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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL EN PROCESOS DE AUTOMATIZACIÓN PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2015 – MARZO/2016

“Proyecto Académico de Fin de Semestre”

Título:

Carrera:

“Software Educativo”

Ingeniería Industrial en Procesos de

……………………………………………......

Automatización

Área Académica:

Investigación

Línea de Investigación:

Línea Industrial

Ciclo Académico y Paralelo:

Octubre 2015 -- Marzo2016 / “B”

Alumnos participantes:

Acosta Flavio Yánez Johanna Chipantiza Cynthia Villacres Alex Gavilanes Damian Muñoz Santiago

Modulo y Docente:

GEOMETRIA ANALÍTICA - Ing. Silvia Zurita

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Tabla de contenido Portada .............................................................................................................................1 1. TEMA: .....................................................................................................................3 2. OBJETIVOS: ...........................................................................................................3 2.1. Objetivo General: ...............................................................3 2.2. Objetivos Específicos: .......................................................3 3. RESUMEN: .............................................................................................................4 4. PALABRAS CLAVES: ...........................................................................................4 5. INTRODUCCION: ..................................................................................................5 5.1. GEOMETRÍA: ...................................................................5 5.1.1. Historia...............................................................................5 5.1.2. Definición ..........................................................................5 5.2. HIPÉRBOLA .....................................................................6 5.2.1. Definición ..........................................................................6 5.2.2. Elementos ...........................................................................7 5.3. HIPÉRBOLA DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE X 8 5.4. HIPERBOLA DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE Y 11 5.5. RELACION FUNDAMENTAL DE LA HIPERBOLA ..12 5.6. ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA ...............................12 5.7. DIRECTRICES DE LA HIPÉRBOLA ............................16 5.8. APLICACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS ................17 6. MATERIALES Y METODOLOGIA: ...................................................................17 7. RESULTADOS Y DISCUSIÓN: ..........................................................................18 8. CONCLUCIONES:................................................................................................18 9. RECOMENDACIONES: .......................................................................................18 ANEXOS .........................................................................................21

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1. TEMA: “Aplicación de conocimientos sobre la hipérbola en la elaboración de un software”

2. OBJETIVOS:

2.1. Objetivo General: Demostrar los conocimientos adquiridos en el módulo de geometría analítica mediante la creación de un software.

2.2. Objetivos Específicos:

 Indagar sobre los conceptos teóricos de la hipérbola y sus generalidades  Plantear las posibles soluciones de una hipérbola mediantes sus elementos.  Investigar sobre lenguajes programación y la aplicación en el desarrollo de nuestro software práctico.  Automatizar procedimientos mediante un software que sea de eficiente uso, y englobe los conocimientos adquiridos en geometría analítica.

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3. RESUMEN: La geometría nos ha permitido conocer distintos conceptos y teoremas que permiten establecer diferentes ejercicios para lo cual iremos aplicando cada una de las formulas y técnicas captadas en clases y reforzadas con el estudio prioritario de libros que necesariamente se necesita para esclarecer nuestras dudas acerca de los temas puntuales que se tratan en cada uno de los ejercicios. El planteamiento de la resolución de los casos de hipérbola necesitan de un razonamiento lógico para la interpretación del mismo ya que de esto depende para que la solución sea o no verdadera por ende el estudiante debe previamente conocer sobre los temas a tratar en cada uno de los problemas que posteriormente se resolverán para dar soluciones numéricas y verbales que permite interpretar y enfocarse a los resultados del mismo.

4. PALABRAS CLAVES: 

Hipérbola



Ecuación



Programación



Software

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5. INTRODUCCION:

5.1. GEOMETRÍA: 5.1.1. Historia Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra [1].

5.1.2. Definición Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica [2].

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5.2. HIPÉRBOLA 5.2.1. Definición

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 yF2) es constante. El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a) [3].

Ilustración 1-(Hipérbola)

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5.2.2. Elementos

Ilustración 2-(Elementos de la Hipérbola)  Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).  Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.  Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.  Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.  Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.  Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2) [3].

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Ilustración 3-(Elementos de la Hipérbola)

5.3. HIPÉRBOLA DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE X

Para obtener la ecuación de la hipérbola en esta posición, utilizaremos el siguiente procedimiento. Sea “c” la distancia que separa a cada foco del centro, de modo que la distancia entre los focos es “2c” y sea “2a” la contante a la que debe ser igual la diferencia de las distancias del punto a los focos [4].

