I Bimestre-geometría-3ro-secundaria.pdf

GEOMETRÍA

ÍNDICE Pág. Cap. 1

Generalidades sobre un triángulo .....................................................................................

5

Cap. 2

Línea recta, rayo, segmentos ........................................................................................... 15

Cap. 3

Operaciones con segmentos ............................................................................................ 23

Cap. 4

Ángulos ......................................................................................................................... 31

Cap. 5

Repaso I ........................................................................................................................ 41

Cap. 6

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante a ellas (Uso del complemento y suplemento) .............................................................................. 49

Cap. 7

Otros sistemas para la medición de ángulos ..................................................................... 61

Cap. 8

Repaso II ....................................................................................................................... 69

Cap. 9

Triángulos ...................................................................................................................... 75

Cap. 10

Líneas notables asociadas al triángulo I (Ceviana, altura y bisectriz) ................................. 85

Cap. 11

Líneas notables asociadas al triángulo II (Mediana y mediatriz) ........................................ 93

Cap. 12

Triángulos rectángulos notables ....................................................................................... 101

Cap. 13

Repaso III ......................................................................................................................111

Cap. 14

Congruencia de triángulos ............................................................................................... 119

Cap. 15

Aplicaciones de la congruencia de triángulos .................................................................... 127

Cap. 16

Repaso IV ......................................................................................................................135

GEOMETRÍA  2008 - TRILCE Departamento de Publicaciones Lima - Perú TRCO3SLIGM-08.pmd

3er año de secundaria

Pág. Cap. 17

Polígonos .......................................................................................................................143

Cap. 18

Polígonos regulares .........................................................................................................151

Cap. 19

Cuadriláteros (Trapezoides y Trapecios) ........................................................................... 159

Cap. 20

Cuadriláteros (Paralelogramos) ........................................................................................ 169

Cap. 21

Repaso V .......................................................................................................................179

Cap. 22

Circunferencia ................................................................................................................185

Cap. 23

Ángulos asociados a la circunferencia ............................................................................... 195

Cap. 24

Repaso VI ......................................................................................................................205

Cap. 25

Proporcionalidad .............................................................................................................209

Cap. 26

Semejanza de triángulos ................................................................................................. 219

Cap. 27

Relaciones métricas en triángulos rectángulos .................................................................. 229

Cap. 28

Áreas de regiones poligonales ......................................................................................... 237

Cap. 29

Áreas de regiones circulares ............................................................................................ 245

Cap. 30

Sólidos geométricos ........................................................................................................253

Cap. 31

Repaso VII .....................................................................................................................261

Generalidades sobre un triángulo TRIÁNGULOS Propiedades

B

e°2

1. ° + ° + ° = 180°

 c e°1



A

2.

e°1 + e°2 + e°3 = 360°

3.

e°1 = ° + ° e°2 = ° + ° e°3 = ° + °

a

 b

C

e°3

Triángulo isósceles

L

L





Triángulo equilátero

60° L

L

60°

60° L

Organización Educativa TRILCE

5

Gener alidades sobre un tr iángulo

Test de Aprendizaje 1. Del gráfico, calcular “x°”. B

Resolución:

X° + 20°

X° + 30°

X° + 70°

A

C

2. Del gráfico, calcular “x”. B

Resolución:

2x - 5°

A

6

x+10°

125° C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 3. Del gráfico, calcular "x".

B

Resolución:

100°

x + 60°

C

A

120°

4. En un triángulo ABC, se cumple: m A=2m C = 80°, calcular la m

B.

Resolución:

5. Si el triángulo ABC es isósceles, calcular "x". Resolución:

B x

A

92°

C

Organización Educativa TRILCE

7

Gener alidades sobre un tr iángulo

6. Si el triángulo ABC es equilátero, hallar “x”

B

Resolución:

40º

x

A

C

D

7. Hallar “x”

x

60º

40º

Resolución:

50º

8. Si: CD = CE, hallar el valor de “x”.

B

Resolución:

x C A

8

30 º

E

35º D

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 9. Si: BC = EC y AE = BE, hallar m

A

B

A

Resolución:

40º E

C

10.En un triángulo equilátero ABC, sobre el lado BC , se toma el punto “P”, tal que m Hallar: m BAP

APC = 4 m

BAP..

Resolución:

Organización Educativa TRILCE

9

Gener alidades sobre un tr iángulo

Practiquemos 1. Calcular “x°”

6. Calcular "x°"

B A

60°+x°

x°+20°

20°

x°

60°

C

80°+2x° 70° D

2. Calcular "xº" 7. Calcular “x°”

xº

a

B

a

80°

65°

I 3. Si: AB = BC, calcular “x°”.

A

 

x° 

 C

B 20°

4x°

A

8. En un triángulo ABC, se traza BP ("P" está en AC ) de tal manera que AB=BP=PC. Hallar la m ABP , si: m BCA = 40°.

C 9. Calcular “x°”

4. Calcular “x°”

B  

P B x° 60° A

A 40°

40°

C

x°

80°

30° D

C

Q 10.Calcular “x°”, si: AC = BC.

5. Calcular "xº"

B

B 80°

35°

A

10

D

x°

25°

A

75°

x° C

C Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Autoevaluaciòn 1. Calcular “x°”, si: AB = BC = AD.

4. En la figura, AB = BC y BE = BD, hallar “xº”

B

B

100° A

xº

60°

x°

C

E 40º

A

D 2. En un triángulo ABC (AB = BC) se ubica el punto “D” en AB , tal que: CD = AC. Hallar m  CBA, si: m  DCA = 25°.

C

D

5. En la figura, AB = AD = DC. Hallar “x”

B 26xº

3. En un triángulo ABC, se traza BP (“P” está en AC ) de tal manera que: BP = PC. Hallar la medida del ángulo ABC, sabiendo además que: m  ABP - m  BAC = 40°.

D 6xº 4xº

A

C

Tarea domiciliaria 3. Calcular “x°”, en términos de “”.

1. Calcular “x°”

B

B 4x°

A

A

44°

36°

C

x° C

°

4. Si: BD = BC, hallar: m BCA.

B

2. Calcular “x°”

° 40

71° b

b x°

Organización Educativa TRILCE

A

30°

D

C

11

Gener alidades sobre un tr iángulo 5. Calcular “x°”

11.Calcular “x°” en el gráfico.

B ° 10

x°+10°

x°

A

D

70°

20°

C

6. Calcular “x°”

80°

50°

12.Si: BD = 10, calcular “BC”.

B

B

x°

° 40

120° A

130°

C 30°

A

70°

D

C

7. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular “x°” 13.Calcular “x°”

B

30 °

x°

A

70°

C

160° 8. Calcular “x°”

100° B 14.Calcular "x"

2x°+20° x°+10°

A

B

3x°+30°

70°

C

9. Calcular “x°”

3 x°

A

 

C

15.Calcular "x" B

5x°-10° 70°

E

80°

10.En el gráfico, calcular “x°”. A

3x°+30°

x° 

 



C

16.Calcular "x", si: AB = BP = PC. B

2x°+20° 5x°+10°

40° A

12

x

 

P

x

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 17. Calcular "BC", si: AD = BD = 4.

23.Calcular "x" B  

B A

40°

 C

A

80°

40° D

C

x

E



24.Calcular "x" B

18.Calcular "x"

80°

11x A  



C 

5x E x

12x

19.Calcular el perímetro del triángulo ABC, si es equilátero.

