Relatório 5.docx

Disciplina: Ondulatória e física térmica Professor: Eberth De Almeida Correa Turma: A alunos: Fabrício Carvalho 17/0141578 , Victor Augusto 15/0047525 , Victor Hugo 16/0147328

Relatório V

Introdução: As ondas estacionárias surgem a partir de uma generalização dos modos normais de osciladores acoplados, ondas superpostas causadas pelas repetidas reflexões em extremidades fixas (chamadas de nodos), sua superposição é vista como ondas que parecem estar imóveis. Em uma onda estacionária entre nodos existe sempre um antinodo (local onde temos pontos máximos fixos). Se temos n nodos, sempre haverá n-1 antinodos. Para N osciladores acoplados são obtidos N modos de vibração transversal na direção y. Uma corda contínua seria o equivalente a N tendendo ao infinito, em tese é possível obter infinitos modos normais (apesar de tender ao infinito os modos só assumem valores discretos como por exemplo 1, 2, 3, 4, …). Para modelar o problema matematicamente, as seguintes condições de contorno devem ser atendidas: 𝑦(0, 𝑡) = 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0

(1)

Outra característica essencial é que todos elementos da corda vibram na mesma frequência ω e mesma constante de fase 𝛅. A função que seria 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴(𝑥, 𝑡) ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿) acaba se simplificando para 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴(𝑥) ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛿), que é a função correspondente para o caso estacionário. y(x, t) deve ser solução para a equação de onda:

1 𝜕2𝑦 𝜕2𝑦 − =0 𝑣 2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 −𝜔2 𝜕 2 𝐴(𝑥) ⋅ 𝐴(𝑥) ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛿) = ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛿) 𝑣2 𝜕𝑥 2 −𝜔2 𝑣2

⋅ 𝐴(𝑥) = Com

𝜕2 𝐴(𝑥) 𝜕𝑥 2

2

𝜔2 𝜕 𝐴(𝑥) ou então 2 ⋅ 𝐴(𝑥) + 2 = 0 (2) 𝑣 𝜕𝑥

𝐴(𝑥) = 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) + 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) (3) a,b = constantes

A equação de onda é resolvida a partir do método de separação de variáveis, o que implica que y(x, t) pode ser dividido em uma função somente de x e outra somente de t. Isso influencia as condições de contorno. Aplicando esse conceito em (1) vamos ter: A(0) = A(L) = 0. Por fim aplicaremos essas conclusões em (3)

𝐴(0) = 𝑎𝑐𝑜𝑠(0) + 𝑏𝑠𝑒𝑛(0) = 0 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑎 = 0 𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴(𝑥) = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) 𝑛𝜋 𝐴(𝐿) = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑘𝐿) = 0 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝐿) = 0, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑘𝑛 = (𝑛 = 1, 2, 3, . . . ) 𝐿

Voltando com os resultados em (2):

𝜕 𝜔2 𝑛𝜋 ⋅ 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) + 𝑛 𝐿 𝑣2

2

[𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋 𝑥)] 𝐿 =0 2 𝜕𝑥

𝑛𝜋 𝑥)] −𝜔2 𝑛𝜋 𝐿 = ⋅ 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) 𝑛 𝜕𝑥 2 𝑣2 𝐿 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝜔 𝑛𝜋 −( )2 ⋅ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) = −( )2 ⋅ 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) 𝐿 𝐿 𝑣 𝐿 𝜕2 [𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(

Concluimos assim que:

𝑛𝜋 𝜔 = 𝐿 𝑣 𝑛𝜋 𝜔𝑛 = 𝑣 (4) 𝐿

E obtemos a equação final para os modos normais de vibração:

𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(

𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥)𝑐𝑜𝑠( 𝑣𝑡 + 𝛿𝑛 ) 𝐿 𝐿

Pela formula de Taylor, sabemos que a velocidade de um pulso percorrendo uma corda de densidade 𝛅 é dado por:

𝑣=√

𝐹 𝛍𝛍𝜇

, [𝐹] = 𝑁, [𝜇] =

E a frequencia angular: 2𝜋 𝜔 = 𝑇 = 2𝜋𝑓 (6)

