Antología Resolución De Problemas Matematicos.docx

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LIC. SUSANA EURIDICE CORTÉS MARTÍNEZ. LIC. LAURA PAULINA ZACARIAS PADILLA

PROGRAMA FORTALECIMIENTO PARA LA CALIDAD EDUCATIVA DEPARTAMENTO PARA EL DESARROLLO DE LA CALIDAD EDUCATIVA DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ELEMENTAL SERVICIOS EDUCATIVOS INTEGRADOS AL ESTADO DE MÉXICO

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Índice Página

Introducción………………………………………………………………... Justificación………………………………………………………………... Resolución de problemas………………………………………………… Importancia de resolver problemas……..………………………………. Estrategias para resolver problemas …………………………………… Papel del maestro en la resolución de problemas…..………………… Los problemas en la escuela primaria…………………………….……. Resolución de problemas matemáticos y formación práctica de los maestros………………………………………………………………….... Dificultad y alternativas en la resolución de problemas…….………… Fundamentos

de

las

matemáticas

y

la

resolución

de

problemas………………………………………………………………….. Planteamiento y resolución de problemas y matemáticas en la escuela primaria…………………………………………………………… Bibliografía………………………………………………………………….

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Introducción

El bajo rendimiento en matemáticas no es un conflicto de incapacidad de aprendizaje, sino de métodos de enseñanza mecánicos e inflexibles. Generaciones completas han sido marcadas por la memorización para resolver una raíz cuadrada o una ecuación a través de procesos que, muchas veces, ni el profesor comprende. Desde hace más de una década se ha venido plateando de manera reiterada a través de más de una bibliografía por demás abundante, una profunda crítica a la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles educativos Estos problemas están relacionados en mayor o menor medida, con los bajos resultados obtenidos en el aprendizaje de la matemática escolar en las últimas décadas. El presente documento se desarrolla en el marco de las actividades del Programa de Fortalecimiento para la Calidad Educativa del Departamento para el Desarrollo de la Calidad Educativa de la Dirección de Educación Elemental pretendiendo que el Docente conozca, valore y analice diversas estrategias que utilizan los alumnos para la resolución de problemas, aplicando los métodos y técnicas de enseñanzaaprendizaje de las matemáticas utilizando diferentes materiales de apoyo tales como, artículos, reportes de investigación, problemario, libros de texto gratuito, libros para el maestro y materiales de apoyo proporcionados por la Secretaria de Educación Pública a los Docentes de Escuelas Primarias.

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Justificación Los contenidos sobre los números y operaciones básicas son de lo que más trabajan los maestros. Les dedican gran parte de tiempo en las clases de Matemáticas. Y sin embargo, los resultados de los exámenes Planea (Plan Nacional para la Evaluación de los aprendizajes) revelan que muchos de los estudiantes evaluados presentan limitaciones y dificultades en la comprensión y el manejo de los números. Asimismo, las actitudes de nuestros alumnos hacia el trabajo con los números son, frecuentemente, negativas. El principal propósito de este material es mostrar a los docentes que el desarrollo del sentido numérico puede dotar de significado a los conocimientos que los alumnos constituyen en sus clases así como lograr que los alumnos piensen, comenten y aprendan de este modo vivan con agrado el trabajo con los números. Se busca que el Docente enfrente con éxito desafíos como: lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta la manera de resolver los problemas que se les plantean; que los alumnos se acostumbren a leer y analizar los enunciados de los problemas; lograr que los alumnos aprendan a trabajar de manera colaborativa, lo que es importante porque ofrece la posibilidad de expresar sus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los demás; que el alumno aprenda a aprovechar el tiempo de la clase y que el docente supere el temor a no entender cómo piensan los alumnos

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La palabra problema es frecuentemente utilizada en el lenguaje común y en matemáticas y, en ambos casos, puede tener varios significados.

El diccionario de la Real Academia Española de la Lengua (2014) señala cinco acepciones para el vocablo ’problema’: 1. Cuestión que se trata de aclarar. 2. Proposición o dificultad de solución dudosa. 3. Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin. 4. Disgusto, preocupación. 5. Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos.

Para la mayoría de las personas la idea de problema de matemáticas es la actividad que se propone a partir de un enunciado, normalmente escrito, con una estructura cerrada, y cuya resolución supone la aplicación inmediata de unos conocimientos (usualmente algoritmos específicos) previamente adquiridos. La perspectiva llamada ‘Enseñanza para la resolución de problemas’, que asume que para desarrollar esta actividad sería necesario estudiar y conocer previamente los contenidos matemáticos y las técnicas operatorias para poder aplicarlas a alguna situación, real o matemática, planteada. Sin embargo, y dentro de este esquema tradicional, se establece una diferencia entre lo que sería llamado típicamente problema y los meros ejercicios para practicar rutinas usuales en la enseñanza de los procesos matemáticos. Entenderíamos cómo ejercicios cuando la actividad plantea reconocer el resultado de un proceso o recordar una propiedad (“3 + 7 > 2 + 5. ¿Verdadero o falso?”), el reconocimiento o resolución de un algoritmo (“Resolver la ecuación x2 -3x-5=0”).

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Y los distinguiríamos de los problemas al señalar la importancia de que haya algo que buscar o un enigma que aclarar dentro de un contexto que debe estar, explícita o implícitamente, bien definido. “Calcular el área de un rectángulo sabiendo que su base mide 4 metros y su altura 3 metros” o “En una fiesta hay 30 personas, de las que 2/5 son niños y 3/5 niñas. ¿cuántas personas hay de cada género?”.

Es decir, es necesario precisar a qué nos referimos cuando hablamos de los problemas y cuestionar algunas de las actividades que han sido tradicionalmente tomadas como tales. Es decir, una actividad puede resultar un problema en algún momento al presentar alguna dificultad en su resolución y dejar de ser un problema cuando ya hemos asimilado el procedimiento de solución. Asumiendo esta aportación, tendríamos que entender que un problema es una relación particular entre la tarea y la persona que trata de resolverla. Y, así utilizar la palabra problema para referirse a una tarea que tiene dificultad para el individuo que está tratando de resolverla.

La resolución de una misma actividad puede representar un problema para una persona y no para otra. Así, resolver la tarea “En una fiesta hay 30 personas, de las que 2/5 son niños y 3/5 niñas. ¿cuántas personas hay de cada género?”, puede que algunos de las personas que resolverán queden en aprietos al tener dificultades con el uso de los números fraccionarios pero para otros puede ser una mera rutina de cálculo.

El propósito general planteado en el Plan de Estudios de Educación Primaria, sugiere que alumno adquiera conocimientos básicos de las matemáticas y a su vez desarrolle capacidades y habilidades que le permitan que existe calidad de aprendizaje. Además los niños deben interesarse y encontrar significado y funcionalidad a las matemáticas, que les ayude a valorar y utilizar como instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas en diversos contextos de su interés.

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Dichos propósitos deben guiar la práctica docente, en relación al proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, ya que pertenecen al desarrollo conceptual y procedimental del alumno.

Desde hace algunos años se pretende que la manera en que se aborden los contenidos aritméticos dentro del salón de clases sea a partir de la resolución de problemas, pues no es lo mismo que los niños repitan hechos numéricos aprendidos de memoria y sin sentido a que desarrollen competencias numéricas que les permitan aplicarlos en diferentes situaciones. Lo que se busca es el desarrollo de una habilidad para el manejo de los números, que si bien se vincula directamente con los contenidos de la aritmética, su objetivo va más allá de aprender técnicas y procedimientos, pues busca que los alumnos desarrollen una flexibilidad de pensamiento que les permita transitar por diferentes representaciones numéricas. En este sentido, no sólo es importante que los estudiantes conozcan hechos numéricos, como saber que 5 x 10 = 50, sino que puedan ver 50 como la mitad de 100 o el doble de 25, y que desarrollen un pensamiento reversible, por ejemplo, que se den cuenta que si 16 x 30 = 480 entonces 480 ÷ 16 = 30 y 480 ÷ 30 = 16.

Resolver problemas es una actividad natural que practicamos todos los días, es encontrar una solución que no es aparente.

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IMPORTANCIA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Si bien es cierto que el desarrollo del conocimiento matemático se debe, en gran parte, a la resolución de los problemas que matemáticos y otros científicos se han planteado a lo largo de la historia, no es sino hasta los trabajos de George Polya, en 1945, cuando esta actividad comienza a considerarse importante en la educación matemática. Preocupado por el fracaso de la mayoría de sus estudiantes y con la idea inicial de establecer un método que pudiera servirles para aprender matemáticas, Polya propuso un método que puede ser interpretado como una propuesta de enseñanza, o bien, de aprendizaje. Los argumentos emitidos en este método se convirtieron en un paradigma que trajo consecuencias importantes para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

En efecto, sus planteamientos teóricos y metodológicos se convirtieron en la línea de investigación que mayor progreso y desarrollo han procurado a la educación matemática. Pero esto no ocurrió inmediatamente, no fue sino hasta la década de 1970 cuando empezó a reconocerse ampliamente el trabajo de Polya, una vez que la naciente comunidad de educadores matemáticos vio en su método una metodología útil para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, estableciendo así una nueva línea de investigación y desarrollo. Además, a Polya se debe la incorporación de los procesos heurísticos y el monitoreo y control como ingredientes fundamentales en la resolución de problemas y, por tanto, en la educación matemática.

Polya estableció que la resolución de problemas es una característica esencial que distingue a la naturaleza humana y cataloga al hombre como "el animal que resuelve problemas". Siendo un matemático productivo, se preocupó por el mal desempeño de sus estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas, particularmente al resolver problemas. Creía que era posible llevar al salón de clases su experiencia como matemático cuando se encontraba resolviendo problemas y, de esta manera, ayudar a los estudiantes. Analizó los diálogos que regularmente realizaba consigo

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mismo, cuando se encontraba inmerso en el proceso de solución y sistematizó un método que puede ser útil a los estudiantes al resolver problemas.

Con él, pretendía dar las herramientas necesarias para incursionar, con sentido, en la realización de acciones y reflexiones que condujeran a los estudiantes a encontrar la solución. Propuso que el profesor apoye y oriente inicialmente a los estudiantes a desarrollar los procesos de resolución de problemas en los que intervienen la heurística y la reflexión, con la intención de que después los estudiantes puedan seguir por sí mismos estos procesos.

Polya distingue cuatro fases en la resolución de problemas: comprender el problema, diseñar un plan; ejecutar el plan y examinar la solución obtenida. Además, establece que existen dos tipos de problemas: rutinarios y no rutinarios. Los problemas rutinarios son aquellos que, teniendo interés en resolverlos, el que los enfrenta encuentra el camino de solución de manera casi inmediata, no requieren un esfuerzo mental extraordinario para visualizar el método, el trazo, el algoritmo o el lugar donde puede consultarse una idea para su solución. En cambio, los problemas no rutinarios requieren esfuerzo y meditación antes de que se vislumbre alguna idea para la solución. Esta clasificación es relativa, pues para algún estudiante resolver un problema puede significar un esfuerzo demasiado grande, para otro puede ser menor el esfuerzo realizado, y puede significar un acto de simple recordatorio para un matemático talentoso o un estudiante con entrenamiento.

Las acciones físicas o mentales que contribuyen a encontrar pistas o ideas que ayudan a resolver los problemas fueron identificadas por Polya como procesos heurísticos; algunas veces son trazos, toma de valores extremos, aplicación de resultados conocidos, comparaciones, visualizaciones, descarte de posibilidades, etc., los cuales necesariamente se combinan con los procesos de reflexión (autorreflexión).

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Schoenfeld (1985) profundiza y complementa el trabajo de Polya; incorpora y justifica la dimensión cognitiva en el proceso de resolución de problemas. Llama metacognitivos a los procesos de reflexión que están asociados a las acciones mentales de monitoreo y control que actúan implícita y continuamente mientras se resuelven problemas; es una habilidad que se va desarrollando y ayuda a identificar desviaciones y contradicciones que se cometen en el camino de solución. Para Schoenfeld, las indicaciones que permiten avanzar en el método propuesto por Polya equivalen a hacer un inventario de lo que el estudiante sabe y de la manera en la que adquirió los conocimientos.

Además, Schoenfeld considera que, para entender el proceso llevado a cabo por quienes resuelven problemas matemáticos e incidir en la instrucción, es necesario considerar la disciplina, la dinámica del salón de clases y el aprendizaje junto con el proceso de pensar, es decir, se necesita incorporar el conocimiento de los matemáticos, profesores de matemáticas, educadores y especialistas de las ciencias cognitivas. Se destaca la importancia de considerar la resolución de problemas como el eje central de las matemáticas escolares y se promueve el desarrollo de estudios e investigaciones relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se propone la resolución de problemas como una actividad fundamental que los estudiantes deben realizar de manera individual y colectiva, pues propicia un ambiente para lograr un aprendizaje significativo que implica la intervención de otros procesos de pensamiento como son: la búsqueda de conexiones, el empleo de distintas representaciones, la necesidad de justificar los pasos dados en la solución de un problema y comunicar los resultados obtenidos.

Con este tipo de actividades, se espera que los estudiantes desarrollen ciertas habilidades para el estudio y entendimiento de las matemáticas, las cuales están vinculadas con los aspectos característicos del quehacer de las matemáticas, es decir, con acciones cotidianas que realiza una persona que se encuentra inmersa en

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resolver

problemas.

Schoenfeld

identifica

estas

acciones

como

las

características del pensamiento matemático: tomar casos particulares, plantear conjeturas, descubrir patrones y relaciones, hacer generalizaciones y justificar resultados. También reconoce que el aprendizaje de las matemáticas es un proceso continuo que se ve favorecido en un ambiente de resolución de problemas, donde los estudiantes tienen oportunidad de desarrollar modos de pensar consistentes con el quehacer de la disciplina.