B

25.Calcular "x" B 130°

x+2

2x - 3

C

A

E  



x F

110°

26.En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se ubica el 20.En un triángulo isósceles ABC se sabe que: m A = 100°, calcular la m C .

punto “P” en AC , tal que: AP=AC, si m B = 30°, calcular la m PAC . 27. En un triángulo ABC se traza BM (“M” en AC ), tal que: AM = MB = MC. Calcular la m ABC .

21.Calcular "x + y"

l

y+40°

28.En un triángulo ABC, se ubica el punto “D” en AC , tal que: AD = DB y DC = BC. Si m A=25°, calcular m C.

l

2x - 10°

l

29.Se tiene un triángulo isósceles ABC donde AB = BC, en el cual se traza una ceviana CP. Sobre CP se ubica el punto “Q”, tal que: BP = BQ y la m QBC = 36°. Hallar: m ACP..

22.Calcular "x"

30° x

50°

Organización Educativa TRILCE

30.En un triángulo ABC se traza la bisectriz exterior BF (“F” pertenece a la prolongación de AC ) luego en AB se ubica el punto “E”, de modo que: AE = EC y m AFB = 20°. Hallar: m ECB..

13

Línea recta, rayo, segmentos LÍNEA RECTA

Segmentos congruentes

Es un conjunto ilimitado de puntos que están en una misma dirección.

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

8

Q

P

A

Línea recta PQ: PQ

B

8 C

RAYO

D AB  CD

Es cualquiera de las dos partes de una línea recta que se determina al tener un punto fijo sobre ella.

A

O

Rayo OA: OA Rayo OB: OB

B

Punto medio de un segmento

4

O: origen

A

4 O

B

O: Punto medio de AB SEMIRECTA Es un rayo sin origen.

Operaciones con segmentos

B

O Semirecta OB: OB

A

B

C

D

E

AE = AB + BC + CD + DE SEGMENTO DE RECTA

AB = AE - BE

Es una porción de una línea recta que tiene dos extremos fijos.

A

B 10

Segmento de recta AB: AB Longitud del segmento AB: Número real positivo: AB = 10

Organización Educativa TRILCE

15

Línea r ecta, rayo , segm ento s

Test de Aprendizaje 1. En el gráfico, calcular “x”.

30

10 Resolución:

A

B

D

C

x

28

2. En el gráfico, si “B” es punto medio de AC , calcular “x”..

30

A

Resolución:

10

B

C

D

x

3. Del gráfico, calcular “BC”.

17 A

B

Resolución:

C

15

D

24

16

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 4. Si “C” es punto medio de AD , calcular “BC”..

A

Resolución:

18

14 B

C

D

5. Si “M” y “N” son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular “x”..

40

A

M

B

Resolución:

N

C

x

6. Calcular “x”, si: AM = MD; AC = 18 y AD = 30

A

M

C

D

Resolución:

7. Se tienen los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: PQ = RS = 18. Hallar “PR”. Además: PS = 46 Resolución:

Organización Educativa TRILCE

17

Línea r ecta, rayo , segm ento s

8. Se tienen los puntos consecutivos “L”, “O”, “C” y “A”. Si: LC = CA, LO = OC y LA = 64, calcular “OC”. Resolución:

9. En una recta se tienen los puntos consecutivos “A”, “N”, “G”, “E” y “L”, tal que: NG = GE = 16. Hallar “AN + EL”, si: AL = 80. Resolución:

10.Del gráfico mostrado, calcular “MN”, siendo “M” y “N” puntos medios de AC y BD respectivamente.

Resolución:

18

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Practiquemos 1. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 21, BD = 28 y AD = 30, calcular “BC”.

6. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AD = 20, AB = 8 y CD = BC, calcular “AC”.

2. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 19, BD = 24 y AD = 27, calcular “BC”.

7. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AB = BC, AC = CD y AD = 48, calcular “BC”.

3. Se tienen los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R”, “S” y “T”. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12 y RT = 20, calcular “QS”.

8. Del gráfico mostrado, calcular “MN”, siendo “M” y “N” puntos medios de AC y BD respectivamente.

18

12 4.

C

a

l c

u

l a

r

“

P

M

”

,

s

i e

n

d

o

“

M

”

p

u

n

t

o

m

e

d

i o

d

e

QR .

Q

B

C

D

9. Calcular "RS", siendo "R" y "S" puntos medios de PT y QT respectivamente.

18 P

A

8

R

22

S 22

16

30 P

Q

R

S

T

5. Calcular “x”, si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.

x A

C

M

D

10.En una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, donde “P” y “Q” son puntos medios de AB y CD respectivamente. Si: AC = 26 y BD = 14, calcular “PQ”.

Autoevaluaciòn 1. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, en ese orden. Si: AC + AB = 18, calcular “AM”, siendo “M” punto medio de BC .

2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D", siendo "B" punto medio de AC . Calcular "AB", si: 3BD = 4AC.

A

B

C

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D"; tal que: CD = 7AC; BD - 7AB = 40, calcular "BC".

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC + BD = 24, calcular "PQ", siendo “P” y “Q” puntos medios de AB y CD respectivamente.

D

22

3. Sean los puntos consecutivos: "A", "B", "C" y "D" en una recta, tal que: AB = BD = 3CD y AD = 12 , calcular "CD".

Organización Educativa TRILCE

19

Línea r ecta, rayo , segm ento s

Tarea domiciliaria 1. Calcular “AN”, si: AP = 2, PB = 3 y BN = 7.

P

A

B

N

13.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de modo que: AB = 6, BC = 8 y CD = 10. Luego se ubica “M” punto medio de AB y “N” punto medio de CD . Calcular “MN”..

2. Calcular “AP”, si: PB = 3 y AB = 10.

P

A

B

3. Si: PR = a y RT = b, calcular “PT” en términos de “a” y “b”.

R

P

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Determinar el número total de segmentos que se forman. 6. Según el gráfico: AC = 26. Calcular “x”.

B 2x

7. Del gráfico, “M” es punto medio de BC . Si: AM = 9 y MC = 2, calcular “AB”.

B

A

M

C

C 3x+1

D

16.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “AD”, si: AC = 10 y AD + CD = 30.

18.En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que: AC = 22, BD = 25 y AD = 33. Calcular “BC”.

4x+3

A

C

D

11.Si: AB = 6 cm; BC = 8 cm y CD = 10 cm, calcular “MN”.

M b

20

B b

C

N a

C

E

D

C

B

M a

a

N b

D b

21.Si: AB = CD = 18 cm y BC = DE = 16 cm, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y DE.

A

A

M

20.Si: AC + BD = 46 cm, calcular “MN”.

10.Si: AC = 12 cm; BD = 14 cm y BC = 7 cm, calcular “AD”.

B

3x

15.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, AB BC CD   “B”, “C” y “D”. Calcular “AC”, si: y 2 3 5 AD = 40.

9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, de modo que: BC = 2AB. Calcular “AB”, si AC = 36.

A

D

2x

A

B 3x

x

C

19.Si “M” es punto medio de AE y AC - CE = 32 cm, calcular “MC”.

8. Si: AD = 44, calcular “x”.

A

B

17. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “AB”, sabiendo que: AC = 14, BD = 18 y CD = 2AB.

C

12

14.De la figura: AD = 48. Calcular “BC”.

A

T

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “P” de modo que AB > BP. ¿En qué segmento se encuentra el punto medio de AP ? (Graficar).

A

12.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 10, AC = 8 y BD = 6.