Juntando (4) e (5):

𝑛𝜋 𝑣 𝐿 𝑛 𝑓𝑛 = 𝑣 2𝐿

2𝜋𝑓 =

𝑓𝑛 =

𝑛 2𝐿

𝐹

√𝛍𝛍𝜇 (7)

𝐾𝑔 𝑚

(5)

A equação (6) é a frequência de uma onda estacionária, n é o número do harmônico, L é o comprimento da corda em metros, F é a força na corda dada em Newtons (a tensão), 𝛅 é a densidade da corda em kg por m. Desta maneira podemos relacionar a frequência, a velocidade e o comprimento de onda:

𝑣=

𝜆 𝑇

= 𝜆𝑓

(8)

Fazendo algumas manipulações temos que:

𝑣𝑛 = 𝜆𝑓𝑛 =

𝜆𝑛

𝐹

𝜆

𝐹

e 𝑣1 = 𝜆𝑓1 = √ √ 2𝐿 𝛍𝛍𝜇 2𝐿 𝛍𝛍𝜇

(8.1)

Portanto podemos escrever a velocidade de uma onda em função de n, além disso podemos concluir que a velocidade é um múltiplo da velocidade com n=1

𝑣𝑛 = 𝑛𝑣1

(8.2)

Isolando λ e substituindo nela (5) e (7) teremos:

𝐹 𝛍𝛍𝜇

√

𝜆

=𝑉= = 2𝐿 𝑛 𝑓 𝑛 𝐹 √ 2𝐿 𝛍𝛍𝜇 2𝐿 𝜆𝑛 = (9) 𝑛

Obtemos assim, finalmente, a frequência angular, a frequência e o comprimento de onda para os modos normais de uma onda, assim como a equação que descreve uma onda estacionária no espaço e tempo.

Materiais: ● ● ● ● ● ● ●

Base do gerador de onda estacionária com sistema rotacional, controle eletrônico e frequencímetro de 40 Hz; Haste extensora para dinamômetro; Dinamômetro (Einst = 0,01 N); Corda fina; Corda grossa; Regua (Einst = 0,05 cm); Fonte chaveada.

Procedimentos: Para fins práticos o kit de ondas estacionárias já estava montando para o experimento. Os ajustes mais finos foram feitos subsequentemente a entrega do kit, primeiramente foi necessário girar o parafuso localizado na parte superior para ajustar os tubos. O final do tubo externo foi devidamente ajustado de forma a estar alinhado com o primeiro traço do tubo interno. O dinamômetro foi posto na haste de metal e com uma corda conectamos o mesmo ao sistema rotacional do kit, passando por uma roldana. Em seguida, a haste de elevação do dinamômetro foi ajustada a obter uma valor aproximado de 0,1 N, o equipamento foi ligado a rede elétrica e a frequência ajustada lentamente para 30 Hz. Com o motor em movimento a haste de fixação foi manipulada até a acharmos o primeiro harmônico (com o antinodo em sua máxima amplitude possível), ou seja, meio comprimento de onda. O primeiro harmônico foi obtido com facilidade e pode ser visto claramente. Foi realizado o mesmo procedimento anterior para encontramos o segundo harmônico. Para tal, a haste foi ajustada a fim de se diminuir a força aplicada na corda. Os procedimentos anteriores foram repetidos para se determinar os demais harmônicos, além de serem feitos com uma corda mais fina foi utilizada também uma corda grossa de maior massa, os resultados foram anotados em uma tabela.

