= ~ ~

k=1 Yk por xk e Y por x.

· · na reI ação acuna, . x k2 - n -2 x, bas ta su b stItuU,

k=1

y- y=

m (x -

y). Seja

a reta dos mínimos quadrados para os pontos (Xi' y), i = 1,2, ... , n. Então, a reta

Y =mX

S:

(X2 -

~~ ~ =

Y2 -

-1

2

3

4

5

1,5

3,5

3,8

4,5

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

y

2

2,4

1,9

1,8

2,1

2,2

(Pela tabela, há seis semanas foram vendidas 2 toneladas de arroz; há cinco semanas, 2,4 toneladas etc.) a) Determine a reta dos mínimos quadrados. b) Estime a venda para a semana atual (x = O). 2 c) Determine o coeficiente de determinação R .

y,

se~á a reta dos mínimos quadrados para os pontos (Xi' Yi ), onde Xi = xi e Y = Yi i po~s o que fizemos com essa mudança de variável foi apenas uma translação. Então, o coefiCIente m será a solução LSQ do sistema (XI - x)m = YI -

y

2

2. A tabela a seguir apresenta as vendas semanais (em toneladas) de arroz, das últimas 6 semanas, de um supermercado. (Na linha dos x, o -6 estará representando seis semanas atrás, o - 5 cinco semanas atrás etc.)

x)

x

o

a) Construa o diagrama de dispersão. b) Determine a reta dos mínimos quadrados. 2 c) Determine o coeficiente de determinação R .

Existe uma outra maneira, bastante interessante, de verificar a relação CD anterior. O caminho para essa outra maneira é lembrar que a reta dos mínimos quadrados passa pelo ponto (x,

x

Y

17.5. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO. CORRELAÇÃO

~

{

(x n - x)m = Yn - y.

_-

.......

~-

Consideremos os pontos (Xi' y;), i = 1,2, ... , n. Seja y = mx quadrados desses pontos. Nosso objetivo a seguir é mostrar que

+ q a reta do mínimos

360

Um Curso de Cálculo -

i

VaI. 2

- 2

(Yk - y) =

k=1

Míf/imos Quadrados: Solução LSQ de um ;)lstema LINear.

i

A

-

(Yk - y)

2

+

k=1

qlle

i

k

fipllcaçues uu 1'1Ju~,,: ue ,",UI v... o

é equivalente a

i

=I

k

Temos, para k = 1,2, ... , n,

=I

veacordo? . .. fica provado aSSlm o segumte lmportante resultado: daí

y

Se = mx + q é a reta dos mínimos quadrados dos pontos (xk' Yk)' k então tem-se n

Para concluir a veracidade da relação acima, basta, então, mostrar que

i

y =m(xk-

A

x)edeYk- Yk =Yk-

Y -(Yk

- y),seguequearelação acima

A

Y-

m (Xk - x)] (Xk - x) = O.

A seguir, vamos mostrar que essa última relação realmente se verifica. Vimos no final

= xk

Y = mX é a reta dos mínimos quadrados para os pontos (X

- x e Yk

k

= Yk

-

,

k=l

~

igual a zero, ou seja, se Yk = Yb para k k == 1,2, ... , n, forem colineares.

=

1, 2, ... , n, e, portanto, se os pontos (xk' Yk)'

Yk ),

y, para k = 1,2,3, ... , n. Assim, m é a solução LSQ do S: {m v

(Yk - y)

sendo que a igualdade só ocorrerá se a soma dos quadrados dos erros Ek = Yk - Yk for

k= I

onde X k sistema

i

- 2

2

-

(Yk - y) :5

k=l

da seção anterior que

+

k=l

n

I

[Yk -

2

Desta segue que

é equivalente a

i

-

(Yk - y)

k= 1

k=l

k=1 DeYk -

i

I

= 1, 2, 3, ... , n,

Definição (de coeficiente de determinação). Sendo Y = mx + q a reta dos mínimos quadrados dos pontos (xk' Yk)' k = 1,2,3, ... , n, definimos o coeficiente de determinação R2 dessa reta por

~

b

n

I

onde

R2 =

(h -

y)2

_k_=_l_ _ __ n

I

(Yk - y)2

k=l

2

Sabemos que, se m é a solução LSQ de S, deveremos ter ~

~

~

(b-mv)'V=O

Do que vimos acima, resulta O :s.; R 2 :s.; 1, e, quanto mais próximo de 1 estiver R , mais PrÓximo de zero estará a soma dos quadrados dos erros Ek' Portanto, o ajuste da reta dos ;ínimos quadrados aos pontos (xk' Yk)' k = 1, 2, ... , n, será tanto melhor quanto mais pró2 ImO de 1 estiver R .

(luaaraaos: .:>utuçav Um Curso de Cálculo -

LJ~

ue

UI"

oJh' ...... " . . - _ ......... -

-r ··· •

•• •

Vol. 2

Defi y. - y = m (x - x) segue, para k = 1' 2 , ... , n, Yk Y - m (x ) o coe ICIente de determinação poderá ser colocad o na segurnte . x. Desse IlJ.Odo, forma:k A

m2

R2 =

-

-

-

-

1. . 76

PLANO DOS MíNIMOS QUADRADOS. AJuSTE POLINOMIAL

n

I

z=ax+by+c

(Xk - x)2

lanO dos mínimos quadrados para os pontos acima se (a, b, c) for a soLução LSQ do

k=l n

L (Yk -

éO P

y)2

sistema

k=l

S:

{ n

m=

X2 a

+ y1b + c = Zl + Y2b + c = Z2

xna

+ Ynb + c

X1a

Lembrando que

L (Xk -

= 1,2, ... , n. Dizemos que

consideremos os pontos (xk' Yk' Zk)' k

X)(Yk -

y)

= Zn-

Da mesma forma que fizemos para a reta dos mínimos quadrados, mostra-se que o plano

k=l

dos mínimos quadrados passa pelo ponto (::t,

y,

z), e, portanto, a equação dos planos dos

mínimos quadrados pode ser colocada na forma

z-

z = a (x - x) + b (y -

y).

resulta 2

Prova-se, ainda, que é vãlida a relação

n

L (Xk -

X)(Yk -

y)

k=l

n

L

k= I

t

A

(Zk -

-

z)

2

+

t

k

k= 1

=1

De maneira anãloga, define-se, então, o coeficiente de determinação R2: n

L (Zk -

Definição (de correlação). O número

R2 =

L (Xk -

X)(Yk -

_k_=_l_ _ __ n

L (Zk -

n

y)

z)2

Z)2

k=l

R = r~k,;",==l~==---r===== n

L (Xk -

Deixamos para o leitor provar o que dissemos acima e generalizar para p variáveis. . Consideremos, agora, os pontos do plano (xk' Yk)' k = 1,2, ... , n. Suponhamos que o dIagrama de dispersão desses pontos tenha a "cara" de uma parábola. Então, a idéia é pro-

x)2

k=l

curar ajustar aos pontos uma função do tipo

denomina-se correLação entre os números x k e Yk' rela - DDas dRerrniçlões acima, segue que o coeficiente de determinação é o quadrado da cor o. e :!S resulta -1 ",::. R o< 1 Le b . ça vetores a corr;Lação entre m rando da definição de co-seno de ângulo de sdOISo os numeros xk e Ykk> = 1' 2 , ... , n, nad ' e, do que o co- en do angulo formado I d a maIS pe os vetores e componentes

~ ,~.

A

'

(XI -

x, x2 - x, ... , xn - -) x

-

e (YI - Y, Y2 - Y, ... , Yn - Y· -)

Y=

2 ax + bx

+ Xlb + c = Yl S: x~a +..~2b + c = Y2 Xfa

{

x~a

+ xnb + c =

Yn'

+ c. Isso nos levará ao sistema

JU,*

um L.urso de Lâleulo -

Vol. 2

Se considerarmos os pontos do 1R 3 (x 2 x

) k- 1 2

Apêndice 1

, , ... ,n,oproblemaé o mesmo que VImos anteriormente. Para esse ajuste, o coeficiente de dete . exatarnent rmlflaÇã e o Será .

k'

k'Yk,

No Apêndice 2, veremos como lidar com esses problemas na HP-48G

e no EXCEL.

FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL R EAL A VALORES COMPLEXOS

A1.I F UNÇÕES DE UMA V ARIÁVEL REAL A V ALORES C OMPLEXOS Uma função de uma variável real a valores complexos é uma função cujo domínio é um subconjunto de IR e cujo contradomínio é C.

EXEMPLO 1. Considere a função f dada por f (t)

= t2 + i cos t.

a) Qual o domínio?

b) Calculef(O) ef (;).

Solução a) O domínio de f é R

b)f(O)

= i ef (;)

= (;

r

EXEMPLO 2. Sejafdada porf(t)

• =

cos t

+ i sen t. Desenhe a imagem de!

SOluÇão

d Para cada t,f(t) identifica-se com o ponto (cos t, sen t). A imagem defé a circunferência e centro na origem e raio 1:

r unçoes ae ""tu .;1()()

Um Curso de Cálculo -

Y UI lUVC;l .I.\.c.u&.

U

r u. . ..... ' ", v

_

..... .

.,y ........... -

Vol. 2

cl\1PLO 3. Sejaf(t)

y

~~P

Calcule!' (t) . , o) verifique que f (t)

(cos t. sen t)

=

cos

t

+ i sen t.

.

= if (t).

b) x

solt1ção , (t) == ~os t + i sen t]' = -sen t i sen t + i cos t == i (cos t

~~;, (t) == .Sejaf: ~ ~~, A C IR, uma_função de uma variável real a valores complexos' _' eXIstem, e sao umcas, duas funçoesfl (t) eh (t), definidas emA e a valores . ' .entao f(t) = fi (t) + ih (t), para todo t E A. Pois bem, diremos quefé contínua e~~Is,~aIS que somente se fi e h forem contínuas em to. Diremos, ainda, que f é derivável em ~ A se e mente sefI eh forem deriváveis em tO' Sendofderivável em to, definimos a deri~ s~e soem to por a def

+ ~ cos t. . + t sen t) == if(t).

•

~~EMPLO 4. S~ja u (t) = eal (cos f3t + i sen f3t) onde a e f3 são constantes reais. Seja À ::= a + i f3. Venfique que du =Àu. dt

-

Solução Sejaf: A ~ IC, A C IR; dizemos que F: A ~ IC é uma primitiva defse F' (t)

todo t E A. A notação

f

+ i sen f3t] + e at [ - f3 sen f3t + if3 cos f3t] & .~. == ae al [cos f3t + i sen f3t] + f3te [cos f3t + t sen f3t] al = (a + if3) e [cos f3t + i sen f3t] .

du = a e al [cos f3t

= f(t), para

f (t) dt será usada para indicar a farrulia das primitivas def

du Portanto, - = Àu. dt

!eor~ma.

Sejaf : I ~ IC, onde I é um intervalo em IR. Se!, (t) = O, para todo t E I , entao eXIste uma constante complexa k tal que f (t) = k, para todo t em I.

Exercício

•

========================================================

Sejamfe g duas funções a valores complexos, definidas e deriváveis num intervalo I . Prove que,

Demonstração

para todo t em I, tem-se:

.Sejaf(t) = fI (t) + if2 (t). Segue da hipótese quefI' (t) = O efz' (t) = O em I; assim, eXIstem constantes reais k l e k2 tais que, para todo t E I,

a) [f(t)

+ g (t) l'

b) [kf(t) ]'

= kf'

= f' (t)

+ g'

c) [f (I) g (t) ]' = f' (t) g (I) d) [ f(t)

Portanto, para todo t E I,

• Como conseqüência deste teorema resulta que se f : I ~ IC e g : I ~ IC, I intervalo, forem tais que f' (t) = g' (t) em I, então existirá uma constante complexa k tal que, para todo t em I,

g (t)

=

f

(t)

+ k.

g(t)

J'

=

(t).

(t), onde k é uma constante complexa.

+f

(t) g' (t).

f'(t) g(t) - f(l) g'(t) em todo t E I, com g (t)

*" O.

[g (t)f

A1.2 DEFINIÇÃO DE e ÀJ , COM À COMPLEXO Seja À um número real; já vimos que u (t) solução do problema.

=i

t

é a única função definida em IR e que é

dU

-=Àu

De fato, pela hipótese, para todo t em I,

dt { u(O) = 1.

[g (t) - f(t)]' = O

e, pelo teorema acima, existe uma constante k tal que, para todo t em I, g (t) -

f

(t) = k.

Suponhamos, agora, À = a

+ if3, onde a e f3 são constantes reais. Vamos mostrar a seguir que u (t) = eat (cos f3t

+ i sen

f3t)

.:10(J

Um Curso de CáLc ulo -

Vol. 2

.a Z == e a + if3. Observe que I z I = e a e que f3 é um argumento de z: seJ

é a única função de IR em C que é a solução do problema dU

-=Àu dt { u(O) = 1. Q

e sen (3 {

----t~===;-----

De fato, u (O) = 1. Pelo Exemplo 4 da seção anterior, du = Àu. Deste mod dt o a funçã al u (t) = e (cos f3t + i sen f3t) é a solução de (D. C?mo I u (t) I = e al , segue que u t o em IR. Suponhamos, agora, que v = v (t), t E IR, seja, também, solução de (D, isto ~? =1= O

Seja À uma constante complexa. Do que vimos anteriormente resulta:

v/(t) = Àv (t), para todo t, e { v(O) = 1

[ e ÀI

]'

= Àe

Àt

,

para todo t real.