B

C

D

E

22.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC + BD = 24, calcular “PQ”, siendo “P” y “Q” puntos medios de AB y CD respectivamente.

a Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 23.En una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “AD”, sabiendo que: AC = 4 + CD. Además: AB BC CD   2 3 4

M

B

C

A

D

=

1

8

28.Calcular “BD”, si: AB = 3BC y AD + 3CD = 12.

24.“M” y “N” son puntos medios de AB y CD ; BC = 4 cm y AD = 10 cm. Calcular “MN”.

A

27. Sean los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” sobre una recta, tal que: AB = BD = 3CD. Calcular “CD”, si: .

N

D

25.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, AB BC CD   “B”, “C” y “D”, tal que: y AD = 24. 3 4 5 Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de los segmentos AC y BD.

A

B

C

D

29.“A”, “B”, “C” y “D” son puntos consecutivos tomados sobre una recta. Si “M” es punto medio de AD , AB + CD = 10 y BM - MC = 2, calcular “CD”. 30.Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C”, “D”, “E” y “F ”. Sabiendo que: BE AB = EF = y AC + BD + CE + DF = 24, calcular 3 “BE”.

26.En una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” donde “M” es punto medio de AB y “N” es punto medio de CD . Si: AC = 14 y BD = 8, calcular “MN”.

Organización Educativa TRILCE

21

Operaciones con segmentos B6

A6

B5

A5

Las vigas, los soportes y los alambres de la estructura de acero (que aparece en la fotografía) forman triángulos, que son las figuras geométricas más sencillas que se pueden formar con puntos y rectas.

A’’ A’

A4

B4

A3 A2

B3

B2

A

B’’ B’

B

A1

B1 O

Recordar: SUMA DE SEGMENTOS

RESTA DE SEGMENTOS

Ejemplo:

Ejemplo:

Hallar "x"

Hallar "x" x 2m

3m A

B

C

x

5m

5m D

P

AD = AB + BC + CD x = 3m + 2m + 5m x = 10 m

Q

R 12 m

QR = PR - PQ x = 12m - 5m x = 7m

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Ejemplo: Hallar "x", si "M" es punto medio de AC 2x + 10

A

5x - 20

M

C

AM = MC 2x + 10 = 5x - 20 30 = 3x 10 = x

Organización Educativa TRILCE

23

Oper acio nes co n segm ento s

Test de Aprendizaje 1. Si: AC = BD = 32m y AD = 40m, calcular “BC”.

A

B

C

D

Resolución:

2. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 18 m, BD = 20 m y AD = 30 m. Hallar "BC". Resolución:

3. Si: AC = 30m, BD = 28m y AD = 40m, calcular “BC”.

A

24

B

C

D

Resolución:

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 4. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "M", "O" y "R" tal que: AM = 10 m, AR = 50 m y "O" es punto medio de MR . Hallar "AO". Resolución:

5. Si: PR = 17m, QS = 15m y PS = 24m, calcular “QR”.

P

Q

R

S

Resolución:

6. Si: TA = 165 m, hallar: CA

x T

8x

2x O

C

A

Resolución:

Organización Educativa TRILCE

25

Oper acio nes co n segm ento s

7. En la figura, hallar “PQ + RS”, si: QR = 12 y PS = 39.

P

Q

R

S

Resolución:

8. Si: AB = 3BC y AC = 24, hallar “BC”

A

B

C

Resolución:

9. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si se cumple que:

AB  BC  CD y AD = 36 m 4 7 calcular “BC”. Resolución:

26

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 10.Se tienen cuatro puntos consecutivos “A”, “M”, “B” y “C” de modo que “M” es punto medio de AB . Si: AC + BC = 46, hallar “MC”. Resolución:

Practiquemos 1. Si: AC =30 m; BD=50 m y AD=70 m, hallar "BC".

6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: PR = 10 m, QS = 12 m y QR = 4 m.

A

B

C

D

2. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R”, “S”, tal que “Q” es punto medio de PR . Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar “QS”. 3. En la figura, hallar "TS + RP", si: SR = 10 m y TP = 37 m. T

S

R

O

A

P

B

P

5k E

"CD".

A

B

D

BC 1 = , AC 2

calcular “CD”; además: AD = 12 m. 9. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C”, “D” y “E”. Si se cumple que: BC CD DE   ; AE = 80 3 5 7

calcular “BD”.

2k R

C

“B”, “C” y “D”. Si “C” es punto medio de BD y

AB 

5. Si: PU = 120 m, hallar "ER". 3k

7. Si: AD - AB = 20 m y "C" es punto medio de BD, hallar

8. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”,

P

4. Si "O" es punto medio de MA y "P" es punto medio de AB ; hallar "OP", tal que: MA=18 m y AB=20 m. M

Calcular “MN”, siendo “M” y “N” puntos medios de PQ y RS .

U

10.Se tienen cuatro puntos consecutivos en una línea recta: “A”, “M”, “B” y “C”, de modo que “M” es punto medio de AB . Si: AC + BC = 30m, hallar “MC”..

Organización Educativa TRILCE

27

Oper acio nes co n segm ento s

Autoevaluaciòn 1. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”; tal que: AC = 19 y BD = 23. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD .

4. En una recta se dan los puntos consecutivos “M”, “A”, “O” y “B”, siendo “O” punto medio de AB . Calcular “MO”, sabiendo que: (MA)(MB) = 32m2 y AB = 4m.

2. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que “B” es punto medio de AD y AC = 5CD..

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”. Calcular “PR”, sabiendo que: QR = RS y (PS)2 - (PQ)2 = 12QS.

Calcular:

BC AB

3. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Se cumple: AB = 3m, AC = 5m y 4AB - BD - 2CD = 4m. Calcular "AD".

Tarea domiciliaria 1. En la figura, calcular “BC”, si: AD = 10, AC = 8 y BD = 7.

A

C

B

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: AC = 24, BD = 30 y BC = 15. Calcular “AD”.

D

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 12, AC = 9 y BD = 8. 3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que: AD = 20, AC = 18 y BD = 15. Calcular “BC”. 4. Si: AC = 12, BD = 15 y AD = 20, calcular “BC”.

8. “A” y “P” son puntos medios de MN y NQ respec-tivamente, MN = 10 y MQ = 30. Calcular “AP”.

M

N

A

Q

P

9. Si “B” y “C” son puntos medios de AC y AD , calcular “AD”.

B

A

C

D

9 cm A

C

B

D 10.Si: AB = 26 cm y CD = 6 cm, calcular “MN”.

5. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12 y RT = 18, calcular “QS”.

A a

P

R

Q

S

T

C

M

D

a

N b

B b

11.Si “M” y “N” son puntos medios de AC y CB , calcular “AB”.

6. Si: MN = 5u, NQ = 12 y NP = PQ, calcular “MP”.

a

M

28

N

P

Q

A

a N

b C

b M

B

8 cm Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 12.En la figura, calcular “MN”, si “M” es punto medio de PQ , “N” es punto medio de QR y PR = 20.

20.Si: AD + AB = 20 y BC = CD, calcular “AC”.

A

P

Q

M

N

R

13.En la figura, calcular (MO)2, si: MA = 2 y AB = 8. Además “O” es punto medio de AB .

A

M

O

B

48 cm Q 9x

15.Si “M” es punto medio de AC , calcular “x”..

x M

C

16.Calcular “x”, si “C” es punto medio de BD.

9 C

D

x

A

B

M

C

24.Sean los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” sobre una recta, tal que: AB = BD = 4CD. Calcular “CD”, si: AD = 40.