Así, el reto en la instrucción matemática es generar condiciones de aprendizaje para los estudiantes en las que se reflejen valores propios relacionados con el desarrollo de la disciplina. En particular, el salón de clases debe promover actividades y hábitos consistentes con la práctica real de la disciplina. Para desarrollar los hábitos apropiados y la disposición para interpretar y encontrar sentido a las ideas matemáticas y el desarrollo de modelos apropiados de pensamiento matemático, la comunidad de práctica en donde los estudiantes aprenden matemáticas debe soportar y desarrollar las maneras de pensar de la práctica matemática. Esto es, el salón de clases debe ser comunidades en las que el encontrar sentido a las ideas debe ser lo que se espera que los estudiantes practiquen.

Cuando los estudiantes aprenden a resolver problemas, desarrollan procesos de pensamiento ordenados que, poco a poco, se van convirtiendo en una habilidad para encontrar estrategias adecuadas para determinado tipo de problemas, lo cual permite el desarrollo de nuevas comprensiones matemáticas. Se debe animar e involucrar a los estudiantes en la resolución de problemas, se debe propiciar el espíritu de aferrarse a encontrar y formular una solución cuando intentan resolver un problema complejo. Para aprender a resolver problemas en matemáticas, los estudiantes deben adquirir formas de pensamiento, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza en sus acciones para explorar situaciones desconocidas. Esto contribuye a un dominio de situaciones similares y a la adquisición de la capacidad de exteriorizar ideas matemáticas.

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El contexto de los problemas puede variar de experiencias que son familiares a los estudiantes hasta aplicaciones involucradas con las ciencias. La idea es que en los problemas se involucren los conceptos matemáticos importantes del currículo y, si se hace una buena elección respecto al nivel y familiaridad con los estudiantes, se pueden lograr avances en el aprendizaje matemático que, posteriormente, será el soporte para atacar y resolver problemas más complejos. A los profesores les toca representar el importante papel de elegir problemas que valgan la pena, pues su resolución debe ser útil para ayudar a los estudiantes a desarrollar dominios de contenidos con técnicas específicas.

En general, se acepta que las matemáticas nos ayudan a organizar y ordenar nuestros pensamientos, nos hacen competentes tanto para el desarrollo de diversas actividades intelectuales como hacia los demás. Sin embargo, a pesar de estos puntos destacables, la mayoría de las personas tienen dificultades y muestran deficiencias en el aprendizaje de las matemáticas; algunas de las posibles razones son: los alumnos no tienen la oportunidad de entender la importancia de lo que significa aprender matemáticas, el currículo que se ofrece es demasiado rígido y los estudiantes no están comprometidos con el aprendizaje de las matemáticas.

En la enseñanza efectiva, se emplean tareas que poseen cualidades para introducir ideas matemáticas importantes y para comprometer y retar intelectualmente a los estudiantes. Las tareas seleccionadas pueden despertar la curiosidad de los estudiantes y atraerlos hacia las matemáticas, ya que pueden ser conectadas con experiencias del mundo real de los estudiantes, y ello puede originarse en contextos que son puramente matemáticos. La solución de tales tareas puede hacerse desde distintos caminos. Pero estas tareas por sí solas no son suficientes para una enseñanza efectiva. Los profesores también deben decidir cuáles aspectos de una tarea deben resaltarse, cómo organizar y orquestar el trabajo de los estudiantes, cuáles preguntas hacer al considerar una variedad de experiencias y cómo apoyar a los estudiantes que no han realizado los procesos de pensamiento sin eliminar el reto que contiene la tarea.

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El aprendizaje de las matemáticas involucra el desarrollo de cierta disposición de los estudiantes para explorar e investigar relaciones matemáticas, emplear distintas formas de representación al analizar fenómenos particulares, usar distintos tipos de argumentos y comunicar resultados. Esta disposición matemática resulta relevante en los procesos de refinar los acercamientos iniciales de los estudiantes.

En la resolución de problemas, siempre es posible observar varios niveles y tipos de respuesta, una de las cuales es la mejor, dependiendo del propósito y las circunstancias, y los estudiantes deben adquirir la capacidad de juzgar su valor relativo o buscar formas alternativas de pensar el problema. De otra manera, el estudiante no tiene modo de saber que debe ir más allá de la forma inicial de pensar el problema y tampoco tiene manera de juzgar las ventajas y desventajas de un modo alternativo de pensar.

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ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Una idea generalizada es que para resolver un problema se necesita conocer primero el recurso convencional de cálculo (operaciones, ecuaciones, etcétera). De hecho, lo que sucede, como mencionamos, es que hay una confusión entre los dos elementos implícitos en la solución de un problema: los docentes se preocupan sobre todo por la estrategia de cálculo que permite la solución y minimizan o ignoran la relación semántica que debe establecerse entre los datos del problema. Esta relación semántica se realiza en apego al razonamiento matemático y en función de la experiencia y el conocimiento del sujeto que resuelve el problema. Revisemos a través de un ejemplo lo dicho. Supongamos que queremos resolver el siguiente problema: En una fábrica se hacen archiveros de cuatro y seis cajones. Si hay 28 cajones para hacer 6 archiveros, ¿cuántos archiveros de cada tipo se pueden hacer? En esa ocasión la mayoría de los participantes logró resolver el problema de los archiveros con algunas variantes en el procedimiento. Sin embargo, nadie recurrió a la estrategia convencional (sistema de ecuaciones). Cuando se les preguntó si sabían lo que debían hacer para resolver ese problema de acuerdo con las matemáticas (solución convencional), algunas respuestas fueron: múltiplos, distributiva, regla de tres, conteo, operaciones. Otras educadoras, en lugar de contestar a esa pregunta querían responder: ¿qué es necesario para resolver un problema? Fue así que dijeron: “(es necesario) pensar”, “(hace falta) leer bien el problema”, “con lógica”, “poner atención” (¿a qué?, ¿a las explicaciones del maestro?). También hubo quienes se aventuraron a sancionar las prácticas de enseñanza dominantes: “Si los niños están mecanizados, no se puede (esperar que resuelvan problemas)”. No obstante la diversidad de respuestas, no se mencionó la estrategia convencional: los sistemas de ecuaciones lineales, que más adelante revisaremos.

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Conviene precisar que el recurso de solución de las educadoras fue aritmético, porque cuentan con conocimiento sobre los números y sus relaciones (4 x 4 = 16; 28 –16 = 12; 2 x 6 =12; 12 + 16 = 28) y desde luego recurrieron al cálculo mental con el apoyo de algunos datos. Ciertamente, este conocimiento es importante pero no suficiente, ya que la posibilidad de encontrar la respuesta realmente estuvo en que pudieron establecer la relación correcta entre los datos. Es decir, controlaron la relación entre el total de cajones (28), el total de archiveros (6) y el número de cajones (6 y 4) que deberían tener los archiveros. Efectivamente, no sólo se trataba de multiplicar o saber las tablas de multiplicación del 4 o del 2, o saber sumar (recursos de cálculo), porque en este caso la operatoria para resolver es 4 x 4 = 16, 2 x 6 = 12 y 16 + 12 = 28, y hacer esta elección entre los distintos productos y sumas posibles entre el 4, el 6 y el 28 proviene de lograr establecer la relación entre estos números en el contexto del problema. Un problema equivalente es resuelto por los niños de primer grado, pero como no tienen el conocimiento aritmético desplegado por las educadoras, recurren –como es de esperarse– a lo que todo sujeto cognoscente puede acceder: sus conocimientos y experiencias, que para los niños de ese grado son el dibujo y el conteo. El razonamiento de los niños se describe a continuación, aunque cabe aclarar que para efectos de este texto, se traslada su estrategia al mismo problema planteado a las educadoras. Ellos dibujan los archiveros (6) y a todos les ponen 4 cajones.

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Cuentan los cajones “utilizados” (24) y encuentran que faltan 4 cajones por repartir, éstos los distribuyen de 2 en 2 para hacer archiveros de 6 cajones y así encuentran que con los 28 cajones se pueden hacer 2 archiveros de 6 cajones y 4 archiveros de 4 cajones.

Quizá se podría caer en la tentación de pensar: ¿para qué sirve el conocimiento aritmético si el problema se puede resolver con dibujos y el conteo? Porque si en lugar de que el problema tenga como datos 6 archiveros y 28 cajones, planteara que son 1 020 cajones y con éstos se hacen 210 archiveros de 6 o 4 cajones, el cálculo mental y las relaciones aditivas y multiplicativas de los primeros números (4 x 4, 2 x 6, 16 + 12), que tan útiles resultaron para resolver el problema de los 28 cajones, se revelan insuficientes para esta situación, y los dibujos también, porque aunque se puedan dibujar, nadie está dispuesto a hacerlo con los 210 archiveros. Realmente se necesita de otro recurso, de un nuevo conocimiento, que viene a ser un mayor dominio de lo aritmético. Sin pretender minimizar la importancia del conocimiento aritmético y/o algebraico, conviene precisar que sirve de poco tenerlos, si en el proceso de aprendizaje estos conocimientos no tienen la oportunidad de instalarse como herramientas para resolver problemas. En este punto el conocimiento matemático encuentra su sentido y utilidad para la educación básica. Ahora bien, si frente al problema planteado la mayoría de los niños no sabe qué hacer, una de dos: están acostumbrados a recibir ayuda y por tanto la están esperando. En este caso, el docente tendría que preguntarse qué significa para el posibilitar el desarrollo de competencias en sus alumnos, o bien, el problema rebasa las posibilidades cognitiva de sus alumnos.

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Pero si se observa que dos o tres niños van por buen camino es recomendable que el docente les proponga que expliquen a sus compañeros lo que están haciendo. Recordemos que la socialización de conocimiento entre pares es un componente importante en el proceso de aprendizaje. No obstante hacer esto, los docentes no pueden permitirse pensar que el asunto ha quedado resuelto para todo el grupo; es necesario que reflexionen sobre lo que les falta saber y trabajar con ello para retomar el asunto en otras clases, con algún problema equivalente y observar si más niños muestran posibilidades de resolverlo. 1. Analizar el problema Consiste en identificar la información dada y lo que se quiere. Requiere decidir qué información es necesaria para resolver el problema. Se recomienda hacer una recopilación de datos. 2. Hacer un modelo Usar materiales para simular la situación del problema. Ejemplo: Puede representar la situación como en una obra de teatro. 3. Usar proposiciones numéricas Se sugiere usar proposiciones numéricas para ayudar a organizar la información y completar los cálculos. 4. Organizar datos en una tabla, cuadro o gráfica Organizar y hacer una representación gráfica de la información. A menudo es más fácil interpretar una predicción cuando la información respecto al problema está en una tabla, cuadro o gráfica. 5. Trabajar de atrás para adelante En ocasiones es útil comenzar con la respuesta o la condición dada y trabajar de atrás para adelante para ver lo que provocó la situación final. 6. Estimar y comprobar

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Es recomendable pensar una respuesta razonable y comprobarla para saber si es la solución verdadera. 7. Buscar un patrón Organizar la información y tratar de hallar una regularidad o un patrón conforme a los datos. 8. Usar razonamiento lógico Consiste en proceder de un paso a otro basándose en una nueva información. 9. Resolver un problema más sencillo Tratar de resolver un problema semejante que use menos números o menos condiciones especiales; también puede basarse en un problema que haya resuelto con anterioridad; también resulta efectivo separar el problema en subproblemas. 10. Hacer un dibujo El proceso de hacer un dibujo ayuda a organizar la información con la finalidad de ver nuevas relaciones que no eran claras anteriormente.

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PAPEL DEL MAESTRO EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es necesario que el maestro pueda crear en el aula una atmósfera que invite a todos a investigar, a aprender, a construir su aprendizaje, y no sólo a seguir lo que él hace o dice. El rol del maestro no es sólo proporcionar información y controlar la disciplina, sino ser un mediador entre el alumno y el ambiente. Dejando de ser el protagonista del aprendizaje para pasar a ser el guía o acompañante del alumno.

El proceso de enseñanza-aprendizaje se realiza en cualquier asignatura y, según los paradigmas actuales sobre las teorías del aprendizaje, el maestro es quien motiva, dirige y controla el aprendizaje de manera que los alumnos sean los protagonistas activos del mismo; el rol del maestro cambia “los nuevos modelos educativos demandan que los docentes transformen su rol de expositores del conocimiento al de monitores del aprendizaje, y los estudiantes, de espectadores del proceso de enseñanza, al de integrantes participativos, propositivos y críticos en la construcción de su propio conocimiento.” (Dr. Rubén Edel Navarro) Bien es cierto que las matemáticas son una herramienta para el aprendizaje de la realidad y sin embargo la figura del profesor en muchas ocasiones aún, es la de mero trasmisor de conocimientos, que al referirse a entes abstractos en la mayoría de las ocasiones, muchos de los alumnos que no hayan adquirido la suficiente madurez, no comprendan nada, es el caso de la enseñanza mecánica que se suele utilizar con las operaciones, aisladas de contexto y sin un razonamiento que les haga modificar sus códigos de aprendizaje, salvo la memoria, en cuyo caso, al ser un tema carente de significado, terminan olvidando y a unas buenas, comenten errores, tanto en su aplicación en la resolución de problemas como en su ejecución; podemos generalizar que ocurre tanto para el aprendizaje de la aritmética como para la geometría, las magnitudes o el razonamiento lógico, en consecuencia la mayoría de los estudiantes suelen rechazar las matemáticas, por resultarles incomprensibles y por ello difíciles, es necesario y urgente que el maestro de

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matemáticas cambie su enfoque tradicional tal y como lo propone el plan de estudios.