Vamos mostrar que v (t) = u (t) em IR. Temos:

o próximo exemplo mostra-nos que a propriedade V(t)]/ = v/(t) u(t) - v(t) u/(t) = Àv(t) u(t) - Àv(t) u(t) _ [ u(t) [u(t)]2 [u(t)]2 - O. Assim, existe uma constante complexa k tal que, para todo t em IR,

EXEMPLO 1. Sejam ÀI e À2 complexos dados. Mostre que

v(t) = k. u(t) Como v (O)

=

u (O)

= 1, resulta k =

é válida em C.

1. Portanto,

v (t)

Solução

= u (t) em IR.

u (t)

Fica provad~ que u (t) = e at (cos f3t + i sen f3 t) é a única função de IR em C satisfazendo
= e(À,

+ À,) t é a única função de IR em C que satisfaz o problema

-dU = (ÀI + À2) u dt

Definição. Seja e

ÀI

À

= e

{ u(O) = 1.

= ll' + if3, com ll' e f3 reais. Definimos (a

+ i(3) t = e aI (cos f3t

+ I. sen f3t)

(relação de Euler)

Por outro lado, v (t) I

= eÀ,t eA,t, t

E IR, também satisfaz @ (verifique). Portanto, para todo

real,

para todo t real.

Fazendo t

= I na definição acima resulta: e

Se

ll'

a + if3

= e

a

(cos f3

Em particular, para t

+ l. sen

= 1,

•

f3)

EXEMPLO 2. Verifique que, para todo t real,

= O

e if3

eit

= cos f3 + i sen f3

+ e- ir

COS t = - - - - e sen t = 2

2i

r U " !rvc", UII;;. "" ........ .............. , ....... - ._ •.. _.

:J/U

Um ( ;urso de Cálculo -

Vol. 2

Solução

cos t if

- i/


l+i

= cos t + i sen t. = cos (-t) + i sen (-t)

e

+ i sen t + cos

t:~l\1PLO 4. Mostre que

cos 3 e = cos3

ou seja,

e

-il

e-

3 cos

esen2 ee sen 3 e =

•

+ sen t (veri filque).

t - i sen t = cos t l-i

3 cos

2

e sen e -

3

sen

e.

= cos t - i sen t.

Somando membro a membro
e i () = cos

e il + e- ir cost= - - - -

e + i sen e.

por outro lado,

2

Subtraindo membro a membro
Segue que

e if - e-if

sent= - - - -

•

2i

Sendo À

"* O uma constante complexa, de (e

Àt

) ' --

Àe Àt

e3i () = (cos

e + i sen el

e3i () = cos

3e + i sen 3e.

Temos, também,

segue Assim, (cos

® EXEMPLO 3. Calcule: a)

f

e

if

b)

J

b)

dt

e if dt

= cos

3e + i sen 3e.

Temos:

fé

(cos

cos t dto

e + i sen (J)3 = cos3 (J + 3 col (J (i sen e) + 3 cos e (i sen e)2 + (i sen (J)3,

ou seja,

Solução a)

e + i sen e)3

=

® (cos e + i sen e)3

~ eil + k.

e f costdt=

J

e-

3 cos

2

esen2 e + i [3 cos e sen e -

3

sen

e].

De @ e @ resulta:

I

J

= cos 3

e l [e

il

cos

+2 e- ir

3e =

cos3

(J -

3 cos

2

e sen e

] dt="2 1 J [e(1 + i)f+ e(l - i )I]dt

e

=~[ 2

e(l

+ i)f

+

1+ i

e(l - i)1 ]

sen 3 e = 3 cos 2

+ k.

1- i

Ou seja,

EXEMPLO 5. Sejam z

J

1 ecos t dt

Como e if = c os

f

t

et cos t dI =

+ I. sen t e e -

if

= -I

2

et

il [e - it ] - - + _e_ + k

l+i

l-i

sente geometricamente z e ze

.

i

~ 2

(3 < -, e

sen

3

•

e.

eum real com O < e<

-~2 . Repre-

().

Solução

= cos t - i sen t, resulta:

~2 et [ cos t I++i isen t + cos t 1- _ i i sen t ] + k = "21 et [cos t + sen

= ecx + I.~, com O <

esen (J -

t]

+ k,

. ,. ~ Para fixar o racIOCllliO, vamos supor 2

.

i()

_

cx+i(()+{J)

< e+ {3 < ~. Seja ZI = ze . Temos: z I - e

.

..1 / ~

Um Curso de Cálculo -

l' unçoes ae uma vanavel lteal a vaLOres complexos

Vol. 2

J / J

Sejam a um número complexo dado ef: I ~ C uma função contínua dada, onde I é um intervalo de IR. Consideremos a equação diferencial linear, de La ordem, com coeficiente constante,

-dx + ax = dt

procedendo exatamente como na Seção 5.1 obtemos a solução geral

o

x = ke - at

cx Os módulos de Z e zl são iguais a e . O vetor 0 zl é obtido de O por uma rotação de () . 'd . h ,. z radI_ ano, no senti o antI- orano.

•

EXEMP~O 6. Sejam Z I e z2 mente. Seja Z = ZI • Z2'

f(t).

dois números complexos com argumentos {31 e (3 , respecti 2

_

+ e -at

f

•

(Verifique.)

EXEMPLO 7. Resolva as equações:

va du - lU . = O dt

b) dx dt

a) -

a) Verifique que I Z I = I ZI II Z2 I. b) Mostre que {31 + {32 é um argumento de z.

e at f(t) dt (k E C).

+ ix

= kj eit (k j

constante)

Solução Solução

a) Pela fórmula acima,

u = ke it

(k E C).

Ou seja,

ou ainda, Como e if3 , = cos {31

+ i sen {31 zl =

e

e if3,

I z l I e if3,

= cos {32 + i sen (32, resulta: x = ke -it e

z2 =

+

I z2 I e if3, .

!:!. e it 2i

(k E C).

EXEMPLO 8. Mostre que

Portanto,

x d2x é a solução geral de -2dt

ou seja,

+x

= Ae it + Be -it (A,

B E C)

= O.

Solução

Portanto,

d2x

a) I Z I = I Zj II z2 I

b) {3j

+ (32 é um argumento de z.

-2-

dt

+x

=

Oé equivalente a

•

374

Um Curso de Cálculo -

Funções de uma Varlavet J(eat a

Vai. 2

(J) Se Á I

!!.-. [ dx + iXJ - i [ dx + ixJ = dt dt dt Fazendo u

dx

= -

dt

O (verifique).

b) se AI

=

O

-

dt

.

+ IX

Á2

k ir = le

Fazendo A =

~ 2i

eR

' + -k leU

2i

+ Re -it (A, B

= A

(cos t

+ i sen t) + R (cos t

(-I+i)I+ R

le

(-l-i)t

=

cos t

+ Rle -il ]

+ i sen t e e -it = cos t

(A

I'

R

I E

If') IV •

- i sen t, resulta

E C).

[Observe que i e.-i são as raízes da equ.ação característica da equação dada.] Fazendo na solução acima, eU = cos t + i sen t e e-li = cos t - i sen t obtemos: X

le

x = e - I [Ale ir

Lembrando que ei1

= Ae it

1 - i.

ou

(k, k l E C).

obtemos: X

O.

A solução geral é: -A

= k

(AI' RI EC).

x + 2 x + 2x =

x .

te A2t

+ 2Á + 2 = O ~ Á = - 1 + i ou Á = -

cuja solução geral é: = ke- u

(AI' RI E C)

Solução

dx

X

+ RI

= AI eA,t

EXEMPLO. Resolva a equação

cuja solução geral é u = kle ir . Assim,

+ RI e A2t

= AI eA,t

= A2, a solução geral de G) será X

du - - iu dt

- i sen t) = (A

+ R) cos t +

(Ai - Ri)

~

~

AI

RI

ou seja,

sen t,

x = e - t [A

cos t

+ R sen t]

(A, R E C).

• A1.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES, HOMOGÊNEAS, DE ORDEM, COM COEFICIENTES CONSTANTES

será Consideremos a equação

_ A

X -

d 2x

-2-

dt

+ aI

dx

-

dt

+ a2 x

=

O

onde a I e a2 são números complexos dados. Sejam Á I e Á2 (Á I' Á2 E C) as raízes da equ~­o ção característica de G). Procedendo exatamente como na demonstração do teorema da SeÇa 5.2, obtemos os seguintes resultados:

•

Observação: Se a 1 e a2 forem reais e se as raízes da equa~ão Á + a I Á + a~ = O f?rem complexas, então tais raízes serão números complexos conjugados: Á = Cl' ± 1{3. AssIm, a solução geral de 2

ou seja,

2.3

J' J

"* A2, a solução geral de G) será X

+ ix obtemos

vatore~' L-ump,e.AU~

le

(a + i(3) t

+ R I e(a -

i(3) I

Ou x = eat [A l eif3t

Como eif3t

=

cos {3t

+ i sen {3t e e -if3t

+ Rle- if3t ]

(AI, RI E C).

= cos {3t - i sen {3t resulta:

376

Um Curso de Cálculo -

Funções de uma Variável Real a Valores complexos

Vai. 2

J / /

ou X

=

e a! [ A cos f3t

+ B sen

peixamos a seu cargo concluir que a solução geral de (f) será:

f3t] (A, B E C),

x = Ae Á ,!

AI.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES, DE 3.

8

+ Be Á, ! + Ce Á3! se \

*

Áj

para i

* j,

ORDEM

COM COEFICIENTES CONSTANTES

'

OU

Consideremos, inicialmente, a equação homogênea OU

(I) o~de ai' ~2' a3 são constantes dadas, Á + alÁ + a2Á + a3 = O, Temos:

+

+

Sejam ÁI'

Á2

a

Á2 Á3 = -ai ÁI ÁIÁ2 ÁIÁ3 Á2Á3 = a2 { ÁIÁ2 Á3 = -a3

+

e Á3 as raízes da equação característic

+

(relações de Girard),

Substituindo em (f) obtemos:

que é equivalente a:

Segue que x = x (t), t E IR, será solução de (f) se e somente se u = dx - l' dt da equaçao mear de 2," ordem d 2u -d 2 t

Portanto, x

ou

=

-

(Á,

+ Á2)

du

-

dt

+ Á,Á 2u

x (t) será solução de (f) se e somente se

=

O,

Á 3x

for solução

As equações lineares de 3," ordem, não-homogêneas, com coeficientes constantes, são tratadas do mesmo modo que as de 2," ordem, Fica a seu cargo estender os resultados até aqui obtidos para equações lineares, com coeficientes constantes, de ordem n > 3,

Respostas, Sugestões ou Soluções

c)

r

t 2 dt se - 1 ~ x

IX f(t) dt =

o

{ fo

t

x; se - 1 ~ x~ I {2x - -S3 se x> I

~1

1 x

10

2

dI +

4~.1

2 dt se x> 1

tI) x se O ~ x ~ 1, 2x - 1 se I ~ x ~ 2 e 3x - 3 se x

> 2.

2.2

F se O ~ x ~ 1 se x > 1

2X 1. a) F (x) = { 2 + Ln x

RESPOSTAS, SUGESTÕES OU SOLUÇÕES

b)

c)

CAPÍTULO 1

-2 F(x)

1.2

2

={

2xseX';;O Osex>O

a) Sim, pois, é contínua.

d)

b) Sim, pois, é contínua. c) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em x

=

e)

~

1.

tI) Sim, pois, é contínua em [O, 1].

~~------

e) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em x = O.

J) Não, pois, não é limitada em

[O, !J

OSex';;l

g) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em x

F (x) =

F (x) = ( x-I se x > 1

= O.

{

~ se -2.;;x';;O 2

_e- x + 1 se x>O

h) Não, pois, não é limitada em [-1, 1]. f)

CAPíTULO 2

g)

2.1

1. a) 2

+ Ln 2

b)

.!.!.

c)

3

..!. Ln 5 2

1 ---------

tI) 1

-------

2. a) f:f(t)dt={f;ldt

x

fo 1 dt + x3

b) -

3

1

+-

3

se - 1 ~ x

~

1

-1

= {;

se x > 1

O dt

x2

b) F' (x) = x, x E IR.

2. a) F (x) = - , x E IR

4

1 2x - - se x '3

> I.

2

3. a) x> I

b) x

< 1

c) - 2

<

x

<2

tI) x> 2

424

Um Curso de Cálculo -

4. a) F (x) =

{?3

se

-+2Inx 3 b) N ão:

li m X~ , -

Vol. 2

x"';;

I;

x2

F' (x) = ~ {

se x>1

7C

se x < 1 se x> 1

1

S. a) F (x) = x, x E IR; F' (x) =

F(x) - F(l) II'm -'-=---.....:.....:.= 2 x-I

X~

1 - - se a > I 2. +00 se a"';; l''al

,+

f (x) para x#-I

b) F' (1)

= 1 #- f(I)

2.4 b) F' (x) = senx2

á) F' (x) = 2x sen x 4 g) F' (x) = 3x

2

ds

+ x3e-x 2

h) F' (x)

i) F' (x) = - arctg x 3

J) F ' (x ) --

= 2x Jox e- s2

_2_

=;

3x 5 + x'2

f) F' (x) =

ds

+ x2

-00

g)

e- x2

2"

h) 4

4. m= 6

Jo e-r2 dI.

