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Fundamentos físicos Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición 0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos  

el peso mg La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·sen en la dirección tangencial y mg·cos en la dirección radial. 

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe man=T-mg·cos Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular  podemos determinar la tensión T del hilo. La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcos0 

Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio. Comparemos dos posiciones del péndulo: En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial. E=mg(l-l·cosθ0) En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

La energía se conserva v2=2gl(cosθ-cosθ0) La tensión de la cuerda es T=mg(3cosθ-2cosθ0) La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula). 

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt. La segunda ley de Newton se escribe mat=-mg·sen La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular  es at= ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

(1)

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo  es pequeño entonces, sen   , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es

 =0·sen( t+ ) de frecuencia angular 2=g/l, o de periodo

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r. La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.

su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste. En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes. Ejemplo: Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es

Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración 

Cinemática

Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.



Oscilaciones

Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo. De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.

Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:  

P2/(42) en el eje vertical y La longitud del péndulo l en el eje horizontal.

La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.

Actividades Se selecciona un cuerpo celeste de la lista de cuerpos celestes, en el control selección titulado Planeta Se establece la longitud l del péndulo en cm, actuando en la barra de desplazamiento. Se pulsa el botón titulado En marcha, para poner en marcha el cronómetro, se pulsa el misma botón titulado Parar, para medir el intervalo de tiempo. En esta "experiencia" se mide el tiempo de cinco oscilaciones Se cambia la longitud del péndulo y se realiza una nueva medida y así sucesivamente. En el control área de texto, situado a la izquierda del applet se recoge los datos "experimentales", longitud del péndulo (en m) periodo (de una oscilación en s). Cuando se tienen suficientes datos se pulsa el botón titulado Gráfica. El programa interactivo traza la recta cuya pendiente es la inversa de la aceleración de la gravedad g y los datos "experimentales" en forma de puntos de color rojo.

Ley de Hooke

En la Física no sólo hay que observar y describir los fenómenos naturales, aplicaciones tecnológicas o propiedades de los cuerpos sino que hay explicarlos mediante leyes Físicas. Esa ley indica la relación entre las magnitudes que intervienen en el Fenómeno físico mediante un análisis cualitativo y cuantitativo. Con la valiosa ayuda de las Matemáticas se realiza la formulación y se expresa mediante ecuaciones, entregando como resultado una Ley. Por ejemplo, la Ley de Hooke establece que el límite de la tensión elástica de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza. Mediante un análisis e interpretación de la Ley de Hooke se estudia aspectos relacionados con la ley de fuerzas, trabajo, fuerzas conservativas y energía de Resortes . Los resortes son un modelo bastante interesante en la interpretación de la teoría de la elasticidad.

Elasticidad y resortes La fuerza electromagnética básica a nivel molecular se pone de manifiesto en el momento de establecerse contacto entre dos cuerpos. La vida diaria está llena de fuerzas de contacto como por ejemplo cuerdas, resortes, objetos apoyados en superficies, estructuras, etc. En todos los cuerpos sólidos existen fuerzas contrarias de atracción y repulsión, pero entre las propiedades más importantes de los materiales están sus características elásticas . Si un cuerpo después de ser deformado por una fuerza, vuelve a su forma o tamaño original cuando deja de actuar la fuerza deformadora se dice que es un cuerpo elástico . Las fuerzas elásticas reaccionan contra la fuerza deformadora para mantener estable la estructura molecular del sólido.

Ley de Hooke: “Cuando se trata de deformar un sólido, este se opone a la deformación, siempre que ésta no sea demasiado grande”

Fue Robert Hooke (1635-1703), físicomatemático, químico y astrónomo inglés, quien primero demostró el comportamiento sencillo relativo a la elasticidad de un cuerpo. Hooke estudió los efectos producidos por las fuerzas de tensión, observó que había un aumento de la longitud del cuerpo que era proporcional a la fuerza aplicada.

Hooke estableció la ley fundamental que relaciona la fuerza aplicada y la deformación producida. Para una deformación unidimensional, la Ley de Hooke se puede expresar matemáticamente así: = -k  

  

K es la constante de proporcionalidad o de elasticidad. es la deformación, esto es, lo que se ha comprimido o estirado a partir del estado que no tiene deformación. Se conoce también como el alargamiento de su posición de equilibrio. es la fuerza resistente del sólido. El signo ( - ) en la ecuación se debe a la fuerza restauradora que tiene sentido contrario al desplazamiento. La fuerza se opone o se resiste a la deformación. Las unidades son: Newton/metro (New/m) – Libras/pies (Lb/p). Si el sólido se deforma mas allá de un cierto punto, el cuerpo no volverá a su tamaño o forma original, entonces se dice que ha adquirido una deformación permanente.