Además de permitirle al alumno resolver el problema, el maestro juega cuatro papeles importantes: 1. Orientar  Ofrecer sugerencias en lugar de respuestas.  Ofrecer un modelo para resolver problemas.  Enseñar una variedad de estrategias para resolver problemas.  Darles a los alumnos suficiente tiempo para luchar con el problema y buscar la solución.  Escoger problemas que tengan varias partes y requieran tiempo para pensar en la solución.  Presentar una variedad de problemas.  Permitirles a los alumnos que practiquen las habilidades y las estrategias.

2. Hacer Preguntas  Pedirles a los alumnos que expliquen sus estrategias.  Pedirles a los alumnos que comparen estrategias.  Pedirles a los alumnos que resuelvan el mismo problema de maneras diferentes.  Pedirles a los alumnos que resuelvan diferentes problemas con la misma estrategia.  Las preguntas ayudan a los alumnos a ganar flexibilidad en la solución de problemas.  Pedirles a los alumnos que reflexionen sobre cómo solucionaron un problema.

3. Fuentes de estímulos y apreciación.  Valorar diferentes soluciones y estrategias.

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 Incentivar a los alumnos para que busquen más de una solución a un mismo problema.  Alentar a los alumnos a que tomen el tiempo prudencial para resolver problemas.  Felicitar a los alumnos cuando uses estrategias acertadas, aunque no encuentren la solución del problema.  Estimular a los alumnos a proseguir en su intento y a aprender de sus propios errores.  Tratar de que los alumnos comprendan que resolver un problema es difícil, pero puede ser gratificador.

4. Servir de modelo  Tener una actitud positiva frente a la solución de problemas.  Hacer de la solución de problemas una prioridad importante.  Hacer que los alumnos sepan que resolver problemas es una parte significativa de su programa.  Buscar y comentar situaciones que tengan que ver con la solución de problemas donde quiera que ocurran.  Presentar el proceso de enseñanza y aprendizaje en forma de problemas que deben ser resueltos.  Usar los juegos de manipuleo, los cuadros y las gráficas.  Usar las estrategias y el vocabulario de solución de problemas.

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LOS PROBLEMAS EN LA ESCUELA PRIMARIA En los trabajos sobre educación matemática podemos encontrar aportaciones que tratan de clarificar el significado del vocablo ‘problema’ y de la expresión ‘Resolución de Problemas’, entre ellos Schoenfeld (1985), Gaulin (1986), Schroeder y Lester (1989), Blanco (1993), Puig (2008) y Pino (2013). En términos generales, podríamos señalar un acuerdo en tres acepciones diferentes sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas: i. Enseñanza para la resolución de problemas; ii. Enseñanza sobre la resolución de problemas y iii. Enseñanza vía resolución de problemas, esto es: Las actividades propuestas a los estudiantes les permiten aplicar sus conocimientos matemáticos en la resolución de problemas tomados de diferentes fuentes, intra o extra matemáticos. La enseñanza para la resolución de problemas es una consideración tradicional respecto del papel de la Resolución de Problemas (RP) como aplicación de la teoría, previamente estudiada. Esta acepción se refleja en los libros de texto al situar los problemas al final de los capítulos o después de la introducción de algún concepto o algoritmo. De esta manera, los problemas se resolverían de acuerdo a los procedimientos señalados en el capítulo. La referencia a la aplicación de conocimientos matemáticos a través de la RP es continua. La enseñanza sobre la RPM se centraría en trabajar para que los alumnos experimenten y asuman diferentes formas de abordar los problemas, tanto desde lo cognitivo como lo afectivo. En esta línea, se centran los esfuerzos en trabajar diferentes fases sobre resolución de problemas, y en favorecer la reflexión y discusión sobre el propio proceso. Desde esta perspectiva, la resolución de problemas se constituye en un contenido específico y una actividad compleja que los alumnos deben aprender a desarrollar. Finalmente, podríamos considerar las situaciones problemáticas como punto de partida que permiten generar y consolidar conocimientos matemáticos. Ello ayuda a crear una atmósfera de investigación orientada y de resolución de problemas necesaria para la construcción del conocimiento matemático. La resolución de problemas como metodología o como contexto para el aprendizaje aparece

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reiteradamente en numerosos currículos, si bien es cierto que su plasmación en el aula sigue siendo muy escasa. La consideración de la RP como metodología, reflejada de manera expresa en las propuestas curriculares de los últimos 20 años, no acaba de reflejarse de manera clara en la práctica docente (García, 2009). La resolución de problemas como contenido en el currículo de matemáticas Janeth A. Cárdenas Lizarazo y Lorenzo J. Blanco Nieto En Blanco y Cárdenas (2013) y Cárdenas (2014) se analiza ampliamente el significado de la resolución de problemas como contenido justificando esta perspectiva desde las publicaciones específicas de resolución de problemas de matemáticas y desde los currículos de primaria y secundaria. Específicamente, en el currículo de la Comunidad Autónoma de Extremadura (Decreto, 2007), cuando se hace referencia a la enseñanza en el nivel de primaria, podemos encontrar la siguiente referencia: “Los contenidos asociados a la resolución de problemas constituyen la principal aportación que desde el área se puede hacer a la autonomía e iniciativa personal” (Decreto, 2007, p. 7911). El currículo incide, en diferentes ocasiones, en la importancia de la RPM como una actividad que debe considerarse específicamente en la enseñanza de las matemáticas para su aprendizaje señalando diferentes sugerencias para que los alumnos aprendan a resolver problemas. No obstante estas recomendaciones, autores como Schoenfeld (2007) o Pino y Blanco (2008) indican el escaso reflejo que se tiene de esta perspectiva (Enseñanza sobre la resolución de problemas) en los libros de texto. En España hubo un intento de introducir ‘estrategias para la resolución de problemas’ en el libro de texto de Guzmán, Cólera y Salvador (1991), que desgraciadamente se abandonó a los pocos años. En el artículo citado de Blanco y Cárdenas (2013) se establecen siete categorías, diferentes, a modo de contenidos específicos que los profesores deberían considerar en su enseñanza sobre la resolución de problemas y que se encuentran en el currículo de matemáticas (Figura 1).

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Resolver el problema Cuando observamos los cuadernos de los alumnos de primaria con la tarea de resolver problemas encontramos una cierta desorganización y falta de rigor en los modos en los que los alumnos los resuelven. Así, podemos encontrar expresiones como dos por tres, son seis, más cuatro son 10 que encuentran su reflejo numérico en: ‘2 x 3 = 6 + 4 = 10’ Son expresiones que al ser oídas parecen correctas, y que se corresponderían con una forma de hablar, pero que escritas así, en la pizarra o en el papel, expresan operaciones e igualdades erróneas. A este respecto, el currículo sugiere algunas recomendaciones que los profesores debieran considerar sobre el proceso de solución del problema: La dificultad de un problema para un niño revela numerosos aspectos y estamos lejos de identificarlos todos, sin embargo, podemos proponer actividades que han resultado muy fructíferas para los niños. Siempre tomando en cuenta que un objetivo fundamental de la escuela primaria es enseñar a los niños a resolver los problemas. Revisión del problema, del resultado y toma de decisiones Usualmente los alumnos rodean con colores la solución obtenida en el tercer paso y dan por concluida la actividad. No obstante, consideramos necesario reflexionar, cognitiva y afectivamente, sobre el trabajo realizado y sobre los resultados obtenidos

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para facilitar la transferencia de conocimiento a situaciones posteriores. Y esto es recogido en el currículo cuando, por ejemplo, se refiere a “la importancia de comprobar, valorar su coherencia” (Decreto, 2007, p. 7912) y comunicar, el resultado obtenido, ya que ello es lo que “permite hacer frente a otros problemas o situaciones con mayores posibilidades de éxito” (Decreto, 2007, p. 7911). En esta revisión debe considerarse la “Capacidad… para argumentar sobre la validez de una solución identificando, en su caso, los errores” (Decreto, 2007, p. 7921). Y, siendo “Crítico con la solución obtenida, integrándola en el contexto” (Decreto, 2007, p. 8108), ya que cuando se plantean (problemas) de la vida cotidiana deberemos tener en cuenta “la flexibilidad para modificar el punto de vista” (Decreto, 2007, p. 8099). 1. Resolver problemas Buscar información, organizarla, tratarlas son objetivos indisociables de la resolución de problemas: la elección de los datos pertinentes necesita que ya se conciba un método de resolución e inversamente, en el curso del tratamiento a menudo aparecen nuevas cuestiones, o es necesario tomar en cuenta nuevas informaciones u organizar diferentemente los datos iniciales. Sin embargo, si distinguimos a nivel de esta exposición algunos de estos aspectos, es porque a partir de la experiencia nos parece posible y fructuoso localizar el trabajo de los niños más sobre uno de los aspectos que sobre otro en un momento dado. Consideraremos en particular tres situaciones de problemas donde se deba: a) Cuestionar a propósito de los datos, formular hipótesis, e inferir un resultado.

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Se trata de hacer tomar conciencia a los niños que las informaciones pueden ser relacionadas o combinadas, que dan lugar a nuevas informaciones y que permiten en general responder a varias preguntas como: ¿Qué informaciones no contenidas en un documento pueden deducirse de las que si figuran? ¿Qué enunciado de problema puede construirse a partir de informaciones dadas, organizadas en tablas, gráficas, etc.? b) Buscar informaciones pertinentes relativas a una pregunta. La actividad de los alumnos se dirige a la vez a la selección de los datos (a partir de tarifas, gráficos, maquetas, textos, etc.) y sobre la búsqueda de nuevos datos, Ejemplo: -Los alumnos deberán determinar el presupuesto necesario para preparar una merienda; los niños se dividirán por grupos y deben: definir su menú con distintas posibilidades, determinar los precios correspondientes, tratar las informaciones obtenidas, hacer elecciones, presentar resultados. -Estudiar el crecimiento en talla y peso de los niños. Aquí los alumnos deberán: Conducir una encuesta para obtener los datos (escuela o casa) Organizar sus datos en tablas o gráficas. Esta actividad permite calcular promedios, emitir hipótesis a propósito de la línea del crecimiento. c) Aplicar un procedimiento de resolución. Aquí aparecen diferentes tipos de ejemplos de interés complementario: los niños pueden pensar en una situación isomorfa más simple, que saben resolver. Se trata entonces de hacerles tomar conciencia que reduciéndolo a un problema del cual se puedan hacer una representación (mental, dibujada, materializada, etc.) pueden tener una idea de la solución.

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Ejemplo: la situación consiste en completar un patrón para que sea una pirámide, puede ser abordada calcando el comienzo del patrón para recortarlo y materializar la cara faltante y su posición. Apoyándose en esta experiencia los niños pueden resolver el problema presentado. Ejemplo: en un problema numérico, los niños podrán igualmente reemplazar los números propuestos por otros más pequeños de los que puedan hacer una representación. Esto puedo facilitar la estrategia de resolución. Su desarrollo estará en función de las dificultades que encuentren los niños; por ejemplo: dificultad para ordenarlas convenientemente (lo que conduce a los niños a resolver el problema refiriéndose a índices contextuales, palabras como: agregar, restar o nociones que se acaban de aprender y/o repasar). 1.1 Comunicar – validar Comunicar los procedimientos y justificarlos no es, en general, una preocupación espontánea del alumno que cree haber llegado al resultado. Hay que elegir entonces, problemas de tal forma que los alumnos tengan que

comunicar

informaciones o procesos, que, paralelamente, tengan que tener en cuenta las ideas emitidas por otros y susceptibles de hacer evolucionar su investigación, que puedan comparar sus soluciones con otras, a fin de colocarlos en posición de convencer a los demás de la validez de los resultados. Esto necesita, que el alumno se involucre en la situación propuesta, y que además, esté colocado en condiciones favorables para el intercambio. Hay que tener presente las dificultades de argumentación que existen entre alumnos y maestros: sus niveles de lenguaje son muy diferentes, el maestro tiene objetivos que escapan al alumno, etc. Esto justifica la preferencia que le damos a las situaciones de comunicación entre alumnos o grupo de alumnos, que permitirá: Elaborar un lenguaje, mejorarlo y ponerlo a prueba. Por ejemplo: los alumnos deben comunicar un procedimiento a otros, a fin de que estos últimos realicen una tarea

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fija. Se puede tratar de transmitir un procedimiento de construcción de una figura geométrica, de un rompecabezas, etc. Si tratamos de desarrollar la aptitud de los alumnos a expresar sus procedimientos, a justificar su razonamiento, por el lado de comunicarlo a otros niños, eso no significa que excluya la búsqueda y la redacción individual de la solución donde el alumno tiene la ocasión de ejercer y practicar su reflexión personal. Esta redacción puede, como en el caso del trabajo en equipo, proponerse a otro(s) alumno(s), para una explicación o una confrontación. Puede igualmente ser retomada después de la sugestión del maestro acerca de continuar la investigación. Se puede utilizar esas redacciones individuales, en el trabajo colectivo, para comparar y clasificar los diferentes procedimientos empleados. 2. Justificar la construcción de nuevos conocimientos Si se quiere que el niño tenga posibilidad de construir por sí mismo su saber matemático, es necesario que el maestro elija cuidadosamente y organice una serie de problemas, en las cuales, las preguntas que aparezcan permitirán a los niños construir las nociones o los procedimientos que deben apropiarse. El niño debe tener clara conciencia de lo que justifica la elaboración. De este nuevo conocimiento. Tendrá una conciencia tanto más clara, que para responder, habrá tratado de utilizar las “herramientas” que adquirió anteriormente y se habrá dado cuenta de la inadecuación o la imperfección. Si el niño está frente a una situación en la cual las nociones adquiridas anteriormente son inadecuadas, le resulta indispensable construir un modelo nuevo. Este modelo, que responde a una necesidad, adquiere también un significado: es, con ese espíritu, que se presentan las situaciones que permiten la introducción de los números decimales o números racionales, cuando se pide a los niños comunicar la posición de un punto sobre una recta graduada únicamente con naturales. En otros casos, los medios con que cuenta permiten al niño aportar una respuesta a la pregunta presentada, pero son poco eficaces (por ejemplo, una situación de “división” se resuelve con restas sucesivas); por medio de obstáculos (condiciones