S. k = -2

3 6. m=2

3s

1

f

F(x) dx

°

em [-r, r].

= [x f. Xe- r2 ,

dI]'o -fO xF' (x) dx.

4 1 2

J) 2

9. a) l+s2 + 4+s2

O

1

á)

_2x _ 5 + x8

x

4. Sugestão. Verifique que [F (x) - F (- x)J' =

7. - [cos 2

c)

7C

e 2

6. Integrando por partes:

b)

e) 2

2. Crescente em ]-00, -2] e em [0, +00[; decrescente em [-2, O].

3. q>(x)

3. a) I c) F' (x) = -cos x 4

e) F' (x) = 2 cos 4x2

2f.X, e- s

I

q) -In 2 2

p) 2

F(x) - F(l) -_ 1 e x-I

1. a) F' (x) = _3x _ 1+ x 6

o) 3

4

n)

3 b ) s2

2

+--+--s - 3 (s - 1)2

3.2 1.

2.

2 - I]

7T

-1

CAPÍTULO 3 3.1

-1

1. a)

2

c) s

e)

i)

-2s

h)

7C

l) +00

4.

5.

6.

á) +00

J)

1 g) 2

3.

b)

j)

s2 7C

2 4

1

-

3 I

m) - In 3 ?

- 1

~.

426

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2

Respostas,

7.

8.

~ugesroes

ou .:>utuçue~

"r'&"

CAPíTULO 4 4.1

-6

I

1. a) 2

b)

2. a) 400

b) 0,6

2

c)

d)

125

2 7T

c) 0,12

d) 384

4.2

= O para x <

1. a) F(x) 9.

b)

10.

--!C.-

F(x)=Oparax~O

~ para x

c) F(x) = -

Ik,:

2

~

=

x

'5

para O ~ x ~ 5 e F(x) = I para x > 5 e F(x) = l-e -x/2 para x > O

O, F(x)

1 e ~ para x > O O e F(x) = 1 - -

2

2 2• f(x)= 7T(1 +4x 2 ) ,xreaJ 3.

1/2

----o

1/31-----0 2

3.3 1. a)

3 2

b)

4.3

+00

a+b

1. a) E(X) c)

c)

(b-a)2 12

e Var(X) =

2.J26 1

ti) -1

3

3. a)

= - 2-

c) E(X) = 2 e Var(X) = 2

1C

b) 2..fi

2

4.4

+00

ti)

5. a) O

b)

1

3 a) - -

.

+00

&

b) x

3.4

f (X-SO l /4 _ 2/2

e

Z

/) converge h) converge JJ converge m) converge

3. a) diverge c) converge

ti) diverge

b) diverge

5.

ti) converge

1

=- -

&

f (X-60 l /S _ 2/2

e

2. g(y)

t

4.6 4 b) - - e-r

3

lO

[e-(a- JLl2 I2O'2

_

e-(b- JLl2 /2O'2]

4.5

3 t

=

u&

= t(lny) y

7• a ) -12 e 2r - -2 cos t + -I sen 555

dz, logo, x

'* UI

b) converge

+ -I

Z

-ex>

< 10

dcp = _1_

dJ.l-

dz

-00

u 4. x = J.l-JO'2 - J.l-2 ) para u2 u2 -UI

1. a) converge c) converge e) converge g) converge i) converge 1) converge

10 1 6. f(t) = - e- 3r - 9 9

3

b) E(X)=2 e Var(X)=4

+ _1 e 2r 3

paray > O e fl,y)=0 para

y~O,

-(x - JLl 2 /20'2

onde f(x)

= e u~

42lJ

Um Curso de Cálculo -

4.

r(

2n + I) 2

Vol. 2

3. a) x = Ae.fi r

Jf+oo e - x/3

E(X) --

o

-fi; 2

E(X)=

4. b)

Be-.fi

b) x

r

3r

= Ae- 2r + Be-

5r ti) y = e lA + Bl] 7r Be 4. A equação que rege o movimento da partícula é: nÜ = - 2x - x ou X +

(2n -I)! 2 2n - 1 (n- I)! .j:;

c) y = A

4.7

3. b)

+

= Jf+oc 2xe- x /3

dx e Var(X)

m=1. a) x (t)

dx - [E(X)]2

o

S. x (t)

e Var(X) = ---24-'7T

+

= e- r (l + 1). Desenhe o gráfico.

= (2 -

e)e - 21

+ (2e

- 3)e-

= (l

b) x (1)

- t) e - r. Desenhe o gráfico.

1. a) x

=

~ er

ke 3r -

ti) x = k e

b) x

g) x = ke S

= ke

+ -1

- r

2r

5

2

n) y = ke

q) T = ke

cos 2t

+ -25

1

+ -2

+ -1

h) x = ke - 2r

sen 2t

1

3

10

10

1 -- r ke 2

~

r) y -k - ex - - I cos 3x

=

+t

2 5 10 15 g) a = - e b = 13 13

sen

t

3

m) y

9

2

2x

2

+ .!.e 3x

3. A equação que rege o resfriamento é dT dt =

+ 20

onde Cl =

~

In

20

Cl

:': -fi i

i)

lO

- ~r

(T - 20), onde Cl e' a constante de proporcionalida-

3'

q) Ae

2. a) x

g) y = Ae

2x

+

Be - x

J} y = Ae-.J6x

+ Be 1

n) x = Ae - r

2 . a) x = -1 e3r 3

b) x = / (A + Bl) e) x = Ae.J3 r + Be-.J3 r

+ Be 2

6x

r

+ _2 e- 3r 3

h) y = e - 3x (A + Bx) l) x = A + Be - 31 5

o) x = A b)

x

+ Be -3

= - -1 + -I 2

2

c) x = Ae2r

+

Be - 21

+ Bt) + Be - 5x A + Bt

f) x = e - I (A

1

3.

=

c) -1:': i

1.J7

2

(I - 1) /

t

1

-~r

l

2

b) A cos -J5 1 + 8 sen -J5 t

-J3

sen -

2

ti)

+ r

8 sen

.fi

cos -

2

1+

x (1) = -2 sen 2t -

j)

e

-~r2

+ 8t)

~r

.fi

sen- 1 2

J

[Jll

A cos -2- t

n) A cos 2t

+8

21

g) e (A

+8

+ 8t)

Jll ]

sen -2- t

sen 2t

p) A cos {;; 1 + 8 sen {;; t

r) el [A cos-J5 t

cos 2t

8e- .JS r

f) er (A cos 1 + 8 sen t)

2.fi t ]

3.fi - sen -.fi 7 2

+

Ae.JS r

t)

+8

I

(cos t

ti) -cos t

1

4. x (t)

s) e- 4r [A cos 2t

sen-J5 t]

b) -e -

sen 2t

h) :': -J5 i

2

l)2:':i

m) e31 (A

=-

3

y

2

i) e - 3r (A cos 1 + 8 sen t)

[A.cosf2i

2.fi

c)

2

5

1 e b =-

g) - - : , : - i

+B

t

5

1 e b = --

f) a=-1 e b=O

sen 3t

S. f(t) = - - e 2

e 21

2

Fa r + Be- F

c) e 2

i) y = A m) x =

.fi

+ 8/

o) e_2. 2r

11 sen 120 'TTt]

+8

+ 8e - 5r

l) Ae51

5.2

1. a) x = Ae31 + Be - r 41 ti) x = A + Be

-J3

e) A cos 3t

h) A

+

1

2

1

+ B sen 21)

(A cos -

c) e 2

cos 120 'TTt

= -2

j) :':2

1. a) e-r (A cos 21

~

'7T

h) a

5.4

5

+ -3 sen 3x

!!..r] L

b) i = ----[264 - 5r - 264 1 + 5767r2 '7T e

= -4 e b = O

f) :': 2i

e) :': wi

= kex _ -1 cosx --senx 1

e) a

b) - - : , : - i

1 +-x--

2. 8PO' onde Po é a população no instante t = O.

4. a) i = -Eo ( l-e R

=2

1 5

5

-

i) y = ke - 3x

p) y = ke

- 2

lO

3

de. T (t) = 9Oea/

e b

_I 2. a) +'

+~ 4

+ -cos 3t + -sen 3t

2

f) x = ke l

= e 2r [k + t]

o) x

2

-

5

e) x

+-

3 3r

c) x = ke r _ -1 cos t

2t - 3

sen t

_ - r l) q - ke

+ tir

--x

= k/ -

2

- -51 cos t

-2r

= -2

c) a = -

b) a = -5 e b = 12

tl)a=-- e b=-

2

J}

3

1. a) a

5.1

O, pois,

r

5.3 CAPÍTULOS

2x + x =

+ sen t)

+ 2 sen t

= e - r sen t

+8

sen 2t]

43U

Um Curso de Cálculo -

Vol.2

6. x = e l sen t

7. a) c > 2

b) c

9. a) (2, 1, 3) . [(x, y, z) - (1, 1, 1)] = O ou 2x + Y + 3z = 6

=2

c) O < c

<2

10. a) (x, y, z) = (O, 1, -I)

1. a) Ae.[3 1 + Be -.[3 1

-

~ cos

c) Ae

b) Ae -2r

Bt/ + 2t2/

+

ti) Ae - I

2

e) e - I (A cos t + B sen t) + 2

/) A

g) A cos t + B sen t - t cos t

3 l) Ae

-I

+ Bte

-I

3 - -

3

25

+ Bte -2r +

2r

~t_ ~ 2 4

~ sen t + ~ co 8

4

o ) Ae

P ) A + Be

2 1 + - cos 3t - - sen 3t 39 13

q) A

-J5

8 - - cos t 5

+

s) A

2

2. A cos wt + B sen wt - -

1

2w

~uf+u~+u~

u~

3

-7

-7

-7

-7

-7

5. Sugestão. Considere os casos w = wo e w

-7

u~

"" uf

-7

-7

-7

-7 =:)

f3

~sen

-7

v)

-7

-7

-7

U . w = u . (a u + -7

=

-7

modo, v . (a u + ~

2t + 2e 3r

f3

~

-7

a e f3, a u

-7

17. cos () =

= (2,

I)

4. (x, y) = -7

G,

c)

f3

-7

U' O; daí a (u . u) + -7

-7

-7

-7

= (3,

c)

-7

-7

-7

-7

-7

f3 (u

-7

. v) -7

-7-7 =:)

n=(l,3)

ti) n=(2,-3)

u . w = a,

f3.

-7

f3 v = O. Segue que -7-7

f3 (u

. v) = Oe, portanto, a = O. Do mesmo -7

-7-7

v) = v . O e, portanto, a ( v . u) +

f3 ( v

---+

. v) = O; logo,

f3 = O,

. •

-7

-7

= ~(U2V3

-7

O =:) a = f3 = O. Portanto, u e v são linearmente independentes.

v

-7

-7

u . v --7---7-'

O .;; (}.;;

2

1r,

_

sen () - I -

-7

(u . v) 2 -7

.

-7

'

11 u 11 2 11 v 11 2

(uf +u~ +u~)(vf +v~ +v~)-(u,v, +u2v2 +U3 V3)2 -7

1)+ A (-2, 3), A E IR ti) -: = (-2, 1)

-7

-7

vII"" 11 u 11 - 11 v 11. -7

v) = a (u . u) +

-7

-7

-7

- U3V2)2

-7

11 u 1111 vII

11 u 1111 v 11

= (5,2)

U

-7

, , - 7

-7

sen () =

-7

b) u = (-I, I)

""..[uf). De modo análogo,

-7

-7

-7

-4

+ f3 -7

2. (x, y) = (1, -1) + A (2, 1), A E IR

u = (-2,3)

6

+ (u3v, -7

- U,V3)2 -7

11 u 1111 vII

+ (U,v2

-7

- U2V,)2

-7

II u 1\ v II -7

-7

II u IIII v II

-7

6. a) n

= (2,

1)

b) -;;

-I)

7. a) (x, y)

= (2, -5) + A (1,1), A E

8. a) (x, y)

= (1 ,2) + Á (2,

I), A E IR

IR

-7

-7

b) (x,y)=(l,-2)+A(-I,2),AEIR b) (x, y) = (2, -2)

+ A (I , 3), Á

E IR

.

pois, v . u = O e v . v = I. Fica provado, assim, que quaisquer que sejam os reais

13

"* wO'

-7

-Jl3

v 11 + 11 v 11, ou seja, 11 u -

11 u 11 11 v 11

1. (x,y)=(l,2)+Á(-I,l),ÁEIR

= 7

tI)-

~ru-f-+-u-~-+-u-~

=:)

v) + vII.;; 11 u -

-7

-7

CAPÍTULO 6 6.3

5. a) u

v

-7

U . (a u +

tJ

4. xp = (wÕ _ w 2 )2 + 4y 2 w 2 [-2)'w cos wt + (wÕ - w 2) sen wtJ.