25.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Sabiendo que: AC = 30 y BD = 20, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

20 cm B

A

C x

18.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, AB BC CD DE    “B”, “C”, “D” y “E”. Calcular “BE”, si: 2 3 5 7 y AE = 85.

M

B

C

N

D

27. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “S”, “O”, “L” y “A”. Calcular “SA”, si: SL = 30 y SA + LA = 70. 28.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos “M”, “A” y “B”, siendo “O” punto medio de AB . Calcular “MO”,, sabiendo que: MA = 18 y AB = 20.

29.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A“, “B”, “C” y ”D”. Sabiendo que: AC = 20 y BD = 60, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

19.Calcular “PR”, si: RQ - PR = 14 cm.

30 cm R

26.En la figura, calcular “MN”, si: AC + BD = 30, “M” es punto medio de AB y “N” es punto medio de CD . A

17. Si: AC + AB = 32 cm, calcular “BC”.

P

22.En la figura, calcular “AM”, si: AC + AB = 20 y “M” es punto medio de BC.

2

B

A

21.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: AB = BC y CD + AD = 18. Calcular “BD”.

12

B

A

D

R

3x

8

C

23.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: CD = 4AC. Calcular “BC”, si: BD - 4AB = 30.

14.Calcular “x”

P

B

Q 30.“A”, “B”, “C”, “D” y “E” son puntos consecutivos tomados sobre una línea recta, tal que “C” es punto medio de AE , AC = BD y AD + BE = 30. Calcular “BD”..

Organización Educativa TRILCE

29

Ángulos DEFINICIÓN

Bisectriz de un ángulo

Es aquella figura geométrica formada por la unión de dos rayos que tienen el mismo origen. La medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales.

Es el rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a dicho ángulo en dos medidas iguales.

A

OR: Bisectriz del ángulo AOB

A Región interior del ángulo AOB

O



O

m

R

 

AOR = m AOR =

ROB

BOR

B

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

B

• Según sus medidas

ELEMENTOS

- ÁNGULOS CONVEXOS

Lados: OA y OB

Ángulo agudo Cuando su medida es mayor que 0° y menor que 90°.

Vértice: O Notación Ángulo AOB:

ˆB AOB ó AO

Medida del ángulo AOB: m m

0° < ° < 90° 

AOB

AOB = 

Ángulo recto Cuando su medida es igual a 90°.

Congruencia de ángulos Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

A

O AOB 

A m

P



 B

Q

 R

PQR (los ángulos AOB y PQR son congruentes) m AOB = m PQR

O

AOB = 90°

B

Ángulo obtuso Cuando su medida es mayor que 90° y menor que 180°.

90° < ° < 180° 

Organización Educativa TRILCE

31

Ángulos Ángulo llano Cuando su medida es igual a 180°.

- Ángulos consecutivos en un mismo semiplano Los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos.

 C

B

 = 180°

D

A

- ÁNGULO NO CONVEXO Cuando su medida es mayor que 180° y menor que 360°.







 E

O

 = 180°

 180° <  < 360°

Ángulos coplanares alrededor del vértice

A B • Según la posición de sus lados



Ángulos adyacentes Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además están situados a distintos lados de un lado común.

C



B

A



 O

° + ° + ° + ° = 360° En el gráfico, los ángulos AOB y BOC son adyacentes



D

Ángulos opuestos por el vértice

 O

C

- Ángulos adyacentes suplementarios Los ángulos AOB y BOC son adyacentes.



B 



O

A



C

 +  = 180°

° = °

Ángulos consecutivos

B A

  

C

D

En el gráfico, los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos E

O

32

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Test de Aprendizaje 1. Calcular el valor de "x". B

Resolución:

C 68°

x D

O

A

2. Si: m AOC = 105°; hallar "". C

B

 A

Resolución:

64° O

3. Calcular el valor de "".

Resolución: 120°

 80°

Organización Educativa TRILCE

33

Ángulos

4. En la figura, hallar la m POR , si OP es bisectriz del A

BOC

Resolución:

P B

° 20 O

AOB y OR es bisectriz del

R

35° C

5. Se tiene los ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC. Si: m AOB = 140°; hallar m XOC , siendo

OX bisectriz del

BOC .

Resolución:

6. Hallar: m

POR Resolución:

A P

O

34

   

R B

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA  7. Si OM es bisectriz del

COD, hallar “x”..

C M B

A

2x

O

2x

D

Resolución:

8. Si la medida de dos ángulos suplementarios están en la relación de 5 a 7, hallar la medida del menor. Resolución:

9. Si la m

AOB = 5 m

BOC, hallar m

 NOB, si ON es bisectriz del

AOB

N B

A

O

C

Resolución:

Organización Educativa TRILCE

35

Ángulos  10.En la figura, calcular el valor de “x”, si OM es bisectriz del

AOC y m

AOB - m

BOC = 42º

M A

B x C

O Resolución:

Practiquemos 3. Calcular “x°”

1. Hallar: m  AOB

B

C

O

-2 3x °

+ 10°



A

0°

+ 50° D

x° + 10°

2. Calcular “” 4. Si: m  AOB = 40° y m  AOC = 110°; hallar: m  AOR.



+ 30°

B

A

R

+ 50° + 40°  

C

O

36

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 5. Se tiene dos ángulos adyacentes suplementarios. Calcular la medida del ángulo que forman sus bisectrices. 6. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos consecutivos AOB y BOC, si: m  AOC = 84°.

9. En la figura, hallar: m  COM, si: m  BOC - m  AOC = 36°. ( OM : bisectriz del  AOB)

M

B

C 7. Las medidas de dos ángulos están en relación de 2 a 3. Si suman 70°, calcular la medida del mayor.

O

A

10.Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que la

8. Hallar el valor de "x".

m  BOC = 4m  AOB y la m  AOC = 50°. Hallar la m  BOC.

M x  

O 100°

  N

Autoevaluaciòn 1. Si: m  AOB - m  BOC = 80°; hallar: m  MOB, además OM es bisectriz del ángulo AOC.

A

ˆ y BOC ˆ , se trazan 4. Dados los ángulos AOB consecutivos   ˆ , ON de BOC ˆ y OZ de las bisectrices OM de AOB ˆ . Si: m AOB ˆ ” ˆ - m BOC ˆ = 52º, hallar “m BOZ MON

M ˆ ˆ ˆ 5. Sean los ángulos consecutivos AOB , BOC y COD  tales que OP y OQ son las bisectrices de los ángulos ˆ = 31º y ˆ y BOD ˆ respectivamente. Si: m POQ AOC ˆ = 82º, hallar la medida de AOD ˆ . m BOC

B O

C

2. La diferencia de las medidas de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 60°. Hallar m  DOB, si:

OD es bisectriz del ángulo AOC.

3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, se traza el rayo OD bisectriz del ángulo AOB. Hallar m  COD,, si: m  AOC + m  BOC = 140°.

Organización Educativa TRILCE

37

Ángulos

Tarea domiciliaria 1. Calcular "x°"

7. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos POQ y QOR.

Q

R

° 24

P

2x° 40°

60° 0

2. Calcular "x°"

8. Calcular: m AOB

C

B 3x°

2x°

O

A

46° D

3. Calcular "x°" 9. Si: mAOB = 40° y mAOC = 110°; hallar: mAOR.

3x° + 5°

4x° - 10°

A

B R  

4. Calcular “x°”

0

60° 2x° + 15° 2x° - 15°

C lar BOC y m BOC = 48°; hallar

10.Si: OM es bisectriz del m AOM. A

B

5. Calcular “x°” 20°

2x° - 10°

M

3x° + 10°

C

11.Si: m AOB=100° y m BOC=40°; hallar m MON. 6. Calcular “x°”

O  



C



N

A B

B

A

4x° x° + 10° C

38

M Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 12.Calcular ""

17. La diferencia de dos ángulos adyacentes suplementarios es 60°. Hallar el mayor ángulo.

4 - 

5 - 20°

18.Si: m ROQ = 2m POQ y OM es bisectriz del Hallar: m POM

+

M

Q

13.Calcular "x", si: m

AOD=102°.