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que se deben cumplir) sucesivos (sobre la longitud de los procedimientos, sobre la previsión de resultados que es posible hacer, etc.) el niño es conducido a elaborar una nueva técnica, y luego a perfeccionarlas;

así se construyó la serie de

situaciones que llevan a la elaboración del algoritmo de la división de dos naturales. Algunos problemas tienen por finalidad llevar al alumno a utilizar más o menos implícitamente algunos procedimientos utilizando, por ejemplo, propiedades de las operaciones o de las funciones numéricas. Se puede pedir, entonces, a los niños explicitar o confrontar procedimientos que utilizaron para permitir a los otros adquirirlos o mejorarlos. 2.1 Controlar el dominio y la disponibilidad de un aprendizaje A fin de controlar y orientar su acción pedagógica, el maestro debe darse la posibilidad de saber cómo las nociones (o algoritmos) enseñados son reutilizados por los niños. Para eso propone situaciones que se presten a un tratamiento utilizando estas nociones, lo que permite observar la relación que hay entre los procedimientos utilizados realmente y los modelos enseñados. Ese es el rol que se le asigna tradicionalmente a los ejercicios o problemas llamados de aplicación, entrenamiento o revisión. A nivel del alumno, esos ejercicios tienen también por objetivo permitirle poner a prueba las nociones o procedimientos adquiridos, de extender el campo de significación, pero también de percibir los límites. Se constata también que la disponibilidad de una operación a un mismo alumno puede variar con el tamaño de los números que intervienen o aún con ciertos índices lingüísticos que figuran en un enunciado del problema. Aparecen dos tipos de objetivos que se asignan a los problemas: -

Recursos del maestro para controlar la forma en la cual los alumnos utilizan los aprendizajes anteriores y ocasión dada al alumno para poner a prueba sus conocimientos.

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-

Si los ejercicios de ejercitación, a veces son necesarios, especialmente para lograr un buen dominio de algunas técnicas, la resolución de problemastipos, lo único que hará, sería ilusionar al maestro y a los alumnos sobre la capacidad de éstos para utilizar recursos matemáticos.

Los niños deben enfrentarse a problemas variados tanto a nivel de la presentación (enunciados, tablas de datos, situaciones reales, situaciones representadas, etc.) como a nivel de datos (insuficientes o redundantes) o aún a nivel de las preguntas que están o no formuladas (las preguntas intermedias tienen a menudo el inconveniente de imponer al alumno un procedimiento de resolución determinado). 3. Elementos para una aplicación pedagógica Las actividades propuestas a los alumnos suscitarán su interés en la medida que le permitan involucrarse, y en la medida en que mantengan su atención hasta encontrar una solución. Para ello, deben presentar ciertas características ya evocadas en los objetivos generales y precisados en el caso de las situaciones que llevan a la construcción de un conocimiento nuevo. Tomando en cuenta particularmente: La posibilidad para el alumno de percibir una dificultad que tiene deseos de superar, la posibilidad de emitir hipótesis, hacer anticipaciones, tener proyectos. Todo esto implica la disponibilidad de conocimientos anteriores utilizables o de un modelo de acción. Así, por ejemplo en la situación que consiste en terminar el patrón de una pirámide, el niño se involucrará e invertirá esfuerzos en la medida de sus conocimientos sobre la construcción de un sólido a partir de un patrón. La posibilidad de efectuar ensayos tan necesarios de manera de probar todas las concepciones: así, en la situación de la construcción del sólido, la inversión del alumno puede depender del hecho de que se disponga o no de diferentes copias del patrón, de un material complementario como: tijeras, pagamento, hojas, etc.

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La posibilidad de estimar la exactitud de un resultado sin intervención exterior, sin que sea necesario recurrir a la apreciación del maestro. Las calculadoras, por ejemplo, pueden servir para problemas que tengan las características anteriores. En estos casos el rol del maestro, no es el de dar las indicaciones que permitan resolver los problemas, sino observar los procesos de los niños, percibir los modelos que utilizan y modificar entonces las situaciones, por ejemplo, para adaptarlas a las posibilidades de los alumnos o por el contrario para crear condiciones de desequilibrio que necesitan la construcción de nuevos conocimientos.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Y FORMACIÓN PRÁCTICA DE LOS MAESTROS La resolución de problemas matemáticos y su desarrollo curricular en el aula, son en la actualidad un tema significativo dentro de los planteamientos de Reforma del sistema educativo. A partir de esto, es que los más importantes avances se centran en el carácter trasversal de la resolución de problemas como contenido matemático y el carácter concreto que adquiere su desarrollo curricular en el salón de clases.

Dichas intenciones, nacen bajo el sentido de verificar la calidad y eficacia de la enseñanza y de los aprendizajes, en busca de dilucidar aspectos centrales sobre la mejora de dichos procesos y la relación didáctica en torno a los contenidos y las estrategias metodológicas que se establecen. La poca información existente respecto al desarrollo curricular de los contenidos y como se llevan a cabo los procesos dentro del aula, ha creado conciencia respecto a la necesidad de contar con información relevante respecto al tema.

Podemos señalar que:

a) Todo problema matemático debe representar una dificultad intelectual y no sólo operacional o algorítmica. Debe significar un real desafió para los estudiantes.

b) Todo problema debe ser en sí mismo, un objeto de interés. Por tanto, debe ser motivante y contextual.

c) Debe tener multiformas de solución, es decir, puede estar sujeto a conocimientos previos, experiencias o se pueden resolver mediante la utilización de textos o personas capacitadas.

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d) Puede estar adscrito a un objeto matemático o real, o simplemente a la combinación de ambos.

e) Debe establecerse en la idea de posibles soluciones mediante diferentes métodos, con exigencias e interrogantes relacionales.

f) Deben tener una dificultad no tan sólo algorítmica, sino también del desarrollo de habilidades cognitivas.

g) Se debe dar en una variedad de contextos, en distintas formas de representación de la información y en lo posible que sean resueltos por más de un modelo matemático.

Que la resolución de problemas se sitúe como un aspecto central en la enseñanza y el aprendizaje de educación matemática, yace en una concepción particular sobre lo que significa la matemática, y por ende, la propia concepción de cómo debe ser enseñada y aprendida.

Sin embargo, no se encuentra ajena a las variaciones de distintas concepciones y visiones. De allí que podemos identificar como mínimo dos grandes visiones, la primera de ellas, se enfoca en una matemática como disciplina, caracterizada por procedimientos infalibles y resultados precisos. Se relaciona con procedimientos adecuados y conceptos matemáticos básicos, manipulados sin mayor significado ni comprensión.

Como visión alternativa, encontramos una concepción de la matemática centrada en lo contextual y significativo, orientada a la construcción social del aprendizaje caracterizada por procesos creativos y generativos. Una matemática que se relaciona con un “hacer” a favor del desarrollo de habilidades y capacidades en los estudiantes, que si bien toma en consideración los conceptos y procedimientos, estos no son los fines primeros de la instrucción.

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Ahora bien, el énfasis en la resolución de problemas como contenido trasversal, se apoya en una visión de las matemáticas centrada en el segundo aspecto, anteriormente nombrado, que busca favorecer la construcción del conocimiento a partir de situaciones de aprendizajes significativas y facilitadoras. En otras palabras, una visión de las matemáticas, que se encuentra estrechamente relacionada con su epistemología y pedagogía. Es importante hacer una breve descripción de las diferencias que existen entre un problema matemático y una operatoria con carga verbal: • La enseñanza por resolución de problemas pone énfasis en los procesos de pensamiento, mientras que la operatoria con carga verbal se centra sólo en los procesos algorítmicos. • La enseñanza por resolución de problema favorece la autonomía, el emprendimiento de resolución y el reconocimiento de múltiples soluciones, mientras que la operatoria con carga verbal se centra principalmente en el resultado. • Las actividades como las de resolución de problemas, se ligan tanto con habilidades que capacitan para el uso de herramientas y procedimientos basados en rutinas, como en la aplicación de principios, leyes generales, conceptos y criterios, mientras que la operatoria con carga verbal sólo al trabajo con rutinas y aplicación de principios y leyes. • La resolución de problemas matemáticos deben facilitar el abordar de manera reflexiva y metódica y con una disposición crítica y autocrítica, tanto en situaciones del ámbito escolar como las vinculadas con la vida cotidiana a nivel familiar, social y laboral. La operatoria con carga verbal no lo realiza. • Como procedimiento, la resolución de problemas tiene la finalidad de trabajar su aprendizaje por medio de la investigación y con los aprendizajes previos, es decir,

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conectar y aplicar dichos aprendizajes con las matemáticas que se conocen y se conocerán. La operatoria con carga verbal no lo realiza.

El papel del docente respecto a la enseñanza de resolución de problemas debe consistir en el planteamiento de técnicas de solución ligadas a aptitudes del estudiante. Y saber estrategias de evaluación acordes con ellas. Para ello, a la hora de trabajar la resolución de problemas matemáticos debe: 

Trabajar en situaciones de aprendizajes que favorezcan un aprendizaje matemático real.



En el momento de resolver problemas matemáticos, trabajar con los conocimientos previos de los estudiantes, colocando atención en sus creencias e ideas que tienen acerca de la matemática y la resolución de problemas; y en aspectos centrales tales como: el dominio del contenido en el cual se aplicará la resolución de problemas, es decir, el conocimiento de conceptos y procedimientos propios de la disciplina, ya que si un estudiante no sabe las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) difícilmente podrá dar una solución asertiva y real al problema que le implique aplicar dichas operaciones.



A su vez, es sumamente importante que comprenda los pasos de resolución del mismo (métodos heurísticos) que se sirvan de ayuda, ya sea descomponiendo el problema en pasos simples, invertirlo y/o dibujar diagramas; otro punto de interés, se centra en que exista una conciencia de la evaluación del resultado acorde a los contextos y exigencias del problema matemático con una respuesta matemática y con un lenguaje matemático.



Centrar la atención en las actividades de aprendizajes a las cuales se exponen a los estudiantes, considerando todas las estrategias posibles que puedan ayudarlos a resolver un problema matemático entendido sus

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argumentos y su constante relación con lo cotidiano. A su vez, se debe ser consciente de sus capacidades y competencias, teniendo claro sobre lo que los estudiantes pueden y no hacer, comprender y pensar. 

El docente debe poseer un rol activo y pensamiento creativo a la hora de presentar, elegir o crear un problema matemático a sus estudiantes, acorde con los intereses y necesidades de los mismos.



Presentarles problemas matemáticos relevantes y cercanos a su realidad, promueve actitudes activas, que movidas bajo el desafío de nuevos razonamientos

y

pensamientos

matemáticos,

permite

situaciones

significativas y vínculos afectivos en el aprendizaje. 

Permitir y trabajar con el error y la conjetura, promoviendo la autorregulación y comprensión.



En el trabajo de la resolución de problemas matemáticos debe existir una correcta articulación entre familia y escuela para lograr un aprendizaje matemático significativo, es decir, con un mayor o menor grado de significatividad, es necesario recurrir a los aprendizajes interrelacionados en cuanto a lo que se conoce (significados construidos) y lo que se pretende conocer (significados existentes).



El docente debe aprender y mejorar sus metodologías de enseñanza si quiere ser eficaz en la ayuda y la guía de la tarea que realizan sus estudiantes. Para lo cual se necesita compromiso por parte de los establecimientos y de los profesores (as) hacia la implementación de nuevas metodologías acorde al acelerado ritmo y cambios de hoy en día.



Bajo el entendido que los métodos no son instrumentaciones técnicas para enseñar mejor, y el contenido no es indiferente al método, es necesario

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comprender el trabajo y rol del docente en cuanto a qué enseña y cómo lo enseña. 

En la resolución de problemas matemáticos debe existir pertinencia de elección entre el tipo de problema y su significancia de acuerdo a las etapas de desarrollo cognitivo de los estudiantes.