-7

+

12. Sejam a e f3 dois reais quaisquer tais que a u +

26

+ Y + 3z

pois, u . u = 11 u 11 2 = I e u ' v = O. De modo análogo, obtem-se v . w =

b

3.

-7

-7

f3

9. w = a u +

2

13

O

-7

5. a) 11 u 11 = 11 (u -

Bi r - 2t

ti) - 2cos 2t -

+z=

tem-se: 11 u 11 "" I u 2 I e 11 u 11 "" I u 3 I.

+ Bir - /

[I + ~

= (4, -2,8)

-J5

c)

-7

b) te -3r

-7

1\ v = (3, O, - 3».

""..[uf =lu,l(veja:

u~

"" O =:) uf + -7

t cos wt

2' 1 1 3. a) -cos 2t - - sen 2t + -cos t

3 2 1 c) - t sen 2t 4

+

.J14

b)

-7

+ Be 21 + ~te2r

r) A

+ Be

U

6.4 st

u~

4

1\ v

-7

3.11-:11= -2r

-7

U

b) ( u 1\ v), [(x, y, z) - (O, I, 2)J = O ou - 4x

~t cos 3t 2r

-7

b)

-7

-7

2. a)

+ Be -2r + 2. te 21 21

v = (5, -4, -3)

14. a) (u 1\ v)· [(x, y, z) - (1,2, I)J = O ou x - y

I 2 3 7 + Be + - t + - t + _ 2 2 4

6

n) Ae 2r

-7

IR (tal reta é paralela à direção de

-7

1\

U -7

r

J} A cos 3t + B sen 3t +

9

-7

13. a)

15

4 cos 2t + - sen 2t 25

m) A cos 3t + B sen 3t -

-1), A E IR

+ A(3, O, -3), A E

12 (x, y, z) = (1,2, - I)

+ Be -31 + ~e21

+ Be -2r + 2t

h) Ae

2. t 3 - 2. t 2 - ~ t

+ Be 31 -

i) A

+ A (1 , 2,

b)(x,y,z)=(2,1,-I)+A(2,1,3),AEIR

3t

12 l

5

b) (-2, 1,2)' [(x,y, z) - (2, 1, -1)] = Oou 2x - y - 2z =

5.5

6.5

1. a) É aberto b) Não é aberto c) É aberto (conjunto vazio) e) É aberto (conjunto vazio) /) É aberto g) Ê aberto

ti) Não é aberto h) Não é aberto

432

Um Curso de CálcuLo -

VoL. 2

2. a ) {(x, y) E IR 2 I x 2 + y 2 ~ I } ti) {(x, y) E 1R21x + y;;' I } a ) É fechado e) É fechado

7.

b) ~ 2 c) {(O, I)} e) {(x, y) E IR I x = I, 1 ~ y ~ 2 } /) ~2

c) É fechado g ) É fechado

b) Não é fechado

1) É fechado

b)

1. a )

ti) Não é fechado h) Não é fechado

z

z

CAPÍTULO 7

,,

,

,

7.1

, --

- - ,-

l.

y

2.

3.

y

x

ti)

c)

x x

y

5.

x

Y

,

x

Y

(1 , t)

4.

,I

y

~x

- 1

6.

x

z

z

y

~x

y

x

e)

x

x

j)

z

z

g)

y Y

7.

8.

2

9. ,-

.,. Y

z x

x

y x

- 1

10.

y

11. 2

12.

z

h)

y

i)

z

x x

x

x

um Lurso ae LalcUlo -

Vol. 2

J)

l)

z

m)

z

3. a) {t E

b) {t E ~ I t;;' I}

~ I t ;;. O}

--+

~

---+

--+

5. a) I F (t)· C (t) I "'" 11 F (t) 1111 G (t) 11 e lim 11

1-->/0 y

-+

i-fi I

n)

I -->

lo

-->

6. Como F é contínua em [a, b], 11 F (t) 11 também será. Segue que 11 F (t) 11 é limitada em [a, b],

.t

ou seja, existe M > O tal que 11 F (t) 11 "'" M em [a, b].

y

1. a)

~); d

F

d = (6t, -e-r, dt 1+ t -->

dt x

x

2. a) 0<

t "'"

-.J5 < t <

3. a)

+ f sen t + 2t2

2. (2 +

b)

-.fi "'" f

b)

c) (f - 6, sen f - 2t,2 - 2(2) 2 t )

(In 25' 25' i5' ~) 25

- I ou 2"", t <-J5

7.3 1. a) 3t

b)

I

-t

t, e

-t

-fI, f 'I: O

I --> 1

.Jt -1r t _ 1 ' Im

2

1-->1

.

t ,

c) 3

=

t

lim f(t) F(t) = lo

F(t)

1\

= (I, I, 1, I)

= (FI' F2' ... , Fn);

(liH~o

G(t) =

IJ ( I ) 7! -->

+ A (I, 2,1,2), A E

IR

sendo F' (t) = O em I, resulta F;' (t) = O em!, para i = 1,2, .. ., n.

lim [F.1 (t )

I --> I o

+ - i +4k

+ C 1 (t)J, ... , lim [F"

+ +

f (t)

b l , a2

Fi

b2, ... , an

(f), I ~~o f (t)

r I ~~o

(t)

+C

-->

)

-->

7. a) v (t)

n

b ) = -; n

Fi

(t)J

+b

(t), ... , lim f(t) I

-->

F"

(t)

--> O

=

)

lO

b)

d r

=-

--> v (t) =

dt

= -->

-->

c)

d r v (t) = -

dt -->

9. a) 11 T(t) 11

=

-->

i

+ 2t

-->

-->

j; a (t)

+ cos f

-->

+

j

d v

=-

-->

=2

dt

-->

k; a (t)

=

d v vo; a (t) = -

-->

-->

dt -->

I, T(t)· T(t)

=

l,daí2

--+

b) Sugestão. v (t) = v (t) T (t).

=

~ -: = -cos t i - sen t J

dt -+

-+

á) v (t) =

O

dt

j

d v

=-

-->

--> d T

-->

-->

-->

-->

~

(t)· -;. (t) = t.

-->

-sen t i

-->

em!, e use o Exercício 3.

= .Jt ~ -;.

5. Sugestão: para t ;;. O, 11 -;. (t) 11

t -+ '0

+

d; 1

d

4. Verifique que - [--> F (t) A (t) dt dt

-->

(F2 (I) C 3 (t) - F3 (f) C 2 (I), F3 (I) C (t) - FI (I) C (f), I 3 FI (t) C 2 (t) - F2 (t) C 1 (t» = (a2b3 - a3 b2 a3 --> ~ _ a b b b , I I 3' aI 2 - a2bI) = a 1\ b

I --> lO

z, w)

4

= (La I, La2, ... , Lan ) = L -->a lim

I

(

C-->()J

= (aI

H

t -

lim - - = - I O 1-->1 t 2' , -->

I --> lo

(+,+,4) +A (-~,-~,4).AEIR -->

3. Seja F

b) (3, 2, O)

+

á) (x,y,

IR

+ A (2,1), A E

Segue que existem constantes k , k , ... , k , tais que Fi (f) = k , para todo tem!, (i = 1,2, ... , n). I 2 n i Portanto, F (t) = k em!, onde k = (k I , k2, ... , k/

lim F(t) = (lim

--> lim [F(t)

(l

(~, -J3, ~J + A(- -J3 , ~, IJ, AE IR 2 2 3 2 2

c) (x,y,z) =

7.4

I --> 1

2+- t2;22) )

e-I,

=

-->

sen t, 2e -t)

+t

? (6,

dF --> --> --> d 2 F ~ --> --> c) -=5cos5t i -4sen4t j +2e- 21 k ;-2-=-25sen5t i -16cos4t j -4e- 21 k dt dt

b) (x,y) = (I, I)

2

dt

2 --> --> --> d 2 F - 2 --> --> ,/. i -2tsent 2 j +3k;-2-=~ i -(2sent 2 +4t 2 cost 2 )j 3v t dt 9 tv t

2. a) (x, y, z) =

á) (t sen t - 2t, 6 - t 3,t 2- 3 sen t)

7+ (t3 - t) 7 - 3f k

-->. --> u (t) . v (t) = I

(e

"'"

2

-->

d F

b) - =

c)

pelo teorema do confron-

-+

-->

7.5

b)

-+

-+

I --> lO -->

z

y

2. a)

11 C (t) 11 = O;

(t) 11

-->

o)

1. a)

fi

to, lim I F(t)· C(t) I = O; logo, lim F(f)' C(t) = O.

x

3.

lilTljtada -+

vo

+

--+T

e

-+

--+

-->

T = O, ou seja,

-+

a O t; a (t)

=

-+

aO

!!:..!são ortogonais. dt

436

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

+ 1)

12. a) -: (t) = ( t;

--:

+

b) -: (I) = (2 - cos I) -:

~ c) r (I)

-21 arctg 2t ~i

=

7.6

1. a)

J:

7T~

b) -2 j

+ (1

sen 21 - 1)

- e

- I

~

) j

+2

7 + (2 + In (I + 1» k

e l dt

t dI

~

8

+ -

7 - ±k

~)

ê (t) = (J:

~

j

c) 3 i

+ (e-

fi (s)

ds, ... ,

1

b) -

2

J:

=

+2

~

j

(e _ 1)

7

~

k

~

b) In 2 i

dt =

_[_1_ +

J~

arcIg e '

1 + 'I

e) In

b)

~

+ k

I

+ -

~

j

+

k

"V

1+

sen ()

(cos e) -2 sen e] de

1 +.fi

=

~_ __

+ e- 211: r;:: -v2

+ .fi + 7t

-

~

~l + e- 211: r;::

~+ 1+V'I+e2- -v2 I + "V 1 + e 2

e)

I, ;, -I)

b) Ô(S)=(2cosf, 2 senf)

c) Ô(s) = (c os -Ê,sen -Ê' -Ê)

O (,)

d)

..J5

2

d)

"\

~

g)---

+

v

3

= In

6. a) Ô (s) = ( ; ,

u

,"

b)

f) 4

b)

3. a)

c)

21

d)2

c) 3

+e

7.7

~l + e-

+ Ix

Fn (s) ds ) e aplique o teorema fundamental do

3

c) 1011:

b) 3a

2. a) {(x, y) E 1R21x '" - 2y}

[J: J--: + [J: J7 ±- : +

71 dI =

1. a) 1

~ 1) k

+ (I +

~

3. Observe que cálculo. ~

(±

+2k

2. a) (2 - e) -:

4. a) 2 i

l

+e

[I -:

7+ 2t k

+

Jre+ ':' 2J)

~ '1' (co, (I" ':' 2

J)

Ixl-lyl;;;'O <=:>-1 x

l~y~lxl

438

Um Curso de Cálculo -

Respostas. Sugestões ou Soluções

VoI. 2

g)

b) x

h) /

/ /

-< X / /

A.

/

c

z

y

x __ /

Y - -2"

)../"

/ Y

/"

/

=

x=y

/

2

+ 3y

/

"" """" " x + y =-11'

' ) L - -__

x c)

z

y

4. f(x. y) = ax + by, onde a e b devem ser detenninados de modo quef(l, O) = 2 ef(O 1) - 3 ' -. Tem-se a = 2 e b = 3. Assim:f(x. y) = 2x + 3y.

5. a) homogênea de grau zero.

b) homogênea de grau 2. d) homogênea de grau -2.

c) não é homogênea.

6. a)

1(4.13.

4) ~

+

--HlH4J.H---_ x ~""""-------t~

~. 8 +)~ 8'{~. +)~ 64 ~ ~ 32 '" (Ob"N
(~)' +(+)' ~loq"'I(~.%)~~) .

x

~ x 2 + y2

,

y

~ x2 + y2

Y

x

=C

4X' + y'

parabolóide elíptico

d) As curvas de nível são circunferências com centros na origem.

b) f(O, 3) = 3 2f(0, 1) = O

C)f(X.y)=(~x2+y2)2f(

z

J=x~x2+y2

8.2 2 2 2 1 • a) 1 - x - y = c ou x

+ Y2 =

4.1Y

..J....!'-----__ Y

1 - c (c ~ 1)

x

z

e) As curvas de nível são retas paralelas a x

c=o

+ y = O.

z --:~-Ir-----

y

x ...J----__ y x

j) As curvas de nível são as circunferências x 2

+l

2 = 1 - c , com O ~ c

~ l.

y

440

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

o gráfico de g é a parte da superfície esférica x 2 + l + i

=

z

1 correspo d ,

n ente a z ;", O.

z

x

x l) As curvas de nível são as elipses x

y

2

z

-=-----x o

---=-1-ttI1ttl+

+ 4i

2

= 1 - c (O

~c~

1).

z

~~c......--IIC..---_y

l/2

""')--I--~Y

x x y

h)

z m) As curvas de nível são as circunferências (c ;;;. 1) x

2

+

i

= 1-

~. c-

z -tJ.li.I..I!Ioo..----

X

y

x i) As curvas de nível são as circunferências x

2

+i

J..--.l...------ Y

2 = c , c ;;;. O.

x

z n) As curvas de nível são as circunferências x

2

+i

=

tg c ( O

z n/2

/&------y

x ~-------y

= x é a curva de nível correspondente a c = O. Para c > O, a curva de nível é o par de retasy = x + -!C ey = x - -!C .