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Ilustración 4-(Centro en el origen y eje coincidente con el eje x) Las coordenadas de los focos son: F2 (-c; 0) y F1 (c; 0). Por definición: P F2-P F1= ± 2 a (El signo ± implica que el punto puede estar en cualquiera de las ramas de la hipérbola, para evitar utilizarlo restaremos la distancia menor de la mayor) En nuestro caso: P F2-P F1= 2a Definiendo las distancias y reemplazando √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 -√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎 Pasamos un radical al otro miembro y elevamos al cuadrado: [√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 ]2 = [2𝑎 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 ]2 𝑥 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 + 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐 2 + 𝑦 2 Hacemos términos semejantes: 4𝑥𝑐 − 4𝑎2 = 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 4: 𝑥 2 𝑐 2 − 2𝑎2 𝑥𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2 𝑥 2 − 2𝑎2 𝑥𝑐 + 𝑎2 𝑐 2 + 𝑎2 𝑦 2 Ordenando y agrupando: 𝑥 2 (𝑐 2 − 𝑎2 ) − 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 (𝑐 2 − 𝑎2 ) De acuerdo a la definición como lugar geométrico: 9

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2𝑎 < 2𝑐 ∴ 𝑐 2 > 𝑎2 𝑦 𝑐 2 − 𝑎2 > 0 Por tanto podemos definir: 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑥 2 𝑏 2 − 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎2 𝑏 2 : 𝑥2

𝑦2

𝑎

𝑏2

− 2

=1

𝑃𝑅𝐼𝑀𝐸𝑅𝐴 𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 𝐶𝐴𝑁Ó𝑁𝐼𝐶𝐴 [4]

5.3.1. Ejercicio Hallar la ecuación de la hipérbola de foco 𝐹(0, 5), de vértice 𝐴(0, 3) y de centro 𝐶(0, 0).

C (0, 0), F (0, 5), A (0, 3)

𝑎 = 3 𝑐 = 5 𝑏 = √25 − 9 = 4 𝑦2 9

𝑥2

− 16 = 1

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5.4. HIPERBOLA DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE COINCIDENTE CON EL EJE Y

Ilustración5-(Centro en el origen y eje coincidente con el eje y) Realizando un procedimiento similar al anterior, podemos demostrar que si una parábola tiene centro en el origen y su eje es coincidente con el eje Y su ecuación es:

𝑦2 𝑥2 − =1 𝑎2 𝑏 2

SEGUNDA ECUACÓN CANÓNICA

En esta ecuación se sigue cumpliendo que el eje transverso es 2𝑎, los vértices son de coordenadas (0, 𝑎) y (0, −𝑎); el je conjugado vale 2𝑏, la excentricidad sigue definida por 𝑐

2𝑏2

𝑎

𝑎

𝑒 = y su lado recto vale

[5] 11

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5.5. RELACION FUNDAMENTAL DE LA HIPERBOLA 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 Hay q tomar en cuenta que en la hipérbola no hay una relación fija entre los valores de “𝑎” y “𝑏”, pudiendo ser: 𝑎 < 𝑏, 𝑎 > 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏. Analizamos la primera relación canónica para así conocer el comportamiento de la curva y obtener los parámetros necesarios. Los puntos de corte de la curva con el eje 𝑥, son: (−𝑎, 0) y (𝑎, 0) que son las ordenadas de sus vértices, por tanto la longitud del eje transverso es igual a 2a. La curva con el eje 𝑌, pero el segmento acotado por 𝐴1 (0, 𝑏) y 𝐴2 (0, −𝑏) es el eje conjugado por lo que l longitud de este será igual a 2𝑏. Se cumple además que: 𝑐 = 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑎 = 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑎𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑏 = 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 [5] 5.6. ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA En matemática, se le llama asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente. O que ambas presentan un comportamiento asintótico. Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintótico [6].

