Cálculo En Una Variable.docx

Cálculo en una variable Continuidad Cálculo en una variable/Continuidad

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

1 Definición formal

o

1.1 Continuidad en un punto

o

1.2 Continuidad en un intervalo

2 Propiedades

[editar]Definición

formal

[editar]Continuidad

en un punto

Una función f(x) es continua en un punto

si verifica que:

Informalmente esta definición quiere decir que podemos hacer que la imagen de un punto sea todo lo cercana que queramos a

[editar]Continuidad

tan solo acercando el punto x a

en un intervalo

Como resulta intuitivo, una función es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos. f(x) es continua en [a,b]

[editar]Propiedades Sean f(x) y g(x) funciones continuas. Se verifica:



af(x) es continua



f(x)+g(x) es continua



f(x)g(x) es continua



f(g(x)) es continua

Funciones

f(x) es continua.

Una función es una relación entre dos conjuntos A y B, donde a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. El conjunto de todos los elementos de B relacionados con algún elemento de A se denomina rango, o conjunto imagen y a cada elemento del conjunto B le denominamos imagen de algún elemento del conjunto A. Notación usual:

:A→B

= Donde: "

" es la variable independiente.

" " es la variable dependiente.

Dominio: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente "

".

Rango: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar una función, dependiendo de los valores de " ". Funciones Iguales: Dos funciones siguientes condiciones:

y

son iguales si y sólo si se cumplen las

1. Ambas funciones tienen el mismo dominio. 2. Para todo valor de " rango de

" que pertenece al dominio de

es igual al rango de

y

, se cumple que el

.

Ejemplo: Si

=x-2 y

Tenemos que el dominio de función

=(x²-4)/(x+2)

son los números reales, mientras que el dominio de la

son los números reales excepto el número -2.

Por lo que no se cumple la primera condición, entonces

y

no son iguales.

¿Cómo identificar una función de manera práctica? Para identificar una función, hay que representarla gráficamente y trazar varias rectas paralelas al eje "y" o de ordenadas. Si cada una de esas rectas trazadas cortan a la curva en un único punto podemos estar seguros que la gráfica representa a una función, porque cumpliría con la definición más arriba mencionada, explícitamente, para cada valor de " " existe un único valor de " ". Función implícita Cuando una función está dada por una ecuación en donde no está despejada con respecto a la variable dependiente, se denomina implícita.

Ejemplo:

Las funciones son de gran utilidad para resolver problemas de la vida cotidiana, por citar unos ejemplos, pueden ser útiles en las siguientes áreas: economía, estadística, ingeniería, medicina, química, física, astronomía, geología, biología y en cualquier área donde se relacionen variables.

Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son generalmente del tipo:

En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra variable, y el valor que tome "y" depende del valor que esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x = y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10). En donde a se la llama variable dependiente y a se la llama variable independiente, la anterior fórmula nos indica que y esta en función de x o sea x puede ser reemplazado en la función por cualquier número y el resultado de esta operacion se la asigna a y. Así por ejemplo si nuestra función

Y la cambiamos por como resultado:

es:

esto nos dice que reemplazemos x por 5 y tenemos

y por tanto: Tenemos que: entonces

y por tanto:

entonces entonces Y así sucesivamente. [editar]Dominio El dominio son los valores que puede tomar la variable independiente para que la variable dependiente sea un número real, Por ejemplo:

En esta función x puede tomar cualquier valor excepto el cero pues la división por cero no esta definida para los números reales. [editar]Contradominio

La imagen son los posibles valores de la variable dependiente y cuando la variable independiente un determinado valor. . [editar]Clasificación

Pero las funciones no acaban ahí, y se las puede clasificar en: Función Polinómica Función Constante Función Lineal Función Cuadrática Función Racionales Función Radicales Funciones Circulares Función Hipérbola Función Elipse Función Transcendentes Funciones Trigonométricas Función Seno Función Coseno Función Tangente Función Cotangente Función Secante

Función Cosecante Funciones Exponenciales Funciones Logarítmicas Función Valor Absoluto Función Parte Entera o Escalonada Funciones de bolas Por paridad: Función par Función impar