}) y

x

~c<% ).

44~

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

o) As curvas de nível são retas x = c (c ;;. O).

y

z

•

y

--~~r-~~-----x

=R

Imagem de I

-tttttttttt+t+t-t--__.x Imagem de/= R

y

x

e)xy=c

j)

(c E IR)

i -i

=c

(c E IR)

z

r)

y

c< O} \c> O -.:::~~--f_-'------:::::::;;;;---c

\

\ \ \

~C

-----

= O

c=O

Imagem deI

Imagem de I = R

=R

x

2. a) x - 2y == c (c E IR)

b) c = -y-

x-2

~y

2 g) 4x

= c (x - 2), x "* 2

+ i == c (c ;;. O)

Imagem

= [O, + oo[

Y = 2x ±

~

Imagem de/= IR

c) (I

+ c) Y =

(I - c) x

(c E IR)

c=o

y ---+-:::~r-----

+ Y2

Imagem = IR

y

y

2

h) c = 3x - 4xy

c=o

x

Imagem de I == IR

(c E IR)

á) c (y - 1) = x

(c E IR)

i)

ci =

(I - c)

x2 (O ~ c ~ I)

Se c = O,x = O

j) Se c = O, x

= O ou y == O

_~x 2c

Sec"* O,y -

Um Curso de Cálculo -

444

f1=C x

± ~---;;--c-

Se c"* O, y

=

Imagem

[0,1)

=

Vol. 2

Imagem

=

[-±, ±J

'\ Z

/~ .~)

1\5 I I 11

z=c

=c

5

I

y z

=cmáx.

--~I:IIE:-----1~

c=l

x

C=O

Z

6. O que se quer são os valores máximo e mínimo de . 392 máxima: 24. Altura mímma: 27'

C=O 3.

7.

=cmín.

z = (5 -

t) (t

2

+ 3) em

[O, 4). Altura

G,~,~) 11.

z

8.

z

c = 2 --+-+-- - t - - -o---i-t----

~--------~--~~ y

4 a) f(1, I) = 3 é o valor minimo de! Não admite valor máximo.

y

b) Não admite valor máximo, nem mínimo.

x

c) Zero é o valor mínimo def; este valor é atingido nos pontos (x, O), x:;;' O, ou (O, y), Y :;;. O. R

Não há valor máximo. x á) Valor máximo: I; este valor é atingido nos pontos (x, O), x "* O. O valor mínimo é zero,

que é atingido nos pontos (O, y), Y "* O. e)

f(~, 3.) = ~

12. a)

é o valor mínimo defem A;jnão admite valor máximo em A.

5 5 5 fJ 2 é o valor máximo, que é atingido em (O, O):f(O, O) g)

I ) ="4 1 e, o va Ior maxlmo; " 1 f ( 2.fi'.fi

( Sugestão. g(x) = to 4x 2

+

x~1 -

y2 = I, y :;;.

4x 2 ,

f(

-

=

1 T2 1) = 2.J2'

-"4I

2

2

13'13

---f-----t-----t~---x

' 'mo . e, o va Ior mml

3

2

o.)

b) Ponto de mais alta temperatura:

13. a)

é o valor máximo ef(O, 2)

á) f(3, O) = O é o valor mínimo ef

(~ ~)

-..!. ~ x ~ ..!., fornece os valores defsobre o conjun-

b) f(l, 3) = 4 é o valor máximo ef(O, O) = O o valor mínimo.

~

b)

2

2. Não há valor mínimo.

S. a) f(O, O) = 3 é o valor mínimo ef(2, O) = 7 o valor máximo.

c) f( -1, I) = -

y

= -2

o valor mínimo.

(~, ~) = ié o valor máximo. 553

(

4$ 2$) . bruxa . __ - Ponto de mais 5 ' 5

temperatura: (_ 4--';, _

2--';)

.... ..,

um curso ae calCULO -

VaI. L

447

Respostas, Sugestões ou Soluções

8.3

4. O

1. a) É uma esfera de centro (O, O, O) e raio 1.

b) É o semi-espaço abaixo do plano

z =:

S. Não existe.

I. 6. De lim g (u) = L segue que para todo

€

> O, existe 51 > O, tal que

u -> a

d)

C)

CD O <

z

lu - ai < 51

De

lim ( x. y) -> ( x o. Yo)

~

Ig (u) - L I <

€.

f(x, y) = a, segue para 05 1 > O acima, existe 5 > O tal que

0 < lI(x, y) - (xo,yo)1I <

5~ If(x, y) - a

I < 51

Como a$. Dg e [mfC Dg, resultaf(x, y) *- a para todo (x, y ) E Df Assim, @O < lI(x, y) - (xO'YO) 11 < 5~ O < If(x, y) - a I < 51' De CD e @: O < 11 (x, y) - (xO' Yo) 11 < 5 ~ Ig (x, y) - L I < x 2.

a)

8. O.

7. 1 9.2

b)

b) {(x, y) E 1R2 I 2x2

1. a ) 1R2

z

á) {(x, y) E 1R21x2

z

+ / < I}

+ 3/";; 6}

2. É contínua em (O, O):

f(x, y)

I ,..--- ---

"

Y

x·

(.t. Y) -> (0, O)

j) 1R2

(O, O)} y2

hm

2 x

+Y

2

x

11 (x, y) - (xo, Yo) 11 < r

á)

= O = f(O,

~ f (x, y)

< f (xo, Yo) +

€

<

O).

C

z

CAPÍTULO 10 10.1

-4------t~

az ax

x

x c)

CAPíTULO 9

az ax

x4

+ 3x 2 y2 (x2

- 2xy2

+ y2)2

j) Não existe

C) O g) Não existe

á) Não existe h ) Não existe

4

+ 3xy2

-

e

- = -xsenxy

e

9.1 b) Não existe

af

e Y

b) - = -ysenxy

e) Não existe

g) 1R2

e, portanto, V C B ; logo, B é aberto. (V é a bola aberta de centro (xO' Yo) e raio r > O.)

z

1. a) O

> y}

S. Seja B = {(x, y) E 1R2 If(x, y) < c} . Precisamos provar que para todo (xO' Yo) E B existe uma bola aberta, de centro (xO' YO), contida em B. Como f é contínua em (xO' YO), tomando-se € > O, comf(xo, yO) + € < c, existe r > O (como A é aberto, podemos tomar r de modo que a bola aberta de centro (xO' Yo) e raio r esteja contida em A) tal que

Y

x c)

*-

.

=

( x, y) -> (O. O)

I I

- -

lim

c) {(x, y) E 1R21 x

e) {(x, y) E 1R21 (x, y)

I I I

--

E.

e

ay =

az ay

IOx y

448

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

dZ 2x 3 e) = 2x In (1 + x 2 + y2) + e 1 + x 2 + y2 dX dZ

j)

-

= yeXY (1

+ xy)

dx df

g) dx

= 12y (4xy - 3l)2

y

dz

h)

+ lOxy

x2

dx

dy

e

df = 32 dy 3 (4xy - 3y ) (4x - 9i) dz

-x

dy

x2 + y2

-

= ~ln (1 + l)

!!...L =

dz = xeXY (1 + ) dy xy

-

20.

ax

y2 - x (x2

2

- 2xy4 ,(x, y)

+ y2)2

"* (O, O) (d f

z

J

e

dg -=xYlnx dy

j)

~~ =

e

dy=2 y [I+ln(x +l)]

x2

dx

e

V(x3 + y2 + 3)2

az

2

df

2y

dy

3V(x 3 + y2 + 3)2

m) ~ = sen y [cos (x 2 + y2) + 2x2 sen (x 2 + y2)]

[cos(x 2

dx

+ y2)]2

~ = x cos Y cos(x 2 + y2) + 2yx sen y sen (x 2 + y2) dy [cos(x 2 + y2)f b) - 4

3. a) 4 6.

í)p

nRT

dV

V2

dZy

A,.'

7• dx =e-

'Y

dp dT

e

-dz + -dz = ri cf> (x -

ax

10·

dy

~ =

1 - yz

e

xy+3z 2

dx

13. 17 (dW

dX

=

y

y)

+ 4 z3 ~) dX

= z.

f

ax

e

16

-2y

+i

J ~, J +

x'

- 1)2

c) (x, y, z) = (1, 1,2)

b)

+ À (I, 1,4), À E

1

-

se i

+l < 1

sex2+l~1 z

IR.

tI) Verifique que (1, 1,2) pertence ao plano e que "I' (1) é ortogonal ao vetor

_a f (I, I), -af (I, I), - 1) . ( dX ay

'Y (t) = (t, t, 2t

2

)

y

(~~ (1,1), ~~ (1,1), - 1)

x

é normal ao plano.)

24. z (t) = (x (t)l + (y (t»2 ~ z' (t) = 2x (t) x' (t) + 2y (t) y' (t). Segue que , "I' (O) = (x' (O), y' (O),2x' (O) + 2y' (O». Verifique que (l, 1, 2) pertence ao plano e que "I (O) é ortogonal a

- xz

ay

xy+3z 2

f -a (I, 1), -af (1, I), - 1) . ( ax ay

, rrnaI ao vetor 25. O plano determinado por TI e T2 passa pelo ponto (xo, yo,f(xo, yO» e e no k

aI a; -af = -2xe - x 4

=

x2

23. a) z(t) =f(t, t) = 2t

j

16·

+l <

2

(Observe que

í) z

-

dY

x

V

dz dy=rlcf>(x-y)-rlcf>'(x-y);logo,

e

(x-y)

= nR

se i

sex2+l~1

df df

~, - I)

x' +

dg_ - yx-Y- I dx

l)

(O, O) não eXiste)

dx

+ 5x2 21. a)

i)

2 2x [1 + ln (x + l)]

18. cf> (y)

2x2y 1 + x 2 + y2

e

e

+ y2

dZ

-

O A equação do plano é, então:

...

(xo, Yo)

aI (xo, Yo) Tx

= aI

(Xo, Yo ax

)

. + _aI

-t I

ay

-t

(xo, yo

-t

)j-k.

450

Um Curso de Cálculo -

(

Respostas, Sugestões ou Soluções.

Voi. 2

a/ (xO, yo), -;;; a/ (xo, yo), a;

)

. [(x, y, z) - (xO' yo,f(xO' yO))) =

1

E(h,k). 1 h2y2+h2ky+k2x2+hkxy+hk2x --- = lirn' = O. (h.kH(O.O) (x + h)(y + k) x 2y2 ~h2 + k 2

. tim

o

451

(h.kH(O.O) 11 (h, k)1I

pois,

29. a) (O, O) c) (-

±, O)

tI) (1,1),(1, -1),(-1, 1),( -1, -I)

h

tim hy2 (h, k) ~ (O. O)

. tim h 2y (h. k) ~ (O. O)

O,

=

~h 2 + k 2

k

=

~h 2 + k 2

O etc.

j) (O, O), (1, -1) e (-1, I)

*-

Segue que / é diferenciável em todo (x, y)

10.2

(O, O), ou seja,f (x, y) =

~é uma função xy

diferenciável.

1. a)

a/ = (1 + x) eX -

ax

aw ax

b) -

= 2x

y

arcsen -

z'

a/ = -

y - z,

aw ay

-

ay

x eX - y - Z e

d/ _

x-y-z

- - -xe

2. a)

dZ

x 2 1z1

= --;=~=

z ~ z2 _ y2

e

lim / (t, O)

=

I~O

1 e lim / (O, t)

=

-1, logo, / não é contínua em (O, O), portanto, / não é

I~O

diferenciável em (O, O).

dW dZ b)

E(h, k)

lim

(h. k) ~ (O. O)

11 (h, k) 11

+ h,

/ (O

O + k) - / (O, O) - d/ (O, O) h - d/ (O, O) k

dX

lim

dy

(h. k) ~ (O. O)

h2 k h2

+ k2

--;==== =

lim

(h.k)~(O.O) ~h2

+k2

/"~-

. hm

4. c)

~g

não existe, pois, lim G (O, k) (x,y,z)=/(x+i+z )'4z3;

oZ

g

d (1,I,I)=16

a) 4

dZ

6. a) 8

b) 8

k~O

b) 8

· 11m

dX

E(h, k) =

1

(x + h)(y + k)

= \" 2,,2

Portanto,fnão é diferenciável

k)~(O.O)

E(h, k) lI(h, k)1I

=

h2

+ k2 (h. k)~(O.O) ~h2 + k 2 . lim

limitada

I'1m

(",k)~(O,O)

dy

h

k

-_ O

~h2+k2

Portanto,f é diferenciável em (O, O).

Portanto/ex, y) é diferenciável em todo (x, y) E 1R2, ou seja/ex, y) = xy é uma função diferenciável.

=

~ 0+

.../

- /(x, y) - d/ (x, y) h - d/ (x, y) k = hk. Então,

(h,k)~(O,o)lI(h,k)1I

tI) E (h, k)

. lim

(h.

+ h, y + k)

lim G (t, t)

I

------G (h, k)

c) 8 c)

= /(x

= Oe

,

+k2)

em (O, O).

CAPÍTULO 11 11.1

1. a) E (h, k)

--'"

(h,k)~(0.0>\(h2 +e)~h2 '.........

