Derivadas De Una Función.docx

I. Utilizando la regla de derivación para funciones compuestas halle la primera derivada de las siguientes funciones. 2. Y = (1 − cos 2 (u3 ))

,

2

u=x

3

2 𝑌 = (1 − cos 2 ( )) 𝑥 2

2

2 2

𝑌′ = 3 (1 − cos 2 (𝑥)) (0 − (−2 𝑠𝑒𝑛 𝑥) ×

2×1−0𝑥 𝑥2

2 2 2 𝑌′ = 3 (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ) (2 𝑠𝑒𝑛 )2 × 2 𝑥 𝑥 𝑥 III. Halle la primera derivada de las siguientes funciones 3.

5

1

𝑌 = (1+𝑥)

1 4 −1 𝑌′ = 5 ( ) ×( ) (1 + 𝑥)2 1+𝑥 𝑌′ =

−5 (1 + 𝑥)6

5. 𝑌 = (𝑥 − 1)√𝑥 2 − 2𝑥 + 2 1 𝑌′ = (1) (√𝑥 2 − 2𝑥 + 2) + (𝑥 − 1) (𝑥 −2 − 2𝑥 + 2)1/2 (2𝑥 − 2) 2 𝑥−1 𝑥+1

9. 𝑓(𝑥) = √

1⁄ 2

𝑥−1 𝑓(𝑥) = ( ) 𝑥+1

1 𝑥−1 − 𝑓′(𝑥) = ( ) 2 𝑥+1 𝑥−1 − 𝑓′(𝑥) = ( ) 𝑥+1

1⁄ 2

1⁄ 2

.(

(𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) ) 𝑥 2 + 2𝑥 + 1

1 2 . .( 2 ) 2 𝑥 + 2𝑥 + 1

2

12. 𝑦 = 𝑒 𝑥 . 5𝑙𝑛𝑥 1 2 2 𝑦′ = (𝑒 𝑥 . 2𝑥). (5𝑙𝑛𝑥 ) + 𝑒 𝑥 . 5𝑙𝑛𝑥 . . 𝑙𝑛5 𝑥 1 2 𝑦 ′ = 𝑒 𝑥 . 5𝑙𝑛𝑥 (2𝑥 + . 𝑙𝑛5) 𝑥

15. 𝑦 =

5 √𝑒 𝑥 +𝑥

−1 1 −5(2 . (𝑒 𝑥 + 𝑥) ⁄2 𝑦= 𝑒𝑥 + 𝑥

18. 𝑦 = 𝑙𝑛2(𝑡𝑔(𝑥 3 )) 𝑦′ = 2 ln(𝑡𝑔(𝑥 3 )).

sec 2 𝑥 3 . 3𝑥 2 𝑡𝑔𝑥 3

𝑦′ = 6 ln(𝑡𝑔(𝑥 3 )).

sec 2 𝑥 3 2 .𝑥 𝑡𝑔𝑥 3

Derivadas de una función I. Determine la derivada de f aplicando límites

2. 𝐹(𝑥) = −20

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ→0 ℎ lim lim

ℎ→0

−20 − (−20) ℎ

0 𝑛→∞ ℎ lim

0

5. 𝐹(𝑥) = 3𝑥 2 − 5𝑥 lim

ℎ→0

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ

3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) − (3𝑥 2 − 5𝑥) lim ℎ→0 ℎ 3(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 5𝑥 − 5ℎ − 3𝑥 2 + 5𝑥 ℎ→0 ℎ lim

3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 5ℎ − 3𝑥 2 ℎ→0 ℎ lim

ℎ(6𝑥 + 3ℎ − 5ℎ) ℎ→0 ℎ lim

6𝑥 + 3(0) − 5 6𝑥 − 5

8. 𝐹(𝑥) = 15𝑥 2 + 2𝑥 + 8 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ→0 ℎ lim

15(𝑥 + ℎ)2 + 2(𝑥 + ℎ) + 8 − (15𝑥 2 − 2𝑥 + 8) ℎ→0 ℎ lim

15(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 2𝑥 + 2ℎ + 8 − 15𝑥 2 + 2𝑥 − 8 ℎ→0 ℎ lim

15𝑥 2 + 30𝑥ℎ + 15ℎ2 + 2ℎ − 15𝑥 2 ℎ→0 ℎ lim

ℎ(30𝑥 + 15ℎ − 2) ℎ→0 ℎ lim

30𝑥 + 15(0) + 2 30𝑥 + 2

11. 𝐹(𝑥) = 20𝑥 2 − 10 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ→0 ℎ lim

20(𝑥 + ℎ)2 − 10 − (20𝑥 2 − 10) ℎ→0 ℎ lim

20(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − 10 − 20𝑥 2 + 10 ℎ→0 ℎ lim

20𝑥 2 + 40𝑥ℎ + 20ℎ2 − 20𝑥 2 ℎ→0 ℎ lim lim

ℎ→0

ℎ(40𝑥 + 20ℎ) ℎ

40𝑥 + 20(0) 40𝑥

14. 𝐹(𝑥) = −𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ→0 ℎ lim

−𝑎(𝑥 + ℎ)2 + 𝑏(𝑥 + 𝑏) − (−𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥) ℎ→0 ℎ lim

−𝑎(𝑥 2 + 𝑥ℎ + ℎ2 ) + 𝑏𝑥 + 𝑏ℎ + 𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 ℎ→0 ℎ lim

−𝑎𝑥 2 − 2𝑎𝑥ℎ − 𝑎ℎ2 + 𝑏ℎ + 𝑎𝑥 2 ℎ→0 ℎ lim

ℎ(−2𝑎𝑥 − 𝑎ℎ + 𝑏) ℎ→0 ℎ lim

−2𝑎𝑥 − 𝑎(0) + 𝑏 −2𝑎𝑥 + 𝑏

𝑎

17. 𝐹(𝑥) = 𝑥

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ→0 ℎ lim