Fórmula De Euler: Repaso De Conceptos: Geometría Diferencial X=x(t) Y=y(t) Z=z(t)

Fórmula de Euler Repaso de Conceptos: Geometría diferencial Curva alabeada (Gausa) :

x=x(t) y=y(t)

z=z(t)

Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores:

t  tangente

Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores:

t  tangente

n  normal

Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores:

t  tangente

n  normal

b t n

Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores:

definen el plano osculador

Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores:

definen el plano normal a la curva

Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores:

definen el plano rectificante (perpendicular a los anteriores)

Fórmula de Euler En un punto P cualquiera se forman tres versores:

definen el plano rectificante (perpendicular a los anteriores)

Fórmula de Euler

Fórmula de Euler

Fórmula de Euler

Elemento de arco

Fórmula de Euler

Radio de flexión

Fórmula de Euler

Radio de torsión

Fórmula de Euler

Fórmula de Euler

Fórmula de Euler

Fórmula de Euler

Fórmula de Euler

3 surgen de la flexión (limitando los desarrollos de  )

Fórmula de Euler

surgen de la flexión (limitando los desarrollos de  3 )

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Fórmula de Euler

En la tercera entra la torsión con la convención de signo mencionada

Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones

Ejemplo: el elipsoide de rotación se podria expresar en función de φ, λ con las expresiones ya vistas, para h=0.  3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones

Ejemplo: el elipsoide de rotación se podria expresar en función de φ, λ con las expresiones ya vistas, para h=0.  3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones

Ejemplo: el elipsoide de rotación se podria expresar en función de φ, λ con las expresiones ya vistas, para h=0.  3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Para un parámetro constante se tiene una curva sobre la superficie

Fórmula de Euler Una superficie alabeada surge de introducir dos parámetros en las ecuaciones

Ejemplo: el elipsoide de rotación se podria expresar en función de φ, λ con las expresiones ya vistas, para h=0.  3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Para un parámetro constante se tiene una curva sobre la superficie

φ= cte (un paralelo)

λ= cte (un meridiano)

Fórmula de Euler

Si tuviéramos dos secciones normales principales (la del meridiano si lo es, la del paralelo no, pero sí la de la sección normal al meridiano) podríamos expresar la curvatura de una sección cualquiera en función de la dirección con respecto a una de ellas (p.ej. el acimut desde el meridiano).

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Fórmula de Euler

Si tuviéramos dos secciones normales principales (la del meridiano si lo es, la del paralelo no, pero sí la de la sección normal al meridiano) podríamos expresar la curvatura de una sección cualquiera en función de la dirección con respecto a una de ellas (p.ej. el acimut desde el meridiano).

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Aplicándole a cada una de ellas la expresión de y’ vista antes queda

Fórmula de Euler

Si tuviéramos dos secciones normales principales (la del meridiano si lo es, la del paralelo no, pero sí la de la sección normal al meridiano) podríamos expresar la curvatura de una sección cualquiera en función de la dirección con respecto a una de ellas (p.ej. el acimut desde el meridiano).

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Aplicándole a cada una de ellas la expresión de y’ vista antes queda

 S .a ² R A  1 S .m² 1 S .n² 1 S .a ²  S .m² M y'  .    M 2 N 2 R A 2  S .a ² R A   S .n² N

Fórmula de Euler

 S .a ² R A  1 S .m² 1 S .n² 1 S .a ²  S .m² M y'  .    M 2 N 2 R A 2  S .a ² R A   S .n² N

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



Fórmula de Euler

 S .a ² R A  1 S .m² 1 S .n² 1 S .a ²  S .m² M y'  .    M 2 N 2 R A 2  S .a ² R A   S .n² N

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



M: radio de curvatura de flexión del meridiano (elemento de arco Sm) N: radio de curvatura de flexión de la sección normal perpendicular al meridiano. RA: radio de curvatura de flexión para una sección que corresponde a un acimut A

Fórmula de Euler

 S .a ² R A  1 S .m² 1 S .n² 1 S .a ²  S .m² M y'  .    M 2 N 2 R A 2  S .a ² R A   S .n² N

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



M: radio de curvatura de flexión del meridiano (elemento de arco Sm) N: radio de curvatura de flexión de la sección normal perpendicular al meridiano. RA: radio de curvatura de flexión para una sección que corresponde a un acimut A

Considerando la ecuación de la elipse

S a2 . cos ² A S a2 .senA  1 S m2 S n2

Fórmula de Euler

S a2 . cos ² A S a2 .senA  1 S m2 S n2

Nos queda

 3  x'   .sen   .   3!   ²  y '   .1  cos     1  1   2  S 



cos ² A sen ² A 1   M N RA

 S .a ² R A  1 S .m² 1 S .n² 1 S .a ²  S .m² M y'  .    M 2 N 2 R A 2  S .a ² R A   S .n² N

LÍNEA GEODÉSICA Y CORTES NORMALES

LINEA GEODESICA: Por definición son aquellas en las cuales el plano osculador contiene permanentemente la normal a la superficie. Al no girar hacia los costados son la menor distancia entre dos puntos sobre la superficie.