4

h 2k

I

_

2

~ + _h_ + _k_ = h 2y2 + h 2ky + k 2x 2 + hkxy + hk !... xy x 2y xy2 (x + h)(y + k) x 2y2

11.2

2

1. a)

d/

_=ex - y

dX

,

d/

e-=-2ye x - y

,

dy

ou seja,f é uma função diferenciável.

2.ç

são contínuas em IR ,Iogo,fédi,ere

nciável ern R •

152

Um Curso de Cálculo -

Vol. 2

Respostas, Sugestões ou Soluções

az ay

2. a) f não é contínua em (O, O), logo, não é diferenciável neste ponto. Em 1R2 - {(O, O)} a derivadas parciais são contínuas, logofé diferenciável em todos os pontos deste conjunt s Assim, 1R2 - {(O, O)} é o conjunto dos pontos em que f é diferenciável. o. b) Em 1R2 - {(O, O)} as derivadas parciais são contínuas, logofé diferenciável em todos .

pontos deste conjunto. Em (O, O),

lim

foram o b'd ti as d'Iretamente d a equaçao

Os

11.4 1. a) dz = 3x b) dz

E(h, k)

(h. k) -> (O. O) 11 (h,

.. -Jz e Observação. As derivadas parciais Jx

453

l

2

dx

= [arctg (x

+ 2x3y dy + 2y) +

c) dz = y cos xy dx

k)1I 2

não existe, logofnão é cliferenciável em (O, O). Assim, IR - {(O, O)} é o conjunto dos pontos em quefé diferenciável.

d) du = 2s e e) dT

5 2 - (2

2

2] dx + I + (x2x+ 2y) 2 dy

+ x cos xy dy ds - 2t e

2p

=

x

I + (x + 2y)

1+ P + V

2 dp

+

52 - (2

dt

2V

dV

I + p2 + V 2

d) 1R2

1.3 1. a) z b) z c) z d) z

= 4x + 2y - 4; (x, y, z) = (I, I, 2) + A (4, 2, - I)

= 2y - 1; (x, y, z) = (O, I, I) + A (O, 2, - I) = -8x + 2y + 8; (x, y, z) = (1, -I, -2) + A (-8, 2, -I) = 9x - 8y; (x, y, z) = (2,2,2) + A (9, -8, -I)

2. a) !1z==dzedz=(e X2 _ y2 + 2x2ex2-y2)dx_2xye x2 _ y2 dy. Fazendo x = I,y= 1, dx = 0,01 e dy = 0,002, resulta!1z == 0,03 - 0,004, ou seja, !1z == 0,026. b) Para x = I e y = I tem-se

z = I. Assim, 1 + 0,026 z correspondente a 1,01 e 1,002.

e) 4z=2x-4Y+(7T-2);(x,y,z)= (2,+, :)+A(+,-I,-I)

f) 4z = 2x

2. 4. S. 8.

x

+ 6y

+ 2y -

- 2z

I; (x, y, z)

I 2'I '41) + (I2' 2,-1 1) = (2' A

=3

3.

af (I, I) = 2 e ~~ (I, I) = 1. ax af I a) af (1, 1) = - ~ e a;(l,I)=-'3 ax 3 z=

2x

+ 3y + 3

e

z=

xoc 2

-

I dy 12 A O,-I + O, OI, ou seja, . uZ A c) uZ == 2 12

b) (x, y, z) = (I, I, I) + A (2, 1, 3)

I

2

e

z = 6x + 6y - 18 1

b =-

2

yoe 2

14. z - Zo = - - 2 - (x - xO) - - 2 - (y - Yo); segue que a Zo b Zo

b) 2,9966

== - O,049166 == y

dx + x dy onde x = 2, y = 3, dx = 0,01 e

6. !1P

7Tr

== - 5 watts.

2 1 2 7. !1V== - m-h dr + - 7Tr dh, onde r = 12, h 3 3 8. (1,0Il,03

2 ..fi y

1,026 é um valor aproximado para

2h é o volume do cilindro de altura h e raio da base r; dV = 27Trh dr + 7Tr2 dh. Sendo!1 V 2 o volume do material utilizado na caixa, !1 V == 27Trh dr + 7Tr dh, onde r = I, h = 2, dr = 0,03 e dh = 0,03, ou seja, !1 V == 0,157T.

S. V =

b) a = -

+-

4. A = xy; dA = y dx + x dy. Assim, l1A dy = -0,03, ou seja, l1A == -0,03.

4

9. z = O e

(1 + a 2 + b 2 )3 11. a) V (a, b) = - ' - - - - - - ' - 24ab

12. z = 2..fi y

5

z = 2x + Y - -

I 2

3. a) dz = - dx

=

==

=

20, dr = -0,1 e dh = 0,2.

1+ dz, onde dz é a diferencial de z =

dx = 0,01 e dy = 0,03. Ou seja, (1,0Il·03

9. !1z = dz onde dz é a diferencial de z =

==

~x 2

xY, no ponto (I, 2), relativa aos acréscimos

1,02.

+ y2 , no ponto (3, 4), relativa aos acréscimos

dx = 0,01 e dy = -0,1. 11. a) dw=yzdx+xzdy+xydz

ou seja,

b) dx= e2u+2v-c2(2du+2dv-2tdt) 2z(x 2

+ y2) dz Z2 I + z2 (1 + z2)2 d) ds = 2xyz (I + x21Z - J dx + (I + x21Z In (1 + x 2) [z dy c) dw

2x

2y

= - - dx + - - dy I

+

+y

dzl

154

Um Curso de Cálculo -

12.

Vol. 2

Respostas. Sugestões ou Soluções

Para t

~ (O, 01)2 + (3,02)2 + (3,97)2 == 5 + dw, onde dw é a diferencial de w = ~ x2 + y2 + z2 no ponto (O, 3, 4), relativa aos acréscimos dx

= 0,01, dy = 0,02 e dz = -0,03

2 _

2

Y

~

= to. (2xÕ. 2yo) . -y' (to) = O, ou seja, Vf(xo, Yo) . -y' (to) = o. -y (t) = (cos t. sen t) é uma 2 + i = I.

curva cuja imagem está contida na curva de nível x

'

~(O,OI)2 + (3,02)2 + (3,97)2 == 4,988. b) eX

7. a)

f'

(x, y) = (y. x)

c)

f'

(x, y)

= (tg ~ + ~

~

~

~

""x

2

f'

y) = ( y

(x

~1

b) (2x, 2y, 2z)

+ i + Z2 l + l)z2 -

d) (

2 yz

x

+y

3. V f (x, y)

',2YZ2 (x

2- xz 2 ' arc tg

2'

x

+y

+ l + 1/ - " 2z (x 2 + l + 1/ In (x 2 + l + 1)) 2

2

- x 2 y2 '

x (x, y) = 2 - Yln 2 (I, -1)

f'

~,~ sec 2 ~) y i y

~1

x

- x2

i

1

11. b) V f (xo, Yo, zo) . [(x. y. z) - (xo, Yo, zo)] = O c) (2,8, 18) . [(x. y. z) - (1, I, 1)] = O

~

c) (2xi (x2 +

sec 2

y

(2x i - 2y j )

•

xi+yj+zk I

b)

y

d)

2. a)

455

~)

CAPíTULO 12 12.1

Y

1. a) 9t2 cos 3t 3

b) -4 sen t cos t

c) O

= (2x, -2y)

a) V f(1, 1)

=2

~

~

~

2. a) 3

~

b) Vf(-I, 1) = -2 i - 2 j

i - 2 j

~f (3t, 2t2 -

1)

ux

+ 4t a f

(3t, 2t2 - I)

b) 1

ay

3. a) 2t a f (t 2 , 3t) + 3 a f (t 2, 3t) ax

ay

af af b) 3 cos 3t:;- (x. y) - 2 sen 2 t - (x. y), onde x = sen 3t e y = cos 2t oX ay ~

~

~

af· 2

~

4. "jJ (xo, Yo) = yO i - Xo j . Observe que V f (xo' yO) é normal a Xo i + yO j :V f (xo, yO) é tangente em (xO, yO) à circunferência x

2

+i

af

2

2

4. 2t ax (t ,2t) + 2 ay (t ,2t) = 3t - 3; faça agora t = 1.

= 1.

S. a)

7r 11 b) z - - = - -(x - 3)

-.!.!.

4

6

6

+ 2 (y -

1)

6. g' (t) = -1. 2

7. x = 2 cos t, Y = sen t é uma pararnetrização da elipse'::"- +

Observe, ainda, que para todo (xO, yO) na circunferência S. Derivando em relação a t os dois membros de (x (t))2 2x (t) x' (t)

+ 2y (t) y'

(t)

i +l

+ (y (t»2

= O.

= I, 11 V f (xo, Yo) 11 = 1, resulta:

= 1.

em IR, onde g (t) elipse dada.

=f

l

= 1. Basta mostrar que g' (t) = O 4 (2 cos t, sen t). Observe que a função g fornece os valores de f sobre a

8. -y' (t) = (2, 2t, Z' (t» e z' (t) = a f (x. y) dx + a f (x, y) dy; -y' (1) = (2,2, O) e ax dt ay dt -y (1) = (2, I, 3). A reta tangente é: (x, y, z) = (2, I, 3) + À (2, 2, O), À E IR. az

10. : l = oU

az dv

af uX

: ; - (u

+ 2v,

.

2

u - v)

+ 2u -af (u + 2v

ay'

2

u - v)

af af = 2 ~ (x, y) - ~(x, y), onde x = u + 2v ey = u 2 - v.

456

Um Curso de Cálculo -

Respostas, Sugestões ou Soluções

Vol. 2 Observação. Poderia ter feito g (x, y) mos, então:

= ul(x, y), x = u -

16. z

-ih =

du

vey

dx

dy

-dz = u [- d - i (x, y) dv dx

e

i] + -d(x, y) . dy

Portanto, dZ udu 18.

=

+

+

[I

(tx,

ty)]1

~ g (t, I

= O.

di

d~

d ~ ~ [f (x, y, g (x, y»] ax di ::>

--;-

ag __ aX -;-(x,y)::>1 aX a

a;

I

+ À (I,

aX

-

1 '2), À E

g(x, y)~

IR!.

di d . (x, y, g(x, y» . ~ = 0, ou seja, dz dx .

+-

°

--- .._.,'

,

= 6t

di -:;- (x, y, z) ax

+ 3t2 -di dy

+ Y -di

(0, O)

(0, O) =

dy

I

(x, y).

b

. 3 3 , '2 11. dF 11. 1. SeJaF(x,y)=y +xy+X -4;FedeclasseC emIR ,F(0,'V4)=Oe-(0,'V4)i'0. dy Pelo teorema das funções implícitas, a equação define uma função y = y (x) de classe C' num dy y + 3x 2 intervalo aberto I contendo O. - = 2 . dx 3y + x

2. a) Seja F (x, y)

= x 2y + sen y -

(x, y, z)

-,-.....

+ 2e 2/ -di dz

1) -.!.(y - 1). 5 2 di dz di di dz = +-. dz dx dx dz dX

•

3 2/ = 3t2 ,y = tez == e

~

g (x,y) = l(x 2 + y,2y, 2x- y) + x [2X di (x2 + y, 2y, 2x- y) + 2 di (x 2 + y,2y,2x- y)]. ax dx dz dg [di di 2 +y,2y,2x-y)--(x di 2 +y,2y,2x-Y)' ] -(x,y)=x - ( x 2 +y,2y,2x-y)+2-(x dy dx dy dz

x+y+z

3. a) Seja F (x, y, z) = e F(O, 0, O)

,/

(x, y, z) onde x

x; observe que F (0, O)

= Oe que

dF dy 2xy - 1 (0, O) *- O; - = - -~-­ 2 dy dx x + cos Y

~(x -

b) g' (O) = 8.

22.

(x, y),

12.2

(x, y, g (x, y » : : > ::> . _ ag _ 1. ag _ 1 ,entao,-(l,l)---,-(l,l)---. dx 5 dy 2 (x, y, g(x, y»

A equação do plano tangente no ponto (I, 1,3) é: z - 3 = 1 d ,..--L., di 'á-; di ,/d .... Observe:-[/(x,y,g(x,y))]=- + - :-(y):+ dx dx dx dydx ,

21. a) g (t)

I

(t»

d di = --;[O]; --;-(x, y, aX

=

a

. A equação da reta tangente é: (t,

/=O

~~

(t))

(t) = (l,f' (t» ef' (t) = - d x

(x, y) = (0, 1)

20.

y. Tería-

ou seja,

di d y (x, g (x» g' (x)

dx

l'

= x 2 + y, v = 2ye w = 2x -

(~ }onde 4> (u) é uma função diferenciável qualquer.

32. Para cada (x, y) fIxo,.!!:..dt

dz 2dl u= Z + 2u - . dv dy

d di dx [O]: d x (x, g (x»

30. I(x, y) = 4>

x -

19.

v, w), u

= u + V. Então:

i] I (x, y) + u [di (x, y) + -d(x, y)

d dx [{(x, g (x»]

= xl(u,

457

dZ

b) -

dx

=O

dF

dz

e -(0,0, O)

dz

3x 2 - I 3z 2 - 1

+ xyz -

dz

= - ---:-- e -

dy

*- O; -

dx

= -

1; note que

=-

eX + y + z + yz dz --+-+----=-- e -::>-y eX y z + xy a

3y2 - I

_ 3z 2 - 1

=-

eX + y + z eX + y + z

+ xz + xy

'58

Um Curso de Cálculo -

VaI. 2

dz xdyx 8. a) - = - - e - = dx z dx y au

10.

