Docd1 - Dérivées_(def_interpret)
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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques
Doc. D1 : Dérivée – Définition & Interprétations
Définition La dérivée de f(x) par rapport à x est la fonction f’(x), définie comme suit : f ( x + h) − f ( x ) f ' ( x) = lim h→ 0 h Exemple : utiliser la définition de la dérivée pour obtenir celle de : f ( x) = 2 x 2 − 16 x + 35 Solution : f ( x + h) − f ( x ) [ 2( x + h) 2 − 16( x + h) + 35] − [2 x 2 − 16 x + 35] 4 xh + 2h 2 − 16h f ' ( x) = lim = lim = ... = lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h h(4 x + 2h 2 − 16) = lim(4 x + 2h 2 − 16) = 4 x − 16 h→ 0 h→ 0 h
f ' ( x) = lim
(Remarque : les règles de dérivation permettront d’alléger les calculs…) Exemple : Déterminer f’(0) pour f(x) = x, en utilisant la définition de la dérivée. f ' (0) = lim h→ 0
0+ h − 0 h f (0 + h) − f (0) = lim = lim h→ 0 h→ 0 h h h
Ici, nous ne pouvons poursuivre sans considérer alternativement les 2 cas : - si h < 0, |h| = -h - si h ≥ 0, |h| = h h Ainsi, lim n’existe pas, mais il existe une limite à gauche de 0 (0-) et une limite à droite de h→ 0 h 0 (0-), à savoir : lim h→ 0
−
h h
= lim− h→ 0
h −h h = − 1 et lim+ = lim+ = 1 h→ 0 h h→ 0 h h
I s’agit d’un exemple au niveau duquel la dérivée en un point (ici, 0) n’existe pas. (Pour cette fonction, la dérivée existe cependant partout ailleurs.) Fonction différentiable Une fonction f(x) est dite différentiable en x = a si f’(x) existe. f(x) est dite différentiable sur un certain intervalle si f’(x) existe pour chacun des points de cet interval. Théorème Si f(x) est différentiable en x = a, alors f(x) est continue en x = a. Le contraire n’est pas vrai. Ainsi, la fonction f ( x) = x est bien continue en x = 0 mais n’est pas dérivable en ce point. Notations alternatives En se rappelant que l’on dérive toujours par rapport à une certaine variable, on écrit aussi :
Frédéric Quignon
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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques f ' ( x) =
df ( x ) dy = dx dx
f ' ' ( x) =
d2y dx 2
f ' ' ' ( x) =
d3y dx 3
Interprétations de la dérivée Vitesse de changement Lorsque la variable est le temps t, alors on retrouve que : - la vitesse v(t) est la dérivée première de la position s(t) : v(t ) = s' (t ) - l’accélération a(t) est la dérivée seconde de la position : a(t ) = s ' ' (t ) D’une façon générale, si f(x) représente une quantité à un certain x, alors la dérivée f’(a) traduit la vitesse instantanée de changement de f(x) en x = a. Exemple : Soit V(t) le volume d’un réservoir au temps t. Supposons que : V (t ) = 2t 2 − 16t + 35 a) le volume est-il en augmentation ou en diminution à t = 1 min ? b) le volume est-il en augmentation ou en diminution à t = 5 min ? c) la modification du volume est-elle plus rapide à t = 1 min ou à 5 min ? d) Y a-t-il un temps pour lequel le volume demeure stable ? Réponse : il est demandé le sens du changement, à des points donnés. Il s’agit donc de déterminer si la dérivée de la fonction V(t) par rapport au t est positive ou négative, pour les temps sélectionnés. En reprenant le calcul du premier exemple, il vient : V ' (t ) =
dV = 4t − 16. dt