R

108°

P

QOR .

B A

C x- x

x+

O

D

O

19.Si: m

AOC = 4(m AOB), hallar m AOB . A

14.Si OB y OC son bisectrices de AOC y AOD respectivamente, hallar m BOC , si además m AOD=60°.

B

O

36°

C

A B O

20.Calcular “x°”, si:  = 18°. C

 2 D

15.Hallar: m

x°

MOE C

21.Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que la m BOC = 4m AOB y la m  AOC = 50°. Hallar la m  BOC.

M

22.Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC. Si los ángulos AOC y BOC son suplementarios y m AOB = 80°, hallar: m AOC.

D  

B 38°

E

O

A

24.Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC. Si se traza OD bisectriz del ángulo AOB, hallar: m COD.. Además: mAOC + mBOC = 160°.

16.Hallar el valor de "". 120° 3

23.Se tiene dos ángulos adyacentes. Calcular la medida del ángulo que forman sus bisectrices, si la suma de dichos ángulos es 15°.

3 

25.Se tiene tres ángulos consecutivos que forman un ángulo llano y las bisectrices del primer y tercer ángulo forman 140°. Calcular la medida del segundo ángulo.



Organización Educativa TRILCE

39

Ángulos 26.Calcular “x°”, si: m AOC + m BOD = 140°.

A

28.La diferencia de las medidas de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 60°. Hallar: m  DOB, si:

OD es bisectriz del ángulo AOC.

B

29.Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD miden 25°; 45° y 75° respectivamente. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOD.

C

x°

D 27. Si: mAOC + mBOD = 230°; calcular: mBOC.

30.En el gráfico, OX es bisectriz del AOB y OY es bisectriz del COD. Hallar: m  AOC, si: m  XOY = 90° y m  BOD = 99°.

C

B

X

A

A

O

B C

D 0

Y D

40

Tercer Año de Secundaria

Repaso I Test de Aprendizaje 1. Los puntos "A", "B", "C" y "D" son colineales .Calcula el valor de "BC". Resolución:

2. Si OM es bisectriz del ángulo AOC, calcula la medida del ángulo "x".

B A

Resolución:

M x

40º

C O

Organización Educativa TRILCE

41

Repaso I

3. Si el triángulo ABC es equilátero , calcula el ángulo "x".

B

Resolución:

50º

A

C

x

4. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si: AB=BC, AC=CD y AD=48 cm; calcular "BC". Resolución:

5. Dos ángulos adyacentes complementarios se diferencian en 50º. Hallar el mayor de ellos. Resolución:

  6. Si ON es bisectriz del  COB y OM es bisectriz del  AOB, hallar “x”..

N

C

Resolución:

B O

A

42

x

M

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 7.

S

e

t

i

e

n

e

n

l

o

s

á

n

g

u

l

o

s

c

o

n

s

e

c

u

t

i

v

o

s

P

O

Q

,

Q

O

R

y

R

O

S

d

e

m

o

d

o

q

u

e

mQOS - mPOQ= 56°. Hallar mQOR.

:

m

POR=mROS

y

Resolución:

8. En la figura, BO

 PQ y OQ es bisectriz del ángulo COD, Hallar “”

Resolución:

B C

A 

P

4 Q

O

D

  9. En la figura, OM es bisectriz del  AON y ON es bisectriz del  BOC, hallar “x”

M 60º A

Resolución:

B N x

O

Organización Educativa TRILCE

C

43

Repaso I

10.En la figura, “M” es punto medio de AC y BC - AB = 18. Hallar “x”.

A

B

M

C

Resolución:

Practiquemos 1. Si "M" es punto medio de AC , calcular "BM".

16 A

5. Calcula la medida del ángulo BOC, si: mAOC=120° y mBOD=150°. C

24 B

B

150° 120°

C

M

O

A

2. Sean los puntos colineales "A", "B" y "C". Si "M" es punto medio de BC , MC=2 y AM=9; calcular "AB".

D

6. El triángulo FEA es equilátero y AB=BC. Calcular la medida del ángulo "x" F

3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "M", "A" y "B", siendo "O" punto medio de AB . Calcular "MO", sabiendo que: MA=13 cm y AB=20 cm.

4. Si la mAOB=100°, mBOC=40° ; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente, calcula la medida del ángulo "x".

M

20° A

N

C

7. En la figura, AB=BC. Calcular la medida del ángulo "x". B

A

x O

x E

B

A

44

B

x

C

30° 100°

C Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA "B", "C" y "D", tal que: "B" es punto medio de AD y AC=5(CD) .

9. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, siendo la mAOB = 7mBOC. Calcular la medida del ángulo AOC, si: OM es bisectriz del ángulo AOC y mMOB=60°.

Calcular: BC CD

10.En AC se ubica el punto "B", tal que: BC - AB=16.

8. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A",

Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC .

Autoevaluaciòn 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: CD=5(AC). Hallar "BC", si: BD - 5AB = 30.

4. En un triángulo DEF se traza ER (“R” está en DF ), de tal manera que ER=RF. Hallar la medida del ángulo DEF, sabiendo que: mDER - mEDF = 30°.

2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: BC = AB + 1 y CD = AB - 3. Calcular "AD", si "AB" toma su mínimo valor entero.

5. En la figura: DE = EF. Calcular "x".

E

x 

3. Calcular la medida del ángulo "x".

D A

m



C F 50°

100°

B

x n n

m

70º

Organización Educativa TRILCE

45

Repaso I

Tarea domiciliaria 1. Calcular “x°”

7. En la figura, calcular “x°”

120° 80° x°

5x°

2x°

8. Según el gráfico, calcular el valor de “x°”, si:  +  = 120°.

2. Calcular “°”

110°



° °

°



2 x°

x°

3. Calcular “°”

° + 10 °

9. Si el triángulo ABC es equilátero y BM=MC, calcula "x".

4°

° °

B

°+10°

x

M

4. Hallar: m AOM, si: OM es bisectriz del BOC.

A

B

M

20°

C

10.Hallar: m ARC, si: m ABC = 60°.

B

30°

O

A

R

C 5. Calcular “x°”

A

2w° w° C

 2 

11.Hallar: m ABC

x°

B

2x° x°+30°

110°

2x°

100° A

x°

99° C

12.Dado el triángulo equilátero ABC, levante por "C" una perpendicular al lado AC tal como CF , de modo que AC=FC. Calcular la medida del ángulo BAF .

6. Calcula la medida del ángulo "x". B C 68° A

46

O

x

D Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 19.El complemento de “x°” es 30°. Calcular “2x°”.

13.Calcular “x° + y°”

20.Calcular “x°”

70° y°

34°

80° x°

4x° 21.Si: m AOB = 30° y m BOC = 120°; hallar: m XOY.

14.Hallar: m ABC

O

B +2 0°

 

x°

C

A

x°+10°

C

B

70° 22.En una línea recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", Si: AB = 12, BC = 8 y CD = 2AB - CD, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

15.Hallar: m ABC si: AB = BD = DC y m  BDC = 140°

B

23.En una línea recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 8 y BD = 10. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

D

A

24.Sobre una recta se ubican los puntos "A", "B" y "C" consecutivos, tal que: AC - AB = 10, luego se ubica el punto medio "M" de BC. Calcular "BM".