Dados: Tamanho total da corda = 69,5 cm = 0,695 m Fio oscilante (L) = 49 cm = 0,49 m Não foi possível calcular a massa da corda pois ela estava abaixo da faixa de precisão da balança do laboratório (Einst = 0,01 g). No entanto podemos estipular seu valor a partir dos dados obtidos e a relação (7). Seja 𝛅f a densidade da corda mais fina, mf a massa da corda fina e analogamente 𝛅g e mg a densidade e a massa da corda mais grossa:

𝑓𝑛 =

𝜇𝑓

𝑛 𝐹 √ 2𝐿 𝛍𝛍𝜇𝑓

√𝜇𝑓

=

𝜇𝑓

=

𝑛√𝐹 𝑓𝑛2𝐿 𝑛2 𝐹 𝑓𝑛 2 4𝐿2

(9.1)

(1)2 ⋅ 0,15[𝑁] = (30 [𝑠 −1 ])2 ⋅ 4 ⋅ (0,49 [𝑚])2

𝑘𝑔

𝑘𝑔

𝑚

𝑚

= 1,734388033𝑒 − 4 [ ] ≃ 0,0001 [ ]

𝜇𝑓

𝑚𝑓 𝐿 𝑚𝑓 = 𝜇𝑓 𝐿 𝑘𝑔 𝑚𝑓 = 0,0001 [ ] ⋅ 0,49 [𝑚] 𝑚 𝑚𝑓 ≃ 0,000045 [𝑘𝑔] = 0,045 [𝑔] 𝜇𝑓

=

Seguindo os mesmos passos para a corda mais grossa vamos obter: 𝜇𝑔

𝑘𝑔

≃ 0,0008 [ ] e 𝑚𝑔 ≃ 0,000392 [𝑘𝑔] = 0,392 [𝑔] 𝑚

Harmônicos

Força (N)

Nº de nodos

Nº de antinodos

λ (m)

λ2 (m2)

1º

0,15±0,01

2

1

0,98±5e-4

0,9604±9,8e-7

2º

0,035±0,01

3

2

0,49±5e-4

0,2401±4,9e-7

3º

0,01±0,01

4

3

0,3267±5e-4

0,109673±3,3e-7

Tabela 1: Dados obtidos para a corda fina Harmônicos

Força (N)

Nº de nodos

Nº de antinodos

λ (m)

λ2 (m2)

1º

0,7±0,01

2

1

0,98±5e-4

0,9604±9,8e-7

2º

0,175±0,01

3

2

0,49±5e-4

0,2401±4,9e-7

3º

0,07±0,01

4

3

0,3267±5e-4

0,109673±3,3e-7

4º

0,05±0,01

5

4

0,245±5e-4

0,06003±2,5e-7

5º

0,03±0,01

6

5

0,196±5e-4

0,03842±2e-7

Tabela 2: Dados obtidos para a corda grossa

A seguir estão os 4 gráficos com suas respectivas regressões lineares. Vamos nos referir a eles como gráfico 1, 2, 3 e 4. Seguindo a sequência a qual estão apresentados.

Análise de dados: Conseguimos facilmente calcular a velocidade de onda para ambas as cordas calculando a velocidade do primeiro harmônico e multiplicando pelo número do harmônico para encontrar os subsequentes. Para a corda fina:

𝑣1,𝑓 =

𝜆 𝐹 0,98 [𝑚] 0,15 [𝑁] 𝑚 𝑚 √ = = 10√15 [ ] ≃ 38,73 [ ] 2𝐿 𝛍𝛍𝜇 2 ⋅ 0,49 [𝑚] √0,0001 [𝑘𝑔] 𝑠 𝑠 𝑚

E os harmônicos seguintes são 𝑣𝑛 = 𝑛𝑣1 :

𝑚 𝑚 𝑚 𝑣2,𝑓 = 2𝑣1,𝑓 = 2 ⋅ 10√15 [ ] = 20√15 [ ] ≃ 77,46 [ ] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑚 𝑚 𝑚 𝑣3,𝑓 = 3𝑣1,𝑓 = 3 ⋅ 10√15 [ ] = 30√15 [ ] ≃ 116,2 [ ] 𝑠 𝑠 𝑠 Para a corda grossa:

𝑣1,𝑔 =

𝜆 𝐹 0,98 [𝑚] 0,7 [𝑁] 𝑚 𝑚 √ = = 5√35 [ ] ≃ 29,58 [ ] 2𝐿 𝛍𝛍𝜇 2 ⋅ 0,49 [𝑚] √0,0008 [𝑘𝑔] 𝑠 𝑠 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑣2,𝑔 = 2𝑣1,𝑔 = 2 ⋅ 5√35 [ ] = 10√35 [ ] ≃ 59,16 [ ] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑚 𝑚 𝑚 𝑣3,𝑔 = 3𝑣1,𝑔 = 3 ⋅ 5√35 [ ] = 15√35 [ ] ≃ 88,74 [ ] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑚 𝑚 𝑚 𝑣4,𝑔 = 4𝑣1,𝑔 = 4 ⋅ 5√35 [ ] = 20√35 [ ] ≃ 118,32 [ ] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑚 𝑚 𝑚 𝑣5,𝑔 = 5𝑣1,𝑔 = 5 ⋅ 5√35 [ ] = 25√35 [ ] ≃ 147,90 [ ] 𝑠 𝑠 𝑠

Manipulando a formula (7):

𝑓𝑛 =

𝑛 𝐹 √ 2𝐿 𝛍𝛍𝜇

𝑓𝑛 = 𝜆𝑛 √

𝐹 𝛍𝛍𝜇

𝑓𝑛 2 = 𝜆𝑛 2

𝐹 𝜇

𝐹 = 𝑓𝑛 2 𝜆𝑛 2 𝜇 (10) Na equação (10) temos a frequência e a densidade da corda como constantes, o comprimento de onda varia de acordo com o número do harmônico, ou seja, uma equação linear nos moldes de y = ax. Se derivarmos ambos os lados em relação ao comprimento de onda quadrado obteremos:

𝑑𝐹 𝑑 𝜆𝑛 2

=

𝑑(𝑓𝑛 2 𝜆𝑛 2 𝜇) 𝑑 𝜆𝑛 2 𝑑𝐹 𝑑 𝜆𝑛

2

= 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 = 𝑓𝑛 2 𝜇

(11)

A inclinação da reta deve ser igual a frequência vezes a densidade da corda. Fizemos uma estimativa previamente das densidades das cordas fina e grossa. Vejamos se as estimativas estão de acordo com (11), a frequência é constante e igual a 30 [Hz]. Para a corda fina, utilizaremos a equação do gráfico 3:

𝜇𝑓

𝑓𝑛 2 𝜇𝑓 = 0,16291 0,16291 𝜇𝑓 = 𝑓𝑛 2 0,16291 [𝑘𝑔 ⋅ 𝑚−1 ⋅ 𝑠 −2 ] 𝜇𝑓 = (30 [𝑠 −1 ])2 𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 1,81011𝑒 − 4 [ ] ≃ 0,0001 [ ] 𝑚 𝑚

Uma aproximação válida, o mesmo raciocínio decorre para provar a densidade da corda mais grossa. Vamos utilizar a equação do gráfico 4, mais precisamente o coeficiente angular da reta:

𝜇𝑔

𝑓𝑛 2 𝜇𝑔 = 0,72859 0,72859 𝜇𝑔 = 𝑓𝑛 2 0,72859 [𝑘𝑔 ⋅ 𝑚−1 ⋅ 𝑠 −2 ] 𝜇𝑔 = (30 [𝑠 −1 ])2 𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 8,0954444𝑒 − 4 [ ] ≃ 0,0008 [ ] 𝑚 𝑚

Como previsto, as densidades estão de acordo. De fato, se utilizássemos a relação (9.1) com as devidas tensões e número de harmônico, para ambas as cordas, concluiremos que a densidade da corda mais fina flutua entre valores 0,000104 [kg/m] a 0,000173 [kg/m]. Já a corda mais grossa teria sua densidade entre 0,000728 [kg/m] e 0,000984 [kg/m].

Conclusão: Apesar da dificuldade do trabalho com o kit de ondas estacionárias e a incapacidade de encontrar harmônicos menores que o terceiro na corda fina, os resultados práticos obtidos foram satisfatórios e concordam com a teoria. Concluímos que a velocidade da corda depende do comprimento de onda e da densidade da corda e por consequência varia com o número do harmônico e com a corda que utilizamos. O coeficiente angular da força em função do quadrado do comprimento de onda é nada mais, nada menos, que a frequência ao quadrado multiplicado pela densidade da corda.