D’où V’(1) = -12 et V’(5) = 4. Le volume est donc en train de diminuer au temps t = 1 et d’augmenter au temps t = 5. Le changement est plus rapide à t = 1 min qu’à t = 5 min. Le volume est stable s’il ne subit pas de changement, soit si V’(t) = 0. C’est donc le cas pour 4t − 16 = 0 , soit pour t = 4 min. Pente d’une droite tangente La pente d’une droite tangente à f(x) en x = a vaut f’(a). f ( x + h) − f ( x ) . En posant h = x- a, il vient que x → a lorsque h → 0 , h→ 0 h f (a ) − f ( x) et f ' (a ) = . x− a D’où l’équation de la tangente en (x = a) : y = f (a ) + f ' (a )( x − a) En effet, f ' ( x) = lim
Frédéric Quignon
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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques Exemple : trouver l’équation de la tangente en z = 3 de la fonction : f ( z ) = 5 sachant que f ' ( z ) = . 2 (5 z − 8) Réponse : on calcule que f (3) =
(5 z − 8) , en
7 et que la pente de la tangente vaut f ' (3) =
5 2 7
, d’où
l’équation de la tangente en z = 3 : 5 y= 7+ ( z − 3) 2 7
Formules de dérivation Formules de base Soient f(x) et g(x) des fonctions différentiables (la dérivée existe), et c et n des nombres réels. On a : (c. f ( x))' = c. f ( x) d (c ) = 0 ( f ( x ) ± g ( x))' = f ' ( x) ± g ' ( x ) dx d n ( f ( x ).g ( x))' = f ' ( x).g ( x) + f ( x).g ' ( x) ( x ) = x n − 1 (règle de la puissance) (règle du produit) dx ' d f ( x) f ' ( x).g ( x) − f ( x).g ' ( x) ( f ( g ( x))) = f ' ( g ( x)).g ' ( x) = 2 dx g ( x) g ( x) (règle du chaînage) (règle du quotient) Remarque : la règle du produit peut être étendue à plus de 2 fonctions pour donner par exemple : ( fgh)' = f ' gh + fg ' h + fgh' ( fghw)' = f ' ghw + fg ' hw + fgh' w + fghw' Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques (La trigonométrie n’est pas au programme.) d d ( x) = 1 (sin x) = cos x dx dx d x d (a ) = a x ln(a) (cos x) = − sin x dx dx d x d 1 (e ) = e x ln(e) = e x (tan x) = dx dx cos 2 x d 1 (ln( x)) = , x > 0 dx x d 1 (ln( x )) = , x ≠ 0 dx x d 1 (log a ( x)) = ,x > 0 dx x ln(a)
Frédéric Quignon
d (sin − 1 x) = dx d (cos − 1 x) = dx
1 1− x2 −1
1− x2 d 1 (tan − 1 x) = dx 1+ x2
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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques Variants de la règle du chaînage
(
)
d [ f ( x)]n = n.[ f ( x)] n − 1 . f ' ( x) dx d f ( x) e = f ' ( x ).e f ( x ) dx d ( ln[ f ( x)]) = f ' ( x). 1 dx f ( x)
(
)
d ( sin[ f ( x)]) = f ' ( x). cos[ f ( x)] dx d ( cos[ f ( x)]) = − f ' ( x). sin[ f ( x)] dx d ( tan[ f ( x)]) = f ' ( x). 1 2 dx 1 + [ f ( x)]
Dérivées d’ordre supérieur Considérons l’exemple suivant. Soit la fonction f ( x) = 5 x 3 − 3x 2 + 10 x − 5 Sa dérivée (par rapport à x) s’écrit : f ' ( x) = 15 x 2 − 6 x + 10 Cette nouvelle fonction est elle-même dérivable, pour donner : ( f ' ( x))' = f ' ' ( x) = 30 x − 6 x On appelle ainsi f’(x) la dérivée première de f (par rapport à x), tandis que f’’(x) est la dérivée seconde de f (toujours par rapport à x). Il vient de même (dérivées d’ordre 3 et 4) : f ' ' ' ( x) = 30 et f ( 4 ) ( x) = 0 . Si p(x) est un polynôme de degré n (i.e. degré du plus grand exposant du polynôme), alors : p ( k ) ( x) = 0 pour k ≥ n + 1 Attention : ne pas confondre les notations ‘sans prime’ des dérivées d’ordre supérieur avec l’élévation d’une fonction à une puissance donnée. Il faut par exemple différencier : f ( 2 ) ( x) = f ' ' ( x ) d’avec f 2 ( x) = [ f ( x)] 2 Exemples Trouvez les 4 premières dérivées des fonctions suivantes : y = cos x R (t ) = 3t 2 + 8t 1 / 2 + e t Solutions : R ' (t ) = 6t + 4t − 1 / 2 + e t
R' ' (t ) = 6 − 2t − 3 / 2 + e t R ' ' ' (t ) = 3t − 5 / 2 + e t 15 R ( 4 ) (t ) = − t − 7 / 2 + e t 2
Frédéric Quignon
y ' = − sin x y ' ' = − cos x y ' ' ' = sin x y ( 4 ) = cos x