La fuerza más pequeña que produce deformación se llama límite de elasticidad . El límite de elasticidad es la máxima longitud que puede alargarse un cuerpo elástico sin que pierda sus características originales. Más allá del límite elástico las fuerzas no se pueden especificar mediante una función de energía potencial, porque las fuerzas dependen de muchos factores entre ellos el tipo de material. Para fuerzas deformadoras que sobrepasan el límite de elasticidad no es aplicable la Ley de Hooke. Por consiguiente, mientras la amplitud de la vibración sea suficientemente pequeña, esto es, mientras la deformación no exceda el límite elástico, las vibraciones mecánicas son idénticas a las de los osciladores armónicos.

Modulo de elasticidad La relación entre cada uno de los tres tipos de esfuerzo (tensor-normaltangencial) y sus correspondientes deformaciones desempeña una función importante en la rama de la física denominada teoría de elasticidad o su equivalente de ingeniería, resistencias de materiales. Si se dibuja una gráfica del esfuerzo en función de la correspondiente deformación, se encuentra que el diagrama resultante esfuerzodeformación presenta formas diferentes dependiendo del tipo de material.

En la primera parte de la curva el esfuerzo y la deformación son proporcionales hasta alcanzar el punto H , que es el límite de proporcionalidad . El hecho de que haya una región en la que el esfuerzo y la deformación son proporcionales, se denomina Ley de Hooke . De H a E , el esfuerzo y la deformación son proporcionales; no obstante, si se suprime el esfuerzo en cualquier punto situado entre O y E , la curva recorrerá el itinerario inverso y el material recuperará su longitud inicial. En la región OE , se dice que el material es elástico o que presenta comportamiento elástico, y el punto E se denomina límite de elasticidad o punto cedente. Hasta alcanzar este punto, las fuerzas ejercidas por el material son conservativas; cuando el material vuelve a su forma original, se recupera el trabajo realizado en la producción de la deformación. Se dice que la deformación es reversible. Si se sigue cargando el material, la deformación aumenta rápidamente, pero si se suprime la carga en cualquier punto más allá de E , por ejemplo C , el material no recupera su longitud inicial. El objeto pierde sus características de cohesión molecular. La longitud que corresponde a esfuerzo nulo es ahora mayor que la longitud inicial, y se dice que el material presenta una deformación permanente . Al aumentar la carga más allá de C , se

produce gran aumento de la deformación (incluso si disminuye el esfuerzo) hasta alcanzar el punto R , donde se produce la fractura o ruptura. Desde E hasta R , se dice que el metal sufre deformación plástica . Una deformación plástica es irreversible. Si la deformación plástica entre el límite de elasticidad y el punto de fractura es grande, el metal es dúctil. Sin embargo, si la fractura tiene lugar después del límite de elasticidad, el metal se denomina quebradizo. La mayor parte de las estructuras se diseñan para sufrir pequeñas deformaciones, que involucran solo la parte lineal del diagrama esfuerzodeformación, donde el esfuerzo P es directamente proporcional a la deformación unitaria D y puede escribirse: P = Y.D. Donde Y es el módulo de elasticidad o módulo de Young. Resortes El resorte es un dispositivo fabricado con un material elástico, que experimenta una deformación significativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza. Los resortes se utilizan para pesar objetos en las básculas de resorte o para almacenar energía mecánica, como en los relojes de cuerda. Los resortes también se emplean para absorber impactos y reducir vibraciones, como en los resortes de ballestas (donde se apoyan los ejes de las ruedas) empleados en las suspensiones de automóvil.