Fuentes de situaciones y datos para plantear problemas Blanco, Guerrero y Caballero (2013) señalan que los contextos que se describen en los problemas que se plantean en los libros de texto y en las aulas de matemáticas son los mismos que los que se reflejaban en los problemas de los libros de matemáticas a inicio del siglo XX. Y ello es así a pesar de que, evidentemente, los intereses, preocupaciones y pensamientos de los alumnos del siglo XXI han cambiado enormemente respecto de los alumnos de hace más de 100 años. No obstante, al analizar el currículo encontramos diferentes referencias en los que se indican los contextos, generales y específicos, donde se pueden plantear y resolver problemas de matemáticas. Alsina (1994) cita 50 motivos concretos de la vida que pueden ser referencias para trabajar las matemáticas, donde aparecen temas relacionados con el Cuerpo humano y salud; Naturaleza y ecología; Economía; Vivienda; Consumo comercial; Medios de transporte y servicios; Tecnología normal; Educación para la Paz y la Democracia. La referencia a ‘contextos cotidianos’ es frecuente: “Resolver problemas sencillos relacionados con objetos, hechos y situaciones de la vida cotidiana” (Decreto, 2007, p. 7916). Y como referente para la construcción del conocimiento: “Los alumnos y las alumnas deben aprender matemáticas utilizándolas en contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para adquirir

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progresivamente conocimientos más complejos a partir de las experiencias y los conocimientos previos” (Decreto, 2007, p. 7909). La necesidad de comprender la realidad utilizando las herramientas matemáticas es frecuente en relación a los contenidos específicos de matemáticas: “Interpretación de gráficos que permitan detectar situaciones problemáticas relacionadas con temas de salud, consumo, medio ambiente, educación vial” (Decreto, 2007, p. 7923). Las revistas especializadas y los libros nos señalan numerosas fuentes cotidianas para las actividades matemáticas que facilitarían llevar estas recomendaciones al aula. Ejemplo de ello, lo encontramos en propuestas com las de Corbalán, (1991 y 1995) o Fernández y Rico, (1992) Matemáticas, lenguaje y comunicación La relación entre la competencia lingüística y la competencia matemática es expresa en el texto curricular; “Para fomentar el desarrollo de la competencia en comunicación lingüística desde el área de Matemáticas... es necesario incidir en los contenidos asociados a la descripción verbal de los razonamientos y de los procesos. (Decreto, 2007, p. 7911). Y se indica los beneficios de esta relación: “ . . . la verbalización del proceso seguido en el aprendizaje, . . . ayuda a la reflexión sobre qué se ha aprendido, qué falta por aprender, cómo y para qué, lo que potencia el desarrollo de estrategias que facilitan el aprender a aprender” (Decreto, 2007, p. 7911). La relación entre lenguaje y resolución de problemas se concreta en diferentes momentos relacionados globalmente o con las diferentes fases del modelo general de resolución de problemas que hemos señalado en el apartado 3: “. . . explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas” (Decreto, 2007, p. 7920).

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“Explicar oralmente el proceso seguido para resolver un problema” (Decreto, 2007, p. 7916). Es importante resaltar que la comunicación es un medio necesario para que se produzca aprendizaje. La expresión oral o escrita del trabajo realizado obliga a un esfuerzo de síntesis y precisión para que el interlocutor nos entienda, lo que nos ayuda a profundizar en la compresión de lo realizado. En nuestra actividad docente hemos comprobado, por ejemplo, las dificultades que los alumnos tienen para explicar de una manera clara y concisa las estrategias seguidas en la resolución de los problemas. Mayor dificultad aún si se les pide que las escriban. ESTRATEGIAS COGNITIVAS PARA EL CÁLCULO MENTAL El cálculo mental (CM) perdió su papel primordial debido a la llegada de las calculadoras, las computadoras y los teléfonos celulares; sin embargo, en las últimas décadas ha recobrado su importancia como una actividad cognitiva reveladora en el proceso de enseñanza-aprendizaje temprano de las matemáticas (Butlen & Pézard, 1992; Beishuizen, 1993; Gómez, 1995; Siegler & Shipley, 1995; Pochon, 1997; Askew, 1999 y 2004; Hidalgo, Maroto & Palacios, 1999; Ortega & Ortiz, 2002; Brissiaud, 2003). Butlen y Pézard (1992) plantean como su primera hipótesis de trabajo el hecho que el CM constituye un dominio privilegiado para examinar las concepciones numéricas de los alumnos y su disponibilidad (p. 325). El CM, eclipsado por el desarrollo tecnológico en la década de los setenta, como medio de cálculo rápido y eficaz, y relegado a un segundo plano por la reforma de las “matemáticas modernas” en diversos países, resucitó sin embargo un par de décadas después como un medio excepcionalmente adecuado para favorecer en los alumnos (Lethielleux, 2005, p. 17-18): -

El desarrollo de la atención, la concentración y la memoria

-

La familiarización progresiva con los números, al punto de poder “jugar con ellos”, expresar un número de variadas maneras, según el contexto del cálculo, y aprovechar las propiedades fundamentales de las operaciones numéricas básicas (asociatividad, conmutatividad, distributividad)

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- La expresión, puesta en común, discusión y comparación —en una dinámica colectiva— de una variedad de procedimientos y estrategias para calcular, en función de las relaciones entre los números con los que se está operando El cálculo mental ha sido un ingrediente frecuente de los programas escolares, pero su abordaje ha evolucionado desde la memorización de relaciones numéricas — como las tablas de multiplicar— hacia proposiciones didácticas que lo designan como CM reflexivo o pensado (Butlen & Pezard, 1992; Beishuizen, 1993; Butlen, 2007; propone enseñar el CM para “extender la red de relaciones numéricas conocidas” más allá de las relaciones de vecindad, y posibilitar que los alumnos pongan en práctica procedimientos “espontáneos” de cálculo pensado. Se trata de un cálculo particularizante, donde el alumno debe aprender a hacer “buenas elecciones” frente a cada caso (Brissiaud, 2003, p. 162). Descubrir las estrategias cognitivas que utilizan los alumnos de manera efectiva para calcular mentalmente nos informa sobre “la idea que se hacen de los números” (Butlen & Pezard, 1992). Una visión análoga se expresa en la escuela alemana de Didáctica de las Matemáticas, que desde hace cerca de dos siglos se ha interesado en las “maneras de imaginarse” (Vorstellungen Vorstellungen) los objetos y los objetos y procesos matemáticos (Vom Hofe, 1995). Euler ya decía que “los niños podrían imaginarse los números negativos como deudas” (loc. cit.). Cabe señalar que el rol operacional de las Vorstellungen corresponde al de las metáforas conceptuales (Soto-Andrade, 2006, 2007a, 2007b), en el sentido de Lakoff y Núñez (2002), y al de la representación mediante “materiales concretos” en numerosos educadores matemáticos, como Montessori (1967), Gattegno (1998) y Dienes (2003). Alsina (2007) explora las correlaciones entre el ejecutivo central y la mejor performance en pruebas aritméticas de cálculo, que equivale esencialmente a la capacidad de memoria de trabajo (lo que uno mantiene presente o co-presente en la memoria al realizar una tarea). Un ejemplo clásico es mantener en la memoria (por repetición, imagen u otro medio) un número de teléfono, desde su recepción

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hasta su uso. La investigación de Alsina sugiere que sería interesante hacer una estimación de las capacidades individuales que tienen los estudiantes en su memoria de trabajo y correlacionarlas con su desempeño en CM; posiblemente tendremos una baja memoria de trabajo en los niños con más débil desempeño en calculo mental. Asimismo, una forma de remediar la baja capacidad de memoria de trabajo sería no sólo entrenar a los niños a recordar números —como parece sugerir Alsina—, sino también utilizar estrategias alternativas como estimular la representación sensoriomotriz (vía metáforas) de las operaciones aritméticas, lo cual entroncaría con los trabajos de Gogtay et al. (2004) sobre los periodos de desarrollo cerebral. Recordemos que, según Gogtay, las regiones atingentes a la memoria de trabajo (corteza prefrontal y dorsolateral, fundamentalmente) maduran más tardíamente que las sensorio-motrices La postura teórica que enfatiza el rol de las metáforas sensoriomotrices en el aprendizaje de las matemáticas y la práctica del CM ha recibido últimamente un nuevo sustento experimental por parte de la neurociencia cognitiva, en relación con la metáfora de la recta numérica (“los números son ubicaciones en una recta”), como proponen los trabajos de Dehaene y sus colaboradores. En efecto, Knops, Thirion, Hubbard, Michel y Dehaene (2009) muestran que los circuitos corticales para la atención espacial contribuyen a la aritmética mental en los seres humanos, en el caso específico de los movimientos oculares hacia la derecha o la izquierda cuando se da la suma o la resta de un número positivo. Así, al calcular 18+5 (respectivamente 18–5) se detecta, con ayuda de la Imaginería por Resonancia Magnética (IRM) de alta resolución, una variación de la actividad cerebral evocada, que es análoga a la generada por un movimiento ocular correspondiente a un desplazamiento en cinco unidades hacia la derecha (respectivamente, hacia la izquierda) en una recta virtual. Por otra parte, destacamos los trabajos de Siegler y sus colaboradores (Siegler Shrager, 1984; Siegler, 1989; Siegler & Shipley, 1995; Shrager & Siegler, 1998),

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quienes critican la visión piagetiana que afirma que para cada estadio del desarrollo cognitivo del niño hay una estrategia claramente dominante. Ellos invocan una evidencia experimental de que, desde pequeños, los niños ocupan una variedad de estrategias para realizar cálculos numéricos, en particular los mentales. Siegler (1989) advierte que el análisis cronométrico de los tiempos de respuesta no permite detectar en forma certera el uso de distintas estrategias, aunque la no normalidad de la distribución de tiempos de respuesta puede sugerirlo. Por ello, recomienda que se aborde su estudio combinando la cronometría con entrevistas y observaciones de los alumnos. Los países que tienen mejores resultados en las pruebas comparativas internacionales de matemáticas, como Corea, China, Japón, Singapur o Australia, han considerado al CM en sus estándares. Este puede ser un factor relevante, aunque también incide el hecho de que, en los países del extremo oriente, el formato lingüístico de los números facilita el CM, a diferencia de lo que sucede en Francia o en países de habla hispana (Miura, 2001). Otro factor importante es sin duda el uso intensivo del ábaco en el primer ciclo básico en dichos países, lo cual genera una componente importante del CM automatizado; por ejemplo, el de los complementos a 10. Cabe señalar que en Japón se promueve el CM desde temprana edad. El objetivo es evitar que el cálculo se convierta en una simple rutina y lograr que el alumno se mantenga explorando individual y colectivamente otras facetas de la materia en estudio. El diseño de estrategias de cálculo es una de ellas, mientras que explicar los cálculos mentales es una forma de aprendizaje y comunicación (Isoda, Arcavi & Mena, 2008).

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GEOMETRÍA La Geometría modela el espacio que percibimos, es decir, la Geometría es la Matemática del espacio. La palabra Geometría significa medida de la tierra, El estudio de la Geometría permite al alumno estar en interacción con relaciones que ya no son el espacio físico sino un espacio conceptualizado y, por lo tanto, en determinado momento, la validez de las conjeturas que haga sobre las figuras geométricas ya no se comprobarán empíricamente sino que tendrán que apoyarse en razonamientos que obedecen a las reglas de argumentación en Matemáticas, en particular, la deducción de nuevas propiedades a partir de las que ya conocen. La Geometría: •

Se aplica en la realidad (en la vida cotidiana, la arquitectura, la pintura, la

escultura, la astronomía, los deportes, la carpintería, la herrería, etcétera). •

Se usa en el lenguaje cotidiano (por ejemplo, se dice: calles paralelas, tinacos

cilíndricos, la escalera en espiral, etcétera). •

Sirve en el estudio de otros temas de las Matemáticas (por ejemplo, un

modelo geométrico de la multiplicación de números o expresiones algebraicas lo constituye el cálculo del área de rectángulos). •

Permite desarrollar en los alumnos su percepción del espacio, su capacidad

de visualización y abstracción, su habilidad para elaborar conjeturas acerca de las relaciones geométricas en una figura o entre varias y su habilidad para argumentar al tratar de validar las conjeturas que hace. •

Constituye el ejemplo clásico de ciencia organizada lógica y deductivamente

( a partir de axiomas y postulados se deducen teoremas ). Terminaremos este apartado con una lista de respuestas a la pregunta ¿para qué enseñar y aprender Geometría?:

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•

Para conocer una rama de las Matemáticas más instructivas.

•

Para cultivar la inteligencia.

•

Para desarrollar estrategias de pensamiento.

•

Para descubrir las propias posibilidades creativas.

•

Para aprender una materia interesante y útil.

•

Para fomentar una sensibilidad hacia lo bello.

•

Para trabajar Matemáticas experimentalmente.

•

Para agudizar la visión del mundo que nos rodea.

•

Para gozar de sus aplicaciones prácticas.

•

Para disfrutar aprendiendo y enseñando

Las tendencias actuales sobre enseñanza de la matemática promueven su aprendizaje mediante la resolución de problemas: resolver problemas constituye no sólo la finalidad de enseñar Matemáticas sino también un medio a través del cual los alumnos construyen conocimientos matemáticos. Acorde con este enfoque, se sugiere que la enseñanza de la Geometría gire en torno a la resolución de problemas que impliquen el uso de relaciones y conceptos geométricos. Los problemas deben ser lo suficientemente difíciles para que realmente constituyan un reto para los alumnos y lo suficientemente fáciles para que cuenten con algunos elementos para su resolución. Una situación problemática es aquélla en la que se desea obtener un resultado pero no se conoce un camino inmediato para obtenerlo, en este sentido la concepción de problema es relativa: lo que para unos alumnos puede resultar un problema para otros ya no lo es si cuentan con un camino para su resolución. La concepción de un problema como una situación de aprendizaje es muy amplia, los siguientes son ejemplos de problemas en Geometría:

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•

Armar un rompecabezas

•

Hacer el croquis del camino de la casa a la escuela

•

Calcular el número de diagonales de un polígono cualquiera

•

Calcular la altura de un poste (sin medirlo)

•

Hallar el número de vértices de un poliedro a partir de su desarrollo plano

•

Imaginar el resultado de girar un cuerpo geométrico

•

Imaginar el cuerpo geométrico que se forma con cierto desarrollo plano.