C

16.Calcular “°”

25.En una línea recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "M" y "C", siendo "M" punto medio de AC , además: BC - AB = 6. Calcular "BM".

4° + 20°

3° + 50°

17. Calcular "x°", si OC es bisectriz del

BOD .

50°

x° O

18.Calcular “x°”

26.Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos: "A", "B", "C" y "D", tal que: AB  BC  CD y 4 5 3 AD = 240 m. Calcular "BC". 27. El suplemento de un ángulo es el triple de su complemento. Calcular el valor del ángulo.

C

B

A

Y

A X

 

D

28.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 10 y AD + CD = 30. 29.Se tienen los ángulos consecutivos: AOB, BOC y COD de modo que: m  AOC = m COD. Hallar la m  BOC, si: m BOD - m AOB = 48°.

x° 2x° 5x°

3x° 4x°

Organización Educativa TRILCE

30.Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC; tales que: m BOC = 4m AOB y la m AOC = 50°, hallar: m AOB.

47

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante a ellas (uso del complemento y suplemento) COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

RECTAS PARALELAS

Ejemplos:

Veamos algunas nociones de paralelismo de rectas.

1. Si las rectas "m" y "n" son paralelas; calcular el ángulo "x".

¿Cuál es la ubicación de las cuerdas en un arpa? ¿Cuál es la disposición de los surcos de un sembrío para su irrigación?

m

3x - 5º 40º

n

DEFINICIÓN Se denomina así a dos rectas ubicadas en un mismo plano y que no se intersecan.

3x - 5° = 40° ..........( Alternos Internos ) 3x = 40° + 5° x = 45°/3

L1 L2

NOTACIÓN: L1

Resolución:

 x = 15° 2. Si L1

L2

L2 ; calcular el ángulo "x".

Se lee: la recta L1 es paralela a la recta L2 ÁNGULOS EN DOS RECTAS PARALELAS L1

55º

L2 Y

2x - 3º

UNA RECTA SECANTE LS A AMBAS 1 2 1 2

L1

1

1

2x - 3° = 55° ..........( Alternos Internos ) 2x = 55° + 3° x = 58°/2

L2

 x = 29°

LS

II. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES (Ambos tienen igual medida)

I. ÁNGULOS EN ALTERNOS INTERNOS (Sus medidas son iguales)

L1

L2

Resolución

2

2

L1

L1

L2

L2

L1 L2

Organización Educativa TRILCE

L1 L2

 



L1 L2



49

Ángulos determinad os por dos rectas paralelas y una secante a ellas (uso del compleme nto y suplemento)

Resolución:

x

L1





L2



56°

56°



m n

x + 56° = 180°.....(par lineal) x = 180° - 56°  x = 124°

Ejemplos: 3. Si las rectas "m" y "n" son paralelas, encuentra el ángulo "x".

III. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS (sus medidas suman 180°)

L1

80°

m

L2

3x+5°

n

L1

 

Resolución:

180° L2

3x + 5° = 80° .......... ( Ángulos Correspondientes ) 3x = 80° - 5° x = 75°/3

 x = 25°

L1



180°

 4. Si: L1

L2

L2 ; calcular el ángulo "x".

130° 5x + 30°

L1

Ejemplos: 1. Si: L1

L2

L2 ; calcular el ángulo "x". 2x

Resolución:

130º

5x + 30° = 130°........ (Ángulos Correspondientes) 5x = 130° - 30° x = 100°/5

L1 L2

Resolución:

 x = 20° 5. Si: m // n , calcular el ángulo "x".

x 56°

130º

2x

L1 L2

m n

2x + 130° = 180° ......(Conjugados Internos) 2x = 180° - 130°

x

50 2

 x = 25° 50

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 2. Si: L1

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

L2 ; calcular el ángulo "x".

Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90°. 150°

L1 L2

2x + 10°

EL COMPLEMENTO C(x) DE UN ÁNGULO "x"

C(x) = 90° - x Ejemplos: C(37°) = 90° - 37° = 53°

Resolución:

L1 L2

150º 2x+10º

C( 60°) = 90° - 60° = 30° C(10°) = 90° - 10° = 80° ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

150° + 2x + 10° = 180° ... (Conjugados internos) 2x = 180° - 160°

x

20 2

Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180°. EL SUPLEMENTO S(x) DE UN ÁNGULO "x"

 x = 10°

S(x) = 180° - x Ejemplos: S(135°) = 180° - 135° = 45° S(120°) = 180° - 120° = 60° S(80°) = 180° - 80° = 100°

Organización Educativa TRILCE

51

Ángulos determinad os por dos rectas paralelas y una secante a ellas (uso del compleme nto y suplemento)

Test de Aprendizaje 1. Hallar el complemento (C) o suplemento (S) en cada uno de los siguientes ángulos: C(30º) =

S(137º) =

C(75º) =

S(64º) =

C(0º) =

S(3x) =

C() =

S(180º) =

2. Hallar la diferencia entre el complemento de 26º y el suplemento de 163º. Resolución:

3. Si el complemento de la medida de un ángulo es igual a 30°, encuentra la medida de dicho ángulo. Resolución:

4. Si el suplemento de la medida de un ángulo es igual a 50°, halla la medida de dicho ángulo. Resolución:

52

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA   5. Si: L1 //L2 ; calcular el ángulo “x”.. L1

45° 3x

Resolución:

L2

  6. En el gráfico L1 //L2 , calcular “x”.. L1

20º

x

Resolución:

L2

7. Si: m // n ; calcular "x". Resolución:

m n

120° 2x + 20°

Organización Educativa TRILCE

53

Ángulos determinad os por dos rectas paralelas y una secante a ellas (uso del compleme nto y suplemento)

8. Si L1

L2 ; calcular el ángulo "x". Resolución:

116°

L1 L2

2x°

9. Si el complemento de un ángulo “” es igual a 60º + 2, hallar “”. Resolución:

   10.Si: L1 //L2 //L3 , calcular “x”.. L1



2

150º

54

x



Resolución:

L2

L3

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Practiquemos 1. Si: a // b , calcular el ángulo "x".

5. En la figura, calcular "x", si: m // n . 30° a+10° 40° x a+20°

a

44° x 26°

b

2. En la figura, calcular "x", si: m // n .

m

m

n

6. Si: a // b ; calcular el ángulo "x".

153°

16° x° +

a

n

° -x 42°

3x°

b

7. ¿Cuál es la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo cualquiera?

3. Si: m // n , calcular el ángulo "x".

8. En la figura, calcular "x", si: m // n .

3x° - 1°

m

71°

x

n

40° 100°

4. Si: m // n , calcular "x".

40°

x

Organización Educativa TRILCE

m

n

m

9. Calcular la medida de un ángulo cuyo suplemento y complemento suman 210° .

n

10.Si el suplemento de un ángulo es el triple de la medida de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo.

55

Ángulos determinad os por dos rectas paralelas y una secante a ellas (uso del compleme nto y suplemento)

Autoevaluaciòn 4. Si el suplemento de “” y el complemento de “” suman el complemento de “x”, calcular el valor de “x”

1. En la figura, si: a // b , calcular "x".

130°

110°

a



x



x

b

2. Calcular "x", si: a // b .

160°

a

5. Si: a // b y la medida del ángulo ABC es agudo, calcular el menor valor entero impar de "x".

60°

E

x

m

b C A

3. Calcular "x", si: a

a

b

56



D B

b

c.

