Algèbre Linéaire
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- Words: 653
- Pages: 3
© Mr HousNi * [email protected]
Controle Continu d'Algèbre Linéaire Mots-clefs: Ensembles, Espaces Vectoriels, Applications Linéaires..
Exercice 1 1. Montrer que A− B= A− A∩B= A∩C BE 2. La différence symétrique de deux sous-ensembles A et B d'un ensemble l'ensemble: A B= A−B∪ B− A i. Montrer que A B= A∪ B− A∩B ii. Montrer que C AE B= A∩ B∪C EA∪B
E est
Exercices 2 Dans un espace vectoriel ℝ4 , on considère les vecteurs: u=1,1,1 ,1 , v=1,−1,1 ,−2 , w=1,3 ,1,3 x=1,2 ,0,2 , y=1,2,1 ,2 , z=3,1 ,3,1 On pose: F =vect {u , v , w } et G=vect {x , y , z } 1. Donner une base de F ∩G . 2. Donner une base de F G . Exercice 3 On considère un espace vectoriel E de dimension 3. Soit f un endomorphisme de E tel que: f 3=0 et f 2≠0 . Soit e ∈ E tel que f e ≠0 . Montrer que e , f e , f 2 e est une base de E . Exercice 4 Soit ℝ4 et
f l'endomorphisme de ℝ4 tel que: f x , y , z , t=3x y , x y , xz ,0
f est-elle injective? Surjective? 1. 2. Donner une base de kerf et Imf . 3. Montrer que ℝ4 =kerf ⊕ Imf . 4. Déterminer Imf 2 et kerf 2 .
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Indications Exercice 1 1. Montrer que A− B⊂ A− A∩B⊂ A∩C BE ⊂A− B . 2. i. A B= A−B∪ B− A= A∩ B ∪ B∩ A =... ii. A B A− B∪ B− A C E =C E =... Exercice 2 1. 1. Monter que {u , v } est base de F. 2. Monter que { x , y , z } est base de G. 3. Remarquer que y=−3/2u1 /2v et z =2uv . 4. Monter que {u , v , x } est libre. 5. En déduire que { y , z } est base de F ∩G . 2. 1. Montrer que F G=vect {u , v , x } . 2. Monter que {u , v , x } est libre. 3. En déduire que {u , v , x } est base de F G . Exercice 3 1. Soit 1, 2, 3 ∈ℝ ? 2. 1 e2 f e3 f 2 e=0 E ⇒ 1=2 =3=0 3. Calculer f 2 1 e2 f e3 f 2 e =0 E en déduire 1=0 . 4. Calculer f 1 e2 f e3 f 2 e =0 E en déduire 2=0 . 5. En déduire 3=0 Exercice 4 1. 1. Injectivité: remarquer que f 0,0 ,0 ,0= f 0,0 ,0 ,1=0,0 ,0 ,0 . 2. Surjectivité: remarquer que 0,0 ,0 ,1 n'a pas d'antécédant. 2. 4 1. Ecrire kerf ={ X ∈ℝ : f X =0ℝ } En déduire que kerf =vect {0,0,0 ,1} . Et que {0,0 ,0 ,1 } est base de kerf 2. Ecrire Imf ={ f X : X ∈ℝ4 } En déduire que Imf =vect {3,1,1 ,0 ,1,1 ,1,0 ,0,0 ,1,0 } . Et que {3,1,1 ,0 , 1,1 ,1 ,0 ,0,0 ,1 ,0} est base de Imf . 3. 1. Monter que {3,1,1 ,0 , 1,1 ,1 ,0 ,0,0 ,1 ,0 ,0,0 ,0 ,1} est base de ℝ4 . 2. Sachant que kerf =vect {0,0,0 ,1} et Imf =vect {3,1,1 ,0 ,1,1 ,1,0 ,0,0 ,1,0 } Déduire que ℝ4 =kerf ⊕ Imf . 4
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4. 1. Ecrire Imf 2= f Imf En déduire que Imf 2=vect {5,2,2 ,0 , 2,1 ,1,0 , 0,0 ,1,0 } . 2 4 2. Ecrire kerf ={ X ∈ℝ : f f X =0ℝ } En déduire que kerf 2 =vect {0,0 ,0,1 }. 4
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Controle Continu d'Algèbre Linéaire Mots-clefs: Ensembles, Espaces Vectoriels, Applications Linéaires..