Se sugiere que la enseñanza de la Geometría gire en torno a la resolución de problemas de relaciones y conceptos geométricos. Este enfoque supone un modelo de clase muy diferente a aquel en el que se acostumbra mostrar un concepto geométrico o dar una explicación de los contenidos para después aplicarlos a problemas. Se trata ahora de realizar tareas que lleven a los estudiantes a experiencias más significativas: visualizar, explorar y analizar, abstraer propiedades, clasificar, elaborar conjeturas y tratar de validarlas. Por ejemplo, considérese la siguiente actividad. Se le da al alumno la siguiente información: 1 . E s una diagonal

2 . No es una diagonal

3 . No es una diagonal

5 . E s una diagonal

6 . No es una diagonal

7 . E s una diagonal

9. Es una diagonal

10. No es una diagonal

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11. Es una diagonal

12.Es una diagonal

4 . No es una diagonal

8 . E s una diagonal

En esta parte de la actividad los alumnos visualizan las figuras e identifican cuál es o no una diagonal. Después se le plantea el siguiente problema: A partir de la información anterior, anota si el segmento rojo es o no es una de las diagonales de la figura.

¿Qué procesos pone en juego el alumno al tratar de decidir si el segmento

rojo es o no es una diagonal de la figura? Ya no sólo se trata de visualizar, ahora tendrá que explorar y analizar cuál es la característica principal de una diagonal. Empieza entonces un proceso de abstracción en donde el alumno debe fijarse en qué es lo que se mantiene invariante en las diagonales, qué es lo que determina que el segmento indicado sea diagonal. Empezarán a elaborar conjeturas de lo que es una diagonal, algunas serán falsas o sólo se cumplirán en ciertos casos; por ejemplo, las siguientes son definiciones erróneas: 

Un segmento inclinado



Un segmento que pasa por el centro de la figura



Un segmento que une dos ángulos de la figura



Un segmento que une dos vértices de la figura



Un segmento que atraviesa la figura



Dirige la confrontación grupal o puesta en común de resultados y procedimientos.



Cierra

la

actividad

institucionalizando

o

formalizando

contenidos geométricos trabajados durante la clase.

46

los

Dificultad y alternativas en la resolución de problemas Juanita de la 0 Roldan, Ma. Eugenia Díaz García y Carmen Méndez-Villamil Cornejo Si aceptamos como premisa que la educación primaria es esencialmente formativa más que infinitiva, el propósito del maestro en la materia de matemáticas será en consecuencia, despertar en los alumnos el interés pan buscar y aplicar diferentes alternativas en la resolución de problemas, •desarrollando su capacidad para que con mente abierta aborden diferentes niveles de complejidad, y evitando la memorización que, por difícil y rutinaria, genera en el alumno apatía y enemistad con las matemáticas. Movidas por esta inquietud, realizamos un diagnostico entre profesores y alumnos de quinto grado, acerca de las dificultades más frecuentes asociadas a la resolución de problemas matemáticos, y se elaboraron algunas alternativas didácticas a dichas dificultades que hemos venido implementando, con resultados tan positivos que consideramos conveniente compartir esta experiencia con otros colegas, pues creemos que puede servir de apoyo en su práctica docente. Es frecuente escuchar que los problemas son básicos en la enseñanza de las matemáticas, puesto que es en la resolución de problemas concretos que el alumna incorpora las matemáticas en su vida. Sin embargo, ante los tropiezos que se presentan en su resolución, los maestros optan por no utilizarlos, o por usarlos poco, y el fracaso se atribuye generalmente a la apatía o la incapacidad de los alumnos para comprender los problemas. Sin embargo, el diagnóstico realizado entre los alumnos revelo que a la mayoría si le gusta resolver problemas de matemáticas, ya que estos les permiten razonar y resolver cuestiones prácticas, es decir, que les ayudan a resolver situaciones de la vida diaria Ante la contradicción detectada entre las opiniones de los docentes y de los educandos, nos dimos a la tarea de realizar observaciones en las clases de dichos grupos, y a proponer nuevas alternativas cuyos ejes de orientación son:

47



Que los alumnos elaboraran sus propios procedimientos para resolver problemas, adecuados a su capacidad de razonamiento lógico, y



Que elaboraran libremente los procedimientos necesarios pan obtener el resultado correcto de un problema.

Principales tropiezos en la resolución de problemas Una de las dificultades más frecuentes con la que nos topamos durante nuestra experiencia, fue que generalmente se trabaja exclusivamente con problemas que vienen en el libro de texto y, en muchas ocasiones, sin que medie una aclaración previa por parte del maestro. En una ocasión por ejemplo, la maestra dio la instrucción para suspender una actividad, y para que los alumnos sacaran su libro de matemáticas: "Ábranlo en la página 132 —dijo—, guarden silencio y apúrense, los problemas los vamos a resolver con lápiz." Acto seguido los alumnos leen en voz alta y la maestra comenta acerca de la fachada del edificio del que habla el problema y ofrece pistas acerca de la forma en que deberán resolver la primera pregunta, y de las distintas asociadas con dicho problema; los alumnos sugieren entonces las operaciones que consideran necesarias para resolver la cuestión. "Ahora Si —agrega la maestra— hagan las cuentas para resolver el resto de las preguntas y el que haya terminado me dice el resultado." De este modo, los alumnos empezaron a resolver las preguntas del problema sin ninguna aclaración previa, situación que se repite en la práctica docente con diversos matices. Pretendiendo ayudar a los alumnos, el profesor acostumbra dar pistas en vez de explicaciones: "Fíjense cuantos van a repartir" o "cuanto les sobro"; contrariamente a sus expectativas, tales pistas Ilegan a confundir a los alumnos y los induce a realizar operaciones mecánicamente, sin permitirles reflexionar miles a fondo sobre la naturaleza del problema y los procedimientos posibles de solución. El siguiente caso ilustra esta situación muy claramente:

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Al resolver problemas, los alumnos se muestran tanto más motivados, en la medida en que el problema les plantea sus propias vivencias. Si el problema despierta el interés en los niños, se obtienen mejores resultados. Sin embargo, observamos que lamentablemente este recurso es subutilizado, cuando los problemas no van de acuerdo con el grado de dificultad de su nivel escolar. En cierta ocasión en que los alumnos estaban muy motivados para resolver un problema que se refería a su actividad cotidiana en la cooperativa escolar, el grado de dificultad del problema estaba muy por abajo de las posibilidades de abstracción de los alumnos de quinto grado de primaria, debido a lo elemental de las operaciones y a las cantidades implicadas.

Un recurso que tiene un efecto positivo en la motivación del alumnado es el de presentar problemas que los hacen razonar o pensar en forma rápida, como los acertijos, lo cual probablemente les agrada porque rompen con la forma convencional en que se les presentan. Sin embargo, en atención al objetivo de fomentar la participación y la retlexi6n, resulta contraproducente que el maestro proporcione la respuesta cuando algún alumno manifiesta dificultad para resolver un problema.

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Por otro lado, como maestros debemos estar dispuestos a aceptar otras soluciones posibles del problema, diferentes de la que ténganos en mente. En efecto, si proporcionamos rápidamente las respuestas o rechazamos otras soluciones, los alumnos tendrán la réplica del problema, pero habremos sacrificado el objetivo primordial.

Este caso ilustra una situación en que la maestra no supo capitalizar a favor del alumno la respuesta lógica que este le present6, lo que puede traducirse en que aquel se conforme con jugar un papel receptivo y deje de realizar esfuerzos de reflexión. Al motivar a los alumnos con problemas que requieren respuestas rápidas, debe vigilarse que no sean muy complicados y que dispongan de suficiente tiempo para obtener la respuesta, pues de otro modo el alumno se da por vencido de antemano y se concreta a esperar la solución de parte del maestro. Tal fue el caso, por ejemplo, cuando un maestro pregunto cuál reloj de dos que tenía., marcaba la hora con mayor frecuencia, si uno que no funcionaba y otro que se atrasaba un minuto cada día Como no había respuesta de parte de los alumnos, el maestro dibujo los dos relojes en el pizarrón y ofrecido la solución, la cual fue mudamente aceptada por los alumnos. La resolución de problemas puede lograrse por diferentes razonamientos, pero la premura con que se trabaja determina en la mayoría de los casos una revisión colectiva, en la que los alumnos que sacaron el resultado correcto pasan al pizarrón a realizarlo, mientras que el resto revisa y auto evaluación el suyo.

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Al ocurrir esto, el docente pierde la oportunidad de ver qua razonamientos siguieron sus alumnos para resolver los problemas. Si se revisan las respuestas en forma individual, se abre la posibilidad, en cambio, de detectar si los errores —en caso de haberlos— son de carácter operacional, o si en el texto de planteamiento del problema esta explicito lo que el maestro pretende que sea resuelto, ya que este Ultimo es otro factor frecuente por el que el alumno no puede resolver problemas. Como en toda actividad, el profesor debe explicar muy puntualmente lo que se pretende resolver antes de iniciar la resolución del problema, pero sin daré detalladamente la solución. Por lo común, se da por hecho que el procedimiento que seguirá el alumno esta implícito en el planteamiento del problema, y esta prenoción se vuelve un grave "problema" en la resolución. Como ejemplo de lo anterior, se cuenta el siguiente caso.

De un grupo de 35 alumnos, la maestra adopt6 el siguiente criterio para calificarlos: 50% de la calificación correspondería a las operaciones que ella consider6 necesarias para resolver el problema, y otro 50%, al resultado correcto que ella ya había obtenido. Los resultados preliminares fueron: 6 alumnos con 100%; 26 alumnos, con 50%; y 3 alumnos con 0% de calificación. Sin embargo, después de un análisis más profundo sobre los razonamientos de los alumnos, se observe) que hubo diferentes formas de interpretar el texto, dando como resultado otra proporción: Nueve alumnos dieron por hecho que si Federico gasto la cuarta parte y guarde la mitad, lo que le quedaba era la cuarta parte (razonamiento mental); Únicamente dividieron entre 4 y obtuvieron el resultado que quería la maestra (100% de calificación). Otros cuatro siguieron el procedimiento de los anteriores, pero simplificaron Las cantidades; es decir, en vez de dividir 50 000 entre 4, dividieron 50 entre 4,

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obteniendo algunos un resultado de 12 y otros de 12.50. En la respuesta completaron la cifra anotando $ 12 000.00 o bien $ 12 500.00 (calificación entre 90 y 100% según resultado). Por otro lado, dos niños obtuvieron la cuarta parte, y la mitad sacó esa cuarta parte, ya que el texto no aclaraba si tal mitad era del total o de lo que había guardado en la alcancía (100% de calificación). Un alumno que obtuvo la cuarta parte, le resto de lo que tenía, y del sobrante sacó la mitad, sumo el dinero que ahorr6 mas el dinero que sobr6 y eso es lo que dijo que le quedaba aun a Federico, ya que el texto no especificaba silo que quedaba aún era solo el sobrante o también lo que guard6 en la alcancía (100% de calificación). Siete alumnos obtuvieron la cuarta parte, la restaron de lo que tenía y al sobrante lo dividieron entre dos (calificación entre 80 y 100% pues algunos tuvieron errores en el resultado de operaciones). En el análisis, cinco obtuvieron 50% de la calificación, ya que calcularon la mitad del total y después otra vez la mitad (porque según ellos la mitad de la mitad es la cuarta parte) y obtuvieron así el resultado correcto en las operaciones, pero al anotar la respuesta, pusieron un resultado diferente, pues no sentían seguridad de lo que habían hecho. En otro caso, tres alumnos solo determinaron la mitad de la cifra total y no dieron respuesta, por lo que les correspondió el 25% de la calificación. Por último, consideramos a cuatro alumnos como casos raros, porque no siguieron ningún razonamiento, únicamente escribieron "resultados." Al preguntarles cómo los habían obtenido, señalaron que pusieron cualquier cifra, pues no habían entendido el problema. De este replanteamiento resultan las siguientes proporciones:

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Como vemos, antes de resolver problemas hay que estar alertas ante las diferentes interpretaciones que pueden hacerse a un mismo texto, y establecer muy claramente que es lo que se desea, o bien aceptar como válidos al momento de calificar, distintos resultados que derivan de diferentes interpretaciones Ann cuando la complejidad de un problema puede variar dependiendo del número de operaciones que son necesarias para resolverlo, observamos que las dificultades en la resolución de problemas no se refieren precisamente a la cantidad de operaciones que intervienen. Criterios alternativos En la búsqueda de nuevas posibilidades para la resolución de problemas, teníamos claro que las situaciones y vivencias reales de los alumnos tienen un efecto motivante, y que preferían resolver problemas en equipo por la oportunidad de confrontar opiniones, discutir resultados y plantear diferentes opciones para su desarrollo. Tomando esto en consideración y asesoradas por el profesor David Block Sevilla, investigador del Departamento de Investigación Educativa, del Cinvestav, decidimos incorporar gradualmente en las clases algunos criterios para la resolución de problemas Como punto de partida nos propusimos plantear problemas frecuentemente, no sólo en las evaluaciones o ejercicios para calificar, sino de manera constante y organizando los grupos en equipos pequeños (hasta de 4 integrantes), con el fin de que todos participaran y evitar así que alguno solo se quedase en calidad de espectador. El propósito fue dar variedad en la forma de plantear los problemas, evitando incluir en el texto palabras cave. Para ello utilizarnos diferentes medios: consignas orates,