68° 

n n

a

m

x

b c

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria 1. Si: L1 // L2, calcular “x°”..

6. Calcular: a° + b°, si: L1 // L2 .

80°

120°

L1

35° a°

115°

b°

L2

x°

150°

2. Si: L1 // L2 , hallar: m AOB..

A

L1

50°

L2

7. Si: L1 // L2 y L3 // L4 , calcular “a° + b°”..

L1

L1

L2 L3

O

110° B

a°

b°

L2

L4 3. Si: L1 // L2 , calcular “x°”.. 8. Si: AB // FG , calcular “x°”.. x°

140°

L1 x° A

L2

B

G

9. Calcular “x°”, si: L1 // L2 .

30° 75° x°

80°

F

4. Si: AB // CD , calcular “x°”..

A

B

60°

D

x°

L2

10.Si: L1 // L2 y ° + ° = 160°, calcular “x°”..

5. Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

Organización Educativa TRILCE

L1

120°

144° C

41° 67° 32° 36° x°

100°



L1

x°

L1

60°

L2



L2

57

Ángulos determinad os por dos rectas paralelas y una secante a ellas (uso del compleme nto y suplemento)

11.Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

16.Si: m AOB = 90° y L1 // L2 , calcular “°”..

9x°

L1

8°

B

°

L2

12.Si: L1 // L2 , calcular “°”..

L2

17. Calcular “x°”, si: L1 // L2 .

x°

160° 4 3

L1 60° 100° 80° 40° L2

2 

L2

L1

A O

° 2°

L1

5 + 10°

13.En el gráfico: L1 // L2 y w° - ° = 130°, calcular “x°”.. 18.Calcular “x°”, si: L1 // L2 .

L1

°

 

x°

w°

130° x°

L2



110°

 14.En la figura mostrada: L1 // L2 , calcular “°”..

° ° °



L2

19.Calcular “°”, si: L1 // L2 .

L1

L1

130° 2°

L2

15.En la figura:  -  = 75°, L3 // L4 , L1 // L2 , calcular: “x°”. x°

L1

L1

150°

L2

20.Calcular “°”, si: L1 // L2 .

L1

140° 2°

 L3

58

150°

L2

L2

L4

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 26.En la figura: L1 // L2, calcular “x°”..

21.Calcular “x°”, si: L1 // L2 .

50°

L1

L1

x° 2

2x°

2 114°

L2

22.Calcular “x°”, si: m // n y p // q .

m

n  

50°

L2 

27. Del gráfico: L1 // L2 y a° + b° = 160°. Calcular “x°”..

a° x°

p

L1

x° 

23.

C

a

l c

u

l a

r

“



q

28.Calcular “x°”, si: L1 // L2 .

°”, si: L1 // L2 y L3 // L4 .

° 3° ° ° L3

L2

b°

L1

2

L1



L2

x°

2

L2



L4 29.En la figura, calcular “x°”, si: L1 // L2 .

24.En la figura: L1 // L2 y L3 // L4 . Calcular “ - ”..

x°

138° 

L1 L3



L1 L2

45° 2a°

a°

L2 L4

25.En la figura, calcular “x°”, si: BC = CE = BE.

B

A

C

x°

2x°

 36° E

Organización Educativa TRILCE



D

59

Otros sistemas para la medición de ángulos INTRODUCCIÓN En las medidas de longitud podemos encontrar más de un sistema como se muestra en el gráfico. 5,58 pies

1,70 m

66,95 pulg

De igual manera en las medidas angulares podemos encontrar más de un sistema de medición angular. El sistema que usamos en los capítulos anteriores es el sistema sexagesimal (S).

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

r

Los sistemas de medidas angulares más usados son tres: SEXAGESIMAL, CENTESIMAL y RADIAL.

O

1. Medida en grados sexagesimales Es el sistema más utilizado, que definimos al ángulo de una vuelta como aquel ángulo cuya medida es 360° (1°: Grado sexagesimal).

La medida de un ángulo

L

en radianes (número de

 r

radianes) viene expresado por: = L R

Es decir, podemos definir un ángulo de un radián (1.rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. La medida de un ángulo de una vuelta es 2rad.

Donde:

1’ : Minuto sexagesimal 1’’ : Segundo sexagesimal

2. Medida en grados centesimales

Observaciones i)

En este sistema definimos al ángulo de una vuelta cuya g g medida es 400 (1 : Grado centesimal).

360° <> 400

O

Donde:

g

<> 2Rad

m

1 : Minuto centesimal s 1 : Segundo centesimal

3. Medida en radianes Consideremos un ángulo que mide “” y dibujemos una circunferencia de radio que mide “r” y el vértice del ángulo en su centro “O”, sea además “L” la longitud del arco de la circunferencia que se genera.

Organización Educativa TRILCE

ii)

180° < > 200

g

< > rad

O

61

Otr os sistemas para la medi ci ón de ángulo s iii)

iv)

90° < > 100

g

9° < > 10

g

O

O

Test de Aprendizaje 1. Expresar en el sistema radial: 24° Resolución:

2. Expresar en el sistema centesimal: 36° Resolución:

3. Expresar en el sistema sexagesimal: Resolución:

4. Expresar en el sistema sexagesimal:

 rad 36

 rad 4

Resolución:

62

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 5. Expresar en el sistema sexagesimal: 70

g

Resolución:

6. Hallar “x” Resolución:

140º

d  ra 3

xº

7. Si: L1//L2, hallar “x”

20

L1

g

Resolución:

x  rad 4

Organización Educativa TRILCE

L2

63

Otr os sistemas para la medi ci ón de ángulo s

8. Si: AB = BC, hallar el valor de “x” en el sistema radial.

B

Resolución:

80g

A

x

C

9. La medida de uno de dos ángulos suplementarios es 7 rad , hallar el valor del otro en grados sexagesimales. 20 Resolución:

10.Los ángulos interiores de un triángulo están en la relación de 2, 5 y 8. Hallar la medida del ángulo intermedio en radianes. Resolución:

64

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Practiquemos 1. Si se convierte 20° al sistema radial, se obtiene:

8. Hallar "x", si: AB=BC

B 2. Al convertir 36° al sistema circular, se obtiene:

3. Al convertir

 rad al sistema sexagesimal, se obtiene: 3

4. Al convertir 60° al sistema centesimal, se obtiene:

xg

70°

A

C

9. En el gráfico, hallar "a".

B 5. Hallar "x"

x

 Rad 3

A

g

70

g

3a°

C

36° 10.Hallar “” 6. Hallar "x" 40 g  rad 3



 Rad 12

5x° O

7. Hallar "x"

x°

20

g

Organización Educativa TRILCE

65

Otr os sistemas para la medi ci ón de ángulo s

Autoevaluaciòn 1. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden g (17x + 2)° y 20(x + 1) . Calcular “x”.

4. Las medidas de dos ángulos complementarios se  diferencian en rad . Determinar la medida del mayor,, 5 en sexagesimales.

2. Calcular:  rad  50 g 4 en el sistema sexagesimal. E

5. Las medidas de los ángulos de un triángulo son proporcionales a 3; 5 y 7. Determinar la medida del menor en radianes.

3. Calcular: F  40 g 

 rad 12

en el sistema sexagesimal.