11.

8. f(x, y) =

ax

ay

a) 2 (x - y)

Para que o gráfico de f contenha a imagem de 'Y é preciso que

9

y x2

~(v)=~(xy);O=y

9

+ y) 2 resolve o problema.

9. Seja F (x, y) = x 2 + 2l. Vamos determinar 'Y de modo que, para todo t, y' (t) = \l F ('Y (t», ou seja, = 2x e y= 4y. Assim, x = k l e y = ~ e41. Para que a condição inicial 'Y (O) = (I, 2)

x

b) -2xl

au

e) -2[s

+ 3r]

ti) 2t[ -9

.

+ 2s]

x

ir

~

ax

x

au

2(x 2 - y2)

ax +x ay. au au

e y

2

+ 2y '

=e

+ 2v + ~u - 2v = -~u -'--------!.---

aF

2

10. Seja F

+ y2

_ax __ u

.

ay -y e = ---=----au 2(x2 _ y2)

r;;+2v" - ~u___ - 2v b)X=~~~UT_L_V~

15. a)

~

se venfique devemos tomar k l = 1 e k 2 = 2; 'Y (t) = (e ,2e ) mtercepta ortogonalmente 2 todas as curvas da farru1ia x + 2l = c e passa por (1, 2).

X'

13. a)

(x,

y) = xy. A função y = y (x) deve ser solução da equação :

=

~4v -

u-

b) x =

~~ ,ou seja, ax

u - 2x

()u

~~ = 2 ~~.

2

-

ay av

au

~ 1- x 2

au

a(u, v) = ax av a(x, y)

12. a)

b) y = x e z =

dy x . 2 2 -=-.AsslITI,y =x +c. dx Y

3u 2

-----!.---

2

b)y=~

a) y = x

:APíTULO 13 3.1

13.2 1. a) (x, y) = (1, 3)

+

A (- 6, 2), A E IR

b)y (t) =

(.JIT5

cos t,

.JIT5 sen t)

1. a ) Plano tangente: (2, -6,8) . [(x, y, z) - (1, -I, 1)] = O ou x - 3y Reta normal: (x, y, z) = (I, -I, 1) + A (2, -6, 8), A E IR. b) Plano tangente: 6x + 3y + z = 9.

2. Reta tangente: (x, y) = (2,5) + A (-2, 5), A E IR. Reta normal: (x, y) = (2, 5) + A (5, 2), A E IR.

Reta normal: (x, y, z) =

3. a) (4, 2) . [(x, y) - (1,2)] = O ou y - 2 = -2 (x - 1). b) y = -4x + 3.

e) Plano tangente: x - y + 4z = 4. Reta normal: (x, y, z) = (2,2, 1)

4. y = -2x + 3 ou y = -2x - 3

4

5. y - 2 = -::. 5" (x - 1) ou y + 2 = 6. a) b) e) ti)

f(x, f(x, f(x, f(x,

y) y) y) y)

= = = =

5"4 (x + I)

7. f(x, y) =

4

3.

Dete~e F,a

x+Y+z=

4

11

-

6

ou

x+Y+ z=

~~ ==.Jf.

as condições: xÕ

+ 3yÕ +

4. x + Y + .fi z = 2.

=

8.

IR.

A (1, -1,4), A E IR.

+ Y + 4z =

10.

11

- -.

6

(Sugestão. Seja F (x, y, z) = x 2 + 3l

+ l) onde

+ y), com

+

1 1 2. z - 2 = - - (x - I) - - (y - 1) ou x

2

(~, 1, 3) + A (6, 3, 1), A E

+ 4z

+ 2z2. O ponto de tangência (xO' yo, zo) deve satisfazer

li 2zÕ = - e V F (xo, yO' zo) = A (I, I. I), para algum A.) 6

40U

Um Curso de Cálculo -

s.

(x, y, z) = (I, I, 1)

+

(-2,1,1),

À

6. a) (x, y, z) = (1, 1,1)

Respostas, Sugestões ou 8oluçoes

VaI. 2

+

À

À

E IR.

(1, -1, O),

À

E IR.

b) 'Y (t) = (-fI cos t, -fI sen t, 1).

7. a) (x, y, z)

(O, 1, O)

+

(-1, O, 1), À E IR. 1 b) x = Z"cos t, Y = sen tez = 1 - Z"cos t - sen t. =

À

1

y 8. a) F (x, y, z) = x

9. - 5x + 16y - 9z

2 =

+ i - /z4 + 8.

b) x - 7y - 16z = -28.

O.

x

+ 2z = 7 ou x + 2y + 2z = 7.

10. x - 2y

--)

14. a) x

13.4

1. a)-

8

...f5

b) -

3.

o~ ou

c) O

5

--)

2. a) 3 i

2

--)

+3

--)

~

--)

j e - 3 i - 3 j

(l, 1) = 11 \7

1 (l, 1) 11 =

i -

b)

~

~

j e- i

+

j

-+

c)- i -

-?

-?

-?

j e i + j

(~+ ~)2 +~ 4

2

16.

+ 2i

--)

c) O,I ' C

b) -6 i - 8 j

= 17

-16

"3

15. a) ~

2

b)

2-16 3

~.Jf3 6

CAPÍTULO 14

4

14.1

2 b) 3$

1. a)

J2 1 J2 1 J2 1 J2 1 2 2 3 Jx 2 = 6xy2, J i = 2x , Jx oy = 6x y e Jy Jx = 6x Y J2

b) __ z

s. _.Jf3

J2z

2

= 2ex2- y2 (1 + 2x 2 ), _ _ = -4xye x -

Jx2

JxJy

y

2

J2Z

= -- e JyJx

13

6. a) (1, 3)

J2z = 2exL y2 (2 y 2 - 1) Jy2

b) 2-fI

7. x = e -41 e y = 2e -21, t ;;.: O. 8. 'Y (t)

= (t, ~ ), t ;;.:

c)

J2z 2 + 2 y 2 - 2x 2 J2z _ 2 + 2x 2 - 2 y 2 ~ Jx 2 = (1 + x2 + y2)2 ' Jy2 - (1 + x 2 + i)2 ' Jxdy

1. -4xy

9. V1(1,2) = (2, 1). Seja 'Y (t) = (l + 2t, 2 + t,f(1 + 2t, 2 + t». A tangente em 'Y (O) = (l, 2,f(1, 2» é a reta procurada: (x, y, z) = (1,2,2) + À (2, 1,5), À E IR.

10. (x, y, z) = (1, 1,4)

+

À

(l

+ x 2 + y2)2

=~ Jy Jx

:>2 J2 ti) _o_g_ = 24 4 -g- = 48x 3 i Jx2 XY'Jy2

(1, 2, 5).

J2g

+ 6y, - - = JxJy

ãx' o

11. Seja P' a projeção de P sobre o plano xy; P' move-se sempre na direção e sentido de m 1m crescimento de f Sendo (x (t), y (t», uma parametrização para a trajetória de P', . ó' a de 'Y (t) = (x (t), y (t), z (t», onde z (t) = 1(x (t), y (t», será uma parametrização para a traJet n .

_

4

8

8.

~(O,O) = 1 e~(O,O) =-1 JxJy

2

JyJx

P . 'Y (t) - (t , t, 4t + t ). 12. (O, -J3). (Sugestão. Aproveite a solução do problema 8.)

11.

1

3

14. a) -4xy sen (i -i)2

b) O

J2g 48x 2 y 3 = - JyJx

ti) 0,08' C

71"01

4fi2

Um Curso de Cálculo -

Respostas, ;:,ugesroes ou

VaI. 2

12 = (4x, 3) . (I, 2) { 2x - Y = 1 com 1 <

14.2

d 21

d 21

+ cos t - - ( x ,

(x, y) 1. a) 2t-dX 2 2

b) 3t

c)

d y dx

3 ~I (3t, 2t) + t [3 oX

2 d I 2 (t ,2t) 2t-dx 2

y),x = t2 ey = sen t

2 d ; (3t, 2t) dX

+

2~ (3t , 2t)] dy dx

2

b)

2

d I 2 [ d I + 2- ( t ,2t) + 5 3 cos 3t - - (sen dy dx

dx dy

3t t) ,

+

2

d f ] dy2 (sen 3t, t)

~~ (x, y) + 4 ~; (x, y). Então:

2. g (t) = I (x, y), x = 5t e y = 4t; g' (t) = 5

2 d I + 40 - (x, y) dx dy

+

d2I 16 - - (x, y). dy2

d 9. I(x, y) = O, onde y = g (x); dx lf(x, y)] = O, daí,

di

-;- (x, y)

di +dy

uX

dy

(x, y) -

= O

dx

dy dx

~ [di dx

ou

(%,2)-

=

c)

322

1. a) I(x, y) = 3x y - 5x

= eX'

2. I(x, y) =

+Y + k

+ x3 -

b) I(x, y) = sen xy

+ y'

xy

+ Y3 + k

+ arctg y + k

ii - i

+i

-y -

1

2

2

.

1

,

2

d2 -(x

+ Y2 + 1)

4. Não,

di a;

S. cp! (x, y) = -arctg -

pOIS,

8. 3

+ x + Y ) + - eY +-.

di a; (x, y)

dy

2

d22 '* :;-(x - y + I). uX

x

n

Y

+- .

6. 'P2 (x, y) = arctg Z +

~

(H,H)

15.3

3. I(x, y) = -In (1 2

(x, y)

2

(%' %)

c) I(x, y)

2 d I g (t) = 25 - - 2 (x, y) dx u

y)

Então, (x,

x<

2

71'.

X

(x, y)] di _ di [di (x, y)] dX dy dx dx dy 7. cp (x, y)

=

{-

+x" 2

arctg y y arctg x

+n

se y > O se x < O.

8. a) Sim, pois admite função potencial cp (x, y) =

-

.

b) N ao, pOIS, -

10. b) I(x, t) = cp (x

+ t) + e(x -

t), onde cp (v) e

2." ordem. Observe que g (u, v) = cp (v) +

13. O

e(u) são funções quaisquer, deriváveis até a

e(u) satisfaz ~ = dv du

d

dy

c) cp (x, y)

(y)

= xy + i

e) Não, pois, -

d

dy

(1 , I)], com (x,

e (2, 3). Assim, (x, y)é solução do sistema

-1 x

5.1

y) . [(2,3) -

~

é uma função potencial, logo, F é conservativo.

á) Admite função potencial cp (x, y) = ~

~APíTULO 15

1. a) 1(2,3) - 1(1 , I) = VI(x.

d * -dx (-x).

O.

14.0

y) no segmento de extremOs (1. 1)

~ + L. 2 2

(4)

* -dxd

2 (x ).

2

+l

, logo é conservativo.

~uluçues

",UJ

qOq

Um Curso de Cálculo _

Vol. 2

/) Admite função potencial

= eX' -

y' , logo é conservativo.

la

9. Como F é conservativo, existe

= V

(t)

= F(x

--+

=

F (f' (t» . f" (t) . Portanto,

--+

F (f' (t» . f" (f) dt

= [

Cx,

y)(x - 1)2

+ 2~ ax ay (x,

2

af

,y . Pela regra

- -

+~-(x,y)(y-I) 21

ay2

De O <

J~ = O.

= ~2 I (6-x -

2) (x - 1)2

b) U(x,y)

x2 = ___ _y2 2

c) U (x, y)

--+

12. a) F (x, y)

=~

=-

+ y2

Vu

= (-4x,

8, sen 2t; ji + Y

= O~ y =

+ 8 2 sen t.

+ 6 (y

~

2 2 2 2 b b 2 _ k2 4a2 7. ah + bhk + ck = a [ h + -;; hk + 4a 2 k - [( h+ -a

A 2 cos t

(y - 1)2 I.

_ 1)2 .

b) 10- 3

4. a) 4,931

_y).

b) x= -4x,ji= -y,x(O) = J,y(O)= l,x(O)=Oey(O)=O;x

+ 6y

2

á) Não é conservativo

x2

+

x< 2 e O < Si < 2 segue I/(x, y) - P, (x, y) I < 7 (x - 1)2

11. a) U (x, y) = 3x2 + /

y)(x - 1) (y - 1)

)

b

ra

J,

2

- 1 é)y2f I/(x, y) - P, (x, y) 1-"2

--+

+4x=0~x=A,cOS2t+

~ k)2 + 4ac4 2a a

2 2

b

+ ::. k 2] a

k2] > O para todo (h, k) '" (O, O) .

15.5

Tendo em vista as condições iniciais, f'

1.:~ ~+8(x-l)+ 1O(y-l)+S(x-I)2+ 4 (x-I)(y-I)+9(y-I)2

2

(t) = (cos 2t, cos t). Como cos 2t = 2 cos t - I, a imagem de f'está contida na parábola x = 2 / - I.