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dibujos, propaganda o listas de información. También decidimos presentar los problemas mediante juegos. Con la condición de que antes de resolver los problemas el alumno tuviera claro de que se trataban, pero sin conducirlo a lo que deba hacer, permitimos que durante la resolución los alumnos interactuaran, para que entre todos decidieran el camino más práctico para llegar al resultado. El trabajo en equipo permitió compartir ideas, discutirlas y ampliarlas, a la vez que favores el compañerismo y la cooperación en el trabajo, propiciando un clima en que los alumnos expresaban libremente sus ideas y las defendían o rechazaban con argumentos, con lo que se estimule el desarrollo de su capacidad de razonamiento. Durante nuestra práctica indicamos a los Milos que resolvieran el problema como ellos quisieran, con dibujos, operaciones o lo que ellos consideraran necesario, pues de lo que se trataba es que hallaran la solución. Por ritmo, propiciamos la confrontación grupal consistente en que los equipos muestren y expliquen a sus compañeros el procedimiento que siguieron para llegar al resultado. El objetivo de la confrontación es que los alumnos reconozcan su capacidad para resolver un problema, que sus procedimientos son válidos en la medida que los Ilevan a la solución, que hay otras maneras de encontrar el resultado, que hay unos procedimientos más complicados que otros, que aprendan a defender sus métodos y a buscar errores en los de sus compañeros, aI como justificar los propios. Como es natural, también sucede que algunos atm-linos no logran Ilegar al resultado del problema; sin embargo, con la confrontación tanto los alumnos que Si obtuvieron soluciones correctas como aquellos que no lo lograron, pudieron ver claramente en donde y por qué se equivocaron, aprendiendo de esta manera de sus propios errores. Incorporar estos cambios en nuestra actividad escolar no ha sido mencionados; sin embargo, el efecto que ha tenido entre nuestros alumnos es notable; además de

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que les gusta resolver problemas, ahora discuten y defienden sus ideas hasta demostrar que están lo cierto o hasta convencerse de su error. Buscan y encuentran procedimientos de soluci6n a los problemas que les planteamos, los cuales a veces nos sorprenden porque en ellos se manifiesta una gran capacidad de razonamiento Con el propósito de socializar nuestra experiencia de manera que permita a otros colegas disponer de elementos para incorporarlos en su práctica docente, hemos seleccionado dos casos que ilustran muy claramente la diversidad de razonamientos que siguen y los medios que utilizan los alumnos en la resolución de problemas, cuando se aplican otros criterios. Caso alternativo en aritmética Habiendo agrupado a los alumnos en equipos de cuatro cada uno, les dejamos resolver un problema sin indicar operaciones específicas. De este modo, abrirnos la posibilidad de que utilicen representaciones gráficas y todo tipo de recursos que les parezcan lógicos en la búsqueda de la solución. Una vez que los alumnos eligieron a sus compañeros de trabajo y se sentaron alrededor de una mesa, les repartimos una hoja de papel a cada equipo, en la que escribieron fecha y el nombre de los integrantes. Asimismo, eligieron entre ellos un secretario, quien a partir de ese momento sería el encargado de anotar todo lo que hicieron para resolver el problema.

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Aplicados a su tarea, advertimos un creciente interés de parte de los alumnos de cada equipo por resolver el problema; a ello siguieron murmullos y comentarios que culminarían después de un rato con un "iYa terminamos!”

Al analizar esta respuesta, encontramos que era correcta en las dos variables, pero el concepto de múltiplo se había manejado erróneamente, lo cual dio lugar a repasar ese tema y afirmar dicho concepto.

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Con lo que se evidencia que solo tomaron en cuenta la cantidad de muebles y se olvidaron por completo de las gavetas. Un equipo que se vali6 de representaciones graficas fue el de Cynthia, Olivia y Maria Zahra, quienes, por conducto de esta última, nos explicaron:

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La base del razonamiento de este equipo fueron los dibujos, en tanto que las operaciones fueron medios complementarios en su construcción lógica. Para el resto de los equipos observamos que coincidieron los procedimientos y obtuvieron respuestas correctas.

Caso alternativo en geometría La resolución de problemas matemáticos incluye también problemas de geometría, los cuales fueron trabajados también con gran creatividad por parte de los alumnos.

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Organizado el grupo en equipos pequeños, la maestra solicitó la atención para dar las indicaciones:

Los niños comentan entre ellos y después de un rato cada equipo decide su forma de trabajo. Como podemos ver, este problema se presenta a los alumnos como una instrucción determinada: "Calculen el perímetro y el área aproximados de este jardín”.

Después de cierto tiempo empiezan a surgir los resultados, pero es hasta que todos los equipos terminan cuando comienza la confrontación.

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60

61

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Y así fue; el planteamiento de este equipo sirvió para realizar posteriormente otro ejercicio en el que se puso en juego la conservación .del área. Podemos concluir afirmando que fue muy satisfactoria la experiencia obtenida con la introducción de criterios alternativos en la resolución de problemas. Los niños pusieron en práctica su creatividad e ingenio valiéndose de los medios que tenían a su alcance, además de que los miembros de los diferentes equipos aplicaban conocimientos acumulados que enriquecían al resto del grupo y daban la pauta para tratar otros temas que necesitaban afianzarse Quede esta breve crónica como un testimonio de lo interesante que resulta resolver problemas matemáticos modificando la estructura tradicional de los mismos. Cuando empezamos a incursionar en este trabajo, las alternativas resultaban novedosas, pero vemos con gusto que actualmente resulta indispensable hacerlo, ya que los nuevos libros de matemáticas están desafiados precisamente para aplicar este tipo de estrategias Confiamos en que al compartir estas reflexiones acerca de nuestra experiencia docente, los maestros se sientan más motivados para cambiar aquellos aspectos en su práctica que impiden a los niños asumir el papel de protagonistas dentro del proceso educativo.

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FUNDAMENTO DE LAS MATEMATICAS Y LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En la actualidad se requiere que formemos alumnos participativos, responsables, dispuestos a enfrentar problemas muy diversos y a buscar o construir soluciones.

El razonamiento es una herramienta fundamental que debemos desarrollar en nuestros estudiantes para que puedan realmente construir un futuro mejor. La enseñanza de las matemáticas se le ha concebido como un proceso desvinculado de la reflexión en torno a los diversos contextos que rodean a los estudiantes; como si las matemáticas no tuvieran ninguna relación con lo social, lo económico o lo cultural.

Por ello se hace hincapié que el estudiante aprende matemáticas por medio de una participación activa dentro y fuera del aula de clases, es decir aprender matemáticas significa identificar procedimientos, descubrir o crear relaciones, discute sus ideas, plantea conjeturas y constantemente evalúa y contrasta sus resultados. El autor Perkins (1981) menciona que un conocimiento general incluye estrategias amplias para resolver problemas, mientras que un conocimiento específico es particular en su disciplina, así mismo se entiende que los métodos heurísticos son las estrategias generales para solucionar un problema.

De acuerdo al autor Polya nos menciona que el alumno al resolver un problema matemático lo relaciona con su propia experiencia, de esta forma el niño toma decisiones propias para pensar creativamente y para razonar adecuadamente. Es importante no perder de vista la esencia propia del niño así como su contexto donde se encuentra inmerso puesto que todo lo que le rodea tiene relación con las matemáticas. Es importante que el estudiante conozca la existencia de ciertas estrategias así como desarrolle una serie de habilidades que le permita identificar en que situaciones utilizarlas.

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De acuerdo a la clasificación de problemas matemáticos Polya sugiere dos tipos de categorías; en la primera identificación son aquellos en donde se pide encontrar algo, la otra la relaciona con problemas donde algo debe ser probado. Dentro del aula los estudiantes muestran diferentes habilidades matemáticas, al plantearles un problema los alumnos más inteligentes buscan diversas formas para solucionar el problema y cuando ya tiene el resultado lo comprueban; de la misma manera hay alumnos con menos habilidades matemáticas los cuales tienden a solucionar los problemas solo con el procedimiento que se les mostro.

Reflexionando

sobre

la

lectura

realizada

se

puede

mencionar

quedebemos desarrollar el pensamiento matemático vinculando elfortalecimiento de una serie de habilidades para que el alumno logre un razonamiento matemático útil, capaz de relacionar este conocimiento con su contexto, encontrarle aplicaciones en su medio y de utilizarlo de manera reflexiva, flexiva y critica para solucionar problemas y analizar situaciones en general.

La actividad de resolver problemas es esencial si queremos conseguir un aprendizaje significativo de las matemáticas. No debemos pensar en esta actividad sólo como un contenido más del currículo matemático, sino como uno de los vehículos principales del aprendizaje de las matemáticas, y una fuente de motivación para los alumnos ya que Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas permite contextualizar y personalizar los conocimientos.

Al resolver un problema, el alumno dota de significado a las prácticas matemáticas realizadas, ya que comprende su finalidad. El trabajo del alumno en la clase de matemáticas debe ser en ciertos momentos comparable al de los propios matemáticos: el alumno investiga y trata de resolver problemas, predice su solución (formula conjeturas),

trata de probar que su solución es correcta,

construye

modelos matemáticos, usa el lenguaje y conceptos matemáticos, incluso podría crear sus propias teorías, intercambia sus ideas con otros, finalmente reconoce

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cuáles de estas ideas son correctas- conformes con la cultura matemática-, y entre todas ellas elige las que le sean útiles.

Por el contrario, el trabajo del profesor es, en cierta medida, inverso al trabajo de un matemático: En lugar de partir de un problema y llegar a un conocimiento matemático, parte de un conocimiento matemático y busca uno o varios problemas que le den sentido para proponerlo a sus alumnos (recontextualización).

Una vez producido un conocimiento, el matemático lo despersonaliza. Trata de quitarle todo lo anecdótico, su historia y circunstancias particulares, para hacerlo más abstracto y dotarlo de una utilidad general. El profesor debe, por el contrario, hacer que el alumno se interese por el problema (repersonalización). Para ello, con frecuencia busca contextos y casos particulares que puedan motivar al alumno. El conocimiento matemático tiene una dimensión cultural. Por ello el profesor ha de ayudar a sus alumnos a encontrar o construir este "saber cultural". El término “resolución de problemas” varía ampliamente. Thompson (1992) señala que existe una visión de la matemática como una disciplina caracterizada por resultados precisos y procedimientos infalibles cuyos elementos básicos son las operaciones aritméticas, los procedimientos algebraicos y los términos geométricos y teoremas; saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina.

La concepción de enseñanza de la matemática que se desprende de esta visión conduce a una educación que pone el énfasis en la manipulación de símbolos cuyo significado raramente es comprendido. Una visión alternativa acerca del significado y la naturaleza de la matemática consiste en considerarla como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y refutaciones, cuyos resultados deben ser juzgados en relación al ambiente social y cultural.

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La idea que subyace a esta visión es que "saber matemática" es "hacer matemática". Lo que caracteriza a la matemática es precisamente su hacer, sus procesos creativos y generativos. La idea de la enseñanza de la matemática que surge de esta concepción es que los estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir de situaciones problemáticas.

Estas situaciones requieren de un pensamiento creativo, que permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación. El énfasis en la resolución de problemas como método integral para la enseñanza de la matemática observado en los Contenidos Básicos Comunes, se apoya en la concepción que Ernest (1988) sintetiza así: "... hay una visión de la matemática (conducida por la resolución de problemas) como un campo de la creación y la invención humana en continua expansión, en el cual los patrones son generados y luego convertidos en conocimiento. Así, la matemática es un proceso de conjeturas y acercamientos al conocimiento (...). La matemática no es un producto terminado, porque sus resultados permanecen abiertos a revisión.”

Existe un acuerdo general en aceptar la idea de que el objetivo primario de la educación matemática debería ser que los alumnos aprendan matemática a partir de la resolución de problemas. Sin embargo, dadas las múltiples interpretaciones del término, este objetivo difícilmente es claro. En efecto, el término resolución de problemas ha sido usado con diversos significados, que van desde trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer matemática profesionalmente. 

Primer significado: resolver problemas como contexto.

Desde esta concepción, los problemas son utilizados como vehículos al servicio de otros objetivos curriculares, jugando cinco roles principales:

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a) Como una justificación para enseñar matemática: al menos algunos problemas relacionados con experiencias de la vida cotidiana son incluidos en la enseñanza para mostrar el valor de la matemática. b) Para proveer especial motivación a ciertos temas: los problemas son frecuentemente usados para introducir temas, con el convencimiento implícito o explícito de que favorecerán el aprendizaje de un determinado contenido. c) Como actividad recreativa: muestran que la matemática puede ser “divertida” y que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos d) Como

medio

para

desarrollar

nuevas

habilidades:

se

cree

que,

cuidadosamente secuenciados, los problemas pueden proporcionar a los estudiantes nuevas habilidades y proveer el contexto para discusiones relacionadas con algún tema. e) Como práctica: la mayoría de las tareas matemáticas en la escuela caen en esta categoría. Se muestra una técnica a los estudiantes y luego se presentan problemas de práctica hasta que se ha dominado la técnica.

Sin embargo, en cualquiera de estas cinco formas, los problemas son usados como medios para algunas de las metas señaladas arriba. Esto es, la resolución de problemas no es vista como una meta en sí misma, sino como facilitador del logro de otros objetivos y tiene una interpretación mínima: resolver las tareas que han sido propuestas. 

Segundo significado: resolver problemas como habilidad.

La mayoría de los desarrollos curriculares que ha habido bajo el término resolución de problemas a partir de la década de los 80 son de este tipo. La resolución de problemas es frecuentemente vista como una de tantas habilidades a ser enseñadas en el currículo. Esto es, resolver problemas no rutinarios es caracterizado como una habilidad de nivel superior, a ser adquirida luego de haber

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resuelto problemas rutinarios (habilidad que a su vez, es adquirida a partir del aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas básicas).

Es importante señalar que, aún cuando en esta segunda interpretación del término los problemas son vistos como una habilidad en sí misma, las concepciones pedagógicas y epistemológicas que subyacen son precisamente las mismas que las señaladas en la interpretación anterior: las técnicas de resolución de problemas son enseñadas como un contenido, con problemas de práctica relacionados, para que las técnicas puedan ser dominadas. 

Tercer significado: resolver problemas es "hacer matemática".