Aplicación al cálculo de la velocidad instantánea Para ver el poder del límite, vayamos atrás al ejemplo del auto en movimiento del que hablamos en la introducción. Suponga que tenemos un auto cuya posición es lineal con el tiempo. Queremos encontrar la velocidad. Esto es fácil de hacer desde el álgebra, simplemente tomamos la inclinación de la recta distancia contra tiempo para este auto y esta es nuestra velocidad. Pero desafortunadamente (o tal vez afortunadamente si usted es un profesor de cálculo), las cosas en el mundo real no siempre viajan en agradables líneas rectas. Los carros aceleran, desaceleran, y generalmente se comportan en formas que hacen difícil calcular sus velocidades. (figura 2). Ahora lo que realmente queremos es encontrar la velocidad en un momento dado. (figura 3). El problema es que para encontrar la velocidad necesitamos dos puntos, mientras que en cualquier tiempo dado, sólo tenemos un punto. Podemos, por supuesto, encontrar siempre la velocidad promedio de auto, dados dos puntos en el tiempo, pero queremos encontrar la velocidad del auto en un momento preciso. Acá es donde el truco básico del cálculo diferencial entra. Elegimos un par de puntos en nuestra gráfica de posición contra tiempo, uno en donde queremos hallar la velocidad instantánea y otro en cualquier otro sitio y luego trazamos una línea entre ellos. Empezamos a acercar cada vez más y más este último punto al primero y a trazar sucesivas líneas, entre ellos. En la medida en que los puntos se hacen más cercanos, la pendiente de la línea se acerca a la velocidad instantánea. [editar]Definición

formal de límite

La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente que es lo que nos dicen en forma tan suscinta. Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L o

si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que, para todo x, si 0 < |x - c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε Miremos en principio las normas o valores absolutos de la anterior expresión. Sobre la recta real, un valor absoluto de un número es la diferencia entre este número (ya sea positivo o negativo) y el origen. -3 está a tres unidades de distancia de cero, por tanto |-3| = 3. De modo análogo, el valor absoluto de una resta corresponde a la distancia entre los dos números involucrados en ella. Démonos cuenta que ε y δ en la definición anterior nos delimitan la distancia tanto entre los valores de f(x) y L, como entre los de c y x. Es decir, una vez escogida una distancia entre x y c menor que δ pero mayor que cero (pues c se acerca a x pero no lo alcanza), podemos garantizar que la distancia entre f(x) y L es menor a ε Independientemente del ε elegido. [editar]Límites

laterales

Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de x bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo de comportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(x) y que se define de la siguiente forma E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1. http://enciclopedia.us.es/upload/parte_entera.png Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Consideremos ahora un valor entero particular, por ejemplo 1. En la medida en que nos acercamos a 1 por la izquierda nos damos cuenta que los sucesivos valores de E(x) son iguales a cero, y en la medida en que nos acercamos a 1 por la derecha los valores son iguales a uno. La idea de acercarnos sucesivamente a un valor es la que introduce la noción de límite lateral. A continuación introduciremos las nociones formales de los límites laterales por izquierda y por derecha. [editar]Límite

por la derecha

El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entoces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

[editar]Límite

por la izquierda

El límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

TEOREMA Existe el limite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden Nota:aunque también es valido si consideramos que le limite vale +∞ o -∞ en lugar de 1. [editar]Teoremas

fundamentales sobre límites

Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que: 

El límite de una constante es la constante:

 

El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:



El límite de una suma es igual a la suma de los límites:



El límite de un producto es igual al producto de los límites:



El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.

