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C u r s o : Matemática Material N° 32 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 32 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES POTENCIAS – ECUACIÓN EXPONENCIAL – FUNCIÓN EXPONENCIAL PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Sea a  lR – {0} y m, n  . Entonces: 

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am · an = am + n



CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am : an = am – n

EJEMPLOS 1.

a3 · a2x · ax+1 = A) B) C) D) E)

2.

a3+3x a2-x a2+3x a4+3x a4+2x

11n+2 · 11n–3 · 11n = A) 113n–1 B) 113n+1 3

C) 11n

1

3

D) 11n +1 E) 111–3n 3.

x3 : x2+a · x3a+2 = A) B) C) D) E)

x3+4a x3–2a x3+2a x-1–4a x7+4a 1

4.

33a : 3a – 5 = 34a – 5 32a – 5 32a + 5 34a + 5 3a – 5

A) B) C) D) E)

2x  1

5.

2 3  

2 3  

2 ·   3

x+1

x  1

=

2x  1

A)

2 3  

B)

2 3  

2x + 1

2 C)   3

4x + 1

1  2x

2 D)   3

E)

6.

a7 · ab-1 · b2 : a5 = A) B) C) D) E)

7.

2x  1

3 2  

ab a11 · b a3 · b a · b2 a · b-1

33 · 3-2 : 34 · 32 = A) B) C) D) E)

3-5 3-2 3-1 30 32

2

Sean a, b  lR – {0} y m, n  . Entonces: 

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE am · am = (a · b)m



CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE am bm



m

a =  b

POTENCIA DE UNA POTENCIA (am)n = am · n

EJEMPLOS 1.

5n + 2 · 3n + 2 · (-7)n + 2 = A) B) C) D) E)

2.

(105)n + 2 (-105)n + 2 (105)3n + 2 (105)3n + 6 (-105)3n + 6

81a + 1 3a + 1

=

A) 33a + 1 B) 33a + 3 C) 3a + 1 D) 92a + 2 E) 272a + 1

3.

Si el producto de dos números a y b se eleva al cuadrado del recíproco de A) B) C) D) E)

(ab)2 (ab3)2 ((ab)-3)2 (ab)-9 (ab)9 3

-1 resulta 3

4.

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)? I) (-32)3 = (-3)6 12

1 II) (2-3)4 =   2 III) (5-3)5 = (55)-3

A) B) C) D) E)

5.

Si a = 0,1, b = 0,002 y c = 0,0003, entonces a · b · c = A) B) C) D) E)

6.

6 6 6 6 6

· · · · ·

10-8 10-6 1002 1003 108

(3x)4 : (4x)3= A) B) C) D) E)

7.

Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III

2-634x 263-4x 12x12 0,7512x 0,75x2

6 23 · 5 4 · 33 ·   5

A) B) C) D) E)

4

=

63 · 5 4 23 · 5 6 67 6-7 610

4

Sean a, b  lR – {0} y m, n  . Entonces: 

POTENCIAS DE IGUAL BASE am = an  m = n, con a distinto de -1 y 1



POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE a = b  an = bn, con n par a = b  an = bn, con n impar

ECUACIÓN EXPONENCIAL Ecuación exponencial es aquella que tiene la(s) incógnita(s) en el exponente de una o más potencias. Para resolver una ecuación exponencial se debe reducir cada miembro de la igualdad a una potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. Las bases deben ser distintas de cero, uno y menos uno. EJEMPLOS 1.

-3a

2 Si   3

A) B) C)

2a + 4

3 =   2

, entonces -a +

4 = 5

23 5 0 - 42 5

42 5 E) 16

D)

2.

Si (0,2)-2x : 125-3x = 53(x – 1), entonces x = A) -1 3 B) 8 C) 0 3 D) 2 3 E) 8 5

3.

Si 3a + 3a + 1 + 3a + 2 = 39, entonces 3a + 1 es A) -3 B) -2 C) 2 D) 3 E) 4

4.

Si 2p . 3q . 13r . 5n = 108 . 156, con p, q, r y n números enteros, entonces p + qn – r = A) B) C) D) E)

5.

1 2 3 4 5

La solución de la ecuación (0,00001)

4   2  5 x   

 1  =    10 

x

es

A) -4 B) -2 C) 1 D) 2 E) 4 6.

En los números reales, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones no es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

7.

Si x2 = y2, entonces x = y. Si x3 + a = y3 + a, entonces x = y. Si x3 = 33, entonces x = 3.

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III

2 En la ecuación   7

x+2

 49  =    4 

-x + 3

, ¿cuál es el valor de x?

A) 2 -3 B) -5 ∙ 2-1 C) -3-1 ∙ 22 D) 22 E) 23 6

FUNCION EXPONENCIAL La función f exponencial.

definida

por

f(x) = ax, con a  lR+ y a  1

se

denomina

función

Propiedades El Dominio es: Df = lR El recorrido es: Rf = lR+ La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,1). Si a > 1, entonces f(x) = ax es creciente. Si 0 < a < 1, entonces f(x) = ax es decreciente. La gráfica no intersecta al eje de las abscisas.

     

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL f(x) = 2x

1) x

f(x)

y

1 4 1 2

-2 -1 0

1

1

2

2

4

1 f(x) =   2

2)

f(x) = 2x

4

1 -2 -1

1 2

x

f(x)

-2

4

-1

2

0

1

1

x

2

1 2 1 4

x

1 2

f(x) =  

y

x

4 1 -2 -1

1 2

x

EJEMPLOS 1.

Con respecto a la función f(x) = 2-x, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera? A) B) C) D) E)

2.

La función es creciente. f(3) = 8. La gráfica intersecta el eje de las ordenadas en el punto (1,0). La gráfica intersecta al eje de las abscisas en el punto (1,0). f(2) < f(-2)

Si se tiene la función f(x) = 4x FALSA(S)? I) II) III) A) B) C) D) E)

+ 1

, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

La función f(x) es decreciente. f(-3) = 2-4 f(2) > f(-2)

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III 7

3.

x

1 Dada la función f(x) =   , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 9 verdadera(s)?

I) II) III) A) B) C) D) E)

4.

f(x) es una función decreciente. Su recorrido son los lR+ y corta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). 1 1 f(1) = y f(2) = 9 81

Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III

1 Si f(x) =   9

2x

, entonces

1 1 f(-1) + f(0) – 9f   = 9 2

A) 9 B) 1 C) -1 D) -9 E) -10 5.

Para que f(x) = akx sea una función decreciente se debe cumplir siempre que A) B) C) D) E)

a a a 0 0

> > < < <

1 1 1 a<1 a<1

y y y y y

k 0 k k k

> < > < >

1 k<1 1 1 1 RESPUESTAS Ejemplos

1

2

3

4

5

6

7

1y2

D

A

C

C

B

C

C

3y4

B

B

E

D

A

A

C

5y6

C

B

E

D

D

C

E

7y8

E

A

E

A

E

Págs.

DMCAMA32

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