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Doc. D1 : Dérivée – Définition & Interprétations
Définition La dérivée de f(x) par rapport à x est la fonction f’(x), définie comme suit : f ( x + h) − f ( x ) f ' ( x) = lim h→ 0 h Exemple : utiliser la définition de la dérivée pour obtenir celle de : f ( x) = 2 x 2 − 16 x + 35 Solution : f ( x + h) − f ( x ) [ 2( x + h) 2 − 16( x + h) + 35] − [2 x 2 − 16 x + 35] 4 xh + 2h 2 − 16h f ' ( x) = lim = lim = ... = lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h h(4 x + 2h 2 − 16) = lim(4 x + 2h 2 − 16) = 4 x − 16 h→ 0 h→ 0 h
f ' ( x) = lim
(Remarque : les règles de dérivation permettront d’alléger les calculs…) Exemple : Déterminer f’(0) pour f(x) = x, en utilisant la définition de la dérivée. f ' (0) = lim h→ 0
0+ h − 0 h f (0 + h) − f (0) = lim = lim h→ 0 h→ 0 h h h
Ici, nous ne pouvons poursuivre sans considérer alternativement les 2 cas : - si h < 0, |h| = -h - si h ≥ 0, |h| = h h Ainsi, lim n’existe pas, mais il existe une limite à gauche de 0 (0-) et une limite à droite de h→ 0 h 0 (0-), à savoir : lim h→ 0
−
h h
= lim− h→ 0
h −h h = − 1 et lim+ = lim+ = 1 h→ 0 h h→ 0 h h
I s’agit d’un exemple au niveau duquel la dérivée en un point (ici, 0) n’existe pas. (Pour cette fonction, la dérivée existe cependant partout ailleurs.) Fonction différentiable Une fonction f(x) est dite différentiable en x = a si f’(x) existe. f(x) est dite différentiable sur un certain intervalle si f’(x) existe pour chacun des points de cet interval. Théorème Si f(x) est différentiable en x = a, alors f(x) est continue en x = a. Le contraire n’est pas vrai. Ainsi, la fonction f ( x) = x est bien continue en x = 0 mais n’est pas dérivable en ce point. Notations alternatives En se rappelant que l’on dérive toujours par rapport à une certaine variable, on écrit aussi :
Frédéric Quignon
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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques f ' ( x) =
df ( x ) dy = dx dx
f ' ' ( x) =
d2y dx 2
f ' ' ' ( x) =
d3y dx 3
Interprétations de la dérivée Vitesse de changement Lorsque la variable est le temps t, alors on retrouve que : - la vitesse v(t) est la dérivée première de la position s(t) : v(t ) = s' (t ) - l’accélération a(t) est la dérivée seconde de la position : a(t ) = s ' ' (t ) D’une façon générale, si f(x) représente une quantité à un certain x, alors la dérivée f’(a) traduit la vitesse instantanée de changement de f(x) en x = a. Exemple : Soit V(t) le volume d’un réservoir au temps t. Supposons que : V (t ) = 2t 2 − 16t + 35 a) le volume est-il en augmentation ou en diminution à t = 1 min ? b) le volume est-il en augmentation ou en diminution à t = 5 min ? c) la modification du volume est-elle plus rapide à t = 1 min ou à 5 min ? d) Y a-t-il un temps pour lequel le volume demeure stable ? Réponse : il est demandé le sens du changement, à des points donnés. Il s’agit donc de déterminer si la dérivée de la fonction V(t) par rapport au t est positive ou négative, pour les temps sélectionnés. En reprenant le calcul du premier exemple, il vient : V ' (t ) =
dV = 4t − 16. dt
D’où V’(1) = -12 et V’(5) = 4. Le volume est donc en train de diminuer au temps t = 1 et d’augmenter au temps t = 5. Le changement est plus rapide à t = 1 min qu’à t = 5 min. Le volume est stable s’il ne subit pas de changement, soit si V’(t) = 0. C’est donc le cas pour 4t − 16 = 0 , soit pour t = 4 min. Pente d’une droite tangente La pente d’une droite tangente à f(x) en x = a vaut f’(a). f ( x + h) − f ( x ) . En posant h = x- a, il vient que x → a lorsque h → 0 , h→ 0 h f (a ) − f ( x) et f ' (a ) = . x− a D’où l’équation de la tangente en (x = a) : y = f (a ) + f ' (a )( x − a) En effet, f ' ( x) = lim