, siempre y cuando 

El límite de la potencia enésima de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:



El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:

[editar]Demostraciones

[editar]Teorema de la suma de límites Debemos verificar que: (1) Siendo:

Por lo tanto, segun la definición de límite, tiene que haber un

para todo

tal que:

(2)

Entonces, tomando en

y

sus límites para

tendiendo a

, tomamos un

y

Si ahora tomamos un

mínimo para

y

, es decir,

(3) y

(4) Por lo tanto, para todo

luego:

Usando desigualdad triangular:

Reemplazando por (3) y (4):

Es decir:

Lo que demuestra (2), es decir, hay un

para todo

tal que:

, entonces:

, tal que:

Que según (1) verifica que:

Es decir:

El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites. [editar]Teorema

de Intercalación (Teorema del Emparedado)

El teorema de intercalación, más coloquialmente llamado teorema del emparedado, es útil cuando queremos hallar el límite de una función que se encuentra "confinada" por dos funciones que ya conocemos. Si [editar]Límites

y

, entonces

de funciones trigonométricas

[editar]Demostración

del límite de sen(x)/x cuando x tiende a 0

Considerese que, un entorno reducido de 0,

Si dividimos todos los miembros por

Pero

nos queda

y

Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión que es totalmente

indeterminada

Si hallamos el Y como

de cada miembro, nos queda y

que [editar]Límites

infinitos

, por Teorema del Emparedado nos queda

Considere que simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crezca o decrezca pero sin dejar atras la definicion de limite entonces en conclusion se podría determinar que la función se acercaría al limite por un infinito de números pero nunca tocando el limite Definición 1 Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto (a,+∞). El limite de f(x) cuando x crece sin limite, es L lo que se escribe como:

Definición 2 Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de f(x) cuando x decrece sin limite, es L, lo que se escribe como

Teorema Sea n cualquier entero positivo, entonces

[editar]Límites

al infinito

Se trata ahora de calcular cuál es el valor, en caso de que exista y sea finito, al que se acerca una sucesión según vamos avanzando términos. Usaremos un ejemplo muy ilustrativo para introducir esta. Considérese la siguiente sucesión:

Si escribimos algunos términos, nos haremos rápidamente una idea de hacia qué valor real se acercan los mismos:

Como podemos comprobar, los términos se van haciendo cada vez menores, por lo que es de esperar que, de existir realmente un último término de la sucesión, éste sería 0. Esto nos da una idea intuitiva de lo que

significa el límite de una sucesión cuando tiende a infinito; ésto es, aventurar de algún modo a qué valor se acercan los términos de la sucesión según vamos avanzando sobre la misma. Con la sucesión anterior, podemos escribir licencia:

, y de hecho, nos podemos tomar la siguiente

.

Dar una prueba para esta igualdad es algo complicado, pero podemos ilustrarlo con el siguiente ejemplo:

Supongamos que disponemos de una barra de pan y con ella debemos alimentar a toda la población de China. La pregunta es cuánto pan corresponde a cada persona.

Si tenemos en cuenta la cantidad de chinos que hay, habremos de realizar fracciones muy microscópicas de pan, porciones casi moleculares que en ningún caso supondrán alimento alguno, por lo que podemos decir que a cada chino le toca cero pan. La idea es que al dividir una cantidad por otra inmensamente mayor, el resultado es inmensamente diminuto; por lo que dividir una cantidad por infinito, que vendría a ser el mayor de todos los valores, nos da el menor de todos ellos, que es cero.

Es importante de cara al cálculo de límites al infinito tener en mente algunas igualdades que implican a infinito. Debemos, además, recordar siempre que infinito no es un número, sinó un concepto. Nos referimos a infinito como aquello que es inabarcable o inabastable, pero mediante un inofensivo abuso de lenguaje podemos valernos de él para efectuar operaciones:

,

,

, -Por completar[editar]Indeterminaciones Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite.

En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de l'Hôpital. Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

[editar]Asíntotas Las asíntotas son rectas a las cuales una función se aproxima indefinidamente, cuando x o f(x) tienden al infinito.