Si de la forma canoníca de la ecuación de la hipérbola: 12

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1. 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 𝑎2

𝑏

2. 𝑦 = ± 𝑎 √1 − 𝑥 2

despejamos y, obtenemos que puede escribirse de la forma 𝑏 𝑎2 𝑦 = ± 𝑥√1 − 2 𝑎 𝑥

Frecuentemente se desea investigar lo que ocurre en una ecuación cuando una de las variables aumenta numéricamente sin límite. Si un punto de la hipérbola (1) se mueve a lo largo de la curva, de manera que su abscisa x aumenta numéricamente sin límite, el radical del segundo miembro de (2) se aproxime más y más a la unidad, y la ecuación tiende a la forma

3. 𝑦 = ±

𝑏 𝑎

𝑥

Como la ecuación 3 representa las rectas y

𝑦=

𝑏 𝑥 𝑎

𝑦 =−

𝑏 𝑥 𝑎

Esto nos conduce a inferir, de la definición de asíntota, que la hipérbola es asíntota a estas dos rectas. Para demostrar que esta deducción es correcta tenemos.

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Ilustración5-(Asíntotas de la hipérbola) TEOREMA: La hipérbola, tiene por asíntotas las rectas

Demostración: Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto cualquiera de la parte superior de la rama derecha de la hipérbola 1, como se muestra en la figura 2. La ecuación de la recta 𝑦 =

𝑏 𝑎

𝑥 puede escribirse en la

forma 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0 La distancia 𝑑 de la recta (4) al punto 𝑃 está dada por (5)

𝑑=

|𝑏𝑥1 −𝑎𝑦1 | √𝑏2 +𝑎2

Si multiplicamos numerador y denominador del segundo miembro de (5) por 𝑏 × 1 + 𝑎𝑦1 obtenemos: (6) 𝑑 =

|𝑏 2 𝑥1 2 −𝑎2 𝑦1 2 | √𝑏2 +𝑎2 |𝑏𝑥1 −𝑎𝑦1 |

Pero como P está sobre la hipérbola (1), de manera que la ecuaci6n (6) puede escribirse en la forma

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(7) 𝑑 =

𝑎2 𝑏2 √𝑏 2 +𝑎2 |𝑏𝑥1 −𝑎𝑦1 |

Si se mueve hacia la derecha a lo largo de la curva y se aleja indefinidamente del origen, sus coordenadas, y aumentan ambas de valor sin límite, de manera que, por la ecuación (7), d decrece continuamente y se aproxima a cero. Se sigue, de acuerdo con esto, por la definición de asíntota, que la recta (4) es una asíntota de la rama derecha de la hipérbola (1) [6]. Si 𝑃 está sobre la parte inferior de la rama izquierda de la hipérbola (1) y se mueve hacia la izquierda a lo largo de la curva alejándose indefinidamente del origen, entonces sus coordenadas y aumentan de valor ambas sin límite en la dirección negativa. La ecuación (7) muestra entonces que d decrece continuamente y tiende a cero, de donde se sigue que la recta (4) es también una asíntota de la rama izquierda de la hipérbola (1) [6].

Quedan dos casos por considerar que son, cuando está sobre la parte inferior de la rama derecha y cuando está sobre la parte superior de la rama izquierda. Empleando el mismo razonamiento que en los dos párrafos anteriores, podemos demostrar que la recta es una asíntota de ambas ramas de La hipérbola (1).

Podemos observar que toda hipérbola tiene dos asíntotas y que la definición no depende de la elección del vértice. Las asíntotas tienen propiedades importantes que nos ayudan en el trazo de la hipérbola, por ejemplo un punto de la hipérbola, entre más alejado esté del centro más cercano esta de alguna de las asíntotas, pero la hipérbola nunca interseca a una asíntota aunque puede estar tan cercano como se desee de ella.

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5.7. DIRECTRICES DE LA HIPÉRBOLA

La elipse y la hipérbola pueden definirse como el lugar geométrico de los puntos cuyo cociente de distancias a un punto fijo F llamado foco y a una recta fija d llamada directriz, es una constante respectivamente menor o mayor que 1. Esa constante es la excentricidad. La elipse y la hipérbola tienen una directriz para cada foco [7].

Esta definición es similar a la usual para la parábola: lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. La excentricidad de la parábola es entonces 1. A diferencia de elipses e hipérbolas, tiene un solo foco y una sola directriz, y no tiene centro [7].