La forma de los resortes depende de su uso. En una báscula de resorte, por ejemplo, suele estar arrollado en forma de hélice, y su elongación (estiramiento) es proporcional a la fuerza aplicada. Estos resortes helicoidales reciben el nombre de muelles. Los resortes de relojes están arrollados en forma de espiral. Los resortes de ballesta están formados por un conjunto de láminas u hojas situadas una sobre otra. Sistemas de resortes Los resortes se pueden configurar en sistemas en serie y paralelo. Sistemas de resorte en serie Cuando se dispone los resortes uno a continuación del otro. Para determinar la constante elástica equivalente (keq) se define de la siguiente manera:

Por ejemplo: Para dos resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es: k / 2 Para n resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es: k / n. Si se coloca dos resortes diferentes en serie la constante de elasticidad equivalente del sistema es: Sistema de resortes en paralelo Cuando los resortes tienen un punto común de conexión. Para determinar la constante elástica equivalente ( keq) se define de la siguiente manera:

Por ejemplo: Para dos resortes iguales la constante de elasticidad del sistema es; 2k. Para n resortes iguales la constante de

elasticidad del sistema es: n k Para dos resortes diferentes en paralelos la constante de elasticidad del sistema es: k = k1 + k2

Ley de fuerzas de resortes La ley de fuerza para el resorte es la Ley de Hooke. Conforme el resorte está estirado (o comprimido) cada vez más, la fuerza de restauración del resorte se hace más grande y es necesario aplicar una fuerza mayor. Se encuentra que la fuerza aplicada F es directamente proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del resorte. Esto se puede expresar en forma de una ecuación. O con X 0 = 0 , F = kX

Como se puede ver la fuerza varía con X. Esto se expresa diciendo que la fuerza es una función de la posición. La k en esta ecuación es una constante de proporcionalidad y comúnmente se llama la constante del resorte o de la fuerza restauradora . Mientras mayor sea el valor de k, más rígido o fuerte será el resorte . La anterior relación se mantiene sólo para los resortes ideales . Los resortes verdaderos se aproximan a esta relación lineal entre fuerza y desplazamiento, dentro de ciertos límites. Por ejemplo, si un resorte se estira más allá de un cierto punto, llamado el límite de elasticidad , se puede deformar y F = kX no se aplica más. Un resorte ejerce una fuerza ( Fs) igual y opuesta Fs = - k X Fs = -k (X - X 0) El signo menos indica que la fuerza del resorte está en la dirección opuesta al desplazamiento si el resorte se estira o se comprime. Esta ecuación es una forma de lo que se conoce como Ley de Hooke . La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte que se ha estirado desde su posición de reposo (X 0) a una posición X. La posición de referencia X 0 para el cambio en la

longitud de un resorte es arbitraria. La magnitud importante es la diferencia del desplazamiento o el cambio neto en la longitud del resorte. También dado que el desplazamiento tiene posición vertical, las X con frecuencia se reemplazan por Y. Los resortes dan lugar al Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Ejemplo: Ley de fuerza de Resortes Una masa de 0,30 Kg está suspendida de un resorte vertical y desciende a una distancia de 4,6 cm después de la cual cuelga en reposo. Luego se suspende una masa adicional de 0,50 Kg de la primera. ¿Cuál es la extensión total del resorte?

Datos: m1= 0,30 Kg

m2= 0,50 Kg

X1= 4,6 cm = 0,046 m

X = ? (Longitud g = 9,8 m/seg2 de alargamiento total)

Solución: La distancia de alargamiento o estiramiento total está dada por F = kX Donde F es la fuerza aplicada, en este caso el peso de la masa suspendida sobre el resorte

F1 = m1. g = kX1

k = 63,9 New / m

Conociendo k, la extensión total del resorte se encuentra a partir de la situación de la fuerza equilibrada:

F = (m1 + m2).g = kX

Así:

X = (0,30 kg + 0,50 Kg) . 9,8 m / seg2 / 63,9 New / X = 0,12 m m = 12 cm. Trabajo realizado por resortes El trabajo también lo puede realizar una fuerza que varía en magnitud o dirección durante el desplazamiento del cuerpo sobre el que actúa. Un ejemplo de una fuerza variable que hace un trabajo es un resorte. Así cuando se tira lentamente de un resorte, la fuerza necesaria para estirarlo aumenta gradualmente a medida que el resorte se alarga. Considere una masa m ligada horizontalmente a un resorte. Al aplicar una fuerza sobre la masa, a fin de estirar el resorte, se logra que la masa m se desplace respecto a la posición X 0 que ocupaba inicialmente. Si se realiza este movimiento con velocidad constante, es evidente que la masa no gana energía cinética, y si el movimiento se realiza horizontalmente tampoco gana energía potencial gravitatoria. ¿En qué tipo de energía se ha convertido el trabajo realizado sobre la masa al desplazarla? La fuerza ejercida según la Ley de Hooke es : =-k Se calcula el área bajo la curva para una compresión X, y esta área corresponde a la medida de la energía transferida cuando se empuja el resorte, y por lo tanto igual al trabajo realizado cuyo valor es numéricamente igual al área del triángulo. O simplemente la pendiente de la gráfica es k. X. La fuerza promedio ( prom) es:

se incrementa uniformemente con

Si Así el trabajo realizado al estirar o comprimir el resorte es:

El trabajo realizado es :

El trabajo de estirar un resorte de la posición X1 a X2 es:

Fuerza conservativas de resortes La Ley de Hooke representa una fuerza conservativa de característica variable. Cuando un objeto unido a un resorte se mueve desde un valor de alargamiento del resorte a cualquier otro, el trabajo de la fuerza elástica es también independiente de la trayectoria e igual a la diferencia entre los valores final e inicial de una función denominada energía potencial elástica. Si únicamente actúa sobre el objeto la fuerza elástica, se conserva la suma de las energías cinética y potencial elástica; por tanto, la fuerza elástica es una fuerza conservativa. Si se toma un resorte de masa despreciable sujeto por uno de sus extremos a una pared y un bloque de masa m; ambos en el piso de manera que si se impulsa al bloque, este se dirigirá hacia el resorte con una velocidad constante (considerando que la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso es nula). Así que la única fuerza exterior que actúa sobre el movimiento de este cuerpo proviene del resorte. A medida que el bloque va comprimiendo al resorte su velocidad (y energía cinética) disminuye hasta detenerse. Aplicando la Ley de Hooke se puede calcular la compresión que se produce. Después de esto el bloque invierte el sentido de su movimiento y, con igual dirección, va ganando velocidad a medida que el resorte vuelve a su longitud

original; en ese momento el bloque tiene la misma velocidad (signo opuesto) que tenía antes de comprimir el resorte. El bloque pierde energía cinética durante una parte de su movimiento pero la recupera totalmente cuando regresa al punto de partida. Hay que recordar que la variación de la energía cinética indica que existe trabajo mecánico; es claro que, al término de un viaje de ida y vuelta, la capacidad del bloque para hacer trabajo permanece igual; ha sido conservada. La fuerza elástica ejercida por el resorte ideal y otras fuerzas que se comportan de la misma manera, se les denomina fuerzas conservativas. Las fuerzas que no son conservativas se le denominan disipativas.

La fuerza de gravedad es la típica representante de las fuerzas conservativas Se puede definir una fuerza conservativa desde otro punto de vista, el del trabajo hecho por la fuerza. Si no hay cambio en la energía cinética de un cuerpo, el trabajo hecho sobre él debe ser cero si la trayectoria es cerrada. T = Ec = 0. La fuerza del resorte debe ser conservativa porque el trabajo efectuado a lo largo de cualquier trayectoria siempre es igual. Energía potencial de Resortes La energía potencial (Ep) almacenada en un resorte estirado o comprimido esta dada por: (Energía potencial elástica) Esto es igual al trabajo hecho por el resorte. Energía cinética de Resortes La energía Cinética de un cuerpo es igual al trabajo que puede hacer antes de quedar en reposo. Una masa m que

oscila en un resorte tiene energía cinética ( Ec). Así las energías cinéticas y potencial juntas dan la energía mecánica total del sistema

Luego del análisis a un resorte que se comprime una distancia X 0. Durante un período o ciclo, la masa pasa por X = 0, llega un estiramiento X = X 0 y regresa a X= - X 0. Al moverse la masa varían las energías cinética y potencial asociados con el sistema masa-resorte. Esas energías están en una relación inversamente proporcional. Una aumenta al disminuir la otra.

En resumen la Ley de Hooke es la base de todos los fenómenos elásticos, en particular de los resortes. Las observaciones de Robert Hooke permanecen ciertas y todavía proveen los fundamentos de la ciencia de la elasticidad moderna. Fundación Educativa Héctor A. García

Procedimiento estático

Si el muelle se estira o se comprime una pequeña distancia x respecto de su estado de equilibrio (no deformado) la fuerza que hay que ejercer es proporcional a x.

F=k·x La constante de proporcionalidad k de denomina constante elástica del muelle. Esta expresión de la fuerza se conoce como ley de Hooke.