[editar]Usando

la notación de límite para describir asíntotas

Ahora considere la función

Cuál es el límite cuando x se aproxima a cero? El valor de

no existe puesto que

no está definido Pero es intuitivamente claro que podemos hacer la función g tan grande como queramos, escogiendo un x suficientemente pequeño. Por ejemplo para hacer igual a un millón, escogemos que x sea 10-6. En este caso decimos que podemos hacer g(x) arbitrariamente grande (tan grande como queramos) tomando un x que sea suficientemente cercano a cero, pero no igual y expresamos esto algebráicamente como sigue:

Note que hemos usado la notación de límite por derecha, ya que el límite, propiamente dicho no existe de hecho en x = 0 (dado que el límite por la derecha y por la izquierda son distintos). De igual manera podemos considerar que en la medida en que x se hace más y más grande g(x) tiende a cero, pero nunca lo alcanza. Esto nos permite introducir la noción de asíntotas horizontales y verticales. [editar]Asíntota

Vertical

Una asíntota vertical se da en x = c, para una función f(x) siempre que:

1. 2. Vale la pena hacer énfasis en que en c el límite la función puede ser o bien infinito positivo o bien infinito negativo (cualquiera de ellos, pero no ambos), para que tegamos una asíntota vertical y que esto se puede cumplir cuando nos acercamos a c bien sea por la izquierda (primer caso) o bien por la derecha (segundo caso).

[editar]Asíntota

Horizontal

Una asíntota horizontal es la recta

y se tiene siempre que:

1. 2. [editar]Continuidad [editar]En

de una función

un punto

Ahora estamos listos para una definición formal de continuidad, que fue introducida en nuestra revisión de funciones. La definición es simple: f(x) es continua en c si y sólo si

Definición de Continuidad

Note que la función o el límite o ambos podrían no estar definidos en c, en cuyo caso la ecuación no sería cierta, y por tanto f no es continua en c. Sean f y g funciones continuas en los reales. Los siguientes teoremas se cumplirán:

Teorema 1 es continua en todos los reales. Teorema 2 es continua en todos los reales. Teorema 3 es continua en todos los reales. Teorema 4 es continua en los reales, mientras g sea diferente de 0. Teorema 5

que es la composición de funciones, es continua en los reales. Ejemplo Con

,

tendremos que

,

son continuas.

[editar]En

intervalos abiertos y cerrados

INTERVALO ABIERTO Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada número del intervalo abierto INTERVALO CERRADO Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a.b], es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y solo si es continua en el intevalo (a,b), así como continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. [editar]De

funciones compuestas [editar]Discontinuidades Una discontinuidad es un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, la

función

se considera que tiene una discontinuidad removible en

.

Por qué la llamamos 'removible'? Porque, si modificamos la función ligeramente, podemos eliminar la discontinuidad y hacer la función continua. En particular, podemos dividir la función para obtener función continua:

, excepto en

. Si hacemos que f(x) sea 6 en ese punto, obtenemos la

Pero x + 3 = 6 para x = 3, y así podemos simplificar la función a g(x) = x + 3. (Esta no es la misma que la función original, en la cual hay un punto extra en (3,6)). Así el límite en x = 3 es 6. De hecho, esta clase de simplificación es siempre posible con una discontinuidad removible en una función racional. Cuando el denominador es cero, podemos redefinir la función para obtener una función que es igual a la anterior, salvo por los nuevos puntos, donde previamente teníamos una división por 0. Y arriba se probó que el límite de esta función (puesto que es continua) es igual al límite de la función antigua. [editar]Aplicaciones

para aislar raíces

Encontrando límites

Ahora nos concentraremos en encontrar los límites, en lugar de probarlos. En las pruebas anteriores, empezamos con el valor del límite. ¿Cómo encontramos dicho límite para empezar nuestras pruebas? Primero, si la función es continua en un punto particular c, el límite es simplemente el valor de la función en c, debido a la definición de continuidad. Todas las funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales son continuas sobre sus dominios. Si la función no es continua en c, entonces en muchos casos (como con las funciones racionales) la función es continua alrededor, pero es discontinua en un punto aislado. En este caso, queremos encontrar una función similar, excepto que el "agujero" que antes representaba la discontinuidad ahora está "relleno". El límite de esta función en c será el mismo, como puede ser visto de la definición de límite. La función es la misma que la anterior excepto en el punto c. La definición de límite depende de f(x) sólo en los puntos donde 0 < |x - c| < δ. Cuando x c, la desigualdad es falsa, y así el límite en c no depende del valor de la función en c. Por tanto, el límite es el mismo. Y puesto que nuestra nueva función es continua, ahora podemos sólo evaluar la función en c como antes. Finalmante, note que nuestro límite podría no existir del todo. Hay muchas formas en que esto puede ocurrir:

"Hueco": Hay un hueco (de más de un punto de ancho) en la función donde ésta no está definida. Por ejemplo, en:

f (x) no tiene ningún límite cuando -4 ≤ x ≤ 4. No hay manera de "aproximarse" al medio del gráfico. Nótese que la función no tiene límites en los extremos de las dos curvas generadas (en x = -4 y x = 4). Para que exista un límite, el punto debe ser aproximable desde ambos derecha e izquierda. Nótese tambien que no existe límite en un punto completamente aislado de un gráfico. "Salto": Se sigue de nuestra discusión previa que si el gráfico salta de repente a un nivel diferente (creando una discontinuidad), el límite no existe. Esto se ilustra con la función escalón unitario (en la cual el valor de la salida es el entero más grande no mayor al valor de entrada).

Asíntota: En

la gráfica se hace arbitrariamente alta cuando 'x' se aproxima a 0. El límite no existe. Oscilación infinita: Las dos siguientes pueden ser un poco truculentas para visualizar. En ésta, nos referimos a una gráfica que continuamente alcanza puntos arriba y abajo de una línea horizontal. De hecho, hace esto infinitamente en la medida en que nos aproximamos a un cierto valor x. Esto significa a menudo que no hay límite, puesto que el gráfico nunca se establece en un valor particular. Sin embargo, si la altura (y profundidad) de cada

oscilación disminuye cuando el gráfico se aproxima al valor x, de modo que las oscilaciones se hagan arbitrariamente pequeñas, entonces podría haber de hecho un límite. El uso de la oscilación naturalmente trae a la mente las funciones trigonométricas. Un ejemplo simplemente definido de este tipo de límites no existentes es

En la función seno hay un número infinito de ciclos a medida que el gráfico continúa al infinito. sin(1/x) tomará cualquier valor (1,∞) y devolverá otro entre (0, 1). Aquí tenemos una oscilación infinita sobre un intervalo finito del gráfico. Gráfica Incompleta: Vamos a considerar dos ejemplos. Primero, siendo f la función constante f(q)=2 definida por un número racionalq. Luego, f es continua: sea racional . Mostramos que f es continua con . Sea ; entonces si cogemos cualquier , entonces siempre que q sea un número racional dentro de de , tenemos continua en .

. Así que fes

Ahora Sea g la función de aspecto similar se define en toda la recta real. Dejamos g tomar el valor 2 para la entrada racional y 0 para la entrada de irracional. Ahora g es continua en ninguna parte! Sea, pues, x un número real, se muestra que g no es continua en x. Vamos a δ = 2; entonces, si g se continua en x, no habría un número tal que cada vez que ε y fue un número real a una distancia inferior a ε, tendríamos | g (x) - g (y) | < 1. Pero no importa lo pequeños que hacen ε podemos encontrar un número dentro de ε y de x tal que | g (x) - g (y) | = 2, porque si x es racional, sólo debes elegir y lo irracional y si x es irracional, pick x racional. Por lo tanto g no ser continua en todo número real! Tenga en cuenta que estos dos ejemplos muestran lo importante que es conseguir que los dominios de las funciones de resolver. f y g tienen gráficos muy similares, pero sus propiedades de continuidad se oponen por completo.

Cálculo diferencial Cálculo en una variable/Cálculo diferencial

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. La inversa de una derivada se llama antiderivada, o integral indefinida. La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a

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

1 Diferenciación y diferenciabilidad



2 Cociente diferencial de Newton

o

2.1 Ejemplo 1

o

2.2 Ejemplo 2

las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en el punto dado; las pendientes de dichas tangentes pueden ser aproximadas por unasecante. Las derivadas también pueden ser

o

2.3 Ejemplo 3

o

2.4 Ejemplo 4



3 El cociente diferencial alternativo



4 Notaciones para la diferenciación

Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una



5 Puntos críticos

tangente vertical o una discontinuidad.