Ilustración6-(Asíntotas de la Hipérbola) 16

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En la hipérbola o elipse horizontal 𝑥=

𝑎2 𝑐

En la elipse o hipérbola vertical tenemos 𝑦=

𝑎2 𝑐

Ahora si es centro en (ℎ, 𝑘) elipse o hipérbola horizontal es: 𝑥=

ℎ+𝑎2 𝑐

Centro (ℎ, 𝑘) en la elipse o hipérbola vertical tenemos: 𝑦=

𝑘+𝑎2 𝑐

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5.8. APLICACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS

6. MATERIALES Y METODOLOGIA: Aplicamos la metodología cualitativa ya que es una investigación que se basa en el análisis subjetivo e grupal, esto la hace una investigación interpretativa, referida a la Geometría Analítica además podemos decir que la investigación tiene un enfoque cuantitativo por el hecho de emplear la recolección y el análisis de los datos.

Por otra parte los materiales que necesitamos para nuestra investigación fueron: 

Repositorios de Información



Software de programación “Java” 17

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7. RESULTADOS Y DISCUSIÓN: 

Como resultado obtuvimos un software capaz de graficar los distintos casos de la ecuación de la hipérbola.



Hemos analizado las posibles soluciones de la ecuación de la hipérbole tomando en cuenta los parámetros ingresados.



El resultado de la investigación del módulo referente a la hipérbola y sus componentes nos deja conocimientos claros y precisos a cerca de la materia de Geometría Analítica.



Al discutir diversas metodologías de cómo desarrollar el proyecto nos llevó a resolverlo paso a paso con los conocimientos de cada uno de los integrantes de grupo e investigar en más de una página de internet como la de un libro.

8. CONCLUCIONES:  Podemos concluir que la Geometría Analítica es un estudio muy importante, que además de estar presente en nuestra vida diaria ayuda en la resolución de problemas orientados a las ciencias exactas.  Se pudo demostrar que mediante los conocimientos básicos de la geometría analítica estamos en la capacidad de crear nuevos y mejorados software útiles para la práctica estudiantil.  Podemos concluir que la capacidad de crear un software se basa en el trabajo de investigación pues es importante llenarse de los conocimientos necesario para poder explotarlos al máximo en una meta plantead.

9. RECOMENDACIONES:

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

Para que cada uno de los estudiantes pueda realizar un proyecto es recomendable que conozca y tenga claro todos los conceptos de la materia a tratar.



Se recomiendo buscar información a más de páginas de internet en libros, revistas, en la vida diaria para poder recopilar información necesaria para dicho proyecto.



Se recomienda realizar un resumen del tema a tratar y seleccionar los puntos más importantes y precisos para la exposición.

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10. BIBLIOGRAFIA

[1] S. García, «La enseñanza de la Geometría,» 06 Diciembre 2008. [En línea]. Available: http://www.oei.es/pdf2/ensenanza-geometria-mexico.pdf. [Último acceso: 31 Enero 2016]. [2] J. Godino, «Geometría,» 03 Agosto 2002. [En línea]. Available: http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_Geometria.pdf. [Último acceso: 1 Febrero 2016]. [3] J. Álvarez, «La Hipérbola,» 3 Marzo 2006. [En línea]. Available: http://cvonline.uaeh.edu.mx/Cursos/BV/L0703/Unidad%206/63_lec_la_hiperbola.pdf. [Último acceso: 31 Enero 2016]. [4] M. Villena, «Cónicas,» 8 Marzo 2006. [En línea]. Available: https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/3/1487.pdf. [Último acceso: 31 Enero 2016]. [5] L. Hidalgo, «Lugares Geométricos,» 5 Marzo 2012. [En línea]. Available: http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase/conicas_hiperbola.pdf. [Último acceso: 31 Enero 2016]. [6] A. Humeidan, «Hipérbola,» Universidad Estatal California, 14 Junio 2015. [En línea]. Available: http://amirahumeidancrv.blogspot.com/2015/06/hiperbola.html. [Último acceso: 31 Enero 2016]. [7] S. Benitez, «La Hipérbola,» Asociación de Profesores, 4 Julio 2002. [En línea]. Available: http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hiperbola/. [Último acceso: 30 Enero 2016].

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ANEXOS

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