Para medir la constante k, medimos la deformación x cuando aplicamos distintos valores de la fuerza F. En un sistema de ejes:  

fuerza F (en N) en el eje vertical, deformación x (en m) en el eje horizontal

se representan los datos "experimentales" y la recta F=k·x. La pendiente de la recta nos proporciona la medida de la constante elástica k del muelle en N/m.

Actividades

Cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo, el programa interactivo genera un número al azar que rpresenta el valor de la constante elástica de un muelle, cuyo valor vamos a determinar realizando la "experiencia". Colgamos del extremo libre del muelle pesas de 50 g cada una y medimos en la regla la deformación x del muelle.

Trasformamos el peso F expresado en gramos en newtons (N) multiplicando por el factor 0.0098, y la deformación x en centímetros la expresamos en metros. Los pares de datos (x, F) se recogen el control área de texto situado a la izquierda del applet. Cuando tengamos suficientes datos se pulsa el botón titulado Gráfica. El bloque unido al muelle describirá un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular

 2=k/m

La posición de equilibrio se determina a partir de la condición de que la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sea nula.

La posición x0 será tal que mg=kx0

La ecuación del movimiento del sistema oscilante es x=-x0+A·sen( t+ ) Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la expresión de la velocidad v. v=dx/dt=A ·cos( t+ ) En el instante t=0, el móvil se encuentra en la posición x=0 con velocidad nula v=0 Con estos datos determinamos la amplitud A y la fase inicial  . 0=-x0+A·sen 0=A ·cos

la fase inicial es  =/2 y la amplitud A=x0 La ecuación del movimiento es x=-x0+x0·sen( t+/2) o bien, x=x0·(-1+cos( t))

Balance energético

El cuerpo está sometido a la acción de dos fuerzas conservativas, el peso cuya energía potencial es mgh, y la fuerza que ejerce el muelle cuya energía potencial es kx2/2. El nivel cero de energía potencial gravitatoria lo podemos poner donde queramos. El nivel cero de la energía potencial elástica es aquél en el que el muelle se encuentra sin deformar. Ponemos el nivel cero de energía potencial gravitatoria en x=-x0, en la posición de equilibrio. En la situación de partida   

Energía cinética Ek=0 Energía potencial elástica Epe=0, el muelle se encuentra sin deformar Energía potencial gravitatoria Ep=mgx0.

La energía total E=mgx0, se va a distribuir entre las otras formas de energía sin que la suma total cambie. Cuando el cuerpo pasa por la situación de equilibrio.   

Energía cinética Ek=mv2/2 Energía potencial elástica Epe=kx02/2, el muelle se ha deformado x0 Energía potencial gravitatoria Ep=0,

Cuando el cuerpo pasa por la posición más baja x= -2x0, la velocidad es cero, v=0   

Energía cinética Ek=0 Energía potencial elástica Epe=2kx02, el muelle se ha deformado 2x0 Energía potencial gravitatoria Ep= -mgx0, el cuerpo se encuentra x0 por debajo del nivel cero de energía potencial

Ejemplo: Sea m=10 kg Sea k=1000 N/m El periodo de las oscilaciones es

La posición de equilibrio es 1000·x0=10·9.8, por lo que x0=0.098 m=9.8 cm La posición del cuerpo en función del tiempo es x=9.8·(-1+cos(10t)) cm Tiempo t (s)

Posición x (cm)

0

0

P/4

-9.8

P/2

-19.6

3P/2

-9.8

2P

0

A la derecha del applet, vemos la representación de la posición x del cuerpo en función del tiempo t. La energía total del cuerpo es E=-10·9.8·0.098=9.6 J

Actividades Se introduce 

La constante elástica del muelle (N/m), en el control de edición titulado Constante elástica



La masa del cuerpo (kg), en el control de edición titulado Masa del bloque

Se pulsa el botón titulado Inicio para que el programa verifique los datos. Si estos son correctos, se pulsa a continuación el botón titulado Empieza. Observamos el movimiento del sistema oscilante Cada vez que se realice un nueva "experiencia" se pulsa el botón titulado Inicio. Las tras clases de energías (cinética, potencial, potencial elástica) se representan mediante barras de colores. Podemos observar que la energía cinética y la energía potencial elástica son ambas positivas. Pero la energía potencial gravitatoria puede se positiva o negativa, ya que hemos puesto el nivel cero de energía potencial en la posición de equilibrio x0. La suma de las tres clases de energías es constante.