6 Derivadas notables



7 Física



8 Manipulación algebraica



9 Uso de las derivadas para graficar

utilizadas para calcular la concavidad.

funciones

[editar]Diferenciación



10 Más información



11 Enlaces externos



12 Referencias

y diferenciabilidad

La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos. La derivada de f(x) se puede escribir de varias formas: f ′(x) (se pronuncia f prima de x),d/dx[f(x)] (se pronuncia d en d x de f de x), df/dx (se pronuncia d f en d x), o Dxf (se pronuncia d sub x de f). Los últimos tres simbolismos son útiles cuando se considera a la diferenciación como una operación entre funciones. En ese contexto, los símbolosd/dx y Dx se llaman operadores diferenciales. Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es contínua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea contínua en c, puede no ser diferenciable. La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente.

[editar]Cociente

diferencial de Newton

Las derivadas se defineno el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente. Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente. Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x+h,f(x+h)) es

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de fen x. Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadmente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas; ver abajo.

Algunos ejemplos de cómo utilizar este cociente:

[editar]Ejemplo

1

Consideremos

La derivada de una constante vale cero.

[editar]Ejemplo

2

Consideremos la gráfica de

. Esta recta tiene una pendiente igual a 2

en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendientes en (4,5):

La derivada y la pendiente son equivalentes.

[editar]Ejemplo

3

Mediante diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos

:

Para cualquier punto x, la pendiente de la función es

.

[editar]Ejemplo

4

Consideremos

[editar]El

cociente diferencial alternativo

Arriba, la derivada de f(x) (tal como la definió Newton) se describió como el límite, conforme h se aproxima a demostración parcial de laregla de la cadena.

[editar]Notaciones

para la diferenciación

La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza la prima, ′. Para tomar las derivadas de f(x) en el punto a, se escribe: para la primera derivada, para la segunda derivada, para la tercera derivada, y luego, para la n-ésima derivada (n > 3). Para la función cuyo valor en cada x es la derivada de f(x), se escribe f′(x). De forma similar, para la segunda derivada de f se escribe f ″(x), y así sucesivamente. La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. Para la función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:

Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas:

Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir la derivada como:

Las derivadas de orden superior se expresan así

o para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, ésto proviene de el hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:

que se puede escribir sin mucho rigor como:

Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba. La notación de Leibniz es tan versátil que permite especificar la variable que se utilizará para la diferenciación (en el denominador). Esto es específicamente relevante para la diferenciación parcial. Y también hace más fácil de recordar la regla de la cadena, debido a que los términos "d" se cancelan simbólicamente:

. Sin embargo, es importante recordar que los términos "d" no se pueden cancelar literalmente, debido a que son un operador diferencial. Sólo se utilizan cuando se usan en conjunto para expresar una derivada. La notación de Newton para la diferenciación consiste en poner un punto sobre el nombre de la función:

y así sucesivamente. La notación de Newton se utiliza principalmente en la mecánica, normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleración y en la teoría ODE. Normalmente sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas.

[editar]Puntos

críticos

Reciben el nombre de puntos críticos aquellos puntos de una función en los que la derivada tiene valor nulo; también pueden recibir el nombre de puntos estacionarios. Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización.

[editar]Derivadas

notables

Lista de derivadas y su deducción

[editar]Física Es posible que la aplicación más importante del cálculo en la física sea el concepto de "derivada temporal" -- la tasa de cambio en el tiempo -- que se requiere para la definición precisa de varios importantes conceptos. En particular, las derivadas con respecto al tiempo de la posición de un objeto son significativas en la física Newtoniana:



La velocidad (velocidad instantánea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo) es la derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.



La aceleración es la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un objeto.



El tirón es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleración de un objeto. Por ejemplo, si la posición de un objeto está determinada por la ecuación

, entonvelocidad del objeto

es

; la aceleración del objeto es

tirón del objeto es

; y el

.