3

2. 6 + 8 (x - 1) + 10 (y - 1) + S (~ - 1) 2 + 2 (x - I) (y _ I) + 9 (y - 1)2 + (x - 1) + + 2 (x - 1)2 (y - 1) + 3 (y - I) .

y

CAPÍTULO 16 --+-+-;---~

x

16.2

--- --Como y

= cos t, a imagem de f' é arco de parábola x = 2/ -

--+

1. (O, +)é

alo (- ~ . extremante Ioc. 13' ~) 13 é o único ponto crítico e não pode ser extremamen2. Não adrrute

--+--+

13. a) F(x,y)=-xi-yj .

.J2 (cos circunferência de centro na origem e raio .J2.

b) y (t) = (cos t - sen t, cos t + sen t) =

(I + ~J (I + ~). sen

2

. a/

te local, pOIS, ax2

A trajetória é a

3. (O, O) e ( 14. y (t)

(_...!...13' ~) = 2 e ay2 a 13

-i, -1~)candidatos

2

/

(_...!...,~) =13 13

2

a ponto de máximo local.

= (cos t, 2 sen t). A trajetória é a elipse x 2 + L 2 = I. 4

15.4 1. a) I

candidato a ponto de mínimo local.

I, -1 "" y "" 1.

+ x + Sy

2. b) Inferior a 10- 2

b) S

+ (x

- I)

+ 7 (y

- I)

4

c) 3x

+ 4y

.

, . (O , O) nao - é extremante local, é candidato a ponto de mínimo local. O ponto cntlco ( ~~) ,3 3 p~s x = Onão é extremante local de g (x) = /(x, O) = x .

5 ( - I -1) é candidato a ponto de mínimo local. . , d áximo local. ' . 1· (-1 - 1) é candidato a ponto em 6 (I I) é candidato a ponto de rrummo loca" . " Os pontos cntlcos ,. (1 , - I) e (-1 , 1) não são extremantes locaJs.

'1()()

Um Curso de Cálculo -

Voi. 2

Respostas, Sugestões ou Soluções

1fT(j

16.3

22) 54 7' -7 ponto de mínimo local. (Conforme Exercício 2, é ponto de ,. ,. ~~~ (1,1) é ponto de rrurumo local, mas não global if(O,y) = l- 4y + 5 at.) tende a -00 23 5) , quando y ~ -00). ( 12' -"6 e ponto de sela.

1. a) (

b)

(-I,I)épontodesela.(~, -~)épontodemínimOIOCal,masnãOgIObalif(

c)

tende a -00 para x

~

3 -00).

_ 3 x, O) - x - 5x

3

;=1

;=1

6. a) y

%x + 1 [Sugerimos desenhar a reta encontrada e marcar os pontos dados.]

=

9 10

14 10

b) y= - x + -

tI) (%' - ±)é ponto de sela.

bi

a;

2

aibj

5

100

25

500

6

98

36

588

7

95

49

665

8

94

64

752

26

387

174

2.505

7. a) ai (3,%) e (-3,-%)sãopontosdesela.

e)

;= 1

;=1

;=1

/) Não admite ponto crítico. g) Os extrem~tes locais ~e f coincidem com os extremantes locais de ~ (x, y) = x -;?-XY + 4y - 6x - 12y; (2, 1) é ponto de mínimo local. (Conforme Exercício 2 , e ponto de nurumo global.) h) (O, O) ponto de máximo local; (O: I), (O, -1), (I, ?)e(-I,O) pontos de sela; (1,1), (1, -1 ), (-I, 1) e (-1, -1) pontos de rrummo locrus (verifique que são pontos de mínimo globais) i) (1, 2) é ponto de mínimo local. . j) (-1, -1) é ponto de mínimo local. l) (1, 1) é ponto de mínimo local; (1, -I) e (-1, 1) pontos de sela; (-1, -1) ponto de máximo local.

(a, f3) é solução do sistema 26a + 4f3 = 387 { 174a + 26f3 = 2.505

21

1.104

y=--x+-10 10

b) 89,4

8. (A, 2A, 2) e (J.L, J.L, 4 + J.L) são pontos arbitrários de r e s, respectivamente;

3. a) (2, - %) ponto de mínimo global. -

b) N ao a

dmi

. êJ2f êJ2f te extremantes, pOIS, para todo (x, y), --(x, y) = 2 e--(x, y) = -2. O ponto êJx 2 êJy2

é a distância entre eles. Basta, então, determinar (A, u) que minimiza g (A, u) = (A - u)2

,. (10 cntlco -11) e' de se Ia. 13'13

(±, ±) ponto de máximo global.

c) tI) e)

(

= PjX + P2Y - [i + 2i + 2xy] maxirniza o lucro é x = 10 e y = 30.

10. L

Não admite extremante; (2, -2) é ponto de sela. [Desenhe as imagens das curvas 'rI (t) = (t, -2,f(t, -2» e 'r2 (t) = (2 - 3t, - 2

+ 2t, z (t»

L n

;= I

a L êJE

n

=

f3

;= I

[a ai

+

2 êJE f3 - b i ] ; =

êJa

+ (2 + ul P

= (-I, -2,2) e Q =

( 3'5- 3'537) -

n

LJ

;=1

2 [aa; + f3 - b;J. (a, f3) é a solução do sistema

f3 - b i ] e

120x

+ 200y - 3x2 - 3i -

2xy. A produção que

= 5z - (2x + y). A produção z que maximiza o lucro é a correspondente a x = 15,8 e y = 20,4, ou seja, z = 1576,2. .

34 25 13. ( 14 ' 14' 14 .

~ 2 a da ai +

=

11. L

.!iJ

+ 2t)].

/) (1,2) ponto de mínimo global.

5. E (a, f3) =

u)2

9. (1,2, 1).

2 U 10) e, ponto d ' . global. U' e rrummo

onde z (t) = f(2 - 3t, - 2

+ (2A -

14. x

3 2

+ y + z =-.

15. a) (1, O, 2) ponto de mínimo local (verifique que é ponto de máximo global). b) (1, I, 1) ponto de mínimo local: (-I, -I , -I) ponto de máximo local; (1, I, -I), (l , -1,1);(1, -I, -1),(-1,1,1),(-1,1, -l)e(-l, -I,I)nãosãoextremantes (veja Exercício 16). c) (-

I, 1, 2) não extremante; (~, -

tI) (3, -2, -1) não é extremante.

~, 2) é ponto de mínimo local.

468

Um Curso de Cálculo -

16.4 h) (2, O) ponto de máximo;

1. a) Valor máximo é 6 e é atingido em (2, O); valor mínimo é -3 e é atingido em (O 3

3-JfQ -JfQ ) ,

.

( 3-JfQ -JfQ),

' ).

b) ( - - - , - - e ponto de máxImo; - - , - - e ponto de mínimo 10 10 10 10 .

(2, 2) .

"" 2"'

).

[sugestão. Utilize a função g(x)

=

f(

x,

+~),

-1 , ;

2. x 2 3.

5. O problema consiste em maximizar o lucro L = 10x + 6y (x é quantidade do produto I e y do produto lI) com as restrições: x ,,;; 20, y ,,;; 45, 5x + 4y ,,;; 200, lOx + 4y,,;; 240, x ;;., Oe y ;;., O. O lucro será máximo para x = 8 e y = 40.

b), onde a

2

+ b2 =

1.

b)

(6.J38 ' .J381), ' 6_ -_6_) ' .J38 ' .J38 - -- - --

é ponto de máximo' ( _ _

c)

(~, J...) ponto de mínimo.

á)

(.J2,

"

e ponto de rrummo.

é ponto de mínimo .

19 19

~) ponto de mínimo.

e) (2, 1) e ( - 2, - 1) pontos de máximo; ( - 2, I) e (2, - 1) pontos de mínimo. j) (- 1, I) ponto de mínimo.

g)

8.

10.

16.5

- - - - é ponto de máximo'

~) .

+ (y - 1)2 com a restrição y

2

= x .]

(~, 2~' ~} 2

+ Y2 + 2y2

=

32 ~ . ,( 8 16 12 ) 19' O ponto de tangencla e 19' 19' 19 .

(~, ~, - %). [Sugestão. Minimizef (x, y, z) = i + i + i

24 9 5) 9. ( 11'-11'11' [Sugestão. Minimize i 2x + y + z = 4.]

.. (49"' 9"1) rrumrruza. .. . 6. (O, 1) maxlrruza;

1. a)

8; o ponto de tangência é ( 2,

7. Valor máximo é 4, sendo atingido em (1, 1, 1). O valor mínimo é -4, sendo atingido em (-1,-1,-1).

4. Valor máximo é 25, sendo atingido em (O, 5).

(.J386' .J381) (_6.J38'___.J381_)

+ 161 =

4. (2,4). [Sugestão. Minimize f (x, y) = (x - 14)2

I.J

3. (0,2)

= t2Q (a,

Jr;)

(~, ±)

6. x

7. Observe que Q (at, bt)

(~, Jr; ) e (- ~, -

ponto de mínimo.

5. x "'"

ponto de máximo,

Valor

máximo é 25 que é atingido em 8 4 2 e) O único ponto crítico no interior de A é (O, O) que não é extremante. Assim, f assumirá ~_:- e rrummo ' . r' 2 + y2 = 4 d ) = f(2 cos t, 2 sen t) fomec os valores maAliUO na fonterrax eA ; g (t valores defna fronteira. O valor máximo é 4, sendo atingido nos pontos (O, 2) e (O -2~~ valor mínimo é -4, sendo atingido nos pontos (2, O) e (- 2, O). ' . j) Valor mínimo é O, sendo atingido em (O, O). Valor máximo é 2, sendo atingido nos pontos (O, 1) e (O, -1).

(4~, ~

13 7 17) ponto d " Ioc al . -7' e maxImo

(~, - ~) e (- ~, ~ )

j)

á) Valor mínimo é O e é atingido nos pontos (O, y), O ,,;; Y ,,;; 5, (x O) O,,;; x ~ 5 O

"

(~, 2~) e (~, - 2~) pontos de mínimo.

i) (1, 1) ponto de mínimo local; (

c) Valor máximo é O e é atingido nos pontos (O, y), O ,,;; Y ,,;; 1. O valor mínim é atingido em (1, O). o -2 e é

2.

469

Respostas, Sugestões ou Soluções

Vol.2

(_1.J2'__.J21_) ponto de mínimo'' (_1.J2___ 1_) e ( __.J2' 1__.J21_) pontos de máximo. '.J2

(

+i +i

com a restrição x

+ 2y -

com as restrições x + 2y

3z

+z=

= 4].

1e

2-..J66 , -, I 2+..J66) maxIrruza .. f .

636

11. (l, 1) e (- 1, - 1) são os mais próximos da origem; (.J3, tados. y

.J3)

e (-.J3,

.J3) são os mais afas-

470

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2

Observação. Sejam -: = (

-+ -+

Respostas, Sugestões ou Soluções

~, ",2~) e -: =

",2

tes de (x, y) na base ( u, v); isto é: (x, y)

(x, y)

=u

(-

-+

471

~, ",2~); sejam u e v as cornponen.

",2

-+v, ou seja,

=uu +v

,.

(~, ~) + v (- ~, ~). Verifique que a mudança de coordenadas

I :

I • ------~~~-------~x I I

I

101--_

:I

u2 transforma a equação dada na equação 2

v2

+-

= l.

-+ (13)-+ .JlO'.JlO e v = (31) - .JlO'.JlO são os versores de (I, 3) e (-3, 1).

6

Observe que u =

. 1 1) 12. ( -4 ' -4 . Venfique que a mudança de coordenadas x 2

transforma a equação dada na equação 2v - 2.J2 u

1 = '"

+

1

1

'" v, y = u + _1_ v "\12 "\12 .J2 .J2' 1 = O que é uma parábola. u-

14. (1, 1, 1). 15. 12 cada um. 16. Equilátero.

y

18. Cubo. 19. Cubo de aresta 1 m.

v, ,

20. Cubo de aresta

,,

.J3 .

21. Paralelepípedo de arestas

,

---'-:t(---'--=-=---- x

1:~1:::~:

Js

e

~.

= 2 e z = -.

+ 4y + 3z = 12..J3.

25. P = (2, 1) e Q = (

3

~,

4 3 23. Temperatura máxima 200. Temperatura mínima: -200.

22. x = 4, y

24. 6x

13. (1,3) e (-I, -3). A mudança de coordenadas 1

s.J2

%, %).

CAPÍTULO 17 17.1 u2

v2

transforma a equação dada na equação - 10 40

= 1 que é uma hipérbole:

14

1. a)

2. 3.

15

39 13 26) (14'14'14 7 2 13) ( 6'6'6

6

b) -

7

472

Um Curso de Cálculo -

Vai. 2

17.3

(~~}nãO 7 ' 14 '

1. a) 2.

b) (1, 1); sim

c)

2x + Y

(~2~}3M 14 ' 14 ' 14 '

==2.. n~ 7' ao

14

2 10

3. a) z = O

b) t = -

17.4

BIBLIOGRAFIA

1. a)

6 4 2 O~~-'----'----'----~----r-__- '__

2

3

4

5

6

-2

349

23

2

b) y= 350 x- 210 A

2. a)

c) R = 0,86532 (aproximado)

31

Y=15

b)

31 15

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