Exercice 1 1. Montrer que A− B= A− A∩B= A∩C BE 2. La différence symétrique de deux sous-ensembles A et B d'un ensemble l'ensemble: A B= A−B∪ B− A i. Montrer que A B= A∪ B− A∩B ii. Montrer que C AE B= A∩ B∪C EA∪B
E est
Exercices 2 Dans un espace vectoriel ℝ4 , on considère les vecteurs: u=1,1,1 ,1 , v=1,−1,1 ,−2 , w=1,3 ,1,3 x=1,2 ,0,2 , y=1,2,1 ,2 , z=3,1 ,3,1 On pose: F =vect {u , v , w } et G=vect {x , y , z } 1. Donner une base de F ∩G . 2. Donner une base de F G . Exercice 3 On considère un espace vectoriel E de dimension 3. Soit f un endomorphisme de E tel que: f 3=0 et f 2≠0 . Soit e ∈ E tel que f e ≠0 . Montrer que e , f e , f 2 e est une base de E . Exercice 4 Soit ℝ4 et
f l'endomorphisme de ℝ4 tel que: f x , y , z , t=3x y , x y , xz ,0
f est-elle injective? Surjective? 1. 2. Donner une base de kerf et Imf . 3. Montrer que ℝ4 =kerf ⊕ Imf . 4. Déterminer Imf 2 et kerf 2 .
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Indications Exercice 1 1. Montrer que A− B⊂ A− A∩B⊂ A∩C BE ⊂A− B . 2. i. A B= A−B∪ B− A= A∩ B ∪ B∩ A =... ii. A B A− B∪ B− A C E =C E =... Exercice 2 1. 1. Monter que {u , v } est base de F. 2. Monter que { x , y , z } est base de G. 3. Remarquer que y=−3/2u1 /2v et z =2uv . 4. Monter que {u , v , x } est libre. 5. En déduire que { y , z } est base de F ∩G . 2. 1. Montrer que F G=vect {u , v , x } . 2. Monter que {u , v , x } est libre. 3. En déduire que {u , v , x } est base de F G . Exercice 3 1. Soit 1, 2, 3 ∈ℝ ? 2. 1 e2 f e3 f 2 e=0 E ⇒ 1=2 =3=0 3. Calculer f 2 1 e2 f e3 f 2 e =0 E en déduire 1=0 . 4. Calculer f 1 e2 f e3 f 2 e =0 E en déduire 2=0 . 5. En déduire 3=0 Exercice 4 1. 1. Injectivité: remarquer que f 0,0 ,0 ,0= f 0,0 ,0 ,1=0,0 ,0 ,0 . 2. Surjectivité: remarquer que 0,0 ,0 ,1 n'a pas d'antécédant. 2. 4 1. Ecrire kerf ={ X ∈ℝ : f X =0ℝ } En déduire que kerf =vect {0,0,0 ,1} . Et que {0,0 ,0 ,1 } est base de kerf 2. Ecrire Imf ={ f X : X ∈ℝ4 } En déduire que Imf =vect {3,1,1 ,0 ,1,1 ,1,0 ,0,0 ,1,0 } . Et que {3,1,1 ,0 , 1,1 ,1 ,0 ,0,0 ,1 ,0} est base de Imf . 3. 1. Monter que {3,1,1 ,0 , 1,1 ,1 ,0 ,0,0 ,1 ,0 ,0,0 ,0 ,1} est base de ℝ4 . 2. Sachant que kerf =vect {0,0,0 ,1} et Imf =vect {3,1,1 ,0 ,1,1 ,1,0 ,0,0 ,1,0 } Déduire que ℝ4 =kerf ⊕ Imf . 4
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4. 1. Ecrire Imf 2= f Imf En déduire que Imf 2=vect {5,2,2 ,0 , 2,1 ,1,0 , 0,0 ,1,0 } . 2 4 2. Ecrire kerf ={ X ∈ℝ : f f X =0ℝ } En déduire que kerf 2 =vect {0,0 ,0,1 }. 4
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