Si la velocidad de un auto está dada como una función del tiempo, entonces la derivada de dicha función con respecto al tiempo, describe la aceleración del auto como una función del tiempo.

[editar]Manipulación

algebraica .

[editar]Uso

de las derivadas para graficar funciones

Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extermos locales. Por ejemplo, f(x)=x3 tiene un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. La prueba de la primera derivada y la prueba de la segunda derivada permiten determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno. En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda derivada se puede seguir

utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la función en el punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los engeivalores son 0 y 3). Una vez que se encuentran los extremos locales, es mucho más fácil hacerse de una burda idea de la gráfica general de la función, ya que (en el caso del dominio mono dimensional) se incrementará o decrementará uniformemente excepto en los puntos críticos, y por ello (suponiendo su continuidad tendrá valores intermedios entre los valores en los puntos críticos de cada lado. Cuando una función depende de más de una variable, se utiliza el concepto de derivada parcial. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la derivada de una función con respecto a todas, excepto una variable que se mantiene constante cerca de un punto. Las derivadas parciales se representan como ∂/∂x (en donde ∂ es una 'd' redondeada conocida como 'símbolo de la derivada parcial'). El concepto de derivada puede ser extendido de forma más general. El hilo común es que la derivada en un punto sirve como una aproximación lineal a la función en dicho punto. Quizá la situación más natural es que las funciones sean difrenciables en lasvariedades. La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una transformación lineal entre los correspondientes espacios tangenciales y la derivada de la función se convierte en un mapeo entre los grupos tangenciales. Para diferenciar todas las funciones continuas y mucho más, se puede definir el concepto de distribución. Para las funciones complejas de una variable compleja, la diferenciabilidad es una condición mucho más fuerte que la simple parte real e imaginaria de la función diferenciada con respecto a la parte real e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la función f(x+iy)=x+2iy satisface lo segundo, pero no lo primero. Vea también Función holomórfica. Vea también: difer integral

Integración por partes Cálculo en una variable/Cálculo integral/Técnicas de integración/Integración por partes

La integración por partes es un método que surge de la fórmula de la derivada de un producto. Sean u y v funciones definidas en un mismo dominio I, es decir:

derivables en todo punto del dominio. Sabemos que:

despejando, obtenemos:

Integrando esta expresión:

que es la fórmula de integración por partes. Esta fórmula se utiliza sobre todo para integrar funciones trascendentes, cuya derivada es algebraica, integrandos que sean productos de funciones polinómicas por trascendentes, y en general, integrandos que se puedan expresar como producto de una función por la derivada de otra. Así tenemos por ejemplo:

Con la fórmula anterior podemos obtener:

Lo más complicado suele ser la elección de u y dv en la integración de , para comenzar podemos tener en cuenta la siguiente clasificación de funciones: Logaritmica, Inversa trigonométrica, Algebraica, Trascendente, Exponencial. Cada función de la clasificación LIATE tiene su derivada en una posterior, así que hemos de tomar "u" lo más a la izquierda posible en dicha clasificación y el resto será dv.

Ejemplo: x es algebraica y

es exponencial, por tanto, hemos de tomar

diferenciando la primera e integrando la segunda, tendremos: es:

, y la integral

En esta sección se desarrollará el procedimiento para la integración de una función racional algebraica, a partir de su descomposición en fracciones parciales. Una función racional algebraica es aquella cuya expresión corresponde al cociente de dos polinomios; esto es, de la forma , donde P(x) es un polinomio de variable real, y de grado m, y Q(x) un polinomio de variable real de grado n. Las funciones racionales algebraicas (en lo sucesivo las abreviaremos como FRA) se pueden clasificar en: Propias: Si m < n Impropias: Si m > n, o a lo sumo m = n Así, pues, una FRA impropia puede ser transformada en una FRA propia equivalente, bajo la siguiente regla:

donde C(x) es el cociente que resulta de la división, y R(x) el residuo de la misma. La fracción es propia, pues se conoce que una división de polinomios culmina cuando el resto parcial alcanza un grado menor al del divisor. Lo que se traduce en que se necesita conocer cómo integrar FRA propias.