Hay un punto de vista particularmente matemático acerca del rol que los problemas juegan en la vida de aquellos que hacen matemática. Consiste en creer que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática realmente consiste en problemas y soluciones. El matemático más conocido que sostiene esta idea de la actividad matemática es Polya. Nos hemos familiarizado con su trabajo a través del libro “How to solve it” (1954), en el cual introduce el término “heurística” para describir el arte de la resolución de problemas, concepto que desarrolla luego en “Matemática y razonamiento plausible” (1957) y “Mathematical Discovery” (1981).

La conceptualización de Polya sobre la matemática como una actividad se evidencia en la siguiente cita: “Para un matemático, que es activo en la investigación, la matemática puede aparecer algunas veces como un juego de imaginación: hay que imaginar un teorema matemático antes de probarlo; hay que imaginar la idea de la prueba antes de ponerla en práctica. Los aspectos matemáticos son primero imaginados y luego probados, y casi todos los pasajes de este libro están destinados a mostrar que éste es el procedimiento normal. Si el aprendizaje de la matemática tiene algo que ver con el descubrimiento en matemática, a los estudiantes se les debe brindar alguna oportunidad de resolver problemas en los

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que primero imaginen y luego prueben alguna cuestión matemática adecuada a su nivel.” (Polya, 1954)

PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LA ESCUELA PRIMARIA El planteamiento y resolución de problemas es un punto nodal en la educación matemática de los alumnos de la escuela primaria, y es además una parte importante dela formación integral de los educandos, puesto que alienta al desarrollo de estructuras de pensamiento lógico-matemático, ayuda a comprender las relaciones cuantitativas y las formas espaciales que se dan en la realidad, coopera en los intentos de otras disciplinas científicas para conocer y actuar sobre el mundo y además fomenta la creatividad, entre otras cosas.

El programa de estudios de 2011 señala como propósitos del estudio de las Matemáticas para la educación básica para los alumnos, los siguientes:  Desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas, así como elaborar explicaciones para ciertos hechos numéricos o geométricos.  Utilicen diferentes técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedimientos de resolución.  Muestren disposición hacia el estudio de la matemática, así como al trabajo autónomo y colaborativo. Como propósitos del estudio de las Matemáticas para la educación primaria para los alumnos señala los siguientes:  Conozcan y usen las propiedades del sistema decimal de numeración para interpretar o comunicar cantidades en distintas formas. Expliquen las similitudes y diferencias entre las propiedades de los sistemas decimal de numeración y de las de otros sistemas, tanto posicionales como no posicionales.

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 Utilicen al cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con números naturales, así como la suma y la resta con números fraccionarios y decimales para resolver problemas aditivos y multiplicativos.  Conozcan y usen las propiedades básica de ángulos y diferentes tipos de rectas, así como del círculo, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera al realizar algunas construcciones y calcular medidas.  Usen e interpreten diversos códigos para orientarse en el espacio y ubicar objetivos o lugares.  Expresen e interpreten medidas con distintos tipos de unidad, para calcular perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares e irregulares.  Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos contenidos en imágenes, textos, tablas, gráficas de barras y otros portadores para comunicar información o para responder preguntas planteadas por sí mismos o por otros. Representan información mediante tablas y gráficas de barras.  Identifiquen conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, calculen valores faltantes y porcentajes, y apliquen el factor constante de proporcionalidad (con números naturales) en casos sencillos.

Para elevar la calidad del aprendizaje es indispensable que los alumnos se interesen y encuentren significado y funcionalidad en el conocimiento matemático, que valoren y hagan de él un instrumento que les ayude a reconocer, plantear y resolver problemas presentados en diversos contextos de su interés. La solución de problemas es entonces, a lo largo de la primaria, el sustento de los nuevos programas. A partir de las acciones realizadas al resolver un problema (agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar repetidamente, repartir, medir, fraccionar, etc.) el niño construye los significados de las operaciones. El grado de dificultad de los problemas que se plantean van aumentando a lo largo de los seis grados. El aumento en la dificultad no radica solamente en el uso de

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números de mayor valor, sino también en la variedad de problemas que se resuelven con cada una de las operaciones y en las relaciones que se establecen entre los datos.

1. Situación problemática, problemas y ejercicios

Analizar y seleccionar información planteada a través de textos, imágenes u otros medios es la primera tarea que realiza quien intenta resolver un problema matemático. Ofrecer situaciones que promuevan este trabajo es propiciar en los alumnos el desarrollo de la capacidad para resolver problemas. Por ello, a lo largo de la primaria se proponen contenidos que tiendan a desarrollar en los alumnos la capacidad para tratar información.

1.1 Diversas clasificaciones de los problemas matemáticos en el educación primaria

Mas para poder elegir adecuadamente los problemas que han de plantearse a los alumnos, es conveniente reconocer su estructura y sus fines, por lo que resulta conveniente clasificarlos de diferentes maneras.  Tipos de problemas con base en el fin persiguen

a) Problemas de la vida cotidiana Ejemplo: Se requieren forrar tres cuadernos de tamaño profesional con papel lustre verde. ¿Cuántos pliegos se tendrán que comprar, evitando al máximo el desperdicio?. b) Problemas para desarrollar el cálculo aritmético o la construcción geométrica. Ejemplo: Un niño reunió en un corral pollos y conejos: en total hay 8 animales. Si se cuentan todas las patas que hay en el corral, y estas suman 20. ¿cuántos pollos y cuántos conejos hay?. c) Problemas para fomentar el ingenio y el razonamiento.

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Ejemplo: Hay 3 montones de cerillos con diferente cantidad cada uno, sumando un total de 48 cerillos. Del primer montón se pasan al segundo tantos cerillos como hay en el segundo montón, de tal forma que se duplica su número. Luego, del segundo montón se pasan al tercero tantos cerillos como existen en el tercero. Por último, del tercer montón se pasan al primero tantos cerillos como hay ahora en el primer montón, terminado con igual cantidad de cerillos en cada montón. ¿Cuántos cerillos había al principio en cada montón?. 

Tipos de requerimientos matemáticos de quien los resuelve

a) Problemas de cálculo aritmético Ejemplo: Dos automóviles salen al mismo tiempo de las ciudades A y B, distantes entre sí 840 km y van al mutuo encuentro. El que va de A hacia B lleva una velocidad constante de 50 km/h y el que va de B hacia A de 70 km/h. Si ambos salieron a las 6 a.m. ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y de B? b) Problemas de construcción geométrica c) Problemas de demostración o comprobación Ejemplo: comprobar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° d) Problemas de registro de información e) Problemas de medición  De acuerdo con la utilización de las operaciones básicas a) Problemas de aplicación directa de la operaciones aritméticas Ejemplo: María compró 3 libretas rayadas y 4 de cuadros. ¿Cuántas libretas compró en total? b) Problemas que revelan un vínculo entre los componentes y los resultados de las operaciones aritméticas Ejemplo: Laura compró algunos moños azules y 3 blancos; en total compró 8 moños. ¿Cuántos moños azules compró Laura? c) Problemas que revelan nuevos significados de las operaciones aritméticas

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Ejemplo: Una casa se construye en 15 meses y otra en 9 meses ¿Cuántos meses más que la segunda se tardaron en construir la primera? d) Problemas que vinculan operaciones inversas.  Problemas con base en las variables semánticas a) Cambio de estado Ejemplo: Manuel tenía 4 paletas. Tere le dio 5 más ¿Cuántas paletas tiene ahora Manuel?. En este problema hay un estado inicial que es el número de paletas que tiene Manuel (4), después se da una transformación al recibir 5 paletas más, y por último hay un estado final, que es el número de paletas con que termina Manuel, que es de 4+5 paletas. b) Combinación Ejemplo: Gaby tiene 9 caramelos y Vero 5 ¿Cuántos caramelos tienen las dos juntas?. En este problema se combinan los caramelos que tienen dos niñas diferentes. c) Comparación Ejemplo: Ramón tiene 9 canicas y José 5 ¿Cuántas canicas menos tiene José que Ramón? En este problema se hace un comparativo entre las canicas que tiene uno y otro niño. d) Igualación Ejemplo: Karla tiene 12 lápices y Pedro 3. ¿Cuántos lápices debe perder o regalar Karla para tener igual cantidad que Pedro?  Problemas aritméticos con base en la cantidad de operaciones que requieren para su solución a)

Simples

Ejemplo: Hugo tiene 30 estampas. Pega 17 en su álbum ¿Cuántas le quedan sin pegar? En este problema se resuelve una sola operación.

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b)

Compuestos

1.

Dependientes

Ejemplo: La maleta de Paulina pesa 16 kg. Si la maleta de Mayra pesa 15 kg más que la de Paulina. ¿Cuánto pesan las dos maletas juntas? En este problema se resuelven dos operaciones, debiendo resolverse primero cuánto pesa la maleta de Mayra y después cuanto pesan ambas

2. Independientes Ejemplo: Luis recogió 88 naranjas, de las cuales 22 están podridas. Del total entregó a su mamá 52 y a su tía 18. ¿Cuántas naranjas en buen estado recogió Luis? ¿Cuántas naranjas le sobraron a Luis después del reparto que hizo?. En este problema se debe resolver más de una operación, y el orden en el cual se contesten las preguntas es indiferente. 

a)

Problemas de acuerdo con el tipo de pregunta que plantean

Problemas de tipo analítico

Ejemplo: ¿Cuáles son las diferencias y semejanzas entre un triángulo y un cuadrado?. En este problema primero hay que descomponer las figuras para poder comprarlas. b)

Problemas de tipo sintético

Ejemplo: Redacta un problema en el que se apliquen sumas y restas. En este problema hay que sintetizar conocimientos previos de sumas y restas c)

Problemas de tipo evaluativo

Ejemplo: Si tienes 3 mascotas (perro, gato, pato) y tus papás sólo te permiten quedarte con una. ¿cuál escogerías y por qué? y ¿qué haría con las otras?. En los problemas de tipo evaluativo están implicados valores humanos.

1.2. Pasos o etapas para resolver un problema de forma convencional

75

1.

Análisis inicial del problema

¿Cuál es la pregunta?, ¿Cuáles son los datos?, ¿cuáles son las condiciones del problema? 2.

Determinación de una posible estrategia de solución

¿Puedo establecer una serie de operaciones o relaciones para hallar la solución?; ¿He resuelto anteriormente un problema parecido?; ¿Pueden cambiarse los datos o las preguntas a otros equivalentes pero más sencillos?

3.

Realización de las operaciones o del procedimiento que se platearon

en la estrategia elegida. ¿Puede verse que es correcto cada paso?

4. Autoevaluación de la estrategia de solución para posibles rectificaciones. ¿Voy por el camino correcto?, ¿es conveniente rectificar mi razonamiento para resolver el problema?, conforme avanzo ¿tengo una mayor comprensión del problema?

5. Control o evaluación de la(s) solución(es) encontrada(s). ¿Es lógica cada solución hallada?; ¿Puede verificarse el resultado?; ¿Es posible inventar problemas semejantes?; ¿Puede obtenerse el resultado de un modo distinto?  Solución de problemas por procedimientos no convencionales

En ocasiones se obliga a los alumnos a seguir un camino para resolver problemas, determinado por el maestro o los textos escolares. Así se establece primero poner los datos, después el planteamiento, a continuación las operaciones y por último el resultado. Esto ciertamente ayuda a algunos alumnos, pero también los encasilla y les limita la creatividad. Para evitar esto es conveniente alentar también la solución

76

por tanteo, por estimación, por graficación, por tablas o por cualquier otro método no convencional. Ejemplo: Víctor repartió $320 entre sus sobrinos, de tal forma que a todos les tocó la misma cantidad. Si a cada sobrino le tocaron $45 y sobraron $5. ¿cuántos sobrinos tiene Víctor?

1.3.

Actitudes deseadas en los alumnos al resolver problemas

Para plantear y resolver problemas que ayuden al desarrollo intelectual de los educandos, no basta con que el maestro conozca las características de sus alumnos y que elija los problemas adecuados a ellos. También es conveniente que los aliente, motive e incentive hasta lograr ciertas actitudes como las que se enuncian a continuación, pues si no hay interés de parte de los niños, para esta actividad, todo esfuerzo será infructuoso.

1.

Valoración positiva hacia los problemas

2.

Actitud favorable para enfrentarse a retos

3.

Tendencia a realizar en forma voluntaria esfuerzo mentales durante la

solución de problemas 4.

Disposición para trabajar y reflexionar en equipo.

1.3.1 Actitudes deseadas en los profesores respecto al planteamiento de problemas a los alumnos

También es conveniente que los docentes mostremos actitudes favorables al planteamiento y resolución de problemas, puesto que si nos mostramos indiferentes y faltos de optimismo y energía, nuestros alumnos, asumirán actitudes semejantes. Por lo anterior, es recomendable que docentes: 1.

77

Seamos promotores de creatividad

2.

No resolvamos los problemas a los alumnos, sino que debemos

guiarlos, estimularlos y permitirles llegar a la solución por ellos mismos. 3.

No dejemos los problemas únicamente como tareas para casa.

4.

Planteemos problemas que impliquen un reto para el alumno, pero

siempre acorde a sus capacidades. 5.

Tomemos en cuenta las diferencias individuales de los alumnos.

6.

Previo al planteamiento de problemas, investiguemos el desarrollo

intelectual de nuestros alumnos y sus potencialidades. Conclusión La resolución de problemas trae beneficios psicopedagógicos tales como: 1.

Son vía o medio para la adquisición y aplicación de los conocimientos

matemáticos

78

2.

Ayudan a la formación de la personalidad del educando

3.

Cooperan al desarrollo intelectual del alumno

4.

Fomentan el ingenio y el razonamiento

5.

Ayudan a resolver problemas de la vida cotidiana

6.

Propician la socialización, al ser medio de comunicación del individuo

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