El meridiano y el ecuador son líneas geodésicas, aún sobre el elipsoide, no así los paralelos

LÍNEA GEODÉSICA Y CORTES NORMALES

Dif. Angular: 0,02” para lados de 150 Km en lat.=45º y A=45º

Además considerar la altura del punto visado que es de 0,5” en altura ~ 5000m

LÍNEA GEODÉSICA Y CORTES NORMALES

Radio medio a una latitud A partir de la formula de euler:

cos ² A sen ² A 1   M N RA



Radio medio a una latitud A partir de la formula de euler:

cos ² A sen ² A 1   M N RA



Radio medio a una latitud A partir de la formula de euler:

cos ² A sen ² A 1   M N RA



Radio medio a una latitud A partir de la formula de euler:

cos ² A sen ² A 1   M N RA

haciendo



Radio medio a una latitud A partir de la formula de euler:

cos ² A sen ² A 1   M N RA

haciendo



Radio medio a una latitud A partir de la formula de euler:

cos ² A sen ² A 1   M N RA

haciendo



Radio medio a una latitud A partir de la formula de euler:

cos ² A sen ² A 1   M N RA

haciendo

entonces



Teorema de Meusnier Nota: Este teorema vale cuando tenemos una sección no normal (como el paralelo)

Teorema de Meusnier Definición: El radio de curvatura de una sección es la proyección ortogonal (sobre el plano de la misma) del radio de la sección normal correspondiente.

Teorema de Meusnier Definición: El radio de curvatura de una sección es la proyección ortogonal (sobre el plano de la misma) del radio de la sección normal correspondiente.

Teorema de Meusnier Definición: El radio de curvatura de una sección es la proyección ortogonal (sobre el plano de la misma) del radio de la sección normal correspondiente.

Este teorema tiene una aplicación para interpretar el valor de N

Teorema de Meusnier r= resulta de proyectar N sobre el plano del paralelo

Teorema de Meusnier r= resulta de proyectar N sobre el plano del paralelo cPo= radio de la sección normal.

Teorema de Meusnier Demostración:

Teorema de Meusnier Demostración:

MPoN: Arco de sección oblicua

Teorema de Meusnier Demostración:

MPoN: Arco de sección oblicua APoB: Arco de sección normal

Teorema de Meusnier Demostración:

Los radios de curvatura de la sección oblicua (bajo ángulos θ) y el de la normal se pueden expresar en función de sus correspondientes cuerda y flecha.

Teorema de Meusnier Demostración:

Los radios de curvatura de la sección oblicua (bajo ángulos θ) y el de la normal se pueden expresar en función de sus correspondientes cuerda y flecha.

R  lim f 0

c² 8f

Teorema de Meusnier Demostración:

R  lim f 0

c² 8f

Teorema de Meusnier R  lim

Demostración:

f 0



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

c² 8f

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

Teorema de Meusnier R  lim

Demostración:

f 0



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

c² 8f

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

Teorema de Meusnier R  lim

Demostración:

f 0



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

c² 8f

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

Teorema de Meusnier R  lim

Demostración:

f 0



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

c² 8f

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

aplicando la regla de L’Hopital

Teorema de Meusnier Demostración:



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

Aplicando este principio a la sección oblicua

Teorema de Meusnier Demostración:



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

Aplicando este principio a la sección oblicua

MN ²  MN ². cos  lim 8P0 I  P H 0 8P0 H  P I 0

R  lim 0

0

Teorema de Meusnier Demostración:



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

Aplicando este principio a la sección oblicua

MN ²  MN ². cos  lim 8P0 I  P H 0 8P0 H  P I 0

R  lim 0

pero para P0I  0

0

MN  AB

Teorema de Meusnier Demostración:



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

Aplicando este principio a la sección oblicua

MN ²  MN ². cos  lim 8P0 I  P H 0 8P0 H  P I 0

R  lim 0

pero para P0I  0

0

MN  AB

 AB ²  R . cos  N P I 0 8P0 I 

R  cos  lim 0

Teorema de Meusnier Demostración:



   c² 2  lim    8f f  R1  cos  f 0  2  

c  2.R.sen

4 R².2sen ( 2). cos( 2). 1  4 R².sen ² ( 2) 2R   lim  lim 8R.sen ( 2). 1   0 8R1  cos ( 2)   0 2

Aplicando este principio a la sección oblicua

MN ²  MN ². cos  lim 8P0 I  P H 0 8P0 H  P I 0

Teorema de Meusnier

R  lim 0

pero para P0I  0

0

MN  AB

 AB ²  R . cos  N P I 0 8P0 I 

R  cos  lim 0

R  RN . cos 

Arco de paralelo

Arco de meridiano

Arco de paralelo

Arco de meridiano

Arco de paralelo

Arco de meridiano