Ecuación Diferencial Exacta.docx

ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA

𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 se dice que es exacta, si existe una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tal que:

𝑴(𝒙, 𝒚) 𝒚

𝝏 𝝏𝒚

𝝏 𝝏𝒙

𝒇(𝒙, 𝒚) =

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑵(𝒙, 𝒚)

TEOREMA: La condición necesaria y suficiente para que la EDO 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 sea exacta es que: 𝝏 𝝏 𝑴(𝒙, 𝒚) = 𝑵(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 𝝏𝒙 DIFERENCIAL EXACTA:

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es exacta, si existe una función 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 2 → R tal que: 𝒅𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚

Resolver: (3𝑥 2 + 3𝑥𝑦 2 )𝑑𝑥 + (3𝑥 2 𝑦 − 3𝑦 2 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 Resolver: (2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑦 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 )𝑑𝑥 + (𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 2𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑑𝑦 = 0; 𝑦(0) = 3 FACTOR DE INTEGRACIÓN La Ecuación diferencial no exacta de la forma: 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 se puede transformar en exacta si la multiplicamos por una función 𝑢, llamada FACTOR INTEGRANTE y puede depender tanto de 𝑥 como de 𝑦 (o de ambos). Consideraremos los siguientes casos: Caso 1: si 𝑢: función solo de 𝑥.

𝒖(𝒙) = 𝒆∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 FACTOR INTEGRANTE Donde: 𝝏𝑴 𝝏𝑵 − 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝒇(𝒙) = 𝑵

Caso 2: si 𝑢: función solo de 𝑦. 𝑢(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦

FACTOR INTEGRANTE

Donde: 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑔(𝑦) = −𝑀

Caso 3: Para algunas ecuaciones diferenciales su factor integrante es de la forma: 𝒖(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒚) Este factor integrante se encuentra por simple inspección de la relación: 𝝏𝑴 𝝏𝑵 𝒇′ (𝒙) 𝒈′(𝒚) − = 𝑵(𝒙, 𝒚) − 𝑴(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒚) Caso 4: Para algunas ecuaciones diferenciales su factor integrante es de la forma: 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑛 𝑦 𝑚 Donde 𝑚 y 𝑛 se determinan mediante la condición necesaria y suficiente de las ecuaciones diferenciales exactas.

Ejemplos: I. Resolver las EDO que se proponen: 1. (𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑥 2. 𝑑𝑥 + (𝑦 3 − 𝐿𝑛𝑥 )𝑑𝑦 = 0 𝑦

3. 2𝑦𝑑𝑥 − 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 4. (𝑥𝑦 − 2𝑦 2 )𝑑𝑥 − (𝑥 2 − 3𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0

COMBINACIÓN INTEGRABLE 𝑥 3

⇰ 𝑑𝑧 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1)𝑦 3 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑦

Sea 𝑧 = 𝑥𝑒 𝑦

Resolver: 𝑒 𝑥 (𝑦 3

+ 𝑥𝑦 3 + 1)𝑑𝑥 + 3𝑦 2 (𝑥𝑒 𝑥 − 6)𝑑𝑦 = 0

ALGUNAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES ELEMENTALES 1. 𝒅(𝒙𝒚) = 𝒙𝒅𝒚 + 𝒚𝒅𝒙 𝒚 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙 2. 𝒅 (𝒙) = 𝒙𝟐 𝟐 𝟐) 3. 𝒅(𝒙 ± 𝒚 = 𝟐(𝒙 𝒅𝒙 ± 𝒚 𝒅𝒚) 4. 5. 6. 7. 8. 9.

𝒙

𝒅 (− 𝒚) =

𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

𝒚

d[𝒍𝒏(𝒙)] =

𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙 𝒙𝒚 𝒚

d[𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙)] = 𝒙+𝒚

d[𝒍𝒏(𝒙−𝒚)] = 𝟐 𝒙+𝒚

𝒅 (𝒙−𝒚) = 𝟐

𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

𝒙𝟐 −𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

𝒚

(𝒙−𝒚)𝟐 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

d[𝑨𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙)] = 𝒙−𝒚

10. 𝒅 (𝒙+𝒚) = 𝟐 −𝟏

11. 𝒅 ( 𝒙𝒚 ) =

𝒙√𝒙𝟐 −𝒚𝟐 𝒚 𝒅𝒙−𝒙𝒅𝒚

(𝒙+𝒚)𝟐 𝒙 𝒅𝒚+𝒚𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝒚𝟐

12. 𝒅[𝒍𝒏(𝒙 + 𝒚)] = 13. 𝒅[𝒍𝒏(𝒙𝒚)] =

𝒅𝒙+𝒅𝒚

𝒙+𝒚 𝒚𝒅𝒙+𝒙𝒅𝒚 𝒙𝒚

2. 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1)𝑑𝑥 + (𝑦𝑒 𝑦 − 𝑥𝑒 −𝑥 )𝑑𝑦 = 0

ALGUNAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES ELEMENTALES 14. 𝒅(𝒙𝒚) = 𝒙𝒅𝒚 + 𝒚𝒅𝒙 𝒚 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙 15. 𝒅 (𝒙) = 𝒙𝟐 16. 𝒅(𝒙𝟐 ± 𝒚𝟐 ) = 𝟐(𝒙 𝒅𝒙 ± 𝒚 𝒅𝒚) 𝒙

17. 𝒅 (− 𝒚) =

𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

𝒚

18. d[𝒍𝒏(𝒙)] =

𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙 𝒙𝒚 𝒚

19. d[𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙)] = 𝒙+𝒚

20. d[𝒍𝒏(𝒙−𝒚)] = 𝟐 𝒙+𝒚

21. 𝒅 (𝒙−𝒚) = 𝟐

𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

𝒙𝟐 −𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

𝒚

(𝒙−𝒚)𝟐 𝒙 𝒅𝒚−𝒚𝒅𝒙

22. d[𝑨𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙)] = 𝒙−𝒚

23. 𝒅 (𝒙+𝒚) = 𝟐 −𝟏

24. 𝒅 ( 𝒙𝒚 ) =

𝒙√𝒙𝟐 −𝒚𝟐 𝒚 𝒅𝒙−𝒙𝒅𝒚

(𝒙+𝒚)𝟐 𝒙 𝒅𝒚+𝒚𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝒚𝟐

25. 𝒅[𝒍𝒏(𝒙 + 𝒚)] =

𝒅𝒙+𝒅𝒚 𝒙+𝒚

𝒅[𝒍𝒏(𝒙𝒚)] =

𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚 𝒙𝒚