Frédéric Quignon
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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques Exemple : trouver l’équation de la tangente en z = 3 de la fonction : f ( z ) = 5 sachant que f ' ( z ) = . 2 (5 z − 8) Réponse : on calcule que f (3) =
(5 z − 8) , en
7 et que la pente de la tangente vaut f ' (3) =
5 2 7
, d’où
l’équation de la tangente en z = 3 : 5 y= 7+ ( z − 3) 2 7
Formules de dérivation Formules de base Soient f(x) et g(x) des fonctions différentiables (la dérivée existe), et c et n des nombres réels. On a : (c. f ( x))' = c. f ( x) d (c ) = 0 ( f ( x ) ± g ( x))' = f ' ( x) ± g ' ( x ) dx d n ( f ( x ).g ( x))' = f ' ( x).g ( x) + f ( x).g ' ( x) ( x ) = x n − 1 (règle de la puissance) (règle du produit) dx ' d f ( x) f ' ( x).g ( x) − f ( x).g ' ( x) ( f ( g ( x))) = f ' ( g ( x)).g ' ( x) = 2 dx g ( x) g ( x) (règle du chaînage) (règle du quotient) Remarque : la règle du produit peut être étendue à plus de 2 fonctions pour donner par exemple : ( fgh)' = f ' gh + fg ' h + fgh' ( fghw)' = f ' ghw + fg ' hw + fgh' w + fghw' Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques (La trigonométrie n’est pas au programme.) d d ( x) = 1 (sin x) = cos x dx dx d x d (a ) = a x ln(a) (cos x) = − sin x dx dx d x d 1 (e ) = e x ln(e) = e x (tan x) = dx dx cos 2 x d 1 (ln( x)) = , x > 0 dx x d 1 (ln( x )) = , x ≠ 0 dx x d 1 (log a ( x)) = ,x > 0 dx x ln(a)
Frédéric Quignon
d (sin − 1 x) = dx d (cos − 1 x) = dx
1 1− x2 −1
1− x2 d 1 (tan − 1 x) = dx 1+ x2
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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques Variants de la règle du chaînage
(
)
d [ f ( x)]n = n.[ f ( x)] n − 1 . f ' ( x) dx d f ( x) e = f ' ( x ).e f ( x ) dx d ( ln[ f ( x)]) = f ' ( x). 1 dx f ( x)
(
)
d ( sin[ f ( x)]) = f ' ( x). cos[ f ( x)] dx d ( cos[ f ( x)]) = − f ' ( x). sin[ f ( x)] dx d ( tan[ f ( x)]) = f ' ( x). 1 2 dx 1 + [ f ( x)]
Dérivées d’ordre supérieur Considérons l’exemple suivant. Soit la fonction f ( x) = 5 x 3 − 3x 2 + 10 x − 5 Sa dérivée (par rapport à x) s’écrit : f ' ( x) = 15 x 2 − 6 x + 10 Cette nouvelle fonction est elle-même dérivable, pour donner : ( f ' ( x))' = f ' ' ( x) = 30 x − 6 x On appelle ainsi f’(x) la dérivée première de f (par rapport à x), tandis que f’’(x) est la dérivée seconde de f (toujours par rapport à x). Il vient de même (dérivées d’ordre 3 et 4) : f ' ' ' ( x) = 30 et f ( 4 ) ( x) = 0 . Si p(x) est un polynôme de degré n (i.e. degré du plus grand exposant du polynôme), alors : p ( k ) ( x) = 0 pour k ≥ n + 1 Attention : ne pas confondre les notations ‘sans prime’ des dérivées d’ordre supérieur avec l’élévation d’une fonction à une puissance donnée. Il faut par exemple différencier : f ( 2 ) ( x) = f ' ' ( x ) d’avec f 2 ( x) = [ f ( x)] 2 Exemples Trouvez les 4 premières dérivées des fonctions suivantes : y = cos x R (t ) = 3t 2 + 8t 1 / 2 + e t Solutions : R ' (t ) = 6t + 4t − 1 / 2 + e t
R' ' (t ) = 6 − 2t − 3 / 2 + e t R ' ' ' (t ) = 3t − 5 / 2 + e t 15 R ( 4 ) (t ) = − t − 7 / 2 + e t 2
Frédéric Quignon
y ' = − sin x y ' ' = − cos x y ' ' ' = sin x y ( 4 ) = cos x
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