Lista 23 Cálculo Superior 17-1.pdf

´ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIER´IA QU´IMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS C´ alculo Superior-Semestre 2019/2 Grupo 1IM42- Horario: 07:00-08:30 Hrs. (Mi); 07:00-08:30 Hrs. (Vi)-Sal´ on 731 Grupo 1IM45- Horario: 08:30-10:30 Hrs. (Ma); 08:30-10:00 Hrs. (Ju)-Sal´ on 7308/7310

´ Instructor: M.C. Yarith Nayue Dom´ınguez del Angel E-mail: [email protected]/[email protected] Oficina: ESIQIE-IPN, Edif. 6, Primer Piso, Sala C de Profesores Lista 23/Semana 8/13-Marzo-2019 Si tienes alguna DUDA, no DUDES en preguntar. “La Geometr´ıa es el arte de pensar bien, y dibujar mal”-Henri Poincar´e.

Curvas y Superficies de Nivel 1. Dibujar las curvas de nivel y las gr´ aficas de las siguientes funciones: i) f : R2 → R, f (x, y) = x − y + 2 ii) f : R2 → R, f (x, y) = x2 + 4y 2 iii) f : R2 → R, f (x, y) = −xy 2. Trazar las curvas de nivel (en el plano xy) para la funci´on dada f y los valores c especificados. Dibujar la gr´afica z = f (x, y). a) f (x, y) = 4 − 3x + 2y, c = 0, 1, 2, 3, −1, −2, −3. b) f (x, y) = (100 − x2 − y 2 )1/2 , c = 0, 2, 4, 6, 8, 10. c) f (x, y) = (x2 + y 2 )1/2 , c = 0, 1, 2, 3, 4, 5. d) f (x, y) = x2 + y 2 , c = 0, 1, 2, 3, 4, 5. e) f (x, y) = 3x − 7y, c = 0, 1, 2, 3, −1, −2, −3. 3. Dibujar y describir las superficies de nivel de las siguientes funciones. a) f (x, y, z) = −x2 − y 2 − z 2 . b) f (x, y, z) = 4x2 + y 2 + 9z 2 . 4. Dibujar y describir las superficies de R3 de las siguientes ecuaciones. i) 4x2 + y 2 = 16. ii)

x 4

=

iii) z =

y2 4 x2

+

z2 9 .

iv) x2 + y 2 − 2x = 0 v) x2 + y 2 + z 2 + 4x − by + 9z − b = 0, donde b es una constante.

1

Diferenciaci´ on

5. Muestre que la funci´ on f (x, y) = ex

2 −y 2

(cos(2xy) + sin(2xy)) satisface la ecuaci´on ∂2f ∂2f + =0 ∂x2 ∂y 2

conocida como ecuaci´ on de Laplace.

6. Evaluar las derivadas parciales ∂z/∂x, ∂z/∂y de las funciones dadas en los puntos indicados. p i) z = a2 − x2 − y 2 ; (0, 0), (a/2, a/2). √ ii) z = ln 1 + xy; (1, 2), (0, 0). iii) z = eax cos(bx + y); (2π/b, 0). 7. Hallar la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = x2 + y 3 en (3, 1, 10). 8. Para cada una de las funciones siguientes calcular respectivamente el plano tangente a su gr´afica en el punto indicado. a) f (x, y) = xy; (0, 0). b) f (x, y) = exy ; (0, 1). c) f (x, y) = x cos x cos y; (0, π). d) f (x, y) = (x2 + y 2 ) ln(x2 + y 2 ); (0, 1). 9. Calcular la matriz de derivadas parciales de las funciones siguientes: a) f : R2 → R2 , f (x, y) = (x, y). b) f : R2 → R3 , f (x, y) = (xey + cos y, x, x + ey ). c) f : R3 → R2 , f (x, y, z) = (x + ez + y, yx2 ). d) f : R2 → R3 , f (x, y) = (xyexy , x sin y, 5xy 2 ). 10. ¿D´onde corta el eje z al plano tangente a z = ex−y en (1, 1, 1)? 11. ¿Por qu´e deben llamarse tangentes en (0, 0) las gr´aficas de f (x, y) = x2 + y 2 y de g(x, y) = −x2 − y 2 + xy 3 . 12. Calcular el gradiente de cada una de las siguientes funciones: i) f (x, y, z) = xe−x ii) f (x, y, z) = iii) f (x, y, z) =

2 −y 2 −z 2

.

xyz . x2 +y 2 +z 2 z 2 ex cos y.

13. Hallar el plano tangente en (1, 0, 1) para cada una de las funciones del problema anterior. 14. Hallar la ecuaci´ on del plano tangente a z = x2 + 2y 3 en (1, 1, 3). 15. Calcular ∇h(1, 1, 1) si h(x, y, z) = (x + z)ex−y . 16. Sea f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Calcular ∇f (0, 0, 1). 17. Evaluar el gradiente de f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 ) en (1, 0, 1).

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