Tarea domiciliaria g

1. Convertir 60 al sistema radial. 2. Convertir

 rad al sistema centesimal. 40

3. Convertir 72° al sistema centesimal.

13.Convertir 70° al sistema centesimal. 14.

g C

o

n

v

e

r

t

i r

4

0

al sistema radial.

15.Calcular “x”, si: (8x + 6)° =

4. Convertir 45° al sistema radial.

3 rad 10

16.Calcular “x”, si se cumple: (7x + 5)° = 10(x - 1) 5. Convertir 10° al sistema radial. 17. Calcular “x”, si: 3(x + 5)° = 6. Convertir 80° al sistema radial.  7. Convertir rad al sistema centesimal. 8

8. Convertir 9. Convertir

 rad al sistema centesimal. 6  rad al sistema sexagesimal. 9

g

x rad 30

18.Hallar la medida de un ángulo interior de un triángulo equilátero en el sistema centesimal. 19.Calcular “m”, sabiendo que: (5m - 2)° = (6m - 4)g 20.Expresar en el sistema radial: 20°

10.Convertir 40° al sistema radial. 21.Expresar en el sistema radial: 40° y 60° g

11.Convertir 50 al sistema centesimal. 22.Al convertir 36° al sistema radial se obtiene: 12.Convertir 20° al sistema radial.

66

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 23.Expresar en el sistema sexagesimal: 30

g

24.Las medidas de dos ángulos de un triángulo suman

28.Las medidas de dos de los ángulos de un triángulo son 5 y 55°, indicar la medida del tercer ángulo en 12 sexagesimales.

g

130 . Determinar el complemento del tercero. 29.El doble del número de grados sexagesimales 25.Los ángulos internos de un triángulo miden: g   20  x  y rad (14x)°,  3  3  Calcular “x”. 26.La suma de las medidas de dos ángulos es igual a 54°  y la diferencia de las mismas es igual a rad. Indicar 10 la medida del mayor ángulo en sexagesimales.

disminuido en el número de grados centesimales del mismo ángulo es igual a 120. Determinar la medida en radianes de dicho ángulo. 30.El número de grados centesimales excede en 6 unidades al número de grados sexagesimales del mismo ángulo, indicar la medida radial de dicho ángulo.

27. El mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 2 rad, indicar la medida del menor ángulo en 5 sexagesimales.

Organización Educativa TRILCE

67

Repaso II Test de Aprendizaje 1. Calcular la diferencia entre el suplemento de 48° y el complemento de 32°. Resolución:

2. El equivalente de 54° en el sistema radial es: Resolución:

3. Hallar: m  AOD, si OD es bisectriz del ángulo COE.

C B

A

D 40°

O

E

Resolución:

Organización Educativa TRILCE

69

Repaso I I 4. Si: L 1 // L 2 y el

ABC es equilátero, calcular “x°”..

L1

Resolución:

B

x° A 160°

L2

C

5. Calcular “x°” Resolución:

B 40° I A

x°

 

 

C

6. Calcular “°”, si: AB = CD. Resolución:

2

B

A

D 8

12

2

C

g

7. En un triángulo, los ángulos interiores miden: 160 ;

 rad y "x°". Calcular “x°”.. 10

Resolución:

70

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ángulos AOC y AOB son complementarios, y m  AOD + m  AOB = 130°. Hallar: m  DOC. Resolución:

9. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, de tal forma que: BC - AB = 12. Calcular “BP”, siendo “P” punto medio de MN ; “M” y “N” puntos medios de AB y BC respectivamente. Resolución:

10.Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD, si: m  AOC = m  BOD = 72°. Resolución:

Organización Educativa TRILCE

71

Repaso I I

Practiquemos 1. Si: L1 // L2 , calcular "x°".

5. En la figura: L1 // L2 , calcular “x°”..

L1

x°

L1

x°

100°

3x°

L2 150°

4x° 7x°

2. Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

6. En la figura adjunta AB , CD y EF son paralelas, m  FEB = 65° y m  EBD = 25°. Hallar: m  CDB..

L1 2



E

x°

2° 

L2

L2

C

3. Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

F

D

A

B g

7. Sabiendo que: 63° <> (a + 2)(b - 2) , calcular:

x°

L1

E  3 2a  b

2x°

120°

L2

8. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “P”, “X”, “Q”, “R” y “S”. Sabiendo que “X” es punto medio de PR y:

(PS)(RS) 

4. Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

(PR) 2  289 2 4

calcular “XS”.

L1 2x°

L2

4x°

9. Dado el par lineal AOB y BOC, se trazan las bisectrices OM y ON de los ángulos AON y BOC respectivamente. Si: m  MOB = 60°, hallar: m  MOC. 10.Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular el suplemento de la medida del ángulo AOD, sabiendo que los ángulos AOC y BOD son suplementarios, m  DOC = 2(m  AOB) y m  BOC = 42°.

72

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria 1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcular “BC”, si: AD = 25, AC = 20 y BD = 21. 2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “K”, “L”, “M” y “N”. Calcular “KN”, si: KM = 20, KN + MN = 120.

9. Si el complemento de “x°” es igual a “4x°”, calcular “x°”. 10.Calcular “”

°

3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, se ubica “M” y “N” puntos medios de AB y CD respectivamente. Calcular “MN”, si: AC + BD = 100. 4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, tal que: CD = 4AC. Calcular “BC”, si: BD - 4AB = 80. 5. Sobre una recta se ubican los puntos “A”, “B” y “C” consecutivos. Sea “M” punto medio de AB ; “N” punto medio de BC y “P” punto medio de MN . Calcular “BP”,, si: BC - AB = 24. 6. Si: OM es bisectriz, calcular “x°”..

70° 150°

11.Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

L1

x° 110°

L2

12.Si: L1 // L2 , calcular “x°”..

x° + 10° 2x° M

25 °

O

35°

A

L1

B 7. Calcular “x°”

x°

L2

13.En la figura, calcular “x°”, si: L1 // L2 .

5x°

L1

82°

68° x°

x°

14.Calcular “x°” en la figura, si: L1 // L2 .

8. Si: L1 // L2 , calcular “°”..

15 - 20° 2 + 30°

Organización Educativa TRILCE

L2

L1

L2

150°-2a° x°

L1

8a°+10° a°+20°

L2

73

Repaso I I 15.Calcular “°”, si: L1 // L2 .

24.Calcular “a + b”, si: a°b’ = 369’ .

3° + 12° L 1 2° + 9° 3° - 5° °

g

25.Convertir 20 al sistema radial. 26.Calcular “x°”

4° + 12°

x°

L2

x°+20°

16.Calcular “x°”, si: a° + b° = 235°. Además: L1 // L2 .

3x°

x°-26°

27. Calcular “°”

L1

°+30°

a° 2°

b° L2

2x°

18°

28.Calcular “x°”

110°

17. En la figura: L1 // L2 , calcular “°”..

L1

°

x°

70°

29.En la figura, calcular el valor de (x° - y°).

° °

L2

y°  

18.Se tienen dos ángulos suplementarios, siendo uno de ellos el triple del otro. Calcular la diferencia entre ellos. 19.El suplemento del complemento de un ángulo que mide “°” y el complemento de 3° suman 130°. Hallar el complemento de “”.

30.En la figura mostrada, calcular “°”, si: AB = BD.

B 45 °

21.Convertir 10 al sistema sexagesimal.

o

 

g

0

 

58°

20.Convertir 50° al sistema centesimal.

22.Hallar “a - b”, si: ab = (a  b)0

x°

g

A

°

D

30°

C

g

23.Calcular “a”, si: 2a  (a  4)0

74

Tercer Año de Secundaria